1.6.2 Poisson Verteilung (vgl. z.B. Fahrmeir et. al)) Eine weitere

Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.6 Wichtige Verteilungsmodelle
1.6.2 Poisson Verteilung
(vgl. z.B. Fahrmeir et. al))
Eine weitere wichtige diskrete Verteilung ist die Poisson-Verteilung. Sie modelliert die
Anzahl (eher seltener) Ereignisse in einem Zeitintervall (Unfälle, Todesfälle; Sozialkontakte, deviante Verhaltensmuster, etc.).
Definition 1.59. [Poisson-Verteilung]
Eine Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
f (x) = P (X = x) =
λx −λ
,
x! e
x ∈ {0, 1, . . .}
0,
sonst
heißt Poisson-verteilt mit Parameter (oder Rate) λ > 0, kurz X ∼ P o(λ). Es gilt
E(X) = λ,
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Var(X) = λ
164
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.6 Wichtige Verteilungsmodelle
Die Poisson-Verteilung kann auch als Näherungsmodell für eine Binomialverteilung
gesehen werden, wenn die Anzahl der Versuchswiederholungen n groß und die Treffer”
wahrscheinlichkeit“ π sehr klein ist (seltene Ereignisse!).
Der Erwartungswert λ ist dann gleich n · π.
Es gilt also abgekürzt geschrieben
X ∼ B(n, π) =⇒ X P o(n · π)
n groß
π klein
Hat man mehrere unabhängige Poisson-Prozesse“, also dynamische Simulationen, bei
”
denen die Ereignisanzahl Poisson-verteilt ist, also z.B. verschiedene deviante Verhaltensmuster, so ist die Gesamtanzahl der einzelnen Ereignisanzahlen wieder Poisson-verteilt:
genauer gilt
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
165
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.6 Wichtige Verteilungsmodelle
Satz 1.60. [Addition von Poisson-verteilten Zufallsvariablen]
Sind X ∼ P o(λX ), Y ∼ P o(λY ) voneinander unabhängig, so gilt
X + Y ∼ P o(λX + λY ).
Beachte, die Unabhängigkeit (genauer die Unkorreliertheit, siehe später) ist wesentlich.
Hat man als Extremfall, z.B. zwei Ereignisse bei denen das eine das andere voraussetzt (Scheidungen, Scheidungen mit Streit um das Sorgerecht für Kinder), so ist die
Gesamtzahl nicht mehr Poisson-verteilt.
Es muss gelten, wenn X + Y Poisson-verteilt wäre:
Var(X + Y ) = E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = Var(X) + Var(Y ),
was aber bei abhängigen (korrelierten) X und Y verletzt ist.
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
166
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.6 Wichtige Verteilungsmodelle
Bsp. 1.61.
Max geht gerne auf Open-Air Festivals. Im Durchschnitt trifft er dort 6 weibliche
Bekannte und 3 männliche Bekannte.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau 6 weibliche Bekannte trifft?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens einen männlichen Bekannten
trifft?
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, das er weder einen männlichen noch eine
weibliche Bekannte trifft, auf 2 verschiedene Arten. Diskutieren Sie eventuell zu
treffende Zusatzannahmen.
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
167
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.6 Wichtige Verteilungsmodelle
1.6.3 Normalverteilung
Die Normalverteilung ist wohl das wichtigste Verteilungsmodell der Statistik, denn
• viele Zufallsvariablen sind (nach Transformation) (ungefähr) normalverteilt.
• beim Zusammenwirken vieler zufälliger Einflüsse ist der geeignet aggregierte Gesamteffekt oft approximativ normalverteilt (Zentraler Grenzwertsatz, Kap. 1.7).
• die asymptotische Grenzverteilung, also die Verteilung bei unendlich großem Stichprobenumfang, typischer statistischer Größen ist die Normalverteilung.
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
168
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.6 Wichtige Verteilungsmodelle
Definition 1.62.
Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern μ und σ 2, in
Zeichen X ∼ N (μ, σ 2), wenn für ihre Dichte gilt:
1
1
exp − 2 (x − μ)2 , x ∈ R
f (x) = √
2σ
2π · σ
(1.2)
und standardnormalverteilt, in Zeichen X ∼ N (0; 1), falls μ = 0 und σ 2 = 1 gilt (π
ist hier die Kreiszahl π = 3.14 . . .).
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
169
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.6 Wichtige Verteilungsmodelle
Grundlegende Eigenschaften:
a) Die Dichte der Standardnormalverteilung wird oft mit ϕ(x) bezeichnet, also
1
1
ϕ(x) = √ exp − x2
2
2π
und die zugehörige Verteilungsfunktion mit
x
Φ(x) =
ϕ(u)du
−∞
b) Φ(x) lässt sich nicht in geschlossener Form durch bekannte Funktionen beschreiben
=⇒ numerische Berechnung, Tabellierung.
c) μ und σ 2 sind genau der Erwartungswert und die Varianz, also, wenn X ∼ N μ, σ 2),
dann
E(X) = μ
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
und
Var(X) = σ 2.
170
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.6 Wichtige Verteilungsmodelle
d) Die Dichte ist symmetrisch um μ, d.h.
f (μ − x) = f (μ + x) .
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
171
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.6 Wichtige Verteilungsmodelle
Grundlegendes zum Rechnen mit Normalverteilungen:
• Es gilt:
Φ(−x) = 1 − Φ(x)
(folgt aus der Symmetrie der Dichte).
• Gilt X ∼ N (μ, σ 2), so ist die zugehörige standardisierte Zufallsvariable
Z=
X −μ
σ
standardnormalverteilt.
• Entscheidende Eigenschaft für die Tabellierung: Es reicht die Standardnormalverteilung zu tabellieren. Normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert μ und
Varianz σ 2 muss man, wie unten erläutert, zuerst standardisieren, dann kann man
aber auch die Standardnormalverteilungstabelle verwenden.
• Tabelliert sind die Werte der Verteilungsfunktion Φ(z) = P (Z ≤ z) für z ≥ 0.
Ablesebeispiel: Φ(1.75) =
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
172
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.6 Wichtige Verteilungsmodelle
• Funktionswerte für negative Argumente: Φ(−z) = 1 − Φ(z)
Berechnung bei allgemeiner Normalverteilung: Wie bestimmt man bei X ∼
N (μ, σ 2) die Wahrscheinlichkeiten P (X ≤ a) aus der Tabelle der Standardnormalverteilung?
Abgeschlossenheit gegenüber Linearkombinationen: Seien X1 und X2 unabhängig
und Xi ∼ N (μi, σi2), i = 1, 2. Ferner seien b, a1, a2 feste reelle Zahlen. Dann gilt
Y1 := a1X1 + b ∼ N (a1μ1 + b; a21σ12)
Y2 := a1X1 + a2X2 ∼ N (a1μ1 + a2μ2; a21σ12 + a22σ22).
Das Ergebnis lässt sich auf mehrere Summanden verallgemeinern.
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
173
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.6 Wichtige Verteilungsmodelle
Bsp. 1.63. [aus Fahrmeir et al.]
•
Schultischhöhe:
Stuhlhöhe:
Y
X
∼
∼
N (μY , σY2 ) ,
2
),
N (μX , σX
μY = 113 ,
μX = 83 ,
σY2 = 16
2
σX
= 25
• optimale Sitzposition: Tisch zwischen 27 und 29 cm höher als Stuhl.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Paar zueinander
gut passt?
Differenz: Y − X soll zwischen [27, 29] sein.
Definiere also
V := Y − X = Y + (−X)
Wegen −X ∼ N (−83, 25) gilt dann
V ∼ N (113 − 83, 16 + 25) = N (30, 41).
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
174
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.6 Wichtige Verteilungsmodelle
Außerdem ergibt sich durch Standardisieren:
27 ≤ V ≤ 29 ⇔ 27 − 30 ≤ V − 30 ≤ 29 − 30
27 − 30 V − 30 29 − 30
√
≤ √
≤ √
⇔
41
41
41
Damit lässt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen:
V − 30
≤ −0.156) =
P (27 ≤ V ≤ 29) = P (−0.469 ≤ √
41
= Φ(−0.156) − Φ(−0.469) =
= (1 − Φ(0.156)) − (1 − Φ(0.469)) =
= −0.5636 + 0.6808 = 0.1172
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
175
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
Gerade in der Soziologie beobachtet man häufig große Stichprobenumfänge.
• Was ist das Besondere daran?
• Vereinfacht sich etwas und wenn ja was?
• Kann man Wahrscheinlichkeitsgesetzmäßigkeiten“ durch Betrachten vielfacher Wie”
derholungen erkennen?
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
176
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
1.7.1 Das i.i.d.-Modell
Betrachtet werden diskrete oder stetige Zufallsvariablen X1, . . . , Xn, die i.i.d. (independently, identically distributed) sind, d.h. die
1) unabhängig sind und
2) die gleiche Verteilung besitzen.
Ferner sollen der Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 existieren. Die Verteilungsfunktion
werde mit F bezeichnet.
Dies bildet insbesondere die Situation ab in der X1, . . . , Xn eine Stichprobe eines
Merkmals X̃ bei reiner Zufallsauswahl sind.
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
177
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
Jede Funktion von X1, . . . , Xn ist wieder eine Zufallsvariable, z.B. das arithmetische
Mittel oder die Stichprobenvarianz
n
1
Xi
n i=1
n
1
2
(Xi − X̄)2
S̃ =
n i=1
Vor dem Ziehen der Stichprobe: Wahrscheinlichkeitsaussagen möglich =⇒ Wahrscheinlichkeitsrechnung anwenden
• Gerade bei diesen Zufallsgrößen ist die Abhängigkeit von n oft wichtig, man schreibt
dann X̄n, S̃n2
• Sind X1, . . . , Xn jeweils {0, 1}-Variablen, so ist X̄n gerade die empirische relative
Häufigkeit von Einsen in der Stichprobe vom Umfang n. Notation: Hn
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
178
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
später:
Induktionsschluss
Durchführen eines Zufallsexperiments // Ziehen einer Stichprobe
?
IMMER Wahrheit “
”
?
S−planung
→
VORHER
Wahre Urliste
x
1 , ..., x
N
Zufallsvariablen
X1 , . . . , Xn
eines Merkmals
(z.B. Xi Einkommen der i-ten Person)
¯
x
arithmetisches Mittel
in der Grundgesamtheit
s2
X
Varianz in
der Grundgesamtheit
F (x)
empirische Verteilungsfunktion
in der Grundgesamtheit
1
arithmetisches Mittel
n der Stichprobe
1
X = n i=1 Xi
NACHHER
W sktsrechn.
−→
Realisationen
x1 , . . . , xn
neue Urliste
⇓
Auswertung, z.B.
S−ziehung
←→
arithmetisches Mittel
n der Stichprobe
1
x̄ = n i=1 xi
Stichprobenvarianz
2
= 1 n (X − X)2
S
n i=1 i
←→
empirische Varianz1
1 n (x − x̄)2
s̃2 = n
i=1 i
empirische Verteilungsfunktion als
Zufallsvariable in jedem Punkt x
X1 ,...,Xn
1 |{i : X ≤ x}|
Fn
(x) = n
i
←→
empirische Verteilungsfunktion
X ,...,Xn
1 |{i : x ≤ x}|
Fn 1
(x) = n
i
Gehört nicht zur Grundgesamtheit; hier “ für empirische Version
”
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
179
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
1.7.2 Das schwache Gesetz der großen Zahlen
Betrachte für wachsenden Stichprobenumfang n:
• X1, . . . , Xn i.i.d.
• Xi ∈ {0, 1} binäre Variablen mit π = P (Xi = 1)
• Hn = die relative Häufigkeit der Einsen in den ersten n Versuchen.
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
180
1000
0.7
0.4
0
1500
500
1000
0
0.7
0.4
0.3
0.4
0.3
1000
1:i
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
1500
1500
0.6
s[1:i]
0.6
0.5
s[1:i]
500
1000
1:i
0.7
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0
500
1:i
1:i
s[1:i]
1500
0.5
500
0.3
0.3
0.3
0
0.5
s[1:i]
0.4
0.5
s[1:i]
0.6
0.6
0.7
0.6
0.5
0.4
s[1:i]
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
0.7
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
0
500
1000
1500
2000
1:i
2500
3000
3500
0
2000
4000
6000
8000
10000
1:i
181
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
Beobachtungen:
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
182
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
Theorem 1.64. [Theorem von Bernoulli]
Seien X1, . . . , Xn, i.i.d. mit Xi ∈ {0, 1} und P (Xi = 1) = π. Dann gilt für
n
1
Xi
Hn =
n i=1
(relative Häufigkeit der Einsen“) und beliebig kleines > 0
”
lim P (|Hn − π| ≤ ) = 1
n→∞
Anschauliche Interpretation: Die relative Häufigkeit eines Ereignisses nähert sich praktisch sicher mit wachsender Versuchszahl an die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses
an.
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
183
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
Zwei wichtige Konsequenzen:
1) Häufigkeitsinterpretation von Wahrscheinlichkeiten:
2) Induktion: Man kann dieses Ergebnis nutzen, um Information über eine unbekannte
Wahrscheinlichkeit (π =
ˆ Anteil in einer Grundgesamtheit) zu erhalten.
Sei z.B. π der (unbekannte) Anteil der SPD Wähler, so ist die relative Häufigkeit
in der Stichprobe eine gute Schätzung für π“. Je größer die Stichprobe ist, umso
”
größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit sehr nahe beim wahren
Anteil π ist.
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
184
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
Das Ergebnis lässt sich verallgemeinern auf Mittelwerte beliebiger Zufallsvariablen:
Schwaches Gesetz der großen Zahl: Gegeben seien X1, . . . , Xn i.i.d. Zufallsvariablen
mit (existierendem) Erwartungswert μ und (existierender) Varianz σ 2. Dann gilt für
n
1
Xi
X̄n :=
n i=1
und beliebiges > 0:
lim P (|X̄n − μ| ≤ ) = 1
n→∞
Schreibweise:
P
X̄n −→ μ
( Stochastische Konvergenz“, Xn konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen μ“.)
”
”
Konsequenz für die Interpretation des Erwartungswerts:
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
185
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
1.7.3 Der Hauptsatz der Statistik
Satz 1.65. [Hauptsatz der Statistik]
Seien X1, . . . , Xn i.i.d. mit Verteilungsfunktion F und sei Fn(x) die empirische Verteilungsfunktion der ersten n Beobachtungen. Mit
Dn := sup |Fn(x) − F (x)|,
x
gilt für jedes c > 0
lim P (Dn > c) = 0.
n→∞
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
186
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
−2
0
2
4
1.0
0.8
0.6
0.2
0.0
0.2
0.0
0.0
−4
0.4
(1:lx)/lx
0.6
0.4
(1:lx)/lx
0.2
0.4
(1:lx)/lx
0.6
0.8
0.8
1.0
1.0
Interpretation:
−4
−2
0
sort(x)
2
−4
4
−2
0
2
4
sort(x)
sort(x)
−2
0
sort(x)
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
2
4
1.0
0.8
0.6
0.4
0.0
0.0
0.0
−4
0.2
function(x) pnorm(x, 0, 1) (x)
0.6
0.2
0.4
(1:lx)/lx
0.6
0.4
0.2
(1:lx)/lx
0.8
0.8
1.0
1.0
Normal CDF
−4
−2
0
sort(x)
2
4
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
187
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
1.7.4 Der zentrale Grenzwertsatz
• Gibt es für große Stichprobenumfänge Regelmäßigkeiten im Verteilungstyp?
• Gibt es eine Standardverteilung, mit der man oft bei großen empirischen Untersuchungen rechnen kann?
Damit kann man dann insbesondere Fehlermengen einheitlich behandeln.
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
188
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
Satz 1.66. [Zentraler Grenzwertsatz]
Seien X1, . . . , Xn i.i.d. mit E(Xi) = μ und Var(Xi) = σ 2 > 0 sowie
n 1
Xi − μ
.
Zn = √
σ
n i=1
a
Dann gilt: Zn ist asymptotisch standardnormalverteilt, in Zeichen: Zn ∼ N (0; 1), d.h.
es gilt für jedes z
lim P (Zn ≤ z) = Φ(z).
n→∞
Für die Eingangsfragen gilt also:
• Ja, wenn man die Variablen geeignet mittelt und standardisiert, dann kann man bei
großem n näherungsweise mit der Normalverteilung rechnen. Dabei ist für festes n
die Approximation umso besser, je symmetrischer“ die ursprüngliche Verteilung ist.
”
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
189
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
Histogram of res
Histogram of res
−2
−1
0
1
2
0.4
0.1
−4
3
−2
0
2
4
−4
res
0.3
Density
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
4
0.0
0.0
0.1
0.1
0.2
Density
res
2
4
0.4
0.4
0.3
0.4
0
2
Histogram of res
0.3
0.2
0.1
Density
0.0
−2
0
res
Histogram of res
Histogram of res
−4
−2
res
0.2
−3
0.0
0.0
0.0
−4
0.2
Density
0.3
0.3
0.1
0.2
Density
0.2
0.1
Density
0.3
0.4
Histogram of res
−4
−2
0
res
2
4
−4
−2
0
2
4
6
res
190
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
Anwendung des zentralen Grenzwertsatz auf X̄:
Gemäß dem Gesetz der großen Zahlen weiß man: X̄n −→ μ
Für die Praxis ist es aber zudem wichtig, die konkreten Abweichungen bei großem aber
endlichem n zu quantifizieren, etwa zur Beantwortung folgender Fragen:
• Gegeben eine Fehlermarge ε und Stichprobenumfang n: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X̄ höchstens um ε von μ abweicht?
• Gegeben eine Fehlermarge ε und eine Sicherheitswahrscheinlichkeit“ γ: Wie groß
”
muss man n mindestens wählen, damit mit mindestens Wahrscheinlichkeit γ das
Stichprobenmittel höchstens um ε von μ abweicht (Stichprobenplanung)?
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
191
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
Aus dem zentralen Grenzwertsatz folgt:
n 1
Xi − μ
√
=
σ
n i=1
=
oder auch
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
n
− nμ
√
n·σ
i=1 Xi
nX̄n − nμ X̄n − μ a
√
√ ∼ N (0, 1)
=
n·σ
σ/ n
2
σ
a
.
X̄n ∼ N μ,
n
192
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
Wichtige Anwendung: Approximation der Binomialverteilung
Sei X ∼ B(n, π). Kann man die Verteilung von X approximieren?
Damit lässt sich der zentrale Grenzwertsatz anwenden:
n
1
√
n i=1
Y −π
i
π(1 − π)
=
=
und damit
1
Y −n·π
√ i
n
π(1 − π)
Yi − n · π a
∼ N (0, 1)
n · π(1 − π)
X − E(X) a
∼ N (0, 1)
Var(X)
so dass
P (X ≤ x) ≈ Φ
x−n·π
n · π(1 − π)
falls n groß genug.
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
193
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
Es gibt verschiedene Faustregeln, ab wann diese Approximation gut ist, z.B.
n · π ≥ 5 und n · (1 − π) ≥ 5
n · π(1 − π) ≥ 9
Stetigkeitskorrektur: Durch die Approximation der diskreten Binomialverteilung durch
die stetige Normalverteilung geht der diskrete Charakter verloren. Man erhält als
Approximation P (X = x) ≈ 0 für jedes x ∈ N, was gerade für mittleres n unerwünscht
ist.
Benutze deshalb
P (X ≤ x) = P (X ≤ x + 0.5)
bei ganzzahligem x ∈ N.
Man erhält als bessere Approximation
P (X ≤ x) ≈ Φ
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
x + 0.5 − nπ
nπ(1 − π)
194
Statistik II für Studierende der Soziologie und Nebenfachstudierende
P (X = x) ≈ Φ
x + 0.5 − nπ
nπ(1 − π)
−Φ
1.7 Grenzwertsätze und Approximationen
x − 0.5 − nπ
nπ(1 − π)
Fiktives Beispiel: Ein Politiker ist von einer gewissen umstrittenen Maßnahme überzeugt
und überlegt, ob es taktisch geschickt ist, zur Unterstützung der Argumentation eine
Mitgliederbefragung zu dem Thema durchzuführen. Er wählt dazu 200 Mitglieder zufällig
aus und beschließt, eine Mitgliederbefragung zu riskieren“, falls er in der Stichprobe
”
mindestens 52% Zustimmung erhält.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe mindestens 52% Zustimmung zu
erhalten, obwohl der wahre Anteil nur 48% beträgt?
1 Wahrscheinlichkeitsrechnung
195