Ubungen zur Vorlesung Astroteilchenphysik ¨Ubungsblatt 7

Universität Erlangen–Nürnberg
Erlangen Centre for Astroparticle Physics (ECAP)
Wintersemester 2008/09
Übungen zur Vorlesung Astroteilchenphysik
Übungsblatt 7 (3. Dezember 2008)
Vorlesung: Mi 10:15-12:00 (HF)
Übungen: Mi 14:30-16:30 (SRTL 307)
Veranstalter: Uli Katz, Ira Jung
WWW: www.ecap.physik.uni-erlangen.de/˜katz/ws08/vat
11) Dunkle Materie im Sonnensystem
(a) Für die Abhängigkeit der Dichte ρ (r) der dunklen Materie in unserer Milchstraße vom Abstand r
zum galaktischen Zentrum werde folgender Zusammenhang angenommen:
c0
ρ (r) = 2 2
a +r
mit
c0 = 1.4 × 1039 kg/kpc
a = 2.8 kpc .
Berechnen Sie die Dichte der dunklen Materie an der Position der Sonne (Abstand der Sonne zum
galaktischen Zentrum 8 kpc).
(b) Berechnen Sie die Masse der dunklen Materie innerhalb der Erdbahn um die Sonne (Abstand
Erde zur Sonne RES = 1.5 × 1011 m).
Vergleichen Sie diese Masse mit der Sonnenmasse ( M⊙ = 2 × 1030 kg). Diskutieren Sie den Einfluss der dunklen Materie auf die Bewegung der Erde um die Sonne.
(c) Wie groß ist die Masse der dunklen Materie auf Skalen des typischen Abstands zwischen Sternen
(r12 ≈ 1 – 10 pc)?
12) Rotationskurven von Galaxien
In Aufgabe 11 hatten wir uns mit dem Einfluss der Dunklen Materie auf die Bewegung der Planeten
um die Sonne beschäftigt und dabei festgestellt, dass die Dunkle Materie in unserem Sonnensystem
keine Rolle spielt.
(a) Berechnen Sie unter der Annahme von Kreisbahnen die Geschwindigkeit v der Planeten in Abhängigkeit vom Abstand r zur Sonne.
(b) Welche Abhängigkeit der Umlaufgeschwindigkeit würden Sie für Sterne einer Galaxie erwarten,
die um das kugelförmige Galaktische Zentrum kreisen? Nehmen Sie dazu an, dass nahezu die
gesamte sichtbare Materie der Galaxie homogen im galaktischen Zentrum mit dem Radius RZ
verteilt ist. Skizzieren Sie die Umlaufgeschwindigkeit als Funktion des Abstands vom Zentrum
und vergleichen Sie Ihre Erwartungen mit der in Abb. 1 dargestellten Messung.
(c) Welche radiale Abhängigkeit müsste eine bis jetzt nicht berücksichtigte Massendichte (galaktischer Halo) in den äußeren Regionen haben, um den gemessenen Verlauf, der in diesen Bereichen
als konstant angenommen wird, erklären zu können? Nehmen Sie dazu an, dass in den betrachteten Bereichen die Masse der unsichtbaren Materie dominiert.
(d) Häufig wird die Dichte der Dunklen Materie durch
ρ (r) = ρ0
c0
2
a + r2
parametrisiert. Skizzieren Sie den radialen Dichteverlauf.
Welcher radiale Verlauf der Tangentialgeschwindigkeit von Sternen ergibt sich aus dieser Dichteverteilung? Skizzieren Sie diesen zusammen mit dem Ergebnis aus Aufgabenteil (b) in Abb. 1.
Abbildung 1:
Die Rotationskurve der Galaxie NGC3198 (Begeman 1989).
13) Direkte Suche nach Dunkler Materie in Form von WIMPs
Eine Möglichkeit der direkten Suche nach WIMPs besteht darin, die bei der Reaktion von WIMPTeilchen mit dem Detektor auftretenden Rückstoßkerne nachzuweisen und deren Energie zu bestimmen. Neben dem durch die Kerne erzeugten Ionisationssignal wird auch die durch die Anregung von
Phononen erzeugte Temperaturerhöhung des Detektors gemessen. Hierbei ist die Abhängigkeit der
spezifischen Wärmekapazität des Detektors c bei tiefen Temperaturen (T ≪ θD ) gegeben durch
c=
4π 4 k T 3
,
5 m θD3
wobei m die Molekülmasse und θD die Debye-Temperatur sind.
Das CRESST-Experiment, das im Grand-Sasso-Untergrundlabor (Italien) aufgebaut ist, verwendet als
Nachweismaterial Saphir-Kristalle, die bei einer Temperatur von 15 mK betrieben werden.
(a) Warum misst man bei so tiefen Temperaturen?
(b) Berechnen Sie den Temperaturanstieg in einem 262 g schweren Saphir-Kristall (Al2 O3 , θD =
1041 K), wenn durch den Kernrückstoß bei der WIMP-Reaktion eine Energie von 1 keV im Kristall deponiert wurde.