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ASW
Mathematik I Lösungen zu Übung 2a
Zu Aufgabe 1)
(direkter Beweis)
Vor: m∈N sei durch 3 teilbar
Beh: m2 ist durch 3 teilbar
Beweis: (direkt)
Sei m durch 3 teilbar → ∃k∈N:m=3k →m2=k2⋅32 = (3k2)⋅3 →m2 ist durch 3 teilbar!
qed.
Zu Aufgabe 2 )
(Indirekter Beweis)
Zu a)
a) Satz:
Seien a >2b>0, a,b ∈N .
2a + 3b
4a + b
a
Beh: Der Term
+
ist unkürzbar ⇒ ist unkürzbar
3a − 6b
b
b
Beweis: (indirekt)
a
kürzbar →∃k∈N: a = kp und b = kq
b
2a + 3b
4a + b
2kp + 3kq
4kp + kq k (2 p + 3q )
k (4 p + q )
→
+
=
+
=
+
ist ebenfalls
3a − 6b
b
3kp − 6kq
kq
k (3 p − 6q )
kq
(durch k) kürzbar.
Sei
qed.
Zu b)
Beh: Die Menge der positiven rationalen Zahlen hat kein Minimum.
Beweis: (indirekt)
Angenommen, die Menge – wir bezeichnen sie mit Q+ - der positiven rationalen Zahlen
m
m
hat ein Minimum x* = ∈Q+. Dann gilt: ∀x ∈ Q + : ≤ x .
n
n
m
m
Sei x =
. Offensichtlich ist x = ∈ Q+ aber x < x*. Das ist ein Wiederspruch.
2n
2n
Folglich kann es kein Minimum in Q+ geben.
qed.
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Mathematik I Lösungen zu Übung 2a
ASW
Zu Aufgabe 3)
(Vollständige Induktion)
Zu a)
n
Satz: Beh.: ∀n ≥ 1 : 1 + 3 + 5 + ... + 2 * n − 1 = ∑ (2i − 1) =n 2
i =1
Beweis: (Vollst. Induktion)
IA: n=1: LS=1, RS=1 --> LS=RS
qed.
IS: Vor.: 1 + 3 + 5 + ... + 2 * n − 1 = n 2
Beh.: 1 + 3 + 5 + ... + 2 * n + 1 = (n + 1) 2
Bew.:
LS Beh = 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) + (2n + 1)
zerlegen
2
=
RS
der
Vor .
n + (2n + 1)
= (n + 1) 2 = RS Beh.
umformen
q.e.d
Zu b)
Satz: Beh.: ∀n ∈ N : 2 n ≤ (n + 1)!
Beweis: (Vollst. Induktion)
IA: n=1: LS=2, RS=2 --> LS=RS
qed.
IS: Vor.: 2 n ≤ (n + 1)!
Beh.: 2 n +1 ≤ (n + 2)!
Bew.:
LS Beh = 2 n +1 = 2 n ⋅ 2
zerlegen
≤
RS
der
Vor .
(n + 1)!⋅2 ≤ (n + 1)!(n + 2) = (n + 2)!= RS Beh.
q.e.d
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Mathematik I Lösungen zu Übung 2a
ASW
Zu Aufgabe 4)
4
Zu a)
= 0,44444... = 0, 4
9
4
Zu b) p = 0,444... = 0, 4 ⇔ p ⋅ 10 − p = 4,444 − 0,444 = 4 ⇔ p (10 − 1) = 4 ⇔ p =
9
5
4
Zu c) p = 31,1343 2 ⇔ p ⋅ 10 − p ⋅ 10 = 3113432 − 311343 = 2802089 ⇔
2802089
p=
90000
Zu Aufgabe 5)
Zu a)
8
∑i
2
zu b)
i =1
11
∑ (2i + 1)
zu c)
i =1
Zu Aufgabe 6)
4
5
1
1
Zu a) ∑
=∑
i =0 i + 1
i =1 i
6
∑ i ⋅10 i zu d)
i =1
Zu b)
4
1
1
∑ i ⋅ (−1)
i −1
i =1
8
1
∑ 2i = ∑ 2i − 8
i =1
15
Zu c)
i =5
10
12
i =0
i=2
∑ (3i + 4) = ∑ (3i − 2)
Zu Aufgabe 7)
Berechnen Sie
a) 6! = 720
 4
4!
b)   =
=6
 2  2!⋅2!
7
7!
c)   =
= 21
 5  5!⋅2!
Zu Aufgabe 8)
7
7
Zu a) ∑   = (1+1)7 = 27 = 128
i =0  i 
Zu b) Mittels Pascal’schem Dreieck und binomischen Lehrsatz:
(a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6
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