FUNKTIONALANALYSIS Carsten Schütt WS 2006/7 1. Eine

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1. Eine Teilmenge K eines topologischen Raumes heißt folgenkompakt,
wenn jede Folge in K eine Teilfolge enthält, die in K konvergiert.
Die Menge K heißt abzählbar kompakt, wenn jede unendliche Teilmenge
von K einen Häufungspunkt besitzt, der in K liegt.
In einem metrischen Raum sind äquivalent:
(i) Die Menge K ist kompakt.
(ii) Die Menge K ist abzählbar kompakt.
(iii) Die Menge K ist folgenkompakt.
2. Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Der Durchmesser einer Menge A
ist
d(A) = sup{d(x, y)|x, y ∈ A}
Eine Teilmenge heißt total beschränkt, wenn es zu jedem > 0 eine Überdeckung
von endlich vielen Mengen gibt, deren Durchmesser kleiner als ist.
Eine kompakte Teilmenge in einem metrischen Raum ist total beschränkt.
3. Es sei (X, TX ) ein kompakter, topologischer Raum, (Y, TY ) ein topologischer Hausdorff Raum und f : X → Y eine bijektive, stetige Abbildung.
Dann ist f −1 auch stetig.
Abgabe: Montag, 30.10.2006
1
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4. T sei die Topologie auf Rn , die von der Euklidischen Norm erzeugt wird
und S sei die Produkttopologie auf dem Rn , die von der üblichen Topologie
auf R erzeugt wird. Dann sind T und S gleich.
5. Eine Teilmenge eines metrischen Raumes ist genau dann kompakt,
wenn sie vollständig und total beschränkt ist.
6. (siehe Skript) Es sei C die Cantor-Menge, die mit der von R induzierten Topologie ausgestattet ist. Der zweielementige
Raum {0, 1} sei
mit der diskreten Topologie ausgestattet und n∈N {0, 1} = {0, 1}N mit der
Produkttopologie. Dann sind C und {0, 1}N homöomorph.
Insbesondere ist {0, 1}N kompakt.
Abgabe: Montag, 6.11.2006
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7. Jede stetige Abbildung eines kompakten metrischen Raumes in einen
metrischen Raum ist gleichmäßig stetig.
8. (i) Der Rn mit der üblichen Topologie ist ein topologischer Vektorraum
über dem Körper R.
(ii) Der Rn mit der Topologie T = {∅, Rn } ist ein topologischer Vektorraum
über dem Körper R.
9. (siehe Skript) Es sei I eine überabzählbare Menge und T = [0, 1]I mit
der Produkttopologie. Es sei
S = {t ∈ T |{ι|t(ι) = 0} ist abzählbar}
Die Menge S ist nicht kompakt, aber S ist folgenkompakt.
T = [0, 1]I ist nicht metrisierbar, d.h. es gibt keine Metrik, die die Topologie erzeugt.
Abgabe: Montag, 13.11.2006
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10. (siehe Skript) (i) [0, 1][0,1] mit der Produkttopologie ist kompakt, aber
nicht folgenkompakt.
(ii) {0, 1}[0,1] ist kompakt, aber nicht folgenkompakt.
(iii) [0, 1][0,1] und {0, 1}[0,1] sind nicht metrisierbar, d.h. es gibt keine Metrik,
die die Topologie erzeugt.
11. (i) Der Raum der stetigen Funktionen C[a, b] mit der Norm
f = max |f (x)|
x∈[a,b]
ist ein Banachraum.
(ii) Der Raum der beschränkten Folgen
∞ = {(xi )∞
i=1 | sup |xi | < ∞}
i∈N
mit der Norm
x∞ = sup |xi |
i∈N
ist ein Banachraum.
(iii) Der Raum aller konvergenten Folgen
c = {(xi )∞
i=1 | lim xi existiert}
i→∞
mit der Norm
x∞ = sup |xi |
i∈N
ist ein Banachraum. c ist ein abgeschlossener Teilraum von ∞ .
(iv) Der Raum aller gegen 0 konvergenten Folgen
c0 = {(xi )∞
i=1 | lim xi = 0}
i→∞
mit der Norm
x∞ = sup |xi |
i∈N
4
ist ein Banachraum. c ist ein abgeschlossener Teilraum von c und ∞ .
12. (Skript) Es sei C[0, 1] der Raum aller stetigen Funktionen f : [0, 1] →
R mit der Norm f = maxx∈[0,1] |f (x)|.
Eine Teilmenge F von C[0, 1] heißt gleichstetig, wenn für alle > 0 ein
δ > 0 existiert, so dass für alle x, y ∈ [0, 1] mit |x − y| < δ und für alle f ∈ F
|f (x) − f (y)| < gilt. Eine kompakte Teilmenge von C[0, 1] ist abgeschlossen, beschränkt und
gleichstetig.
Abgabe: Montag, 20.11.2006
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13. Es sei C[0, 1] der Raum aller stetigen Funktionen f : [0, 1] → R mit
der Norm f = maxx∈[0,1] |f (x)|.
(i) Ist die Menge fn , n = 0, 1, . . . , mit f0 = 0 und fn (x) = xn , n = 1, 2, . . .
kompakt?
(ii) Ist die Menge gn , n = 1, 2, . . . , mit gn (x) = sin nx kompakt?
(iii) Ist die abgeschlossene Einheitskugel {f | f ≤ 1} kompakt?
14. Es seien a ≥ 0, b ≥ 0 und 0 < t < 1. Es gilt genau dann
at b1−t = ta + (1 − t)b,
wenn a = b.
15. Es sei (Ω, A, µ) ein Maßraum.
(i) L∞ ist ein Banachraum.
(ii) Falls f und g messbare Funktionen sind, dann gilt
f g1 ≤ f 1 g∞
Es gilt genau dann Gleichheit, wenn auf der Menge {x| f (x) = 0} mit Ausnahme einer Nullmenge
|g(x)| = g∞
gilt.
Abgabe: Montag, 27.11.2006
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16. Es sei X ein normierter Raum und Y ein abgeschlossener Teilraum.
Dann ist die Quotientenabbildung Q : X → X/Y , Q(x) = [x], eine offene
Abbildung.
17. Es seien X, Y und Z Banachräume. Dann gilt
(i) K(X, Y ) ist ein abgeschlossener Teilraum von L(X, Y ).
(ii) Es seien T ∈ L(X, Y ) und S ∈ L(Y, Z). Falls T oder S kompakt ist,
dann ist auch S ◦ T kompakt.
18. Es seien X und Y Banachräume und T ∈ L(X, Y ). Es sei Tn ∈
L(X, Y ), so dass für alle n ∈ N das Bild von Tn endlich-dimensional ist und
Tn in der Norm gegen T konvergiert. Dann T ist kompakt.
Abgabe: Montag, 4.12.2006
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19. Auf jedem reellen, normierten, unendlichdimensionalen Raum gibt
es unstetige Funktionale.
20. Berechne die Normen der folgenden Funktionale auf C[−1, 1] mit der
Supremumsnorm.
1
1
(i) φ(f ) =
f (x)dx
(ii) φ(f ) =
sgn(x)f (x)dx
0
−1
1
f () + f (−) − 2f (0)
(iii) φ(f ) =
f (x)dx − f (0)
(iv) φ (f ) =
2
−1
1
∞
n
1
1
k
(−1)n
(v) φ(f ) =
f
f (x)dx −
f
(vi) φn (f ) =
2
n
n
2n + 1 k=−n
n
−1
n=1
21. Es sei P der Teilraum aller Polynome in C[0, 1] mit der Supremumsnorm. Welche der folgenden Funktionale auf P kann zu einem stetigen
Funktional auf C[0, 1] fortgesetzt werden? Es sei p(x) = nk=0 ak xk . Es sei
N ∈ N und c ∈ RN .
(i)
(ii)
φ(p) = a0
φ(p) =
n
ak
k=0
(iii)
φ(p) =
n
k
(−1) ak
k=0
(iv)
φ(p) =
N
k=0
Abgabe: Montag, 11.12.2006
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c k ak
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22. (Skript) Es sei L2 ([−1, 1]) der Raum aller quadratintegrierbaren
Funktionen bzgl. des Lebesgue Maßes. Für jede Zahl α sei Eα die Menge
aller stetigen Funktionen f auf [−1, 1] mit f (0) = α. Zeige, dass Eα konvex
ist und dicht in L2 ([−1, 1]) ist. Zeige weiter, dass Eα und Eβ für α = β zwei
disjunkte, konvexe Mengen sind, die sich nicht durch eine abgeschlossene
Hyperebene trennen lassen.
23. (Skript) Es seien
A = {x ∈ 1 | ∃n ∈ N ∀m > n : xm = 0 und xn > 0}
B = {x ∈ 1 | ∃n ∈ N ∀m > n : xm = 0 und xn < 0}
A und B sind disjunkte, konvexe Mengen, die durch keine abgeschlossene
Hyperebene getrennt werden können.
24. (Skript) Es seien a und b zwei nichtnegative, wachsende Folgen mit
limn→∞ bn = ∞ und an = 2n bn . Es seien A und B Teilmengen von 1 mit
A = {x| ∀n ≥ 2 : x(n) = 0}
und
B = {x| ∀n ≥ 2 : x(1) ≥ |an x(n) − bn |}
A und B sind abgeschlossene, unbeschränkte, konvexe, disjunkte Mengen.
Es gibt keine abgeschlossene Hyperebene, die diese beiden Mengen trennt,
d.h. es gibt kein stetiges Funktional φ mit φ = 0, so dass
sup φ(x) ≤ inf φ(x).
x∈B
x∈A
Abgabe: Montag, 18.12.2006
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25. Es sei P der Vektorraum aller Polynome einer reellen Veränderlichen.
Es sei A die Menge aller Polynome, deren Koeffizient der höchsten Potenz
strikt größer als 0 ist. B sei die Menge aller Polynome, deren Koeffizient
der höchsten Potenz strikt kleiner als 0 ist. Dann sind A und B disjunkte,
konvexe Mengen und sie lassen sich durch kein von 0 verschiedenes Funktional
trennen.
26. Das Funktional φ : C[0, 1] → R sei durch
1
2
φ(f ) =
f (t)dt −
0
1
f (t)dt
1
2
gegeben.
(i) Ist φ eine offene Abbildung?
(ii) Bildet φ abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen ab?
(iii) Nimmt φ das Supremum über der abgeschlossenen Einheitskugel an?
Wenn ja, für welchen Vektor?
(iv) Was ist das Bild der abgeschlossenen Einheitskugel unter der Quotientenabbildung q : C[0, 1] → C[0, 1]/ Kern φ ?
(v) Bildet die Quotientenabbildung q : C[0, 1] → C[0, 1]/ Kern φ abgeschlossene
Mengen auf abgeschlossene Mengen ab?
27. Zu jedem Banachraum X gibt es eine Menge I, so dass X isometrisch
isomorph zu einem Teilraum von
∞
(I) = x : I → R sup |x(i)| < ∞
i∈I
mit der Norm
x∞ = sup |x(i)|
i∈I
ist.
Abgabe: Montag, 8.1.2007
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28. Der Raum ∞ (I) hat die 1-Fortsetzungseigenschaft.
29. Ein Banachraum X hat genau dann die t-Fortsetzungseigenschaft,
wenn er die t-Projektionseigenschaft besitzt.
30. Es seien X und Y Banachräume und B : X × Y → R eine bilineare
Abbildung.
(i) B ist genau dann stetig, wenn B in (0, 0) stetig ist.
(ii) B ist genau dann stetig, wenn
B =
sup
x=y||=1
|B(x, y)| < ∞
(iii) B ist genau dann stetig, wenn es eine Konstante C gibt, so dass für alle
x ∈ X und alle y ∈ Y
|B(x, y)| ≤ Cxy
gilt.
(iv) B sei in x für festes y und in y für festes x stetig. Dann ist B stetig.
Abgabe: Montag, 15.1.2007
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31. Es sei X der Vektorraum aller reellen Polynome auf dem Intervall
[0, 1] mit der Norm
1
p =
|p(t)|dt
0
B : X × X → R sei durch
1
p(t)q(t)dt
B(p, q) =
0
gegeben. Dann ist B in den einzelnen Variablen stetig, aber nicht stetig.
32. Es seien X ein metrischer Raum und K ein kompakter, metrischer
Raum. Die Abbildung f : X → K besitze einen abgeschlossenen Graphen.
Dann ist f stetig.
Gilt die Aussage auch, wenn X kompakt ist, K aber nicht?
33. Ein Banachraum heißt separabel, wenn er eine abzählbare, dichte
Teilmenge enthält.
Welche der folgenden Banachräume sind separabel: p , 1 ≤ p ≤ ∞,
Lp [0, 1], 1 ≤ p ≤ ∞, C[0, 1] ?
Abgabe: Montag, 22.1.2007
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34. Ein Hilbertraum ist genau dann separabel, wenn alle Orthonormalbasen abzählbar sind.
35. 2 und L2 [0, 1] sind isometrisch isomorph.
36. (i) Für alle n ∈ N ist die Menge
En = {f ∈ C[0, 1]|∃x0 ∈ [0, 1]∀x ∈ [0, 1] : |f (x) − f (x0 )| ≤ n|x − x0 |}
in C[0, 1] nirgends dicht.
(ii) Die Menge der stetigen, nirgends differenzierbaren Funktionen sind
in C[0, 1] von 2. Kategorie.
(Hinweis: Man kann jede stetige Funktion f ∈ C[0, 1] gleichmäßig durch
stetige Funktionen g approximieren, die stückweise affin sind und deren Ableitung
entweder -2n oder 2n ist. Damit gilt für alle h, wobei g − h∞ hinreichend
klein ist, dass h ∈
/ En .)
Abgabe: Montag, 29.1.2007
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36. Der Dualraum von c0 ist isometrisch isomorph zu 1 und der Dualraum von 1 ist isometrisch isomorph zu ∞ .
c0 , 1 und ∞ sind nicht reflexiv.
∞
37. c0 ist nicht isomorph zu einem Dualraum.
(Hinweis: Benutze das Lemma von Dixmier und benutze, dass c0 nicht in
komplementiert ist.)
Abgabe: Montag, 5.2.2007
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38. (i) Die abgeschlossene Einheitskugel
von c0 ist nicht schwach kom
pakt. Zeige dazu, dass die Folge ni=1 ei , n ∈ N, kein konvergentes Teilnetz
besitzt.
(ii) Die abgeschlossene Einheitskugel von 1 ist nicht schwach kompakt.
Zeige dazu, dass die Folge en , n ∈ N, kein konvergentes Teilnetz besitzt.
39. Die abgeschlossene Einheitskugel von ∞ (R) ist schwach* kompakt,
aber nicht schwach* folgenkompakt.
Insbesondere besitzt jede Folge in der abgeschlossenen Einheitskugel von
∞ (R) ein konvergentes Teilnetz.
40. Es sei en , n ∈ N, die Einheitsvektoren in 2 und
A = {em + men | 1 ≤ m < n < ∞}
schw
Dann liegt 0 im schwachen Abschluss der Menge A, 0 ∈ A
keine Folge in A, die schwach gegen 0 konvergiert.
Abgabe: Montag, 16.4.2007
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, aber es gibt
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41. Ein Banachraum ist genau dann in der schwachen Topologie vollständig,
wenn er endlich-dimensional ist.
42. Die schwache Topologie eines Banachraumes ist genau dann metrisierbar, wenn der Raum endlich-dimensional ist.
43. Jeder uniform konvexe Raum ist strikt konvex.
Abgabe: Montag, 23.4.2007
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44. (i) Es sei H ein unendlich dimensionaler Hilbertraum. Das Skalarprodukt < ·, · >: (H, Tschw ) × (H, Tschw ) → R ist in den beiden Variablen separat
stetig, aber nicht stetig.
(ii) Es sei X ein unendlich dimensionaler normierter Raum. Die bilineare
Abbildung B : (X ∗ , Tschw* ) × (X, Tschw ) → R mi
B(x∗ , x) = x∗ (x)
ist in bei den Variablen separat stetig, aber nicht stetig.
45. Es sei K ein kompakter Hausdorff Raum, f ∈ C(K) und fn ∈ C(K),
n ∈ N. Die Folge fn , n ∈ N, konvergiert genau dann in der schwachen
Topologie gegen f , wenn
sup fn < ∞
∀x ∈ K : lim fn (x) = f (x)
n→∞
n∈N
46. Es sei 1 < p < ∞. Eine Folge von Vektoren xn , n ∈ N, in p
konvergiert genau dann gegen einen Vektor x in der schwachen Topologie,
wenn die Folge xn , n ∈ N, beschränkt ist und wenn für alle k ∈ N
lim xn (k) = x(k)
n→∞
gilt.
Abgabe: Montag, 30.4.2007
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47. Es sei 1 < p < ∞ und Lp [0, 1] sei mit dem Lebesgue Maß ausgestattet.
Eine Folge fn , n ∈ N, konvergiert genau dann in Lp [0, 1] schwach gegen f ,
wenn es eine Konstante C gibt, so dass supn∈N fn ≤ C und wenn für alle
x ∈ [0, 1]
x
lim
n→∞
x
fn (t)dt =
0
fn (t)dt
0
Konvergiert die Folge fn (t) = sin(2πnt), n ∈ N in der schwachen Topologie?
Konvergiert sie in der Norm-Topologie?
48. (i) Jeder Punkt des Randes der abgeschlossenen Einheitskugel Bp
von p , 1 < p < ∞, ist Extremalpunkt.
(ii) Die Extremalpunkte von B1 sind
{±en | n ∈ N}
B1 ist die abgeschlossene, konvexe Hülle ihrer Extremalpunkte.
(iii) Bc0 besitzt keine Extremalpunkte. Insbesondere ist c0 nicht isometrisch
isomorph zu einem Dualraum.
Man kann sogar zeigen, dass c0 nicht isomorph zu einem Dualraum ist.
(iv) BL1 [0,1] besitzt keine Extremalpunkte. Insbesondere ist L1 [0, 1] nicht
isometrisch isomorph zu einem Dualraum.
Abgabe: Montag, 7.5.2007
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49. (i) Es sei K ein kompakter Hausdorff Raum. f ist genau dann ein
Extremalpunkt der abgeschlossenen Einheitskugel von C(K), wenn |f | =
1. Falls K zusammenhängend ist, dann sind 1 und −1 die einzigen Extremalpunkte.
Die Extremalpunkte von BC[a,b] sind die konstanten Funktionen 1 und
−1. Insbesondere ist C[a, b] nicht isometrisch isomorph zu einem Dualraum.
(ii) Die Extremalpunkte von B∞ sind
{((n))n∈N | (n) = ±1}
(iii) Es sei K ein kompakter Hausdorff Raum. Dann sind die Punktmaße
±δx , x ∈ K, die Extremalpunkte von der Einheitskugel in C(K)∗ .
Hinweis: Verwende bei (iii) den Darstellungssatz von Riesz.
Abgabe: Montag, 14.5.2007
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50. Falls X endlich-dimensional ist, dann ist σ(T ) gleich der Menge der
Eigenwerte.
51. Es sei S : 1 → 1 durch S(x(1), x(2), . . . ) = (x(2), x(3), . . . )
definiert. S wird als Shiftoperator bezeichnet. Es gilt
σc (S) = {−1, 1}
σp (S) = (−1, 1)
σr (S) = ∅
und der Spektralradius von S ist 1.
Die adjungierte Abbildung S ∗ : ∞ → ∞ ist durch S ∗ (y(1), y(2), . . . ) =
(0, y(1), y(2), . . . ) gegeben. Es gilt
σp (S ∗ ) = ∅
σc (S ∗ ) = ∅
σr (S ∗ ) = [−1, 1]
52. (i) Es sei T : C[0, 1] → C[0, 1] durch
s
f (t)dt
T f (s) =
0
gegeben. Dann gilt
σp (T ) = ∅
σc (T ) = ∅
σr (T ) = {0}
(ii) Es sei X der Teilraum von C[0, 1] mit f (0) = 0 und T dieselbe Abbildung
wie in (i). Dann gilt
σp (T ) = ∅
σc (T ) = {0}
Abgabe: Montag, 21.5.2007
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σr (T ) = ∅
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53. Es sei X der Raum aller beschränkten Funktionen f : [0, 1] → R, die
in 0 und 1 stetig sind und f (0) = 0 erfüllen. X sei mit der Supremumsnorm
ausgestattet. Es sei T : X → X durch (T f )(t) = tx(t) definiert. Dann gilt
σc (T ) = {0}
σp (T ) = (0, 1)
σr (T ) = {1}
54. (i) Es sei T : C[0, 1] → C[0, 1] durch
s
f (t)dt
T f (s) =
0
gegeben. Dann ist T ein kompakter Operator und es gilt
σp (T ) = ∅
σc (T ) = ∅
σr (T ) = {0}
(ii) Es sei k ∈ L2 [0, 1]2 und Tk : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] sei durch
1
k(s, t)f (t)dt
Tk f (s) =
0
gegeben. Dann gilt Tk ≤ k und Tk ist kompakt.
(iii) (Volterra) Es sei k ∈ C[0, 1]2 und Tk : C[0, 1] → C[0, 1] sei durch
s
k(s, t)f (t)dt
Tk f (s) =
0
gegeben. Dann ist Tk ist kompakt. Der Spektralradius ist 0. Weiter gilt
σ(T ) = {0}
Abgabe: Dienstag, 29.5.2007
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55. Ist der Shift Operator S : 2 → 2 , S(x(1), x(2), . . . ) = (x(2), x(3), . . . ),
ein Fredholm Operator?
56. Es sei H ein Hilbertraum und T : H → H ein symmetrischer Operator, d.h. für alle x, y ∈ H gilt
< T x, y >=< x, T y >
Dann ist T stetig.
57. Es sei
√
1−z =
√
die Potenzreihenentwicklung von
∞
cn z n
n=0
1 − z. Dann gilt
(i) c0 = 1, c1 = − 12 und für n ≥ 2
cn =
(ii)
1 · 3 · 5 · · · (2n − 3)
2n n!
∞
|cn | < ∞
n=0
(iii) c0 = 1, 2c0 c1 = 1 und
n
ci cn−i = 0
i=0
(iv)
∞
cn = 0
n=0
Abgabe: Dienstag, 4.6.2007
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58. Der Produktsatz von Cauchy gilt auch für Operatoren.
59. Es sei ∂B23 der Rand der Euklidischen Einheitskugel im R3 und σ2 das
normalisierte Oberflächenmaß auf ∂B23 . Die Abbildung T : L2 (∂B23 , σ2 ) →
L2 (∂B23 , σ2 ) sei durch
e<ξ,η> f (ξ)dσ2 (ξ)
T f (η) =
∂B23
Ist T ein kompakt? Ist T selbstadjungiert? Berechne die Norm von T .
Berechne die Hilbert Schmidt Norm von T .
Abgabe: Montag, 2.7.2007
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60. Es sei H ein separabler Hilbertraum und T : H → H ein kompakter
Operator. Dann ist
∞
< φn , T φn >
n=1
für alle vollständigen Orthonormalsysteme gleich.
Man nennt die Zahl die Spur von T und bezeichnet den Ausdruck mit
tr(T ).
61. Es sei λn , n ∈ N, eine Folge komplexer Zahlen mit
sup |λn | < ∞
n∈N
Die Abbildung Mλ : 2 → 2 sei durch
Mλ (x) = (λn x(n))∞
n=1
gegeben. (Eine solche Abbildung heißt Multiplikator-Abbildung.)
(i) Berechne die Norm von Mλ .
(ii) Berechne Mλ∗ und zeige, dass Mλ genau dann selbstadjungiert ist, wenn
die Folge λ reell ist.
√
(iii) Mλ ist genau dann positiv, wenn die Folge λ positiv ist. Berechne Mλ ,
in dem Fall, dass Mλ positiv ist.
(iv) Berechne |Mλ |.
Abgabe: Montag, 9.7.2007
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