Station A * * 1-4 ca. 16 min Station B * * * 1

Station A * *
1-4
ca. 16 min
Mit einem 80 m langen Zaun soll an einer Hauswand ein Rechteck eingezäunt werden.
Wie lang müssen die Seiten des Rechtecks gewählt werden, damit es einen möglichst
großen Flächeninhalt besitzt?
Verwende das im Unterricht behandelte Verfahren:
1) Verstehen der Aufgabe
2) Ausdenken eines Plans
3) Durchführen des Plans
4) Rückschau
Station B * * *
1-5
ca. 12 min
Rechteck gesucht
Die Länge eines Rechtecks ist um 4 cm größer als die Breite. Wie lang und wie breit ist
das Rechteck, wenn es eine Fläche von 117 cm² hat?
Skizziere zunächst ein Rechteck in deinem Heft und beschrifte es. Stelle dann die
Gleichung auf.
Station C * * *
1-5
ca. 20 min
Sissy hat zu ihrem Geburtstag zwölf Kaninchen bekommen und möchte nun im Garten
an der Haus-Garagen-Ecke eine rechteckige Fläche für ihre neuen Haustiere
einzäunen. Sie hat noch ein 1,5 m langes Gatter und 17 m Zaun von ihrem Onkel
bekommen. Außerdem kann sie noch ein 2,5 m langes Mauerstück zur Einzäunung
nutzen.
a) Wie muss Sissy die Fläche einzäunen, damit sie möglichst groß wird?
b) Wie viel Platz hat dann jedes Kaninchen?
Station D *
1-3
ca. 7 min
1) Das Dreieck ABC wurde zum Dreieck A’B’C’ vergrößert oder verkleinert.
Die Tabelle dazu ist unvollständig. Übertragt die Tabelle in euer Heft und berechnet
die fehlenden Seiten (Längen in cm).
a)
b)
c)
a
4
6
a’
12
36
b
3
b’
16
54
c
5
c’
20
17
k
3
4
Station E * *
1. Überprüfe mit Hilfe
der Kriterien, ob die
zwei dargestellten
Figuren ähnlich sind.
Achtung: Die Kästchen dienen
nur der besseren Orientierung und
müssen daher nicht auf Ähnlichkeit
überprüft werden.
1-5
ca. 7-10 min
Station F * *
1-5
Strecke den Stern vom Mittelpunkt aus mit dem Streckfaktor
ca. 10 min
1
und 2.
2
Achte darauf rund herum genug Platz zu lassen!
Station G * *
1-5
Berechnet die Länge der Strecke x.
a)
c)
b)
d)
ca. 10 min
Station H * *
1-5
ca. 10 min
Eine mögliche Fachwerkträgerform zum Bau von Dächern zweigt die Zeichnung. Die
Stäbe b und c nennt man Füllstäbe. Die Höhe h des Daches beträgt 3,5 m. Jeder
Füllstab ist regelmäßig angeordnet mit dem Abstand a = 2m voneinander und zu den
Trägern. Wie lang ist jeder der Füllstäbe b und c?
Station Z1 * * * *
1-3
?
Der Umfang eines Rechtecks beträgt 40 m, die Fläche 36 m². Berechne Länge und
Breite des Rechtecks.
Station Z2* * *
1-5
?
Die Strahlensätze gelten auch, wenn sich die Parallelen auf verschiednen Seiten des
Schnittpunkts befinden. So, wie es in der Zeichnung dargestellt ist.
1. Strahlensatz
a b d +a c+b d +a c+b
= ,
=
,
=
d c d
c
a
b
D
B
b
d
u
v
S
c
Die Abschnitte auf der einen Geraden
verhalten sich zueinander wie die
entsprechenden Abschnitte auf der anderen
Geraden.
2. Strahlensatz
a
u a u b
= , =
v d v c
A
C
Sie Abschnitte auf den Parallelen verhalten
sich zueinander wie die von S aus
gemessenen entsprechenden Abschnitte
auf einer Geraden.
Löse mit Hilfe dieser Informationen die folgende Aufgabe.
Aus dem Physikunterricht kennst du vielleicht die Bildentstehung einer Lochkamera.
Vielleicht hast du so eine Kamera auch schon selbst gebaut. Das Bild erscheint dabei
auf dem Kopf.
Das Schulgebäude ist 15,45m hoch, das Bild in der Lochkamera 7 cm. In welcher
Entfernung zum Schulgebäude befindet sich die Lochkamera?
Station Z3* * * *
1-5
?
Teile zeichnerisch eine gegebenen Strecke AB = 8 cm mit Hilfe deiner Kenntnisse über
Strahlensätze in 11 gleich große Stücke.
Station A
1) Verstehen der Aufgabe
Geg.: Rechteck, Umfang abzüglich einer Seitenlänge 80 m
Ges.: Das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt
2) Ausdenken eines Plans
Skizze:
80 - 2x
x
x
<- Hauswand
Funktionsgleichung aufstellen:
A
A(x)
= Länge ⋅ Breite
= (80 – 2x) ⋅ x
= (80 – 2x) ⋅ x
Es handelt sich um eine quadratische Funktion.
Der x-Wert des Scheitels der Parabel ist die
gesuchte Länge.
3) Durchführen des Plans
Bestimmen des Scheitelpunkts:
Suche zunächst die Nullstelle:
(80 – 2x) ⋅ x = 0
<=> 80 – 2x = 0
v x=0
<=> 2x = 80
v x=0
<=> x = 40
v x=0
Der x-Wert des Scheitels beträgt dann x = 20.
A(20) = (80 – 2⋅20) ⋅20 = 800
S(20 | 800)
4) Rückschau
Probe:
Sind die Seiten 20, 20 und 40 m lang, so ist der Umfang 80 m. √
Antwort:
Die kurzen Seiten des Rechtecks müssen 20 m lang sein, die lange
40 m. Dann ist der Flächeninhalt mit 800 m² maximal.
Station B
Skizze:
x+4
x
A = 117 cm²
Aufstellen einer Gleichung:
A
= Länge ⋅Breite
= (x + 4) ⋅ x
= 117
Lösen der Gleichung:
<=>
<=>
<=>
x² + 4x – 117 = 0
x = −2 ± 2² + 117 = −2 ± 121 = −2 ± 11
x = -13 v x = 9
Da x > 0 muss x = 9 sein.
Probe:
Antwort:
9 ⋅ 13 = 117 √
Sind die Seiten 9 und 13 cm lang, so beträgt der Flächeninhalt 117 cm².
Station C
a)
1) Verstehen der Aufgabe
Geg.: Rechteck, Zaun 17m, Gatter 1,5 m, Mauer 2,5 m, Garage 3m
=> Gesamt stehen 24 m als Begrenzung zur Verfügung
Die Hausseite ist beliebig lang.
Ges.: Das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt
2) Ausdenken eines Plans
Skizze:
x
x
24 – 2x
x
Funktionsgleichung aufstellen:
A
A(x)
= Länge ⋅ Breite
= x ⋅ (24 - 2x)
= x ⋅ (24 – 2x)
Es handelt sich um eine quadratische Funktion.
Der x-Wert des Scheitels der Parabel ist die
gesuchte Länge.
3) Durchführen des Plans
Bestimmen des Scheitelpunkts:
Suche zunächst die Nullstelle:
x ⋅ (24 – 2x) = 0
<=> x = 0
v 24 - 2x = 0
<=> x = 0
v 24 = 2x
<=> x = 0
v x = 12
Der x-Wert des Scheitels beträgt dann x = 6.
A(6) = 6⋅(24 – 2⋅6) = 72
S(6 | 72)
4) Rückschau
Probe:
Sind die Seiten 6 und 12 m lang, so ist die Einzäunung inklusive Garage,
Gatte und Mauer 24 m lang. √
Antwort:
Die Seiten des Rechtecks müssen 6 bzw. 12 m lang sein. Dann ist der
Flächeninhalt mit 72 m² maximal.
b) 72 m² : 12 Kaninchen = 6 m² / Kaninchen.
Jedes Kaninchen hat dann 6 m² zur Verfügung.
Station D
a)
b)
c)
a
4
3
6
a’
12
12
36
b
3
4
9
b’
9
16
54
c
5
5
17
c’
15
20
102
k
3
4
6
Station E
a) die Figuren sind ähnlich, da die Winkel gleich sind und die Längenverhältnisse
einander entsprechen.
b) die Figuren sind nicht ähnlich, da die Längenverhältnisse nicht stimmen.
c) Die Figuren sind nicht ähnlich, weil die Winkel der Figuren nicht gleich sind.
d) Die Figuren sind ähnlich, weil alle Quadrate ähnlich zueinander sind.
e) Die Figuren sind nicht ähnlich, weil die Längenverhältnisse nicht stimmen.
f) Die Figuren sind ähnlich. Aus den gegebnen Voraussetzung kann man folgern,
dass β ′ = δ ′ und daraus β = β ′ . Dann sind die Winkel der beiden Figuren gleich.
Die Längenverhältnisse stimmen auch.
Station F
Station G
a) x =
12
= 2,4
5
b) x = 5
c) x = 4
d) x =
63
= 6,3
10
Station H
b=
7
= 2, 3
3
c=
7
= 1,1 6
6
Station Z1
1)
Geg.: Rechteck, Umfang 40 m, Fläche 36 m²
Ges.: Länge, Breite
2)
a
Skizze:
b
A = 36 m²
Aufstellen von Gleichungen:
U = 2a + 2b = 40
A = a⋅b = 36
3) Lösen der Gleichungen:
<=>
a=
36
b
Einsetzen:
2⋅
36
+2b = 40
b
|⋅ b
Brüche schnell beseitigen, wenn möglich!
<=>
72 + 2b² = 40b
<=>
2b² - 40b + 72 = 0
<=>
b² - 20 b + 36 = 0
<=>
b= 10 ± 10² − 36 = 10 ± 64 = 10 ± 8
b = 2 v b = 18
Probe:
Sind die Seiten 2 bzw. 18 m lang beträgt der Umfang 40 m und der
Flächeninhalt 36 m².√
Antwort:
Die Seiten müssen 2 und 18 m lang sein.
Station Z2
Die Verhältnisgleichung lautet:
x
15,45
=
0.15 0,07
15,45 ⋅ 0,15
0,07
⇔
x=
⇔
x = 33,11
Die Entfernung von der Linse bis zum Schulgebäude beträgt etwa 33,11 m.
Station Z3
1. Man zeichnet zu der gegebenen Strecke einen zweiten Strahl hinzu.
2. Auf diesem Strahl trägt man 5 gleich lange Strecken ab mit den Endpunkten T 1 , T 2 ,
T 3 , T 4 und T 5 .
3. Verbinde T 5 mit B.
4. Zeichne von den anderen Endpunkten Parallelen zu T 5 B.