1. Musterlösung

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Kommunikationstechnik II – Wintersemester 08/09
Prof. Dr. Stefan Weinzierl
Musterlösung: 1. Aufgabenblatt
Lösung in der Rechenübung am 4.11.2008
1. Aufgabe: Amplitudenstatistik
Darstellung stochastischer Signale1
Die Zufallsvariable X(ω) ordnet die Werte ω der Ergebnismenge Ω = {ω: ω1...ωκ} einer
reellen Zahl zu.
Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Amplitude xi in einem Signal
X sei die Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariable P(X). Gibt es nur diskrete Ausprägungen der Zufallsvariable kann die Auftretenswahrscheinlichkeit pi explizit angegeben werden:
pi = P(X = x i )
(1)
Die Verteilungsfunktion, definiert als
!
!
FX (x) = P(X " x) ,
(2)
ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Zahlenwert x nicht überschreitet.
FX(x) ist immer monoton steigend, für diskrete Zufallsvariablen eine Treppenfunktion.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (auch Amplitudendichteverteilung oder Verteilungsdichtefunktion) gibt die Verteilung der Auftretenswahrscheinlichkeiten der Realisierungen der Zufallsvariablen an. Sie ist als Ableitung der Verteilungsfunktion definiert:
dF (x)
(3)
pX (x) = X
dx
Für diskrete X gilt:
N
!
pX (x) = " pk # $ (x % x k )
(4)
k=1
pX(x) hat damit die Form einer Folge Deltapeaks, gewichtet mit den Einzelwahrscheinlichkeiten.
!
Im Falle kontinuierlicher Zufallsvariablen, wie es die Schalldruckamplituden eines
analogen Audiosignals sind, kann dem Auftreten eines bestimmten Amplitudenwertes keine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden.
In Konsequenz beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion jetzt die Amplituden
in der Form:
1
siehe auch: Noll P (2005) Nachrichtenübertragung I. Skript zur Vorlesung. TU Berlin, Institut für Telekommunikationssysteme
b
P(a < X " b) =
#p
X
(x)dx
(5)
a
mit pX (x) als kontinuierliche Funktion
Dabei muss die Gesamtfläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p x (x)
immer gleich 1 sein:
!
!
#
$ p (x)dx = 1
x
(6)
"#
Beispiele verschiedener WDFs:
!
Abbildung 1: Verteilungsdichtefunktionen: U = Gleich-, L = Laplace-, G = Gauß-/Normal-, Γ = Gammaverteilung (Quelle: Noll (2005))
a)
Geben Sie die Amplituden der ersten 10 samples für den rechten und linken
Kanal aus.
clear all; close all; clc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Musterlösung zum 1. Aufgabenblatt
%
%
%
%-------------------------------------------------------------------------%
% Aufgabe 1 Amplitudenstatistik
y = wavread('test');
figure
plot (y)
Abbildung 2: Zeitsignal von test.wav
%-------------------------------------------------------------------------%
% Aufgabe a)
% Amplituden der ersten 10 samples des rechten und linken Kanals ausgeben
links_10 = y(1:10,1)
rechts_10 = y(1:10,2)
%-------------------------------------------------------------------------%
% Aufgabe b)
% WDFs der Amplituden beider Audiokanäle berechnen
% normiere Fläche der WDF auf 1=100%
% Schätze WDF durch Auszählung der Amplitudenanzahl innerhalb
% diskreter Intervalle -->Histogramm
nbins = 100; % Intervallanzahl
[anzahl,intervallmitte] = hist(y,nbins);
figure
hist(y,nbins),grid on
% --> zeigt Anzahl der Treffer in den 100 äqid. Intervallen
% zwischen Max und Min von y
Abbildung 3: Histogramm eines Audiosignals
% normiere Fläche des Histogramms auf 1:
% Dazu dividiere Anzahl pro bin durch Gesamtanzahl der Samples UND (!)
% Intervallbreite der Histogrammbalken
intervallbreite = ( max(max(y)) + abs(min(min(y))) ) / nbins;
wdf = anzahl / sum(anzahl(:,1)) * (1/intervallbreite);
% Plot
figure
plot(intervallmitte,wdf), title('WDF linker und rechter Kanal'),
xlabel('Signalamplituden'),axis([-1 1 0 4]),ylabel('WDF (Schätzung)')
grid on
Abbildung 4: Geschätzte WDF eines Audiosignals
%-------------------------------------------------------------------------%
% Aufgabe c)
% Plotte WDFs von Sinuston(1 Periode/1000 samples) und weißem Rauschen(10
sec)
fs = 44100; % Abtasfrequenz für die Signale festlegen (beliebig)
%Sinus: eine Periode mit 1000 samples pro Periode
t = 0 : 1/fs : 1-1/fs;
% eine Periode dauert 1 sec
f = 44.1;
% f = 44100 / 1000
sinus = sin(2*pi*f*t);
%Rauschen: 10 sec
noise = (rand(10*fs,1)-0.5)*2;
liert
%Rauschen auf den Wertebereich [-1;1] ska-
%errechne WDFs beider Signale (analog zu Aufgabe b))
nbins = 100;
[anzahl_sinus,sinus_mitte] = hist(sinus,nbins);
[anzahl_noise,noise_mitte] = hist(noise,nbins);
% Normierung:
intervallbreite_sinus = ( max(sinus) + abs(min(sinus)) ) / nbins;
intervallbreite_noise = ( max(noise) + abs(min(noise)) ) / nbins;
wdf_sinus =anzahl_sinus/sum(anzahl_sinus) * (1/intervallbreite_sinus);
wdf_noise =anzahl_noise/sum(anzahl_noise) * (1/intervallbreite_noise);
%Plots
figure
subplot(2,1,1),plot(sinus_mitte,wdf_sinus),
title('WDF einer Sinusperiode'),xlabel('Signalamplituden'),
axis([-1 1 0 4]),ylabel('wdf')
subplot(2,1,2),plot(noise_mitte,wdf_noise),
title('WDF 10 Sek. weisses Rauschen'),xlabel('Signalamplituden'),
axis([-1 1 0 1]),ylabel('wdf')
%Audiowiedergabe
sound(sinus,fs);
pause (1)
sound(noise,fs);
Abbildung 5: Geschätzte WDF einer Sinusperiode (oben) und von Rauschen (unten)
2. Aufgabe: Varianz
Erwartungswerte
Die WDF eines Audiosignals gibt Informationen über die Verteilung der Amplituden,
liefert aber keine Hinweise über ihren Verlauf. Mit Hilfe von Mittelungen wird der so
genannte Erwartungswert gebildet:
#
E{ X} =
$ xp
X
(7)
(x)dx = µX
"#
!
Es wird also gemittelt über die (unendlich vielen) Signalamplituden gewichtet mit Ihrer WDF, was dem arithmetischen Mittelwert µX entspricht. Dieser gibt den Schwerpunkt der Verteilungsdichtefunktion an, die Varianz σ2X beschreibt die Streuung um
den Mittelwert. Der quadratische Mittelwert ist ein Maß für die Leistung.
Eine Zufallsvariable X habe die Amplitudendichteverteilung px(x) = 1 im Bereich
0 ≤ x ≤ 1 und px(x) = 0 sonst. Berechnen Sie die Varianz der Zufallsvariablen.
$
2
X
" =
%
$
2
x # µX pX (x)dx =
#$
%x
$
2
pX (x)dx #
#$
%µ
#$
$
2
X
pX (x)dx = E { X
2
$
2
X
} # 2µX % x pX (x)dx + µ % pX (x)dx
14243
#$
= µX
= E{ X
!
!
2
} " 2µ
2
X
2
X
+ µ = E{ X
µX =
$ xp
"#
!
}"µ
=1
2
X
Somit können der quadratische Mittelwert und der arithmetische Mittelwert getrennt
berechnet und anschließend subtrahiert werden (Verschiebungsatz).
1
#
1
1 3
1
2
2
2
E { X } = $ x pX (x)dx = $ x pX (x)dx = x =
3 0 3
"#
0
1
#
!
2
14243
#$
X
(x)dx =
$
0
1
1
1
x pX (x)dx = x 2 =
2 0 2
" X2 =
!
2
1 $1'
4 3 1
#& ) = # =
3 % 2 ( 12 12 12
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