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Was ist Logik?
Was ist Logik?
• Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie
• Sprache zur Darstellung von Wissen, Problemen,
Lösungen
• Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet
• Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere
Aussagen ableiten kann
• Beschränkung auf "folgt notwendigerweise"
• Ableitung von Aussagen aus anderen
• Logik als Grundlage für andere Gebiete: Mathematik,
Informatik, künstliche Intelligenz
Wenn es regnet, dann wird die Strasse nass.
Es regnet.
---------------------------Die Strasse wird nass.
• Logik zur Darstellung der Semantik natürlicher und
künstlicher Sprachen
Vögel können fliegen.
Tweetie ist ein Vogel.
---------------------------Tweetie kann fliegen.
• Logik als Modell für menschliches Denken
• verallgemeinert zur universellen Schlussregel (modus
ponens):
Wenn A, dann B.
A
---------------------------B
• andere Logiken
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Aussagenlogik
Wahrheitstabellen
• atomare Sätze (Aussagen)
Negation
"Die Sonne scheint."
P
W
F
"Es regnet."
• atomare Sätze können wahr (W) oder falsch (F) sein
¬P
F
W
Konjunktion
• durch logische Operatoren zusammengesetzte Sätze
"Die Sonne scheint." ∨ "Es regnet."
• Wahrheitwert zusammengesetzter Sätze wird eindeutig
aus den Wahrheitwerten der Komponenten bestimmt
P
W
W
F
F
Q
W
F
W
F
P∧Q
W
F
F
F
Q
W
F
W
F
P∨Q
W
W
W
F
• Aussagen werden durch Grossbuchstaben bezeichnet
Disjunktion
P
W
W
F
F
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Wahrheitstabellen
Vorrangsregeln
Implikation
• zusammengesetzte Ausdrücke mit
Operatoren brauchen Vorrangsregeln
P
W
W
F
F
F⇒Q
Q
W
F
W
F
P⇒Q
W
F
W
W
• Reihenfolge:
Negation vor Konjunktion vor Disjunktion vor
Implikation/Äquivalenz
"ex falso quodlibet"
• im Zweifelsfall Klammern setzen
Äquivalenz
P
W
W
F
F
Q
W
F
W
F
mehreren
• Beispiel
A ∧ ¬B ∨ C ⇒ D ⇔ (((A ∧ (¬B)) ∨ C) ⇒ D)
P⇔Q
W
F
F
W
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Wahrheit
Umformungen
• Tautologien sind Aussagen, die immer wahr sind
P ∨ ¬P
• de Morgan Regeln
¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q
¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q
• Kontradiktionen sind Aussagen, die immer falsch sind
P ∧ ¬P
• Implikation kann durch Negation und Disjunktion
ausgedrückt werden
(P ⇒ Q) ⇔ ¬P ∨ Q
• Tautologie und Kontradiktion
Eine Aussage ist genau dann eine Kontradiktion, wenn
ihre Negation eine Tautologie ist.
• Aussagen sind erfüllbar, wenn sie durch eine Belegung
mit Wahrheitwerten wahr gemacht werden können
P∨Q
• Aussagen sind widerlegbar, wenn sie durch eine
Belegung mit Wahrheitwerten falsch gemacht werden
können
P∨Q
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• ähnlich können
Implikation durch Negation und Konjunktion
Äquivalenz durch Negation, Konjunktion und
Disjunktion
Äquivalenz durch Implikation und Konjunktion
• logische Operatoren sind nicht unabhängig; was
braucht man mindestens?
• adäquate Mengen von Operatoren:
{¬, ∨}
{¬, ∧}
{nand}
P nand Q ⇔ ¬ (P ∧ Q)
{nor}
P nor Q ⇔ ¬ (P ∨ Q)
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Implikation und Äquivalenz
Syntax der Aussagenlogik
• P ⇒ Q sei wahr
• Sprache LA der Aussagenlogik
• Wenn P wahr ist, dann muss auch Q wahr sein.
• rekursive Definition der wohlgeformten Aussagen
(Formeln) der Aussagenlogik
• Wenn P falsch ist, dann kann Q wahr oder falsch sein.
1. Die Buchstaben A, ..., Z (möglicherweise mit Indizes)
sind wohlgeformte atomare Aussagen; ebenso die
logischen Konstanten t und f .
• P wird als stärker, Q als schwächer bezeichnet.
• W ist die schwächste Aussage, F die stärkste.
2. Wenn P und Q wohlgeformt sind, dann auch
•F⇒ W
• In P ⇒ Q wird P hinreichende Voraussetzung für Q
genannt, Q notwendige Bedingung für P.
• In P ⇔ Q wird P h i n r e i c h e n d e und n o t w e n d i g e
Bedingung für Q genannt.
(¬ P )
(P ∧ Q)
(P ∨ Q)
(P ⇒ Q)
(P ⇔ Q)
P und Q sind Variablen, die für Aussagen stehen.
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Deduktion in der Aussagenlogik
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Deduktion in der Aussagenlogik
• mechanische Herleitung von Zeichenketten aus
anderen Zeichenketten
• Axiome (Tautologien)
t
((¬ f) ⇒ t)
( t ⇒ (¬ f))
• Axiomenschemata zur Gewinnung neuer Axiome
(P ⇒ (Q ⇒ P))
(((P ⇒ Q) ⇒ P) ⇒ P)
...
(P ⇒ (P ∨ Q))
(Q ⇒ (P ∨ Q))
...
(t ⇒ (P ∨ ( ¬P)))
((P ∨ ( ¬P)) ⇒ t)
(f ⇒ (P ∧ ( ¬P)))
((P ∧ ( ¬P)) ⇒ f)
...
((P ⇔ Q) ⇒ (P ⇒ Q))
((P ⇔ Q) ⇒ (Q ⇒ P))
...
• Schlussregeln (Inferenzregeln)
(P ⇒ Q) ⇒ (¬Q ⇒ ¬P)
Modus Ponens:
Aus P und (P ⇒ Q) schliesse Q.
(P ⇒ (¬( ¬P)))
((¬( ¬P)) ⇒ P)
...
• Andere Herleitungssysteme
((P ∧ Q) ⇒ P)
((P ∧ Q) ⇒ Q)
nichtlogische Axiome, die einen Anwendungsbereich
beschreiben und keine Tautologien sind
...
natürliche Deduktion
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Deduktion in der Aussagenlogik
Deduktionstheorem
• W ⊆ LA sei eine Menge wohlgeformter Formeln
• Deduktionstheorem
• M W ⊆ LA die Menge aller unter der Voraussetzung von
W herleitbaren Formeln besteht aus
W ⊆ LA sei eine Menge wohlgeformter Formeln
P, Q wohlgeformte Formeln
W
dann gilt:
allen Axiomen
W ∪ {P} |− Q genau dann, wenn W |− (P ⇒ Q)
allen aus den Axiomenschemata gewonnenen
Formeln
• Spezialfall
allen durch die Schlussregel abgeleiteten Formeln, d.h.
sind P und (P ⇒ Q ) unter der Voraussetzung W
ableitbar, dann ist auch Q unter der Voraussetzung
ableitbar
W ∪ {¬P} |− f
keinen weiteren Formeln
d.h.
genau dann, wenn
W |− (¬P ⇒ f)
W |− P
• Deduktionsrelation
|− ⊆ P(L A ) x LA wird definiert durch M|− W, genau
dann, wenn W unter der Voraussetzung M herleitbar
ist
|− ⊆ P(L A ) x P(LA ) wird definiert durch M|− N, genau
dann, wenn jede Formel in N unter der Voraussetzung
M herleitbar ist
reflexiv:
M |− M
monoton:
R|− S und Q ⊇ R, dann Q |− S
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Konsistenz
Semantik der Aussagenlogik
• Aussagenlogik ist konsistent
• atomare Aussagen erhalten ihren Wahrheitswert durch
eine Interpretation in einem Wertebereich, z.B. der
externen Welt
nicht jede wohlgeformte Formel ist herleitbar, d.h.
speziell nicht f und (P ∧ ( ¬P))
keine Formel kann zusammen mit ihrer Negation
abgeleitet werden
• Inkonsistenz wird bei der Herleitung vererbt
• Belegungen
V sei die Menge aller Variablen, die für atomare
Aussagen stehen
Funktion IV: V --> {W, F} heisst Variablenbelegung
• Menge M wohlgeformter Formeln heisst inkonsistent,
wenn
f unter der Voraussetzung M ableitbar ist
Funktion I: L A --> {W, F} heisst Belegung, wenn
folgende Gleichungen gelten
I((P ∧ Q)) = I(P) ∧ I(Q)
I((P ∨ Q)) = I(P) ∨ I(Q)
(P ∧ ( ¬P)) unter der Voraussetzung M ableitbar ist
P und ( ¬P) unter der Voraussetzung M ableitbar sind
jede beliebige Formel unter der Voraussetzung M
ableitbar ist, d.h. alles herleitbar ist
I((P ⇒ Q)) = I(P) ⇒ I(Q)
I((¬P)) = ¬I(P)
I(t) = W
I(f) = F
• Theorem
Jede Variablenbelegung kann genau auf eine Art zu
einer Belegung fortgesetzt werden und jede Belegung
kann auf eine Variablenbelegung eingeschränkt
werden.
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Modelle
Formeln und Modelle
• Modelle
• Eine Formel heisst
I: LA --> {W, F} sei eine Interpretation und Q eine
Formel.
erfüllbar, wenn es eine Interpretation gibt, die ein
Modell dieser Formel ist
Q ist wahr in der Interpretation I, wenn I(Q) = W
widerlegbar, wenn es eine Interpretation gibt, die kein
Modell dieser Formel ist
I wird ein Modell von Q genannt
tautologisch, wenn jede Interpretation ein Modell
dieser Formel ist
es kann mehr als ein Modell geben
Menge aller Modelle M
kontradiktorisch, wenn es keine Interpretation gibt, die
Modell dieser Formel ist
• Modellrelation
|= ⊆ M x LA wird definiert durch I|= Q, genau dann,
wenn I ein Modell von Q ist
|= ⊆ M x P(LA ) . Ist W eine Menge von Formeln und I
ein Modell, dann gilt I|= W, d.h. I|= Q für jede Formel
aus W.
• Möglichkeiten
tautologisch und erfüllbar
erfüllbar und widerlegbar
kontradiktorisch und widerlegbar
• Eine Menge von Formeln heisst erfüllbar, wenn es ein
Interpretation gibt, die ein Modell für jede Formel der
Menge ist.
• Eine endliche Menge von Formeln ist genau dann
erfüllbar, wenn sie widerspruchsfrei ist.
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Folgerungsrelation
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Korrektheit und Vollständigkeit der
Aussagenlogik
• Folgerungsrelation
• Aussagenlogik ist korrekt
||− ⊆ P(LA) x P(LA)
M und N sind Mengen aussagenlogischer Formeln
M ||− N genau dann, wenn jedes Modell der Menge M
auch ein Modell der Menge N ist, d.h.
∀I ∈(Menge der Modelle): (I|= M) ⇒ (I|= N)
(1) Eine unter bestimmten Voraussetzungen ableitbare
Formel ist unter diesen Voraussetzungen auch wahr
und gültig.
(2) M und N sind Mengen aussagenlogischer Formeln.
Wenn M |− N gilt, dann auch M ||− N.
• Aussagenlogik ist vollständig
(1) Eine unter bestimmten Voraussetzungen gültige
Formel ist unter diesen Voraussetzungen auch
ableitbar.
(2) M und N sind Mengen aussagenlogischer Formeln.
Wenn M ||− N gilt, dann auch M |− N.
• Aussagenlogik ist vollständig und korrekt, d.h. wir
können semantische Folgerung mit Deduktion
gleichsetzen.
• Logische Programmierung
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Beweise in der Aussagenlogik
Unvollständigkeit der Aussagenlogik
• Ist P unter der Voraussetzung M herleitbar, bzw. gültig?
• Eine Menge von Formeln heisst syntaktisch
unvollständig, wenn es eine Formel derart gibt, dass
weder die Formel noch ihre Negation aus der Menge
abgeleitet werden kann.
Syntaktische Methode: man leitet P mit Hilfe der
Axiome und Schlussregeln aus M ab.
Problem:
kombinatorische
Beweisschritte
Explosion
der
Semantische Methode: man zeigt, dass P in jedem
Modell von M gültig ist (-> Wahrheitstafeln).
• Eine Menge von Formeln heisst semantisch unvollständig, wenn es eine Formel derart gibt, dass weder die
Formel noch ihre Negation aus der Menge folgt.
Problem: für n atomare Aussagen gibt es maximal 2n
Möglichkeiten für die Wahrheitswerte
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Normalformen
Normalformen
• unterschiedliche Darstellungen der gleichen Formel,
z.B.
• Beispiel
Ausgangsformel
t ⇒ (B ∧ C)
P = (¬ (¬P))
¬((P ∨ Q)) = (¬P )∧(¬ Q)
1. Schritt: ⇒ und ⇔ durch ¬, ∨ und ∧ ersetzen
• konjunktive Normalform: Konjunktion von
Disjunktionen von Atomen oder negierten Atomen
D1 ∧ D2 ∧ ... ∧ Dn
Di = Li1 ∨ Li2 ∨ ... ∨ Lim
Lij (negiertes) Atom
• disjunktive
Normalform:
Disjunktion
von
Konjunktionen von Atomen oder negierten Atomen
K1 ∨ K2 ∨ ... ∨ Kn
Ki = Li1 ∧ Li2 ∧ ... ∧ Lim
Lij (negiertes) Atom
• konjunktive (disjunktive) Hauptnormalform:
Reihenfolge der Atome wird festgelegt
¬t ∨ (B ∧ C) ⇔ f ∨ (B ∧ C)
2. Schritt: t durch (P ∨ ¬P) und f durch (P ∧ ¬P) ersetzen
(P ∧ ¬P) ∨ (B ∧ C)
disjunktive Normalform
3. Schritt: Distribution von ∨ und ∧
(P ∧ ¬P) ∨ (B ∧ C) ⇔
(P ∨ (B ∧ C)) ∧ (¬P ∨ (B ∧ C)) ⇔
(P ∨ B) ∧ (P ∨ C) ∧ (¬P ∨ B) ∧ (¬P ∨ C)
konjunktive Normalform
• Zu jeder wohlgeformten aussagenlogischen Formel gibt
es genau eine konjunktive Hauptnormalform und eine
disjunktive Hauptnormalform, die zueinander
äquivalent sind.
• Zwei aussagenlogische Formeln sind genau dann
äquivalent, wenn sie die gleiche konjunktive
(disjunktive) Hauptnormalform besitzen.
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