Stochastische Signale

Adaptive Systeme
Sommersemester 2015
Prof. Dr. -Ing. Heinz-Georg Fehn
Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff
Prof. Dr. H.-G. Fehn und Prof. Dr. N. Wulff
1
Adaptive Systeme
●
Adaptives System: ein System, das sich durch ein besonderes
Anpassungsvermögen an seine Umgebung auszeichnet; das die
Möglichkeit hat, auf deren (zufällige und/oder zeitlichen)
Veränderungen zu reagieren und sich damit auf diese einzustellen.
adaptive system [ə′dap·tiv ′sis·təm]
(system engineering)
A system that can change itself in response to changes in
its environment in such a way that its performance improves
through a continuing interaction with its surroundings.
http://encyclopedia2.thefreedictionary.com/ (10.03.2015)
Frage: Ist die Änderung deterministisch oder zufällig und was ist denn zufällig?
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Ein Ausflug in zufällige Signale
●
Was sind zufällige (stochastische) Signale
alle Signale, die sich nicht in ihrem zeitlichen Verlauf
durch eine mathematische Vorschrift angeben lassen
Signal
zufällig
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deterministisch
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Zufällige Signal
●
Wie lassen sich zufällige Signale beschreiben
Beschreibung durch Wahrscheinlichkeiten
(Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastik)
●
Mathematisch durch die:
Verteilungsfunktion:
F X ( x)
Verteilungsdichtefunktion:
d F X ( x)
p X ( x )=
dx
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Verteilungsfunktion
●
●
Die Verteilungsfunktion F X ( x) ist eine nichtnegative stetig
wachsende Funktion zwischen 0 … 1.
}
Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit Pr { X ⩾ xan
x
Es gilt:
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Pr { X ⩾ x }= F X ( x )= ∫ p X ( x) dx
−∞
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Verteilungsdichtefunktion
●
Die Verteilungsdichtefunktion p X ( x )ist die Ableitung der
Verteilungsfunktion
d F X ( x)
p X ( x )=
dx
x
F X ( x)= ∫ p X ( x)dx
−∞
Interpretation: Die Fläche unter der Verteilungsdichtefunktion bis zu einer
vorgegeben Grenze x stellt die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der
Realisierungen einer Zufallsvariablen X dar.
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Eigenschaften und Besonderheiten
●
●
Ist die Verteilungsfunktion stetig, ist die Zufallsvariable
kontinuierlich
Ist die Verteilungsfunktion nicht stetig, ist die Zufallsvariable
diskret
Beispiel: Würfel
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Warum brauchen wir das?
●
●
Eine Simulation von Zufallszahlen im Rechner kann nur eine
endliche Zahl unterschiedlicher Zahlen erzeugen. Daher sind alle
Zufallszahlen einer digitalen Simulation diskret und wiederholen
sich. Sie sind keine echten Zufallszahlen. Sie werden auch als
Pseudozufallszahlen (Pseudozufallsvariablen) bezeichnet. Die
Wiederholungsperiode hängt von der Wortbreite des Rechner ab.
Eine Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen:
Linear rückgekoppeltes Schieberegister
Wiederholungsperiode 2 B - 1 (B = Anzahl der Bits)
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Erzeugung von Zufallszahlen
●
Matlab:
x = rand(...);
% gleichverteilte Zufallszahlen (0...1)
x = randn(...);
% gaußverteilte Zufallszahlen
x = rand();
/*Zufallszahl zwischen 0 … 215-1*/
●
C / C++
●
Verteilungsdichtefunktion
Verteilungsfunktion
jeweils 20000 Werte
In der Simulation
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Zufallszahlen als Modell
●
Zufallszahlen als Modelle für Störungen
Signalverfälschung durch Überlagerung von Rauschen
Modell: gaußverteilte Zahlen
●
Zufallszahlen als Modelle für Signale, z.B. Lottozahlen
3
1
4
14
1
15
2
1
5
22
5
7
26
4
25
5
8
7
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27
14
8
29
15
33
7
15
21
40
27
10
32
23
36
12
27
37
43
31
27
43
32
45
41
36
45
49
34
30
45
42
49
45
49
46
Modell: gleichverteilte Zahlen zwischen 1 … 49
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Analyse des Prozesses (1)
Ein stochastischer Prozess X(t,ω) kann als eine Funktion angesehen werden, die von zwei Variablen
abhängig ist, von der Zeit t und einer Zufallsvariablen X(ωi). Die Ereignismenge ωi. stammt aus dem
Ereignisraum Ω, der den stochastischen Prozess darstellt.
Alle sprechen gleichzeitig
unterschiedliche Texte
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Analyse des Prozesses (2)
Hier spricht
nur einer
Nur einer spricht
seinen Text
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Analyse des Prozesses (3)
e
i
n
s
Alle sprechen gleichzeitig
nur ein Zeichen
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Analyse des Prozesses (4)
b
Nur einer spricht nur
ein Zeichen
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Handhabung des Prozesses
●
Wenn wir sicherstellen können, dass eine Zeitfolge oder eine
Zufallsvariable den stochastischen Prozess beschreibt, dann
können entweder nur Zeitfolge oder nur die Zufallsvariable
betrachten werden
Das ist gegeben, wenn der Prozess ergodisch ist
Es gilt dann: Zeitmittel
x (t ) = µ x (t )
Scharmittel
Ist der Prozess auch noch stationär, dann ändern
sich seine statistischen Eigenschaften nicht mit der Zeit
Es gilt dann: Zeitmittel
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x (t ) = µ x
Scharmittel
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Handhabung des Prozesses
Analyse über eine
Musterfolge im Zeitbereich
(Simulation)
Analyse über die
Verteilungsdichtefunktion
(Theorie)
kontinuierlich
diskret
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Wichtige Kenngrößen von Prozessen (1)
Diskrete Prozesse: - Die Integration wird zu einer Summe über die k Zufallswerte xk
- Das Produkt pX(x) dx wird zur Wahrscheinlichkeit pk
der Zufallszahl xk
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Wichtige Kenngrößen von Prozessen (2)
Korrelation = beschreibt die Abhängigkeit (Verwandtschaft)
zwischen statistischen Prozessen (auch als
Verbundmoment bezeichnet)
Autokorrelationsfunktion (AKF) = statische Abhängigkeit zwischen Werten des gleichen
Prozesses zu unterschiedlichen Zeitpunkten
R XX (τ)= E [ x (t) x (t+ τ)]
R XX ( τ)
normiert
ρ XX ( τ)=
R XX (0)
Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) = statische Abhängigkeit zwischen Werten unterschiedlichen Prozessen
R XY ( τ)=E [ x (t ) y (t + τ)]
ρ XY (τ)=
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R XY ( τ)
√ R XX (0) RYY (0)
normiert
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Beispiele für Korrelation
Zufallssignal, weißes Rauschen
keine
Korrelation
Sprachsignal mit zwei
unterschiedlichen Segmenten
hohe
Korrelation
geringe
Korrelation
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Bestimmung von Kenngrößen
●
●
●
●
●
Mittelwert:
Varianz:
1
µx=
N
σ 2x=
1
N
N
∑
n=1
N
∑
n=1
R XX (k )=
AKF:
x (n)
x 2 (n)−µ 2x
1
N
N −k
∑ x (n) x (n+ k )
n=1
Wiener-Kintchine-Theorem
AKF und LDS sind wechselseitige
Fouriertransformationen
2
S
(k
)=∣ℱ
{R
(k
)}
∣
XX
Spektrum (LDS): XX
Spektrumsschätzung:
1
S XX ( k )=
Anz Block
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∣
S XX (k )=
Anz block
∑
i=1
∣
1
b len
1
N
N −1
∑
− j2π
x (n) e
n=0
i⋅b len−1
∑
n=(i−1)⋅blen
nk 2
N
∣
Periodogramm
über N Werte
nk 2
− j2π
gemitteltes
N
Periodogramm über
AnzBlock der Länge blen
x (n)e
∣
20
Ergänzungen zur Theorie
Abtastfrequenz
f abt
Abtastzeit
[Hz ]
T Dauer Abtastwerte
Frequenzauflösung
Δ f=
T Ausschnitt
T0
der Fouriertransf.
Abtasttheorem
f abt ≥2 f
grenz
,
1
T=
f
=
abt
T Dauer f abt
T0 N
X (k )= ∑ x (n)e
= Signaldauer [s],
= NT Signalausschnitt [s]
= 1s,
= Abtastfrequenz [Hz]
−j 2π
(n−1)(k −1)
N
n=1
Spektrum als Betrag B abs()
∣ B(k )∣ =
Spektrum als Betrag B mit fftshift()
∣ B (k )∣ =
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TDauer
TAusschnitt
T0
f abt
fgrenz = größte im Signal vorkommende Frequenz
fabt = maximale Bandbreite des abgetasteten Signals
N
Fouriertransformation in Matlab fft() :
[s]
∣
∣
∣
( X (k ))
N
fftshift ( X (k ))
N
für
∣
für
0 … fabt
- 0,5 fabt … 0,5 fabt
21
Einige Bemerkungen
●
RXX(k) für k = 0
für mittelwertfreie (µX=0) Signale ist RXX(0) die Varianz x2
sonst RXX(0) = x2 + µx2
●
RXX(k) = 0 für k 0
keine Korrelation zwischen Signalwerten im Abstand k
●
RXX(k) = 0 für alle k 0
weißes Rauschen (beinhaltet alle Frequenzen)
sonst kein weißes Rauschen
●
SXX(0) 0
das Signal x(n) hat einen Gleichspannungsanteil (f = 0)
●
SXX(k) = const
das Signal x(n) beinhaltet alle Frequenzen(weißes Rauschen)
sonst kein weißes Rauschen
●
R XX (0)=∑ S XX (k )
k
Leistung im Zeitbereich = Leistung im Frequenzbereich
(Parsevalsche Theorem)
●
AKF 
LDS
AKF und LDS sind wechselseitige Fouriertransformierte
(Wiener-Kintchine Theorem)
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Fazit stochastischer Prozess (1)
●
●
●
Sie sind Modelle für reale Prozesse wie
Ergodisch: eine Musterfolge kann verwendet werden
Bedingung: Zeitmittel = Scharmittel
Stationär: die statistischen Eigenschaften ändern sich
zeitlich nicht
Bedingung : µ(t) = µ = const (schwache Stationarität)
RXX(t0,) = RXX()
(starke Stationarität)
AKF nur vom Zeitunterschied 
abhängig und nicht vom Zeitpunkt t0
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Übung: Stationärer Prozess
●
Erzeugen Sie einen gaußverteilten Prozess der Dauer 1 s für eine
Abtastfrequenz von 44100 Hz (CD-Qualität)
Suchen Sie den minimalen und den maximalen Wert, den
Mittelwert, die Varianz.
●
Bestimmen Sie die Verteilungsdichtefunktion
p X ( x)=
1
e
√ 2π
−x 2
2
pX(x) und vergleichen Sie diese mit der Theorie
●
Bestimmen Sie die ersten k = 10 Autokorrelationswerte RXX(k)
Was stellen Sie bei der Betrachtung der AKF fest?
●
Bestimmen Sie das Leistungsdichtespektrum (LDS) SXX(k)
über das Periodogramm (blen = 441, Frequenzauflösung 100 Hz)
Was stellen Sie bei der Betrachtung des LDS fest?
●
Welches Fazit ziehen Sie aus dieser Betrachtung?
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