Übung 2 (Summen-und Produktzeichen

ASW
MATHEMATIK I
Übung 2
Rat. Zahlen, Summen- und Produktzeichen, Binom. Formel,
Beweisprinzipien
Prof. Dr. B. Grabowski
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Aufgabe: Lösen Sie alle Übungsaufgaben zm Kapitel 1:
- Rechnen mit Summen- und Produktzeichen,
- Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck
Rationale Zahlen, Rechnen mit Summen- und Produktzeichen, Binomische
Formel
Aufgabe 1)
a) Stellen Sie p=4/9 als Dezimalzahl dar!
b) Stellen Sie p=0,4444... als Bruch (rationale Zahl) dar!
c) Stellen Sie p=31,134322222.... als Bruch (rationale Zahl) dar!
Aufgabe 2)
Schreiben Sie die folgenden Summen jeweils mit Hilfe des Summenzeichens:
a) 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64
b) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
c) 10 + 2 ⋅ 100 + 3 ⋅ 1000 + 4 ⋅ 10000 + 5 ⋅ 100000 + 6 ⋅ 1000000
d) 1 -1/2 +1/3-1/4+1/5 -...+1/15!
Aufgabe 3)
Ergänzen Sie die fehlenden Bestandteile des Summenzeichens auf der rechten Seite, so dass
das Gleichheitszeichen eine „Indextransformation“ widerspiegelt!
4
?
4
?
10
12
1
1
1
a) ∑
= ∑?
b) ∑ = ∑
c) ∑ (3i + 4) = ∑ ?
i =0 i + 1 i =1
i =1 2i
? 2i − 8
i =0
?
Aufgabe 4)
Berechnen Sie die folgenden Summen und binomischen Formeln auf möglichst effiziente
Weise:
7
a)
∑2
i
b) (a+b)6
i =0
1
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MATHEMATIK I
Beweisprinzipien
Aufgabe 5)
Beweisen Sie mittels direktem Beweis folgende Sätze:
a) Satz:
Vor.: Sei m∈N. m2 sei durch 3 teilbar.
Beh: m ist durch 3 teilbar.
Beweis: (direkt)
b) Satz:
Beh.: Für alle n∈N gilt:
Beweis: (direkt)
n3 + 2 1
>
n5 + n n2
Aufgabe 6)
Beweisen Sie mittels indirektem Beweis folgende Sätze:
a) Satz:
Seien a > b, a,b ∈N .
Beh:
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Rat. Zahlen, Summen- und Produktzeichen, Binom. Formel,
Beweisprinzipien
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a−b
a
ist unkürzbar ⇒ ist unkürzbar
a+b
b
Beweis: (indirekt)
b) Satz:
Beh: Die Menge der positiven rationalen Zahlen hat kein Minimum.
Beweis: (indirekt)
Aufgabe 7)
Beweisen Sie mittels Vollständiger Induktion folgende Sätze:
n
a) Satz: Beh.: ∀n ≥ 1 : 1 + 3 + 5 + ... + 2 * n − 1 = ∑ (2i − 1) =n 2
i =1
b) Satz: Beh.: ∀n ∈ N : 2 n ≤ (n + 1)!
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