Verhalten von Teilchen im E- und B-Feld Übersicht

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Basiswissen | Skripte
◮ Teilchen in Feldern | Verhalten von Teilchen im E- und B-Feld
Skript
Verhalten von Teilchen im E- und B-Feld
Übersicht
1 Einführung
1
2 Verhalten im E-Feld
3
2.1 Ruhendes geladenes Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bewegtes geladenes Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
2.2.1 Bewegung parallel zum E-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bewegung senkrecht zum E-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
3 Verhalten im B-Feld
3.1 Bewegung senkrecht zum B-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Bewegung nicht senkrecht zum B-Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
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1 Einführung
Gerade wenn es darum geht, sehr kleine Teilchen sichtbar
zu machen oder unsichtbare Stoffe zu identifizieren sowie
zu quantifizieren, kommt man an dem Verhalten von geladenen Teilchen in Feldern nicht herum. Die Anwendung
der in diesem Skript vorgestellten Bewegungsformen sind
sehr weitreichend und in vielen Bereichen nicht mehr wegzudenken. Die bekannteste Anwendung ist wohl noch immer in vielen Schulbüchern die Kathodenstrahlröhre, auch
Braunsche Röhre genannt, die in früheren Röhrenbildschirmen verbaut war und dort für die Erzeugung des Elektronenstrahls und für die Entstehung des Bildes verantwortlich war.
Abbildung 1: Früherer
Röhrenbil-
schirme machten sich
das
Verhalten
von
Elektronen im E-Feld
zu Nutze.
wikipedia.org
–
JoaoMirandaBot
(CC-BY-SA-3.0)
In modernen TV-Geräten spielt diese Anwendung
zwar keine Rolle mehr, doch findet man sie z.B.
im Elektronenmikroskop noch heute. Hierbei werden Elektronen benutzt, um die Probe „auszuleuchten“. Die Fokussierung der Probe erfolgt,
indem die negativ geladenen Elektronen des Elektronenstrahls durch elektrische Felder abgelenkt
werden.
Abbildung 2: Die Aufnahme einer Hausstaubmilbe
mit dem Elektronenmikroskop.
wikipedia.org – Maksim (public domain)
Auch in der klassischen Experimentalphysik und
der Chemie findet sich ein breites Anwendungsfeld. Die analytische Chemie beispielsweise macht
sich zunutze, dass Isotope, also geladene Ato-
me, in Magnetfeldern und elektrischen Feldern beschleunigt und abgelenkt werden. In Massenspektrometern werden so chemische Substanzen und Verbindungen, selbst bei sehr
geringer Menge, analysiert und quantifiziert. Somit kann z.B. das Paläoklima rekonstruiert
werden oder eine Schwermetallbelastung aufgedeckt werden.
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In der modernen Experimentalphysik ist die prominenteste Anwendung der Teilchenbeschleuniger. Ein solcher solcher steht z.B. auf dem Gelände des CERN, der europäischen
Organisation für Kernforschung, im schweizerischen Kanton Genf. Hier werden geladene
Teilchen in einem riesigen Teilchenbeschleuniger beschleunigt und aufeinander geschossen, um die Zeit nach dem Urknall zu rekonstruieren und die moderne Theoretische Physik
zu belegen. Hierbei wurde im Jahr 2013 höchstwahrscheinlich das Higgs-Boson, das im Jahre 1964 von verschiedenen Wissenschaftlern, u.a. Peter Higgs vorhergesagt wurde, nachgewiesen. Es ist ein Elementarteilchen und soll der Theorie zufolge aller Materie ihre Masse
verleihen.
Abbildung 3: In den Anlagen des CERN werden die spannendsten Experimente der heutigen Wissenschaft
durchgeführt.
wikipedia.org – Freanki (public domain)
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2 Verhalten im E-Feld
Bei einem solchen Teilchenbeschleuniger werden geladene Teilchen in einem homogenen
elektrischen Feld beschleunigt. Negativ geladene Teilchen werden dabei zur Anode und
positiv geladene Teilchen zur Kathode beschleunigt. Beachte dabei, dass die elektrischen
Feldlinien in die Bewegungsrichtung eines positiv geladenen Teilchens zeigen.
Im Folgenden soll gezeigt werden, wie sich ein E-Feld auf ruhende und auf bewegte Ladungen auswirkt.
2.1 Ruhendes geladenes Teilchen
Ein ruhendes, geladenes Teilchen erfährt in einem E-Feld die
elektrischen Kraft
Fe =
=
q·E
q·
mt E =
U
d
U
d
und wird durch diese Kraft, laut dem 1. Newtonschen Gesetz F = m · , beschleunigt. Diese Beschleunigung erfolgt
+
++
+
++
+
d
in Richtung der von außen angelegten anders geladenen Ladungen.
Dabei wird an dem geladenen Teilchen, das das gesamte homogenen elektrische Feld der Länge d durchfliegt, die folgende Arbeit verrichtet:
We =
=
=
Fe · d
q·
U
d
mt Fe = q ·
----
Abbildung 4: Ruhende, geladene
Teilchen werden im
E-Feld zur anderen
Seite beschleunigt.
U
d
·d
q·U
Die zur Verrichtung der Arbeit nötige elektrische Energie entstammt dem elektrischen Feld,
welches also die Arbeit am geladenen Teilchen verrichtet.
Diese elektrische Energie wird bei der Beschleunigung des Teilchens in kinetische Energie
Wkn umgewandelt. Es gilt also demnach:
Wkn =
We
1
· m · 2 = q · U
2
Aus dieser Energiebetrachtung lässt sich die Geschwindigkeit  des geladenen Teilchens
bestimmen, wobei m dessen Masse und q dessen Ladung darstellt.
1
2
· m · 2 =
2 =
=
q·U
| ·2
q
2·
·U
m
v
t
q
·U
2·
m
| p
und
:m
Allgemein lässt sich das Bewegungsgesetz eines ruhenden, geladenen Teilchens im elektrischen Feld folgendermaßen beschreiben. Da das Teilchen zu Beginn ruht, besitzt es die
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m
. Es wird anschließend im elektrischen Feld mit einer
s
konstanten Beschleunigung  = const beschleunigt. Für die gleichmäßig beschleunigte
Bewegung gilt folglich:
Anfangsgeschwindigkeit 0 = 0
 = const;
0 = 0
=⇒
 =·t
Somit folgt für die zu einem beliebigen Zeitpunkt t zurückgelegte Strecke s:
s=
1
2
·  · t2
2.2 Bewegtes geladenes Teilchen
Bewegen sich Teilchen bereits mit konstanter Geschwindigkeit durch ein elektrisches Feld,
so kommt es entweder zur weiteren Beschleunigung, zur Abbremsung oder zu einer Ablenkung.
2.2.1
Bewegung parallel zum E-Feld
Beschleunigung oder Abbremsung tritt dann auf, wenn das Feld parallel zur Bewegungsrichtung der geladenen Teilchen gerichtet ist. Abbildung 5 zeigt dir einen solchen Fall.
ˆ Das positiv geladene Teilchen bewegt sich auf die gleich-
namige Metallplatte zu. Da sich gleichnamige Ladungen abstoßen, sorgt die elektrische Kraft Fe dafür, dass
das Teilchen abgebremst wird.
ˆ Das negativ geladene Teilchen bewegt sich auf die ent-
gegengesetzt geladene Metallplatte zu und wird
von dieser angezogen. Die elektrische Kraft Fe sorgt
hierbei für eine Beschleunigung des Teilchens. Dieser Fall ist analog zum Fall des ruhenden, geladenen
Teilchen, mit dem Unterschied, dass in diesem Fall das
Teilchen zu Beginn eine konstante Geschwindigkeit 0
aufweist.
+
+
+
+
+
Fel
v
Fel
v
+ - -
Abbildung 5: Zwei unterschiedlich
geladene Teilchen,
die sich im E-Feld zur
negativ geladenen
Seite bewegen.
Wie oben beschrieben verrichtet das elektrische Feld Arbeit an den geladenen Teilchen.
Dabei wird elektrische Energie in zusätzliche kinetische Energie umgewandelt und das
Teilchen erhält als Energiezuwachs ΔW = q · U. Daher gilt für die gesamte kinetische Ener-
gie der Teilchen Wges bzw. Wkn,2 , dass diese die Summe aus der kinetischen Energie der
Anfangsbewegung und der elektrischen Energie des Feldes ist:
Wges =
Wkn,2 =
1
Wkn,1 + We
1
· m · 2 =
· m · 02 + q · U
2
2
Für diese gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit ergibt
sich folglich:
 = const;
0 6= 0
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=⇒
 =  · t + 0
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Da sich das Teilchen vor der Beschleunigung durch das elektrische Feld gleichförmig, also mit einer konstanten Geschwindigkeit 0 , bewegt hat, legte es bis dahin die Strecke
s0 = 0 · t0 zurück. Somit folgt für die zu einem beliebigen Zeitpunkt t zurückgelegte Strecke s:
s=
1
2
1
=
2
2.2.2
·  · t 2 + s0
mit s0
= 0 · t 0
·  · t 2 + 0 · t 0
Bewegung senkrecht zum E-Feld
Im Folgenden sollen sich geladene Teilchen gleichförmig, also mit konstanter Geschwindigkeit, in einem elektrischen Feld senkrecht zu den Feldlinien bewegen. Dabei wird das
Teilchen in Richtung der entgegengesetzt geladenen Kondensatorplatten gleichmäßig beschleunigt. Da die elektrische Kraft Fe senkrecht zur Bewegungsrichtung steht, wird die
ursprüngliche gleichförmige Bewegung des Teilchens nicht von der neu entstehenden Bewegung gestört. Es gilt somit das Newtonsche Superpositionsprinzip und das Teilchen führt
folgende Bewegungen durch:
ˆ gleichförmige Bewegung parallel zu den Kondensatorplatten bzw. senkrecht zum
E-Feld
ˆ gleichmäßig beschleunigte Bewegung senkrecht zu den Kondensatorplatten bzw.
parallel zum E-Feld
Diese zwei Teilbewegungen überlagern sich nach dem Superpositionsprinzip zur endgültigen Bewegungsrichtung des Teilchens. Diese Situation ist vergleichbar mit dem waagerechten Wurf. Da die Bewegungsrichtungen senkrecht zu den Kondensatorplatten, also
in Abbildung 6 in y-Richtung, beschleunigt wird, steigt dessen Geschwindigkeit in die selbe
Richtung. Es steigt also y . Die gleichförmige Bewegung in -Richtung hingegen ist gekennzeichnet durch eine konstante Geschwindigkeit  . Dies führt zu einer Parabelbahn des
geladenen Teilchens, was in Abbildung 6 dargestellt wird.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
vy
vx
-
vy
vx
-
vy
-
-
vx
vx
- - - - - - - - Abbildung 6: Geladene Teilchen die sich senkrecht zum E-Feld bewegen, werden auf eine
Parabelbahn abgelenkt.
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◮ Braunsche Röhre
Dies findet Anwendung in der sogenannten Braunschen Röhre. Dies ist eine luftleere Röhre in der sich eine Elektronenkanone und Ablenkplatten befinden. Dabei werden Elektronen
aus einer Heizspule ausgelöst und aus der Ruhe zur Anode hin beschleunigt. Hier gelten die
Gesetze aus „2.1 Ruhendes geladenes Teilchen“.
Flugbahn der
Elektronen
Heizspule
+ Ablenksannung
+
-
Schirm
- +
-
Beschleunigungsspannung
Abbildung 7: Der Aufbau einer Braunschen Röhre.
Legen wir eine Ablenkspannung Uy an die Kondensatorplatten entsteht zwischen diesen ein
U
elektrisches Feld mit der Feldstärke Ey = dy . Die durch aus Feld entstehende elektrische
Kraft Fe sorgt für eine Beschleunigung y der Elektronen in y-Richtung. Daher gilt:
m · y =
y =
|:m
Fe
Fe
m
e
=
m
mit
Fe = q · Ey
ergibt sich
· Ey
Eliminieren wir aus den Zeit-Weg-Funktionen
1
· y · t 2
und
 =  · t
2
die Zeit t so erhalten wir als Bahngleichung der Elektronen eine Parabelgleichung:
y=
y=
1
2
1
=
2
· y · t 2
· y ·
mit
t=


2
2
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Da der zurückgelegte Weg in -Richtung gerade der Länge  des Kondensators entspricht,
ergibt sich für die Ablenkung y1 der Elektronen nach Durchlaufen des Kondensators:
y1 =
1
2
· y ·
1
e
=
·
2 m
1
=
·
2
2
· Ey ·
mit
=
mit
Ey =
2
2
und
y =
e
m
· Ey
Uy
d
e · Uy · 2
2 m · d · 2
Die Ablenkung vergrößert sich also, wenn
ˆ die Ablenkspannung Uy erhöht wird
ˆ die Länge  des Kondensators zunimmt
ˆ die Dicke d des Kondensators kleiner wird
ˆ die Ausgangsgeschwindigkeit  klein ist
3 Verhalten im B-Feld
Analog zum Verhalten von geladenen Teilchen im E-Feld unterscheiden wir im Folgenden
das Verhalten von geladenen Teilchen, die sich senkrecht oder nicht senkrecht zum B-Feld
bewegen.
3.1 Bewegung senkrecht zum B-Feld
Das Verhalten von Teilchen senkrecht zum Magnetfeld wollen wir mithilfe eines Fadenstrahlrohrs innerhalb eines Helmholtz-Spulenpaars verdeutlichen. Das von dem orangenen
Helmholtz-Spulenpaar erzeugte magnetische Feld ist in die Zeichenebene hinein gerichtet.
Dies kannst du an den Kreuzen in den grauen Kreisen der rechten Abbildung entnehmen.
Senkrecht zu diesem Magnetfeld bewegen sich die Elektronen. Die linke Abbildung zeigt das
Fadenstrahlrohr von vorne. Man sieht hier ebenfalls, dass die Feldlinien des Magnetfeldes
durch die Glaskugel nach hinten weisen. Es fällt auf, dass das Magnetfeld in dem Bereich,
wo sich die Elektronen befinden, als nahezu homogen aufgefasst werden kann.
Abbildung 8: Links: Richtung der Feldlinien beim Betrachten des Fadenstrahlrohres von vorne.
Rechts: Die Elektronen werden vom Magnetfeld auf eine Kreisbahn gezwungen.
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Durch den Verlauf der Glasröhre im rechten
Bild werden die Elektronen nach oben abgelenkt und sollten eigentlich geradeaus weiter
Richtung des B-Feldes
fliegen. Diese Flugbahn ist von den hellen Elektronen dargestellt. Durch das Anlegen des Ma- Richtung der e-
Richtung der Lorentzkraft
gnetfeldes allerdings werden die Elektronen
auf eine Kreisbahn mit dem Radius r abgelenkt. Dies geschieht auf Grund der Lorentzkraft FL . Bewegen sich die Elektronen nach
oben und ist das Magnetfeld in die Zeiche-
Abbildung 9: Die Linke-Hand-Regel veranschaulicht
die Richtung der Lorentzkraft.
nebene hinein gerichtet, so sorgt die Lorentzkraft FL dafür, dass diese nach rechts abgelenkt werden. Dies geht aus der Linken-HandRegel der Abbildung 9 hervor.
3
2
Da sich die Bewegung der Elektronen bei Punkt 1 nach
oben (blau) und nach rechts (rot) überlagern, ergibt
sich die kommende Bewegungsrichtung (grün) des Elektrons aus der Vektoraddition dieser zwei Pfeile. In Punkt
2 ist die Bewegungsrichtung der Elektronen nun die
1
vormals grün markierte Richtung. Da sich diese Richtung allerdings erneut mit der Lorentzkraft FL überlagert, fliegt das Elektron nach rechts. Bei Position 3 wird
die vorher grün markierte kommende Bewegungsrichtung des Elektrons nun blau dargestellt und es erfolgt
wieder eine Ablenkung durch die Lorentzkraft FL . Die-
Abbildung 10: Die Vektoraddition der Bewegungsrichtung der Elektronen (blau) und der Lorentzkraft (rot) ergibt die
kommende Richtung (grün)
der Elektronen.
ser Vorgang setzt sich in jedem Moment fort und führt
dazu, dass sich das Elektron auf einer Kreisbahn (punktiert) verweilt.
Die Lorentzkraft FL (rot) hält also geladene Teilchen auf einer Kreisbahn und ist immer
nach innen gerichtet. Sie wirkt hier als Zentripetalkraft FZ . Da die Kraft immer senkrecht
zur Bewegungsrichtung steht, bleibt die kinetische Energie Wkn und damit auch die
Geschwindigkeit  der Elektronen vom Betrag her unverändert. Laut dem PhysikLVSkript „Rotationen“) ist die Formel für die Zentripetalkraft FZ :
FZ = m ·
2
r
Laut dem gleichnamigen PhysikLV-Skript lautet eine Formel für die Lorentzkraft FL , die die
magnetische Flussdichte B enthält, folgendermaßen:
FL = q ·  · B
Die Ladung q enthält hierbei das Vorzeichen der Ladung. Liegt eine positive Ladung vor, so
ist das Vorzeichen der Lorentzkraft gerade umgekehrt und das Teilchen wird in die andere
Richtung auf eine Kreisbahn gelenkt.
Zur Bestimmung der Ablenkungsrichtung bzw. der Richtung der Lorentzkraft nutzt du die
ˆ Linke-Hand-Regel für negative Ladungen.
ˆ Rechte-Hand-Regel für positive Ladungen.
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Da im vorliegenden Fall die Lorentzkraft FL der Zentripetalkraft FZ entspricht, gilt das Kräftegleichgewicht wie folgt:
FL =
q··B=
r=
FZ
m·
2
| : FL
r
und
·r
m · 2
q· ·B
Der Radius der Kreisbahn eines geladenen Teilchens im Magnetfeld berechnet sich durch
folgende Formel:
r=
m·
q·B
Da die geladenen Teilchen eine Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeit ausführen,
gilt die Formel s =  ·t ⇔ t = s der gleichförmigen Bewegung. Die Strecke auf der Kreisbahn
entspricht dem Umfang des Kreises, der mit der Formel s = 2 π r berechnet werden kann.
Aus dieser Beziehung ergibt sich für die Umlaufdauer T auf der Kreisbahn für die Dauer
einer ganzen Umrundung:
s
T=
mit s = 2 · π · r

2·π·r
m·
=
mitr =

q·B
=
2·π·m·
q·B·
Wie du erkennen kannst, ist die Umlaufdauer der Kreisbahn unabhängig von der Geschwindigkeit:
T=
2·π·m
q·B
3.2 Bewegung nicht senkrecht zum B-Feld
Bei Bewegungen von geladenen Teilchen
die nicht senkrecht zum Magnetfeld stattfinden, lässt sich die Geschwindigkeit in zwei
Teilkomponente aufteilen. Die Geschwindig-
-
keitskomponente senkrecht zum B-Feld erzeugt wieder eine Kreisbahn um die magnetischen Feldlinien. Die Komponente parallel zum B-Feld zieht diese Kreisbahn in
deren Fortpflanzungsrichtung auseinander.
Es ergibt sich somit eine Schraubenbahn.
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B Abbildung 11: Die Elektronen, die sich nicht senkrecht
zu den magnetischen Feldlinien bewegen,
fliegen sich auf einer Schraubenbahn.
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