Mus sterlösung - Cadmo

ETH Zürich
Institut für Theoretische Informatik
Prof. Dr. Angelika Steger
Dr. Uli Wagner
HS 2011
Lösungsvorschlag zur Zusatzserie
Diskrete Mathematik (D-ITET)
Aufgabe 1
(a) Zunächst reduzieren wir die Basis und erhalten 18551777 ≡ 121777 mod 19.
Da 19 eine Primzahl ist, ist ϕ(19) = 19 − 1 = 18. Nach dem Satz von Euler-Fermat ist
a18 ≡ 1 mod 19 für jedes zu 19 teilerfremde a ∈ Z. Daher schreiben wir den Exponenten als
1777 = 98 · 18 + 13 und folgern weiter:
18 98
13
13
121777 ≡ 1298·18+13 ≡ (12
|{z}) · 12 ≡ 12 mod 19.
≡1
Um den verbleibenden Ausdruck effizient auszurechnen, schreiben wir den Exponenten 13 als
Summe von Zweierpotenzen: 13 = 8 + 4 + 1. Nun nutzen wir aus, dass wir Terme der Form
k
a2 schnell durch wiederholtes Quadrieren ausrechnen können:
121
122
124
128
≡ (122 )2
≡ (124 )2
≡ 112
≡ 72
≡
≡
≡
(−7)2
(−8)2
≡
≡ 49 ≡
≡ 64 ≡
49 ≡
12
11
7
11
mod 19
mod 19
mod 19
mod 19
Wir erhalten also insgesamt
18551777 ≡ 1213 = 128 · 124 · 121 ≡ 11
| {z· 7} ·12 ≡ 12 mod 19.
≡1
(b) Offenbar ist an = 10n −1. Wir müssen daher ein n finden, für das 10n −1 ≡ 0 mod 539.539 gilt.
Nach dem Satz von Euler-Fermat ist das der Fall für n = ϕ(539.539) = 6·72 ·10·11·12 = 388.080.
(Zur Berechnung von ϕ(n) siehe Skript S.59.)
Aufgabe 2
(a) Wir benutzen zunächst den erweiterten Euklidischen Algorithmus, um eine ganzzahlige Lösung
der Gleichung 21x + 76y = 1 zu finden. Solche Lösungen existieren, weil die Zahlen 21 und 76
teilerfremd sind. Wir erhalten x = −47 und y = 13.
Nun betrachten wir die Gleichung 21x + 76y = 1 modulo 76 und stellen fest, dass sie sich
zu 21x ≡ 1 mod 76 vereinfacht. Daher ist das vorher berechnete x ≡ −47 ≡ 29 mod 76 das
multiplikative Inverse von 21 mod 76.
(b) Die letzten drei Ziffern einer Zahl erhält man, indem man die Zahl modulo 1000 reduziert.
Wir wollen daher 7999.999 mod 1000 ausrechnen.
Wie im Hinweis angegeben, berechnen wir zunächst 71.000.000 mod 1000. Dazu bestimmen wir
ϕ(1000). Die Primfaktorzerlegung von 1000 ist 1000 = 23 · 53 . Laut der Formel zur Berechnung
der ϕ-Funktion (Skript S. 59) ist daher ϕ(1000) = (2 − 1) · 22 · (5 − 1) · 52 = 400.
400 2500
Nach dem Satz von Euler-Fermat ist daher b ≡ 71.000.000 ≡ (7
≡ 1 mod 1000.
|{z})
≡1
1
Sei a das Inverse von 7 in Z∗1000 . Dieses existiert, da 7 und 1000 teilerfremd sind. Um 7999.999 mod
1000 zu bestimmen, bemerken wir zunächst, dass
7 · a ≡ b ≡ 1 mod 1000
gilt. Daher ist a das Inverse von 7 modulo 1000.
Es bleibt also nur noch übrig, den Wert des Inversen von 7 zu bestimmen. Dazu gehen wir wie
in Teil (a) vor. Wir bestimmen also eine ganzzahlige Lösung der Gleichung 7x + 1000y = 1.
Der erweiterte Euklidische Algorithmus liefert die Lösung (x, y) = (143, −1). Betrachten wir
die Gleichung nun modulo 1000, so ergibt sich 7 · 143 ≡ 1 mod 1000. Daher ist 143 das Inverse
von 7 in Z∗1000 .
Die Zahl 7999.999 endet daher auf die Ziffern ...143.
Aufgabe 3
Vorüberlegung: Seien b1 , . . . , bk und m1 , . . . , mk natürliche Zahlen, und sei m = m1 · . . . · mk . Hat
man eine Zahl x, die das System von Kongruenzen x ≡ bi mod mi für alle 1 ≤ i ≤ k erfüllt, so
erfüllt offenbar auch jede Zahl x + km, k ∈ Z dieselben Kongruenzen. Daher ist es ausreichend,
alle Lösungen in Zm zu bestimmen.
Daher kann man den chinesischen Restsatz auch wie folgt formulieren:
Sind in obiger Situation die mi paarweise teilerfremd, dann gibt es ein x0 ∈ Zm , sodass die
Lösungen des Kongruenzsystems x ≡ bi mod mi , 1 ≤ i ≤ k genau diejenigen x sind, für die
x ≡ x0 mod m gilt.
Man kann also ein System von Kongruenzen durch eine einzelne Kongruenz ersetzen und umgekehrt.
(a) Wir bestimmen zunächst x1 wie im Hinweis angegeben. Laut Hinweis soll x1 ein Vielfaches
von 12 sein. Da ausserdem x1 + |{z}
x2 ≡ 2 mod 17 sein soll, muss x1 ≡ 2 mod 17 sein. Solche
≡0
eine Zahl können wir mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus finden. Schreiben wir x1
nämlich als 12a, so müssen wir ein a finden, sodass
12a + 17b = 2
für irgendein b ∈ Z gilt. Mit Hilfe des erweiterten Euklidischen Algorithmus finden wir a = −14,
b = 10, und damit x1 = −168. Analog finden wir x2 = 510. Aufgrund der Konstruktion von
x1 und x2 ist nun x = x1 + x2 = 342 eine Lösung des Kongruenzsystems.
Wegen der Vorüberlegung sind die Lösungen des Kongruenzsystems daher genau die Zahlen
der Form x = 138 + k · 204, mit k ∈ Z.
(b) Aufgrund der Vorüberlegung erfüllt eine ganze Zahl x genau dann x ≡ 5 mod 18, wenn sie
simultan die Bedingungen x ≡ 5 mod 9 und x ≡ 5 mod 2 erfüllt. (Anwendung des chinesischen
Restsatzes mit m1 = 9, m2 = 2 und m = 18.) Ebenso erfüllt x genau dann x ≡ 2 mod 15,
wenn simultan x ≡ 2 mod 3 und x ≡ 2 mod 5 gilt.
Wir haben daher das äquivalente Kongruenzsystem
x
≡ 5 (mod 9),
x
≡ 5 (mod 2),
x
≡ 2 (mod 3),
x
≡ 2 (mod 5).
2
Nun wird die dritte Kongruenz aber von der ersten impliziert. Daher ist sie überflüssig und
kann weggelassen werden. Wir erhalten also
x
≡ 5 (mod 9),
x
≡ 5 (mod 2),
x
≡ 2 (mod 5).
Nun kehren wir den chinesischen Restsatz wieder um, und fassen die erste Gleichung zu einer
einzigen zusammen. Wir erhalten das äquivalente Kongruenzsystem
x ≡
5 (mod 18),
x ≡
2 (mod 5).
Da 5 und 18 teilerfremd sind, sind wir wieder in der Situation von (a). Wir suchen daher ein
x1 ∈ Z mit der Eigenschaft x1 ≡ 0 mod 18 und x1 ≡ 2 mod 5. Schreiben wir x1 = 18a, so
suchen wir also a, b ∈ Z mit 18a+5b = 2. Mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus finden
wir die Lösung a = 4, b = −14, und somit x1 = 72. Analog finden wir die Zahl x2 = −175 mit
der Eigenschaft x2 ≡ 5 mod 18 und x2 ≡ 0 mod 5. Aufgrund der Konstruktion von x1 und x2
ist x = x1 + x2 = −103 eine Lösung des Kongruenzsystems.
Nach dem chinesischen Restsatz können wir das Kongruenzsystem daher durch eine einzige
Kongruenz x ≡ −103 mod 90 ersetzen. Die Lösungen sind daher alle Zahlen der Form −103 +
k · 90, wobei k die ganzen Zahlen durchläuft. Äquivalent kann man die Lösungen auch in der
Form −13 + k · 90 oder 77 + k · 90 angeben.
Aufgabe 4
1. Z∗8 hat vier Elemente, 1, 3, 5, und 7. Jede Untergruppe muss eine Kardinalität haben, die ein
Teiler von 4 ist. Da jede Untergruppe die 1 enthält, gibt es genau eine Untergruppe U = {1}
mit einem Element, und höchstens drei Untergruppen mit 2 Elementen. Da die Elemente 3,
5 und 7 alle Ordnung 2 haben, bilden die Mengen {1, 3}, {1, 5} und {1, 7} auch tatsächlich
Untergruppen. Schliesslilch gibt es offenbar auch genau eine Untergruppe mit vier Elementen,
U = Z∗8 .
2. Eine Untergruppe U , die das Element 6 enthält, muss auch alle Vielfachen von 6 enthalten,
also 0, 6, 12 und 18. Damit kann der Index von U in Z24 nur 1, 2, 3, 4 oder 6 sein, was jeweils
einer Kardinalität von 24, 12, 8, 6 und 4 für U entspricht. U kann aber nicht Kardinalität 6
haben, da es ein Element der Ordnung 4 enthält, und die Kardinalität damit ein Vielfaches
von 4 ist.
Für die Kardinalitäten 4 und 24 gibt es jeweils trivialerweise nur eine Möglichkeit, nämlich
U = {0, 6, 12, 18} bzw. Z24 . Ist die Kardinalität 8, so muss die Ordnung aller Elemente in U
ein Teiler von 8 sein. In Z24 gibt es nur 8 Elemente, die diese Bedingung erfüllen, nämlich
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18 und 21. Sie müssen daher allesamt in U enthalten sein, und tatsächlich
bilden diese 8 Elemente eine Untergruppe. Für eine Kardinalität von 12 sieht man mit dem
gleichen Argument, dass U die Elemente 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 und 22 enthalten
muss, und dass diese Elemente tatsächlich eine Untergruppe bilden.
Zur Übersicht gibt die folgenden Tabelle die Ordnung für jedes Element von Z24 an. Beachten
Sie, dass die Ordnung von a ∈ Z24 gerade das kleinste n ∈ N ist, für das a · n durch 24 teilbar
ist.
a
ord(a)
0
1
±1
24
±2
12
±3
8
±4
6
±5
24
±6
4
±7
24
±8
3
±9
8
± 10
12
± 11
24
12
2
3. Eine Untergruppe U , die π enthält, muss auch alle Potenzen von π enthalten, also π 2 = (132)
und π 3 = (1)(2)(3) = id. Da S3 aber 6 Elemente hat, kann U damit nach dem Satz von
3
Lagrange nur 3 oder 6 Elemente enthalten, und es verbleiben nur die Möglichkeiten U =
{π, π 2 , id} oder U = S3 . Beides sind auch tatsächlich Untergruppen.
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