Übungsblatt 3

Übungsblatt 3
zur Vorlesung
Astroteilchenphysik im SS11
Besprechung in der Übung am 26.05.11
Hörsaal Herrmann-Herder-Str. 6 (Praktikumsgebäude)
Prof. Dr. H. Fischer, T. Guthörl ([email protected])
Aufgabe 1: Rotverschiebung
a) Gib die Denition für die Rotverschiebung
z
an!
b) Wie sieht der allgemeine Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit
der sich ein Objekt von uns entfernt, und der Rotverschiebung
z
v = βc,
mit
aus?
Hinweis: Drücke die Wellenlänge des Photons durch seine Energie aus und transformiere dann die Energie in ein Inertialsystem, das sich mit
β
bewegt.
c) Betrachte die beiden folgenden Fälle
i)
β1
ii)
γ1
und zeige, dass sich das Ergebnis von a) mit i) zu
z = v/c
und mit ii) zu
z = 2γ
vereinfachen läÿt.
d) Bei
z ≈ 1100, d.h. etwa 300 000 Jahre nach dem Urknall rekombinierten Protonen
und Elektronen zu Wasserstoatomen (Rekombinationsphase). Das Universum
wurde etwa zum selben Zeitpunkt transparent für Photonen. Betrachte nun die
Mikrowellenhintergrundstrahlung:
i) Was geschieht zum Zeitpunkt der Rekombination mit der Hintergrundstrahlung? Wie ist sie verteilt?
ii) Die heutige charakteristische Temperatur der Mikrowellenhintergrundstrahlung beträgt 2,7 K. Wie war ihre Temperatur zum Zeitpunkt der Entkopplung?
iii) Berechne die mittlere Energie, der diese Temperatur entspricht und vergleiche sie mit der Energie, die nötig ist um Wassersto zu ionisieren. Wie läÿt
sich der Unterschied erklären?
Aufgabe 2: Zustandsgleichung und Skalenfaktor
Die Friedmann Gleichungen sind gegeben durch
2
ȧ
k
8πG
+ 2 =
ρtot
a
a
3
2
ȧ
k
2ä
+
+ 2 = −8πGptot
a
a
a
d
d
ρtot a3 = −ptot a3
dt
mit der gesamten Energiedichte
Λ/(8πG).
(1)
(2)
(3)
dt
ρtot = ρMaterie + ρStrahlung + ρVakuum
und
ρVakuum =
a) Sind die 3 Friedmann-Gleichungen unabhängig? Welche Rolle spielt der Parameter
a = a(t)?
b) Was ist die physikalische Interpretation von Gleichung 3?
c) Meistens gilt eine einfache Beziehung zwischen
p = αρ
mit
α = konst.
Wie muss
ρ
ρ
und
p (Zustandsgleichung):
p = αρ eine Lösung von
aussehen, damit
Gleichung 3 ist?
d) Wie sieht somit
ρ
für die folgenden Fälle aus?
i) Strahlungs-dominiertes Universum
ii) Materie-dominiertes Universum
iii) Vakuumenergie-dominiertes Universum
e) Welche Abhängigkeit von der Zeit
t
ergibt sich für den Parameter a(t) in den
a ∝ tβ (gilt für kleine t).
drei Fällen aus Teil d)? Hinweis: Benutze den Ansatz
Aufgabe 3: Dunkle Materie im Sonnensystem
Der Zusammenhang zwischen Dichte
straÿe und dem Abstand
r
ρ(r)
der dunklen Materie in unserer Milch-
vom galaktischen Zentrum kann angenommen werden
als:
ρ(r) =
mit
c0 = 1.4 × 1039
kg/kpc und
a = 2.8
a2
c0
+ r2
kpc.
a) Berechne die Dichte der dunklen Materie an der Position der Sonne, wobei der
Abstand der Sonne zum galaktischen Zentrum
8
kpc ist.
b) Wie groÿ ist die Masse der dunklen Materie innerhalb der Erdbahn um die Sonne,
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wenn der Abstand der Erde zur Sonne RES = 1.5 × 10
m beträgt?
c) Was fällt auf, wenn man diese Masse mit der Sonnenmasse
M = 2 × 1030
kg
vergleicht? Welchen Einuÿ hat die dunkle Materie auf die Bewegung der Erde
um die Sonne?
d) Man betrachte nun typische Abstände zwischen Sternen (r1,2
groÿ ist die Masse der dunklen Materie auf diesen Skalen?
≈ 1 − 10
pc). Wie
Aufgabe 4: Rotationskurven von Galaxien
Aufgabe 3 zeigt, dass die dunkle Materie auf die Bewegung der Planeten um die
Sonne in unserem Sonnensystem keinen nennenswerten Einuÿ hat.
a) Bestimme die Geschwindigkeit
ihrem Abstand
r
v
der Planeten um Sonne in Abhängigkeit von
zu ihr. Nimm dazu an, dass sich die Planeten auf Kreisbahnen
bewegen.
b) Nehmen wir nun an, dass praktisch die gesamte sichtbare Materie in einer Galaxie homogen im kugelförmigen galaktischen Zentrum (Radius
RGZ )
verteilt ist.
Welche Abhängigkeit der Umlaufgeschwindigkeit ist für Sterne der Galaxie zu
erwarten, die um das galaktische Zentrum kreisen? Skizziere den so erhaltenen
Verlauf der Umlaufgeschwindigkeit als Funktion des Abstandes vom Zentrum.
Was fällt auf, wenn man dies mit der in Abb. 1 gezeigten Messkurve vergleicht?
c) Wenn man den gemessenen konstanten Verlauf erklären möchte, kann man eine
bis jetzt nicht berücksichtigte Massendichte (galaktischer Halo) in den äuÿeren
Regionen betrachten. Welche radiale Abhängigkeit müsste diese Massendichte
haben? Nimm dazu an, dass die nicht sichtbare Materie in den betrachteten
Regionen dominiert.
Abbildung 1: Rotationskurve der Galaxie NGC 4183 [Astrophysik. Institut Potsdam]
(bitte wenden)
Aufgabe 5: Gravitationslinsen und optische Tiefe
Im Falle eines galaktischen Mikrolinseneekts ist der Einsteinradius für einen GravitationslinsenStern von etwa einer Sonnenmasse so klein, dass er von Teleskopen auf der Erde
nicht aufgelöst werden kann. Allerdings bewirkt eine Bewegung der Quelle relativ
zur Gravitationslinse eine zeitabhängige Variation der Quelle, die für den Beobachter sichtbar ist. Die Möglichkeit ein Mikrolinsenereignis zu sehen wird oft durch die
optische Tiefe
τ
beschrieben, für die bei konstante Dichte
τ (DS ) =
mit
DS
ρ
gilt
2π Gρ 2
D
3 c2 S
als Distanz zwischen Beobachter und Quelle.
Zeige, dass für den Fall, dass die Masse einer Galaxie hauptsächlich in Form kompakter Objekte vorliegt, die homogen im Halo verteilt sind, folgendes gilt:
Die optische Tiefe τ des Linseneekts am Rand der Galaxie (DS = Rgal ) ist propor2
tional zu (v/c) , wobei v die Rotationsgeschwindigkeit der Galaxie ist.