Mathematik-Wettbewerb Känguru 2016
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Hochschule Bremen Fachbereich E-Technik & Informatik Mathematikwettbewerb Känguru e.V. XXV. Mathematik-Wettstreit 2016 für Schüler und Studenten Prof. Dr. Th. Risse Sinn & Zweck: In Rahmen unserer Bemühungen um die Mathematik-Ausbildung sind Schüler und Studierende (nicht nur) an der Hochschule Bremen aufgefordert, sich am Mathematik-Wettbewerb Känguru des Känguru Vereins e.V. zu beteiligen. Dieses Dokument soll – wie andere in www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs – Spaß machen und so der Vorbereitung und dem Training dienen. c 2016 Letzte Änderung: 17. Dezember 2016 [email protected] Version 0.1 2 1. Einführung Bei Kangourou 2016 handelt es sich um einen jährlichen MathematikWettbewerb des Känguru Vereins e.V., Berlin, den es für unterschiedliche Altergruppen gibt. Die vorliegenden Aufgaben sind für Schüler der 11.–13. Klassen und für Studierende gedacht. Dieses Dokument mit meinen Lösungen (ohne Gewähr ) ist Bestandteil meiner Bemühungen, Studierende (in spe) für Mathematik zu begeistern. Wenn Ihnen dieses Dokument Spaß gemacht hat, probieren Sie doch mal die Dokumente zum Vorkurs, zur Numerik, Zahlentheorie, Kryptographie, Codierung und Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. aus, alle unter http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs. Viel Erfolg! 3 2. Aufgaben mit Lösungen Der Quiz besteht aus 10 leichteren, 10 mittelleichten/mittelschweren und 10 schwereren Aufgaben. Beim Wettbewerb wird selbstverständlich nicht erwartet, daß Sie alle 30 gestellten Probleme in anderthalb Stunden lösen. Alle Aufgaben sind ohne weitere Hilfsmittel zu bearbeiten. Selbstverständlich sind alle Lösungsstrategien erlaubt: Natürlich dürfen Sie Fragestellungen in einem multiple choice test durch Ausschluß beantworten. Im ersten Test einfach auf die richtige Antwort clicken! Aufgabe 1. Mathematik ist (a) fun (b) cool (c) out (d) in (e) voll krass Auf die Plätze – fertig – los! 1. Von den 5einAntworten ist genau eine richtig. 1.BeiVon den jeweils Antworten ist genau eine richtig. 1. Von den jeweils 5 Antworten ist genau eine richtig. 1. Von den jeweils 5wird Antworten ist genau eine richtig. 1.5 jeweils Von den jeweils 5der Antworten ist genau eine richtig.also 0,75 Punkte, 1 Punkt einer falschen Antwort Viertel vorgesehenen Punkte abgezogen, 2. Jede Teilnehmerin jeder Teilnehmer zu30 Beginn 30 Punkte. Bei einer richtigen 2.bzw. Jede Teilnehmerin und jeder Teilnehmer bekommt zu bekommt Beginn Bei einer richtigen Antwort 1,25 Punkte. Die höchste zuund erreichende Punktzahl istbekommt 150, die Beginn niedrigste 0.zu 2. Jede Teilnehmerin und jeder Teilnehmer zuPunkte. Beginn 30 Bei Punkte. Bei einer richtig 2.2: Jede Teilnehmerin und jeder Teilnehmer bekommt zu 30 Punkte. richtigen Antwo 2. Jede und jeder Teilnehmer bekommt Beginn 30 einer Punkte. Bei ric Abschnitt Aufgaben mitTeilnehmerin Lösungen 4einer werden die vorgesehenen 4 3, oder 5hinzuaddiert. Punkte Wird keine Antwort gegeben, gibt es 0ge werden die vorgesehenen 3,die4 vorgesehenen oder 5 Punkte WirdWird keine Antwort gegeben, gibtgegeben, es 0gegeben, Punkte. werden die vorgesehenen 4 oder 5hinzuaddiert. Punkte hinzuaddiert. Wird keine Antwort gibt 3. Taschenrechner sind nicht zugelassen. werden die vorgesehenen 3, 4 3, oder 5 Punkte keine Antwort gegeben, gibt es 0 Punkt werden 3, 4 oder 5hinzuaddiert. Punkte hinzuaddiert. Wird keine Antwort Bei einer falschen Antwort wird ein Viertel der vorgesehenen Punkte abgezogen, also 0,75also Bei einer falschen Antwort wird ein Viertel der vorgesehenen Punkte abgezogen, also 0,75 Punkte, 1Punkte, Punkt Bei einer falschen Antwort wird ein Viertel der vorgesehenen Punkte abgezogen, also 0,75 Punk Bei einer falschen Antwort wird ein Viertel der vorgesehenen Punkte abgezogen, also 0,75 Punkte, 10,75 Pun Bei einer falschen Antwort wird ein Viertel der vorgesehenen Punkte abgezogen, Aufgabebzw. bzw. 1,25 Punkte. Die höchste zu erreichende Punktzahl ist niedrigste 150, die niedrigste 0. 0. 0. 1,25 Punkte. Die höchste zu ist Punktzahl 150, die 0. niedrigste bzw. 1,25 Punkte. Dieerreichende höchste zuPunktzahl erreichende ist niedrigste 150, die bzw. 1,25 Punkte. Die höchste zu erreichende ist Punktzahl 150, die 0. niedrigste bzw. 1,25 Punkte. Die höchste zuPunktzahl erreichende ist 150, die 3-Punkte-Aufgaben 3. Taschenrechner nicht zugelassen. 3. Taschenrechner nichtsind zugelassen. 3. Taschenrechner sind nicht zugelassen. 1. Welches der Teile passt sonicht inzugelassen. die Mitte 3. Taschenrechner sind nicht zugelassen. 3.sind Taschenrechner sind A1 Welches der Teile passt so in die Mitte der Puzzleblume, dass schwarze der Puzzleblume, dass schwarze Linien mit Linien mit schwarzen, graue Linien mit grauen und weiße Linien mit weißen 3-Punkte-Aufgaben 3-Punkte-Aufgaben 3-Punkte-Aufgaben 3-Punkte-Aufgaben verbunden sind? 3-Punkte-Aufgaben schwarzen, graue Linien mit grauen und A1 Welches der Teile passt in die Mitte der Puzzleblume, dass schwarze A1 A1 Welches der Teile passt so inso die der Puzzleblume, schwarze A1 Welches der Teile passt soMitte inso die Mitte der Puzzleblume, dass schwarze Welches der Teile passt insoMitte die dass schwarze A1 Welches der Teile passt inder diePuzzleblume, Mitte derdass Puzzleblume, dass schwarze weiße Linien mit weißen verbunden sind? Linien mit schwarzen, graue Linien mit grauen und weiße Linien mit weißen Linien mit schwarzen, Linien mit grauen und weiße mit weißen Linien mit graue schwarzen, graue Linien mit grauen und weiße Linien mit weißen mit schwarzen, Linien mit und weiße Linien mit weißen Linien mitgraue schwarzen, graue Linien mit(E grauen und weiße Linien mit weißen (B) (C) (D)grauen )Linien (A) Linien verbunden sind?sind?sind? verbunden sind? verbunden verbunden sind? verbunden A2 1 1 1 + + = 10 100 1000 3 3 (B) (B)(C) 111(C)(D) 3 (E 111 )(E ) (E(E)(E (A) (A)(A) (A)(B) (B) (C) (D) (D) ) (E ) (B)(C) (C)(D)(D) (D) (A) (a) (b) (d) (A) (B) (C)(c) ) (e) 1110 100 1000 111 1110 1 eine 1 1+ 11hat+ 11 1Tafel 1Schokolade 1 11 11=geschenkt 1 1 bekommen, die in 8 Reihen zu je 6 Stückchen unterteilt ist. Oleg A32. A210 +100 ++ 1000 = = A2 Nachdem + A2 ++ =+ + A2 + = hat, = bricht er von der Resttafel nochmals alle Randstückchen A2 + er alle Randstückchen gegessen 100 1000 10 10100 1000 10 100 10 1001000 1000 10 100 3 3 1000 111 3 111 für(a) seine Freundin ab. Wie viele Stückchen jetzt (b) (d) 3 3 111übrig? 3 111 3 3 3 111111 11111 3 3 111noch 3 3Oleg31000 111 111 3 3hat(c) 111 3(e)3 1110 1110 (A) (B) (B) (B) (B)(C) (C) (C) (C) (C) (D) (D) (D)(D) (D) (E (A)(B)100 (A) (A) )(E ) (E )(E ) (E (A) 1110 1110 1110 100 100 100 1110 10001000111111 11 (A) 8 11101110 (B) 12 (C)100 16 10010001000 (D) 18 (E )111 24 111 111 1110 1110 1000 3. Oleg hat eine Tafel unterteilt ist. Nachdem er alle Randstückchen Oleg hat eine Tafel Schokolade geschenkt bekommen, die 8−4, Reihen je 6 Stückchen is A3 Oleg hat eine Tafel Schokolade geschenkt bekommen, die in 8Stückchen Reihen zu je 6unterteilt Stückche A3 Oleg hat eine Tafel Schokolade geschenkt bekommen, die 8 in Reihen zu 6beschriftet ist.un A3 Annika Oleg hat eine Tafel Schokolade geschenkt bekommen, die85, inReihen 8jezu Reihen 6unterteilt Stückchen A3 Oleg hat eine Tafel Schokolade geschenkt bekommen, die in zu jezu6jeStückchen untert A3 A4 würfelt einmal mit einem Würfel, derder mit den Zahlen 1, in −2, 3, −6 ist. gegessen hat, bricht er von Resttafel nochmals alle RandstückNachdem er Randstückchen alle Randstückchen gegessen hat, bricht erhat, von der Resttafel nochmals alle Randstückch Nachdem alledass Randstückchen gegessen er Resttafel von der Resttafel nochmals alle R Nachdem er alle gegessen hat, bricht erhat, von der Resttafel nochmals allenochmals Randstückchen er Randstückchen alleerRandstückchen gegessen bricht von der Resttafel Rand Nachdem er alle gegessen hat, bricht erbricht von der nochmals alle alle Randstü Wie groß ist dieNachdem Wahrscheinlichkeit, die gewürfelte Zahl kleiner als 3er ist? chen für seine Freundin ab. viele Stückchen hat Oleg jetzt für seine Freundin ab. Wie viele Stückchen hat Oleg jetzt noch übrig? für seine Freundin ab. Wie viele Stückchen hat Oleg jetzt noch für seine Freundin ab. Wie vieleWie Stückchen hat Oleg jetzt noch übrig? für seine Freundin ab. Wie viele Stückchen hat jetzt noch übrig? 1 für 1 1 Wie 2Oleg 5 übrig? seine Freundin ab. viele Stückchen hat Oleg jetzt noch übrig? (A) (B) (C) (D) (E ) 6 übrig? 3 (B) 12 2 3 6 noch 8 (A) 16 (C) 8 12 (B) (B) 12 (C) 16 (D) 18)(E (A) (A) 8 (A) 16 (C) 18 18 24) 24 12 (C) 16 (D) 18 (E 24 8 8(A)(B) 12 (B) 16 (C) (D)(D) 18 (D) (E )(E 24) (E A5 Julia würde sich gern drei neue Musikalben kaufen, aber ihr Geld reicht nur für zwei. Die beiden (a) 8 (b) 12 (c) 16 (d) 18 (e) 24 A4 Annika würfelt einmal mit einem Würfel, der mit den Zahlen 1, −2, 3, −4, 5, −6 beschriftet A4 Annika würfelt einmal mit einem Würfel, der mit den Zahlen 1, −2, 3, −4, 5, −6 Alben kosten zusammen 23 Euro, das günstigste und das teuerste zusammen 24 Euro A4 günstigsten Annika würfelt einmal mit einem Würfel, der mit den Zahlen 1, −2, 3, −4, 5, −6 beschriftet ist. A4 Annika würfelt einmal mit einem Würfel, der mit den Zahlen 1, −2, 3, −4, 5, −6 besc A4 Annika würfelt einmal mit einem Würfel, der mit den Zahlen 1, −2, 3, −4, 5, −6 beschrifis dieWie beiden teuersten zusammen 25Wahrscheinlichkeit, Euro. Wie das teuerste Album? groß ist Wahrscheinlichkeit, die dass diekostet gewürfelte kleiner 3 als ist?3alsist? Wie groß istWahrscheinlichkeit, die dass dieZahl gewürfelte Zahl kleiner 3 ist? Wie groß istWie die dass dieviel gewürfelte kleiner als 3als ist? groß isteinmal die dass dieZahl gewürfelte Zahl kleiner 3alsist? Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit, dass die gewürfelte Zahl kleiner 4.und Annika würfelt mit einem Würfel, der mit den Zahlen 1, 1 Euro 1 1 1 (D) 1 2 2 (E )216 Euro 2 5 5 (A) 12 1Euro1 1 (B) 13 15 Euro 1 1 1 (C)1 14 Euro 1 1 2 1 5 5 (A) (B) (C) (D) (E ) (A) (B) (C) (D) (A)3, (B) (C) (D) (E ) (A) (B) (C) (D) -2, -4, 5, -6 beschriftet ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, (B) (C) (D) (E )(E ) (E 6 6 (A) 6 6 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 6 6 6 6 3 2 3y 6 A6 Felix hat die würde Ergebnisse eines Experiments inMusikalben ein Diagramm eingetragen, aberGeld dabeireicht nur für zwei. Die beid sich gern drei neue kaufen, aber ihr würde sich gern drei Musikalben aber ihr Geld reicht nur für zw JuliaJulia würde sich Julia gern drei neue Musikalben kaufen, aberkaufen, ihr kaufen, Geld reicht nur für zwei. A5 A5 Julia würde sich gern drei neueneue Musikalben aber ihr Geld reicht nurDie fürbeiden zwei. A5 A5 Bei3, einer falschen Antwort wird ein Wird Viertel der vorgesehenen Punkte also 0,75 Punkte, 1 Punkt Wie viele Stückchen hatdie bzw. Oleg jetzt noch übrig? werden vorgesehenen 4 oder 5Bei Punkte hinzuaddiert. keine gegeben, gibt abgezogen, es 0Punkte Punkte.abgezogen, einer falschen Antwort wird einAntwort Viertel der also 0,75 Punkte, 1 Punkt werden die vorgesehenen 3, 4 oder 5 Punkte hinzuaddiert. Wird keine Antwort gegeben, gibt esvorgesehenen 0 Punkte. 1,25 Punkte. Die höchste zu erreichende Punktzahl ist 150, die niedrigste 0. bzw.wird 1,25 Punkte. Dievorgesehenen höchsteDie zu erreichende Punktzahl 150, die ist niedrigste Bei einer falschen einvorgesehenen Viertel der Punktealso abgezogen, alsoist 0,75 Punkte, 1150, Punkt bzw. 1,25 Punkte. höchste zu 0,75 erreichende Punktzahl die0.niedrigste 0. Bei einer falschen Antwort wirdAntwort ein Viertel der Punkte abgezogen, Punkte, 1 Punkt bzw. 1,25 Die höchste erreichende Punktzahl ist 150, die niedrigste 0. 3. Punkte. Taschenrechner sindzu nicht zugelassen. 3. Taschenrechner sind nicht zugelassen. 3. Taschenrechner sind zugelassen. bzw. 1,25 Punkte. Die höchste zu erreichende Punktzahl ist 150, dienicht niedrigste 0. 2: 3.Aufgaben Lösungen Taschenrechner sindmit nicht zugelassen. B) 12Abschnitt (C) 16zugelassen. (D) 18 3. Taschenrechner sind nicht 5 (E ) 24 3-Punkte-Aufgaben 3-Punkte-Aufgaben 3-Punkte-Aufgaben 3-Punkte-Aufgaben 3-Punkte-Aufgaben A1 Welches Teile so inpasst dieTeile Mitte der Mitte Puzzleblume, dass A1 der Welches der Teile so inpasst die Puzzleblume, dass schwarze A1passt Welches der so in der die Mitte derschwarze Puzzleblume, dass schwarze A1 der Welches der Teile somit in der die Mitte der Puzzleblume, dass schwarze Linien schwarzen, graue Linien mit grauen undLinien weiße Linien mit und weißen Linien schwarzen, graue Linien mit grauen und weiße Linien mit Linien weißenmit weißen Linien mit schwarzen, graue mit grauen weiße A1 Welches Teile passt somit inpasst die Mitte Puzzleblume, dass schwarze Linien mitverbunden schwarzen, graue Linien mit und weiße Linien mit weißen sind? verbunden sind? Linien 1 mit schwarzen, graue Linien mit1grauen undgrauen weiße Linien mit weißen verbunden sind? 1 2 verbunden sind? verbunden sind? die gewürfelte kleiner als3,3 −4, ist? 5, −6 beschriftet ist. mit einemdass Würfel, der mit denZahl Zahlen 1, −2, (a) dass (b) 3 Zahl kleiner (c) 2 als 3 ist? (d) 3 (e) 65 cheinlichkeit, die gewürfelte 6 (A) (A) (B) (A) (B) (C) (B) (C) (D) (C) (D) (E ) (D) (E ) (E ) 1 5. Julia 1(B) (C) gern 2Musikalben 5 (C) (D) (E ) (A) (B) würde sich drei (D)neue kaufen, (E ) (A) B) (C) (E ) aber ihr Geld 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (D) +1A2 + + A2= + + = + = 1 1A21 1 1 3 2 3 6 100=zwei. 101000 100 10Die 1000 100 beiden 1000 reicht nur günstigsten Alben kosten zusam+ = 10 +für A2 + A2 + 10 100 1000 10 100 3 1000 3 (A) 3 3 (A) 3 3 33 111 3111 3 111 3 3 (B) (D) (C) 3 (D)111 (A)111 (B) 111 (C) (B)3 (C) 111 (E ) (D) 111 3 111 (E ) 111 (E ) 1110 1000 111 1110 1000 1110 (B) 1110 (C) 100(D)und (E ) 111 zusammen 1110 100(D)das 1000 111 1110 Euro, das günstigste 24 Euro (A) 23(A) (C) 100 1110(B) 100 111 (E )teuerste 1110 zwei. Die beiden drei neue men Musikalben kaufen, aber Geld nur für 1110 100 1000 ihr1000 111 reicht 1110 hat eine Tafel geschenkt bekommen,geschenkt die in 8 Reihen 6die Stückchen unterteilt ist. A3 Oleg A3 Oleg hat eine Tafel geschenkt bekommen, die inzu8 je Reihen 6 Stückchen unterteilt ist. Oleg hat Schokolade eine Tafel Schokolade bekommen, inzu 8 je Reihen zu je 6 Stückchen unterteilt ist. A3 Schokolade Oleg hatSchokolade eine Tafel Schokolade geschenkt bekommen, die in 8jeReihen zu je 6 unterteilt Stückchenist. unterteilt ist. A3 eine Oleg hat Tafel geschenkt bekommen, die in 8 Reihen zu 6 Stückchen A3 Nachdem er alle Randstückchen hat, bricht hat, ergegessen von der25 Resttafel Randstückchen und die beiden teuersten Euro. Wie viel kostet das Nachdem erNachdem alle Randstückchen gegessen bricht er von dernochmals Resttafel nochmals alle Randstückchen ergegessen allezusammen Randstückchen hat, bricht er von deralle Resttafel nochmals alle Randstückchen en zusammen 23 Euro, das günstigste und das teuerste zusammen 24 Euro Nachdem er alle Randstückchen gegessen hat, bricht er von der Resttafel nochmals alle Randstückchen Nachdem er alle Randstückchen gegessen hat, bricht er von Resttafel nochmals alle Randstückchen für seine Freundin Wie viele Stückchen hat jetzt noch übrig? für seineab. Freundin ab. Wieder viele Stückchen hat Oleg jetzt noch jetzt übrig?noch übrig? für seine Freundin ab. WieOleg viele Stückchen hat Oleg für seineab. Freundin ab.Stückchen Wie viele hat Stückchen hat noch Oleg übrig? jetzt noch übrig? für seine Freundin Wie viele Oleg jetzt teuerste Album? (A) 8 (B) 16 18 ) 24 (A) 8 (B) das 12 (C) (A)12 8 (B) 12 (C) 16 (D) (C) 16 (D) 18 (E (D) 18 (E ) 24 (E ) 24 n zusammen 25 Euro. Wie viel kostet teuerste Album? (A) 8 (B) 12 (B) 12 (C) 16 (C) 16 (D) 18 (D) 18 (E ) 24 (E ) 24 (A) 8 A4 Annika würfelt einmal miteinmal einem Würfel, mit den Zahlen 1, −2, 3,den −4, 5, 3, −61, beschriftet ist.5, −6 beschriftet A4 Annika würfelt mit einemder Würfel, derWürfel, mit den 1, −2, −4, 5, −6 beschriftet ist. A4 Annika würfelt einmal mit einem derZahlen mit−6 Zahlen ist. Annika würfelt einmal mit einem Würfel, mit den Zahlen 1,Euro −2, 3, −4, 5, beschriftet ist.−2, 3, −4,(e) (a) 12 Euro (b) 13 Euro (c) 14 (d) Euro 16 Euro A4 AnnikaA4 würfelt einmal mitgroß einem Würfel, der mit dender Zahlen 1, 3, −4, 5, −6 beschriftet Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass die−2, gewürfelte Zahl als kleiner 3 ist. ist?15 Wie groß ist diegroß Wahrscheinlichkeit, dasskleiner die gewürfelte Zahl als(E 3 ist?)als16 Wie ist Wahrscheinlichkeit, dass3kleiner die Zahl kleiner 3 ist?Euro B) 13 Euro (C) Euro (D) Wie ist die 14 Wahrscheinlichkeit, dass die die gewürfelte als ist?gewürfelte Wie groß ist diegroß Wahrscheinlichkeit, dass die gewürfelte Zahl kleinerZahl als15 3 ist? Euro 1 1 11 11 11 11 21 21 5 2 52 5 5 y y (A) 1 (B) (C) (D) (E ) 1 1 2 5 (A) (B) (C) (D) (E ) (A) (B) (C) (D) (E ) (A) (B) (C) (A) (B) 6 23 (D) 3 2 (E ) 32 (E ) 6 3in 63 6 6 6. Felix eines 36 (C) 2 36 23 (D) 3 Experiments 6 hat 6 die 3 Ergebnisse 6 y beiden würde sich gernJulia drei neue Musikalben kaufen, aber ihr Geld reicht nur reicht für Die A5 Julia sich gernaber drei neue Musikalben kaufen, aber ihr zwei. Geld nur Die für zwei. Julia würde sichwürde gern drei neue Musikalben kaufen, aber ihrzwei. Geld nur reicht für zwei. beidenDie beiden A5 sich gern dreiA5 neue Musikalben kaufen, ihr Geld reicht nur für würdeJulia sich würde gern drei neue Musikalben kaufen, aber ihr Geld reicht nur für zwei. Die beiden Die beiden A5 Julia A5 günstigsten Alben kosten zusammen 23 Euro, das günstigste und das teuerste zusammen 24 Euro günstigsten Alben kosten zusammen 23 Euro, das günstigste und das teuerste zusammen 24 Euro günstigsten Alben kosten zusammen 23 Euro, das günstigste und das teuerste zusammen 24 Euro ein Diagramm eingetragen, aber dabei verseAlben kosten zusammen 23 günstigste Euro, das und günstigste und das teuerste zusammen günstigstengünstigsten Albenin kosten zusammen 23 Euro, das das teuerste zusammen 24dabei Euro 24 Euro eines Experiments ein Diagramm eingetragen, aber und die beiden teuersten zusammen 25 Euro. Wie viel teuerste kostet das teuerste undWie die beiden teuersten zusammen 25 Euro. Wie viel kostet dasAlbum? teuerste Album? und die beiden teuersten zusammen 25 Euro. Wie viel kostet dasAlbum? teuerste und teuersten die beiden teuersten zusammen 25 viel Euro. Wie viel teuerste kostet das Album? und die beiden zusammen 25 Euro. kostet das Album? hentlich die Werte für die Messgrößen x und (A) 12 Euro (B) 13 Euro (C) 14 Euro (D) 15 Euro (E ) 16 Euro (A) 12 Euro (B) 13 Euro (C) 14 Euro (D) 15 Euro (E ) 16 Euro (A) 13 Euro (B)14 13Euro Euro15 (C) Euro Euro (E ) 16 Euro für die Messgrößen x 13und y12 Euro vertauscht (s. Abb. (A) 12 Euro (B) (C) 1514Euro ) 1615 Euro (A) 12 Euro (B) Euro (C) 14 Euro (D) Euro(D) (E ) 16rechts). Euro(E(D) y y y y aussehen? vertauscht (s. Abb. rechts). Wie das A6Experiments Felix hat die eines Experiments in ein Diagramm eingetragen, A6 Felix hat die Ergebnisse eines Experiments in ein Diagramm eingetragen, aber dabei mm richtig A6 Felix hat die Ergebnisse eines Experiments in dabei einmüsste Diagramm eingetragen, aber dabei aber dabei A6 dieFelix hat die Ergebnisse eines in Ergebnisse ein Diagramm eingetragen, aber dabei A6 Felix hat Ergebnisse eines Experiments in ein Diagramm eingetragen, aber Werte dieyrechts). Messgrößen x und vertauscht (s. Abb. rechts). versehentlich die für diey Messgrößen und vertauscht (s. Abb.y rechts). versehentlich Werte für diey Messgrößen x und vertauscht (s. Abb. rechts). versehentlich die die Werte für Werte die versehentlich Messgrößen xdie und vertauscht (s. Abb.yrechts). versehentlich die Werte für Messgrößen xdie und vertauscht (s.xfür Abb. x Wie müsste Diagramm richtig aussehen? Diagramm richtig aussehen? Wie müsste das Diagramm richtigdas aussehen? Wie müsste das Diagramm richtig aussehen? das Diagramm richtig aussehen? Wie müssteWie dasmüsste Diagramm richtig aussehen? x x x B) y y (a)(A) y (A) x yyy yy (b)(B) (A) (A) x (B) y yy x x (C) (A) xx (B) yy (c) y y yy yy y y y yy x y y (d) (B) x x (D) (C)x x (E(D) (C) ) x xx (C) (B)x xx (D) (C)x xx(E )(D) x yy (D) (E )x x y (e)(E ) (E ) xx x x 7. Wie viele natürliche Zahlen sind gleichzeitig größer als 2015 · 2017 x x x x (C)als 2016 · 2016 (D) (E ) und kleiner ? Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen (a) 0 (b) 1 6 (c) 2015 (d) 2016 (e) 2017 8. Um in der Ebene einen Kreis durch Geraden einzugrenzen, werden drei Geraden benötigt (s. Abb.). Wie viele Ebenen sind mindestens nötig, um eine Kugel im Raum 2 Känguru 2016 — Klassenstufen 11 bis 13 einzugrenzen? (a) 3 A7 Wie viele(b) 4 (c) 5 (d) (e)· 2016 7? natürliche Zahlen sind gleichzeitig größer als 2015 · 20176und kleiner als 2016 0 (B) 1 2015 (D) 2016 (E ) 2017 9. Kim, Ann(A)und Laura sind die(C)drei Finalteilnehmerinnen beim A8 Um in der Ebene einen Kreis durch Geraden einzugrenzen, werden 3 Geraden Radrennen ’Rund um den Stadtsee’. In die letzte Runde geht Kim benötigt (s. Abb.). Wie viele Ebenen sind mindestens nötig, um eine Kugel im Raum einzugrenzen? vor Ann vor Laura, und bis zum Ziel wird jede der drei genau ein(A) 3 4 (C) 5 (D) 6 7 mal überholt. Wie (B) viele Möglichkeiten gibt es(E )für die Reihenfolge A9 Kim, Ann und Laura sind die drei Finalteilnehmerinnen beim Radrennen „Rund um den Stadtsee“. der drei Mädchen bei der Zieleinfahrt? In die letzte Runde geht Kim vor Ann vor Laura, und bis zum Ziel wird jede der drei genau einmal überholt. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge der drei Mädchen bei der Zieleinfahrt? (a) nur eine (b) zwei (c) drei (d) vier (e) sechs (A) nur eine (B) zwei (C) drei (D) vier 10. Die beiden grauen R2 A10 Die beiden grauen Rechtecke Rechtecke R und R R 1 in und der Abbildung (Abb. nicht maßstabsgerecht) haben den gleichen Flächeninhalt. in der Abbildung (Abb. nicht maßstabsx Welchen Wert hat ? gerecht) haben den y3gleichen Flächeninhalt. 4 7 8 (C) (D) (E ) (A) 1 (B) x Welchen Wert hat 2 ? 3 4 5 y 1 4-Punkte-Aufgaben 2 (E ) sechs 5 R2 y R1 x 8 überholt. viele es fürdrei die Reihenfolge der Mädchen bei der Zieleinfahrt? überholt. Wie viele Möglichkeiten für die Reihenfolge drei der Zieleinfahrt? überholt. Wiegibt vieleesWie Möglichkeiten esder fürgibt die Mädchen Reihenfolge Mädchen bei der drei Zieleinfahrt? überholt. Wiegibt viele Möglichkeiten gibtbei esder fürdrei diebei Reihenfolge der Mädchen bei der Zieleinfahrt? überholt. Wie viele Möglichkeiten gibt esMöglichkeiten für die Reihenfolge der Mädchen der drei Zieleinfahrt? (A) (B) zwei (D) (C)vier drei (E (D) vier (E (A) nur eine (B) (C) drei vier ) sechs (A)zwei nur eine (B) zwei (C) drei (D) vier ) sechs (A) nur (C) eine drei (B) zwei(D) (C) drei(E (D) vier (E ) sechs (E ) sechs (A) nur eine (B) nur zweieine ) sechs Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen A10 DieRgrauen beiden Rechtecke R A10 Die beiden grauen Rechtecke und Rechtecke Rgrauen in der A10 Die beiden RAbbildung und R und in der RAbbildung 1 in 2Abbildung 1 A10 Die 5 A10 Die beiden grauen Rechtecke R21 beiden und R2grauen 1 in derRechtecke 2Abbildung 5derRR 1 und 2 in 5der Abbildung 5 (Abb. nicht maßstabsgerecht) haben denFlächeninhalt. gleichen Flächeninhalt. (Abb. nicht(Abb. maßstabsgerecht) haben den haben gleichen Flächeninhalt. nicht maßstabsgerecht) haben denFlächeninhalt. gleichen (Abb. nicht maßstabsgerecht) haben den gleichen Flächeninhalt. nicht(Abb. maßstabsgerecht) den gleichen x x x 3 4 7 R2 x x Welchen Wert hat ? R2 Welchen Wert hat Wert ? hat Wert R2 Welchen R2 Welchen ? hat ?Welcheny Wert hat ? y y y y 2 3 4 8 7 3 4 7 8 3 4 7 8y 3 4 7 8y 8y 3 4 1 3 4 (B) (C)(D) (D)(E (E 7) y (A) 1 (B) (C)(D)(E )(B) ) (A)(B) 1(C) (A)(B) (D) ) (C)(D)(A) 1 (E ) (C) (A) 1 R14 5 R1 R(E 2 2 3 4 2 3 4 5 23 4 5 1 34 5 5 2 3 x x 8x 8x (a) 1 (b) (c) 7 5 (d) R2 (e) 8 5 y R R 11. Ran hat ihre Trommel für ein Festival mit sechs breiten Streifen 8 8x 8 beklebt. Vier4-Punkte-Aufgaben der4-Punkte-Aufgaben folgenden Bilder zeigen Rans Trommel. Welches 4-Punkte-Aufgaben 4-Punkte-Aufgaben 4-Punkte-Aufgaben Ran hat ihre Trommel fürTrommel einbreiten Festival mit sechs breiten Streifen beklebt. Vier der Bilder folgenden Bilder B1 Ran hat ihre für einihre Festival sechs breiten Streifen beklebt. Vier der Bilder B1Bild Ran hat Trommel für hat einTrommel? Festival mit sechs breiten Streifen beklebt. Vier der Bilder folgenden B1 ihre Ran ihre für ein Festival mitfolgenden sechs Streifen beklebt. Vier der folgenden Bilder B1 RanTrommel hat Trommel für einmit Festival mit sechs Streifen beklebt. Vier derbreiten folgenden B1zeigt eine andere zeigen Ranseine Trommel. Welches zeigt eine andere Trommel? zeigen Ranszeigen Trommel. Welches Bild zeigt andere Trommel? zeigen Rans Trommel. Welches Bild zeigt eine andere Trommel? zeigen Rans Trommel. Welches Bild zeigt Bild eine andere Trommel? Rans Trommel. Welches Bild zeigt eine andere Trommel? (a)(A) (A) (B) (A) (B) (b)(A) (A) (C) (B) (B) (C) (B) (C) (c)(D) (C) (D) (C) (E ) (D) (D) (E ) (d) (D) (E ) 1 (E ) 1 (e)(E ) B2 Nico arbeitet neben dem Studium in Baumarkt. er ein In die B2 Niconeben arbeitet demneben Studium inStudium einem er einem ein Regal In hat die B2 Nico arbeitet dem in einem Baumarkt. Heute hat er aufgebaut. einInhat Regal aufgebaut. In Regal die aufgebaut. B2 Nico arbeitet demneben Studium in einem Baumarkt. Heute hat er einhat Regal aufgebaut. dieHeute B2 Nico arbeitet neben demBaumarkt. Studium inHeute einem Baumarkt. Heute er ein Regal aufgebaut. In die 16 leeren Fächer er Farbbüchsen in jedes Fach viele. bat ihn kurz 16 leeren hat erleeren Farbbüchsen gestapelt, inhat jedes Fach gleich viele. Seine Chefin bat ihngleich kurz 16 Fächer hat er dem Farbbüchsen gestapelt, in jedes Fach gleich viele. Seine Chefin bat ihn Seine kurz 16 leeren arbeitet Fächer hatFächer er leeren Farbbüchsen gestapelt, in jedes Fach gleich viele. Seine Chefin bat ihn kurz 16 Fächer hat er Farbbüchsen gestapelt, ingestapelt, jedes Fach gleich viele. Seine Chefin batChefin ihn kurz 12. Nico neben Studium in einem Baumarkt. Heute hat darauf, 4 wieder der Fächer wieder freidie zu machen. Also Nico die Farbbüchsen diesen 4 Fächern darauf, 4 der Fächer wieder zu machen. verteilte Nico Farbbüchsen aus diesen 4 Fächern darauf, 4 darauf, der wieder frei zuAlso machen. Also verteilte Nico die Farbbüchsen aus diesen 4 Fächern darauf, 4 der Fächer wieder frei zu Fächer machen. Also verteilte Nico die Farbbüchsen aus diesen 4verteilte Fächern 4frei der Fächer frei zu machen. Also verteilte Nico die Farbbüchsen aus diesen aus 4 Fächern auf die anderen Fächer, sodass dort jeweils Farbbüchsen Wie viele Farbbüchsen stehen auf die anderen Fächer, sodass dort jeweils 5sodass Farbbüchsen dazukamen. Wie 5viele Farbbüchsen stehen auf sodass die anderen Fächer, dort jeweils 5 16 Farbbüchsen dazukamen. Wie vieledazukamen. Farbbüchsen stehen die anderen Fächer, dortdie jeweils 5 sodass Farbbüchsen dazukamen. Wie Farbbüchsen stehen auf anderen Fächer, dort jeweils 5 viele Farbbüchsen dazukamen. Wie viele Farbbüchsen stehen erauf ein Regal aufgebaut. In die leeren Fächer hat er Farbbüchsen in diesem Regal? in diesem Regal? in diesem inRegal? in diesem Regal? diesem Regal? (A) 80 (C) (B) 128viele. (C) 192(E (D) 225 (E ) bat 240 (A) 80 in (B) 80 128 (C) 192 (D) ) 240 gestapelt, jedes Fach Chefin kurz (A)128 80 (B) 128 (C) 192 (D) 225 (E ) 240 (A) 80 (B) 192 225 )Seine 240 (A) (B)gleich 128 (D) (C)225 192 (E (D) 225 240 (E ) ihn 16 16 16+ 16 = 16 16 ? eine Zahl x 8x gelte x xhat − 8x 0. Welchen Wert dann ? xhat B3reelle Für Zahl eine Zahl x gelte x16 8x + = 0.Wert Welchen Wert dann +machen. ? xhat B3 reelle eine Zahl x− gelte x16xreelle − 8x + = 0.dann Welchen Wert dann + dann vier der Fächer wieder frei zu Nico ? xhat B3darauf, Für eine xFür gelte x reelle − 8xeine +B3 =Für 0.Zahl Welchen hat +0. ? x + verteilte B3 Für reelle gelte x16− + 16 = Welchen Wert +Also x x x x x (A) −8 (C) (B) (C) (D) (E ) 8 (B) aus −4 (C) ) 84 die (A)−4 −8 (A) (B) (C) (D) (E ) 84 anderen −8 (A) −8 (B) 0−4 (D) 40 −4 (D) (E ) 840 (E −8 (B) 0−4 vier (C)40 (D) (E ) 8 die(A)Farbbüchsen diesen Fächern auf Fächer, B4Feld In eine jedesPyramide Feldeine der natürliche Pyramide sollalseine natürliche B4 Feld In jedes Feld der Pyramide soll natürliche Zahl größer 1 so B4 Pyramide In jedes Feldjedes der Pyramide soll Zahl größer 1 soZahl B4 In jedes der soll eine natürliche Zahl größer als 1 natürliche so B4 In der soll eine Zahlalsgrößer als größer 1 so als 1 so sodass dort jeweils fünf Farbbüchsen dazukamen. eingetragen werden, dass in den drei oberen Feldern jeweils das Produkt werden, dass in den drei oberen Feldern jeweils das Produkt werden, dass in den drei oberen Feldern jeweils das Produkt eingetrageneingetragen werden, eingetragen dass in den drei oberen Feldern jeweils das Produkt eingetragen werden, dass in den drei oberen Feldern jeweils das Produkt dersteht. beiden schräg darunterstehenden Zahlen steht. der folgenden beiden schräg darunterstehenden Zahlen steht. Welche derWelche folgenden der beiden schräg darunterstehenden Zahlen steht. derWelche folgenden der beiden der schräg darunterstehenden Zahlen Welche der folgenden der beiden schräg darunterstehenden Zahlen steht. derWelche folgenden Wie viele Farbbüchsen stehen in diesem Zahlen kann sicher nicht im obersten Feld stehen?Regal? Zahlen sicher nicht imFeld obersten stehen? Zahlen sicher nicht imFeld obersten stehen? Zahlen kann sicherkann nicht im kann obersten stehen? Zahlen kann sicher nicht im Feld obersten Feld stehen? 56105 84 (C) 90 105 (D) (E 105 (A) (B) 56 84(A) (B) 84 90 105 ) 220 56 (C) (B) (C) 84(A) (C) (D) 90(B) (D) (E 105 (E ) 220 (A) 56 (D) (E ) 220 (A)90 56 (B) 84 (C) 90 (D) ) 220 (E ) 220 (a) 80 (b) 128 (c) 192 (d) 225 (e) 240 2 2 2 2 2 13. Für eine reelle Zahl x gelte x2 − 8x + 16 = 0. Welchen Wert hat dann x + 16 x ? (a) -8 (b) -4 (c) 0 (d) 4 (e) 8 B3 Für eine reelle Zahl x gelte x − 8x + 16 = 0. Welchen Wert hat dann x + Abschnitt (A) −8 2: Aufgaben (B) −4mit Lösungen (C) 0 (D) 4 x ? (E ) 8 8 In Feld jedes dersoll Pyramide sollZahl einegrößer natürliche B4 14. In jedes der Feld Pyramide eine natürliche als 1 so eingetragen dassals in den dreieingetragen oberen Feldern jeweils das Produkt Zahlwerden, größer 1 so werden, dass der beiden schräg darunterstehenden Zahlen steht. Welche der folgenden den drei oberen Feldern jeweils das Produkt Zahlenin kann sicher nicht im obersten Feld stehen? (A)der 56 beiden (B) 84schräg (C)darunterstehenden 90 (D) 105 (E )Zahlen 220 steht. Welche der folgenden Zahlen kann sicher nicht im obersten Feld stehen? (a) 56 (b) 84 (c) 90 (d) 105 (e) 220 15. Es seien a, b, c und d positive ganze Zahlen, für die a+2 = b−2 = c·2 = d/2 gilt. Welche der vier Zahlen a, b, c und d ist am größten? (a) a (b) b (c) c (d) d (e) nicht eindeutig bestimmt 16. Uschis Uhr geht 3 Minuten vor, aber sie glaubt, dass sie 5 Minuten nachgeht. Udos Uhr geht 5 Minuten nach, aber er glaubt, dass sie 3 Minuten vorgeht. Wenn Uschi glaubt, dass es 12:00 Uhr ist, was glaubt dann Udo, wie spät es ist? (a) 11:44h (b) 11:56h (c) 12:00h (d) 12:04h (e) 12:16h Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 9 17. Gegeben ist ein Kreis k und eine Gerade AB durch den Mittelpunkt M . Der A M B Schnittpunkt von AB mit der Tangen- 20 16 X T ten in T ist X. _ _ Der Bogen AT ist 20 cm, der Bogen TB ist 16 cm lang (Abb. nicht maßstabsgerecht). Wie groß ist der Winkel ∠(AXT ) ? (a) 30o (b) 24o (c) 18o (d) 15o (e) 10o 18. Im Saloon saßen um einen großen runden Tisch sieben Männer und pokerten. Einige waren stadtbekannte Ganoven. Einer brüllte plötzlich: Betrug! Ich sitze zwischen zwei Ganoven!“ Da rief ” auch jeder andere: Ich sitze auch zwischen zwei Ganoven!“ Der ” Sheriff saß still am Tresen. Er wusste, dass alle Ganoven logen, die anderen aber die Wahrheit sprachen. Wie viele Ganoven saßen am Tisch und pokerten? (a) 3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 (e) Das ist aus diesen Informationen nicht zu ermitteln. 19. Im Rechteck (ABCD) ist die Seite BC halb so lang wie die Diagonale AC. Der Punkt M liegt auf CD und es gilt |AM | = Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen |M C|. Wie groß ist der Winkel ∠(CAM )? (a) 15o (b) 22, 5o (c) 27, 5o (d) 30o 10 (e) 36o 20. In jeden der zehn Kreise soll entweder eine 0, eine 1 oder eine 2 eingetragen werden. Dabei soll die Summe der drei Eckzahlen eines jeden weißen Dreiecks durch 3 teilbar sein. Die 0 2 ? Summe der drei Eckzahlen eines jeden schwarzen Dreiecks soll dagegen nicht durch 3 teilbar 2 sein. Welche Zahl kann dann im grauen Kreis stehen? (a) nur 0 (b) nur 1 (c) nur 2 (d) 0 oder 1 (e) 0 oder 1 oder 2 21. Während Valentina im Stadion 10 Runden läuft, radelt ihr Bruder Pedro mit seinem Rennrad Runde für Runde. Beide sind am selben Punkt gestartet und bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit in derselben Richtung. Pedros Geschwindigkeit ist um 75% größer als die von Valentina. Wie viele Punkte gibt es auf der Bahn, an denen Valentina von Pedro überholt wird? Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen (a) 2 (b) 3 11 (c) 4 (d) 6 (e) 8 22. Wie viele verschiedene reelle Lösungen x hat die Gleichung 2 (x2 − 4x + 5)x +x−30 = 1 ? (a) 1 (b) 2 (c) 3 Känguru 2016 (d) — 4 Klassenstufen (e) 11 ∞bis 13 23. Ein Papierstreifen mit hel- D Papierstreifen mit heller Oberseite und dunkler lerbreit Oberseite rseite ist 5 cm und 25 cmund lang. dunkler Welchen D Unterseite cm breit heninhalt hat die sichtbare ist helle 5Fläche, wenn abgebildet Ecke auf cm Eckelang. C gefaltet wird? A undA 25 C A=C B B Welchen Flächeninhalt hatcmdie sichtbare wenn (B) 27,25 cm (C) 27,5 (D) 30 cmhelle Fläche, (E ) 31,25 cm2 wie abgebildet Ecke A auf Ecke C gefaltet wird? den neun Ziffern 1, 2, . . . , 9 werden drei dreistellige Zahlen gebildet, wobei jede dieser Ziffern genau 2 (a) Welche 25 cm2der folgenden (b) 27,25Zahlen cm2 ist (c)sicher 27,5nicht cm2die(d) 30 cm (e)Zahlen? 31,25 cm2 al benutzt wird. Summe dieser drei A) 25 cm 2 2 2 2 A) 1500 24. (B) 1503 (C)1, 1512 (D) 1521 drei dreistellige (E ) 1575 Zahlen Aus den neun Ziffern 2, . . . , 9 werden gebildet, wobei jede dieser Ziffern genau einmal y benutzt wird. Welche der folgenden nicht viele quadratische Funktionen f (x ) = ax 2Zahlen + bx + cist mitsicher a 6= 0 gibt es, die Summe dieser drei Zahlen? n Graph durch mindestens drei der neun markierten Punkte verläuft? (a) (b) 20 1503 (D)(c) (e) 1575 A) 6 (B)1500 15 (C) 22 1512 (E ) (d) 27 1521 x O D sei ein Tangentenviereck, d. h. ein Viereck, dessen Seiten Tangenten an C Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 25. Wie viele quadratische Funktionen f (x) = ax2 + bx + c mit a 6= 0 gibt es, deren Graph durch mindestens drei der neun markierten Punkte verläuft? 12 y x (a) 6 (b) 15 (c) 20 (d) 22 (e) 27 B 26. (ABCD) sei ein Tangentenviereck, d.h. C ein Viereck, dessen Seiten Tangenten an einen Kreis k sind, den Inkreis dieses Vierecks. Das Verhältnis des Umfangs A von (ABCD) zum Umfang von k sei 4:3 (Abb. nicht maßstabsgerecht). Was D ist das Verhältnis des Flächeninhalts von (ABCD) zum Flächeninhalt von k ? √ (a) 4 : π (b) 3 2 : π (c) 16 : 9 (d) π : 3 (e) 4 : 3 27. Ein Würfel wird in sechs Pyramiden zerlegt, indem ein Punkt im Inneren des Würfels mit allen acht Eckpunkten verbunden wird. Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 13 Die Volumina von fünf der sechs Pyramiden sind 2, 5, 10, 11 und 14. Welches ist das Volumen der sechsten Pyramide? (a) 4 (b) 6 (c) 9 (d) 12 (e) 22 28. Die natürliche Zahl N besitzt genau sechs verschiedene positive Teiler (einschließlich 1 und N ). Multiplizieren wir fünf dieser Teiler, erhalten wir 648. Welche Zahl ist der sechste Teiler von N ? (a) 4 (b) 8 (c) 9 (d) 12 (e) 24 29. Auf dem 5 × 5-Spielbrett liegen Spielsteine, die auf einer Seite ⇒ schwarz und auf der anderen Seite weiß sind. Zu Beginn liegen alle Steine mit der weißen Seite nach oben. Bei jedem Spielzug werden drei Steine umgedreht, die in einer Reihe – waagerecht oder senkrecht – benachbart sind. Wie viele Spielzüge sind mindestens nötig, um das abgebildete Muster zu erhalten? (a) 6 (b) 8 (c) 10 (d) 11 (e) 12 Abschnitt 2: Aufgaben mit Lösungen 14 30. Alexandra berechnet die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Dabei bemerkt sie, dass die Primzahl p diese Summe teilt, aber keinen der Summanden. Welche der folgenden Zahlen könnte gleich n + p sein? (a) 217 (b) 221 (c) 229 (d) 245 (e) 269 15 Lösungen der Aufgaben Lösung zu Aufgabe: Wegen eigener Befangenheit hier nur ein paar Hinweise auf Literatur, die die Bibliothek und/oder ich gern auch leihweise zur Verfügung stellen: • Albrecht Beutelspacher: Mathematik für die Westentasche; Piper Verlag 2001 120 S. 9.90 e und viele weitere Titel • P.J. Davis, Reuben Hersh: Erfahrung Mathematik; Birkhäuser 1985 ISBN 3-7643-1359-5 • Udo Hebisch: Bücher über Mathematik – umfangreiche (link) list; www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/cafebuecher.html • John A. Paulos: Innumeracy – Mathematical Illiteracy and its Consequences; Penguin 1988 ISBN 0-14-012255-9 • Wilhelm Sternemann: Neue Fraktale aus platonischen Körpern; Spektrum der Wissenschaft 11/2000, www.wissenschaft-online.de/abo/spektrum/archi Weitere Literatur-Hinweise finden sich in den oben genannten Dokumenten, s.a. www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs. Test beenden Lösungen der Aufgaben 16 Lösung zu Aufgabe: Man beobachtet: • die schwarzen Linien sind an zwei benachbarten Kanten des inneren Sechseckes verbunden; • die grauen Linien sind an zwei Kanten des inneren Sechseckes verbunden – mit einer freien Kante dazwischen; • die weißen Linien sind an zwei Kanten des inneren Sechseckes verbunden – mit einer freien Kante dazwischen; • die Verbindungen der grauen und der weißen Linien schneiden sich und liegen gegenüber der Verbindung der schwarzen Linien. Es bleiben nur die beiden Alternativen (b) und (c). Im mathematisch positiven Umlaufsinn folgt auf schwarz weiß, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 17 Lösung zu Aufgabe: 1 10 + 1 100 + 1 1000 = 100 1000 + 10 1000 + 1 1000 = 111 1000 , also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 18 Lösung zu Aufgabe: Von ursprünglich 8 × 6 Stückchen bleiben acht Stückchen übrig, also Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 19 Lösung zu Aufgabe: Sei X die gewürfelte Zahl. Dann gilt P (X < 3) = P (X ∈ {−6, −4, −2, 1}) = 4 6 = 23 , also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 20 Lösung zu Aufgabe: Sei p1 der Preis des günstigsten, p2 derjenige des mittelpreisigen und p2 der Preis des teuersten Albums. Dann gilt p1 + p2 = 23 p1 + p3 = 24 p2 + p3 = 25 was p1 = 11, p2 = 12 und p3 = 13 impliziert, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 21 Lösung zu Aufgabe: Beim Vertauschen der Meßgrößen werden die Meßpunkte an der Winkelhalbierenden y = x gespiegelt, also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 22 Lösung zu Aufgabe: Wegen 2015 · 2017 = (2016 − 1)(2016 + 1) = 20162 − 1 gibt es keine Zahl, die zugleich größer als 2015 · 2017 und kleiner als 2016 · 2016 ist, also Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 23 Lösung zu Aufgabe: Eine dreiseitige Pyramide (Tetrapack) tut es mit vier Ebenen, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 24 Lösung zu Aufgabe: Es gibt nur K>A>L⇒K>L>A⇒L>K>A⇒K>L>A und K>A>L⇒K>L>A⇒K>A>L⇒A>K>L also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 25 Lösung zu Aufgabe: Zunächst gilt (8 − x)y = R1 = R2 = x(5 − y) was 8y = 5x und damit x y = 8 5 impliziert, also Antwort (e). Test beenden Lösungen der Aufgaben 26 Lösung zu Aufgabe: Es gibt zwei graue Streifen! Wir verwenden folgende Kodierung: 1=schwarz, 2=kariert, 3=grau, 3=grau, 4=getreift, 5=weiß Bis auf (a) können alle vier weiteren Trommeln mit sichtbaren Streifen konsistent (d.h. jede der Streifenbelegungen (b) bis (e) geht durch zyklische Vertauschung aus jeder anderen hervor) um unsichtbare Streifen ergänzt werden: a b c d e 1 3 1 5 4 3 5 4 2 3 4 2 3 3 5 3 3 5 1 2 ? 1 2 4 3 ? 4 3 3 1 (a) ist verschieden von (b) bis (e), weil beispielsweise in (a) auf schwarz grau folgt, im Widerspruch zu (c), also Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 27 Lösung zu Aufgabe: Sei n die ursprüngliche Anzahl der Büchsen pro Fach. Dann gilt 4n = 12 · 5 = 60, was die totale Anzahl von Büchsen im Regal von 16n = 4 · 60 = 240 Büchsen impliziert, also Antwort (e). Test beenden Lösungen der Aufgaben 28 Lösung zu Aufgabe: Wegen x2 − 8x + 16 = 0 = (x − 4)2 ist x = 4 und damit x + 16 Test beenden x = 8, also Antwort (e). Lösungen der Aufgaben 29 Lösung zu Aufgabe: Angenommen, daß in den unteren drei Feldern a, b und c eingetragen ist. Dann enthält das oberste Feld den Eintrag ab2 c. Wegen 56 = 2·22 ·2, 84 = 3·22 ·7, 90 = 2·32 ·5, 105 = 3·5·7 und 220 = 5 · 22 · 11 läßt sich nur 105 nicht als Produkt ab2 c darstellen, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 30 Lösung zu Aufgabe: 0 < a, b, c, d ∈ Z, d.h. a, b, c, d ∈ N. a+2=b−2⇒b=a+4 c · 2 = d/2 ⇒ d = c · 4 ⇒ d > c a + 2 = d/2 ⇒ d = 2a + 4 = a + b ⇒ d > a, b impliziert d > a, b, c, so daß d maximal, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 31 Lösung zu Aufgabe: Es liegt folgende Situation vor: 11:58 12:00 12:03 12:00 Uschis Uhr zeigt 12:02 also Antwort (c). reale Zeit Udos Uhr zeigt 11:55 11:58 Uschi glaubt Udos glaubt 12:00 Test beenden Lösungen der Aufgaben 32 Lösung zu Aufgabe: Weil AB durch den Mittelpunkt M verläuft, _ halbiert AB den Kreis k mit Umfang 2πr = 2(20 + 16) = 72 cm, d.h. r = 36/π cm. A M 20 B 16 X T α π 16 Für den Winkel α = ∠(T M X) gilt also 16 = 36 , d.h. α = 36 π ≡ 80o . Im rechtwinkligen Dreieck ∆(M T X) gilt damit β = ∠(T XM ) = 10o , also Antwort (e). Test beenden Lösungen der Aufgaben 33 Lösung zu Aufgabe: Es gibt Ganoven G und Nicht-Ganoven Ḡ. Es können nicht zwei Nicht-Ganoven nebeneinander sitzen und es können nicht drei Ganoven nebeneinander sitzen. Also sitzt auf beiden Seiten eines Nicht-Ganoven jeweils ein Ganove und es müssen mindestens drei Nicht-Ganoven am Tisch sitzen. Ḡ G G Ḡ Ḡ Ḡ G also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 34 Lösung zu Aufgabe: Im rechtwinkligen Dreieck ∆(ABC) gilt für α = ∠(CAB) wegen sin α = |BC| = 12 eben α = 30o und für den |AC| o Wechselwinkel β = ∠(ACM ) = 30 . Da das Dreieck ∆(ACM ) laut Voraussetzung gleichschenklig ist, gilt ∠(CAM ) = β = 30o , also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 35 Lösung zu Aufgabe: Notwendigerweise gilt zunächst zo z1 z4 0 2 z2 1 2 z8 z9 Es gilt z4 6= 2, da sonst z3 + z4 + z7 = 0 + 2 + 1 = 3 = 0 mod 3 gälte. z4 = 0 impliziert z1 = 0, z2 = 1, zo = 2, z8 = 2 und z9 = 2, was alle Anforderungen erfüllt. z4 = 1 dagegen impliziert z1 = 2 und z2 = 0 mit z1 + z2 + z4 = 3 = 0 mod 3 im oberen schwarzen Dreieck, zusammen also Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 36 Lösung zu Aufgabe: Im Ort=Ort(Zeit)-Diagramm sei der Ort von Valentina auf der Bahn in blau und derjenige von Pedro in rot eingezeichnet. Ort t Es gibt sieben Schnittpunkte; in angeblich drei von ihnen wird Valentina von Pedro überholt, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 37 Lösung zu Aufgabe: Es gilt (x2 − 4x + 5)x 2 +x−30 = 1 ⇐⇒ x2 − 4x + 5 = 1 ∨ x2 + x − 30 = 0 ⇐⇒ x1,2 = 2 ∨ x3 = 5, x4 = −6 also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 38 Lösung zu Aufgabe: Die Endpunkte der Knick-Linie EF D A F C E B haben die Koordinaten E = (e, 0) und F = (f, 5). Es gilt 25 = |BE| + p |EC| = 25 − e + (25 − e)2 + 52 , was e2 = (25 − e)2 + 52 und damit 0 = 252 − 50e + 25 und 2e = 25 + 1, also e = 13 impliziert. Der Flächeninhalt des Dreieckes ∆(BCE) beträgt |∆(BCE)| = 21 12 · 5 = 30, also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 39 Lösung zu Aufgabe: Es gilt beispielsweise 1503 = 157 + 364 + 982 = 175 + 346 + 982 = 195 + 432 + 876, 1512 = 193 + 452 + 867 = 382 + 479 + 651 = 425 + 318 + 769, 1521 = 392 + 478 + 651 = 193 + 456 + 872 = 257 + 346 + 918, 1575 = 257 + 346 + 981 = 293 + 564 + 718 = 418 + 529 + 637, also Antwort (a). Test beenden Lösungen der Aufgaben 40 Lösung zu Aufgabe: Parabeln (Polynome zweiten Grades mit drei Koeffizienten) sind durch drei Punkte eindeutig bestimmt (per Lagrangeoder Newton-Polynome oder als Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Vandermonde-Koeffizientenmatrix). also Antwort (d). Test beenden Lösungen der Aufgaben 41 Lösung zu Aufgabe: Laut Vorgabe gilt b0 C b 4 3 = 0 0 0 0 a+a +b+b +c+c +d+d 2πr . B a0 c a A c0 D d0 d Für das Verhältnis der Flächeninhalte folgt dann 0 0 0 0 1 0 0 +c+c0 +d+d0 2 r(a+a +b+b +c+c +d+d ) = a+a +b+b2πr = 34 , also Antwort (e). πr 2 Test beenden Lösungen der Aufgaben 42 Lösung zu Aufgabe: Die folgende Skizze berücksichtigt die angegebenen Volumina nicht. Ersichtlich wird aber, daß jede Pyramide eine Seite des Würfels als Grundfläche und damit dieselbe Grundfläche hat. Das Volumen |Pi | jeder der sechs Pyramiden P1 , . . . , P6 beträgt |Pi | = 13 a2 hi , wenn a die Seitenlänge des Würfels bezeichnet. Die Höhen gegenüberliegender Pyramiden Pi und Pī ergänzen sich zu hi + hī = a. Also gilt |Pi | + |Pī | = 13 a2 (hi + hī ) = 13 a3 . Wegen 2 + 14 = 16 = 5 + 11 muß wegen 6 + 10 = 16 das Volumen der fehlenden Pyramide 6 betragen, also Antwort (b). Test beenden Lösungen der Aufgaben 43 Lösung zu Aufgabe: N ist notwendigerweise von der Form N = p2 q für prime p und q mit den Teilern 1, p, p2 , q, pq und N = p2 q. 648 = 23 · 34 impliziert {p, q} = {2, 3}. Wäre N = 22 · 3 = 12, so wäre das Produkt aller Teiler 1 · 2 · 4 · 3 · 6 · 12 = 123 = 26 · 33 . Dies ist unmöglich, wenn das Produkt von fünf Teilern 648 = 23 · 34 beträgt. Damit gilt N = 2 · 32 = 18 und das Produkt P aller Teiler beträgt P = 1 · 3 · 9 · 2 · 6 · 18 = 23 · 36 . Der fehlende Teiler ist P/648 = 9, also Antwort (c). Test beenden Lösungen der Aufgaben 44 Lösung zu Aufgabe: Offensichtlich ist das abgebildete 5 × 5-Muster in zehn Zügen zu erreichen: 4 ⇒ 4 ⇒ 2 ⇒ Die Anzahl der scharzen wie auch der weißen Steine ändert sich bei jedem Zug um ±1 oder ±3. Im obigen Fall von zehn Zügen gilt 12 = 2( + 3 + 1 + 3 + 1) + 3 + 1 für schwarz bzw. 13 = 25 + 2( − 3 − 1 − 3 − 1) − 3 − 1 für weiß. Mit acht Zügen geht’s aber auch: 4 ⇒ also Antwort (b). 2 ⇒ 2 ⇒ Test beenden Lösungen der Aufgaben 45 Pn n+1 Lösung zu Aufgabe: i=1 i = 2 = 12 n(n + 1) =: s wobei p > n und p|s = 21 n(n + 1). p|s impliziert p|n, was ausgeschlossen ist, oder p|(n + 1). Für n = 108 und primes p = 109 gilt s = 21 n(n + 1) = 54 · 109 = 54p, d.h. n < p|s und n + p = 217, also Antwort (a). Test beenden
