Uebungsblatt 1 Datei

Statistik Übungensblatt 1
1. Es wird ein (idealer) Würfel und eine (ideale) Münze gleichzeitig geworfen.
(a) Geben sie alle Elementarereignisse an. Wieviele existieren?
(b) Berechne die Anzahl der Ereignisse mit einer geraden Anzahl Augen
und bei welcher die Münze Kopf zeigt. Berechne die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis.
(c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dass die Anzahl der Augen grösser
als 4 ist und die Münze Zahl zeigt.
(d) Berechne die Wahrscheinlichkeit dass die Münze Kopf oder Zahl zeigt
und die Anzahl der Augen ungerade ist.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass (b) oder (c), dass (b) oder (d), dass
(c) oder (d) und dass (b) oder (c) oder (d) eintritt. Welche Ereignisse sind
disjunkt? Geben sie auch an, warum sie nicht disjunkt sind.
Lösung
(a) {1|K, 2|K . . . 6|K, 1|Z, 2|Z . . . 6|Z}. Anzahl sind 12.
(b) Anzahl Ereignisse mit gerader Anzahl Augen sind 3, Anzahl Ereignisse
mit Kopf 1. Da die Ereignisse unabhängig sind ergibt dies eine An3
= 14
zahl von 3 · 1 = 3 und damit eine Wahrscheinlichkeit von p1 = 12
(c) Anzahl Ereignisse mit Anzahl Augen grösser als 4 sind 2, Anzahl
Ereignisse mit Zahl 1. Da die Ereignisse unabhängig sind ergibt dies
eine Anzahl von 2 · 1 = 2 und damit eine Wahrscheinlichkeit von
2
p2 = 12
= 61 .
(d) Anzahl Ereignisse mit ungerader Anzahl Augen sind 3, Anzahl Ereignisse
mit Kopf oder Zahl sind 2. Da die Ereignisse unabhängig sind ergibt
dies eine Anzahl von 3 · 2 = 6 und damit eine Wahrscheinlichkeit von
6
p3 = 12
= 21
5
für (b) oder (c) ergibt sich p = p1 + p2 = 14 + 16 = 12
, disjunkt.
1
1
3
für (b) oder (d) ergibt sich p = p1 + p3 = 4 + 2 = 4 , disjunkt.
7
für (c) oder (d) ergibt sich p = 12
6= p2 + p3 = 46 , nicht disjunkt. Elementarereignis {5|Z}.
11
für (b) oder (c) oder (d) ergibt sich p = 10
12 6= p1 + p2 + p3 = 12 , nicht
disjunkt. Elementarereignis {5|Z}.
2. In einer Urne befinden sich 10 rote, 15 blaue und 5 grüne Kugeln. Es
wird eine Kugel zufällig herausgegriffen. Jede der Kugeln habe die gleiche
Chance gezogen zu werden.
(a) Welches sind die Elemantarereignisse?
1
(b) Wie gross sind Wahrscheinlichkeiten eine blaue, eine rote resp. eine
grüne Kugel zu ziehen?
(c) Ziehe nun 2 Mal hintereinander eine Kugel und lege die erste Kugel
nach dem ziehen wieder zurück. Gebe die Anzahl der Elementarereignisse an!
(d) Wie sind die Wahrscheinlichkeiten dafür 1 rote und 1 grüne Kugel zu
ziehen oder zwei rote Kugeln zu ziehen? Sind die Ereignisse 1. Mal
ziehen und 2. Mal ziehen unabhängig? Muss man hier schauen, ob
die Ereignisse disjunkt sind?
Lösungen
(a) Elemantarereignisse sind, dass jede Kugel gezogen werden kann. Insgesamt also 30.
(b) prot = 31 , pgrün = 16 und pblau = 12
(c) Anzahl der Elemantarereignisse sind 302 = 900.
(d) p(ω = {grün|rot}) = 1/9 und p(ω = {rot|rot}) = 1/9. Die Ereignisse
sind unabhängig! Warum hat man dann den Faktor 2 beim Ziehen
einer roten und einer grünen Kugel?
3. Ein Billardspiel enthält 15 Kugeln. Die mit den Zahlen von eins bis 15
angeschrieben sind. Die Kugel von 1 bis und mit 8 sind ganz eingefärbt
und die restlichen Kugeln nur halb. Ihr steckt die Kugeln in eine Urne und
zieht 2 Kugeln zufällig heraus, wobei ihr die Kugeln immer direkt wieder
zurücklegt.
(a) Gebe die Elementarereignisse an.
(b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamteaugenzahl gleich 8 ist?
(c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln ganz eingefärbt
sind?
(d) Würdet ihr darauf wetten, dass die Gesamtaugenzahl gerade oder
dass die Gesamtaugenzahl ungerade ist wetten?
(e) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass (b) und (c) eintrifft.
Lösung
(a) {1|1, 1|2, 2|1, . . . , 13|15, 14|15, 15|15}, Anzahl 152 .
(b) p =
(c) p =
7
152
8·8
152
(d) p Gerade, p =
(e) p =
8·8+7·7
152
=
113
225
7
225
4. Wieviele verschiedene 8-stellige ’Computerworte’ (Bitfolgen aus 0 und 1)
existieren?(256)
2
5. Einfache Beispiele
(a) Frau Maier will ihre 5 Kinder für eine Gruppenaufnahme in einer
Reihe anordnen. Auf wie viel Arten kann sie dies tun?
(b) Auf wie viele Arten können die Buchstaben des Wortes ’nennen’ angeordnet werden?
(c) Wie viele siebenstellige Telefonnummern kann man aus zwei Fünfern,
4 Sechsern und 1 Siebner bilden?
(d) Ein Autofahrer muss auf seiner Fahrt 4 Ampeln passieren. Jede
Ampel hat 3 Phasen: grün, orange, rot. Die Ampeln sind nicht
aufeinander abgestimmt. Berechne die Anzahl der Möglichkeiten.
(e) Berechne auf wie viele Arten eine Kolonne eines Fussball-Totoscheines
(1,2,x) für 12 Spiele ausgefüllt werden kann.
(f) Eine Fussballmannschaft besteht bekanntlich aus 11 Spielern. Der
Trainer entscheidet sich dafür, 5 Spieler der Mannschaft für das
Elfmeterschiessen auszuwählen und gleichzeitig die Reihenfolge festzulegen, in welcher die 5 Spieler zum Elfmeter antreten sollen. Wie
viele Möglichkeiten gibt es für dieses Auswahlverfahren? Wieviele
Möglichkeiten existieren, falls er die Reihenfolge nicht festlegt?
(g) Aus einer Menge von 20 Pferden sollen 8 Pferde ausgewählt werden,
die an einem Rennen teilnehmen. Wieviele Möglichkeiten existieren?
(h) Aus 7 Bewerbern sind zwei Personen auszuwählen, die an einem Projekt mitarbeiten.
(i) Zehn Personen verabschieden sich nach einer Feier per Handschlag.
Wieviele Hände werden geschüttelt? Wieviele wenn es sich um 5
Ehepaare handelt?
Lösung
(a) 5! = 120
(b)
(c)
6!
4!·2! = 15
7!
4!·2!·1! = 105
4
(d) 3 = 81
(e) 312 = 531441
(f)
11!
(11−5)!
(i)
10·9
2
= 55440(festgelegt),
20
(g)
= 125970
8
7
(h)
= 21
2
= 45, Ehepaare
10·9
2
11
5
− 5 = 40
3
= 462
6. Aus 5 Franzosen, 10 Engländern und 6 Österreichern sollen 2 Personen
verschiedener Nationalität ausgewählt werden. Wie viele Kombinationen
gibt es?
Lösung
5 · 10 + 5 · 6 + 6 · 10 = 140
7. 4 Kochbücher, 5 Physikbücher und 6 Chemiebücher sollen auf einem Regal nebeneinander gestellt werden.
(a) Auf wie viele Arten kann man das tun, wenn alle Bücher völlig zufällig
nebeneinander gestellt werden?
(b)Auf wie viele Arten kann man das tun, wenn Bücher des gleichen Stoffgebietes nebeneinander gestellt werden sollen und alle Bücher verschieden
sind?
Lösung
(a)15! = 1.3 · 1012
(b)4! · 5! · 6! · 3! = 120 4410 600
4