1. Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsmodelle

Prof. Dr. Roland Füss
Statistik II
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1. Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsmodelle
1.1 Rechteckverteilung
• Die Dichtefunktion der Rechteckverteilung ist in einem bestimmten
Intervall [a, b] positiv und konstant und ansonsten Null.
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• Die Rechteckverteilung ist die stetige Version der Gleichverteilung (z.B.
Würfel) d.h. in einem bestimmten Intervall [a;b] ist die Eintrittswahrscheinlichkeit gleich groß.
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• Dichtefunktion:
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⎧ 1
,a< x<b
⎪
f (x ) = ⎨ b − a
⎪⎩0 , sonst
• Verteilungsfunktion:
⎧0 , x < a
⎪x − a
⎪
F (x ) = ⎨
,a≤ x<b
b
a
−
⎪
⎪⎩1 , b ≤ x
• Erwartungswert und Varianz:
b+a
E(X ) =
2
2
(
b − a)
und σ =
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1.2 Exponentialverteilung
• Die Exponentialverteilung ist die stetige Version der geometrischen
Verteilung, d.h.
X
ist die Zeit (z.B. in Minuten) bis zu zum Eintreffen des
Ereignisses A.
• Häufige
Verwendung:
Die
Dauer
in
Minuten
bis
zur
nächsten
Schadensmeldung bei Versicherungen oder die Dauer in Sekunden bis
zum nächsten Anruf in Call Centern.
⎧λe − λx , 0 ≤ x < ∞
• Dichtefunktion: f ( x ) = ⎨0 , sonst
⎩
für λ > 0
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• Verteilungsfunktion:
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⎧0 , x < 0
F (x ) = ⎨
− λx
,0 ≤ x < ∞
⎩1 − e
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• Je größer λ ist, desto schneller konvergiert f ( x ) gegen 0 und F ( x )
gegen 1, d.h. die Dauer bis zur nächsten Schadensmeldung ist noch
kürzer und die Wahrscheinlichkeit, das es länger dauert, sinkt.
1
• Erwartungswert und Varianz: E ( X ) = λ und σ 2 =
1
λ2
• Die Exponentialverteilung hat kein Gedächtnis: Die Wahrscheinlichkeit
mehr als 5 Minuten zu warten, nachdem man bereits 10 Minuten gewartet
hat, ist dieselbe Wahrscheinlichkeit wie wenn man zu Beginn mehr als 5
Minuten warten muss: P( X > 15 X > 10) = P( X > 5)
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• Gedächtnislosigkeit
bedeutet
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nicht
stochastische
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Unabhängigkeit.
Letzteres wäre P( X > 15 X > 10) = P( X > 15) wie es z.B. beim Würfel der
Fall ist.
1.3 Pareto-Verteilung
• Die Pareto-Verteilung wird häufig dann angewendet, wenn die Grundgesamtheit hauptsächlich nur positive Werte enthält und aus vielen kleinen
Einheiten und wenigen großen Einheiten besteht. Z.B. ist die Bevölkerung
eines Landes auf wenige große Städte aber auf viele kleine Städte und
Dörfer verteilt.
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⎧ x mk
⎪k k +1 , x ≥ xm
(
)
=
f
x
⎨ x
• Dichtefunktion:
mit
⎪0 , sonst
⎩
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x m als das kleinste Element in
der Grundgesamtheit und k als Krümmungsparameter.
• Erwartungswert und Varianz:
kx
E(X ) = m
k −1
2
und
⎛ x ⎞ k
σ =⎜ m ⎟
⎝ k − 1⎠ k − 2
2
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1.4 Normalverteilung
• Die NV stellt die wichtigste stetige Verteilung für die Schätz- und
Testtheorie dar.
• Die NV wird durch den Mittelwert
µ
und die Varianz σ 2 bzw.
Standardabweichung σ vollständig beschrieben.
•
⎛ (x − µ )2
exp⎜⎜ −
Wahrscheinlichkeitsfunktion: f (x ) =
2σ 2
σ 2π
⎝
1
⎞
⎟
⎟
⎠
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• Eine normalverteilte Zufallsvariable X wird dann kompakt als X ~ N (µ ; σ )
geschrieben.
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• Normalverteilungen mit kleinerer Standardabweichung haben mehr Wahrscheinlichkeitsdichte um den Mittelwert konzentriert.
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• Je höher die Standardabweichung, desto weniger aussagekräftig ist der
Erwartungswert.
• Durch das Standardisieren erhält man eine Standardnormalverteilung
X ~ N (0;1) .
Auch ein Wahrscheinlichkeitsintervall einer Normalverteilung kann in ein
äquivalentes Wahrscheinlichkeitsintervall einer Standardnormalverteilung
überführt werden:
x +µ⎞
⎛x −µ
≤X≤ o
P ( x u ≤ X ≤ x o ) = P ( x u − µ ≤ X ≤ x o + µ ) = P⎜ u
⎟ = P( z u ≤ Z ≤ z o )
σ ⎠
⎝ σ
und umgekehrt:
X −µ
⎛
⎞
≤ z o ⎟ = P(µ + z u σ ≤ X ≤ µ + z oσ )
P ( z u ≤ Z ≤ z o ) = P⎜ z u ≤
σ
⎝
⎠
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• Zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten von Intervallen benutzt man
die Tabelle (Vertafelung) der Standardnormalverteilung, welche die
jeweiligen Werte der Verteilungsfunktion für bestimmte Z-Werte angibt.
Da die Normalverteilung symmetrisch ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass
Z zwischen –z und 0 liegt, genauso hoch wie, dass sie zwischen 0 und +z
liegt. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit grösser oder kleiner als der
Erwartungswert zu sein gleich groß: P(Z < 0) = P(Z > 0 ) = 0,5 .
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1.5 Log-Normalverteilung
• Bei der Lognormalverteilung ist nicht die Variable X selbst, sondern ihr
Logarithmus Y = ln x normalverteilt.
• Die Lognormalverteilung wird z.B. für die Darstellung der Einkommensverteilung verwendet, da keine negativen Einkommen vorkommen können
und einige wenige Einkommen sehr hoch sind, wodurch eine positive
Schiefe entsteht.
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• Kompakt schreibt man auch X ~ LN (µ L , σ L2 ) . Es wird der Erwartungswert µ L
2
und die Varianz σ L der normalverteilten Zufallsvariable Y angegeben.
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µ und σ 2 der lognormalverteilten Zufallsvariable X lassen sich berech-
nen als:
µ = eµ
L
+σ L2 2
2µ
2
und σ = e
L
+σ L2
(
)
⋅ eσ L − 1
2
Trotzdem können Wahrscheinlichkeitsintervalle der Lognormalverteilung
berechnet werden, da P ( X ≤ 2 ) = P (Y ≤ ln 2 ) ist und man durch standardisieren der normalverteilten Variable Y die Tabelle der Standardnormalverteilung benutzen kann.
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1.6 Gammaverteilung
∞
x −1 − z
• Die Gammafunktion Γ (x ) = ∫ z e dz kommt in vielen stetigen, für die
z =0
Testtheorie wichtigen Verteilungen vor.
• Eine Eigenschaft dieser Funktion ist, dass Γ (x + 1) = xΓ ( x ) :
Für Γ (1) =
∞
[
−z
−z
∫ e dz = − e
]
∞
0
=1
z =0
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∞
x −z
Für den allgemeinen Fall Γ (x + 1) gilt: Γ (x + 1) = ∫ z e dz , was sich durch
z =0
partielle Integration lösen lässt (allgemein: ∫ u ' vdx = uv − ∫ uv' dx ). Dabei setzt
x
x −1
−z
−z
man z.B. v = z ; v' = x ⋅ z ; u ' = e ; u = −e und kann entsprechend Γ (x + 1)
berechnen:
Γ ( x + 1) = [− e ⋅ z
−z
∞
] − ∫−e
x ∞
0
−z
⋅ xz x −1dz .
0
∞
x −1
−z
Der erste Term wird Null und der zweite Term ist x ∫ e ⋅ z dz (x als
0
Konstante vor das Integral) was x ⋅ Γ (x ) ist. Also ist Γ (x + 1) = xΓ ( x ) .
Γ (2 ) = 1Γ (1) = 1 ; Γ (3) = 2 Γ (2 ) = 2 ⋅1 = 2! ; Γ (4 ) = 3Γ (3) = 3 ⋅ 2 = 3! usw.
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• Die Gammaverteilung ist eine Verallgemeinerung der Verteilungen aus
der Testtheorie und enthält die Gammafunktion: f (x, k ,θ ) = x
k .−1
e−x θ
θ k Γ (k )
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• Je grösser k, desto flacher ist die Verteilung und je grösser θ , desto
asymmetrischer ist die Verteilung (großes θ = positive Schiefe)
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