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Physik BG11
1 Das internationale System (SI) der Maßeinheiten
1.1 Längenmessung: Der Meter
Eine der Grundgrößen in der Physik ist die Länge, die die geradlinige Entfernung zweier Punkte A und B angibt. Sie wird in Meter (m) gemessen. Der
Meter war ursprünglich (1791) definiert als der vierzigmillionste Teil des
Erdmeridians, der durch die Sternwarte von Paris verläuft. Dieser Meter
wurde in Form eines Platinstabes als Vergleichsnormal hergestellt. Eine
später von Bessel durchgeführte, genauere Erdvermessung offenbarte
jedoch, dass der Meterstab ein wenig zu kurz ausgefallen war. Daher löste
man sich auf einer Meterkonvention 1879 von der ursprünglichen Definition
und verwendete den Platinstab als neue Definition des Meters. Um eine noch
größere Genauigkeit und gleichzeitig Unabhängigkeit von einem Vergleichsnormal zu erreichen, revidierte man 1960 die Meterdefinition und legte den
Meter als ein bestimmtes Vielfaches einer Wellenlänge fest, die das Krypton
Atom aussendet. 1983 wurde diese Definition erneut revidiert und durch die
Zeit ersetzt, die das Licht zum Durchlaufen eines Meters benötigt
(1/299.792.458 Sekunde). Diese Feinheiten sind für praktische Messungen
im (Schul-) Alltag jedoch unbedeutend.
Da in der Physik höchst unterschiedliche Längen vorkommen, werden dezimale Vielfache und Teile der Basiseinheit Meter gebildet und durch Vorsätze
unmittelbar vor die Maßeinheit gesetzt. Diese Vorsätze werden auch für
andere Einheiten (Volt, Sekunde, Ohm, Joule usw.) benutzt. Sie sind in der
folgenden Tabelle zusammengefaßt:
Bezeichnung
Abk.
Faktor
Beispiel
Exa
E
1018
Em, EJ
Peta
P
1015
Pm, PJ
Tera
T
10
12
Tm, TJ
Giga
G
109
Gm, GJ
Mega
M
106
Mm, MJ
Kilo
k
103
km, kJ
Hekto
h
102
hm, hJ, ha, hl
Deka
da
10
dam, daJ
Dezi
d
10-1
dm, dJ
Zenti
c
10-2
cm, cJ, cl
Milli
m
10-3
mm, mJ, ml
Mikro
µ
10-6
µm, µJ
Nano
n
10-9
nm, nJ, nA
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Bezeichnung
Abk.
Faktor
Beispiel
Pico
p
10-12
pm, pJ
-15
Femto
f
10
Atto
a
10-18
fm
am
Hier ist insbesondere genau auf die Groß- bzw. Kleinschreibung zu achten,
denn z. B. der Buchstabe m kommt klein als Abkürzung für Milli, aber auch
groß als Abkürzung für Mega vor.
Hausaufgabe 1
Lernen Sie die fett dargestellten Zeilen auswendig.
Zur Veranschaulichung enthält die folgende Tabelle die ungefähre Länge
einiger Objekte:
Durchmesser der Milchstraße
1020 m
Entfernung des Sirius
1017 m
Entfernung Erde – Sonne
1,5*1011 m
Durchmesser der Sonne
1,4*109 m
Entfernung Erde – Mond
3,8*108 m
Durchmesser der Erde
1,3*107 m
Mensch
1,7 m
Durchmesser eines
Regentropfens
10-3 m
Bakterien
10-6 m
Durchmesser eines Atoms
10-10 m
Durchmesser eines Atomkerns
10-14 m
Flächen sind das Produkt
zweier Längen und werden
folglich in der Einheit Quadratmeter (m2) gemessen.
Die früher benutzte Abkürzung qm ist offiziell
nicht mehr zulässig, ist
aber trotzdem im Alltag
noch häufig anzutreffen.
Für die Fläche von Grundstücken ist noch das Ar (a)
in Gebrauch, das einem
Quadratdekameter entspricht: 1 a = 1 dam2 =
100 m2. Ein gerade in der
Landwirtschaft häufig
anzutreffendes Vielfaches
davon ist das Hektar (ha):
1 ha = 100 a = 10.000 m2.
Umrechnungen nach Arbeitsblatt üben!
Volumina sind das Produkt einer Fläche mit einer Länge und werden in m3
gemessen. Ferner ist für die Einheit Kubikdezimeter das Liter (l) in
Gebrauch. Es gilt also 1 l = 1 dm3 = 10-3 m3. Die Bezeichnung cbm für m3
usw. ist nicht mehr zulässig.
1.2 Zeitmessung: Die Sekunde
Der Tag/Nacht Rhythmus hat die Menschen schon seit dem Altertum zur
Zeitmessung angeregt. Tatsächlich wurde die Zeiteinheit früher anhand der
Erdrotation festgelegt. Mit zunehmenden Ansprüchen an die Genauigkeit
wurde diese Definition aber unzureichend, da sich die Erde nicht ganz
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gleichmäßig dreht und ihre Rotationsgeschwindigkeit zudem allmählich
abnimmt. Daher wird seit 1967 die Zeiteinheit Sekunde über die Schwingungsdauer der Strahlung definiert, die ein bestimmtes Cäsium Atom aussendet.
Eine der drei genauesten Atomuhren der Welt, das sog. Cäsium-Normal
CS 2, befindet sich in der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt in Braunschweig. Bei dieser Uhr wird mit einer Gangabweichung von 1 Sekunde in
zwei Millionen Jahren gerechnet! Von dort wird auch ein Funksignal ausgesandt, mit dem entsprechend ausgestattete Uhren gesteuert werden. Solche
Funkuhren gibt es heutzutage bereits zu erschwinglichen Preisen für den
Hausgebrauch. Daneben ist aber auch die Zeitmessung mit Hilfe eines
Schwingquarzes weit verbreitet. Dabei wird ein Quarzkristall elektrisch zu
Schwingungen angeregt. Diese werden durch integrierte Schaltkreise in die
Anzeige von Stunden, Minuten, Sekunden und meist auch des Datums übersetzt.
Neben der Basiseinheit Sekunde sind auch die folgenden Zeiteinheiten in
Gebrauch:
Minute:
1 min = 60 s
Stunde:
1 h = 60 min = 3600 s
Tag: 1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s
Bei diesen zuletzt genannten Einheiten dürfen keine Vorsätze für dezimale
Vielfache oder Teile gebildet werde, nur bei der Sekunde ist dies zulässig.
Zur Veranschaulichung wieder einige ungefähre Zeitangaben:
Hausaufgabe 2
a)
b)
Rechnen Sie die Gangabweichung der Atomuhr
CS 2 in eine tägliche
Abweichung um.
Alter der Welt
4∗1017 s
Beginn der Eiszeit vor
1013 s
Lebensdauer des Menschen
2*109 s
Laufzeit des Lichts Sonne –
Erde
5*102 s
Rechnen Sie um:
Alter der Welt in Jahren.
Schließen der Augen
10-1 s
Laufzeit des Lichts von
(„Augenblick“)
der Sonne zur Erde in
Minuten und Sekunden.
Dauer eines Blitzes
10-4 s
12‘45“ als Dezimalzahl
jeweils in Stunden, in Minuten und in Sekunden.
16,4 min in Minuten und Sekunden sowie in dezimalen Stunden.
Lösungen: a)
b)
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1.3 Die Masse und das Kilogramm
Die Masse eines Körpers gibt an, wieviel Materie er enthält. Sie wird in der
Einheit Kilogramm (kg) gemessen. Dies ist die einzige Grundeinheit, die
bereits mit einem Vorsatz („Kilo“) versehen ist. Will man größere oder kleinere Einheiten durch die oben genannten Vorsätze bilden, bezieht man sich
aber wieder auf das Gramm. Für ein tausendstel Gramm schreibt man also
mg, nicht etwa µkg.
Für größere Massen ist die Einheit Tonne (t) in Gebrauch, die für 1000 kg
steht:
1 t = 1000 kg
Im Alltagsleben trifft man auch noch oft auf den (offiziell nicht mehr zugelassenen) Zentner, der für 50 kg steht.
Die Masse von Edelsteinen wird dagegen in Karat (Kt) angegeben. Das
(metrische) Karat ist ein besonderer Name für 1/5 Gramm.
Die durch eine Wägung ermittelte Masse bezeichnet man als das Gewicht
eines Körpers. Somit ist das Gewicht heute das gleiche wie die Masse, wie es
auch dem allgemeinen Sprachgebrauch entspricht. Früher verstand man in
der Physik darunter die Kraft, mit der ein Körper auf seine Unterlage drückt,
was häufig zu Verwirrung führte. Daher nennen wir diese Kraft heute
Gewichtskraft, um deutlich zu machen, dass hiermit nicht eine Masse, sondern eine Kraft angegeben werden soll. So ist z. B. die Gewichtskraft eines
Körpers auf dem Mond nur 1/6 derjenigen auf der Erde, weil die Anziehungskraft des Mondes um eben diesen Faktor 6 geringer ist. Die Masse des
Körpers ändert sich jedoch nicht, wenn wir ihn auf den Mond transportieren.
Sie hängt nur von der Art des vorliegenden Stoffes und dem Volumen des
Körpers ab.
Die Masse eines Körpers ändert sich auch nicht, wenn wir ihn verflüssigen
oder verdampfen. Ebenso bei Auflösen des Körpers in Wasser oder einer
Säure. Auch bei chemischen Reaktionen stellt man fest, dass die Masse der
Ausgangsstoffe sich vollständig in den Reaktionsprodukten wiederfindet. Aus
dieser experimentell sehr genau bestätigten Erfahrung heraus hat man das
Gesetz von der Erhaltung der Masse formuliert:
Die Gesamtmasse der an physikalischen oder chemischen Vorgängen beteiligten Stoffe ist konstant.
Dieses Gesetz hat in unserer Zeit eine gewisse Einschränkung erfahren. So
stellt man bei gewissen Kernreaktionen fest, dass die Masse nicht mehr ganz
genau erhalten ist. Von diesen sehr speziellen Sonderfällen abgesehen hat
sich aber das Gesetz von der Erhaltung der Masse gut bewährt.
Hausaufgabe 3
Rechnen Sie um:
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a)
0,35 kg = x g.
b)
1350 kg = x t.
c)
65 l = x m3.
d)
1,6 l = x cm3.
e)
60000 m2 = x km2 = y ha.
f)
1200 cm3 = x l = y m3.
g)
430 cm2 = x m2.
h)
8 t = x kg.
Damit haben wir die mechanischen Grundgrößen der Physik kennengelernt.
Der Vollständigkeit halber sei hier noch die vierte Grundgröße, der elektrische Strom, erwähnt.
1.4 Der Strom und das Ampere
Ein stromdurchflossener Leiter ist von einem Magnetfeld umgeben. Wird ein
zweiter stromdurchflossener Leiter in die Nähe des ersten gebracht, so übt
das Magnetfeld des ersten Leiters eine Kraft auf den zweiten Leiter aus und
umgekehrt. Die elektrische Stromstärke (I) ist auf relativ komplizierte Weise
über diese Kraftwirkung definiert. Als Maßeinheit wurde das Ampere (A)
festgelegt zu Ehren des französischen Physiker A. M. Ampère (1775–1836).
Dementsprechend nennt man Strommeßgeräte auch Amperemeter.
Zur Messung des Stroms werden in der Praxis Vielfachmeßgeräte, sog. Multimeter, mit einem Drehspulmeßwerk oder elektronische, digitale Multimeter
verwendet. Diese lassen sich meist auch als Voltmeter (zur Messung der
elektrischen Spannung) und als Ohmmeter (zur Messung des elektrischen
Widerstands) einsetzen.
1.5 Zusammenfassung
Damit haben wir die vier wichtigsten Grundgrößen des SI Systems kennengelernt. Das Einheitensystem wird auch kurz als MKSA System bezeichnet
(nach Meter, Kilogramm, Sekunde und Ampere). Andere Größen und ihre
Einheiten lassen sich auf diese Grundgrößen zurückführen. Ausgespart
haben wir dabei die Grundgrößen Temperatur, Lichtstärke und Stoffmenge,
da sie für das weitere Vorgehen nicht relevant sind.
Zu beachten ist, dass wir nur gleichartige Größen addieren oder subtrahieren
können, wenn sie die gleiche Maßeinheit haben. Gegebenenfalls ist vorher
auf eine einheitliche Maßeinheit umzurechnen. Beispiel:
3 m – 8 mm = 3 m – 0,008 m = 2,992 m
Dagegen macht 3 m – 8 s keinen Sinn, da es sich um unterschiedliche
Größen handelt.
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2 Bewegung eines Massenpunktes (Kinematik)Die
geradlinig gleichförmige Bewegung
2.1.1 Die Geschwindigkeit
Wir untersuchen nun die Bewegung eines Körpers (Buch S. 14). Die Form
und Ausdehnung des Körpers ist dabei unwichtig, so dass wir ihn uns in
Gedanken auf einen Punkt zusammengeschrumpft denken können. In diesem Punkt denken wir uns die gesamte Masse des Körpers konzentriert
(Massenpunkt). Wo dieser Punkt innerhalb des Körpers liegt, ist unwichtig.
Man wählt häufig den Schwerpunkt des Körpers. (Beispiel: Teleskopzeigestab auf dem Finger ausbalancieren)
Ein Massenpunkt ist eine idealisierte Vorstellung von einem ausgedehnten
Körper, wobei man sich die gesamte Masse des Körpers in einem Punkt
konzentriert denkt.
Wie schnell sich ein Körper (repräsentiert durch einen Massenpunkt) bewegt,
wird durch seine Geschwindigkeit ausgedrückt. Wir betrachten vorerst nur
Bewegungen, bei denen sich der Körper strikt geradeaus bewegt. Eine
solche Bewegung nennen wir auch geradlinige Bewegung.
Beispiele:
•
Ein Radfahrer erreicht eine Geschwindigkeit von rund 20 km/h. Das
bedeutet, dass er eine Stunde lang fahren muss, um 20 km zurückzulegen.
•
Ein Auto auf der Landstraße fährt mit 100 km/h. In einer Stunde legt es
bereits 100 km zurück (in 2 Stunden dann 200 km, in 3 Stunden 300 km
usw).
•
Ein Auto auf der Autobahn fährt beispielsweise mit 160 km/h. Es legt also
in einer Stunde 160 km zurück, 8 mal soviel wie der Radfahrer.
Die Beispiele zeigen: Für die Geschwindigkeit kommt es auf zwei Größen an:
erstens der zurückgelegte Weg und zweitens die dafür benötigte Zeit. Eine
hohe Geschwindigkeit ist dadurch gekennzeichnet, dass in einer Zeiteinheit
(beispielsweise eine Stunde oder eine Sekunde) ein weiter Weg zurückgelegt
wird. Bei einer kleinen Geschwindigkeit ist der zurückgelegte Weg in der
gleichen Zeiteinheit kürzer. Daher definiert man die Geschwindigkeit als
Geschwindigkeit =
zurückgelegter Weg
benötigte Zeit
Beispiel: Wir betrachten die Fahrt eines Autos auf einer Autobahn gemäß
folgender Tabelle:
Nr.
Zeit t [h]
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Position s [km] t-t0 [h]
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s-s0 [km]
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Nr.
Zeit t [h]
Position s [km] t-t0 [h]
s-s0 [km]
0
9:45
60
0
0
1
10:30
123
0,75
63
2
12:00
249
2,25
189
3
13:15
354
3,5
294
Wir beginnen die Betrachtung (willkürlich) um 9:45 Uhr. Dieser Anfangszeitpunkt wird üblicherweise mit t0 bezeichnet. Zu diesem Zeitpunkt hat das
Auto den Kilometerstein 60 erreicht. Dieser Anfangsort wird entsprechend
mit s0 bezeichnet.
Um die Geschwindigkeit zu berechnen, brauchen wir noch zwei weitere Werte für Zeit und Ort. Wir wählen zuerst den Zeitpunkt t1 = 10:30 Uhr, dann ist
der Ort s1 = 123 km.
Der zurückgelegte Weg ist dann s1 - s0 = 123 - 60 km = 63 km. Diese Wegdifferenz wird mit ∆s bezeichnet: ∆s = 63 km.
Die benötigte Zeit erhalten wir ebenso: t1 - t0 = 10,5 h - 9,75 h = 0,75 h
(entsprechend 45 Minuten). Diese Zeitdifferenz wird mit ∆t bezeichnet:
∆t = 0,75 h (Tabelle ergänzen).
Die Geschwindigkeit wird mit v bezeichnet (velocity). Wir erhalten sie nun
nach obiger Formel:
v=
63 km
= 84 km/h
0,75 h
Die Einheit der Geschwindigkeit ergibt sich dann automatisch aus der
gewählten Längeneinheit (km) und der gewählten Zeiteinheit (h). Die
Rechnung überträgt sich 1:1 auf die Maßeinheiten.
Allgemein erhalten wir als Formel für die Geschwindigkeit:
Formel 1: v = ∆s/∆t
Die Schüler berechnen die Geschwindigkeit nach Formel 1 für die letzten
beiden Tabellenzeilen.
Wir sehen daraus, dass das Auto mit einer gleichbleibenden, also konstanten
Geschwindigkeit fährt. Eine solche Bewegung mit einer konstanten
Geschwindigkeit bezeichnet man als gleichförmige Bewegung.
Frage: Ändert sich im Beispiel der Ort proportional zur Zeit? Welche Größen
verändern sich proportional zueinander?
Die Geschwindigkeit eines Körpers wird berechnet gemäß v = ∆s/∆t. Bei
einer gleichförmigen Bewegung ist sie konstant.
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Hausaufgabe 4
a)
Ein Auto legt 25 km in 12 Minuten zurück. Wie groß ist seine Geschwindigkeit in km/h?
b)
Ein Auto legt 200 km in 1 Stunde und 20 Minuten zurück. Wie groß ist
seine Geschwindigkeit in km/h?
c)
Ein Auto legt 330 m in 15 Sekunden zurück. Wie groß ist seine
Geschwindigkeit in m/s und km/h?
d)
Welche Strecke legt ein Auto mit 120 km/h in 1 Minute bzw. 1 Sekunde
zurück?
e)
Wieviel Minuten braucht man, um 66 km mit einer Geschwindigkeit von
110 km/h zurückzulegen?
Lösung: a) b) c)
d) e) .
Beispiele für eine gleichförmige Bewegung:
•
Ein Auto (Zug, Schiff, Flugzeug) fährt mit konstanter Geschwindigkeit
geradeaus.
•
Der Schall breitet sich in Luft mit einer konstanten Geschwindigkeit von
ca. 333 m/s aus (abhängig von der Dichte der Luft). Wasser- und Erdbebenwellen breiten sich ebenfalls mit (annähernd) konstanter Geschwindigkeit aus.
(Zum merken dieser Zahl:
Wie schnell ist ein Schrei? In Luft sind’s 333.)
•
Das Licht und ebenso Funkwellen (Rundfunk, Fernsehen, Handy) breitet
sich mit einer konstanten Geschwindigkeit c von rund c = 3*108 m/s aus.
Diese Geschwindigkeit wird von keinem materiellen Körper erreicht.
•
Die Planeten bewegen sich mit annähernd konstanter Geschwindigkeit um
die Sonne.
Letztgenanntes Beispiel ist hier streng genommen unpassend, weil diese
Bewegung nicht mehr geradlinig erfolgt.
Hausaufgabe 5
a)
Ein Auto fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit auf der Autobahn. Um 9:30 Uhr kommt es an Kilometerstein 190 vorbei, um
12:00 Uhr erreicht es Km-Stein 490. Mit welcher Geschwindigkeit
fährt das Auto? Welchen Km-Stein wird es um 13:15 passieren?
Wann fuhr es an Km-Stein 100 vorbei?
b)
Um 9:30 Uhr beginnt eine Tagung in Reinfeld. Ein Teilnehmer fährt
um 9:10 Uhr in Lübeck-Zentrum auf die Autobahn. Auf der 16 km
langen Autobahnstrecke kann er Tempo 120 fahren, danach braucht
er in Reinfeld noch ca. 6 Minuten bis zur Tagungsstätte. Kann er
rechtzeitig dort sein?
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Lösung: a)
b)
Übungsaufgabe: Ein Zug fährt um 9:25 Uhr in Hobbingen los und trifft um
11:01 Uhr im 192 km entfernten Ort Bree ein. Welche Geschwindigkeit
erreichte der Zug im Durchschnitt?
Lösung: ∆s = 192 km ist bereits angegeben. Zeitdifferenz: 11:01 h –
9:25 h = 11 1/60 – (9 25/60) = 1 3/5 h = 1,6 h. Geschwindigkeit:
v = 192 km/1,6 h = 120 km/h. Es handelt sich hier um eine Durchschnittsgeschwindigkeit, da die Beschleunigung beim Anfahren und die
Abbremsung vor dem Halt nicht berücksichtigt wurden.
2.1.2 Das Weg-Zeit-Diagramm
Wir kehren zurück zu dem Beispiel mit dem Auto und zeichnen die Daten in
ein s-t-Diagramm ein. Der Ort s wird auf der y-Achse aufgetragen, die Zeit t
entlang der x-Achse.
Skalierung der Achsen:
x-Achse: Wir wählen 2 cm pro Stunde, beginnend mit 9:45 Uhr. Ein Kästchen entspricht dann einer Viertelstunde.
Die t-Achse beschriften wir (in anderer Farbe) zusätzlich mit den
∆t-Werten.
y-Achse: 400 km auf 10 cm, beginnend ab 0, so dass 1 km 1/40 cm. D. h.
alle Zahlen werden durch 40 geteilt.
Dementsprechend rechnen wir die s-Werte in cm um:
s [km]
60
123
249
354
y [cm]
1,5
3,1
6,2
8,85
Die Daten werden in ein Diagramm eingetragen. Es ergibt sich eine Gerade.
Wir identifizieren die Punkte A(10:30|123) und B(13:15|354) in der Grafik.
Aus den Daten berechnen wir:
∆s = 354-123 = 231 km und
∆t = 13,25 h-10,5 h = 2,75 h
Diese Strecken tragen wir in Form eines Steigungsdreiecks in die Grafik ein.
Die Geschwindigkeit des Autos ergab sich aus ∆s/∆t = 231 km/2,75 h =
84 km/h. Wir erkennen darin die Steigung der Geraden. Da die Steigung
konstant ist, legt das Auto in gleichen Zeitintervallen ∆t immer gleich große
Strecken ∆s = v·∆t zurück.
Wenn das Auto in der entgegengesetzten Richtung fahren würde, käme ∆s
immer negativ heraus (die neuere Position ist immer kleiner als die ältere),
so dass sich eine negative Geschwindigkeit ergäbe. Im s-t-Diagramm zeigt
sich das durch eine abfallende Gerade. Wenn z. B. die s-Achse von Lübeck
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nach Hamburg zeigt und ein Auto fährt von Hamburg nach Lübeck, dann
könnte das so aussehen:
t [h]
s[km]
0
65
0,25
40
Dadurch dass das Auto nach Lübeck fährt, werden
die s-Werte ständig kleiner. Wir erhalten
∆s = 40 km – 65 km = -25 km und
∆t = 0,25 h – 0 h = 0,25 h
so dass wir als Geschwindigkeit erhalten
v = -25 km/0,25 h = -100 km/h,
also ein negativer Wert, der uns anzeigt, dass das Auto nicht in Richtung der
s-Achse fährt, sondern entgegengesetzt dazu. Jetzt zurück zum vorigen
Beispiel.
Der Achsenabschnitt der Geraden ist die Strecke s0, die das Auto zu Beginn
bereits erreicht hat, d. h. zur Zeit t=t0. Im Beispiel sind das 60 km.
Im Weg-Zeit-Diagramm erscheint ein gleichförmig bewegter Körper als
Gerade mit Achsenabschnitt s0 und Steigung v. Der Körper legt in gleich
großen Zeitintervallen immer gleich große Strecken zurück.
Übungsaufgabe: Wir tragen in die Grafik einen Punkt P ein, der auf der
Geraden liegen soll und seine x-Koordinate soll 5,2 cm sein:
P(5,2 cm|?). Welche Uhrzeit und welchen Ort repräsentiert er? Lösen
Sie die Aufgabe zuerst rein zeichnerisch, dann rechnerisch!
Lösung: x-Achse: 5,2 cm 2,6 h ab 9:45 h, also t = 9,75+2,6 h =
12,35 h = 12:21 h.
y-Achse: ca. 5,6 cm 50·5,6 km = 280 km.
Berechnung mit v=84 km/h und ∆t=2,6 h (durch die Schüler):
s(2,6 h) = 84 km/h·2,6 h + 60 km = 278,4 km
Wir wiederholen die Aufgabe mit dem Punkt Q(3,9 cm|?).
Lösung: x-Achse: 3,9 cm 1,95 h ab 9:45 h, also t = 9,75+1,95 h =
11,7 h = 11:42 h.
y-Achse: ca. 4,5 cm 225 km (rechnerisch: s(1,95h) = 223,8 km).
Frage: Wie müsste die Gerade liegen, damit man sagen könnte, dass der Ort
proportional zur Zeit anwächst? Wie würde dann die Gleichung der Geraden
lauten?
Frage (Buch S. 12 A3): Welche Rolle spielt es für die Definition der
Geschwindigkeit, ob die Gerade durch den Nullpunkt verläuft oder nicht?
Die Beispiele zeigen uns, wie wir den Ort des Autos berechnen können
(Weg-Zeit-Gesetz):
Formel 2: s(t) = s0 + v·(t-t0)
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In diesem Beispiel lautet das Weg-Zeit-Gesetz konkret:
s(t) = 60 km + 84 km/h·(t - 9,75 h)
Wir sehen an diesem Beispiel auch den Unterschied zwischen Parametern
und Variablen. Die Parameter (s0, v und t0) werden für einen bestimmten
Bewegungsvorgang durch ihre konkreten Werte ersetzt und bleiben dann für
diesen Bewegungsvorgang konstant. Für einen anderen Bewegungsvorgang
werden sich i. A. andere Werte ergeben. Die Variable (wir behandeln in der
Schule nur Funktionen mit einer Variablen) bleibt in einem Gesetz stets
erhalten (wird nicht durch einen Wert ersetzt). Sobald sie durch einen Wert
ersetzt wird, liegt kein Gesetz mehr vor, sondern ein Wert, der eventuell
noch auszurechnen ist.
Ein Gesetz enthält immer (mindestens) eine Variable.
Formel 2 lässt sich vereinfachen, indem wir unsere Zeitmessung im Zeitpunkt t0 beginnen lassen (z. B. mit einer Stoppuhr). Dann ist t0=0. Wir erhalten dann als vereinfachtes Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung:
Formel 3: s(t) = s0 + v∗t
Folie „Gleichförmige Bewegung“ auflegen. s-t-Gesetze bestimmen lassen.
Das vereinfachte Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung lautet:
s(t) = s0 + v∗t.
Hausaufgabe 6
Ein Pendelzug fährt von Lübeck nach Hamburg und zurück gemäß
folgendem Fahrplan:
Ort
Entfernung [km]
Hinfahrt
Rückfahrt
Lübeck
0
9:10
10:51
Reinfeld (an/ab)
16
9:19/9:20
10:41/10:42
Bad Oldesloe (an/ab) 25
9:26/9:27
10:33/10:34
Hamburg Hbf
9:51
10:11
65
a)
Stellen Sie seine Fahrt in einem Weg-Zeit-Diagramm dar.
Skalierung: x-Achse: 10 Minuten 1 cm; y-Achse: 5 km 1 cm.
b)
Stellen Sie für den Streckenabschnitt Bad Oldesloe - Hamburg das
Weg-Zeit-Gesetz auf (für die Hin- und Rückfahrt).
c)
Wo befindet er sich um 10:25 Uhr?
Lösung: a) Zeichnung auf handschr. Zettel, Pendelzug_s-t.png.
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b) Hinfahrt: s(t) =
Rückfahrt: s(t) =
Die Fahrtrichtung nach Lübeck drückt sich in der Grafik durch eine fallende
Gerade aus, das bedeutet eine negative Geschwindigkeit.
c) s(10:25) = km
Umrechnungsgleichungen bei der Besprechung:
2.1.3 Einheiten der Geschwindigkeit
Im Alltagsleben werden Geschwindigkeiten gern in km/h angegeben. In der
Physik werden Längen jedoch in Meter und Zeiten in Sekunden gemessen
(Basiseinheiten). Für die Geschwindigkeit ergibt sich dann die Maßeinheit
m/s (zurückgelegter Weg in Meter, benötigte Zeit in Sekunden). Da sich
diese Einheit aus der Längeneinheit Meter und aus der Zeiteinheit Sekunde
ableiten lässt, spricht man auch von einer abgeleiteten Einheit. Wir
rechnen um:
1 km = 1000 m
1 h = 3600 s
1000 m
= 1/3,6m/s
1 km/h =
3600 s
Bsp.: Das Auto aus dem einleitenden Beispiel fuhr mit 84 km/h, das sind
also 84/3,6 m/s = 231/3m/s.
Richtgeschwindigkeit auf der Autobahn sind 130 km/h, das sind
361/9 m/s.
Umgekehrt: 1 m/s = 3,6 km/h. Also z. B. 15 m/s = 54 km/h.
Die physikalische Maßeinheit der Geschwindigkeit ist m/s. Im Alltagsleben
verwendet man auch km/h. Umrechnung: 1 m/s = 3,6 km/h.
Im Prinzip lassen sich auch andere Einheiten für die Geschwindigkeit bilden,
indem man eine gültige Längeneinheit durch eine gültige Zeiteinheit teilt (z.
B. cm/min). Die Wahl der Einheiten geschieht zweckmäßigerweise so, dass
sie der anzugebenden Geschwindigkeit gut angepasst ist. Für eine Schnecke
könnte man etwa cm/min wählen, während für ein Düsenflugzeug km/h oder
m/s angemessener wäre.
Übungsaufgabe:
Rechnen Sie um: cm/min m/s (1 cm/min =1/6∗10-3 m/s)
also 240 cm/min = 40∗10-3 m/s = 0,04 m/s
Rechnen Sie um: m/s cm/s (1 m/s = 100 cm/s)
also 0,19 m/s = 19 cm/s
Weitere Aufgaben: v-umrechnen.doc
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Physik BG11
Hausaufgabe 7
Rechnen Sie um:
a) 50 km/h = ?m/s
b) 90 km/h =?m/s
d) 0,3 m/s = ?km/h
c) 450 km/h = ?m/s
e) 333 m/s = ?km/h
Lösung: a) ; b) ; c) 5∗10
-6
d) ; e) ;
Hausaufgabe 8
a)
Die Erde bewegt sich um die Sonne mit einer Geschwindigkeit von
3∗104 m/s. Rechnen Sie dies um in km/h. Welchen Bruchteil der
Lichtgeschwindigkeit c macht dies aus?
b)
Mit welcher Zeitverzögerung hört ein Beobachter, der beim 100-m Lauf
an der Ziellinie steht, den Startschuß? Die Schallgeschwindigkeit beträgt
333 m/s.
c)
Ein Flugzeug startet in Hamburg um 10 Uhr und fliegt mit 215 km/h in
südlicher Richtung. Welche Stadt überfliegt es um 12 Uhr?
Bei der Besprechung auch auf negative Geschwindigkeiten eingehen.
Übungsaufgabe: Wir verfolgen den Lauf einer Kugel.
Zeichnen Sie für die Zeitspanne 0…5 s ein
s-t-Diagramm für diesen Vorgang und stellen
1,5
2,5
Sie das Weg-Zeit-Gesetz auf. Bestimmen Sie
4
10
die Parameter auch rechnerisch!
Alternativ (oder zusätzlich): Die Schüler denken sich die Zahlen selbst
aus mit der Bedingung, dass in der t-Spalte keine Null vorkommen soll.
t [s]
s [m]
Lösung: Zeichnung am besten mit 1 s 2 cm, 1 m 1 cm anfertigen.
s = -2 m + 3 m/s·t. Auf den Unterschied zwischen Parametern und
Variablen eingehen.
2.1.4 Die Durchschnittsgeschwindigkeit
Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit konstant. In
Wirklichkeit lässt sich eine gleichförmige Bewegung nur für eine begrenzte
Zeit aufrecht erhalten. Beim Autofahren etwa müssen wir zunächst anfahren,
die Geschwindigkeit nimmt dann zu (der Wagen wird beschleunigt). Dann
fahren wir ein Stück mit konstanter Geschwindigkeit (gleichförmige Bewegung), um dann aber an der nächsten roten Ampel wieder abzubremsen
(Geschwindigkeit nimmt ab). Auch die beiden Läufer (Buch S. 10) laufen
nicht die gesamte Strecke mit konstanter Geschwindigkeit.
Bei der Durchschnittsgeschwindigkeit setzt man die gesamte Strecke ins
Verhältnis zur gesamten Zeit. Wir schreiben dafür v.
Formel 4: v = ∆s/∆t
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Durchschnittsgeschwindigkeit
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13
Physik BG11
Zwischenzeitlich mag sich der Körper mal schneller, mal langsamer bewegt
haben (er kann dabei zeitweilig auch stillstehen). Hätte er sich die ganze
Zeit (∆t) über mit dieser Durchschnittsgeschwindigkeit bewegt, so hätte er
auch die gleiche Strecke ∆s zurückgelegt.
Beispiel: Die Durchschnittsgeschwindigkeit der beiden Läufer (Buch S. 10)
wird für die gesamte Strecke und für die letzten 90 Meter berechnet:
s [m]
t [s] Lewis
v [m/s] Lewis
t [s] Johnson
v [m/s] Johnson
0
0
10
1,94
090m: 11,264
1,86
090m: 11,292
100
9,93
100m: 10,07
9,83
100m: 10,17
0
Offenbar waren die Läufer auf den ersten 10 Metern langsamer.
Bei einer gleichförmigen Bewegung stimmt die Durchschnittsgeschwindigkeit
mit der Geschwindigkeit des Körpers in jedem Moment genau überein.
2.1.5 Die Momentangeschwindigkeit
Bei einer nicht gleichförmigen Bewegung ändert sich die Geschwindigkeit im
Zeitablauf, sie ist eine Funktion der Zeit. Wir schreiben dafür v(t) oder einfach nur v. Man kann sie näherungsweise ermitteln, indem man die
Geschwindigkeit nur in einem kleinen Zeitintervall misst. Je kleiner das
Zeitintervall gewählt wird, desto genauer ergibt sich die Geschwindigkeit in
diesem Zeitervall.
Bsp.: Der Läufer Johnson war bei 70 m zur Zeit 7,21 s und bei 80 m zur Zeit
8,11 s. Es ist dann ∆s = 10 m und ∆t = 0,9 s, so dass
v = 10 m / 0,9 s = 11,11 m/s
als Näherungswert für die Geschwindigkeit zur Zeit 7,66 s betrachtet werden
kann. Diese Näherung ist noch sehr grob. Theoretisch betrachtet man den
Grenzfall einer beliebig kleinen Zeitspanne ∆t und definiert als Momentangeschwindigkeit
v = ∆s / ∆t für ∆t 0
Der Zusatz „∆t 0“ (lies: ∆t strebt gegen Null) besagt: Lasse ∆t immer
kleiner werden, ohne dass jedoch Null erreicht wird. Es ist also zu untersuchen, gegen welchen Wert der Quotient ∆s / ∆t strebt, wenn ∆t gegen Null
strebt. Für diesen Grenzfall einer „unendlich kleinen“ Zeitspanne schreibt
man dann ds/dt (lies: ds nach dt):
Formel 5: v = ds/dt
Momentangeschwindigkeit
Für praktische Messungen eignet sich die Messung von Strecke und Zeit
dann nicht mehr, man benutzt andere Verfahren (z. B. Tachometer), die die
Momentangeschwindigkeit direkt anzeigen.
Bsp. gemäß Arbeitsblatt Momentangeschwindigkeit (Momentangeschw.xls).
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Hausaufgabe 9
Lehrbuch S. 10, Tabelle 100-m Lauf für Läufer Lewis:
a) Welche Durchschnittsgeschwindigkeit v erreichte Lewis insgesamt?
b) Welche (näherungsweise momentanen) Geschwindigkeiten ergeben
sich in den einzelnen 10 m Intervallen? Bilden Sie von diesen den
Mittelwert! Stimmt er mit der Durchschnittsgeschwindigkeit überein?
c) Stellen Sie den 100 m Lauf in einem Weg-Zeit Diagramm grafisch dar.
In welchem Bereich ist die Bewegung näherungsweise gleichförmig
(vergl. Sie mit den berechneten Teilgeschwindigkeiten)? Welche Art
von Bewegung liegt wohl am Anfang vor?
d) Wie sieht die Bewegung des anderen Läufers (Johnson) im Weg-Zeit
Diagramm aus, wenn er zeitgleich mit Lewis startet, aber von der
Ziellinie zum Startpunkt läuft? Skizzieren Sie!
Lösung zu Teil b:
Fällt die Gerade ab, so bedeutet dies, dass sich der Körper rückwärts, also
entgegengesetzt zur gewählten s-Achse, bewegt. Wir zählen seine
Geschwindigkeit dann negativ.
Im s-t-Diagramm wird eine gleichförmige Bewegung als Gerade dargestellt.
Ihre Steigung ist die Geschwindigkeit v des Körpers. Ihr Achsenschnittpunkt
ist die Position s0 des Körpers zur Zeit t=t0 (Startpunkt). Häufig können wir
t0 = 0 setzen. Vorzeichen von v: v>0 (v<0) bedeutet, dass sich der Körper
in Richtung der positiven (negativen) s-Achse bewegt.
2.1.6 Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm
In einem Geschwindigkeits-Zeit Diagramm ergibt sich eine horizontale Linie.
Die im Intervall ∆t liegende Fläche ist die zurückgelegte Wegstrecke ∆s =
s1 – s0. Den Anfangsort s0 können wir aus diesem Diagramm nicht bestimmen, so dass auch der erreichte Ort s1 unbestimmt bleibt.
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2,00
1,50
v [m/s]
1,00
v = 0,5 m/s
v = 1,0 m/s
0,50
v = 1,5 m/s
v = -1,0 m/s
0,00
0
1
2
t [s]
3
4
5
-0,50
-1,00
Simulation mit s=vmalt.gxt
Beispiel: Wir betrachten wieder die Gerade mit v = 1,5 m/s. Im Zeitintervall
von 2 s bis 4 s (∆t = 2 s) hat der Körper die Strecke ∆s = v∗∆t =
1,5 m/s∗2 s = 3 m zurückgelegt, nämlich von s0 = 4 m bis s1 = 7 m, wie
man dem s-t-Diagramm entnehmen kann. Aus dem v-t-Diagramm allein ist
nicht ersichtlich, dass er bei 7 m angekommen ist, sondern nur, dass er sich
um 3 m weiterbewegt hat.
Hinweis auf Formelsammlung (Pfeile)!
Hausaufgabe 10
Ein Körper mit der Geschwindigkeit v=2 m/s befindet sich zur Zeit t=0 am
Ort s0=-3 m. Stellen Sie das Weg-Zeit-Gesetz für diesen Körper auf!
Berechnen Sie seinen Ort zu den Zeiten t=0 s, 1 s, 2 s, 3 s und 4 s und
stellen Sie die Ergebnisse in einer Tabelle (t, s) zusammen. Tragen Sie
ferner die Werte in ein s-t Diagramm ein. Zu welcher Zeit ist er am Ort
s = 12,66 m angekommen (Berechnung!)?
Lösung: s(t) = , s=12 m zur Zeit . Wertetabelle:
t
s
0
1
2
3
4
Hausaufgabe 11
Zwei Autos (A und B) fahren zur gleichen Zeit t0=0 los, einer (A) von
Lübeck (s=0 km) nach Hamburg (s=66 km), der andere (B) entgegenge11.10.15, 23:26
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Physik BG11
setzt. A braucht für die Fahrt 33 min, B braucht 36 min. Stellen Sie das
Weg-Zeit Gesetz für beide Fahrzeuge auf (mit konkreten Zahlen)! Wann
und wo treffen sie sich (Berechnung)? Skizzieren Sie den Vorgang im s-tDiagramm! (Tipp: Rechnen Sie die Zeit in Stunden.)
Lösung: sA(t) =
Treffpunkt: Addition von Geschwindigkeiten
Bei der Bewegung in einer Richtung (entlang der s-Achse) ist die Addition
von Geschwindigkeiten einfach die arithmetische Addition bzw. die Differenz
die arithmetische Differenz.
Bsp. 1: Ein Zug fährt mit einer Geschwindigkeit von 43,2 km/h. Im Güterwaggon rollt eine kleine Kugel mit 1,5 m/s in Vorwärtsrichtung (Rückwärtsrichtung). Wie groß ist ihre Geschwindigkeit in Bezug auf die Erde?
Lösung: vZug = 43,2/3,6 m/s = 12 m/s.
In Vorwärtsrichtung: vKugel,Erde = vZug+vKugel,Zug = 12 m/s + 1,5 m/s =
13,5 m/s = 48,6 km/h.
In Rückwärtsrichtung: vKugel,Erde = vZug-vKugel,Zug = 12 m/s - 1,5 m/s =
10,5 m/s = 37,8 km/h.
Bsp. 2: Zwei Autos fahren aufeinander zu, einer (A) mit einer Geschwindigkeit von vA = 60 km/h, der andere (B) mit vB = 80 km/h. Mit welcher
Geschwindigkeit fahren sie aufeinander zu (die sog. Relativgeschwindigkeit)?
Lösung: Angenommen, A fahre in Richtung der s-Achse, dann fährt B
entgegengesetzt dazu. Folglich müssten wir seine Geschwindigkeit
negativ zählen, vB = -80 km/h. Die Relativgeschwindigkeit ist die
Differenz der beiden Geschwindigkeiten:
vrel. = vA-vB = 60 km/h - (-80 km/h) = 140 km/h.
Es kommt also letztlich die Summe beider Geschwindigkeiten heraus!
Hausaufgabe 12
Auf der Autobahn fährt vor Lastzug A mit Geschwindigkeit vA = 80 km/h
der etwas langsamere Lastzug B mit Geschwindigkeit vB = 78 km/h. A will
B überholen und dabei einen Sicherheitsabstand von 10 m einhalten (vor
und hinter B). Beide Lastzüge sind jeweils 12,5 m lang.
a)
Wie groß ist die Relativgeschwindigkeit der beiden Lastzüge?
b)
Wie lange dauert der Überholvorgang? Betrachten Sie den Vorgang
aus der Sicht des Fahrers B.
c)
Welche Strecke verbringt A auf der Überholspur?
Lösung: a) ;
b) ;
c) ;
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Physik BG11
Komplizierter wird die Situation, wenn die beiden Geschwindigkeiten nicht
gleichgerichtet sind. Hierbei müssen wir bedenken, dass die Geschwindigkeit
ein Vektor ist und die Regeln der vektoriellen Addition anwenden.
Summe 2er Vektoren:
Differenz 2er Vektoren:
Den Fall einer gleichgerichteten Bewegung noch einmal mit Vektoren
erklären!
Bsp.: Ein Schwimmer will durch einen Fluss schwimmen. Er schwimmt geradewegs auf das gegenüberliegende Ufer zu mit einer Geschwindigkeit
von 0,25 m/s. Der Fluss hat jedoch eine starke Strömung. Das Wasser
strömt mit einer Geschwindigkeit von 0,1 m/s und treibt den Schwimmer nach rechts ab. Mit welcher Geschwindigkeit schwimmt der
Schwimmer und um welchen Winkel wird er abgelenkt? Wie weit muss
er schwimmen, wenn der Fluss 18 m breit ist? Wie weit driftet er ab?
Lösung: v = 0,2693 m/s, Ablenkwinkel: tan α = 0,1/0,25, α = 21,80°.
Abdriftung ∆s = 10/25∗18 m = 7,2 m.
Schwimmweite: 19,39 m.
Hausaufgabe 13
Ein Sportflugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von 168 km/h südwärts
(Kurs 180°). Starker Westwind (Windgeschwindigkeit 26 km/h) treibt es
nach Osten ab. Wie schnell fliegt das Flugzeug im Endeffekt und in welche
Richtung (als Winkel gegen Norden)?
Lösung: v = km/h, Ablenkwinkel , Kurs Ost.
2.2 Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
2.2.1 Definition der Beschleunigung
Buch ab S. 13: Ändert sich die Geschwindigkeit im Zeitablauf, so spricht
man von einer beschleunigten Bewegung. Wir werden hier nur den wichtigen
Spezialfall einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung behandeln. Dabei
nimmt die Geschwindigkeit in gleichen Zeitintervallen um den gleichen
Betrag zu oder ab. Somit wird in der Physik auch eine Abbremsung als eine
Beschleunigung, allerdings mit negativem Vorzeichen, angesehen.
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Physik BG11
Als Beispiel ist in der nebenstehenden Tabelle ein Bewegungsvorgang angegeben. Die Geschwindigkeit ist zunächst
t [s]
v [m/s] a [m/s2]
negativ, erhöht sich dann jedoch im Zeit0
-1,6
ablauf. In der Spalte „a“ wird die Geschwin1
-0,8
0,8
digkeitsänderung ∆v (zur vorigen Zeile) ins
2
0
0,8
Verhältnis zu dem Zeitintervall ∆t gesetzt.
3
0,8
0,8
Z. B. in Zeile 2: (-0,8 – (-1,6)) / (1 – 0) =
4
1,6
0,8
0,8. Dieser Quotient ist die Beschleunigung
a, die in diesem Fall konstant ist. Somit liegt
eine Beschleunigung von a=0,8 m/s vor. Als Formel geschrieben:
Formel 6: a = ∆v/∆t
Aufgrund dieser Definition ergibt sich die Maßeineinheit für die
m/s
= m/s².
Beschleunigung zu
s
Unter einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung versteht man eine geradlinige Bewegung, bei der sich die Geschwindigkeit in gleichen Zeitintervallen
∆t um den gleichen Betrag ∆v ändert. Die Geschwindigkeitsänderung pro
Zeiteinheit (Sekunde) definiert man als Beschleunigung a:
a = ∆v/∆t. Als Maßeinheit der Beschleunigung ergibt sich m/s2.
Ausführlich geschrieben lautet die letzte Gleichung: a = (v1–v0)/(t1–t0).
Gemäß unserer Voraussetzung einer gleichmäßigen Beschleunigung ist
dieser Quotient konstant.
Beispiel: Bei einem Auto wird angegeben: Von 0 auf 100 in 13,5 Sekunden.
Gemeint ist: Das Auto erreicht aus dem Stand (v = 0 km/h) die
Geschwindigkeit von 100 km/h in 13,5 s. Wie groß ist dann seine
Beschleunigung? Wir haben:
t0 = 0 s,
t1 = 13,5 s ⇒
∆t = 13,5 s
v0 = 0 km/h,
v1=100 km/h
⇒
∆v = 100 km/h
Da die Zeit in Sekunden angegeben ist und eine Beschleunigung standardmäßig in m/s2 angegeben wird, müssen wir zunächst die Endgeschwindigkeit in m/s umrechnen:
1 km/h = 1/3,6 m/s
⇒
Beschleunigung: a = ∆v/∆t =
100 km/h = 100/3,6 m/s = 27,78 m/s
27,78 m/s
= 2,06 m/s2
13,5 s
Genaugenommen ist dies ein schlechtes Beispiel, da die Beschleunigung
sicher nicht konstant ist. Der errechnete Wert kann also nur als eine
Durchschnittsbeschleunigung in dem betrachteten Zeitraum aufgefaßt
werden.
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Hausaufgabe 14
Auf einem Flugzeugträger muss ein Flugzeug binnen zwei Sekunden auf
seine Startgeschwindigkeit von 216 km/h gebracht werden. Welche durchschnittliche Beschleunigung erfährt es dabei?
Lösung:
2.2.2 Geschwindigkeits-Zeit Gesetz der gleichmäßig beschleunigten
Bewegung
a [m/s 2]
Buch S. 15: Trägt man in einem a-t-Diagramm die Beschleunigung a gegen
die Zeit t auf, so erhält
2,5
man eine horizontale
Gerade. In nebenste2
hender Abbildung ist sie
A = a (t1 - t0)
1,5
beispielsweise für a =
2
2 m/s dargestellt. Die
1
Fläche, die von dieser
Geraden, der t-Achse
0,5
und zwei Zeitpunkten t0
0
und t1 eingeschlossen
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
wird, ist die in dieser
t [s]
Zeitspanne erreichte Geschwindigkeitsänderung
∆v = v1 - v0 = a ∗ (t1 - t0).
Hinweis auf Formelsammlung (Pfeile)
Lösen wir diese Gleichung nach v1 auf, so erhalten wir:
v1 = v0 + a∗(t1–t0)
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
Dabei ist v0 die Geschwindigkeit des Körpers zur Zeit t=t0.
Wählen wir als Anfangszeitpunkt t0=0, so können wir den Index 1 jetzt
weglassen. Somit vereinfacht sich die Gleichung zu
Formel 7: v(t) = v0 + a∗t vereinfachtes Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz der
gleichmäßig beschleunigten Bewegung
Beispielrechnung: Wir nehmen eine Beschleunigung von a=2,5 m/s² und
eine Anfangsgeschwindigkeit von v0=1,5 m/s an. Damit berechnen wir
nach obiger Formel die Geschwindigkeiten nach folgender Tabelle:
t [s]
v(t) [m/s]
0
1,5
0,5
2,75
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a nach ∆v/∆t [m/s²]
2,5
20
Physik BG11
t [s]
v(t) [m/s]
a nach ∆v/∆t [m/s²]
1
4
2,5
1,5
5,25
2,5
2
6,5
2,5
Darstellung im v-t-Diagramm:
12
10
8
v [m/s]
6
4
a = 2,0 m/s2
2
a = -1,5 m/s2
0
-2 0
1
2
3
4
5
6
-4
-6
t [s]
In einem v-t Diagramm ergibt sich eine Gerade, deren Steigung die Beschleunigung angibt. Der Achsenabschnitt ist gerade die Anfangsgeschwindigkeit v0.
Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung stellt sich im v-t-Diagramm als
Gerade mit Achsenabschnitt v0 und Steigung a dar. Das GeschwindigkeitsZeit-Gesetz lautet demnach (für t0=0): v(t) = v0 + a∗t.
Die Beschleunigung kann ebenso wie v0 positiv oder negativ sein. Welche
Auswirkung dies auf die Bewegung des Körpers hat, ist in folgender Tabelle
zusammengestellt .
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Physik BG11
a>0
v0 0
v 0 nimmt zu.
a<0
v0 < 0
v0 0
v0 > 0
v < 0 nimmt zunächst dem Betrage
nach ab und wird
dann positiv.
Der Körper bewegt sich zunehmend schnelDer Körper bewegt
ler in positiver
sich zunächst in neRichtung.
gativer Richtung und
wird dabei abgebremst. Für einen
Moment kommt er
zum Stillstand. Danach wird er in der
Gegenrichtung wieder
zunehmend schneller.
v > 0 nimmt zunächst ab
und wird dann negativ.
Dem Betrage nach wird v
dann immer größer (d. h.
immer „negativer“).
Der Körper bewegt sich
zunächst in positiver
Richtung und wird dabei
abgebremst. Für einen
Moment kommt er zum
Stillstand. Danach wird er
in der Gegenrichtung
wieder zunehmend
schneller.
v 0 nimmt dem
Betrage nach zu.
Der Körper bewegt
sich in negativer
Richtung zunehmend
schneller.
Man kann zusammenfassend sagen:
Haben v0 und a das gleiche Vorzeichen, wird der Körper schneller. Bei verschiedenen Vorzeichen wird der Körper zunächst abgebremst und dann in
der Gegenrichtung wieder schneller. Eine positive Beschleunigung „versucht“
den Körper in die positive s-Richtung zu ziehen, bei einer negativen
Beschleunigung ist es genau umgekehrt.
Hausaufgabe 15
a) Erstellen Sie zwei v-t Diagramme, eins für a>0 und eins für a<0, und
stellen Sie darin die drei verschiedenen Fälle v0<0, v0=0 und v0>0
qualitativ dar.
b) Ein Körper besitzt eine Anfangsgeschwindigkeit v0 = -9 m/s und erfährt
eine Beschleunigung von a = 1,5 m/s2. Stellen Sie sein GeschwindigkeitsZeit-Gesetz mit konkreten Zahlen auf! Berechnen Sie seine Geschwindigkeit zu den Zeiten 4 s, 6 s und 8 s. Zeichnen Sie ein v-t Diagramm
(0...10 s).
Lösung: b)
t
4s
v
6s
8s
10s
Arbeitsblatt ÜA_beschleunigte Bewegung.doc
verteilen
Übungsaufgabe: Ein Körper besitzt eine Anfangsgeschwindigkeit v0 =
7,5 m/s. Er kommt zur Zeit t=3 s kurzzeitig zur Ruhe. Welche Beschleunigung wirkte auf ihn ein? Wie lautet sein v-t-Gesetz?
Lösung: v(t) = 7,5 m/s + a·t ⇒
!
-7,5 m/s
v(3s) = 7,5 m/s + a·3s = 0 ⇒ a =
= -2,5 m/s²
3s
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22
Physik BG11
Sein v-t-Gesetz lautet folglich: v(t) = 7,5 m/s - 2,5 m/s²·t.
Probe: v(0s) = 7,5 m/s , v(3s) = 7,5 m/s - 2,5 m/s²·3s = 0 m/s .
Übungsaufgabe: Nach welcher Zeit t erreicht ein Flugzeug seine Abhebegeschwindigkeit von 234 km/h, wenn es aus dem Stand mit einer
Beschleunigung von 2,5 m/s² beschleunigt wird?
Lösung: Wir lösen nach t auf: t = v / a. Umrechnung von v:
234 km/h = 65 m/s, also t = 65 m/s / (2,5 m/s²) = 26 s.
EN.:
m/s
m s²
=
=s
m/s²
sm
Übungsaufgabe: Ein Zug fährt mit verringerter Geschwindigkeit durch eine
Baustelle. Anschließend beschleunigt er wieder, um auf die Reisegeschwindigkeit von 140 km/h zu kommen. 10 s nach Verlassen der Baustelle hat er bereits 65,4 km/h erreicht, nach weiteren 20 s hat er
76,2 km/h erreicht. Wie lautet das v-t-Gesetz des Zuges? Wie stark
beschleunigt er? Mit welcher Geschwindigkeit fuhr er durch die Baustelle? Nach welcher Zeit hat er seine Reisegeschwindigkeit erreicht?
Lösung: Zuerst wird die Beschleunigung a berechnet:
∆v = (76,2 - 65,4)/3,6 m/s = 3 m/s
∆t = 20 s
m·1
m/s
=
= m/s²
a = 3 m/s/20 s= 0,15 m/s²; EN.:
s²
s
Ansatz: v(t) = v0 + a·t = v0 + 0,15 m/s²·t auf gleiche Einh. hinweisen!
t in Sekunden nach Verlassen der Baustelle. Punktprobe:
t1 = 10 s und v1 = 65,4/3,6 m/s = 181/6 m/s
181/6 m/s = v0 + 0,15 m/s²·10 s = v0 + 1,5 m/s
| - 1,5 m/s
v0 = 181/6 m/s - 1,5 m/s = 162/3 m/s = 60 km/h
EN.: m/s - m/s = m/s (!)
Das v-t-Gesetz lautet: v(t) = 162/3 m/s + 0,15 m/s²·t
Die Beschleunigung des Zuges beträgt a = 0,15 m/s². Die Geschwindigkeit in der Baustelle betrug v0 = 162/3 m/s = 60 km/h.
Zeit für 140 km/h? Umrechnung: 140 km/h = 388/9 m/s = v(t)
388/9 m/s = 162/3 m/s + 0,15 m/s²·t
222/9 m/s = 0,15 m/s²·t
t=
222/9 m/s
= 1484/27 s ≈ 148,15 s = 2,469 min.
0,15 m/s²
EN.:
m/s
m s²
=
=s
m/s²
sm
Die Reisegeschwindigkeit erreicht der Zug 1484/27 s nach Verlassen der
Baustelle.
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23
Physik BG11
2.2.3 Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschl. Bewegung
v [m/s]
Buch S. 15: Wir fragen uns nun, welchen Weg ∆s der Körper in diesem
Spezialfall nach Ablauf
12
der Zeit t zurückgelegt
10
hat. Grafisch lässt sich
der Weg ∆s bestimmen,
8
A =½ t v
indem im v-t Diagramm
6
die Fläche unter der Ge4
schwindigkeitsgeraden
2
bis zum Zeitpunkt t er0
mittelt wird. Das (recht0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
winklige) Dreieck mit
t [s]
den beiden Katheten t
und v hat die Fläche
½*t*v, oder mit obiger Formel für v:
5
∆s = ½ a t2
Beispiel: In dem dargestellten v-t-Diagramm ist bei t=3 s die erreichte
Geschwindigkeit v=6 m/s. Der binnen 3 s zurückgelegte Weg ∆s ist
durch die Größe der schraffierten Fläche gegeben, also:
∆s = ½ ∗ 3 s ∗ 6 m/s = 9 m
Das gleiche Ergebnis erhalten wir mit der Formel ∆s = ½ a t2. Es ist a =
6 m/s / 3 s = 2 m/s. Also ergibt sich:
∆s = ½ a t2 = ½ ∗ 2 m/s2 ∗ (3 s)2 = 9 m.
Wir erhalten auf diese Weise die Strecke ∆s, um die sich der Körper in
dem Zeitintervall 0 s ... 3 s fortbewegt hat, nicht jedoch den erreichten
Ort s(t), denn wir kennen seinen Anfangsort s0 nicht. Der Anfangsort
(und damit auch der Endort s) bleibt bei dieser „Flächenmethode“
prinzipiell unbestimmbar.
Hinweis auf Buch S. 15: dort fehlt das s0 auf der rechten Seite!
Für den allgemeineren Fall, dass sich der Körper zur Zeit t0=0 am Ort s=s0
befindet und dort die Anfangsgeschwindigkeit v0 hat, ergibt sich das WegZeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung
Formel 8: s = s0 + v0 t + ½ a t2
Ein gleichmäßig beschleunigter Körper befinde sich zur Zeit t0 = 0 am Ort s0
und habe zu dieser Zeit die Anfangsgeschwindigkeit v0. Für ihn gilt dann das
Weg-Zeit-Gesetz s(t) = s0 + v0t + 1/2at². Falls t0 ≠ 0 ist, so ist in der Formel
immer t durch (t-t0) zu ersetzen. Im Weg-Zeit-Diagramm ergibt sich eine
Parabel mit Achsenabschnitt s0 und Steigung im Achsenabschnitt v0. Die
Parabel ist nach oben (unten) geöffnet, wenn a positiv (negativ) ist.
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Physik BG11
Beispiel: Ein Auto fährt auf der Landstrasse mit 80 km/h. Zur Zeit t0=0 s
(s0=0 m angenommen) bremst das Auto mit einer Beschleunigung von
a=-4,5 m/s² ab. Wo kommt das Auto zum Stehen?
Lösung: Die Geschwindigkeit von 80 km/h ist seine Anfangsgeschwindigkeit
v0, nicht v! Wir rechnen sie zunächst in m/s um:
v0=80/3,6 m/s = 222/9 m/s ≈ 22,22 m/s
Der Zeitpunkt des Stillstands ist unbekannt. Wir können die Zeit aus
dem Geschwindigkeits-Zeit Gesetz bestimmen: Zum Stehen kommen
bedeutet formelmässig: v=0 (nicht v0=0, da v0 ein unveränderlicher
Parameter dieser Bewegung ist). Daraus ergibt sich:
0 = v0 + a·t ⇒ t = -v0/a
-222/9 m/s
m/s m s²
t=
= 476/81s ≈ 4,938 s | EN.:
= ∗ =s
-4,5 m/s²
m/s² s m
Mit dieser Zeit können wir nun den Bremsweg nach dem Weg-Zeit
Gesetz ausrechnen:
s = 222/9 m/s ∗ 476/81s + 0,5∗(-4,5 m/s²)∗(476/81s)² =
m
m
54,87 m | EN.:
∗s ∗s² = m – m = m (!)
s
s²
Das Auto kommt nach 4,938 s und nach 54,87 m zum Stehen.
Arbeitsblatt_Kinematik2.doc, Verhalten mit Excel
beschleunigte_Bewegung.xls erkunden. Reihenfolge: s0, a, v0. Um die
Geschwindigkeit mit der Steigung in Zusammenhang zu bringen: s0 = 0,
v0 = -8, a = 4 einstellen.
Das s-t Diagramm ist dann eine allgemeine Parabel, die im Fall a>0 nach
oben, im Fall a<0 nach unten geöffnet ist.
30
25
s [m]
20
a = 2,0 m/s2
15
a = -1,5 m/s2
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
t [s]
Den Anfangsort s0 entnehmen wir dem Schnittpunkt der Kurve mit der
s-Achse (hier 2 m und 0 m). Die Anfangsgeschwindigkeit v0 äußert sich in
der Steigung der Kurve in diesem Punkt (hier 0 m/s und 4 m/s, die genauen
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Physik BG11
Zahlenwerte können Sie der Grafik natürlich nicht ohne weiteres entnehmen).
Die (Durchschnitts-) Geschwindigkeit v = ∆s/∆t erscheint in diesem Diagramm als Steigung der Sekante im Zeitintervall ∆t. Die Momentangeschwindigkeit v ergab sich für den Grenzübergang ∆t 0. In diesem Fall
geht die Sekante in die Tangente (zum Zeitpunkt t) über.
Hinweis auf Formelsammlung und Folie!
Die beiden Gleichungen s = s(t) und v = v(t) bezeichnet man zusammengenommen als die Bewegungsgleichungen eines Körpers. Aus ihrer Kenntnis
lässt sich der Bewegungsablauf eines Körpers vollständig berechnen.
Hausaufgabe 16
a)
Erstellen Sie zwei s-t Diagramme (mit s0=0), eins für a>0 und eins für
a<0, und stellen Sie darin die drei verschiedenen Fälle v0<0, v0=0 und
v0>0 qualitativ dar.
b)
Ein Körper hat zur Zeit t0=0 die Geschwindigkeit v0=–4 m/s und befindet sich zu dieser Zeit an der Stelle s0=3 m. Er erfährt eine konstante
Beschleunigung von 2 m/s2. Geben Sie das v-t-Gesetz und das s-tGesetz an. Berechnen Sie seine Geschwindigkeit v und seinen Weg s im
Sekundenabstand bis t=6 s und stellen Sie die Resultate tabellarisch
und grafisch im v-t bzw s-t Diagramm dar. (Zeitachsen genau übereinander. Zweizeilig schreiben.) Tabelle:
t
| v(t)
| s(t)
| ∆s/∆t
Lösung in Physik_ha_20.xls, Physik_HA_20.gxt Folie
Fotokopie „Anglerlatein“ verteilen und besprechen
Hausaufgabe 17
Berechnen Sie mit den Daten der vorigen Hausaufgabe (Teil b) die Geschwindigkeit des Körpers aus ∆s/∆t (mit ∆t = 1s). Tragen Sie die Werte
zwischen die entsprechenden Zeilen in die Tabelle und als Balken (Breite
= 1 s) in die Grafik ein. Welche Regelmäßigkeit fällt Ihnen dabei auf?
2.2.4 Geschwindigkeit als Funktion des Ortes
Buch S. 16 oben
Häufig liegt der Fall vor, dass die Geschwindigkeit als Funktion des Ortes
bestimmt werden soll. Die Zeit ist also unbekannt. Beispiel:
Beim Start eines Flugzeugs wird die Maschine mit a=2,41 m/s2 beschleunigt
(als konstant angenommen). Die Startbahn sei 1,5 km lang. Welche
Geschwindigkeit erreicht das Flugzeug am Ende der Startbahn?
Hier ist die Zeit für den Startvorgang nicht gegeben. Um die Aufgabe zu
lösen, müssen wir t aus den Bewegungsgleichungen die Zeit eliminieren.
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Physik BG11
Wir legen die s-Achse in Richtung der Startbahn, den Nullpunkt legen wir in
den Startpunkt der Maschine (wo sie zunächst steht und auf die Startfreigabe wartet). Es ist dann s0=0, v0=0 und t0=0 (Startzeitpunkt). Wir gehen
also aus von
s = ½ a t2 und
v=at
Die zweite Gleichung lösen wir nach t auf:
t = v/a
und setzen das Ergebnis in die erste Gleichung ein:
s = ½ a (v/a)² = ½ v²/a ⇒ v² = 2 s a
Formel 9: v =
2 s a (s. Buch S. 16 oben rechts)
Nun sind wir in der Lage, die obige Aufgabe zu lösen. Es ergibt sich (mit
s=1500 m):
v = 85,03 m/s ≈ 306 km/h
Anmerkung zum Vorzeichen: Die negative Lösung der Wurzel kann in diesem Fall ausgeschieden werden, da das Flugzeug nur vorwärts fliegen
kann. Sie käme bei einer negativen Beschleunigung zur Anwendung. Dann
wäre s auch negativ, so dass der Radikand immer positiv (oder 0) ist.
Hausaufgabe 18
Die erste Stufe einer Rakete soll die Rakete in 700 m Höhe auf eine
Geschwindigkeit von 140 m/s bringen. Welche Beschleunigung ist dazu
erforderlich?
Lösung:
Hinweis auf Formelsammlung, Pfeile nochmal erklären!
2.2.5 Zusammengesetzte Bewegungen
Bisher haben wir die gleichförmige Bewegung und die gleichmäßig beschleunigte Bewegung getrennt behandelt. In der Wirklichkeit kommen aber oft
Bewegungsvorgänge vor, die (näherungsweise) zum Teil gleichförmig, zum
Teil gleichmäßig beschleunigt sind. In diesem Abschnitt werden wir sehen,
wie man diese zusammengesetzte Bewegung berechnen kann.
Beispiel: Ein Auto fährt (aus dem Stand) an und beschleunigt dabei mit einer
(als konstant angenommenen) Beschleunigung von a = 1,4 m/s2. Sobald die
Endgeschwindigkeit von 50,4 km/h erreicht ist, fährt das Auto drei Minuten
mit dieser Geschwindigkeit weiter. Wo ist es dann angekommen?
Zur Lösung dieser Frage gehen wir schrittweise vor. Zunächst berechnen wir
den Ort am Ende der Beschleunigungsphase, die zur Zeit t0 = 0 beginnt und
zu einem Zeitpunkt t1 beendet sein möge. Danach behandeln wir die Phase
konstanter Geschwindigkeit, die zu einem Zeitpunkt t2 beendet sein möge.
Skizze a-t, v-t u. s-t Diagramm, Folie
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In der Beschleunigungsphase gelten die Gesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Wir können hier Anfangsort s0 und Anfangsgeschwindigkeit v0 gleich Null setzen. Da wir die Zeit t1 nicht kennen und auch nicht
benötigen, ist es am günstigsten, von der Formel v = 2 s a auszugehen.
Bis auf s(t1) sind darin alle Größen bekannt. Wir lösen nach s auf und erhalten:
v2 = 2 s a ⇒
s = v2 / (2a)
Zum Zeitpunkt t1 ist die Geschwindigkeit bekannt (50,4 km/h = 14 m/s). Zu
diesem Zeitpunkt muss also gelten:
s(t1) = (14 m/s)2 / (2∗ 1,4 m/s2) = 70 m; EN.: …
Die anschließende Phase konstanter Geschwindigkeit könnten wir nun berechnen, indem wir in das Weg-Zeit Gesetz als Anfangsort die eben berechneten 70 m und als Anfangszeitpunkt (t0) den noch unbekannten Zeitpunkt
t1 einsetzen. Dieses Verfahren ist jedoch häufig unbequem. Man benutzt
daher meist einen kleinen Trick: Wir verschieben den Nullpunkt unserer sund t-Achse so, dass wir wieder bei Null anfangen. Dadurch werden die
Formeln einfacher. Um nicht durcheinander zu kommen, bezeichnen wir
unsere neuen Größen mit einem Strich, also s‘ und t‘. Die Anfangsgeschwindigkeit darf allerdings nicht auf Null gesetzt werden.
Dann stellt sich der Bewegungsvorgang folgendermaßen dar: Zur Zeit t0‘ =
0 s fährt das Auto am Ort s0‘ = 0 m mit einer konstanten Geschwindigkeit
v = 14 m/s los. Wo ist es nach 3 Minuten (=180 s, Zeitpunkt t2‘) angekommen? Die Lösung liefert uns das Weg-Zeit Gesetz:
s‘(t2‘) = v ∗ t2‘ = 14 m/s ∗ 180 s = 2520 m
Zum Schluss setzen wir die beiden Bewegungen wieder zusammen:
sges = s(t1) + s‘(t2‘) = 70 + 2520 m = 2590 m
Hausaufgabe 19
Ein Auto fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit von 60 km/h auf der
Straße. Nach 90 s (=t1) gibt er Gas und beschleunigt mit a = 1,4 m/s² auf
eine Endgeschwindigkeit von 120,48 km/h. Wann und wo hat er sie
erreicht (s2, t2)?
Lösung: 1. Phase: gleichf. Bewegung:
2. Phase: beschleunigte Bewegung
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Übungsaufgabe: Ein Autofahrer befindet sich zur Zeit t0 = 0 2 km vor einem
Ort und fährt jetzt mit 90 km/h. Sobald er das Ortsschild erreicht,
bremst er für 5 Sekunden, um die Geschwindigkeit auf 50 km/h zu
drosseln. Wie stark hat er gebremst? Welche Strecke hat er dann insgesamt zurückgelegt? Wann hat er die Endgeschwindigkeit erreicht?
Lösung:
1. Phase: konstante Geschwindigkeit (gleichförmige Bewegung).
Anfangsgeschwindigkeit: v0 = 90/3,6 m/s = 25 m/s.
Zeit bis zum Ortsschild: t1 = 2000 m/(25 m/s) = 80 s.
Er hat die Endgeschwindigkeit also nach 85 s erreicht.
2. Phase: Bremsung auf v1 = 50/3,6 m/s = 138/9 m/s ≈ 13,89 m/s
(138/9 - 25) m/s
Bremsverzögerung: a =
= -22/9 m/s² ≈ -2,222 m/s²
5s
Bremsweg: sB = v0·t + 1/2at² = 25 m/s·5 s - 1/2·22/9 m/s²·25 s² =
125 m - 277/9 m = 972/9 m.
Gesamtweg: s = 2000 m + 972/9 m = 20972/9 m
2.2.6 Zusammenfassung
Folie „Zusammenstellung der Diagramme...“
Mathematisch gesehen sind die Gesetze der gleichmäßig beschleunigten
Bewegung eine Stufe komplizierter als die der gleichförmigen Bewegung. So
ergibt sich für das Weg-Zeit Gesetz der beschleunigten Bewegung bereits
eine quadratische Funktion, während es für die gleichförmige Bewegung nur
eine lineare Funktion ist. Setzt man in die Formeln der beschleunigten Bewegung die Beschleunigung a = 0, so ergeben sich automatisch die Gesetze
der gleichförmigen Bewegung.
Folie „Zusammenhang zwischen...“ und Vergleich mit Formelsammlung
In der Reihenfolge s(t) - v(t) - a(t) erhalten wir abwärts immer aus der
Steigung einer Funktion den Wert der darunterliegenden Funktion (zur
gleichen Zeit). Aufwärts erhalten wir aus dem Flächeninhalt im Zeitintervall
∆t die Änderung der darüberliegenden Funktion. Später werden wir diesen
Zusammenhang mit Hilfe der Differentialrechnung bzw. Integralrechnung
noch einmal beleuchten.
2.2.7 Die Erdbeschleunigung
Buch S. 20: Als prominentes Beispiel einer gleichmäßig beschleunigten
Bewegung sei hier die Fallbewegung erörtert. Wie jeder weiß, fallen frei
bewegliche Körper unter dem Einfluß der Erdanziehung senkrecht nach
unten. Die dabei wirkende Beschleunigung heißt Erdbeschleunigung oder
Fallbeschleunigung und wird mit g bezeichnet. Da die Erde keine gleichmäßig mit Masse gefüllte Kugel ist und sich außerdem um die eigene Achse
dreht, ist die Fallbeschleunigung von Ort zu Ort leicht verschieden. Ihr Wert
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schwankt zwischen ca. 9,78 m/s2 am Äquator und 9,83 m/s2 an den Polen,
jeweils auf Meereshöhe. Man hat daher einen einheitlichen Normwert definiert, um von diesen örtlichen Schwankungen absehen zu können.
Normwert der Fallbeschleunigung: g=9,80665 m/s2
Wir rechnen in der Regel mit g=9,81 m/s2
Die Fallbeschleunigung kann als konstant angesehen werden, solange wir
uns nicht zu weit von der Erdoberfläche entfernen. Genauer gesagt bedeutet
dies, dass h « RE sein muss, wobei h die Höhe über dem Meeresspiegel und
RE der Erdradius ist (« lies „ist viel kleiner als“).
Da diese Fallbeschleunigung ständig auf uns einwirkt, stellt sie eine Art
Standard oder Vergleichsmaßstab dar. Man gibt deshalb andere Beschleunigungswerte auch häufig in Vielfachen bzw. Bruchteilen von g („in ‚g‘“) an.
Beispiel: Für ein startendes Flugzeug auf einem Flugzeugträger hatten wir
eine Beschleunigung von 30 m/s2 ermittelt (s. Hausaufgabe 14 auf S. 20).
Das wievielfache der Fallbeschleunigung ist das?
30 m/s2 = x∗g ⇒ x = 30 m/s2 / g = 3,06
Man sagt dann auch, die Beschleunigung betrage 3,06g.
2.2.7.1
Der freie Fall
Mit diesen Einschränkungen können wir die weiter oben erhaltenen Formeln
für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung auf den freien Fall anwenden.
Dabei legen wir jetzt die s-Achse senkrecht nach unten. Wenn wir ferner
annehmen, dass der Körper zur Zeit t=0 am Ort s=0 und in Ruhe sei, erhalten wir für die Geschwindigkeit zu der Zeit t
Formel 10: v = g t
und für die Fallstrecke zur Zeit t
Formel 11: s = ½ g t2
Bsp.: Eine Kugel fällt vom Turm der Marienkirche (126 m hoch).
Gesucht: Fallzeit, Aufprallgeschwindigkeit
Lösung: Berechnung der Fallzeit aus
s = 1/2gt² =
t² =
!
9,81 m/s²
t² = 126 m ⇒
2
2
126 m = 2575/109 s²
9,81 m/s²
t ≈ 5,068 s
Berechnung der Aufprallgeschwindigkeit:
v = 9,81 m/s²·t = 49,72 m/s ≈ 179 km/h!
Es mag auf den ersten Blick verwundern, dass beide Formeln unabhängig
von der Masse, Größe und Form des Körpers sind, obwohl wir doch aus dem
Alltag wissen, dass ein Blatt Papier langsamer (und unregelmäßiger) zu
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Boden sinkt als eine Eisenkugel. Dies liegt daran, dass wir in unserer
Betrachtung den Luftwiderstand nicht berücksichtigt haben. Unsere Formeln gelten also nur im Vakuum (oder auf dem Mond, wenn man
berücksichtigt, dass das dortige g nur 1/6 der Erdbeschleunigung ist). Man
mag sich fragen, welchen Wert diese Formeln dann noch haben, wenn doch
in Wirklichkeit wieder alles anders abläuft. Nun, erstens gelten die beiden
Formeln für kleine massive Körper (z. B. Eisenkugel) tatsächlich in sehr
guter Näherung. Zweitens erlauben sie uns, das Prinzip zu erkennen (dass
nämlich hier eine Bewegung mit einer konstanten Beschleunigung vorliegt).
Und drittens haben sie den großen Vorteil, wesentlich einfacher zu sein als
die Formeln, die den tatsächlichen Bewegungsablauf genau beschreiben (das
wäre bei einem Blatt Papier mit seinem Hin- und Herschaukeln wahrscheinlich sogar extrem schwierig). Dieser letztgenannte Faktor ist nicht zu
unterschätzen, denn er verzögert die Erkenntnis, wenn er sie nicht sogar
ganz verhindert. Dann ist es schon besser, frühzeitig zu einer näherungsweisen, im Prinzip richtigen physikalischen Beschreibung zu kommen, die mit
der Zeit ja noch verfeinert werden kann, als lange Zeit an einer schwierigen
Aufgabe zu arbeiten, die sich am Ende womöglich als zu schwierig herausstellt.
Ähnlich wie beim punktförmigen Körper („Massenpunkt“) sehen wir auch hier
ein Beispiel für die Modellbildung in der Physik. Wir beschreiben die Bewegung in einem idealisierten Modell der Wirklichkeit, in dem der Luftwiderstand (und mögliche Reibungswiderstände) wegfällt. Es dürfte klar sein, dass
wir mit unseren Bewegungsgleichungen den Fall eines Fallschirmspringers
nicht zutreffend wiedergeben können.
Folie „Bewegung mit Reibung“ (Reibung3.xls)
Hausaufgabe 20
a) Wir lassen eine kleine Eisenkugel in einen dunklen Brunnen fallen. Wir
hören nach 1,6 s den Aufprall. Wie tief war der Brunnen?
b) Nach vier Wochen ist durch starken Regen der Wasserspiegel im Brunnen
um 2 Meter angestiegen. Wie lange würde der Fall der Eisenkugel nun
dauern?
c) Ein Castor-Behälter muss einen Sturz aus 9 m Höhe überstehen. Mit welcher Geschwindigkeit prallt er auf?
Lösung:
a)
b)
c)
2.2.7.2
Der senkrechte Wurf
Buch S. 28: Beim senkrechten Wurf wird ein Körper mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 senkrecht nach oben (oder nach unten) geworfen. Wir legen
die s-Achse daher nach oben, bei s=0 werde der Körper hochgeworfen. Da
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Physik BG11
die Fallbeschleunigung nach unten wirkt (a=-g), lauten die Bewegungsgleichungen nun
Formel 12: s(t) = v0 t - ½ g t2
Formel 13: v(t) = v0 – g t
Beispiel: Mit einer Schleuder wird ein Stein nach oben geschleudert. Seine
Anfangsgeschwindigkeit betrage v0=17,5 m/s. Nach welcher Zeit tmax
erreicht er den höchsten Punkt smax und wie hoch ist dieser?
Lösung: Am höchsten Punkt kehrt sich die Bewegungsrichtung um, es ist
dort gerade v(tmax) = 0 = v0 – g tmax. Daraus folgt:
v0 = g tmax oder aufgelöst:
Formel 14: tmax = v0/g
In unserem Beispiel ergibt sich:
tmax =
17,5 m/s
= 1,78 s
9,81 m/s2
Die erreichte Höhe h = smax erhalten wir durch Einsetzen in die s(t) Formel.
Wir führen dies zunächst allgemein mit dem Ausdruck tmax = v0/g aus und
erhalten:
h = v0∗v0/g – ½ g (v0/g)2 = ½ v02 / g
Das gleiche Ergebnis hätten wir auch einfacher durch Anwendung der verallgemeinerten Fassung der Formel 9 (s. Formelsammlung) erhalten können,
wenn wir s=h, s0=0, a=-g berücksichtigen.
Formel 15: h = ½ v02 / g
Somit kann h auch ohne Kenntnis von tmax berechnet werden. Wir erhalten
h = 0,5∗(17,5 m/s)2 / 9,81 m/s2 = 15,61 m
Der Körper fällt dann wieder zurück. Nach welcher Zeit t1 ist er wieder am
Ursprungsort und mit welcher Geschwindigkeit?
Die Antwort ergibt sich aus der Bedingung s(t1) = 0. Daraus folgt
0 = v0∗t1 – ½ g t12
⇒
t1∗(v0 – ½ g t1) = 0
Die eine Lösung t1 = 0 ist der Anfangszeitpunkt, wo wir den Körper hochschleudern. Die andere Lösung ergibt sich aus
v0 – ½ g t1 = 0 oder aufgelöst: t1 = 2 v0 / g = 2∗tmax
Die Zeit für den Fall vom Höchstpunkt ist also genauso groß wie die Zeit tmax
für den Aufstieg. Im Beispiel ergibt sich t1 = 3,57 s.
Die Geschwindigkeit v1=v(t1) erhalten wir durch Einsetzen von t1 (als Formel) in v(t):
v1 = v0 – g ∗ (2 v0/g) = –v0
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Physik BG11
Er kommt also mit der gleichen Geschwindigkeit, mit der wir ihn auch abgeschleudert haben, wieder unten an, nur in umgekehrter Richtung (daher
negativ).
Hausaufgabe 21
a) Eine Gewehrkugel wird mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 280 m/s
senkrecht nach oben geschossen. Stellen Sie das v-t-Gesetz und das s-tGesetz auf. Welche Höhe erreicht sie und wann? Wann fällt sie uns auf
den Kopf? Skizzieren Sie den Vorgang im v-t und s-t Diagramm (v-tDiagramm genau unter dem s-t-Diagramm).
b) Mit welcher Geschwindigkeit müsste die Kugel abgeschossen werden, um
eine Höhe von 6 km zu erreichen?
Lösung:
a)
b)
2.3 Wirkung von Geschwindigkeit und Beschleunigung auf
den Menschen
Buch S. 23: Wenn wir an einer gleichförmigen Bewegung teilnehmen, so
merken wir von dieser Bewegung nichts. Beispiel:
•
Wir fahren im Zug mit konstanter Geschwindigkeit. Bei geschlossenen
Augen nehmen wir die Geschwindigkeit des Zuges gar nicht wahr. Nur
durch einen Blick aus dem Fenster (und durch die Schienenstöße) merken
wir, dass wir uns bewegen. Die Höhe der Geschwindigkeit ist dabei irrelevant.
•
Noch besser kann man diese Aussage im Flugzeug nachvollziehen. Wenn
das Flugzeug seine Endgeschwindigkeit erreicht hat, die bei 900 bis 1000
km/h liegen kann, bemerken wir von der hohen Geschwindigkeit nichts,
außer durch einen Blick aus dem Fenster.
•
Die Erde bewegt sich mit hoher Geschwindigkeit (3∗104 m/s) um die
Sonne. Diese Bewegung nehmen wir überhaupt nicht wahr.
•
Die Erdrotation bewirkt ebenfalls, dass wir uns alle mit hoher Geschwindigkeit bewegen. Auch diese Bewegung nehmen wir nicht wahr. (Sie ist
streng genommen auch nicht gleichförmig.)
Früher waren die Gelehrten darüber ganz anderer Meinung. Kurz nach der
Eröffnung der ersten Eisenbahn erklärte die Académie de Médicine in Lyon
im Jahre 1835, dass der menschliche Organismus nicht in der Lage sei, die
„schwindelerregende Geschwindigkeit der Eisenbahn“ zu ertragen. Die
Erschütterungen sollten nervöse Erkrankungen hervorrufen und die rapide
Aufeinanderfolge von Bildern würde Entzündungen der Netzhaut bewirken.
Weiter hieß es, dass jede Eisenbahnreise für eine schwangere Frau unwei11.10.15, 23:26
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gerlich eine Fehlgeburt zur Folge habe. Deutsche Ärzte meinten, eine Lungenentzündung durch den Fahrtwind würden sich alle holen, „die mit der
vollkommen wahnsinnigen Geschwindigkeit von 30 oder gar 40 Stundenkilometern durch die Gegend rasen würden“. Dabei fuhr die legendäre Dampflokomotive „Adler“ mit einer 40 PS Dampfmaschine um 1836 auf der Strecke
Nürnberg – Fürth gerade einmal mit einer Geschwindigkeit von 23 km/h.
Folie „Adler“, Fahrbericht der Adler verteilen
Hausaufgabe 22
Lesen ‚Die erste Fahrt mit dem „Adler“’! Welche Gefahren sollten nach
damaliger Meinung den Fahrgästen drohen (schriftl.)?
Was wir dagegen spüren, sind jedwede Beschleunigungen.
•
Die Erdbeschleunigung zieht uns nach unten, wir spüren unser Gewicht,
auch ohne dass wir uns bewegen.
•
Wir sitzen in einem anfahrenden Auto und verspühren einen Druck nach
hinten in den Sitz. Noch deutlicher wird dieser Effekt bei einem startenden Flugzeug.
•
Wir sitzen im Auto und müssen bremsen. Dabei werden wir nach vorn
gedrückt. Die Sicherheitsgurte sollen verhindern, dass wir uns dabei
verletzen.
•
Wir sitzen im Bus, der gerade in eine Kurve einbiegt. Dabei werden wir
nach außen gedrückt. Auf uns wirkt eine (nach außen gerichtete) Zentrifugalbeschleunigung.
Beschleunigungen hält unser Körper nur in begrenztem Maße aus. Als natürlicher Maßstab dient uns die Erdbeschleunigung, der wir alle ohnehin unterliegen. Beschleunigungen, die auf den menschlichen Körper wirken, werden
demgemäß als Vielfaches (oder Bruchteil) der Erdbeschleunigung g angegeben.
Untersuchungen haben ergeben, dass der menschliche Körper entlang der
Längsachse Beschleunigungen von 4g (d. h. das vierfache Eigengewicht)
noch gut ertragen kann. Senkrecht dazu können sogar 12g für mehrere
Minuten ausgehalten werden. Bei den Mondflügen im Rahmen des Apollo
Programms ertrugen die Astronauten während der Start- und Wiedereintrittsphase Beschleunigungen von bis zu 5g. Die Astronauten werden auf
solche Belastungen in Zentrifugen vorbereitet. Dabei werden sie in einer
Kabine im Kreis herumgeschleudert. Durch die dabei auftretende Zentrifugalbeschleunigung können die Beschleunigungen, die im realen Flug vorkommen, simuliert werden.
Hausaufgabe 23
Lesen Buch S. 23 „Der rote und der schwarze Schleier“ mit kurzer schriftl.
Zusammenfassung.
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Physik BG11
3 Kräfte als Bewegungsursache (Dynamik)
Bisher haben wir den Ablauf von Bewegungen lediglich beschrieben. Wodurch diese Bewegungen verursacht werden, haben wir bislang nicht untersucht. Das wollen wir nun nachholen. Wir werden sehen (und kennen das ja
bereits aus unserer Alltagserfahrung), dass Kräfte dabei eine entscheidende
Rolle spielen. Über die Wirkung und den Einfluß von Kräften hat sich Sir
Isaac Newton (1643 – 1727) bereits grundlegende Gedanken gemacht.
Den Begriff Kraft verbinden wir intuitiv mit unserer Muskelkraft. Wenn wir
etwas tragen, heben oder schieben, müssen wir Kraft aufwenden. Ohne
Kraftaufwand läßt sich kein Körper in Bewegung setzen. Wir merken das
ganz deutlich beim Anfahren mit dem Fahrrad, ebenso beim Anschieben
eines Autos. Auch beim Abbremsen muss eine Kraft aufgewendet werden.
Bei diesen Bewegungsvorgängen wird der Körper schneller (Anfahren) oder
langsamer (Abbremsen). Diese Änderung der Geschwindigkeit eines Körpers
bezeichnet man als Beschleunigung. Eine positive Beschleunigung liegt
vor, wenn der Körper schneller wird, eine negative dagegen, wenn der
Körper langsamer wird. Beschleunigungen werden durch Kräfte verursacht
und es gilt auch umgekehrt, dass wir auf eine Krafteinwirkung schließen
dürfen, wenn wir eine Beschleunigung feststellen.
3.1 Das erste Newtonsche Axiom
Buch S. 6: Allerdings weiss auch jeder Radfahrer, dass eine Kraft aufgewendet werden muss, um eine gleichbleibende Geschwindigkeit aufrecht zu
erhalten. Es ist das Verdienst Galileis (1564 – 1642) erkannt zu haben, dass
diese Kraft nur notwendig ist, um Reibungswiderstände auszugleichen. Hier
ist zunächst der unvermeidliche Luftwiderstand zu nennen. Aber auch in den
Lagern der Achsen treten Reibungswiderstände auf. Im Zeitalter der Raumfahrt lassen sich Belege für die These anführen, dass eine Bewegung mit
konstanter Geschwindigkeit keine Kraft erfordert:
•
Satelliten umkreisen in großer Höhe die Erde ohne eigenen Antrieb. (Hier
ist die Bahngeschwindigkeit dem Betrage nach konstant, nicht jedoch ihre
Richtung.)
•
Raumkapseln bewegen sich ohne Antrieb zum Mond oder zu anderen Planeten.
Hier ist nur am Anfang eine Kraft erforderlich (die durch die Trägerrakete
bereitgestellt wird), um auf die nötige Geschwindigkeit zu kommen.
Gerade das letztgenannte Beispiel veranschaulicht sehr gut das erste
Newtonsche Axiom, das auch als Trägheitsprinzip bezeichnet wird. Es
besagt:
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Physik BG11
Jeder Körper behält seine Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung so
lange bei, wie er nicht durch äußere Kräfte gezwungen wird, seine
Geschwindigkeit zu ändern.
Das Trägheitsprinzip gilt insbesondere auch für die Geschwindigkeit 0, also
den Ruhezustand. Beispiel: Wir sitzen in einem anfahrenden Auto. Zunächst
steht das Auto, unser Körper ruht. Wenn das Auto anfährt, „möchte“ unser
Körper in Ruhe bleiben, aber der Sitz (äußere Kraft!) überträgt die Beschleunigung des Wagens auf unseren Körper und schiebt uns mit nach vorne. Wir
selbst werden dabei in den Sitz gedrückt und verspüren eine rückwärts
gerichtete Kraft. Solche Kräfte, die der sich bewegende (beschleunigte)
Körper selbst erfährt, nennt man Trägheitskräfte. Wegen der höheren
Beschleunigung treten sie beim Abbremsen noch stärker in Erscheinung. Sie
können das selbst einmal ausprobieren, indem Sie mit einem Auto gegen ein
Haus fahren (zuvor empfiehlt sich jedoch der Abschluß einer Lebensversicherung).
Das Trägheitsprinzip besagt auch, dass ein Körper nicht aus sich heraus
seine Geschwindigkeit ändern kann, sondern nur durch eine von „außen“ auf
ihn einwirkende Kraft. Man mag einwenden, dass wir beim Fahradfahren ja
sehr wohl aus eigener Kraft vorwärtskommen. Aber wie wäre es, wenn des
Rad aufgehängt wird, so dass seine Räder nicht mehr die Straße berühren
können? Man sieht: es muss hier eine Reibungskraft der Straßenoberfläche
auf das Rad einwirken, um vorwärts zu kommen. Dies ist aber wieder eine
äußere Kraft.
Hausaufgabe 24
a)
Erläutern Sie das Auftreten von Trägheitskräften am Beispiel einer Fahrt
mit dem Fahrstuhl.
b)
Lesen Buch S. 6 „Der Trägheitssatz“ mit schriftl. Zusammenfassung
und A1 und A2.
3.2 Das zweite Newtonsche Axiom
Buch S. 19/20: Jetzt haben wir die notwendigen Vorarbeiten geleistet, um
uns dem zweiten Axiom von Newton zu widmen. Wir wissen aus der Alltagserfahrung, dass eine Kraft nötig ist, um
a) einen Körper in Bewegung zu versetzen, d. h. ihm eine Beschleunigung
zu erteilen, und
b) eine Bewegung gegen die Wirkung von Reibungskräften aufrecht zu
erhalten, d. h. eine gleichbleibende Geschwindigkeit zu halten.
Wenn wir der Einfachheit wieder unsere reibungsfreie Modellwelt betrachten,
dann wäre im zweiten Fall gar keine Kraft erforderlich, wohl aber im ersten
Fall. Man kann also sagen, dass Beschleunigungen (in dieser Modellwelt)
durch Kräfte verursacht werden. Wo Kräfte wirken, treten auch Beschleuni11.10.15, 23:26
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gungen auf. Umgekehrt können wir, wenn wir eine Beschleunigung feststellen, auf eine Kraftwirkung schließen (dies sogar in der wirklichen Welt).
Die Kraft ist die Ursache für eine Beschleunigung.
Wie hängen nun Beschleunigung und Kraft genau miteinander zusammen?
Jeder Radfahrer weiß, dass er für eine höhere Beschleunigung auch kräftiger
treten muss. Die Beschleunigung ist der wirkenden Kraft proportional: F ~ a
(s. Bilder auf S. 20).
Außerdem wissen wir aus Erfahrung, dass es mehr Kraft erfordert, ein
schwer mit Gepäck beladenes Fahrrad zu beschleunigen. Aus dem gleichen
Grund benötigt ein Lkw auch einen stärkeren Motor als ein Kleinwagen. Die
wirkende Kraft ist auch zu der Masse des Körpers proportional: F ~ m.
Es ist daher sinnvoll, den bislang aus der menschlichen Muskelkraft abgeleiteten Begriff der Kraft nun physikalisch als Produkt aus Masse und Beschleunigung zu definieren. Wir können unsere Definition der Kraft damit als
Formel folgendermaßen schreiben:
Formel 16: F = m ∗ a
Diese Gleichung bezeichnet man als das Grundgesetz der Mechanik. Als
Maßeinheit der Kraft ergibt sich demzufolge das Produkt aus der Maßeinheit
der Masse (kg) und der Maßeinheit der Beschleunigung (m/s2). Diese Maßeinheit bekommt, da sie sehr häufig gebraucht wird, den neuen Namen
Newton, abgekürzt N. Der Name wurde zu Ehren des britischen Forschers
Sir Isaac Newton (1643 – 1727) gewählt.
1 N = 1 kg∗m/s2
Wir können nun das zweite Newtonsche Axiom formulieren:
Um einer Masse m eine Beschleunigung a zu erteilen, ist eine Kraft F erforderlich, die gleich dem Produkt aus der Masse und der Beschleunigung ist:
F = m∗a. Die Maßeinheit der Kraft ist Newton (N), wobei gilt 1 N =
1 kg∗m/s2
Beispiel: In dem Beispiel von Seite 27 wurde ein Auto mit einer Beschleunigung von a = 1,4 m/s2 aus dem Stand beschleunigt. Welche Kraft ist
dazu nötig?
Lösung: Um die Kraft berechnen zu können, müssen wir zusätzlich die Masse
des Autos kennen. Wir nehmen an, das Auto besitze eine Masse m von
1200 kg. Die nötige Kraft ist dann:
F = m ∗ a = 1200 kg ∗ 1,4 m/s2 = 1680 kg m/s2 = 1680 N.
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Hausaufgabe 25
a)
Ein Auto mit einer Masse von 1800 kg beschleunigt in 15 s von 0 auf
100 km/h. Berechnen Sie unter der Annahme einer konstanten Beschleunigung den zurückgelegten Weg s (in m) und die Antriebskraft (in
N). Beachten Sie die Maßeinheiten!
b)
Lesen S. 19/20 „Grundlagen: Kraftmessung“ mit schriftl.
Zusammenfassung!
Lösung: a)
Kräfte können durch die Dehnung einer Feder sichtbar und messbar gemacht
werden. Die Dehnung einer Feder ist nämlich der wirkenden Kraft direkt proportional (Hookesches Gesetz). Kräfte sind ebenso wie Beschleunigungen
gerichtete Größen (Vektoren).
Die Verknüpfung zwischen Beschleunigung und Kraft wird durch die Masse
hergestellt. Wenn eine bestimmte Kraft einwirkt (sagen wir 100 N), so
erfährt ein leichter Körper eine höhere Beschleunigung als ein schwerer. Die
Masse wirkt daher in Bezug auf die erreichte Beschleunigung wie eine „Trägheit“. Man spricht deshalb mitunter auch von der „trägen Masse“, wenn man
sie aus Messungen der Kraft und Beschleunigung ermittelt. In der älteren
physikalischen Literatur wird aus dem gleichen Grund die Masse auch kurz
als „Trägheit“ bezeichnet. Man kann auch sagen, die Masse setzt der
Beschleunigung einen Widerstand entgegen.
Hausaufgabe 26
Ein Auto soll mit einer negativen Beschleunigung von a = -3,5 m/s2 abgebremst werden. Welche Kraft ist erforderlich, wenn das Auto 1200 kg schwer
ist? Führen Sie die gleiche Rechnung für einen 7,5 t schweren Lkw durch!
Lösung:
3.2.1 Die Gewichtskraft
Wie bereits erwähnt, unterliegen alle Körper auf der Erde der Erdbeschleunigung g. Die Erde übt auf sie eine Anziehungskraft aus. Diese Gewichtskraft
FG lässt sich nun berechnen, wenn wir in das Grundgesetz der Mechanik für
a die Erdbeschleunigung g einsetzen:
Formel 17: FG = m∗g
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Beispiel: Wenn wir eine Tafel Schokolade von 0,1 kg tragen, zieht die Masse
aufgrund der Erdbeschleunigung (rund 10 m/s2) mit einer Kraft von (rund)
1 N an unserem Arm (genauer 0,981 N).
Die Erdbeschleunigung g hat, wie bereits auf S. 30 erwähnt, nur in der Nähe
der Erdoberfläche einen (näherungsweise) festen Wert. Damit ist folglich die
obige Formel auch nur in der Nähe der Erdoberfläche gültig.
Durch die Erdanziehung erhält ein Körper mit der Masse m ein Gewicht. Die
Gewichtskraft FG lässt sich berechnen nach der Formel FG = m∗g. Sie ist zum
Erdmittelpunkt hin gerichtet.
Im Volksmund hört man oft Angaben wie „Die Kraft ist 4 Zentner“. Was ist
damit gemeint?
Streng genommen ist die Aussage in dieser Verkürzung falsch, denn eine
Kraft wird in Newton angegeben und nicht in Zentner oder Kilogramm.
Trotzdem ist diese Angabe für die meisten Menschen intuitiv verständlicher
als 1962 N, da wir für Newton kein Gefühl entwickelt haben, wohl aber für
Massen, die wir heben können. Gemeint ist also: „Die Kraft ist so groß wie
die Gewichtskraft einer Masse von 4 Zentnern“. Diese Angabe können wir
nun leicht in die physikalische Einheit Newton umrechnen:
FG = m∗g = 200 kg∗9,81 m/s² = 1962 N ≈ 2000 N.
Umgekehrt können wir nun Kräfte in die äquivalenten Massen umrechnen:
Formel 18: m = F/g.
Rechnen wir näherungsweise mit g=10 m/s², so entsprechen
1N
0,1 kg
50 N
5 kg
750 N
75 kg
10 000 N
1t
Übungsaufgabe: Ein Auto übt an einem Reifen eine Kraft auf die Straße von
5000 N aus. Welchem Gewicht entspricht dies? Wie schwer ist das
Auto? Rechnen Sie mit dem genauen Wert für g, also 9,81 m/s².
Lösung: m = F/g = 5000 N/9,81 m/s² = 509,7 kg. Das Gewicht ist
Autos ist dann 4mal so groß, also 2039 kg = 2,039 t.
Mit einer Waage wird die Gewichtskraft gemessen. Die Umrechnung in die
Masse hat der Hersteller durch eine entsprechende Kalibrierung der Waage
bereits vorgenommen.
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Im Alltagsleben werden Kräfte oft durch eine Masse ausgedrückt, die die
gleiche Gewichtskraft verursacht. Die äquivalente Masse erhalten wir aus
m = F/g.
Hausaufgabe 27
a)
Ein Sportflugzeug hat ein Gewicht von 4,3 t. Im Flug wird es durch den
Auftrieb an den Flügeln in der Luft gehalten. Welche Kraft ist dazu
nötig?
b)
Welche Masse würde die gleiche Gewichtskraft erzeugen wie die in der
Hausaufgabe 25 berechnete Antriebskraft?
Lösung: a)
b)
3.2.2 Richtung und Angriffspunkt
Wer schon einmal einen Nagel mit einem Hammer eingeschlagen hat, der
weiß, dass es nicht nur auf die Stärke der Kraft ankommt, sondern auch auf
ihre Richtung. Trifft der Hammer nicht genau in Längsrichtung des Nagels
auf den Kopf, wird der Nagel schief eingeschlagen oder er verbiegt sich. Eine
Kraft ist daher durch Stärke und Richtung definiert. Beides zusammen legt
den Kraftvektor fest, geschrieben F. Die Stärke nennt man auch den Betrag
des Kraftvektors. Wir schreiben dafür wie bisher einfach F oder auch |F|.
Kraftvektoren kann man sich durch Pfeile (Vektorpfeile) veranschaulichen,
wobei die Pfeilrichtung die Kraftrichtung angibt und die Länge des Pfeils proportional zum Betrag der Kraft ist, s. Buch S. 7 unten. Dies wird insbesondere dann bedeutungsvoll, wenn mehrere Kräfte an einem Körper angreifen
(s. u.). Die Richtung der Kraft ist dann auch die Richtung, in der der Körper
beschleunigt wird.
Damit haben wir auch die Beschleunigung (a) als einen Vektor erkannt. Auch
die Geschwindigkeit ist ein Vektor, wobei seine Richtung die Bewegungsrichtung des Körpers angibt und sein Betrag den Betrag der Geschwindigkeit.
Physikalische Größen ohne Richtung nennt man demgegenüber Skalare, wie
z. B. die Temperatur, die Masse oder die Zeit.
Was eine Kraft bewirkt, hängt aber nicht nur von dem Kraftvektor ab, sondern auch vom Angriffspunkt der Kraft. Man kann dies beim Stoß einer
Billardkugel sehr schön beobachten. Die Kugel rollt oftmals nicht in der
gewünschten Richtung, weil der Stab die Kugel nicht genau mittig (zentral)
getroffen hat.
Der Angriffspunkt einer Kraft ist nicht immer so einfach auszumachen wie
beim Stoß einer Billardkugel. So durchsetzt die Erdanziehungskraft alle Körper gleichmäßig und wirkt auf jedes einzelne Atom ein. Wir müssten also alle
diese Einzelkräft aufsummieren, um die resultierende Gesamtkraft zu erhal11.10.15, 23:26
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ten. Zum Glück ist dieses umständliche Vorgehen nicht nötig, da ja alle Einzelkräfte die gleich Richtung haben. Man kann stattdessen so tun, als ob die
Gesamtkraft im Mittelpunkt des Körpers angreift. Der Körper verhält sich
also wie ein Massenpunkt (s. 2.1.1 Die Geschwindigkeit), an dem die
Gesamtkraft angreift. Der Punkt in einem ausgedehnten Körper, den man
sich als Angriffspunkt der Gewichtskraft denken kann, wird sein Schwerpunkt oder Massenmittelpunkt genannt.
Sie merken, wo der Schwerpunkt ist, wenn Sie ein Tablett tragen. Man hält
automatisch die Hand unter den Schwerpunkt des Tabletts, weil es hier nicht
kippt. Wenn man es dagegen an der Seite anfasst, muss man nicht nur das
Gewicht tragen, sondern auch noch die Drehbewegung verhindern, und das
geht schwerer.
Demo mit Teleskopzeiger
3.2.3 Das allgemeine Gravitationsgesetz
Die Gewichtskraft ist ein Sonderfall der allgemeinen Massenanziehung. Newton entdeckte, dass sich irgend zwei materielle Körper anziehen und konnte
auch eine Formel für die Anziehungskraft angeben. Sie ist nicht mehr auf die
Nähe der Erdoberfläche beschränkt, sondern gilt für beliebige Distanzen.
Ihre Gültigkeit ist auch nicht auf die Erde als Anziehungskörper eingeschränkt, sondern sie gilt ganz allgemein für die Anziehung zweier Massen
m1 und m2. Damit konnte z. B. die Bewegung des Mondes um die Erde oder
die Bewegung der Planeten um die Sonne erstmals zufriedenstellend erklärt
werden. Newtons Formel lautet:
Formel 19: F = G∗
m1∗m2
r2
Newtonsches Gravitationsgesetz
Darin ist G die allgemeine Gravitationskonstante mit dem Wert
G = 6,6726∗10-11 m3/(kg s2),
m1 und m2 sind die Massen der beiden Körper und r ist ihr Abstand (genauer
der Abstand ihrer Schwerpunkte).
Wie hängt F vom Abstand r der beiden Massen ab? Wir erhalten beim
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doppelten
Abstand (2r)
m1∗m2
/4 der Kraft, denn sei F1 = G∗
, hingegen
r2
m1∗m2
m1∗m2
m1∗m2
F2 = G∗
= G∗
= 1/4 G∗
= 1/4F1
2
2
(2r)
4r
r2
1
1
dreifachen
Abstand (3r)
/9 der Kraft (die Schüler leiten das Ergebnis selbstständig
her)
zehnfachen
Abstand (10r)
1
/100 der Kraft
halben Abstand das 4fache der Kraft
(1/2r)
viertel Abstand das 16fache der Kraft usw.
Übungsaufgabe: Wie stark ziehen sich demnach 2 Menschen an (je 75 kg),
die sich im Abstand von 1/2m gegenüberstehen?
(75kg)²
= 1,501∗10-6 N,
(0,5m)²
das entspricht einer Masse von 1,53∗10-4 g oder 0,153 mg. Dies ist so
winzig klein, dass wir es physikalisch nicht bemerken (auch wenn wir
uns vielleicht emotional stark angezogen fühlen).
Lösung: F = 6,6726∗10-11 m3/(kg s2)∗
Besonders wichtig ist für uns die Anziehungskraft der Erde. Es ist dann m1 =
mE = 5,9736∗1024 kg und r = RE = 6378,15 km (Zahlen aus Anhang im
Buch). Die zweite Masse m2 ist dann die Masse des Körpers, dessen Anziehungskraft wir berechnen wollen.
Beispiel: Mit welcher Kraft wird ein Satellit mit Masse mS = 3 t in 1000 km
Höhe angezogen?
Lösung: r = h + RE = 1000∗103 m + 6378,15∗103 m = 7,37815∗106 m
FG = 6,6726∗10-11 m3/(kg s2)∗
5,9736∗1024 kg∗3000 kg
= 21966 N
(7,37815∗106 m)²
Obere Grenze: mg = 29430 N (Anziehungskraft auf der Erde).
Das ‚g’ ist in der Höhe kleiner, nämlich g = FG/mS = 7,322 m/s²
Das Beispiel zeigt noch einmal, das der Wert g=9,81 m/s² nur in der
Nähe der Erdoberfläche gilt.
Alle Massen ziehen einander an. Die Anziehungskraft zweier Massen m1 und
m2 im Abstand r voneinander lässt sich nach dem Newtonschen Gravitatim1∗m2
onsgesetz F = G∗
berechnen. Dabei ist G die Gravitationskonstante
r2
mit dem Wert G = 6,6726∗10-11 m3/(kg s2).
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Hausaufgabe 28
a) Mit welcher Kraft zieht die Erde den Mond an? Mondmasse: mM =
7,35∗1022 kg, Abstand Erde-Mond: 384 400 km.
b) Ein Satellit in 22000 km Höhe wird von der Erde mit einer Kraft von
1732 N angezogen. Wie schwer ist der Satellit?
c) Lesen im Buch S. 20 „Erdbeschleunigung...“ mit schriftl.
Zusammenfassung!
Lösung:
a)
b)
3.2.4 Kraftmessung mit Federn
Kräfte lassen sich gut mit Schraubenfedern sichtbar machen und bei entsprechender Kalibrierung auch messen. Die Grundlage dieser Kraftmessung
liefert uns das Hooke’sche Gesetz, nach dem die Auslenkung einer Feder
direkt proportional der wirkenden Kraft ist. Die Feder darf dabei allerdings
nicht überdehnt werden. Solange dies nicht geschieht, sprechen wir von
einer elastischen Verformung der Feder. Sie geht dann bei Fortfall der Kraft
wieder in ihre Ausgangslage zurück. (Bei Überdehnung sprechen wir von
einer inelastischen Verformung. Die Feder bleibt dann nach Wegfall der Kraft
dauerhaft „verbogen“.)
Der Zusammenhang zwischen der Auslenkung (Dehnung oder Stauchung) s
und der wirkenden Kraft kann durch eine einfache Gleichung beschrieben
werden:
Formel 20: F = D∗s
Hooke’sches Gesetz
Dabei ist D eine Proportionalitätskonstante, die für die jeweilige Feder charakteristisch ist. Sie wird deshalb Federkonstante genannt und hat die
Maßeinheit kg/s2 = N/m.
Bsp.: Durch eine Kraft von 12,6 N wird eine Feder um 32 mm ausgelenkt.
Wie gross ist ihre Federkonstante? Welche Kraft ist nötig, um sie um
20 mm auszulenken?
Lösung: Durch Auflösen nach D erhalten wir:
D = F/s = 12,6 N / 32∗10-3 m = 393,75 N/m
Die Kraft für 20 mm Auslenkung erhalten wir aus Formel 20 zu
F = 393,75 N/m∗20∗10-3 m = 7,875 N
Tipp: Gewöhnen Sie sich an, die Vorsätze von Einheiten durch ihre
Zehnerpotenz zu ersetzen. Das vermeidet Umrechnungsfehler!
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Hooke’sches Gesetz:
Die beim Spannen einer Feder auftretende Kraft F ist der Auslenkung s proportional: F = D∗s. Die Konstante D heißt Federkonstante und ist von der
verwendeten Feder abhängig. Ihre Maßeinheit ist N/m.
Hausaufgabe 29
a) An eine Feder wird eine Masse von 100 g gehängt, wodurch sich die Feder
um 13 mm dehnt. Berechnen Sie die Federkonstante.
b) An diese Feder wird nun ein unbekanntes Massestück gehängt, das eine
Dehnung um 20 mm hervorruft. Welche Masse hat das Stück?
Lösung:
a)
b)
3.3 Das dritte Newtonsche Axiom
Buch S. 7/8: Wenn wir eine Masse von 1 kg tragen, zieht die Masse an unserem Arm. Diese durch das Gewicht (und die Erdanziehung) hervorgerufene
Kraft nennt man Gewichtskraft (s. Abschnitt 3.2.1).
Umgekehrt ziehen wir an der Masse, um die Gewichtskraft, die an der Masse
angreift, auszugleichen. Die Masse zieht an unserem Arm nach unten, wir
dagegen üben auf die Masse eine nach oben gerichtete Gegenkraft aus. Beide Kräfte sind hier gleich stark, greifen an verschiedenen Körpern an und
haben entgegengesetzte Richtung. Dadurch heben sie sich im Endeffekt auf,
die Masse bleibt in Ruhe.
Anderes Beispiel: Zwei Personen stehen auf Rollwagen (Buch S. 7, Bild 7
und S. 8, Bild 5) und ziehen an einem Seil. Beide Wagen setzen sich in entgegengesetzter Richtung in Bewegung. Dabei kommt es nicht darauf an, ob
nur einer zieht oder beide. Ebensogut könnte eine Person durch eine Masse
ersetzt werden. Es kommt auch nicht darauf an, ob beide Personen gleich
schwer oder gleich stark sind. Man sieht dies an dem Beispiel Erde-Mond (s.
Buch auf S. 8, Bild 7).
Man sieht daraus, dass Kräfte immer in Paaren auftreten, die gleich groß,
aber entgegensetzt gerichtet sind und an verschiedenen Körpern angreifen.
Die entgegengesetzte Richtung bringen wir durch ein Minuszeichen zum Ausdruck.
Anm.: In der Physik unterscheidet man zwischen gerichteten Größen (wie
Geschwindigkeit oder Beschleunigung) und ungerichteten Größen (wie
Masse). Kräfte gehören zu den gerichteten Größen. Sie werden durch Vektoren (Pfeile) dargestellt und dann als F geschrieben, s. Buch S. 7 unten.
Wir werden uns jedoch in der Regel auf eine Richtung beschränken und
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die Orientierung entlang dieser Richtung wie bisher durch das Vorzeichen
zum Ausdruck bringen. Dann können wir mit dem Betrag der Kraft arbeiten, wie es bisher schon bei Geschwindigkeit und Beschleunigung
geschah.
Damit können wir nun das dritte Newtonsche Axiom formulieren:
Wirkt ein Körper A auf einen Körper B mit einer Kraft F1, so wirkt der Körper
B auf den Körper A mit einer Kraft F2, die den gleichen Betrag, aber die entgegengesetzte Richtung wie F1 hat: F2 = -F1.
Das dritte Newtonsche Axiom wird auch als das Prinzip von Kraft und
Gegenkraft oder von actio und reactio oder als das Wechselwirkungsprinzip bezeichnet.
Wenn also wir von der Erde angezogen werden, gilt auch umgekehrt, dass
wir die Erde anziehen. Wegen der großen Erdmasse tritt dabei für die Erde
aber keine spürbare Beschleunigung auf. Anders verhält es sich bei der
Anziehung zwischen der Erde und dem Mond. Die Anziehungskraft, die der
Mond auf die Erde ausübt, führt zu einer Torkelbewegung der Erde um den
gemeinsamen Schwerpunkt von Erde und Mond.
Hausaufgabe 30
a) Lesen im Buch S. 7 unten „Grundlagen…“ mit schriftl.
Zusammenfassung!
b) Buch S. 9 A9
Für Trägheitskräfte gilt das 3. Newtonsche Axiom allerdings nicht! Deshalb
werden die Trägheitskräfte manchmal auch als „Scheinkräfte“ bezeichnet,
was aber irreführend ist, denn sie treten sehr wohl real auf. Vielleicht erinnern Sie sich noch an das Zugunglück in Brühl: Ein Zug fuhr in den Bahnhof
Brühl mit zu hoher Geschwindigkeit ein und wurde dadurch in einem Kurvenstück aus der Schiene geschleudert. Die Trägheit (Masse) des Zuges
führte dazu, dass er seine ursprüngliche Bewegungsrichtung beibehalten
„wollte“. Die Fliehkraft (Zentrifugalkraft) hat ihn dann aus der gekrümmten
Schiene geworfen (s. a. Bild 3 auf S. 6 im Buch). Der angerichtete Schaden
war verheerend!
Für Trägheitskräfte gilt das 3. Newtonsche Axiom nicht! Sie treten nur für
Beobachter auf, die an einer beschleunigten Bewegung teilnehmen.
Hausaufgabe 31
Eine Kugel liegt auf der spiegelglatten Ladefläche eines anfahrenden
Lkw’s. Ein Beobachter auf dem Lkw bemerkt, dass die Kugel nach hinten
rollt, offenbar wirkt eine Kraft auf sie. Wo tritt hier vom Standpunkt des
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mitfahrenden Beobachters aus betrachtet eine Gegenkraft auf? Wie würde
man den gleichen Vorgang vom Straßenrand aus beschreiben? Wodurch
unterscheiden sich physikalisch die beiden Standpunkte?
3.4 Wirkung mehrerer Kräfte
3.4.1 Addition von Kräften
Auf einen Körper können mehrere Kräfte gleichzeitig wirken. Beispiele in Bild
6 auf S. 7 oder Bild 1 auf S. 8 im Buch. In den gezeigten Fällen wirken zwei
gleichgroße Kräfte in entgegengesetzter Richtung. Dadurch heben sie sich in
ihrer Wirkung auf. Man spricht dann von einem Kräftegleichgewicht. Rechnerisch gehen die Kräfte mit umgekehrten Vorzeichen ein und addieren sich
dadurch zu Null. Auf den Körper wirkt dann keine (resultierende) Kraft.
Wechselwirkungskräfte greifen immer an verschiedenen Körpern an. Ein
Kräftegleichgewicht entsteht z. B., wenn am gleichen Körper 2 gleich starke
Kräfte in entgegengesetzter Richtung wirken.
Hausaufgabe 32
Buch S. 8 lesen („Grundlagen“) mit schriftl. Zusammenfassung sowie A1
und A2 auf S. 9
Der allgemeinere Fall ist im Buch auf S. 24/25 dargestellt. Am Beispiel der
beiden Schlepper (Bild 5) wird gezeigt, wie man die letztendlich wirkende
Kraft, die sog. Resultierende findet: Die beiden Kräfte werden zu einem
Parallelogramm ergänzt (sog. Kräfteparallelogramm) und in der Diagonalen kann man die Resultierende ablesen. Die resultierende Kraft ist hier kleiner als die Summe der beiden Beträge der Kräfte, man muss die unterschiedliche Richtung mitberücksichtigen. Die rechnerische Lösung ist
komplizierter.
Zahlenbeispiel: Zwei Kräfte F1 = 10 kN und F2 = 7 kN schließen einen Winkel
von α=100° miteinander ein. Bestimmen Sie zeichnerisch die Resultierende F
und ihren Winkel zu F1! Maßstab: 1 kN 1 cm.
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Zwei Kräfte F1 und F2 werden addiert, indem man an den ersten Kraftvektor
(F1) den zweiten Kraftvektor (F2) anlegt. Dazu wird F2 so parallel verschoben, dass sein Anfangspunkt auf den Endpunkt von F1 fällt. Der Summenvektor Fges ist dann der Vektor vom Anfangspunkt des ersten zum Endpunkt
des zweiten Vektors.
Übungsblatt Kräfteaddition ÜA 2.
Wenn mehr als 2 Kräfte auf einen Körper wirken, herrscht ein Kräftegleichgewicht, wenn sich alle Kräfte vektoriell zu Null addieren. Es wirkt dann
keine resultierende Kraft und damit tritt auch keine Beschleunigung auf. Der
Körper verbleibt in Ruhe. Ein Beispiel dafür sehen wir in der folgenden
Übungsaufgabe.
Übungsaufgabe: Buch S. 26 A5: Fadenzugkraft FF und die unbekannte Kraft
Fx des Wägestücks müssen zusammen eine senkrecht nach oben
gerichtete Kraft ergeben, die die Gewichtskraft FG auf die Kugel wieder
ausgleicht. Die Gewichtskraft lässt sich berechnen:
FG = 0,1 kg ∗ 9,81 m/s² = 0,981 N
Senkrecht nach oben gespiegelt ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck.
Daraus lässt sich ablesen:
Fx/FG = tan 20° ⇒ Fx = FG∗tan 20° = 0,981∗0,364 = 0,3571 N
m = Fx/g = 0,0364 kg = 36,4 g
Ein Kräftegleichgewicht liegt vor, wenn sich alle an einem Körper angreifenden Kräfte vektoriell zu Null addieren.
3.4.2 Kräftezerlegung
Mitunter ist es nützlich, eine wirkende Kraft in zwei gedachte Kräfte zu zerlegen, deren Resultierende die tatsächliche Kraft ist. Beispiel in Bild 7 auf S.
25. Man spricht dann von einer Zerlegung der Kraft in zwei Komponenten.
Diese Zerlegung (in zwei beliebige Richtungen) lässt sich gedanklich immer
durchführen, auch dann, wenn tatsächlich keine Kraftkomponenten vorhanden sind. Bezogen auf Bild 5 könnte man die Gesamtkraft auf das Schiff
auch dann zerlegen, wenn tatsächlich keine zwei Schlepper an dem Schiff
ziehen.
Buch S. 25 „Physik und Alltagswelt“ 1. Absatz vorlesen lassen, anschließend
Übungsaufgabe: Buch S. 26 A1. Wir zerlegen gedanklich die Gewichtskraft
FG des Piloten in eine Kraft FS, die ihn auf den Sitz drückt, und eine
zweite Kraft FB, die ihn nach vorne zieht und damit die auftretende
Trägheitskraft simuliert.
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Zahlenbeispiel: Masse des Piloten: m = 75 kg, FG = mg = 735,75 N,
diese Kraft zeichnen wir 6 cm lang (0,008155 cm/N). Der Neigewinkel
der Kabine sei 15°. Die Kraft FS ergibt sich aus
FS = FG·cos(15°) = 710,68 N ( 5,8 cm)
Die Kraft FB ergibt sich dann aus
FB = FG·sin(15°) = 190,4 N ( 1,55 cm)
Dadurch wird eine Bremsverzögerung von
a = FB/m = 2,539 m/s² bzw. 0,2588g
simuliert. Die Bremsverzögerung in g ist gerade sin(15°).
Übungsaufgabe: Ein Auto mit der Masse 1,4 t steht an einem Hang, der 30°
geneigt ist. Mit welcher Kraft drückt das Auto auf die Straße? Mit
welcher Kraft wird es den Hang hinuntergezogen?
Lösung: Gesamte Gewichtskraft des Autos:
FG = mg = 1400 kg·9,81 m/s² = 13 734 N = 13,734 kN (STO)
Wir zerlegen sie in eine Kraft Fs, die senkrecht auf die Straße wirkt, und
eine zweite Kraft Fp (Hangabtriebskraft) parallel zur Straßenoberfläche.
Zeichnerische Lösung (1 kN 0,5 cm)
Rechnerische Lösung:
Fs = FG·cos(30°) = 11,894 kN
Fp = FG·sin(30°) = 6,867 kN
Beide Teilkräfte addieren sich vektoriell zur Gesamtkraft, denn
(11,894kN)² + (6,867kN)² = 13,734 kN
Übungsaufgabe: Buch S. 26 A4. Wir lösen die Aufgabe zunächst zeichnerisch. FG bringen wir auf 6 cm Länge.
Lösung: Rechnerisch ist dann die Fadenkraft 5,2 cm lang (FG·cos(30°)),
die Beschleunigungskraft 3 cm (FG·sin(30°)).
Zahlenbeispiel: Es sei FG=30 N. Die Fadenkraft ist dann 25,98 N ≈ 26 N,
die Beschleunigungskraft ist 15 N.
Anschließend rechnerische Lösung.
Weiterführende Aufgaben auf Übungsblatt „Kräfteaddition“. ÜA 1.1 und 2.1
als HA.
Hausaufgabe 33
Buch S. 25 lesen „Grundlagen“ mit schriftl. Zusammenfassung sowie auf
S. 26 A6 (zeichnerisch).
Lösung A6
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Physik BG11
4 Die Kreisbewegung
Buch S. 63 ff: Bisher waren wir immer von einer geradlinigen Bewegung
ausgegangen. Wir werden nun einen weiteren wichtigen Fall einer Bewegung
untersuchen, die Bewegung auf einer Kreisbahn. Diese Bewegung kommt im
Alltagsleben häufig vor, z. B. ein drehendes Rad. Manche tatsächlichen
Bewegungen lassen sich zumindest näherungsweise durch eine kreisförmige
Bewegung beschreiben, z. B. die Fahrt eines Autos in einer Kurve.
4.1 Die Bahngeschwindigkeit
Buch S. 65: Wir betrachten nun den Fall, dass sich ein Massenpunkt auf
einem Kreis mit dem Radius r bewegt. Das Wegelement ∆s ist in diesem Fall
ein Stück des Kreisbogens. Wenn ∆t die Zeitspanne ist, die der Körper zum
Durchlaufen des Bogenstücks benötigt, ist seine Geschwindigkeit auf der
Kreisbahn wieder definiert durch
vB = ∆s/∆t
Diese Geschwindigkeit wird auch als Bahngeschwindigkeit bezeichnet. Wir
werden uns im weiteren auf den Spezialfall beschränken, dass die Bahngeschwindigkeit konstant ist. Man spricht dann von einer gleichmäßigen
Kreisbewegung.
Unter einer gleichmäßigen Kreisbewegung versteht man eine Bewegung auf
einem Kreis, bei der in gleichen Zeitintervallen ∆t stets gleich lange Wege ∆s
auf dem Kreis zurückgelegt werden. Die Bahngeschwindigkeit vB eines Punktes auf dem Kreis ist durch vB = ∆s/∆t gegeben und konstant.
Wegen der Konstanz der Bahngeschwindigkeit besteht keine Notwendigkeit,
ein sehr kleines Zeitintervall zu wählen. Wir können also insbesondere die
Zeit wählen, die der Körper für einen vollen Umlauf benötigt. Diese Zeit wird
Umlaufzeit oder Periode der Kreisbewegung genannt und üblicherweise
mit T abgekürzt. Der zurückgelegte Weg ist dann der Umfang des Kreises
2∗π∗r. Wir erhalten so
Formel 21: vB = 2π∗r/T
Beispiel: Die Erde umrundet die Sonne in 149,6∗106 km Abstand (= 1 Astronomische Einheit AE). Für einen Umlauf benötigt sie 1 Jahr. Welche
Geschwindigkeit in m/s und km/h hat die Erde?
Lösung: Wir rechnen der Genauigkeit wegen das Jahr zu 365,25 Tagen,
das sind 365,25∗24∗3600 s = 31 557 600 s. Mit r = 149,6∗109 m
ergibt sich: vB = 2π∗149,6∗109 m/31 557 600 s = 29,786∗103 m/s =
107 228 km/h. Die Erde fliegt also mit rund 30 km/s durch den
Weltraum.
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Hausaufgabe 34
a) Ein Propeller mit einem Durchmesser von 2 m benötigt für einen Viertelkreis 6 ms. Welche Geschwindigkeit hat die Spitze des Propellers?
b) Ein Flugzeug fliegt mit 540 km/h eine kreisförmige Warteschleife. Nach
10 Minuten und 28,3 s kommt es wieder am gleichen Punkt an. Welchen
Durchmesser hatte die Warteschleife?
Lösung:
4.2 Die Frequenz
Buch S. 65: Bei schnellen Kreisbewegungen ist es vorteilhafter, statt dessen
mit der Frequenz (Drehzahl) zu arbeiten. Damit bezeichnet man die Anzahl
n der Umläufe pro Zeiteinheit (Sekunde):
Formel 22: f = n/t
mit n=Anzahl der Umläufe in der Zeit t
Da die Anzahl n eine reine Zahl ist, ergibt sich für die Frequenz die Maßeinheit 1/s. Obwohl eigentlich überflüssig, ist es doch üblich, dafür in diesem
Zusammenhang (d. h. bei periodischen Vorgängen) die Einheit Hertz (Hz) zu
benutzen. Es gilt also:
1 Hz = 1/s
Unter der Frequenz f einer gleichmäßigen Kreisbewegung versteht man den
Quotienten aus der Anzahl n der in der Zeit t erfolgten Umläufe und der Zeit
t: f = n/t. Als Maßeinheit der Frequenz wird das Hertz (Hz) verwendet, wobei
1 Hz = 1/s ist.
Die Maßeinheit wird zu Ehren des Hamburger Physiker Heinrich Hertz
(22.2.1857 – 1.1.1894) so genannt. Ihm gelang es als erstem, elektromagnetische Wellen zu erzeugen (Sender) und diese in einem entfernten
Schwingkreis (Empfänger) wieder nachzuweisen. Seine Arbeiten bilden
also die Basis für Rundfunk, Fernsehen, Amateur- und Mobilfunk, die ja
aus unserem Alltag nicht mehr wegzudenken sind. Nach ihm wurde ebenfalls der Hamburger Fernsehturm benannt.
Dagegen ist es bei rotierenden technischen Geräten (z. B. Bohrmaschine)
üblich, die Drehzahl (=Frequenz) in Umdrehungen pro Minute (abgekürzt
U/min oder Upm, englisch: revolutions per minute = rpm) anzugeben.
Umrechnung:
1 U/min = 1 U/(60 s) = 1/60 U/s = 1/60 Hz
Anmerkung: Das „U“ ist nur eine Pseudoeinheit, die lediglich zur Verdeutlichung hinzugefügt wird. Physikalisch betrachtet ist U/min gleich der Einheit 1/min, das „U“ steht für eine einheitenlose Anzahl von Umdrehungen.
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Beispiel: Bei einer Bohrmaschine ist die Drehzahl angegeben zu 1800 U/min.
Rechnen Sie um in Hertz!
Lösung: 1800 U/min = 1800∗1/60 Hz = 30 Hz, d. h. der Bohrer dreht
sich 30mal in der Sekunde.
Wählen wir insbesondere nur einen Umlauf, so ist n=1 und t=T. Wir erhalten
so den elementaren Zusammenhang zwischen Frequenz und Periode:
Formel 23: f = 1/T
Mit Hilfe der Frequenz läßt sich für die Bahngeschwindigkeit dann auch
schreiben:
Formel 24: vB = 2π∗r∗f
Beispiel: Ein Plattenteller eines Plattenspielers dreht sich mit 33 Upm, das
sind 33/60 1/s = 0,55 Hz. Bei einer 30 cm Langspielplatte hat die Nadel
am äußersten Rand (r=15 cm) eine Geschwindigkeit (sog. Schnelle) von
vB,a = 2π∗0,15 m∗0,55 1/s = 0,518 m/s.
In der Auslaufrille sei r=6 cm, die Geschwindigkeit der Nadel ist dort
nur noch vB,i = 2π∗0,06 m∗0,55 1/s = 0,207 m/s.
Hausaufgabe 35
a) Wie groß sind Frequenz und Periode des Flugzeugpropellers aus der vorigen Hausaufgabe?
b) Die Drehzahl einer Bohrmaschine ist angegeben zu 1500 Upm. Berechnen
Sie die Frequenz (in Hz) und die Periode (in ms)! Angenommen, der Bohrer rückt bei jeder Umdrehung 0,01 mm vor, wie groß ist dann die Vortriebsgeschwindigkeit? Wie lange dauert es, eine 6 mm dicke Platte zu
durchbohren?
Lösung: a)
b)
4.3 Die Winkelgeschwindigkeit
Das Beispiel mit der Schallplatte zeigt: Wir erhalten verschiedene Werte der
Geschwindigkeit, je nachdem, ob wir weiter innen oder außen messen. Da
die Bahngeschwindigkeit vom Abstand r von der Drehachse abhängig ist, ist
sie ungeeignet, die Geschwindigkeit der Drehung eines starren Körpers als
Ganzes, z. B. einer Schallplatte oder eines Propellers, zu beschreiben. Die
Platte dreht sich ja mit einer einheitlichen Umdrehungsgeschwindigkeit. Eine
Möglichkeit wäre, mit der Frequenz zu arbeiten. Aus Gründen, die hier nicht
ausgeführt werden können, macht man davon in der Physik aber keinen
Gebrauch.
Man benutzt stattdessen den von einem Kreisradius („Fahrstrahl“) überstrichenen Winkel ∆
zur Beschreibung der Umdrehungsgeschwindigkeit.
Setzt man diesen ins Verhältnis zur dafür benötigten Zeit ∆t, erhält man die
Winkelgeschwindigkeit ω:
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Formel 25: ω = ∆
/∆t
Analogie zur linearen Bewegung!
Winkel werden in der Physik üblicherweise im Bogenmaß
gemessen. Das Bogenmaß eines Winkels ist definiert als
die Länge des Kreisbogens s über dem Winkel dividiert
durch den Kreisradius r (vgl. Buch S. 66):
Formel 26: = s/r
r
s
Da s und r beides Längen sind, ist der Winkel im Bogenmaß eigentlich eine
reine Zahl ohne Einheit. Um aber klarzustellen, dass diese Zahl einen Winkel
angibt, erhält das Bogenmaß eine „künstliche“ Maßeinheit Radiant, abgekürzt rad. Der Vollkreis hat also ein Bogenmaß von 2π rad, entsprechend
360 Grad.
360° =
ˆ 2π rad
Daraus leiten wir die Umrechnungen ab:
ˆ π/180 rad, 1 rad =
ˆ 180˚/π
1° =
Beispiele:
60° π/3 rad = 1,047 rad
90° π/2 rad = 1,571 rad
0,1 rad 5,730°
2 rad 114,6°
Die Maßeinheit der Winkelgeschwindigkeit ergibt sich dann aus der Definitionsgleichung Formel 25 zu Radiant pro Sekunde, abgekürzt rad/s. Man
könnte im Grunde genommen die Winkelgeschwindigkeit auch in Hertz
angeben, dies ist jedoch nicht üblich.
Anmerkung: Die Einheit rad wird nur bei der Winkelgeschwindigkeit
benutzt. Wird daraus dann eine Bahngeschwindigkeit oder Frequenz
berechnet (s. u.), entfällt das rad wieder. Es ist ebenso wie das „U“ eine
Pseudomaßeinheit, die sich den normalen Regeln für das Rechnen mit
Maßeinheiten entzieht.
Beispiel: Wir berechnen nun die Winkelgeschwindigkeit des Plattentellers.
Die Drehzahl ist zu 33 Upm angegeben. 33 Umdrehungen bedeuten
einen überstrichenen Winkel von 33 Vollkreisen, also ∆
= 33∗2π rad =
207,35 rad. Die dafür benötigte Zeit ∆t ist 1 Minute = 60 Sekunden. Es
ergibt sich daher ω = 207,35 rad / 60 s = 3,456 rad/s.
Umrechnung in Grad/s: 3,456×180/π = 198°/s
Hausaufgabe 36
a) Rechnen Sie um (Grad ↔ Radiant): 10°; 45°; 0,5236 rad; 1 rad!
b) Wie groß ist die Frequenz (in Hz) und die Winkelgeschwindigkeit (in
rad/s) des Sekundenzeigers einer Uhr? Wie schnell bewegt sich die Spitze
eines 12 mm langen Zeigers (in mm/s)?
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Lösung: a)
b)
Wir fassen zusammen:
Unter der Winkelgeschwindigkeit ω einer Kreisbewegung versteht man den
Quotienten aus dem vom Kreisradius überstrichenen Winkel ∆
und dem
dafür benötigten Zeitintervall ∆t: ω = ∆
/∆t. Die Maßeinheit für die Winkelgeschwindigkeit ist Radiant pro Sekunde (rad/s).
Entsprechend unserer Einschränkung ist bei einer gleichmäßigen Kreisbewegung auch die Winkelgeschwindigkeit konstant.
Wählen wir speziell einen Umlauf, so können wir auch schreiben:
ω = 2π/T
oder mit f=1/T:
Formel 27: ω = 2π∗f
Wegen der Analogie zur Gleichung für den Umfang eines Kreises wird ω auch
manchmal Kreisfrequenz genannt.
Merke: Bei der Frequenz f zählt jede Umdrehung 1 mal, bei der Winkelgeschwindigkeit ω dagegen 2π mal!
Weiter oben hatten wir für die Bahngeschwindigkeit vB die Formel
vB = 2π∗r∗f gefunden. Wir können nun den Ausdruck 2π∗f durch ω
ersetzen. Daraus ergibt sich der Zusammenhang zwischen der Bahn- und
der Winkelgeschwindigkeit:
Formel 28: vB = r∗ω
Daraus sehen wir: Ein rotierender starrer Körper besitzt eine einheitliche
Winkelgeschwindigkeit ω (und ebenso eine einheitliche Frequenz f). Die
Bahngeschwindigkeit von Punkten auf dem Körper ist dagegen nicht einheitlich, sondern proportional zu ihrem Abstand von der Drehachse.
Beispiel: Die Erde (Radius: RE = 6378,15 km) dreht sich in 24 h einmal um
ihre eigene Achse. Wie groß sind Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit für einen Beobachter, der auf dem Äquator bzw. auf dem
54. Breitenkreis steht?
Lösung: Die Winkelgeschwindigkeit ist für einen Umlauf ω = 2 π / T. Mit
T=86400 s ergibt sich: ω = 2 π / 86400 s = 7,272∗10-5 rad/s. Die
Bahngeschwindigkeit am Äquator ergibt sich nach vB = r∗ω zu
vB = 0,4639 km/s = 463,9 m/s = 1670 km/h.
Auf dem 54. Breitenkreis herrscht die gleiche Winkelgeschwindigkeit,
jedoch ist der Abstand von der Drehachse nur noch r∗cos(54˚) =
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3749 km. Somit ergibt sich für vB: vB = 3749 km∗7,272∗10-5 rad/s =
0,2726 km/s = 272,6 m/s = 981,5 km/h.
Zusatzfrage: Welche Zeit benötigt die Erde für eine Drehung um 1°? Um
welchen Winkel (in rad und Grad) dreht sich die Erde in 1 h?
Lösung: ω = π/43200s = ∆ϕ/∆t ⇒ ∆t = ∆ϕ/ω
∆ϕ = 1°·π/180 ≈ 0,01745 rad
∆t = π/180 : π/43200s = 43200s/180 = 240 s = 4 min
Winkel: ∆ϕ = ω·∆t = π/43200s·3600s = 1/12π ≈ 0,2618 rad
= 180/12 = 15°.
Beispiel: Die Winkelgeschwindigkeit des Plattentellers (33 Upm) hatten wir
bereits berechnet zu 1,1π = 3,456 rad/s. Die Langspielplatte hatte
innen einen Radius von ca. 6 cm, außen von ca. 14,5 cm. Wie groß ist
jeweils die Bahngeschwindigkeit der Nadel (sog. Schnelle)?
Lösung: Mit der Formel vB = r∗ω erhalten wir:
innen: vB = 0,06 m∗3,456 rad/s = 0,2073 m/s
außen: vB = 0,145 m∗3,456 rad/s = 0,5011 m/s
Zusatzfrage: Wie lange dauert eine Umdrehung innen bzw. außen?
Lösung: Innen ist der Umfang 2∗π∗0,06 m = 0,3770 m, folglich
T = U/vB = 2πr/(r·ω) = 2π/ω = 1/f = 60/33 s = 19/11 s ≈ 1,818 s. Außen
ergibt sich der gleiche Wert.
Zusatzfrage: Um welchen Winkel dreht sich der Plattenteller in 1/10s?
∆ϕ = ω·∆t = 1,1π·0,1 rad = 0,11π rad ≈ 0,3456 rad = 19,8°.
Hausaufgabe 37
a) Der Mond umrundet die Erde auf einer Kreisbahn mit einem Radius von
384 400 km. Für einen Umlauf benötigt er 27 Tage, 7 Stunden, 43 Minuten und 12 Sekunden. Berechnen Sie seine Bahngeschwindigkeit (in km/h
und m/s) und seine Winkelgeschwindigkeit (in rad/s). Um welchen Winkel
bewegt er sich in 1 Stunde (in rad und in Grad)?
b) Wie groß sind Winkel- und Bahngeschwindigkeit für einen Beobachter, der
auf dem Nordpol steht?
Lösung: a)
b)
4.4 Die Rollbewegung
Die Rollbewegung stellt eine zusammengesetzte Bewegung dar. Sie setzt
sich nämlich aus einer Geradeausbewegung (man spricht hier auch von einer
Translationsbewegung) und einer reinen Drehbewegung (Rotationsbe-
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wegung) zusammen. Für die Untersuchung dieser Bewegung ist es vorteilhaft, beide Bewegungen gedanklich zu trennen.
Wird ein Rad auf einer Ebene gerollt, so bewegt es sich bei einer Umdrehung
des Rades gerade um einen Umfang (des Rades) geradeaus weiter. Für beide Teilbewegungen wird die gleiche Zeit benötigt. Die geradlinige Geschwindigkeit vT des Rades ist also gerade so groß wie die Bahngeschwindigkeit vB
eines Punktes auf der Lauffläche des Rades:
Formel 29: vT = vB (Rollbedingung)
Bei bekanntem Radradius kann aus der Winkelgeschwindigkeit (bzw. Drehzahl) des Rades also die Translationsgeschwindigkeit berechnet werden und
umgekehrt.
Beispiel: Die Räder eines Autos haben einen Durchmesser von 80 cm. Es
fährt mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h. Wie groß sind Winkelgeschwindigkeit und Drehzahl der Räder? Mit welcher Drehzahl läuft der
Motor bei einer Getriebeübersetzung von 1:0,22 (Motor:Rad)?
Lösung: Die vorwärts gerichtete (Translations-) Geschwindigkeit vT ist
vT = 90/3,6 m/s = 25 m/s. Wegen der Rollbedingung vT = vB ist dies
auch die Bahngeschwindigkeit eines Punktes auf der Lauffläche. Die
m
Winkelgeschwindigkeit ist somit ω = vB / r = 25 s / 0,4 m =
62,5 rad/s
62,5 rad/s. Die Drehzahl ist dann f = ω / (2π) =
= 9,947 1/s
6,283 rad
= 596,83 Upm. Der Motor läuft dann mit einer Drehzahl von fM =
f / 0,22 = 2713 Upm.
Etwas ähnliches passiert, wenn zwei Zahnräder ineinander greifen. Auch
hierbei müssen die Zähne mit gleicher Bahngeschwindigkeit laufen, sonst
würden sie sich blockieren. Die Rollbedingung lautet hier vB1 = vB2.
Bsp. Ein Zahnrad mit 6 cm Radius dreht sich mit einer Drehzahl von
900 Upm. Es treibt ein zweites Zahnrad mit 20 cm Durchmesser an Mit
welcher Drehzahl dreht es sich (in Upm)?
Lösung: Aus vB1 = vB2 folgt mit vB = 2πf·r:
2π·f1·r1 = 2π·f2·r2
| : 2π
f1·r1 = f2·r2
Daran sieht man, dass sich Radius und Drehzahl umgekehrt proportional (antiproportional) zueinander verhalten. Nach f2 aufgelöst erhält
man:
f2 =
r1
f1
r2
f2 =
6 cm
·900 Upm = 540 Upm
10 cm
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| r2 = 10 cm
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Beim Rollen eines Rades muss die Translationsgeschwindigkeit vT gleich der
Bahngeschwindigkeit vB für einen Punkt auf der Lauffläche sein:
vT = vB (Rollbedingung)
Wenn zwei Zahnräder ineinander greifen, gilt entsprechend vB1 = vB2. Radius
und Drehzahl der Zahnräder verhalten sich dann umgekehrt proportional
zueinander.
Hausaufgabe 38
a)
Die Reifen eines Autos haben einen Radius von 28 cm. Das Auto fährt
mit einer Geschwindigkeit von 100,8 km/h. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit des Reifens? Wie oft dreht sich der Reifen in einer
Sekunde? Wie lange dauern 10 Umdrehungen des Rades und wieviel
Meter fährt das Auto dabei?
b)
Ein Zahnrad mit Radius r1 = 2,5 cm rotiert mit einer Drehzahl von f1 =
300 U/min. Mit Hilfe eines zweiten Zahnrads soll die Drehzahl auf f2 =
500 U/min heraufgesetzt werden. Wie gross muss das 2. Zahnrad sein
(in cm)?
Lösung: a)
b)
4.5 Die Radial- oder Zentripetalbeschleunigung
Obwohl die Bahngeschwindigkeit bei der gleichmäßigen Kreisbewegung konstant ist, liegt dennoch eine beschleunigte Bewegung vor. Der Grund
dafür ist, dass sich die Richtung der Bahngeschwindigkeit ständig ändert.
Auch eine Richtungsänderung der Geschwindigkeit fasst man in der Physik
als Beschleunigung auf (jede Änderung des Geschwindigkeitsvektors, und
dazu gehört eben auch die Richtung) (s. Buch S. 67, Bild 10).
Folie Radialbeschleunigung
Diese Beschleunigung muss nun ständig dafür sorgen, dass die Richtung der
Geschwindigkeit stets ein bißchen zum Kreismittelpunkt hin „umgebogen“
wird. Sie wirkt also in Richtung auf die Drehachse (s. Abb 10 auf S. 67 im
Buch.). Würde sie aufhören zu wirken, würde der Körper tangential wegfliegen. Man kann dies gut am Funkenflug bei einem Schleifstein beobachten
(s. Abb. 1 und 2 auf S. 64 im Buch).
Der Betrag dieser Radialbeschleunigung ist proportional sowohl zur Bahngeschwindigkeit als auch zur Winkelgeschwindigkeit:
ar = vB ∗ ω
Mit vB = r∗ω erhalten wir:
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Formel 30: ar = r ∗ ω2
Alternativ können wir die Radialbeschleunigung gemäß ω = vB/r auch aus
der Bahngeschwindigkeit berechnen:
Formel 31: ar = vB2/r
Beispiel: Ein Hammerwerfer dreht sich in 1,4 s einmal um sich selbst und
hält dabei die Kugel in 1,3 m Abstand von seiner Körperachse. Welche
Radialbeschleunigung erfährt die Kugel dabei?
Lösung: Die Winkelgeschwindigkeit der Kugel ergibt sich aus ω = 2π/T
mit T = 1,4 s zu ω = 4,488 rad/s. Damit ergibt sich: ar = r ∗ ω2 =
1,3 m ∗ (4,488 rad/s)2 = 26,18 m/s2. Umrechnung in g: ar=2,669 g.
Wir merken uns:
Bei einer gleichmäßigen Kreisbewegung wirkt eine zum Kreismittelpunkt hin
gerichtete Radialbeschleunigung (Zentripetalbeschleunigung). Sie sorgt
dafür, dass die Bahngeschwindigkeit ständig ihre Richtung (nicht jedoch den
Betrag) ändert und so stets tangential gerichtet ist. Der Betrag der Radialbeschleunigung ist durch ar = r∗ω2 = vB2/r gegeben. Ihre Maßeinheit ist m/s2.
Hausaufgabe 39
a) Berechnen Sie mit den Daten der Hausaufgabe 37 (auf S. 54) die Radialbeschleunigung des Mondes!
b) Eine Zentrifuge mit 30 cm Durchmesser rotiert mit 1620 U/min. Welche
Radialbeschleunigung wird am äußersten Rand der Zentrifuge erzeugt (in
m/s2 und in g)? Mit welcher Drehzahl (in Upm) müsste sie rotieren, um
eine Radialbeschleunigung von 800 g zu erzeugen?
Lösung: a)
b)
4.6 Kräfte bei der Kreisbewegung
Wir hatten bereits festgestellt, dass auf einen Körper, der sich mit konstanter Bahngeschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegt, eine zum Kreismittelpunkt wirkende Radialbeschleunigung ar wirkt (s. S. 56). Nach dem Grundgesetz der Mechanik muss demnach eine Kraft Fr auf den Körper mit der
Masse m einwirken. Diese sog. Radialkraft oder Zentripetalkraft ist zum
Kreismittelpunkt gerichtet und hat den Betrag
Formel 32: Fr = m∗ar = m∗v2 / r = m∗r∗ω2
Wenn wir eine Kugel an einem Faden im Kreis schleudern, verspühren wir in
unserer Hand eine Gegenkraft, die nach außen gerichtet ist.
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Fotokopie mit Abbildungen zur Kreisbewegung austeilen
Wenn die Radialkraft nicht mehr wirkt, weil wir den Faden loslassen, fliegt
die Kugel gemäß dem Trägheitsprinzip tangential davon (Beispiel: Schleifstein, Hammerwerfer).
Für einen mitrotierenden Beobachter (Abb. 4) stellt sich die Situation etwas
anders dar. Für ihn befindet sich die Kugel ja in Ruhe, also kann per Saldo
keine Kraft auf die Kugel wirken. Neben der Radialkraft muss es also noch
eine nach außen gerichtete, gleich starke Kraft geben, die an der Kugel
angreift und die Wirkung der Radialkraft gerade aufhebt. Diese Kraft nennt
er Zentrifugalkraft. Die Zentrifugalkraft ist eine Trägheitskraft. Trägheitskräfte treten immer in beschleunigten Bezugssystemen auf (vgl.
Hausaufgabe 31 mit dem anfahrenden Lkw).
Für Trägheitskräfte, also insbes. die Zentrifugalkraft, gilt das dritte Newtonsche Axiom nicht.
Die dabei auftretende Beschleunigung nennen wir dementsprechend Zentrifugalbeschleunigung. Auch sie ist nach außen gerichtet, betragsmäßig ist sie
gleich der Radialbeschleunigung.
Zentrifugalbeschleunigung:
az = r∗ω2
Zentrifugalkraft:
Fz = m∗az =
m∗r∗ω2
beide wirken nach außen,
d. h. von der Drehachse
weg
Wir begegnen der Zentrifugalkraft beispielsweise, wenn wir stehend in einem
Bus fahren, der in eine Kurve einbiegt. Wir bemerken dann, dass wir nach
außen geschleudert werden.
Die Zentrifugalkraft tritt auch in einer Raumfähre auf, die sich antriebslos
um die Erde bewegt. Als Radialkraft tritt hierbei die Erdanziehungskraft in
Erscheinung. Beide Kräfte heben sich gegenseitig auf, so das die Insassen
keine Schwerkraft mehr verspüren. Es herrscht dann ein Zustand der
Schwerelosigkeit, dessen kuriose Auswirkungen manchmal im Fernsehen zu
sehen sind.
Die Zentrifugalkraft tritt nur für einen Beobachter auf, der selbst an der
Drehbewegung teilnimmt. Sie ist nach außen gerichtet und hat den gleichen
Betrag wie die Radialkraft (Zentripetalkraft).
Der Darstellung im Buch S. 63 unten mag ich mich nicht anschließen.
Viele Vorgänge lassen sich mit der Zentrifugalkraft einfacher und plausibler beschreiben als mit der Zentripetalkraft. Es ist auch nicht richtig, die
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Physik BG11
Zentrifugalkraft als „Scheinkraft“ zu bezeichnen und damit zum Ausdruck
zu bringen, dass es sie ja „in Wirklichkeit“ gar nicht gibt. Die Existenz der
Zentrifugalkraft hat wohl jedes Kind schon einmal im Karussel erfahren.
Auch das katastrophale Zugunglück im Bahnhof von Brühl zeigte eindrucksvoll die Existenz der Zentrifugalkraft. Dass der Wechselwirkungspartner bei der Zentrifugalkraft fehlt, spricht nicht gegen ihre Existenz,
das ist nämlich bei allen Trägheitskräften so.
Artikel „Tanz in den Tod“ und Bilderserie des Zugunglücks bei Santiago de
Compostella
Hausaufgabe 40
Ein Schaukelkarussel mit 8 m Durchmesser braucht für eine Umdrehung
6 s. Berechnen Sie die auftretende Zentrifugalbeschleunigung (in m/s²
und in ‚g’). Welche Zentrifugalkraft wirkt auf einen 80 kg schweren Fahrgast? (Kettenlänge: l=2,5 m)
Lösung:
Rekursive Berechnung des Radius:
Genau genommen ist diese Aufgabe nicht genau lösbar, weil der Radius r
des Drehkreises, den der Fahrgast beschreibt, sicherlich größer als der
Radius des Schaukelkarussels r’ = 4 m ist (d. h. wenn es still steht). Der
Fahrgast wird ja nach außen geschleudert. Durch die Zentrifugalkraft vergrößert sich der Drehkreisradius um ∆r = r - r’. Diese Vergrößerung blieb
aber bei der „einfachen“
Berechnung der Zentrifugalkraft unberücksichtigt.
Aus der Zeichnung entnehmen wir:
∆r = l·sinα und damit
r = r’ + ∆r = r’ + l·sinα
Bei bekanntem Auslenkungswinkel α könnten wir
uns daraus den richtigen
Radius r berechnen. Den
Auslenkungswinkel erhalten
wir aus dem Kräfteparallelogramm (in diesem Fall ein Rechteck):
sinα = FZ/F = FZ/ FG²+FZ²
Um FZ zu berechnen (FZ = m r ω2) bräuchten wir aber schon den richtigen
Radius. Den richtigen Radius können wir aber nur berechnen, wenn wir die
Zentrifugalkraft schon kennen. Der Volksmund würde sagen: Da beißt sich
die Katze in den Schwanz.
Das Problem lässt sich nur schrittweise lösen. Wir berechnen zunächst FZ
mit r0=r’ (=4 m), ignorieren also zunächst die Auslenkung ∆r. Daraus
berechnen wir einen ersten Näherungswert für den Auslenkungswinkel α
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Physik BG11
bzw. sin α und damit dann einen ersten Näherungswert für die Auslenkung
∆r. Das gibt uns einen ersten Näherungswert r1 für r. Mit diesem (besserem) Radius wiederholen wir die Berechnung und erhalten dann einen
zweiten Näherungswert r2. Die Hoffnung ist nun, dass wir durch mehrmalige Wiederholung des Verfahrens allmählich zu einem stabilen r-Wert
kommen (mathematisch gesprochen sollten die r-Werte gegen einen
Grenzwert streben). Das Verfahren wird dann abgebrochen, wenn eine
hinreichende Genauigkeit erreicht ist. Beim Radius könnten wir uns
beispielsweise mit einer Genauigkeit von 1 cm zufrieden geben.
Durch Einsetzen von sinα in r erhalten wir:
rneu = r’ + l·FZ/ FG²+FZ²
Indem wir FZ vom Zähler in den Nenner bringen und unter die Wurzel
ziehen, erhalten wir:
1
rneu = r’ + l· 1
F Z·
= r’ +
FG²+FZ²
l
1
FZ2·(FG²+FZ²)
= r’ +
l
2
FG + 1
 FZ 
Für den Quotienten FG/FZ lässt sich durch Einsetzen der entsprechenden
Formeln schreiben:
g/ω2
mg
g
FG/FZ =
=
=
ralt
m ralt ω²
ralt∗ω2
Dafür können wir aber nur den „alten“ Wert für r heranziehen. Deswegen
haben wir schon gleich ralt geschrieben. Da g/ω2 konstant ist, haben wir
diesen Term in den Zähler gesetzt.
Wenn wir dies auch noch in die Formel für rneu einsetzen, erhalten wir eine
sog. Rekursionsformel für r:
rneu = r’ +
l
2 2
g/ω 

 +1
 ralt 
oder in die Sprache der Mathematik übersetzt:
r0 = 4 m
rn = r0 +
l
2 2
g/ω 
, n=1, 2, 3…

 +1
 rn-1 
Die Berechnung ist mit einem zweizeiligen Taschenrechner sehr einfach,
wenn wir den Antwortspeicher benutzen. Den Wert g/ω2 rechnen wir vorher aus und speichern ihn in A ab (8,946 m). Den ersten Wert für ralt, also
r0 = 4 m, speichern wir in Ans ab:
4=
Nun liefert uns die obige Formel nacheinander die Näherungswerte für r:
4 + 2.5/√(([Rcl A]/Ans)²+1) =
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Physik BG11
n
rn
0
4
1
5,0205
2
5,224
3
5,261
4
5,267
5
5,268
Damit ist schon eine Genauigkeit von 1 cm erreicht.
Wir erhalten damit:
aZ = r·ω² = 5,778 m/s² = 0,5889g;
FZ = m∗aZ = 462,2 N;
sinα = (rn-r0)/l = 0,5074 ⇒ α = 30,49°
Damit hätten wir nun mit ein bißchen Mühe alle fraglichen Größen mit
ausreichender Genauigkeit berechnet. Die Formel für r zeigt uns außerdem, dass der Radius und somit der Auslenkungswinkel von dem Gewicht
des Fahrgastes unabhängig sind. Deswegen werden bei einem Schaukelkarussel alle Schaukeln gleich weit nach außen geschleudert, egal, ob ein
Kind oder ein Erwachsener in der Schaukel sitzt.
Die Zentripetalkraft ist keine „wirkende“ Kraft, sondern eine zu fordernde
Kraft, um die Kreisbahn des Körpers aufrechtzuerhalten. Es muss eine Kraft
in dieser Stärke wirken, die dann die Zentripetalkraft aufbringt. Das kann die
Zugkraft eines Seils sein (s. Abbildungen zur Kreisbewegung, Abb. 1). Es
kann auch die Erdanziehungskraft sein, wenn sich ein Satellit um die Erde
bewegt.
Beispiel: Ein Satellit fliegt auf einer kreisförmigen, polaren Umlaufbahn in 18
Stunden um die Erde. In welcher Höhe muss er fliegen? Wie schwer darf
er maximal sein?
Lösung: Die Zentripetalkraft wird durch die Erdanziehungskraft aufgebracht. Die Erdanziehungskraft darf nicht nach der einfachen Formel
FG = m∗g berechnet werden, da zu erwarten ist, dass der Satellit in großer Höhe über der Erde fliegt. Wir müssen stattdessen das Allgemeine
Gravitationsgesetz von Newton (Formel 19, s. S. 41) verwenden:
m1∗m2
FG = G∗
r2
Gewichtskraft des Satelliten der Masse m1 (m2=mE)
Im Satelliten selbst würden wir sagen: Die Erdanziehungskraft (nach
innen gerichtet) gleicht die Zentrifugalkraft (nach außen gerichtet)
gerade aus, es herrscht ein Kräftegleichgewicht. Von der Erde aus
betrachtet sagen wir, dass die Erdanziehungskraft die Zentripetalkraft
(nach innen gerichtet) aufbringt. In beiden Fällen müssen die Kräfte
gleich stark sein:
FZ = FG
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Physik BG11
m1∗m2
m1∗r∗ω2 = G∗
r2
:m1
m2
r∗ω2 = G∗ 2
r
2
*r
r3∗ω2 = G∗m2
:ω²
r3 = G∗m2 / ω2
3
r=
3
_
G∗m2/ω2
Aus Formelsammlung: G = 6,6726∗10-11 m3/(kg s2). Die Erdmasse (aus
Anhang) ist m2 = 5,9736∗1024 kg.
Einheitennachweis: ω wird in rad/s angegeben, also physikalisch 1/s. ⇒
m³ ∗ kg
Radikand:
=m³
kg∗s² ∗ 1/s²
Berechnung von ω: ω = 2 π / T = 2π /(18∗3600 s) = 9,696∗10-5 rad/s
3
Berechnung von r: r = 4,239∗1022 = 34,87∗106 m = 34870 km.
Die Masse des Satelliten ist dabei irrelevant!
Der Radius wird vom Erdmittelpunkt aus gemessen. Um die Höhe über
der Erdoberfläche zu erhalten, muss der Erdradius abgezogen werden:
Erdradius (aus Anhang): rE = 0,5∗12756,3∗103 m = 6,378∗106 m
h = r – rE = 34,87∗106 m - 6,378∗106 m = 28,49∗106 m = 28490 km.
Hausaufgabe 41
In welcher Höhe muss ein auf einer äquatorialen Bahn umlaufender geostationärer Satellit um die Erde fliegen? Er dreht sich dabei mit derselben
Winkelgeschwindigkeit wie die Erde selbst, so dass er von der Erde aus
betrachtet immer über dem gleichen Ort zu stehen scheint.
Lösung:
5 Mechanische Arbeit und Energie
5.1 Physikalische Definition von Arbeit und Energie
5.1.1 Definition der Energie
Buch S. 46: Wir wissen aus dem Alltag, dass uns die Energie Arbeit abnehmen kann (Beispiel: Förderband). Arbeit und Energie hängen in der Tat eng
miteinander zusammen. Sie werden beide in der Einheit Joule gemessen. Ein
angehobenes Gewicht kann z. B. Arbeit verrichten, indem es beim Fallen
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einen anderen Körper zertrümmert (Deformationsarbeit) oder über eine
Wippe einen anderen Körper hochschleudert (Hubarbeit) oder über eine
Umlenkrolle und einen Faden einen Körper beschleunigt (Beschleunigungsarbeit). Wir sagen dann, das Gewicht habe Energie. Ob das angehobene
Gewicht tatsächlich eine dieser Arbeiten ausführt oder eine ganz andere oder
gar keine, ist nicht entscheidend. Entscheidend ist vielmehr seine Fähigkeit,
eine derartige Arbeit zu verrichten. Ist das Gewicht zu Boden gefallen, hat es
diese Fähigkeit nicht mehr, seine Energie ist aufgebraucht. In der Physik
verstehen wir unter Energie gerade diese Fähigkeit zur Verrichtung von
Arbeit.
Unter Energie versteht man die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Energie und
Arbeit haben beide die Maßeinheit Joule (J).
Hausaufgabe 42
Lesen Buch S. 46 Grundlagen mit schriftl. Zusammenfassung!
Damit stehen wir schon vor der nächsten Frage: Was ist eigentlich Arbeit?
5.1.2 Der Begriff der Arbeit
Der Begriff der Arbeit ist uns aus dem Alltagsleben bereits vertraut. Wir verbinden mit ihm Kraftaufwand, Schweißtropfen und Erschöpfung. In der Physik müssen die verwendeten Begriffe jedoch genau definiert und meßbar
sein (letzteres ist z. B. bei geistiger Arbeit gar nicht gegeben). Wir fassen
den Begriff Arbeit daher enger und legen zunächst fest:
Arbeit im physikalischen Sinne wird immer dann verrichtet, wenn eine Kraft
längs eines Weges wirkt.
Die Kraft muss also in Richtung des Weges wirken. Beispiele:
•
Wir heben einen Koffer hoch. Die Kraft wirkt in Wegrichtung, also wird
Arbeit verrichtet.
•
Wir tragen den Koffer und gehen dabei. Die Gewichtskraft des Koffers
zieht an unserer Hand nach unten, die Bewegung erfolgt jedoch senkrecht
dazu. Also wird physikalisch keine Arbeit verrichtet, obwohl wir möglicherweise schwer zu tragen haben.
•
Wir stemmen uns mit aller Kraft gegen eine einsturzgefährdete Mauer.
Auch hierbei wird keine Arbeit im physikalischen Sinne verrichtet, solange
die Mauer nicht kippt. Es wird nämlich kein Weg zurückgelegt.
•
Auch die Radialkraft, die einen rotierenden Körper auf seiner Kreisbahn
hält, leistet keine Arbeit, da sie nicht in Richtung des Weges wirkt, sondern immer senkrecht dazu.
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•
Beim Spannen eines Expanders liegt Arbeit nur solange vor, wie die
Spannbewegung andauert. Wenn man dagegen den gespannten Expander
in dieser Form unverändert hält, kostet das zwar auch Kraft, es wird aber
keine Arbeit mehr verrichtet, da kein Weg mehr zurückgelegt wird.
An diesen Beispielen wird bereits deutlich, dass sich der in der Physik
benutzte Arbeitsbegriff vom dem im Alltagsleben mitunter deutlich unterscheidet.
5.1.3 Definition der Arbeit
Buch S. 48: Eine Arbeit wird an einem Körper verrichtet, wenn eine Kraft
auf ihn einwirkt und den Körper dabei verschiebt. Wir nehmen dabei an,
dass die Kraft konstant ist und in Richtung der Verschiebung wirkt.
Anmerkung: Im Gegensatz zu Energie und Arbeit hat die Kraft nicht nur
eine Stärke, sondern auch eine Wirkrichtung. Zwei gleich starke Kräfte in
entgegengesetzter Richtung können sich in ihrer Wirkung aufheben. Kräfte
sind gerichtete Größen und werden Vektoren genannt. Ungerichtete
Größen wie Energie oder Masse heißen dagegen Skalare.
Die Arbeit ist umso größer, je größer die Kraft F und der zurückgelegte Weg
∆s ist. Es ist daher sinnvoll, die Arbeit als Produkt aus Kraft und Weg zu
definieren. Für die Arbeit wird das Formelzeichen W (work) benutzt (im
Buch: ∆E). Da die Kraft in Newton und die Wegstrecke in Meter gemessen
wird, ergibt sich für die Arbeit die Maßeinheit Nm. Wir halten fest:
Formel 33: W = F∗∆s in der Einheit: 1 J = 1 Nm
Somit kann die Einheit Joule auch als Nm angegeben werden. Die Arbeit von
1 Joule (genauer 0,981 J) wird verrichtet, wenn wir eine Tafel Schokolade
(100 g) einen Meter hochheben.
Unter der Arbeit W versteht man das Produkt aus der in Richtung des Weges
∆s wirkenden Kraft F und dem Weg ∆s:
W = F∗∆s
m²
Die Maßeinheit der Arbeit ist das Joule (J), wobei gilt 1 J = 1 Nm = 1 kg
.
s²
Bei der angegebenen Formel wird vorausgesetzt, dass die Kraft konstant
ist.
Beispiel: Um ein Auto auf konstanter Geschwindigkeit zu halten, muss der
Motor ständig eine Kraft von 320 N aufbringen. Für eine Fahrtstrecke von
1 km wird dann eine Arbeit von 320 000 J vom Motor verrichtet.
Trägt man in ein Diagramm die Kraft nach oben und den Weg, mit 0 m
beginnend, nach rechts auf, läßt sich die Arbeit geometrisch als Rechteckfläche deuten. Die Fläche wird durch die beiden Achsen, die Gerade
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F = const. und die senkrechte Gerade, die den jeweils erreichten Weg s darstellt, begrenzt (s. Abb. 1). Eine derartige Darstellung nennt man Arbeitsdiagramm.
Fotokopie Arbeitsdiagramm austeilen.
Ist die Kraft nicht mehr konstant, so kann man die Arbeit näherungsweise
ermitteln, indem der Gesamtweg s in kleine Teilstücke ∆si (i = 1, 2, 3...)
eingeteilt wird, innerhalb derer die Kraft näherungsweise konstant (= Fi) ist
(s. Abb. 2, rechts). Die Arbeit ist dann die Summe aller Teilrechtecke mit der
Teilarbeit Wi = Fi∗∆si. Je kleiner ∆s gewählt wird, desto genauer läßt sich die
Arbeit ermitteln.
Hausaufgabe 43
a)
Ein Körper wird längs der Strecke ∆s = 20 m mit der konstanten
Kraft F = 15 N bewegt. Welche Arbeit wird durch die Kraft dabei verrichtet? Zeichnen Sie dazu ein Arbeitsdiagramm!
b)
Lesen im Buch S. 48 „Grundlagen“ mit schriftl. Zusammenfassung
und S. 49 Kasten 3!
c)
Bestimmen Sie in dem ausgeteilten Arbeitsdiagramm die
Gesamtarbeit (Punkte alle 10 Meter).
Lösung: a) c)
Im Gegensatz zum Alltagsleben ist es in der Physik üblich, auch mit negativer Arbeit zu rechnen. In diesem Fall wirkt die Kraft genau entgegengesetzt zur Bewegung des Körpers. An dem bewegten Körper wird dann keine
Arbeit verrichtet, sondern es wird ihm Arbeit entzogen, d. h. der Körper
selbst verrichtet Arbeit.
Beispiel: Ein bewegter Wagen wird durch Muskelkraft abgebremst. Die am
Wagen angreifende Kraft wirkt entgegen seines Weges, dem Wagen
wird Arbeit entzogen.
Die Einführung einer negativen Arbeit ist deswegen sinnvoll, weil, wie wir
gesehen haben, Kräfte immer paarweise auftreten. Daher tritt auch die
Arbeit paarweise auf. Der eine Körper leistet Arbeit, ihm wird also Arbeit
entzogen (negative Arbeit). An dem anderen Körper wird Arbeit verrichtet,
ihm wird also Arbeit zugeführt (positive Arbeit). Mit der Energie ausgedrückt: Die Energie, die der eine Körper abgibt, nimmt der andere auf. Die
Energie fließt dabei gewissermaßen vom einen Körper auf den anderen.
Wenn wir das Beispiel mit dem Wagen wieder aufgreifen, können wir sagen,
dass an der Person, die den Wagen abbremst, Arbeit verrichtet wird (Kraft
wirkt in Richtung des Weges, also positive Arbeit). Diese Arbeit wird von
dem Wagen geleistet (negative Arbeit).
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5.2 Winkel zwischen Kraft und Weg
Im allgemeinen Fall liegt ein beliebiger Winkel γ zwischen der Richtung, in
der die Kraft wirkt, und der Wegrichtung (Buch S. 48). In diesem Fall müssen wir zunächst die Kraft bestimmen, die in Wegrichtung wirkt, denn nur
dieser Anteil der Kraft trägt zur Arbeit bei (s. Fotokopie „Arbeitsdiagramm“,
Abb. 3).
Man nennt einen solchen Anteil der Kraft auch Komponente der Kraft. Geometrisch erhalten wir die in Wegrichtung wirkende Kraftkomponente, indem
wir zunächst einen Pfeil zeichnen, der in Richtung der Kraft zeigt und dessen
Länge proportional zum Betrag der Kraft ist. (Einen solchen Kraftpfeil nennt
man auch Vektor.) Projizieren wir diesen Pfeil nun auf die Wegrichtung, so
erhalten wir die Kraftkomponente in Wegrichtung. Rechnerisch ergibt sich
diese Komponente, indem wir die Kraft mit dem Kosinus des von Wegrichtung und Kraftrichtung eingeschlossenen Winkels multiplizieren:
Fp = F∗cos γ
F ist dabei die gesamte Kraft, Fp ist die Komponente in Wegrichtung. Im
Winkelbereich 90˚ ≤ γ ≤ 270˚ nimmt der Kosinus negative Werte an, Fp wirkt
dann entgegen der Wegrichtung s und wird daher negativ, so dass sich auch
eine negative Arbeit ergibt. Da der Kosinus betragsmäßig stets kleiner oder
gleich 1 ist, ist auch Fp stets kleiner oder gleich F. Eine Kraftkomponente
kann nicht größer als die gesamte Kraft werden.
Für die Arbeit ergibt sich somit:
Formel 34: W = Fp ∗ ∆s = F ∗ ∆s ∗ cos γ
Da der Kosinus bei einem Winkel von 90˚ Null ist, sieht man hier auch formelmäßig, dass eine Kraft, die senkrecht zum zurückgelegten Weg wirkt,
keine Arbeit leistet. Dies kommt z. B. vor, wenn wir im Gehen einen Koffer
tragen. Die Schwerkraft zieht den Koffer nach unten, die Bewegungsrichtung
ist jedoch horizontal. Kraft und Bewegungsrichtung schließen einen rechten
Winkel ein, also wird keine Arbeit geleistet. Ein weiteres Beispiel wäre ein
Satellit, der die Erde auf einer Kreisbahn umrundet. Auch hier wirkt die Kraft
senkrecht zum Weg.
Wenn die Kraft bereits in Richtung des Weges wirkt, ist γ = 0 und cos γ = 1,
so dass sich dann wieder die einfache Formel W = F∗∆s ergibt.
Beispiel: Ein Handwagen wird mit einer Kraft von 60 N gezogen (s. Abbildung 3). Der Winkel des Zugseils gegen die Horizontale sei 30˚. In
horizontaler Richtung wirkt dann nur die Kraft
Fp = 60 N ∗ cos 30˚ = 60 ∗ 0,866 N ≈ 52 N
Um den Wagen 1 m weit zu ziehen, wird also eine Arbeit von 52 Nm
verrichtet.
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Wirkt die Kraft F nicht genau in Wegrichtung, sondern in einem Winkel γ zu
ihr, so ist für die Arbeit nur die Komponente FP der Kraft relevant, die in
Wegrichtung wirkt. Die geleistete Arbeit berechnet sich dann gemäß W =
F ∗ ∆s ∗ cos γ
Hausaufgabe 44
Ein Schlepper zieht ein Frachtschiff mit einer Zugkraft von 5 kN. Der
Schlepper fährt 50 m vor dem Schiff. Das Schlepptau ist am Schlepper
0,5 m über dem Wasserspiegel angebracht, am Frachter aber 11 m.
a) Fertigen Sie eine Skizze an!
b) Mit welcher Kraft wird der Frachter vorwärts gezogen?
c) In welcher Richtung wirken sonst noch Kräfte auf das Frachtschiff?
d) Fertigen Sie eine maßstäbliche Zeichnung der Kräfte an!
e) Welche Arbeit leistet der Schlepper entlang einer Strecke von 240 m?
Lösung:
5.3 Die Hubarbeit
Buch S. 49: Hubarbeit wird verrichtet, wenn ein Körper auf der Erdoberfläche gegen die Schwerkraft angehoben wird. Hat der Körper die Masse m,
so wirkt auf ihn die nach unten gerichtete Gewichtskraft
FG = m∗g
Um ihn mit einer konstanten Geschwindigkeit um die Höhe ∆h zu heben, ist
eine gleich große Gegenkraft erforderlich, die nach oben weist (am Anfang
sogar etwas mehr, um ihn in Bewegung zu setzen). Die geleistete Arbeit ist
dann WH = F∗∆s mit ∆s=∆h (im Buch wird W mit ∆E bezeichnet!):
Formel 35: WH = m∗g∗∆h
Die genannten Formeln gelten nur in der Nähe der Erdoberfläche, d. h. h soll
klein gegenüber dem Erdradius sein (geschrieben h « RE). Nur dann kann g
als konstant angesehen werden.
Beispiel: Zum Heben eines Sacks Zement (50 kg) um einen Meter ist folgende Arbeit nötig:
WH = 50 kg ∗ 9,81 m/s2 ∗ 1 m = 490,5 kg m2/s2 = 490,5 J
Um sich die „Arbeit“ zu erleichtern,
werden schwere Gegenstände oft
über geneigte Ebenen nach oben
gezogen. Der Neigungswinkel der
geneigten Ebene sei α. Die (nach
unten gerichtete) Gewichtskraft
FG = m∗g des Körpers muss durch
eine nach oben weisende,
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ge s
Län
FH
α
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FG
∆h
Fs
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Physik BG11
betragsgleiche Gegenkraft FG’ ausgeglichen werden. Entlang der geneigten
Ebene wirkt dann nur ein Teil dieser Kraft FH (Hangabtriebskraft), der sich
aus der Projektion von FG auf die Ebene ergibt:
FH = FG∗cos(90˚-α) = m∗g∗sin α
Da sin α 1 ist, ist somit nur ein kleiner Teil der Gewichtskraft aufzuwenden. Dafür muss jedoch ein längerer Weg s entlang der geneigten Ebene
zurückgelegt werden. Für die Arbeit ergibt sich dann
WH = FH∗ s = m∗g∗s∗sin α
Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass wir bei der Bewegung keine
Reibungskräfte berücksichtigen. In Wirklichkeit kämen diese natürlich noch
dazu.
Beispiel: Ein Körper der Masse m=0,4 kg soll eine um 30˚ geneigte Ebene
von 3 m Länge hinaufgezogen werden. Welche Arbeit ist zu leisten?
Lösung: Es ist in diesem Fall sin(30˚) = 0,5. Für die Arbeit ergibt sich
dann:
WH = 0,4 kg ∗ 9,81 m/s2 ∗ 3 m ∗ 0,5 = 5,886 Nm
Hausaufgabe 45
Ein Gewicht von 35 kg soll durch einen Elektromotor entlang einer geneigten Ebene hochgezogen werden. Der Motor kann maximal eine Kraft von
60 N erbringen. Wie stark darf die Ebene höchstens geneigt sein? Welche
Arbeit leistet er, wenn die Ebene 12 m lang ist? Wie schwer darf das
Gewicht höchstens sein, damit der Motor es senkrecht hochziehen kann?
Lösung:
Auf arcsin hinweisen!
Die Weglänge s lässt sich leicht aus der Höhe ∆h bestimmen, da ja sin α =
∆h/s ist. Folglich ist
s = ∆h / sin α
Ein kleiner Neigungswinkel führt also zu einem langen Weg s (und zu einer
kleinen Kraft FH).
Setzen wir die Formel für s in die Formel für WH ein, so erhalten wir:
WH = m∗g∗(∆h / sin α)∗sin α = m∗g∗∆h
Somit ergibt sich die gleiche Arbeit wie bei senkrechter Anhebung des Körpers. Die Arbeit im physikalischen Sinn kann man sich dadurch nicht erleichtern! Was wir an Kraft einsparen, müssen wir an Wegstrecke wieder
aufwenden. Der Vorteil der geneigten Ebene liegt also nur darin begründet,
dass weniger Kraft aufgewandt werden muss.
Dies kann allerdings ein entscheidender Vorteil sein. Wenn man z. B. mit
dem Auto einen Berg hochfahren muss, würden viele Autos und insbesondere Lkw’s nicht genügend Kraft aufbringen, wenn die Straße geradewegs
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Physik BG11
nach oben führen würde. Man führt die Straße daher als Serpentine aus, um
den Steigungswinkel zu verringern und ebenso den Kraftaufwand. Der Weg
entlang der Serpentine ist dadurch aber länger geworden (man denke sich
die Serpentinenstraße dazu auseinandergezogen).
Modell Serpentinenstraße
Bereits die alten Ägypter kannten diesen Trick und konnten auf langen
geneigten Ebenen die schweren Steinblöcke auf die Pyramiden ziehen.
Um einen Körper mit der Masse m gegen die Gewichtskraft um die Höhendifferenz ∆h zu heben, ist die Hubarbeit WH = m∗g∗∆h erforderlich. Dabei
ist es gleichgültig, ob die Hebung senkrecht oder schräg erfolgt.
In einem Arbeitsdiagramm stellt sich die
Hubarbeit als rechteckige Fläche dar.
F
Hausaufgabe 46
Das aus dem Walchensee ausströmenF = m g = const.
de Wasser fließt durch Rohre und
durch Kraftwerksturbinen in den 200 m
tiefer gelegenen Kochelsee. Wieviel
W = mg ∆ h
Liter Wasser müssen fließen, um an
den Turbinen eine Arbeit von 1 kWh zu
verrichten? (Lösungshinweis: Zur Umrechnung von kWh in J s. Formelh
∆h
sammlung. Ein Liter Wasser wiegt 1
kg.) Wieviel Wasser müsste fließen, wenn die Turbinen mechanische
Arbeit in elektrische Arbeit mit einem Wirkungsgrad von 0,3 umwandeln?
Lösung: WH =
Umgekehrt verrichtet der Körper selbst Arbeit, wenn er auf der geneigten
Ebene von oben nach unten herunterrutscht oder senkrecht fällt. Er kann
dann dadurch über einen Faden einen Wagen ziehen oder beim Aufprall eine
Deformation hervorrufen. Auch dabei wird Arbeit geleistet.
5.4 Die potenzielle Energie oder Lageenergie
Wir haben gesehen, dass beim Heben eines Körpers auf ein höheres Niveau
gegen die Schwerkraft Arbeit, die Hubarbeit, verrichtet werden muss. Umge11.10.15, 23:26
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Physik BG11
kehrt kann der Körper beim Herunterfallen eine gleich große Arbeit verrichten. Er besitzt durch das Hochheben also die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.
Diese Fähigkeit hatten wir mit Energie bezeichnet. Unter der potenziellen
Energie (Formelzeichen Epot) verstehen wir die Arbeitsfähigkeit, die ein Körper aufgrund seiner Lage (Höhe) besitzt. Die Hubarbeit, die beim Hochheben
nötig ist, wird als potenzielle Energie in dem Körper gespeichert.
Die Energie wird generell so gebildet, dass sich die Arbeit, die während eines
Vorgangs verrichtet wird, aus der Differenz der Energien nach bzw. vor dem
Vorgang ergibt. Da wir für die Hubarbeit die Formel
W = m∗g∗∆h
gefunden hatten, liegt es nahe, die Lageenergie durch die Größe m∗g∗h zu
beschreiben. In der Nähe der Erdoberfläche gilt deshalb für die potenzielle
Energie die Formel:
Formel 36: Epot = m g h
Im Gegensatz zur Hubarbeit tritt hier nicht die Höhendifferenz ∆h, sondern
die Höhe h selbst auf. Die Höhe h muss auf ein Ausgangs- oder Nullniveau
bezogen werden („Wo ist h=0?“). Dieses Ausgangsniveau braucht nicht die
Erdoberfläche oder das Meeresniveau zu sein, sondern es kann willkürlich
nach praktischen Gesichtspunkten festgelegt werden. Es kann sich beispielsweise um die Oberfläche unseres Experimentiertisches oder den Fußboden im Klassenraum handeln. Bezogen auf dieses Nullniveau kann die
potenzielle Energie sowohl positive (h>0) als auch negative (h<0) Werte
annehmen.
Hausaufgabe 47
a)
Ein Handwagen wird mit einer horizontalen Kraft von 50 N vorwärts
gezogen. Wieviel Arbeit wird geleistet, wenn er 10 m weit gezogen
wird?
b)
Welche Höhe müsste ein Stein mit 0,6 kg Gewicht haben, um die
gleiche potenzielle Energie zu erhalten wie die Arbeit aus Teil a?
Lösung: a); b)
Bsp.: Wir legen das Nullniveau auf die Oberfläche eines Tisches fest. Die
Tischfläche befinde sich 0,8 m über dem Fußboden. Auf dem Fußboden
liege ein Körper mit der Masse m, den wir auf eine Höhe von 1 m über
die Tischfläche anheben wollen. Vor dem Heben hat der Körper dann
eine potenzielle Energie
Epot,vor = –m g∗ 0,8 m
Da m und g beides positive Größen sind, ergibt sich ein negativer Wert.
Nach dem Heben ist die potenzielle Energie gegeben durch
Epot,nach = m g∗1 m
Welche Hubarbeit wird beim Heben des Körpers geleistet? Wir wissen
bereits, dass es für die Hubarbeit nur auf die Höhendifferenz ∆h, um die
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Physik BG11
der Körper angehoben wird, ankommt. Die Höhendifferenz ist in unserem Beispiel die Differenz zwischen dem oberen Punkt und dem unterem Punkt, also
∆h = 1 m – (-0,8 m) = 1,8 m
Die Hubarbeit ist also
WH = m g∗1,8 m = m g∗1 m – (–m g∗0,8 m) = Ep,nach – Ep,vor
Wir ändern nun unser Nullniveau und legen es auf den Fußboden fest.
Bezogen auf dieses Nullniveau ergeben sich andere Werte für die
potenzielle Energie:
Epot,vor = m g∗0 m = 0
Epot,nach = m g∗1,8 m
Beide Energiewerte sind dadurch um m g∗0,8 m größer geworden.
Die Hubarbeit ist von dieser Änderung nicht betroffen, denn die
Höhendifferenz hat sich dadurch nicht geändert:
WH = m g∗1,8 m = Epot,nach – Epot,vor
Was lernen wir daraus?
•
Wenn wir Zahlenwerte der potenziellen Energie angeben oder berechnen
wollen, muss immer klargestellt werden, welches Nullniveau wir dabei
zugrunde legen.
•
Das Nullniveau, das wir zur Berechnung der potenziellen Energie heranziehen, kann willkürlich nach dem Gesichtspunkt der Zweckmäßigkeit
festgelegt werden. Ist das Nullniveau aber erst einmal gewählt, muss
man alle Höhenangaben darauf beziehen. Das Nullniveau muss aber nicht
mit dem Nullpunkt unseres Koordinatensystems übereinstimmen
•
Der absolute Zahlenwert der potenziellen Energie ist physikalisch nicht
relevant. Wir können ohne weiteres zu allen potenziellen Energien eine
Konstante addieren (oder subtrahieren), was der Änderung des Nullniveaus entspricht. Physikalisch ist dies bedeutungslos.
•
Energiewerte können zwar berechnet, aber nicht direkt gemessen werden. Sie ist eine Zustandsgröße, die einen bestimmten Zustand angibt.
Im Falle der potenziellen Energie besteht der Zustand eines Körpers
darin, eine bestimmte Höhenlage zu haben.
•
Physikalisch bedeutsam und direkt messbar ist allein die Arbeit. Die verrichtete Arbeit ergibt sich aus der Differenz der potenziellen Energien
nach und vor der Hebung. Bei der Bildung der Differenz zweier potenzieller Energien fällt eine hinzuaddierte Konstante wieder heraus. Physikalisch bedeutet dies, dass das einmal gewählte Nullniveau für die Arbeit
irrelevant ist.
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Die Energie ist eine Zustandsgröße. Aus ihr lässt sich die Arbeit für einen
Prozess berechnen, indem man die Energie nachher (Zustand 2) und vorher
(Zustand 1) bestimmt und die Differenz bildet: W = ∆E = Enachher-Evorher.
Praktisch wird man meistens versuchen, das Nullniveau dort festzulegen, wo
auch die Hebung des Körpers beginnt. Dann ergibt sich für Hubarbeit und
potenzielle Energie die gleiche Formel WH bzw. Epot = m g h, so dass beide
Größen zahlenmäßig übereinstimmen. Wir merken uns:
Unter der potenziellen Energie eines Körpers der Masse m versteht man die
Arbeitsfähigkeit, die der Körper aufgrund seiner Höhenlage besitzt. In der
Nähe der Erdoberfläche gilt die Formel Epot = m g h. Das Nullniveau, auf das
sich h bezieht, kann beliebig gewählt werden. Physikalisch bedeutsam ist nur
die Arbeit, die sich aus der Differenz der potenziellen Energie nachher und
vorher ergibt.
Mit der Energie verhält es sich ähnlich wie mit dem Kontostand. Wir können
uns für den Kontostand direkt nichts kaufen, aber er versetzt uns in die
Lage, uns etwas zu kaufen. Angenommen, wir hätten ein Guthaben von
1000 €. Wenn wir nun einen Discman zu 100 € kaufen und mit einer Kreditkarte bezahlen, werden uns 100 € vom Konto abgebucht, verbleiben 900 €.
Dieser Kauf entspricht dann der geleisteten Arbeit. Wir erhalten den Kaufbetrag, indem wir vom Kontostand nach dem Kauf den Kontostand vor dem
Kauf abziehen: 900 € -1000 € = -100 €. Umgekehrt müssen wir Arbeit leisten (Geld einzahlen), um den Kontostand (die Energie) zu erhöhen. Zahlen
wir beispielsweise 180 € ein, so haben wir am Ende ein Guthaben von
1080 €. Die Einzahlung ergibt sich dann wieder aus der Differenz: 1080 € 900 € = 180 € (geleistete Arbeit).
Hausaufgabe 48
Berechnen Sie die potenzielle Energie eines Körpers von 200 g Masse, der
bezogen auf den Fußboden in einer Höhe von 0 m, 1 m und 1,5 m liegt.
Berechnen Sie daraus die Hubarbeit für die Anhebung von 0 m auf 1 m und
von 1 m auf 1,5 m. Nun wird das Nullniveau auf die Zimmerdecke gelegt, die
2,4 m über dem Fußboden ist. Führen Sie die gleichen Berechnungen mit
diesem Nullniveau noch einmal aus. Tragen Sie die Werte in eine Tabelle
nach folgendem Schema ein. Bilden Sie die Differenz der potenziellen Energien in gleicher Höhe in der letzten Spalte.
Tabelle gelöscht!
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5.5 Die Beschleunigungsarbeit
Buch S. 49: Unter der Beschleunigungsarbeit versteht man die Arbeit, die
aufgebracht werden muss, um die Geschwindigkeit eines Körpers zu erhöhen, ihn also zu beschleunigen. Wir betrachten hier den Sonderfall einer
gleichmäßig beschleunigten Bewegung und sehen (wie immer) von Reibungseffekten ab. Um eine Beschleunigung a (=const.) zu erzielen, muss auf
den Körper die konstante Kraft
F=ma
wirken. Wenn der Körper die Wegstrecke ∆s zurücklegt, muss die Arbeit
W = F ∆s = m a ∆s
verrichtet werden. Wenn der Körper aus dem Ruhezustand konstant
beschleunigt wird, gelten die Bewegungsgesetze
v=at
s = s0 + ½ a t2
⇒ ∆s = ½ a t2
Wenn wir diese Formel für ∆s in den oben gefundenen Ausdruck für die
Arbeit einsetzen, ergibt sich
W = m a ½ a t2 = ½ m (a t)2
Nun ist a∗t aber gerade v, so dass wir erhalten:
Formel 37: WB = ½ m v2
Es lässt sich zeigen, dass diese Formel auch dann gilt, wenn die Beschleunigung nicht gleichmäßig erfolgt. Die Beschleunigungsarbeit ist von der Art der
Beschleunigung und deren zeitlichem Ablauf unabhängig. Sie hängt vielmehr
nur von der Masse m des Körpers und der Endgeschwindigkeit v ab. D. h.
eine starke Beschleunigung (kurzer Weg) kostet die gleiche Arbeit wie eine
geringe Beschleunigung (langer Weg)!
Beispiel: Ein Auto mit 1,6 t Masse beschleunigt aus dem Stand auf eine Geschwindigkeit von 20 m/s (=72 km/h). Dafür muss die Beschleunigungsarbeit
WB = ½ ∗ 1600 kg ∗ (20 m/s)2 = 800 ∗ 400 kg m2/s2 = 320 000 J = 320 kJ
aufgebracht werden.
Hausaufgabe 49
Lesen Buch S. 49 „Beschleunigungsvorgänge“ mit schriftl.
Zusammenfassung!
Hat der Körper bereits eine Anfangsgeschwindigkeit v1 und wird er dann auf
die (höhere) Endgeschwindigkeit v2 beschleunigt, so ist eine Beschleunigungsarbeit W12 nötig, die sich aus folgender Überlegung ergibt: Um die
Anfangsgeschwindigkeit v1 zu erreichen, muss vorher schon eine Beschleunigungsarbeit W01 = ½ m v12 geleistet worden sein. Diese Arbeit „enthält“ der
Körper bereits (als kinetische Energie, s. u.). Um den Körper aus dem Stand
auf die Endgeschwindigkeit v2 zu beschleunigen, wäre eine Beschleunigungs11.10.15, 23:26
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Physik BG11
arbeit W02 = ½ m v22 zu verrichten. Da die Arbeit W01 schon geleistet wurde,
verbleibt für die gesuchte Arbeit W12 nur die Differenz
Formel 38: WB12 = WB02 – WB01 = ½ m v22 – ½ m v12 = ½ m (v22 – v12)
zu leisten. Wenn die Endgeschwindigkeit v2 kleiner als v1 ist, ergibt sich eine
negative Arbeit, d. h. der Körper leistet selbst Arbeit. Dies wird z. B. in
modernen U-Bahn Waggons ausgenutzt, um beim Bremsen Strom zu erzeugen. Die Elektromotoren werden dann beim Bremsvorgang als Dynamos
geschaltet.
Der Sonderfall, dass der Körper aus dem Ruhezustand (v1=0) beschleunigt
wird, ist in dieser Formel bereits enthalten (für v2 kann dann einfach v
geschrieben werden).
30
2,5
25
2
1,5
20
1
15
0,5
10
a [m/s²]
v [m/s]
Beispiel: In Fortführung des vorigen Beispiels beschleunigt das Auto nun
weiter auf v2 = 28 m/s, um einen Lkw zu überholen. Danach verringert es
seine Geschwindigkeit wieder auf v3 = 24 m/s. v-t-Diagramm:
0
5
-0,5
0
0
20
40
60
80
-1
100
t [s]
Für die Beschleunigung von v1 = 20 m/s auf v2 = 28 m/s muss die Arbeit
WB12 = ½ ∗ 1600 kg ∗ ((28 m/s)2 – (20 m/s)2) = 800 kg ∗ (384 m2/s2) =
307 200 J = 307,2 kJ
aufgebracht werden. Bei der anschließenden Abbremsung wird eine Arbeit
WB23 = ½∗1600 kg∗((24 m/s)2 – (28 m/s)2) = 800 kg∗(-280 m2/s2) =
-166 400 J = -166,4 kJ
wieder frei (vom Auto geleistet), so dass für den Überholvorgang eine Arbeit
von
WB13 = WB12 + WB23 = 307,2 kJ + (-166,4 kJ) = 140,8 kJ
erforderlich ist. Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir die Arbeit
berechnen, um von v1 = 20 m/s auf v3 = 24 m/s zu beschleunigen:
WB13 = WB03 – WB01 = ½∗1600 kg∗((24 m/s)2 – (20 m/s)2) =
800 kg∗(176 m2/s2) =140 800 J
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Dieses Beispiel macht somit noch einmal deutlich, dass der zeitliche Ablauf
der Beschleunigung keine Rolle spielt, sondern es nur auf die Anfangs- und
Endgeschwindigkeit ankommt (d. h. auf den jeweiligen Bewegungszustand).
Um einen Körper der Masse m von der Anfangsgeschwindigkeit v1 auf die
Endgeschwindigkeit v2 zu beschleunigen, ist unabhängig von der Art der
Beschleunigung die Beschleunigungsarbeit WB12 = ½ m (v22–v12) erforderlich.
Hausaufgabe 50
Ein Auto mit der Masse m=850 kg wird aus der Geschwindigkeit
v1 = 90 km/h auf die Geschwindigkeit v2 = 30 km/h abgebremst.
a) Welche Arbeit leistet das Fahrzeug dabei?
b) Auf welche Geschwindigkeit wird es abgebremst, wenn es bei gleicher
Arbeit anfänglich eine Geschwindigkeit von 160 km/h hat?
c) Auf welche Geschwindigkeit kommt das Auto aus dem Stand, wenn an
ihm die gleiche Beschleunigungsarbeit verrichtet wird?
Lösung:
a)
b)
c)
5.6 Die Bewegungsenergie oder kinetische Energie
Die Beschleunigungsarbeit, die aufgewendet werden muss, um einen ruhenden Körper auf die Geschwindigkeit v zu bringen, ist danach als Arbeitsfähigkeit in dem Körper enthalten. Er kann z. B. aufgrund seiner Bewegung
über eine Umlenkrolle ein Gewicht hochziehen, wobei der Körper dann abgebremst wird. Diese Arbeitsfähigkeit wird Bewegungsenergie oder kinetische Energie Ekin genannt (Bild im Buch S. 6).
Wir hatten bereits gesehen, dass die Arbeit, die erforderlich ist, um einen
Körper von der Anfangsgeschwindigkeit v1 auf die Endgeschwindigkeit v2 zu
bringen, durch
WB12 = ½ m v22 – ½ m v12
gegeben ist. Da sich die Arbeit immer als Differenz der Energie nachher
minus der Energie vorher ergibt, ist es naheliegend, als kinetische Energie
den Ausdruck ½ m v2 festzulegen. Sie wird also nach der gleichen Formel
wie die Beschleunigungsarbeit berechnet, wenn v1=0 ist:
Formel 39: Ekin = ½ m v2
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Unter der Bewegungsenergie oder kinetischen Energie eines Körpers versteht man die Arbeitsfähigkeit, die der Körper aufgrund seiner Geschwindigkeit besitzt. Sie wird berechnet nach der Formel Ekin = ½ m v2.
Rein theoretisch könnten wir auch hier noch eine Konstante hinzuaddieren.
Dies ist jedoch unzweckmäßig, da es naheliegt, einem ruhenden Körper auch
die Bewegungsenergie Null zuzuordnen.
Mit Hilfe der kinetischen Energie lässt sich nun die Beschleunigungsarbeit,
die für eine Geschwindigkeitsänderung von v1 auf v2 nötig ist, leicht berechnen:
Formel 40: WB12 = Ekin,2 - Ekin,1
Dabei kann v2 auch kleiner als v1 sein, dann leistet der Körper (nicht „wir“)
Arbeit.
Bsp.: Wir greifen das vorige Beispiel wieder auf (m=1600 kg).
a)
Von v1 = 20 m/s auf v2 = 28 m/s:
Ekin,1 = 800 kg·(20 m/s)2 = 320 kJ
Ekin,2 = 800 kg·(28 m/s)2 = 627,2 kJ
WB12 = 627,2 kJ - 320 kJ = 307,2 kJ
b)
Von v2 = 28 m/s auf v3 = 24 m/s:
Ekin,3 = 800 kg·(24 m/s)2 = 460,8 kJ
WB23 = 460,8 kJ - 627,2 kJ = -166,4 kJ
c)
Von v1 = 20 m/s auf v3 = 24 m/s:
WB13 = 460,8 kJ - 320 kJ = 140,8 kJ, was sich auch ergibt als Summe
von a) und b).
Um einen Körper von der Anfangsgeschwindigkeit v1 auf die Endgeschwindigkeit v2 zu bringen, ist eine Beschleunigungsarbeit WB12 nötig, die mit Hilfe
der kinetischen Energie berechnet werden kann: WB12 = Ekin,2 - Ekin,1.
Hausaufgabe 51
a) Ein Auto (m=1600 kg) hat die Geschwindigkeit v1 = 90 km/h. Wie groß
ist dann seine kinetische Energie? Um welchen Betrag ∆v muss die Geschwindigkeit erhöht werden, wenn die kinetische Energie des Fahrzeugs
verdoppelt werden soll?
b) Aus welcher Höhe müsste ein Auto fallengelassen werden, um einen
Unfall mit einer Geschwindigkeit von 100,8 km/h zu simulieren?
Lösung:
a)
b)
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Die kinetische Energie steigt quadratisch mit der Geschwindigkeit an! Auf
Landstraßen ist Tempo 100 km/h erlaubt. Wird die Geschwindigkeit durch
ein Schild auf 80 km/h verringert, fahren trotzdem viele Autofahrer mit
unverminderter Geschwindigkeit weiter. Ihre Geschwindigkeit ist dann 25%
zu hoch, oder als Faktor ausgedrückt:
vist = 1,25·vsoll
Die Energie des Fahrzeugs ist dann
Eist = 1/2m vist2 = 1/2m (1,25vsoll)² = 1/2m 1,5625·vsoll² = 1,5625·Esoll,
das sind bereits 56,25% mehr Energie!
Fährt ein Auto mit 100 km/h statt mit 50 km/h (vist = 2vsoll), so besitzt es
bereits die vierfache Bewegungsenergie, da vist2 = 4·vsoll2. Dies erklärt,
warum Autounfälle bei hoher Geschwindigkeit so katastrophale Folgen
haben. Bei einem Zusammenstoß wird die Bewegungsenergie in andere
Energieformen, hauptsächlich Deformationsenergie, umgewandelt. Bei der
doppelten Geschwindigkeit steht dafür also bereits die vierfache Energie zur
Verfügung. Dementsprechend ist dann auch die zerstörerische Wirkung
viermal so groß. Es kommt noch hinzu, dass bei einem
Frontalzusammenstoß zweier Autos nicht ihre Geschwindigkeit in Bezug zur
Straße zählt, sondern ihre Geschwindigkeit in Bezug zueinander!
Angenommen, Sie fahren auf der Landstraße mit einer Geschwindigkeit von
60 km/h und Ihnen kommt ein Auto entgegen, dass mit 80 km/h fährt. Dann
nähert sich das andere Auto Ihnen bereits mit 140 km/h! Die beiden
Geschwindigkeiten müssen also addiert werden. Zusammenstöße mit Bussen
oder Lkw’s sind wegen der höheren Masse noch schwerwiegender. Wenigstens diese sollten Sie also tunlichst vermeiden!
Wir betrachten jetzt den Fall, dass ein Körper anfangs die Geschwindigkeit v1
besitzt und dann auf die höhere Geschwindigkeit v2 gebracht werden soll. Als
Beispiel nehmen wir an, dass der Körper eine Masse von 12 kg und eine
Anfangsgeschwindigkeit von 8 m/s besitzt. Er soll nun auf eine Geschwindigkeit von 14 m/s beschleunigt werden. Die Bewegungsenergie ist dann:
Ekin,1 = ½ m v12 = ½ ∗ 12 kg ∗ (8 m/s)2 = 384 J
Ekin,2 = ½ m v22 = ½ ∗ 12 kg ∗ (14 m/s)2 = 1176 J
Die notwendige Beschleunigungsarbeit ist nach dem auf Seite 74 Gesagten
W12 = ½ m v22 – ½ m v12 = Ekin,2 - Ekin,1 = 1176 J – 384 J = 792 J
Auch hier sehen wir also wieder, dass die Arbeit die Differenz der Bewegungsenergien (nachher - vorher) ist. Bei dieser Differenzbildung würde
dann auch eine Konstante, die wir zur kinetischen Energie hinzufügen könnten, wieder herausfallen.
Wir haben bereits gesehen, dass bei einem frei fallenden Körper potenzielle
Energie in kinetische Energie umgewandelt wird. Andere Beispiele dafür
wären ein Pendel oder eine Achterbahn. Solange wir uns auf den Bereich der
reinen Mechanik beschränken und lediglich Vorgänge betrachten, die rei11.10.15, 23:26
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77
Physik BG11
bungsfrei ablaufen, treten nur potenzielle und kinetische Energie als Energieformen auf. Man bezeichnet diese beiden Energieformen daher auch als
die Energieformen der Mechanik.
5.7 Der Energieerhaltungssatz der Mechanik
Die gesamte mechanische Energie eines physikalischen Systems setzt sich
zusammen aus der potenziellen und der kinetischen Energie:
Formel 41: Eges = Ep + Ekin
Wir wissen bereits, dass sich die eine Energieform in die andere umwandeln
lässt. Wir wollen diese Umwandlung nun noch einmal genauer mit dem Energiebegriff untersuchen.
Wir lassen eine Eisenkugel aus der
Höhe h über einem Tisch auf die
Tischplatte fallen. Die Kugel wird
zunächst in der Höhe h festgehalten.
Ihre kinetische Energie ist dann Null,
ihre potenzielle Energie ist m g h. Um
ein Zahlenbeispiel zu haben, nehmen
wir an: m=102 g; h=50 cm. Wir
erhalten dann
Epot = 0,102 kg∗9,81 m/s²∗0,5 m =
0,50031 J ≈ 0,5 J.
oben
Epot
mgh
(0,5 J)
Ekin
0
Zum Energieerhaltungssatz
Ep=mgh, Ekin = 0
s
Ep=mg(h-s), Ekin = 1/2 m vs2
h
Eges
mgh
(0,5 J)
Ep=0, Ekin = 1/2 m vh2
Wir lassen die Kugel nun fallen und
Tischplatte
betrachten eine beliebige Zwischenposition, die um eine bestimmte Strecke s (z. B. 20 cm) unter dem
Anfangsniveau liegt. Die potenzielle Energie ist dann nur noch mg(h-s). Im
Beispiel erhalten wir: Epot = 0,102 kg∗9,81 m/s²∗0,3 m = 0,300186 J ≈
0,3 J. Dafür hat die Kugel nun eine Geschwindigkeit, die wir mit vs bezeichnen. Ihre kinetische Energie ist dann ½ m vs2.
Zwischenposition: Ep = mg(h-s), Ekin = ½ m vs2, Eges = mg(h-s) + ½ m vs2
Die Geschwindigkeit nach Durchlaufen einer Strecke s unter der Wirkung
einer (konstanten) Beschleunigung a ist gegeben durch (s. Formel 9)
v=
2sa
wobei hier die Beschleunigung durch die Fallbeschleunigung g gegeben ist.
Setzen wir dies ein, erhalten wir für vs2:
vs2 = 2 g s,
so dass wir für Ekin erhalten:
Ekin = ½ m (2 g s) = mgs (im Beispiel: Ekin = 0,200124 J ≈ 0,2 J)
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Dieses Ergebnis hätten wir uns auch aus der allgemeinen Definitionsformel
der Arbeit W = F∗s ableiten können, da hier eine konstante Kraft mg wirkt.
Somit ergibt sich also in der Zwischenposition:
Zwischenposition
Epot
mg(h-s)
(0,3 J)
Ekin
mgs
(0,2 J)
Eges
mgh
(0,5 J)
Die Gesamtenergie hat sich also nicht verändert, lediglich die Aufteilung auf
potenzielle und kinetische Energie ist nun eine andere.
Kommt die Kugel unten an, ist die potenzielle Energie Null, die kinetische
Energie ist Ekin = ½ m vh2. Da hier nun s=h ist, ergibt sich für die kin.
Energie nach der eben gefundenen Formel mgh. Wir erhalten also
unten
Epot
0
Ekin
mgh
(0,5 J)
Eges
mgh
(0,5 J)
Wir sehen daran, dass sich die Gesamtenergie bei dem Vorgang nicht
verändert hat. Es hat sich lediglich Energie von einer Form (potentielle
Energie) in eine andere Form (kinetische Energie) umgewandelt.
Wenn die Kugel nun auf die Tischplatte aufprallt, tritt kurzzeitig eine elastische Verformung der Kugel und der Tischplatte ein. Dies bedeutet, dass die
kinetische Energie in elastische Energie umgewandelt wird. Die Verformung
bildet sich „augenblicklich“ wieder zurück, wodurch die elastische Energie
wieder in kinetische Energie der Kugel übergeht. Die Kugel prallt zurück und
bewegt sich wieder aufwärts. Die Kugel steigt nun, ständig langsamer werdend, wieder auf ihre ursprüngliche Höhe an. Dabei wandelt sich ihre kinetische Energie wieder in potenzielle Energie um, bis sie in der Höhe h kurzzeitig zum Stillstand kommt. Dann fällt sie wieder herunter, d. h. der Vorgang
wiederholt sich nun von vorne. Theoretisch würde das beliebig oft so weitergehen.
Wenn man den Versuch aber tatsächlich ausführt, so zeigt sich, dass die
ursprüngliche Höhe nicht ganz wieder erreicht wird. Vielmehr ist die Höhe
nach jedem Aufprall etwas kleiner als vorher, so dass die Kugel schließlich
auf der Tischplatte liegenbleibt. Dies ist darauf zurückzuführen, dass durch
die Reibung an der Luft sowie bei der Verformung von Kugel und Tischplatte
ein Teil der mechanischen Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird.
Diese Umwandlung nicht aber nicht umkehrbar (irreversibel), so dass ständig ein Teil der mechanischen Energie verlorengeht. Es entsteht also ein
Verlust an nutzbarer Energie, was wir kurz als Energieverlust bezeichnen.
Wenn wir messtechnisch diese Wärme mit erfassen könnten, würden wir
wieder feststellen, dass die Gesamtenergie erhalten bleibt.
Der hier an einem einfachen Beispiel dargestellte Sachverhalt gilt auch für
alle anderen mechanischen Vorgänge. Man bezeichnet diese grundlegende
Erkenntnis als der Energieerhaltungssatz der Mechanik.
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Übungsaufgabe: Ein Auto mit 1200 kg Masse fährt mit einer Geschwindigkeit
von 16 m/s. Es rollt dann ohne eigenen Antrieb einen Abhang hinunter,
der eine Höhe von 15 m hat. Unten ist die Straße wieder horizontal. Mit
welcher kinetischen Energie und mit welcher Geschwindigkeit kommt
das Auto unten an?
Lösung: Wir betrachten zwei Zustände: oben (vor dem Abrollen) und
unten (nach dem Abrollen beim Einbiegen auf die horizontale Strecke).
Oben (h = 15 m):
Epot = mgh = 176580 J; Ekin = 1/2mv² = 153600 J
Unten (h = 0 m):
Epot = 0 J; Ekin = 600 kg·v2²
Zusammenfassung der Daten in einer Energietabelle:
Epot
Ekin
Eges
oben
176580 J
153600 J
330180 J
unten
0
600 kg·v2²
600 kg·v2²
Nach dem Energieerhaltungssatz können wir die Gesamtenergie
gleichsetzen:
330180 J = 600 kg·v2²
Damit ist die kinetische Energie schon bekannt: Ekin,unten = 330180 J
v2² = 330180 J/600 kg = 550,3 m²/s²
m²
kg
s²
kg m²
m²
=
=
EN.: J/kg =
kg
s² kg
s²
v2 = 23,458 m/s (= 84,45 km/h); EN.:
m²
= m/s
s²
Hausaufgabe 52
Ein 1500 kg schweres Fahrzeug fährt anfangs mit einer Geschwindigkeit
von 12 m/s entlang einer horizontalen Straße. Dann rollt es (ohne eigenen
Antrieb) einen 9 m hohen, flachen Abhang herunter. Wie groß ist seine
kinetische Energie und seine Geschwindigkeit, wenn es unten angekommen ist? Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe einer „Energietabelle“!
Lösung:
Bevor wir den Energieerhaltungssatz formulieren, soll noch der Begriff eines
abgeschlossenen Systems erläutert werden. Wir verstehen darunter ein
physikalisches System, dem von außen Energie weder zugeführt noch entzogen wird. Alle energetischen Umwandlungen vollziehen sich also innerhalb
des betrachteten Systems.
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Unter einem abgeschlossenen System verstehen wir ein physikalisches
System, dem von außen weder Energie zugeführt noch entzogen wird.
Es handelt sich dabei wieder um ein gedankliches Modell, das wir uns
machen, um die physikalische Beschreibung zu vereinfachen. In der Praxis
ist es schwierig, ein abgeschlossenes System herzustellen. Selbst die
gesamte Erde kann nicht als abgeschlossenes System betrachtet werden, da
sie von der Sonne Strahlung empfängt.
Wir formulieren nun den Energieerhaltungssatz der Mechanik:
Bei einem abgeschlossenen, mechanischen System bleibt bei Reibungsfreiheit die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie konstant.
Übungsaufgabe: Auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel 15° befindet
sich in h = 0,8 m Höhe eine Kugel in Ruhe. Sie rollt nun mit zunehmender Geschwindigkeit die Rampe hinunter (die Rotationsenergie sei hier
vernachlässigt). Welche Geschwindigkeit hat sie erreicht, wenn sie
a) einen Meter gerollt ist;
b) die halbe Höhe erreicht hat;
c) unten angekommen ist?
Lösung:
a) Anfangszustand: Ekin = 0. Epot =mgh = m·7,848 m²/s².
Endzustand: Ekin = 1/2mva2. Epot = mgha.
Berechnung von ha: sin 15° = (h-ha)/1 m ⇒ h-ha = 0,2588 m ⇒ ha =
h - 0,2588 m = 0,5412 m
Epot = m·g·0,5412 m = m·5,309 m²/s²
Wir legen eine Energietabelle an und tragen die bisherigen Erkenntnisse
dort ein.
Epot
Ekin
Eges
vorher (h)
m·7,848 m²/s²
0
m·7,848 m²/s²
nachher (ha)
m·5,309 m²/s²
1
m·5,309 m²/s²+1/2m va2
/2m va2
Nach dem Energieerhaltungssatz muss die Gesamtenergie vorher und
nachher gleich sein:
m·7,848 m²/s² = m·5,309 m²/s²+1/2m va2
|:m
7,848 m²/s² = 5,309 m²/s²+1/2 va2
| - 5,309 m²/s²
2,539 m²/s² = 1/2 va2
|×2|√
va =
5,078 m²/s² = 2,253 m/s
b) Anfangszustand wie bisher.
Endzustand: Epot = mgh/2 = m·3,924 m²/s². Ekin = 1/2mvb2.
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Ekin
Epot
vorher (h)
nachher (hb)
m·7,848 m²/s²
0
m·3,924 m²/s²
1
/2m vb
Eges
m·7,848 m²/s²
2
m·3,924 m²/s²+1/2m vb2
Nach dem Energieerhaltungssatz muss die Gesamtenergie vorher und
nachher gleich sein:
m·7,848 m²/s² = m·3,924 m²/s²+1/2m vb2
|:m
7,848 m²/s² = 3,924 m²/s²+1/2 vb2
| - 3,924 m²/s²
3,924 m²/s² = 1/2 vb2
|×2|√
vb =
7,848 m²/s² = 2,801 m/s
c) Anfangszustand wie bisher.
Endzustand: h=0 ⇒ Epot = 0. Ekin = 1/2mvc2.
Epot
Ekin
Eges
vorher (h)
m·7,848 m²/s²
0
m·7,848 m²/s²
nachher (hc)
0
1
1
/2m vc2
/2m vc2
Nach dem Energieerhaltungssatz muss die Gesamtenergie vorher und
nachher gleich sein:
m·7,848 m²/s² = 1/2m vc2
7,848 m²/s² =
vc =
1
|:m
|×2|√
/2vc2
15,696 m²/s² = 3,962 m/s
Hausaufgabe 53
Auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel 15° befindet sich in
h = 0,8 m Höhe eine Kugel in Ruhe (s. ÜA aus dem Unterricht). In welcher
Höhe hx und nach welchem Rollweg sx hat sie die Hälfte ihrer Endgeschwindigkeit erreicht?
Lösung: vx = ; Ekin =
Übungsaufgabe: Eine Kugel (m=100 g,
R=1,2 cm) hängt an einem Faden
der Länge l=30 cm. Der Faden
wird um den Winkel α=20° aus der
Vertikalen ausgelenkt. Welche
maximale Geschwindigkeit vmax
erreicht die Kugel und wo?
Lösung: Die max. Geschwindigkeit
muss im tiefsten Punkt erreicht
werden, da dort die pot. Energie
minimal wird. Legen wir das Nullniveau auf den Kugelmittelpunkt
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Physik BG11
am tiefsten Punkt, gilt dort Epot,unten=0. Dort ist dann Ekin,unten=Eges, also
maximal. Andererseits hat die Kugel bei der maximalen Auslenkung
(α=20°) keine Geschwindigkeit. Daher ist ihre kinetische Energie im
Umkehrpunkt null.
Wir legen eine Energietabelle an und tragen die bisherigen Erkenntnisse
dort ein.
Epot
oben (α=20°)
unten (α=0°)
Ekin
mgh
0
0
1
/2m vmax
Eges
mgh
2
1
/2m vmax2
Um vmax zu berechnen, ist die Kenntnis der Höhe h notwendig. Aus der
Zeichnung sieht man, dass
l+R = a+h
sein muss. Wir setzen zur Abkürzung
l+R = l’
l’ = 30 cm + 1,2 cm = 31,2 cm = 0,312 m
Aufgelöst nach h ergibt sich somit
h = l’ - a
Die Seite a ergibt sich als Kathete zu a = l’·cos α. Also ist
h = l’ - l’·cos α = l’·(1-cos α)
h = 0,312 m·(1 - cos 20°) = 0,01882 m
Am Anfang ist die potentielle Energie
Epot,oben = m·g·h = 0,1 kg·9,81 m/s²·0,01882 m = 0,01846 J
EN.: kg·m/s²·m = kg
m²
/s² = J
Wir ergänzen nun unsere Energietabelle:
Epot
Ekin
Eges
oben (α=20°)
mgh=0,01846 J
0
mgh=0,01846 J
unten (α=0°)
0
1
1
/2m vmax2
/2m vmax2
Aufgrund des Energieerhaltungssatzes muss die Gesamtenergie oben
und unten gleich sein. Somit erhalten wir:
1
/2m vmax2 = 0,01846 J
Aufgelöst nach vmax ergibt sich:
vmax = 2·0,01846J/0,1kg = 0,6076 m/s
Zusatzfrage: a) Wird sich die Maximalgeschwindigkeit mit zunehmender
Masse erhöhen oder erniedrigen? b) Wie kann man durch die Veränderung der Fadenlänge die Geschwindigkeit verdoppeln (ungefähr)?
Lösung: a) b)
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Physik BG11
Hausaufgabe 54
Ein Körper der Masse m=1 kg wird senkrecht nach oben geschleudert. Beim
Abwurf besitzt er die Anfangsgeschwindigkeit v0=17,5 m/s.
a) Berechnen Sie seine kinetische Energie.
b) Welche Steighöhe hmax erreicht der Körper? Legen Sie dazu eine „Energietabelle“ an (unten/oben)!
c) Welche Höhe würde er bei doppelter Anfangsenergie bzw. bei doppelter
Anfangsgeschwindigkeit erreichen (ohne Rechnung)?
d) In welcher Höhe h½ ist seine Geschwindigkeit auf die Hälfte der Anfangsgeschwindigkeit gesunken? (Ergänzen Sie die Energietabelle.)
Lösung: a) Ekin= b)
(vgl. die kinematische Berechnung auf S. 32)
c) doppelte Anfangsenergie: ; doppelte Anfangsgeschwindigkeit:
d) .
Bei der Besprechung darauf eingehen, dass die Angabe der Masse nicht nötig
wäre.
11.10.15, 23:26
© K.-B. Rohloff
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Physik BG11
Inhaltsverzeichnis
1
2
Das internationale System (SI) der Maßeinheiten ............................... 1
1.1
Längenmessung: Der Meter ....................................................... 1
1.2
Zeitmessung: Die Sekunde ........................................................ 2
1.3
Die Masse und das Kilogramm.................................................... 4
1.4
Der Strom und das Ampere........................................................ 5
1.5
Zusammenfassung.................................................................... 5
Bewegung eines Massenpunktes (Kinematik) ..................................... 6
2.1
Die geradlinig gleichförmige Bewegung ....................................... 6
2.1.1
Die Geschwindigkeit ............................................................ 6
2.1.2
Das Weg-Zeit-Diagramm...................................................... 9
2.1.3
Einheiten der Geschwindigkeit .............................................12
2.1.4
Die Durchschnittsgeschwindigkeit.........................................13
2.1.5
Die Momentangeschwindigkeit .............................................14
2.1.6
Das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm...................................15
2.1.7
Addition von Geschwindigkeiten ...........................................17
2.2
Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ...................................18
2.2.1
Definition der Beschleunigung..............................................18
2.2.2 Geschwindigkeits-Zeit Gesetz der gleichmäßig beschleunigten
Bewegung ....................................................................................20
2.2.3
Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschl. Bewegung ..............24
2.2.4
Geschwindigkeit als Funktion des Ortes.................................26
2.2.5
Zusammengesetzte Bewegungen .........................................27
2.2.6
Zusammenfassung .............................................................29
2.2.7
Die Erdbeschleunigung........................................................29
2.3
3
Wirkung von Geschwindigkeit und Beschleunigung auf den Menschen
33
Kräfte als Bewegungsursache (Dynamik)..........................................35
3.1
Das erste Newtonsche Axiom ....................................................35
3.2
Das zweite Newtonsche Axiom ..................................................36
3.2.1
Die Gewichtskraft...............................................................38
3.2.2
Richtung und Angriffspunkt .................................................40
3.2.3
Das allgemeine Gravitationsgesetz .......................................41
3.2.4
Kraftmessung mit Federn ....................................................43
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4
5
3.3
Das dritte Newtonsche Axiom....................................................44
3.4
Wirkung mehrerer Kräfte ..........................................................46
3.4.1
Addition von Kräften...........................................................46
3.4.2
Kräftezerlegung .................................................................47
Die Kreisbewegung........................................................................49
4.1
Die Bahngeschwindigkeit ..........................................................49
4.2
Die Frequenz...........................................................................50
4.3
Die Winkelgeschwindigkeit ........................................................51
4.4
Die Rollbewegung ....................................................................54
4.5
Die Radial- oder Zentripetalbeschleunigung ................................56
4.6
Kräfte bei der Kreisbewegung....................................................57
Mechanische Arbeit und Energie ......................................................62
5.1
Physikalische Definition von Arbeit und Energie ...........................62
5.1.1
Definition der Energie .........................................................62
5.1.2
Der Begriff der Arbeit .........................................................63
5.1.3
Definition der Arbeit ...........................................................64
5.2
Winkel zwischen Kraft und Weg .................................................66
5.3
Die Hubarbeit ..........................................................................67
5.4
Die potenzielle Energie oder Lageenergie ....................................69
5.5
Die Beschleunigungsarbeit ........................................................73
5.6
Die Bewegungsenergie oder kinetische Energie ...........................75
5.7
Der Energieerhaltungssatz der Mechanik ....................................78
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