Zum Neutrino uss aus der Annihilation dunkler Materie aus der

Zum Neutrinouss aus der
Annihilation dunkler Materie aus der
Richtung des galaktischen Zentrums
von
Isabel Mira Oldengott
Bachelorarbeit in Physik
vorgelegt der Fakultät der Mathematik, Informatik und
Naturwissenschaften
der RWTH Aachen
im Juli 2010
angefertigt im
III Physikalischen Institut B
bei Herrn Prof. Dr. Wiebusch
Hiermit versichere ich, dass ich die Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als
die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt sowie Zitate kenntlich gemacht habe.
(Aachen, den 27.07.2010)
Mein Dank gilt:
ˆ Herrn Prof. Dr. Wiebusch für die interessante Fragestellung und das Ermöglichen
dieser Arbeit.
ˆ Jan-Patrick Hülÿ für die gute Betreuung und Anleitung.
ˆ Martin Bissok für die Unterstützung und Hilfsbereitschaft.
ˆ Meinen Eltern, die mir das Studium ermöglichen.
ˆ Jan Krusenbaum für sein Interesse und seine Geduld.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1
2 Zum Neutrinouss aus dem galaktischen Halo
3
2.1
Kandidaten für dunkle Materie und ihre Teilchenmasse . . . . . . . . .
6
2.2
Der Selbstannihilations-Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . .
8
3 Halo-Modelle
9
3.1
Ein theoretischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2
Halo Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2.1
Hernquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2.2
Isothermes Prol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2.3
Burkert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.2.4
Einasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.2.5
Prugniel-Simien
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.3
Skalierung der Dichteprole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.4
Vergleich der Prole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4 Die baryonische Dichteverteilung in der Milchstraÿe
23
5 Berechnung des Sichtlinienintegrals J(ψ)
26
5.1
Das Sichtlinienintegral J(ψ) in Abhängigkeit vom Sichtlinienwinkel ψ .
26
5.2
Der durchschnittliche Neutrinouss aus dem galaktischen Zentrum . . .
28
5.3
Signikanz eines Neutrinosignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
6 Zusammenfassung
33
1 Einführung
Die Existenz dunkler Materie ist heute unter Physikern fast unumstritten. Bereits in
den 1930er Jahren fand Jan Henrik Oort bei der Untersuchung der vertikalen Bewegung von Sternen nahe der galaktischen Ebene erste Hinweise auf ihre Existenz [Ei09].
Es stellte sich heraus, dass die Anzahl der sichtbaren Sterne nicht genügt, um die vertikale Beschleunigung der Sterne zu erklären. Es folgten viele weitere Beobachtungen
von Unstimmigkeiten zwischen der Dynamik von Sternen- und Galaxiesystemen und
ihrer sichtbaren Masse. Ein überzeugendes Beispiel sind die Rotationskurven von Galaxien [B+04]: Die Rotationsgeschwindigkeit von Sternen im Abstand R hängt mit
der eingeschlossen Masse über das Kräftegleichgewicht von Zentripetalkraft und Gravitationskraft zusammen. Aufgrund der sichtbaren Materie wird ein Abfall der Rotationsgeschwindigkeit der Sterne im äuÿeren Bereich von Galaxien erwartet. Beobachtet
wird jedoch, dass die Geschwindigkeiten für groÿe Abstände nahezu konstant bleiben,
was auf die Anwesenheit einer höheren Menge an Materie deutet als beobachtet wird.
Alternativ zu der Existenz einer unsichtbaren Materie besteht natürlich auch die Möglichkeit, dass das bestehende Gravitationsgesetz auf groÿen Skalen wie in Galaxien
nicht mehr gültig ist. Eine Modikation des Gravitationsgesetzes bietet die Modizierte Newtonsche Dynamik (MOND) [MB87]. Diese kann zwar die beobachteten Rotationskurven gut reproduzieren, andere beobachtete Unstimmigkeiten bei Phänomenen
wie dem Gravitationslinseneekt oder der Strukturformung des Universums kann sie
jedoch nicht erklären. Der Gravitationslinseneekt ist eine Folge aus der Allgemeinen
Relativitätstheorie. Dabei wird der Raum durch die Anwesenheit einer groÿen Masse
so gekrümmt, dass das Licht von anderen Sternen abgelenkt wird und das entstehende
Bild auf der Erde verzerrt erscheint (sogenannter Einstein-Ring) [Ei09]. Bei sehr groÿen
Massen werden sogar Objekte sichtbar, die hinter der groÿen Masse liegen und sonst
auf der Erde nicht beobachtbar wären . Die Stärke des Linseneektes hängt von der
den Raum verzerrenden Masse ab. Es gibt viele Beispiele von Beobachtungen dieses
Eektes, die eine gröÿere Masse implizieren als sichtbar ist. Relativ aktuell und bahnbrechend für die Überzeugung von der Existenz dunkler Materie ist die Messung der
kosmischen Hintergrundstrahlung von WMAP [H+08]. Die Struktur des Universums
hat sich aus anfänglichen Dichteschwankungen gebildet, deren Amplitude maÿgebend
für die heutige Struktur ist. Die emittierte Strahlung aus dieser Epoche ist die kosmische Hintergrundstrahlung. Anhand dieser konnte gezeigt werden, dass die anfänglichen
Dichteschwankungen viel zu klein waren, um für die heutige Struktur des Universum
1
verantwortlich zu sein. Eine Lösung für diesen Konikt ist, dass das Universum von
einer nicht-baryonischen Materie dominiert wird, wegen der zum Einen die Fluktuationen viel früher anfangen konnten zu wachsen, zum Anderen die Fluktuationen nicht
durch Strahlungsdruck gehemmt werden konnten [Ei09].
Während an der Existenz dunkler Materie also kaum noch gezweifelt wird, ist ihre
Natur noch weitesgehend unbekannt. Klar ist, dass sie gravitativ wechselwirkt, also
massiv ist, und ungefähr 90% der gesamten Masse unseres Universums ausmacht. Aus
Gründen der Strukturbildung wird derzeit die Vorstellung von kalter Materie (CDM=
Cold Dark Matter) bevorzugt, also Teilchen, die sich relativ langsam bewegen.
Es liegt der Gedanke nahe, dass Teilchen aus dunkler Materie auch annihilieren
könnten, so wie es die bekannten Standard Modell (SM) Teilchen tun. Weiterhin besteht
auch die Möglichkeit, dass dunkle Materie in SM Teilchen annihiliert, was für uns die
Möglichkeit eines indirekten Nachweises von dunkler Materie darstellen würde. Von
allen möglichen SM Teilchen-Endzuständen ist dabei der Endzutand von Neutrinos
besonders interessant, da sie wegen ihres geringen Wirkungsquerschnittes ein nahezu
unverändertes Energiespektrum bei ihrer Detektion auf der Erde aufweisen würden.
Dagegen würden die anderen SM Endzustände auf dem Weg zur Erde entweder zerfallen
oder aber mit anderen Teilchen wechselwirken, so dass wichtige Anfangsinformation
verloren ginge. Ein solches Neutrinosignal, das aus der Annihilation dunkler Materie
in der Milchstraÿe stammt, sollte mit Neutrinodetektoren wie z.B. dem ICECUBE
Teleskop nachgewiesen werden können.
In dieser Arbeit soll der erwartete Neutrinouss aus der Annihilation dunkler Materie aus der Richtung des galaktischen Zentrums untersucht werden. Der erwartete
Neutrinouss ist abhängig von der Dichteverteilung dunkler Materie, welche durch eine
Vielzahl an Halo-Modellen beschrieben wird. Es sollen insbesondere die Unterschiede
zwischen diesen verschiedenen Halo-Modellen aufgewiesen werden.
2
2 Zum Neutrinouss aus dem galaktischen Halo
Da über die Natur dunkler Materie wenig bekannt ist, gibt es keine Vorhersage darüber,
wie genau die möglichen Endzustände ihrer Annihilation aussehen. Es können daher
beliebig viele Neutrinos im Endzustand vorkommen. Diese Neutrinos können entweder
direkt aus der Annihilation dunkler Materie stammen oder auch aus dem Zerfall von
anderen Teilchen, welche aus der Annihilation stammen. In Abbildung 2.1 wird schematisch die Annihilation zweier Teilchen der dunklen Materie dargestellt. Zusätzlich zu
den Neutrinos können auch noch andere SM Teilchen im Endzustand vorkommen.
Abbildung 2.1: Schematische Darstellung der Annihilation zweier dunkle Materie Teilchen χ mit Neutrinos ν im Endzustand.
Der Neutrinouss, der aufgrund von Selbstannihilation dunkler Materie im galaktischen Halo erwartet wird, lässt sich durch folgende Formel beschreiben [YH08]:
1 < σA v >
ρ2 dNν
dNν
=
·
· J(ψ) · Rsc · sc2 ·
.
dE dA dT dψ
4π
2
mχ dE
(2.1)
Der erwartete Fluss ist eine Funktion der betrachteten Richtung, was in Formel (2.1)
durch die Abhängigkeit von der Gröÿe ψ ausgedrückt wird. ψ ist der Sichtlinienwinkel,
welcher von der Sichtlinie l(ψ) zur Verbindungslinie der Erde zum galaktischen Zentrum
gemessen wird (siehe Abbildung 2.2). Der Faktor 1/4π kommt daher, dass die Neutrinos
isotrop abgestrahlt werden und durch den Faktor 1/2 wird berücksichtigt, dass zur
Annihilation 2 Teilchen dunkler Materie benötigt werden. < σA v > ist der Mittelwert
des Produktes des Selbstannihilations-Wirkungsquerschnittes mit der Geschwindigkeit
der Teilchen der dunklen Materie. Auf diese Gröÿe wird in Kapitel 2.2 noch genauer
eingegangen.Rsc ist ein frei wählbarer Skalierungsradius und ρsc ist die Dichte dunkler
Materie im Abstand Rsc vom galaktischen Zentrum. Hier wird Rsc als der Abstand der
Erde vom Zentrum der Milchstraÿe gewählt, also Rsc = 8, 5 kpc.
3
Abbildung 2.2: Schematische Darstellung des galaktischen Halos zur Veranschaulichung
des Sichtlinienintegrals. ψ ist die betrachtete Richtung relativ zum galaktischen Zentrum (GZ). Rsc ist der Abstand vom Sonnensystem (bzw. der Erde) zum galaktischen
Zentrum. RH ist der maximale Radius, der in die Integration nach Formel (2.2) eingeht.
l(ψ) ist die betrachtete Sichtlinie.
Die Dichteverteilung dunkler Materie im Halo wird durch die Funktion ρ(r) ausgedrückt. Es gibt verschiedene Modelle für die Dichteverteilung ρ(r), auf die in Kapitel
3 genauer eingegangen wird. ρsc hängt also vom betrachteten Halo-Modell ab, typische Werte liegen im Bereich von ∼ 0, 3 GeV cm−3 . mχ ist die Masse der Teilchen der
dunklen Materie und hängt stark von dem angenommen Modell für dunkle Materie ab.
Die verschiedenen Kandidaten für dunkle Materie und die zugehörigen Teilchenmassen
mχ werden in Kapitel 2.1 kurz zusammengefasst. Der Faktor ρsc /mχ ist damit die Teilchenzahldichte im Abstand Rsc vom galaktischen Zentrum. Der quadratische Zusammenhang zwischen Neutrinouss und Teilchenzahldichte folgt daraus, dass insgesamt 2
Teilchen in den Prozess der Annihilation eingehen. dNν /dE ist die Energieverteilung
der Neutrinos, die aus der Annihilation dunkler Materie stammen. Diese Gröÿe hängt
direkt von dem realisierten Modell von dunkler Materie ab.
J(ψ) ist das Sichtlinienintegral (Integral entlang einer Linie l(ψ)) über das Quadrat
der Massendichtefunktion ρ(r) und eine Funktion des Sichtlinienwinkels ψ :
1
J(ψ) =
Rsc ρ2sc
lˆ
max
ρ2 (d(l)) dl .
0
4
(2.2)
Aus Abbildung 2.2 lässt sich über den Kosinussatz folgender Zusammenhang herleiten:
d(l) =
p
2 − 2lR cos(ψ) + l 2 .
Rsc
sc
(2.3)
Bei der Integration in Formel (2.2) wird die gesamte dunkle Materie innerhalb eines
Radius RH vom galaktischen Zentrum berücksichtigt. Beiträge zum Neutrinouss aus
Regionen auÿerhalb dieses Radius sind vernachlässigbar. Das Integral J(ψ) (2.2) erstreckt sich entlang der Linie l(ψ) von der Erde bei l = 0 bis zu einem maximalen Wert
lmax , der von RH abhängt. lmax ergibt sich durch Gleichsetzen von d(l) aus Formel (2.3)
mit RH und Umformen:
lmax = Rsc cos(ψ) +
q
2
− Rsc sin2 (ψ) .
RH
(2.4)
Formel (2.1) gibt den erwarteten Neutrinouss aus einer bestimmten (innitesimalen)
Richtung ψ an. Der gesamte Fluss aus einer bestimmten Region bzw. das auf der Erde
messbare Signal ergibt sich durch Integration von J(ψ) über den Raumwinkel ∆Ω =
2π(1 − cosψ):
ˆ1
Jges (ψ) = 2π ·
ˆψ
0
J(ψ 0 ) · sin(ψ) dψ .
0
J(ψ ) d(cos(ψ )) = 2π ·
(2.5)
0
cosψ
Weiterhin ist der durchschnittliche Fluss aus einem Raumwinkel ∆Ω durch den Quotienten vom gesamten Fluss Jges (ψ) und dem Raumwinkel ∆Ω gegeben:
Jges (ψ)
1
J∆Ω (ψ) =
=
∆Ω
(1 − cos(ψ))
ˆψ
J(ψ 0 ) · sin(ψ 0 ) dψ 0
(2.6)
0
Durch Ersetzen von J(ψ) in Formel (2.1) durch Formel (2.5) bzw. (2.6) lässt sich sowohl
der gesamte Fluss als auch der durchschnittliche Fluss aus Richtung des galaktischen
Zentrums berechnen.
5
2.1 Kandidaten für dunkle Materie und ihre Teilchenmasse
Es gibt eine Vielzahl an Modellen, die verschiedene Teilchen als Kandidaten für dunkle
Materie voraussagen. Dementsprechend groÿ ist auch der mögliche Energiebereich, in
dem die Teilchenmasse mχ dunkler Materie liegen könnte. Eine allgemeine, obere Grenze
für mχ liefert die so genannte Unitaritätsgrenze, welche die Existenz eines maximal
möglichen Selbstannihilations-Wirkungsquerschnittes für ein Teilchen der Masse mχ
impliziert. Für Teilchen, die ein thermisches Relikt sind, beschränkt diese Grenze die
Teilchenmasse auf den Energiebereich: mχ ≤ 340 T eV [B+04].
Im Folgenden soll eine kurze Übersicht über einige Kandidaten für dunkle Materie
gegeben werden:
Axionen
Axionen wurden ursprünglich eingeführt, um das Problem der CP Verletzung in der
Quantenchromodynamik zu lösen. Eine obere Grenze für ihre Masse konnte in Laborversuchen sowie aus der Untersuchung der Dynamik der Supernova 1987 A bestimmt
werden: mχ ≤ 1 eV [B+04]. Wegen ihrer geringen Masse stellen diese Teilchen keine
kalte dunkle Materie dar.
Das leichteste Teilchen in supersymmetrischen Modellen (LSP= Lightest
Supersymmetric Particle)
Die Theorie der Supersymmetrie (SUSY) stellt Fermionen und Bosonen in einen Zusammenhang. Auÿerdem bietet sie die Möglichkeit das Hierarchieproblem zu lösen, welches
in dem groÿen Unterschied in der Gröÿenordnung der Gravitationskraft und den anderen drei Kräften der Natur (elektromagnetische, starke, schwache Kraft) liegt. Es gibt
verschiedene supersymmetrische Modelle, die sich unter anderem in der Anzahl ihrer
freien Parameter unterscheiden.
ˆ Das MSSM (Minimal Supersymmetric Standard Model) ist die kleinstmögliche Erweiterung des Standardmodells der Teilchenphysik zu einem supersymmetrischen
Modell. Dabei wird jedem Fermion ein bosonischer Partner zugewiesen und umgekehrt. Die Einführung der Erhaltung einer neuen multiplikativen Quantenzahl,
der R-Parität, hat zur Folge, dass das leichteste SUSY-Teilchen nicht zerfallen
kann. Dieses leichteste supersymmetrische Teilchen (LSP) ist daher ein vielversprechender Kandidat für dunkle Materie. Das MSSM hat viele freie Parameter,
6
es bleibt daher unbestimmt welches der SUSY-Teilchen das LSP ist und wie groÿ
die Masse mχ diese Teilchens ist. Der derzeit meist favorisierte SUSY-Kandidat
für das LSP ist das Neutralino. Dieses ist ein Mischzustand aus den supersymmetrischen Partnern zu dem B - und W3 -Boson und den neutralen Higgs-Bosonen
H10 und H20 , welche Bino, Wino und Higgsinos genannt werden. Die Masse des
Neutralinos beschränkt sich auf den Energiebereich: mχ ≤ 3200 GeV [DaSk].
ˆ Im mSUGRA Modell oder auch CMSSM (Constrained MSSM) werden einige
Annahmen gemacht, welche die Anzahl freier Parameter im MSSM stark reduziert. Laut [DaSk] liegt die Masse des LSP in diesem Modell im Energiebereich
90 GeV ≤ mχ ≤ 400 GeV .
ˆ Das MNSSM (Minimal Non Minimal Supersymmetric Model) ist gemäÿ dem
Namen die zweit kleinste supersymmetrische Erweiterung der Standardmodells.
Die Masse des LSP in diesem Modell ist laut [HM07] auf den Energiebereich
mχ ≤ 80 − 85 GeV beschränkt.
LKP (Lightest Kaluza-Klein Particle)
In einem Versuch Elektromagnetismus und Gravitation zu vereinigen führte 1921 Kaluza eine zusätzliche vierte Raumdimension ein. Diese Dimension wird als kompakt
angenommen (Klein, 1924) und ist daher für uns nicht auösbar. Alle SM Felder können in dieser kompakten Dimension propagieren. Alle SM Teilchen haben daher sogenannte Kaluza-Klein-Anregungen, denen Kaluza-Klein-Teilchen entsprechen. Das leichteste dieser Kaluza-Klein-Teilchen (LKP) hat eine Masse, die zwischen 400 GeV und
1200 GeV liegt [B+04].
Wimpzillas
Wimpzillas sind superschwere dunkle Materie Teilchen, die im frühen Universum gebildet wurden. Ihre Masse ist gröÿer als 1010 GeV , was nach der Unitaritätsgrenze dafür
spricht, dass sie kein thermisches Relikt sind.
Die vorausgesagten Werte für die Teilchenmasse dunkler Materie unterscheiden sich je
nach Modell also um insgesamt bis zu 21 Gröÿenordnungen. Eine Zusammenfassung
der verschiedenen erwarteten Werte für die Teilchenmasse mχ ist in Tabelle 1 gegeben.
7
Teilchen
Axionen
LSP in MNSSM
LSP in CMSSM
LKP
Neutralino
Wimpzillas
mχ
< 0, 01 eV
≤ 80 − 85 GeV
90 ≤ mχ ≤ 400 GeV
400 − 1200 GeV
≤ 3200 GeV
> 1010 GeV
Tabelle 1: Vorausgesagte Teilchenmasse mχ für verschiedene Kandidaten für dunkle
Materie.
2.2 Der Selbstannihilations-Wirkungsquerschnitt
Unter der Annahme, dass dunkle Materie ein thermisches Relikt ist, ergibt sich ihre
gegenwärtige Dichte zu [KT90]:
Ωχ h2 ≈
0, 1 pb · c
.
< σA v >
Mit einer relativen Dichte der nicht-baryonischen Materie von Ωχ h2 = 0, 106 ± 0, 008
[S+07] lässt sich daraus der Selbtsannihilations-Wechselwirkungsquerschnitt bestimmen:
(2.7)
< σA v >= 3 · 10−26 cm3 s−1 .
Kaplinghat, Knox und Turner (KKT) untersuchten mehrere Fälle, in denen dunkle
Materie kein thermisches Relikt ist, sondern z.B. erst im späten Universum durch den
Zerfall schwererer Teilchen entstanden ist [BB07, KKT00]. Als Ergebnis erhielten sie
folgende Bedingung für den Selbstannihilations-Wirkungsquerschnitt:
< σA v >w 3 · 10−19
cm3 h mχ i
.
s GeV
(2.8)
Diese Bedingung löst das Problem der im Kern divergierenden Halo-Modelle (Näheres
hierzu in Kapitel 3) und produziert eine konstante Kerndichte.
Weiterhin liefert die Unitaritätsgrenze eine allgemeine Einschränkung für den Selbstannihilations-Wirkungsquerschnitt. In erster Ordnung (für kleine Geschwindigkeiten)
lautet diese Bedingung [BB07]:
3
−13 cm
< σA v >≤ 1, 5 · 10
s
8
GeV
mχ
2 300 kms−1
vrms
.
(2.9)
3 Halo-Modelle
Der Neutrinouss hängt über das Integral J(ψ) aus Formel (2.2) von der Dichtefunktion
ρ(r) ab. In diesem Kapitel wird auf die verschiedenen Halo-Modelle und ihre Dichtefunktionen ρ(r) eingegangen.
Ein theoretischer Ansatz zur Beschreibung der Dichteverteilung einer Galaxie wird
in Abschnitt 3.1 gemacht. Es gibt eine Vielzahl an Modellen für die Dichtefunktion ρ(r),
die zum Teil für kleine Abstände r sehr stark voneinander abweichen. Eine Übersicht
über diese verschiedenen Halo-Modelle wird in Abschnitt 3.2 gegeben. In Abschnitt
3.3 wird die geeignete Skalierung der Halo-Prole beschrieben, welche die Reproduzierung einiger Messdaten unsere Milchstraÿe gewährleistet. In Kapitel 3.4 werden die
verschiedenen Halo-Modelle miteinander verglichen.
3.1 Ein theoretischer Ansatz
In diesem Abschnitt wird ein theoretischer Ansatz skizziert, mit dessen Hilfe das asymptotische Verhalten der Funktion ρ(r) bestimmt werden kann.
Die Bewegungsgleichung eines Sternes (bzw. eines Klumpens aus dunkler Materie),
der sich in einem gravitativen Potential φ bewegt, das durch N andere Sterne erzeugt
wird, lautet:
→
−
→
−
−
ẍ = −∇φ(→
x , t) + m−1 F .
(3.1)
→
−
F steht hierbei für die Summe aller anderen Kräfte, die auf den Stern wirken. m und
~x bezeichnen die Masse bzw. den Ort des Sternes. Das Potential ist durch die PoissonGleichung gegeben:
N
X
−
−
4φ = 4πG
mi δ(→
x −→
xi )
(3.2)
i=1
wobei G die Gravitationskonstante und mi die Masse des i-ten Teilchens ist. Schon bei
einer Anzahl von 3 Sternen lassen sich die Bewegungskurven der Sterne nicht mehr
durch elementare Funktionen ausdrücken. Bei einer so groÿen Anzahl von Sternen wie
unsere Galaxie besitzt, wird das Gleichungssystem praktisch unlösbar. Wegen der langreichweitigen gravitativen Anziehung eignet sich auch keine statistische Betrachtung
des Systems.
Zur Beschreibung des Systems wird nun zuerst der einfachste Ansatz betrachtet,
der gemacht werden kann: Das gesamte System wird als ein sich selbst anziehendes
Gas angenommen, welches durch Kollisionen geprägt ist. Da Sternenkollisionen äuÿert
9
selten sind, ist diese Anschauung für ein Sternensystem nicht sehr zutreend. Dieser
Ansatz soll zunächst aber trotzdem betrachtet werden, da sein Ergebnis für spätere
Überlegungen in diesem Abschnitt von Bedeutung ist. Die Strömung von Fluiden in
einem Gravitationspotential φ wird durch die Euler-Gleichung beschrieben:
−
−
1 →
1
∂→
v
−
− (→
v × Ω) = ∇ v 2 − ∇P − ∇φ
∂t
2
ρ
(3.3)
−
wobei Ω = ∇ × ~v ist. →
v ist die Strömungsgeschwindigkeit, P der Druck ist und ρ die
Dichte des Gases. Anders als bei der Betrachtung eines Sternensystems ist ρ hier bei
der Betrachtung eines Gases eine kontinuierliche Funktion. Da es sich nicht wirklich
−
um ein Fluid handelt, wird die Strömungsgeschwindigkeit →
v gleich Null gesetzt und es
folgt:
∇P = −ρ∇φ .
(3.4)
Weiterhin gilt die Poisson-Gleichung:
4φ = 4πGρ .
(3.5)
Nach Umstellen der Formel (3.4) nach ∇φ und Anwendung des Nabla-Operators werden
die beiden Gleichungen (3.4) und (3.5) gleichgesetzt. Durch die Einführung von Kugelkoordinaten und die Forderung, dass sowohl P als auch φ nur vom Radius r abhängen,
ergibt sich:
1 d
r2 dr
r2 dP
ρ dr
= −4πGρ .
(3.6)
Nach dem idealen Gasgesetz gilt für den Druck folgende Relation:
P = ρm−1 kT
(3.7)
wobei k die Boltzmann-Konstante ist und m und T die Masse und Temperatur des
Systems sind. Eine Lösung von (3.6) ergibt sich durch die Forderung, dass sowohl m als
auch T nicht von r abhängen. Wegen letzterer Forderung handelt es sich also um ein
isothermes Gas. Das Einsetzen dieser Formel in Gleichung (3.6) liefert dann folgende
Gleichung:
1 d
r2 dr
r2 dρ
ρ dr
=−
10
4πGm
ρ.
kT
(3.8)
Als Nächstes werden nun dimensionslose Parameter eingeführt:
ρ
ξ= ,
ρ0
r
l= ,
r0
r0 =
9σ 2
4πGρ0
1/2
(3.9)
wobei der Faktor kT · m−1 durch σ 2 zusammengefasst wurde. Einsetzen der Gröÿen
(3.9) in Gleichung (3.8) ergibt:
1 d
l2 dl
l2 dξ
ξ dl
= −9ξ .
(3.10)
Eine Lösung dieser Dierentialgleichung ist die sogenannte isotherme singuläre Lösung:
ρ(r) =
kT −2
r .
2πGm
(3.11)
Diese Lösung ist jedoch unphysikalisch, da sie zu einer unendlichen Dichte im Zentrum
führt.
Im Folgenden wird ein realistischerer Ansatz zur Beschreibung des Systems gezeigt
als der bisher betrachtete. Das System wird als ein kollisionsloses System im stationären
Zustand beschrieben. Wie sich zeigen wird, führt auch dieser Ansatz zu der Gleichung
(3.20) für ein isothermes, sich selbst anziehendes Gas.
−
−
Die Verteilung der Sterne wird durch eine glatte Verteilungsfunktion f (→
x ,→
v ) be-
schrieben, die die Anzahl der Sterne im Phasenraumvolumen d3 xd3 v angibt. Zur Ver−
−
einfachung wurde hier angenommen, dass f (→
x ,→
v ) unabhängig von der Zeit ist. Die
räumliche Dichteverteilung des Systems ist:
−
ρ(→
x , t) =
ˆ
−
−
dv 3 f (→
x ,→
v).
(3.12)
Auch hier ist die Dichteverteilung ρ eine kontinuierliche Funktion. Auÿerdem gilt die
Poisson-Gleichung, hier wird wieder die Annahme gemacht, dass sowohl das Potential
φ als auch die Dichteverteilung ρ nur vom Abstand r abhängen:
1 d
r2 dr
r
2 dφ
dr
= 4πGρ .
(3.13)
An dieser Stelle ist es praktisch, ein verschobenes Potential ψ = −φ + φ0 zu denieren,
wobei φ0 eine Konstante ist, die später so gewählt werden kann, dass ψ am Rand
11
verschwindet. Einsetzen dieses neuen Potentials in die Poisson-Gleichung (3.13) ergibt:
1 d
r2 dr
2 dψ
r
= −4πGρ .
dr
(3.14)
Weiterhin ist es hilfreich, auch eine verschobene Energie (pro Masse) einzuführen:
1
= −E + φ0 = −E + ψ + φ = − v 2 + ψ .
2
(3.15)
Hierbei wurde E = 1/2 · v 2 + φ (also Eges = Ekin + Epot ) verwendet. Zur Vereinfa−
−
chung wird nun die Annahme gemacht, dass →
x und →
v nur über die Beziehung (3.15)
voneinander abhängen, also: f = f () = f (ψ − 1/2 · v 2 ). Für die Dichteverteilung gilt
dann:
√
ˆ 2ψ
ˆψ
p
1
−
4πv 2 dv f (ψ − v 2 ) = 4π df () 2(ψ − ) .
ρ(→
x)=
2
0
(3.16)
0
Die Grenzen des Integrals wurden so gewählt, dass es alle gebundenen Sterne einschlieÿt,
also all diejenigen, für die gilt: Ekin = 1/2 · v ≤ ψ = Epot . Nach dem Einsetzen von
Gleichung (3.16) in Gleichung (3.13) ergibt sich:
1 d
r2 dr
ˆψ
p
dψ
r2
= −16π 2 G df () 2(ψ − ) .
dr
(3.17)
0
Ein Ansatz zur Lösung dieser Gleichung ist z.B. folgende Verteilungsfunktion:
f () =
ρ0
·
exp
.
(2πσ 2 )3/2
σ2
(3.18)
Die hierzu korrespondierende Dichteverteilung lässt sich gemäÿ Formel (3.16) berechnen
und lautet:
ρ(r) = ρ0 · exp
ψ
σ2
.
(3.19)
Einsetzen von Gleichung (3.18) in Gleichung (3.17) und Einführung der dimensionslosen
Gröÿen (3.9) liefert die bereits bekannte Gleichung für isotherme Sphären:
1 d
l2 dl
l2 dξ
ξ dl
= −9ξ .
(3.20)
Weiterhin wird nun durch das Einführen von Randbedingungen eine endliche innere
12
Dichte gefordert, d.h.: ξ(0) = 1 und ξ 0 (0) = 0. Die Lösung dieser Gleichung mit den
gegebenen Randbedingungen lässt sich nur numerisch bestimmen. Die genaue Form der
Funktion ξ(l) kann daher nicht bestimmt werden, es lässt sich jedoch das GrenzwertVerhalten von ξ(l) angeben:
ξ(l) ∼ (1 + l2 )−3/2 für l . 2 ,
(3.21)
2
ξ(l) ∼ l−2 für l → ∞ .
(3.22)
9
Auÿer dem hier gewählten Ansatz für f () in Formel (3.18) erfüllen auch andere Ansätze
Gleichung (3.17), die andere Funktionen ξ(l) liefern. Hier wurde diese Wahl von f ()
getroen, da das resultierende isotherme Dichteprol oft Vorbild zur Beschreibung von
Halos aus dunkler Materie ist.
Die Überlegungen, die hier gemacht wurden, sind unabhängig davon, ob es sich um
baryonische Materie oder dunkle Materie handelt. Alle Ergebnisse und Gleichungen
lassen sich daher direkt auf dunkle Materie und deren Dichteverteilung übertragen. Als
Literaturquelle für diesen Abschnitt diente das Lehrbuch [ThAs].
3.2 Halo Modelle
Durch die Überlegungen des vorherigen Abschnitts kann lediglich das Grenzwert-Verhalten der Dichtverteilung ρ(r) bestimmt werden. Dabei ist fraglich, ob die Vereinfachungen, die zur Beschreibung des Systems dunkler Materie gemacht wurden, realistisch
sind. Die genaue Form der Funktion ρ(r) bleibt in Kapitel 3.1 unbestimmt, ist jedoch
für die Berechnung der Neutrinousses nach Formel (2.1) entscheidend.
Es gibt eine Reihe von Halo-Modellen, die die Dichteverteilung ρ(r) dunkler Materie beschreiben. In diesem Abschnitt soll eine Übersicht über die verschiedenen HaloModelle gegeben werden.
3.2.1 Hernquist
1948 schlug de Vaucouleur eine rein empirisch hergeleitete Formel vor, die die Verteilung
der Oberächen-Helligkeit vieler elliptischer Galaxien gut beschreibt:
−3,331 ( RR
1/4
)
e
I(R) = I0 · e
13
−1
(3.23)
Hierbei ist R der auf die Himmelsebene projizierte Radius und I(R) die projizierte
Intensität. Der Nachteil dieser Gleichung ist jedoch, dass ihre zugehörige deprojizierte
Dichteverteilungsfunktion nicht analytisch bestimmt werden kann. Daher schlug Jae
1983 eine Dichteverteilung vor, die ebenfalls gut die beobachtetete Helligkeitsverteilung beschreiben kann und wegen ihrer Form leichter handhabbar ist als de Vaucou−2
leurs Prol: ρJ (r) ∼ r−2 (r + rs ) . Jaes Verteilung verhält sich für kleine Radien wie
ρJ ∼ r−2 , wohingegen sich die zu de Vaucouleurs Modell korrespondierende Dichtefunktion wie ρV ∼ r−3/4 verhält. Daher schlug Hernquist 1989 eine Dichtevereilungsfunktion
vor, die in ihrer Form der von Jae ähnelt, sich für kleine Radien aber de Vaucouleurs
Verteilung annähert [He90]:
1
.
(3.24)
ρH (r) ∼
r(r + rs )3
Für kleine Radien gilt nun ρ ∼ r−1 , was dem Verhalten von de Vaucouleurs Formel
schon wesentlich ähnlicher ist als Jaes Verteilung. Hernquist verallgemeinerte seine
Formel (3.24) auf folgende fünf-parametrige Funktion:
ρ(r) = ρs
r
rs
−γ α γ−β
α
r
1+
rs
(3.25)
wobei ρs und rs Skalierungsgröÿen sind. Das Dichteprol (3.25) verhält sich für kleine
Radien wie ρ ∼ r−γ und für groÿe Radien wie ρ ∼ r−β .
Es gibt eine Vielzahl an Halo-Modellen dieser Form, die sich in der Wahl der Parametersets (α, β, γ) unterscheiden. Eine Übersicht über diese Modelle ist in Tabelle 2
in Kapitel 3.3 angegeben. Die Eigenschaften der drei bekanntesten Halo-Modelle der
Form von Hernquist nach Formel (3.25) werden im Folgenden diskutiert.
Navarro, Frenk, White (NFW)
Das NFW-Modell [NFW95] basiert auf einer
Simulation eines CDM (Cold Dark Matter) Universums, bei der 19 ausgewählte Halos verschiedener Massen (vier Gröÿenordnungen) und Rotationsgeschwindigkeiten mit
insgesamt 323 Teilchen untersucht wurden. Alle 19 Halos werden durch ein Dichteprol
der Formel (3.25) mit dem Parameterset (α, β, γ) = (1, 3, 1) gut beschrieben:
ρ(r) = ρs
r
rs
−1 1+
r
rs
−2
.
(3.26)
Die zu (3.26) korrespondierenden Geschwindigkeitsprole wurden mit den beobachteten
Geschwindigkeitskurven von 4 Zwerggalaxien verglichen. Dabei el auf, dass die durch
14
das NFW-Modell beschriebenen Halos im Zentrum zu konzentriert zu sein scheinen, um
die beobachteten Geschwindigkeiten zu erklären. Die Dichten der Zwerggalaxien weisen
im Zentrum eine nahezu konstante Dichte auf, während die Dichte im NFW-Modell für
kleine Radien divergiert.
Moore
Bei der Simulation, die für das Halo-Modell von Moore et al. Grundla-
ge ist, wurden 6 Halos mit jeweils ≥ 106 Teilchen beobachtet [Mo99]. Ebenso wie bei
der NFW Simulation wurde ein CDM Universum angenommen, die Simulation wurde
jedoch mit einer höheren Auösung durchgeführt. Die 6 Halos wurden aus allen simulierten Halos so ausgewählt, dass sie maximale Rotationsgeschwindigkeiten im Bereich
130 − 230 km s−1 haben. Die Dichteverteilung der 6 Halos kann gut durch Formel (3.25)
mit dem Parameterset (α, β, γ) = (1.5, 3, 1.5) beschrieben werden:
ρ(r) = ρs
r
rs
−1,5
1+
r
rs
1,5 !−1
.
(3.27)
Für den Vergleich mit den Beobachtungen wurden einige LSB (Low Surface Brightness)
Galaxien mit maximalen Geschwindigkeiten von (100 − 300) km s−1 ausgewählt. Die
Rotationskurven dieser Galaxien wurden auf 2 verschiedene Weisen mit denen der 6
simulierten Halos verglichen.
Zum Einen wurden die beobachteten Geschwindigkeiten mit den direkt aus den
Daten folgenden Geschwindigkeiten der Halos verglichen. Dafür wurden sowohl die Rotationskurven der Galaxien als auch die der simulierten Halos so skaliert, dass ihre
maximale Geschwindigkeit bei 200 km s−1 liegt. Der baryonische Anteil der LSB Galaxien wurde dabei als vernachlässigbar angenommen.
Zum Anderen wurde die zu Formel (3.27) gehörende Geschwindigeitsverteilung an
die LSB Kurven angettet.
Bei beiden Vergleichen wurde festgestellt, dass die beobachteten Kurven nicht gut
durch das Prol (3.27) reproduziert werden können.
Kravtsov
Im Gegensatz zu den Modellen von Moore und NFW beruht die Wahl
der Parameter (α, β, γ) bei Kravtsovs Modell auf der Beschreibung von beobachteten
Rotationskurven und nicht auf einer Simulation [Kr98]. Dafür wurden 10 Zwerggalaxien
und 7 LSB Galaxien untersucht, deren geschätzter Anteil an dunkler Materie bei mehr
als 85 % liegt, so dass der Anteil baryonischer Materie als vernachlässigbar angenommen
15
werden kann. Grundlage ist die Annahme, dass sich die Dichteverteilung wie Formel
(3.25) verhält. Der Abfall der Rotationskurven für groÿe r hängt von dem Parameter
β ab. Die Rotationskurven der meisten ausgewählten Galaxien haben jedoch an ihren
äuÿersten Messpunkten noch nicht angefangen abzufallen. Daher wird der Parameter
β wie beim NFW Modell auf β = 3 festgelegt. Bei dem Wert von α besteht die gleiche
Problematik. Es wurden nur die Galaxien untersucht, mit denen α bestimmt werden
konnte. Der so ermittelte Wert von α (α = 2) wurde dann auf alle Galaxien verallgemeinert. Der letzte fehlende Wert γ ergab sich durch Antten der Funktion (3.25) mit
festen Werten α und β an die Rotationskurven der verschiedenen Galaxien. Der Wert
γ = 0.2 konnte die beobachteten Kurven am besten reproduzieren. Als Parameterset
ergab sich so (α, β, γ) = (2, 3, 0.2) und damit:
ρ(r) = ρs
r
rs
−0,2
1+
r
rs
2 !−1,4
.
(3.28)
3.2.2 Isothermes Prol
Es gibt eine Reihe von Dichteprolen, die von den theoretischen Überlegungen des
Abschnitts 3.1 geprägt sind. Diese Dichteprole haben das gleiche Verhalten von ρ(r) ∼
r−2 für groÿe r wie das isotherme Prol (3.22).
Das bekannteste dieser isothermen Prole wird in [B+91] eingeführt: 1991 untersuchten Begemann, Broeils und Sanders die Rotationskurven von 10 Galaxien. Ihr Ziel
war es, die beobachteten Geschwindigkeiten auf Konsistenz mit der Theorie der Modizierten Newtonschen Dynamik (MOND) [MB87] sowie mit dem Modell von Dunkler
Materie zu prüfen. Für den Vergleich der Theorie mit der Beobachtung von letzterem
führten sie das sogenannte modizierte isotherme Dichteprol ein:
ρ(r) =
ρs
2 .
1 + rr2
(3.29)
s
Dieses führt also im Gegensatz zu den Hernquist-Modellen aus Kapitel 3.2.1 zu einer
endlichen Dichte ρs . Das zu Formel (3.29) gehörende Geschwindigkeitsprol tteten
Begemann et al. an die beobachteten Geschwindigkeitskurven der Galaxien an und
fanden eine gute Übereinstimmung.
16
3.2.3 Burkert
Burkert et al. untersuchten 1995 die Rotationskurven von 4 Zwerggalaxien, die fast
ausschlieÿlich aus dunkler Materie bestehen, so dass der Anteil baryonischer Materie
vernachlässigt werden konnte. Es stellte sich heraus, dass eine Dichteverteilung folgender
Form die beobachteten Geschwindigkeitskurven gut beschreiben kann [Bu95]:
ρ(r) = ρs
2 .
r
1 + rs
1 + rrs
(3.30)
Für kleine Radien ergibt sich also eine konstante Dichte ρs .
3.2.4 Einasto
Sersic verallgemeinerte 1963 de Vaucouleurs Leuchtstärke-Prol (3.23), indem er den
Exponenten 1/4 durch 1/n ersetzte, wobei n ein freier Parameter ist. Da sowohl de
Vaucouleurs als auch Sersics Gesetz eine empirisch hergeleitete Funktion ohne theoretische Grundlage ist, überlegte sich Einasto 1969, dass auch Dichteprole durch eine
Funktion der Form von Sersics Gesetz beschrieben werden können:
1
−dn
( rrs ) n −1
!
(3.31)
.
ρ(r) = ρs e
Wichtig ist, dass hierbei r den räumlichen Radius beschreibt und nicht wie ursprünglich
in de Vaucouleurs Prol (3.23) den projizierten Radius. rs ist der Radius des Volumens,
in dem sich die Hälfte der gesamten Masse des Halos bendet. Die Funktion dn ergibt
sich durch das Lösen folgender Gleichung:
1
M (rs ) = · Mtot ⇔
2
ˆrs
1
ρ(r) · r2 dr = ·
2
0
ˆ∞
ρ(r) · r2 dr .
(3.32)
0
Damit ergibt sich für dn näherungsweise folgende Lösung:
dn = 3n −
1
+ 0.0079/n für n & 0.5 .
3
Typische Werte von n liegen zwischen 4 und 7.
17
(3.33)
3.2.5 Prugniel-Simien
Sersics Gesetz beschreibt ursprünglich die Oberächen-Helligkeit in Abhängigkeit von
dem auf die Himmelsebene projizierten Radius. So wie Einasto übertrugen Prugniel
und Simien Sersics Gesetz auf Dichteprole, jedoch unter der Annahme, dass die so
erhaltene Dichteverteilung auch die projizierte Dichteverteilung sei. Die deprojizierte
Dichteverteilung ergibt sich dann zu [PS97, Gleichung B6]:
ρ(r) = ρs
r
rs
−pn
1/n
e−bn (r/rs )
(3.34)
mit pn = 1 − 0,6097
+ 0,05463
und bn = 2n − 31 + 0,009876
. Dieses Prol wird im Folgenden
n
n2
n
oft mit der Abkürzung PS bezeichnet.
3.3 Skalierung der Dichteprole
Die Dichteprole, die in Abschnitt 3.2 vorgestellt wurden, hängen alle von mindestens
zwei Skalierungsparametern ρs und rs ab. Um diese Parameter so zu bestimmen, dass
die resultierende Dichteverteilung das Prol unserer Galaxie gut beschreibt, müssen
zwei Bedingungen aufgestellt werden, die das Dichteprol erfüllen muss. Das Vorgehen,
das hier im Folgenden beschrieben wird, lehnt sich an das von Bergström et al. an
[BU97].
1. Die gesamte Masse der Milchstraÿe innerhalb von 100 kpc um das galaktische
Zentrum soll (7 ± 2, 5) · 1011 Sonnenmassen entsprechen [DB97, Gleichung 15]. Die
Masse innerhalb eines bestimmten Radius r lässt sich durch Raumintegration über
die Dichteverteilung ρ(r) berechnen. Durch die Annahme, dass 90 % der gesamten
Materie dunkle Materie ist, folgt die erste Bedingung für die Dichteverteilung
dunkler Materie ρ(r):
100
ˆ kpc
r2 · ρ(r)dr = (6, 3 ± 2.5) · 1011 M0 .
MDM (r ≤ 100 kpc) = 4π
(3.35)
0
wobei M0 einer Sonnenmassen entspricht.
2. Das Dichteprol soll konsistent sein mit der Bahngeschwindigkeit unserer Sonne. Sowohl für den Abstand der Sonne zum galaktischen Zentrum Rsc als auch
für die Geschwindigkeit unseres Sonnensystems θ0 gibt es verschiedene Angaben.
18
Kerr und Lynden-Bell [KL86] bildeten den Mittelwert von Messergebnissen dieser
Gröÿen zwischen den Jahren 1974 und 1986. Auf diese Weise erhielten sie:
θ0 = 220 ± 20 km s−1 .
(3.36)
Rsc = 8, 5 ± 1, 1 kpc .
(3.37)
Die Geschwindigkeit θ0 setzt sich aus den Beiträgen des Halos vHalo und der
2
2
. Der Beitrag der Scheibe wird
+ vHalo
Scheibe vScheibe zusammen: θ02 = vScheibe
in [BU97] als vScheibe = 137 ± 16 km s−1 angenommen. Damit ergibt sich für die
Geschwindigkeit des Halos:
vhalo ∼ 128 − 207 km s−1 .
(3.38)
Hier wird ein mittlerer Wert von 150 km s−1 angenommen. Der Zusammenhang
zwischen Rotationsgeschwindigkeit und Dichte ergibt sich durch Aufstellen eines
Kräftegleichgewichtes von Zentripetalkraft und Gravitationskraft:
M · v 2 (R)
G · M · m(R)
=
.
R
R2
(3.39)
Hierbei ist m(R) die Masse innerhalb des Radius R vom galaktischen Zentrum.
Umformen der Gleichung (3.39) nach der Geschwindigkeit liefert damit folgende
zweite Bedingung:
2
vhalo
4πG
=
R0
ˆRsc
r2 · ρ(r)dr ≈ (150 km s−1 )2 .
(3.40)
0
Mit diesen zwei Bedingungen aus Gleichung (3.35) und (3.40) wurden die Parameter ρs
und rs für die in Kapitel 3.2 vorgestellten Halo-Modelle bestimmt.
Auÿer den in Kapitel 3.2.1 vorgestellten Modellen von NFW, Moore und Kravtsov gibt es noch andere Modelle der Form von Hernquist nach Gleichung (3.25) mit
verschiedenen Parametersets (α, β, γ). Die Parameter α,β ,γ sowie die Skalierungsgröÿen ρs und rs dieser Modelle werden in Tabelle 2 zusammengefasst. Die Gröÿen ρs , rs
und ggf. n der übrigen Halo-Modelle aus Kapitel 3.2.2 bis 3.2.5 werden in Tabelle 3
zusammengetragen.
19
Modell
NFW
Kravtsov
Moore
Jing, Suto (JS)
Rasia, Tormen, Moscardini (RTM)
Dehnen, McLaughlin (DM)
α
1
2
1,5
1
1
β
3
3
3
3
2,5
γ
1
0,2
1,5
1,5
1
4
9
31
9
7
9
ρs
GeV cm3
0,41
0,94
0,05
0,04
1,09
2,28
ρsc GeV
rs [kpc]
cm3
0,33
16
0,45
10
0,31
31
0,30
39
0,31
8
0,33
25
Tabelle 2: Parameter verschiedener Halo-Modelle der Form von Hernquist (3.25) aus
Kapitel 3.2.1: ρs und rs sind Skalierungsgröÿen, die gemäÿ den Bedingungen aus Gleichung (3.35) und (3.40) bestimmt wurden; ρsc ist die Dichte im Abstand von 8, 5 kpc
zum galaktischen Zentrum; (α, β, γ) bestimmen die Form der Dichtefunktion ρ(r).
Modell
Isotherm
Burkert
Einasto
Prugniel-Simien (PS)
GeV ρs GeV
ρ
rs [kpc] n
sc
3
cm
cm3
19,39
0,31
1
1,70
0,43
9
0,0015
0,33
88
4,3
1,37
0,30
145
4,1
Tabelle 3: Skalierungsgröÿen ρs , rs und ggf. n der Halo-Modelle 3.2.2 bis 3.2.5, bestimmt
gemäÿ den Bedingungen aus Gleichung (3.35) und (3.40); ρsc ist die Dichte im Abstand
von 8, 5 kpc vom galaktischen Zentrum.
3.4 Vergleich der Prole
Die Halo-Modelle der Form von Hernquist nach Gleichung (3.25) aus Kapitel 3.2.1
werden mit den entsprechenden Parametern aus Tabelle 2 in Abbildung 3.1 dargestellt.
Die Dichte dunkler Materie ist im Zentrum der Milchstraÿe am gröÿten und fällt nach
auÿen hin ab. Aus Abbildung 3.1 ist erkennbar, dass sich die Dichteprole für kleine
Abstände stark unterscheiden. Für die Dichte bei 0, 01 kpc liegt dieser Unterschied bei
ungefähr einer Gröÿenordnung, ausgenommen das Modell von Kravtsov. Für kleine
Abstände weicht dieses um 2-3 Gröÿenordnungen von den anderen Prolen ab. Ab
einem Radius von ca. 2, 5 kpc sind die Modelle ähnlich. Auch hier weicht jedoch das
Prol von Kravtsov verhältnismäÿig stark von den anderen Modellen ab.
20
Abbildung 3.1: Dichteverteilungen ρ(r) der verschiedenen Halo-Modelle der Form von
Hernquist nach Formel (3.25) mit den Parametern aus Tabelle 2; r in kpc und ρ in GeV
.
cm3
In Abbildung 3.2 werden die Halo-Modelle aus 3.2.2 bis 3.2.5 mit den Parametern
aus Tabelle 3 dargestellt. Zum Vergleich wird hier zusätzlich noch das NFW-Modell aus
3.2.1 abgebildet.
Abbildung 3.2: Dichtefunktionen ρ(r) der Halo-Modelle 3.2.2 bis 3.2.5 mit den Parametern aus Tabelle 3; r in kpc und ρ in GeV
.
cm3
21
Wie schon bei den Hernquist-Modellen aus Abbildung 3.1 fällt auch hier auf, dass
sich die Dichteprole für kleine Abstände stark unterscheiden. Ab einem Abstand von
ca. 4 − 5 kpc nähern sich die verschiedenen Modelle jedoch an, wobei das Modell von
Burkert noch verhältnismäÿig stark von den anderen abweicht.
Aufgrund der groÿen Unterschiede der Dichte-Prole für kleine Abstände (r . 5 kpc)
wird der nach Gleichung (2.1) erwartete Neutrinouss aus der Region des galaktischen
Zentrums stark von der Wahl des Halo-Modells abhängen. Im Gegensatz dazu sollte der
Neutrinouss aus äuÿeren Regionen der Milchstraÿe nahezu unabhängig von der Wahl
des Halo-Modells sein.
2006 simulierten Merritt et al. [Me+06] sechs Galaxiehaufen-groÿe und vier Galaxiegroÿe Halos, um verschiedene Halo Modelle zu testen. Unter den getesteten Modellen
waren folgende:
ˆ Einasto (Kapitel 3.2.4)
ˆ Hernquist mit (α, β, γ) = (1, 3, γ) (Kapitel 3.2.1)
ˆ NFW (Kapitel 3.2.1)
ˆ Dehnen und McLaughlin (Kapitel 3.2.1)
ˆ Prugniel-Simien (Kapitel 3.2.5)
ˆ Burkert (Kapitel 3.2.3)
Dabei stellte sich heraus, dass das Modell von Prugniel und Simien die Galaxiehaufengroÿen Halos am besten beschreiben kann. Das Modell von Einasto schnitt jedoch bei
den Galaxie-groÿen Halos besser ab und konnte als einzige Funktion die Dichteprole
aller Halos gut beschreiben (am besten oder zweitbesten).
Wie in Kapitel 3.2.1 erläutert, stehen die Prole aus N-Teilchen-Simulationen von
Moore und NFW im Konikt zu den Beobachtungen. Das Prol von Kravtsov, welches
empirischen Ursprungs ist, hat verglichen mit NFW und Moore eine achere Form.
Es werden allgemein die acheren Halo-Prole (Kravtsov, Isotherm, Burkert, Einasto)
durch Beobachtungen von z.B. den Rotationskurven von Galaxien bevorzugt [G+04].
22
4 Die baryonische Dichteverteilung in der Milchstraÿe
In diesem Abschnitt soll ein kurzer Vergleich zwischen der Verteilung baryonischer
Materie und der Verteilung von dunkler Materie in unserer Galaxie gemacht werden.
Um die Massenverteilung in der Milchstraÿe zu beschreiben, zerlegten W. Dehnen
und J. Binney 1997 die gesamte Massendichte in insgesamt 5 Komponenten [DB97]: die
interstellare Materie, die dünne Scheibe, die dicke Scheibe, die zentrale Ausbauchung
und den Halo. Die ersten vier Komponenten beziehen sich auf den Beitrag baryonischer
Materie, der Halo ist die Komponente der dunklen Materie. In diesem Kapitel wird nur
auf ihre Ergebnisse zu der baryonischen Massenverteilung eingegangen.
Die interstellare Materie (ISM) und die dünne und dicke Scheibe werden durch eine
Funktion folgender Form beschrieben:
P
Rm
R
|z|
· exp −
−
−
.
ρd (R, z) =
2zd
r
Rd
zd
d
(4.1)
Hierbei ist R der Radius in der galaktischen Ebene und z die Höhe von der galaktischen
P
Ebene aus gesehen. Rd und zd sind Skalierungsgröÿen, d ist die zentrale Oberächendichte. Der Term Rm /r im Exponenten berücksichtigt, dass eine Abschwächung der
interstellaren Materie im Abstand von 5 − 200 pc vom galaktischen Zentrum beobachtet
wird. Die zentrale Ausbauchung wird durch folgende Funktion beschrieben:
ρb (R, z) = ρ0
m
r0
−γ γ−β
m
m2
1+
· exp(− 2 )
r0
rt
(4.2)
1
mit m = (R2 + z 2 q −2 ) 2 . ρ0 und r0 sind hierbei Skalierungsgröÿen, die Gröÿe q beschreibt
die Abweichung der Ausbauchung von einer sphärischen Form. Durch den Exponentialterm wird die Ausbauchung beim Abstand rt sanft abgeschnitten.
Die von Dehnen und Binney [DB97] festgelegten Parameter der Scheibenkomponenten und Ausbauchung sind in Tabelle 4 und 5 angegeben.
Komponente
ISM
dünne Scheibe
dicke Scheibe
Rm
zd
4 kpc
40 pc
0
180 pc
0
1000 pc
Tabelle 4: Festgelegte Parameter der Dichtefunktion ρd (R, z) aus Formel (4.1) für die
Scheibenkomponenten.
23
β
1,8
γ
1,8
q
0,6
r0
rt
1 kpc 1, 9 kpc
Tabelle 5: Festgelegte Parameter der Dichtefunktion ρb (R, z) für die Ausbauchung nach
Formel (4.2).
Die übrigen Gröÿen
Rd für die verschiedenen Scheibenkomponenten und ρ0
für die zentrale Ausbauchung ergaben sich durch Fits an folgende Messgröÿen: die
Rotationskurve innerhalb von R0 , die Rotationskurve auÿerhalb von R0 und andere
Gröÿen wie die Masse innerhalb 100 kpc oder die Oortschen Konstanten.
Dehnen und Binney haben insgesamt 22 verschiedene Modelle aufgestellt, die unterschiedlich gut die einzelnen Messgröÿen wiedergeben können. Diese Modelle unterP
scheiden sich in ihren Werten für die Fitparameter d , Rd und ρ0 . Wegen der groÿen
Anzahl der verschiedenen Modelle, ist die Massenverteilung baryonischer Materie daher
relativ unsicher. Hier wird ihr Modell 2 betrachtet, die zugehörigen Fitparameter stehen
in Tabelle 6.
P h M0 i
Komponete
Rd [kpc]
d pc2
P
d,
ISM
dünne Scheibe
dicke Scheibe
113,7
1022,3
73,0
4,8
2,4
2,4
Tabelle 6: Fitparameter der Dichtefunktion ρd (R, z) nach Formel (4.1) der Scheibenkomponenten.
Der Fitparameter ρ0 der zentralen Ausbauchung ist:
ρ0 = 0, 7561
Mo
pc3
(4.3)
wobei M0 einer Sonnenmasse entspricht.
Die Dichteverteilung baryonischer Materie ergibt sich aus der Summe der verschiedenen Beiträge der Scheibenkomponenten und der Ausbauchung nach Formel (4.1) und
(4.2):
ρbar = ρISM + ρdünn + ρdick + ρAusbauchung .
(4.4)
In Abbildung 4.1 wird die baryonische Dichteverteilung (4.4) mit den Werten aus den
Tabellen 4 bis 6 und Formel (4.3) dargestellt. Zum Vergleich wird zusätzlich die Verteilung dunkler Materie nach dem NFW Modell aus Kapitel 3.2.1 abgebildet. Es wird
24
einmal der Fall z = 0 abgebildet (Abbildung links), das andere Mal der Fall R = 0
(Abbildung rechts).
Abbildung 4.1: Dichteverteilung baryonischer Materie nach Formel (4.4) und dunkler
Materie nach dem NFW Modell nach Formel (3.26) in der Milchstraÿe, links für z =
0, rechts für R = 0. Die benutzten Parameter stehen in den Tabellen 4 bis 6 und
Gleichung(4.3) (baryonische Materie) und Tabelle 2 für das NFW-Modell.r in kpc und
.
ρ in GeV
cm3
Aus Abbildung 4.1 ist zu erkennen, dass für Radien (bei z = 0) bis zu ca. 40 kpc die
baryonische Dichte gröÿer ist als die Dichte dunkler Materie. Für gröÿere Radien fällt
die baryonische Dichte sehr stark ab, während die Dichte dunkler Materie im Verhältnis
dazu hoch ist. In z-Richtung ist dagegen bereits ab ca. 1 kpc die Dichte dunkler Materie
gröÿer als die der baryonischen. Wegen der sphärischen Form des Halos im Gegensatz zu
der achen Ausdehnung der Galaxie ist daher auch die Masse des Halos sehr viel gröÿer
als die der Galaxie. Laut [DB97] ist die gesamte Masse baryonische Materie (Scheibe
und Ausbauchung) 5, 8 · 1010 M0 , die Masse der dunklen Materie innerhalb von 100 kpc
ist 59, 4 · 1010 M0 . Der Anteil baryonischer Materie in unserer Milchstraÿe liegt demnach
bei ca. 10 %.
25
5 Berechnung des Sichtlinienintegrals J(ψ)
Der Neutrinouss aus Formel (2.1) hängt von den modellabhängigen Gröÿen < σA v >,
dNν /dE , mχ sowie von dem betrachteten Halo-Modell ab. An dieser Stelle wird nur
der Einuss der Halo-Modelle auf den Neutrinouss betrachtet. Die Proportionalität
des Neutrinousses zum Sichtlinienintegral J(ψ) aus Formel (2.2) erlaubt eine Aussage
über den erwarteten Neutrinouss in Abhängigkeit vom Sichtlinienwinkel ψ .
5.1 Das Sichtlinienintegral J(ψ) in Abhängigkeit vom Sichtlinienwinkel ψ
Das Sichtlinienintegral J(ψ) aus Formel (2.2) wurde für die verschiedenen Halo-Modelle
aus Kapitel 3.2 numerisch berechnet. Es wurden jeweils die Integralwerte für variierende
Winkel zwischen 0° und 100° in Schritten von 0, 1° berechnet. Auftragen der Integralwerte gegen die entsprechenden Winkel ψ liefert die Abhängigkeit von J(ψ) bzw. vom
Neutrinouss vom Sichtlinienwinkel ψ . Als Gröÿe des Halos wurde hier RH = 100 kpc
angenommen. Für einige Modelle divergiert J(ψ) für ψ → 0 (NFW, Moore, RTM, JS,
DM und PS). Dieses Verhalten könnte ein Artefakt der Simulationen sein, die kleine räumliche Skalen nicht auösen können. Für das Modell von Kravtsov (ρ ∼ r−0,2 )
divergiert zwar die Dichte, das Integral J(ψ) ist jedoch endlich für ψ → 0. Um das
divergente Verhalten der genannten Halo-Modelle zu vermeiden, wird eine konstante
Dichte innerhalb eines Winkels von ψ ≤ 0, 1° angenommen, diesem Winkel entspricht
ein Radius von ca. 15 pc. Unter dieser Annahme kann J(0°) durch J(0, 1°) angenähert
werden. Dieses Vorgehen lehnt sich an das von [YH08] an.
In Abbildung 5.1 wird J(ψ) für die verschiedenen Halo-Modelle gegen den Winkel
aufgetragen. Zur besseren Übersicht werden die insgesamt 10 Prole in zwei Abbildungen unterteilt. Aus Abbildung 5.1 wird deutlich, dass der Neutrinouss für kleine
Winkel ψ am gröÿten ist und für gröÿere Winkel abfällt. Die erwarteten Werte für J(ψ)
bzw. für den Neutrinouss unterscheiden sich für kleine Winkel (ψ ≈ 0, 1°) je nach Modell um bis zu 5 Gröÿenordnungen. Bei ca. 15° − 20° nähern sich die Werte für J(ψ) für
die Hernquist-Modelle aus der oberen Abbildung einander an. Dies entspricht insofern
der Erwartung, als dass bei Betrachtung von Abbildung 3.1 bereits festgestellt wurde,
dass sich diese Dichteprole bei einem Radius von ca. r = 2, 5 kpc annähern. Dieser
Abstand entspricht ungefähr einem Winkel von ψ = arctan(2, 5/8, 5) ≈ 16°. Dagegen
streuen die übrigen Prole aus Abbildung 5.1 unten bei ψ = 16° noch wesentlich stärker
26
und nähern sich erst bei einem Winkel von ungefähr ψ = 30° einander an.
Figure 5.1: Sichtlinienintegral J(ψ) aus Formel (2.2) als Funktion von ψ für die verschiedenen Halo-Modelle aus Kapitel 3.2, ψ in Grad.
27
5.2 Der durchschnittliche Neutrinouss aus dem galaktischen
Zentrum
Der durchschnittliche Fluss aus einem gewissen Raumwinkel ∆Ω ist durch Formel (2.2)
gegeben, wobei J(ψ) durch J∆Ω (ψ) ersetzt wird. Das Integral J∆Ω (ψ) aus Formel (2.6)
wurde für die verschiedenen Halo-Modelle numerisch berechnet. An der Stelle ψ = 0
divergiert das Integral J∆Ω (ψ), auch hier wurde analog zu J(ψ) J∆Ω (0°) = J∆Ω (0, 1°)
angenommen.
Dem galaktischen Zentrum entspricht ungefähr ein Winkelbereich von ψ = 0° − 30°.
In Tabelle 7 sind die Werte für J∆Ω (30°) angegeben.
J∆Ω
NFW
31
Moore Kravtsov RTM Jing, Suto Dehnen, McLaughlin
113
7
44
151
47
Burkert Isotherm Einasto Prugniel-Simien
J∆Ω
8
73
23
88
Tabelle 7: J∆Ω (30°) aus Formel (2.6) für die verschiedenen Halo-Modelle aus Kapitel
3.2.
Der durchschnittliche Neutrinouss aus der Richtung des galaktischen Zentrums
variiert für die verschiedenen Halo-Modelle insgesamt bis um einen Faktor 25. Gleiches
gilt damit auch für den gesamten Neutrinouss aus Richtung des galaktischen Zentrums.
In [YH08] wurden die Integrale J∆Ω (30°) ebenfalls für das NFW-, Moore- und
Kravtsov-Modell gelöst. Die hier berechneten Werte aus Tabelle 8 stimmen gut mit
denen aus [YH08] überein.
In Abbildung 5.2 wird J∆Ω (ψ) gegen den Winkel ψ aufgetragen. So wie J(ψ) ist auch
J∆Ω (ψ) bei kleinen ψ maximal und fällt nach auÿen ab. Die erwarteten Werte für J∆Ω (ψ)
für kleine Winkel (ψ ≤ 0, 1°) unterscheiden sich um ungefähr 5 Gröÿenordnungen für die
verschiedenen Halo-Modelle. Die Betrachtung eines gröÿeren Winkelbereiches reduziert
diesen Eekt. Aus Abbildung 5.2 wird jedoch deutlich, dass sich die Werte von J∆Ω (ψ)
auch noch für gröÿere Winkel relativ stark voneinander unterscheiden, wohingegen die
Unterschiede der Werte von J(ψ) bei ca. 30° schon vernachlässigbar sind (Abbildung
5.1). Dieser Unterschied zwischen J(ψ) und J∆Ω (ψ) ist darin begründet, dass zu J∆Ω (ψ)
auch bei groÿen Winkeln ψ die Region, in der sich die Dichteprole stark unterscheiden,
beiträgt.
Für das Halo-Modell von Moore wurde getestet, ob die hier gewählte Grenze einer
konstanten Dichte innerhalb von ψ ≤0, 1° den Wert von J∆Ω (30°) beeinusst. Für dieses
28
Modell ist wegen seiner besonders divergenten Form der Einuss der Grenze maximal.
Bei einer anderen Wahl der Grenze von ψ ≤ 0, 05° blieb der Wert von J∆Ω (30°) nahezu
unverändert. Der Unterschied für die anderen Prole ist noch geringer.
Abbildung 5.2: J∆Ω (ψ) als Funktion von ψ für die verschiedenen Halo-Modelle aus
Kapitel 3.2, ψ in Grad.
29
5.3 Signikanz eines Neutrinosignals
Mit der Funktion J∆Ω (ψ) aus Abbildung 5.2 kann nun weiterhin die Signikanz bestimmt werden, mit der ein Neutrino detektiert wird, das aus der Annihilation dunkler
Materie stammt:
Das Neutrinosignal Nges , das ein Detektor auf der Erde misst, setzt sich zusammen
aus einem Untergrundsignal NU n und dem Signal, das aufgrund von der Annihilation
erwartet wird NAn , wobei NAn durch Formel (2.5) gegeben ist:
Nges = NU n + NAn .
Die Signikanz S(ψ) ist ein Maÿ für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil des gemessenen Signals aus der Annihilation dunkler Materie stammt. Diese Wahrscheinlichkeit
wird Sensitivität eines Neutrinosignals genannt. Die Signikanz S(ψ) gibt an, wie viele
Standardabweichungen das gemessene Signal Nges gröÿer ist als das Signal des Hintergrundes NU n :
S=
NAn
Nges − NU n
=
.
σU n
σU n
(5.1)
σU n ist die Standardabweichung des Untergrundsignales. Da der Untergrunduss von
Neutrinos sehr hoch ist und Detektionswahrscheinlichkeit von Neutrinos sehr gering ist,
wird das Untergrundsignal durch eine Poisson-Verteilung beschrieben. Für die Stan√
dardabweichung einer Poisson-Verteilung gilt: σU n = NU n . Es gilt folgende Proportionalität für das Neutrinosignal NAn :
NAn ∝ J∆Ω · ∆Ω .
(5.2)
Für die Standardabweichung des Untergrundsignals wird die grobe Näherung gemacht,
dass das Untergrundsignal proportional zum betrachteten Raumwinkel ∆Ω ist:
σU n =
p
√
NU n ∝ ∆Ω .
(5.3)
Nach Einsetzen dieser Relationen in Formel (5.1) ergibt sich folgende Proportionalität
für die Signikanz:
S(ψ) ∝ J∆Ω (ψ) ·
p
∆Ω(ψ)
(5.4)
Bei dem Maximum der Signikanz S(ψ) ist die Sensitivität für ein Neutrinosignal am
gröÿten.
30
In Abbildung 5.3 ist die Signikanz als Funktion vom Sichtlinienwinkel ψ abgebildet.
Abbildung 5.3: Signikanz S(ψ) 5.4 als Funktion von ψ für die verschiedenen HaloModelle aus Kapitel 3.2, ψ in Grad.
31
Es wird deutlich, dass die maximale Sensitivität bei den divergenten Prolen (alle
Prole aus der oberen Abbildung und PS aus der unteren) bei eher kleineren Winkeln (zwischen 0, 2° und 3°) erreicht wird. Für diese Prole ist es daher sinnvoll, einen
möglichst kleinen Winkelbereich zu betrachten. Bei Experimenten mit einer Winkelauflösung von ∼ 1° ist es praktisch nicht möglich, das Maximum der Signikanz zu treen.
Dieser Eekt ist bei den Modellen von Moore und JS besonders stark ausgeprägt. Schon
bei einem Winkel von 1° − 2° wird nur noch 1/10 der maximalen Höhe der Signikanz
erreicht. Die übrigen acheren Prole (Kravtsov, Burkert, Isotherm, Einasto) haben
ein Maximum bei gröÿeren Winkeln zwischen 8° bis 50°. Für diese Prole ist es daher
sinnvoll einen gröÿeren Winkelbereich zu betrachten. Die hier gemachte Näherung aus
Gleichung (5.3), dass das Untergrundsignal proportional zum betrachteten Raumwinkel ist, ist für gröÿere Winkel (ψ & 30°) jedoch nicht mehr realistisch. Für die Prole
von Kravtsov und Burkert ist es daher fraglich, ob der hier gefundene Wert für das
Maximum der Signikanz bei ψ ≈ 50° wirklich zuverlässig ist.
Auch hier wurde am Prol von Moore getestet, inwieweit die Wahl der Grenze für
eine konstante innere Dichte bei ψ ≤0, 1° die Signikanz beeinusst. Das Optimum der
Signikanz S(ψ) verschiebt sich von 0, 2° zu 0, 15°, der Einuss ist also nur sehr gering.
32
6 Zusammenfassung
Ziel dieser Arbeit war es den Neutrinouss aus der Annihilation dunkler Materie im
Hinblick auf die Unterschiede zwischen den verschiedenen Halo-Modellen zu untersuchen.
Es wurden insgesamt 10 verschiedene Halo-Prole untersucht, von denen viele aus
Simulationen der Entwicklung von N-Teilchen-Systemen stammen. Diese Prole wurden
durch geeignete Wahl der Parameter ρs und rs so skaliert, dass sie bekannte Messgröÿen
der Milchstraÿe reproduzieren können. Für alle der betrachteten Prole ist die Dichte im Zentrum am höchsten und fällt nach auÿen hin ab. Beim Vergleich der Prole
el auf, dass sie sich für kleine Abstände um bis zu 4 Gröÿenordnungen voneinander
unterscheiden und viele der Prole divergieren. Ab einem Radius von ca. 2, 5 kpc nähern sich die sogenannten Hernquist-Modelle einander an, die übrigen 4 Prole nähern
sich erst bei ca. 5 kpc an. Allgemein sagen Simulationen von N-Teilchen-Systemen divergente Prole voraus, diese stehen jedoch im Konikt zu beobachteten Gröÿen wie
den Rotationskurven von Galaxien. Es werden daher eher die acheren Prole durch
Beobachtungen bevorzugt.
Weiterhin wurde die Verteilung dunkler Materie mit der Verteilung baryonischer
Materie verglichen. In der Ebene der Milchstraÿe ist bis zu einem Radius von ca. 40 kpc
die Dichte baryonischer Materie gröÿer als die dunkler Materie. Wegen der achen
Form der Milchstraÿe im Gegensatz zu der sphärischen Form des Halos liegt der Anteil
baryonischer Materie jedoch nur bei ca. 10 % der gesamten Materie.
Das Integral J(ψ), welches proportional ist zum erwarteten Neutrinouss, wurde
für die verschiedenen Halo-Prole für den Winkelbereich ψ = 0° − 100° numerisch
gelöst. Dabei wurde für die divergenten Prole eine konstante Dichte für ψ ≤ 0, 1°
angenommen. Der erwartete Neutrinouss ist für kleine Winkel ψ am gröÿten und fällt
für gröÿere Winkel ab. Für kleine Sichtlinienwinkel ψ ≈ 0, 1° unterscheiden sich die
Werte für J(ψ) der verschiedenen Halo-Modelle um bis zu 5 Gröÿenordnungen, für
gröÿere Winkel nähern sie sich einander an. Für die Hernquist-Modelle unterscheidet
sich der Neutrinouss für Winkel ψ ≥ 15° − 20° kaum noch, die anderen Prole nähern
sich erst bei ca. 30° einander an.
Weiterhin wurde das Integral J∆Ω (ψ) berechnet, das proportional ist zum durchschnittlichen Neutrinouss aus dem Raumwinkel ∆Ω. Wie auch bei J(ψ) variieren die
berechneten Werte von J∆Ω (ψ) für kleine Winkel extrem, wohingegen die Betrachtung
von gröÿeren Winkelbereichen diesen Eekt reduziert. Der durchschnittliche Neutrino33
uss aus dem galaktischen Zentrum, dem ein Winkelbereich von ψ = 0° −30° entspricht,
unterscheidet sich je nach Halo-Modell bis um einen Faktor 25.
Mit der Funktion J∆Ω (ψ) konnte weiterhin die Sensitivität eines Neutrinosignals in
Abhängigkeit vom Sichtlinienwinkel ψ bestimmt werden. Das Maximum der Sensitivität
ist für die divergenten Prole (NFW, Moore, RTM, JS, DM und PS) bei Winkeln
zwischen 0, 2° und 3°. Für diese Prole ist es daher sinnvoll, einen möglichst kleinen
Winkelbereich zu betrachten. Bei Experimenten mit einer Winkelauösung von ∼ 1°
wäre es allerdings praktisch nicht möglich, das Maximum der Signikanz von diesen
Prolen zu treen. Für die acheren Prole (Kravtsov, Isotherm, Burkert, Einasto) liegt
dagegen das Maximum bei gröÿeren Winkeln zwischen 8° und 50°. Für diese Prole ist
daher die Betrachtung eines gröÿeren Winkelbereiches sinnvoll.
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