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EUROPÄISCHES ABITUR 2012
MATHEMATIK 5 STUNDEN
TEIL B
DATUM : 11. Juni 2012, Vormittag
DAUER DER PRÜFUNG:
3 Stunden (180 Minuten)
ZUGELASSENE HILFSMITTEL :
Prüfung mit technologischem Hilfsmittel
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DE
EUROPÄISCHES ABITUR 2012: MATHEMATIK 5 STUNDEN
TEIL B
AUFGABE B1 ANALYSIS
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Punkte
Für alle ganzen Zahlen n 0 ist die Funktionenschar g n gegeben durch
g n ( x)
en x
.
1 ex
a)
Skizzieren Sie das Schaubild von g 0 .
2 Punkte
b)
Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen x gilt: g 0 ( x)
g1 ( x) .
Erklären Sie die geometrische Bedeutung dieser Aussage und skizzieren Sie
das Schaubild von g1 im selben Diagramm wie das Schaubild von g 0 .
c)
Zeigen Sie, dass alle Schaubilder y
g n ( x) einen gemeinsamen Punkt A
besitzen.
Bestimmen Sie die Koordinaten von A .
d)
Bestimmen Sie für n
2 Punkte
2 das Verhalten von g n ( x ) für x
und für
3 Punkte
und geben Sie eine Gleichung der Asymptote an.
x
e)
2 Punkte
Berechnen Sie gn ( x) für n
2 und bestimmen Sie, ob g n steigend oder
3 Punkte
fallend ist.
f)
0 besitzt das Schaubild von g n eine Tangente, die parallel
Im Punkt mit x
zur Gerade 9 x 4 y 1 0 ist.
g)
Berechnen Sie n und bestimmen Sie eine Gleichung dieser Tangente.
3 Punkte
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Schaubildern von g0 und g1,
sowie den Geraden x
1 und x 1 begrenzt wird.
3 Punkte
h) Für alle ganzen Zahlen n 0 ist eine Zahlenfolge I n gegeben durch
In
0
1
g n ( x) dx .
Ermitteln Sie mit Hilfe Ihres Rechners die kleinste Zahl n, für die gilt
In
0,11 .
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2 Punkte
EUROPÄISCHES ABITUR 2012: MATHEMATIK 5 STUNDEN
TEIL B
AUFGABE B2 GEOMETRIE
Seite 2/5
Punkte
In einem 3-dimensionalen Raum sind die Geraden gegeben
x 2
d1 : y 3
z
7
14 ,
und
x 3
d2 : y 2
z
10
6 ,
.
a)
Zeigen Sie, dass d1 und d2 windschief sind.
3 Punkte
b)
Die Gerade p schneidet jede der beiden Geraden d1 und d2 senkrecht.
5 Punkte
Stellen Sie ein Gleichungssystem für die Gerade p auf.
c)
Bestimmen Sie den kürzesten Abstand zwischen den Geraden d1 und d2 .
d)
Die Gerade l geht durch den Punkt M ( 1 | 2 | 0) und sie schneidet jede der
beiden Geraden d1 und d2 .
e)
f)
3 Punkte
Stellen Sie die Gerade l in Parameterform dar.
4 Punkte
Gibt es seine Kugel mit dem Mittelpunkt M , die beide Geraden d1 und d2
berührt?
Begründen Sie Ihre Antwort.
3 Punkte
Bestimmen Sie eine Gleichung für diejenige Kugel, die den Mittelpunkt M
besitzt und die die Gerade d2 berührt.
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2 Punkte
EUROPÄISCHES ABITUR 2012: MATHEMATIK 5 STUNDEN
TEIL B
AUFGABE B3 WAHRSCHEINLICHKEIT
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Punkte
Verwenden Sie den Rechner für alle Rechnungen in dieser Aufgabe.
Die Durchmesser der Eier, die in einem Bauernhof produziert werden, sind
normalverteilt mit einem Mittelwert von 60 mm und einer Standardabweichung von
5 mm.
a)
98 % Eier der Produktion besitzen Durchmesser im Intervall 60 k , 60 k .
Berechnen Sie, gerundet auf 2 Dezimalstellen, den Wert von k in mm.
5 Punkte
Eier mit einem Durchmesser von 70 oder mehr Millimetern werden als extragroß
bezeichnet.
b)
Zeigen Sie, dass extragroße Eier etwa 2,275 % der Produktion ausmachen.
4 Punkte
Der Bauernhof produziert täglich 4000 Eier.
c)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in 7 Tagen die Gesamtzahl der
extragroßen Eier im Intervall [600, 650] liegt.
5 Punkte
Einige Eier besitzen mehr als einen Dotter.
Im Durchschnitt haben 30 % der extragroßen Eier mehr als einen Dotter,
andererseits besitzen nur 0,5 % der anderen Eier mehr als einen Dotter.
d)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei, das zufällig aus den Eiern
dieses Bauernhofs gewählt wird, mehr als einen Dotter besitzt.
3 Punkte
e)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei mit mehr als einem Dotter
kein extragroßes Ei ist.
3 Punkte
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EUROPÄISCHES ABITUR 2012: MATHEMATIK 5 STUNDEN
TEIL B
AUFGABE B4 FOLGEN
Gegeben ist eine Folge (un) durch:
a)
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Punkte
u1 1
1 2
un
un 1 1, n 2.
4
Berechnen Sie die genauen Werte von u2 und u3.
2 Punkte
Verwenden Sie den Computer und berechnen Sie den auf 4 Dezimalstellen
gerundeten Wert von u20 .
b)
Im Folgenden können Sie voraussetzen, dass für jede natürliche Zahl n gilt:
un 2 .
Zeigen Sie, dass die Folge (un) wachsend ist.
Folgern Sie hieraus, dass die Folge (un) konvergent ist, und berechnen Sie
ihren Grenzwert.
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3 Punkte
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TEIL B
AUFGABE B5 KOMPLEXE ZAHLEN
Gegeben ist die komplexe Zahl w
dabei ist z
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Punkte
1 iz
,
z 2
x iy eine komplexe Zahl (x, y reell) mit z
2.
a)
Bestimmen sie den Realteil und den Imaginärteil von w in Abhängigkeit von
x und y.
b)
Nun sei w eine rein imaginäre Zahl.
Zeigen Sie, dass diejenigen Punkte, die z in der komplexen Zahlenebene
darstellen, auf einer bestimmten Gerade liegen.
Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Gerade.
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2 Punkte
3 Punkte