Inhaltsverzeichnis

Physik für Studierende der Biologie und der Wirtschaftschemie
Universität Zürich, SS 2007, U. Straumann
Version 3. Mai 2007
Inhaltsverzeichnis
5.7
5.7
5.7.1
Die Maxwell’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1
5.7.1 Der Maxwell’sche Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1
5.7.2 Die vier Maxwellgleichungen in integraler Form . . . . . . . . . . . . . . . 5.2
Die Maxwell’schen Gleichungen
Der Maxwell’sche Verschiebungsstrom
Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses erzeugt ein elektrisches Feld (Faraday’sches
Induktionsgesetz).
Die Umkehrung gilt auch. Die zeitliche Änderung des elektrischen Flusses erzeugt ein Magnetfeld.
Das sieht man unmittelbar ein, wenn man sich einen Stromkreis mit einem Platten-Kondensator
denkt, in dem ein Wechselstrom fliesst. Das Ampere’sche Gesetz besagt, dass um die Leiter des
Stromkreises ein magnetisches Feld erzeugt wird. Im Zwischenraum des Plattenkondensators
bewegt sich zwar keine Ladung, aber dafür wird ein elektrisches Feld auf- und abgebaut, je nach
dem wieviel Ladung gerade auf den Kondensator fliesst.
Die Ladung auf dem Kondensator und somit das elektrische Feld ist proportional zum Integral
des Stromes der auf die Platte fliesst.
Das Magnetfeld um die Leiter kann nicht einfach plötzlich verschwinden, wir erwarten, dass
es sich auch in den Plattenkondensator fortsetzt. Maxwell vermutete deshalb, dass die zeitlich
variablen elektrischen Felder im Plattenkondensator ebenfalls magnetische Felder erzeugen.
Das Ampère’sche Gesetz für stationäre Ströme
I
~ r = µ0 I
Bd~
C
wird deshalb für zeitlich veränderliche Felder modifiziert zum verallgemeinerten Ampère’schen
Gesetz:
I
~ r = µ0 I + µ0 ǫ0 dΦelek
Bd~
dt
C
Auf der rechten Seite tritt zusätzlich der sogenannte Maxwell’sche Verschiebungsstrom, d. h. die
zeitliche Änderung des elektrischen Flusses Φelek durch die von C umrandete Oberfläche AC
auf.
5.1
I
~ r = µ 0 I + µ 0 ǫ0 d
Bd~
dt
C
Z
~ A
~ = µ 0 I + µ 0 ǫ0 d
Ed
dt
AC
Z
AC
En dA
En ist die Normalkomponente von E senkrecht zu AC .
5.7.2
Die vier Maxwellgleichungen in integraler Form
Mit den beiden Gauss’schen Sätzen, dem Faraday’schen Induktionsgesetz und dem verallgemeinerten Ampère’schen Gesetz haben wir die vier Maxwell’schen Gleichungen kennengelernt.
Sie beschreiben zeitabhängige elektrische und magnetische Felder. Beide sind eng miteinander
verknüpft.
Ein zeitlich variables elektrisches Feld impliziert immer die Präsenz eines zeitlich variablen
magnetischen Felds und umgekehrt:
~ r , t) ⇔ B(~
~ r , t)
E(~
Ein variables Magnetfeld bewirkt eine elektrisches Wirbelfeld gemäss dem Faraday’schen Induktionsgesetz:
Z
I
~ A
~
~ r = − dΦmagn = − d
Bd
Ed~
dt
dt AC
C
AC ist eine vom geschlossenen Weg C berandete Kurve. Die Flussänderung ist von 0 verschieden,
~ r, t)), sich die Fläche ändert oder sich die Stellung von Fläche und
wenn B zeitabhängig ist (B(~
Feld ändert.
Ein variables elketrisches Feld bewirkt ein magnetisches Wirbelfeld gemäss dem Maxwell’schen
Verschiebungsstrom.
I
~ r = µ0 I + µ0 ǫ0 dΦelek = µ0 I + µ0 ǫ0 d
Bd~
dt
dt
C
Z
~ A
~
Ed
AC
Diese beiden Gesetze bilden die mathematischen Grundlagen für die Ausbreitung elektromagnetischen Wellen, wie z. B. Licht. Eine Lichtwelle besteht aus einer sich zeitlich und r̈aumlich
~ r , t)), dem ein dazu senkrechtes magnetisches Wechausbreitendes elektrischen Wechselfeld (E(~
~
selfeld (B(~r, t)) überlagert ist. Die Kopplung besteht auch ohne dass im betrachteten Bereich des
Raumes Ladungen oder Ströme vorhanden sind. Licht kann sich auch im Vakuum ausbreiten.
Im weiteren besagen die Gauss’schen Sätze etwas über die Quellen von elektrischen und magnetischen Feldern. Im Gauss’schen Satz wird der Feldfluss durch eine geschlossene Oberfäche AV
im Raum berechnet, die das Volumen V einschliesst:
I
AV
I
~ A
~= Q ,
Ed
ǫ0
5.2
~ A
~=0.
Bd
AV
Q steht für die Summe der im Volumen V enthaltenen Ladungen. Die Gauss’schen Sätze gelten zu beliebigen Zeiten. Ladungen sind zu allen Zeiten die Quellen eines elektrischen Feldes
(Potentialfeld), während das Magnetfeld zu allen Zeiten keine Quellen besitzt.
Zeitabhängige elektrische und magnetische Wirbel-Felder können auch im leeren Raum bestehen,
sie besitzen eine eigene physikalische Identität.
Falls Materie mit elektrischen Ladungen vorhanden ist, entstehen zusätzlich elektrische Potentialfelder mit den elektrischen Ladungen als Quellen. Und bewegte Ladungen (Ströme) erzeugen
magnetische Wirbelfelder.
5.3