Feder-Masse-Kette aus 4 Massen, Sinuskraft auf Masse m1

Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\ro\Si05\dgln\matlab\FedMasKetAnalogie.doc, S.
1/4
Homepgae: http://www.home.hs-karlsruhe.de/~kero0001/
Feder-Masse-Kette aus 4 Massen,
Sinuskraft auf Masse m1, Geschwindigkeiten berechnet
mit „elektromechanischer Analogie“, auch Modalanalyse
v1
Feder-Masse-Kette:
F1
m1
Die 4 Massen m1…m4
sind mit Federn D und (viskosen)
Reibelementen r mit „Erde“ und mit den
Nacharmassen gekoppelt. Auf die linke
Masse m1 wirkt die sinusförmige Kraft F1
m1
Y1
v2
m2
Z12
r23
D3
D4
r1
r2
r3
r4
1/D34
1/r23
v3
m3
1/r2
Y2
r34
D2
1/D3
1/r12
1/r1
m4
m3
D1
1/D2
v1
D34
m2
1/D23
1/D1
v4
v3
D23
r12
1/D12
F1
v2
D12
Z23
v4
m4
1/r3
Y3
1/D4
1/r34
Z34
1/r4
Y4
Zugehörige elektrische Analogie-Schaltung
Hier sind zwei kompliziert aussehende Schaltungen dargestellt.
Die obere Zeichnung zeigt eine Feder-Masse-Kette mit 4 Massen m1, m2, m3, m4, darunter die zugehörige
elektrische Analogie-Schaltung.
Die Massen können sich waagrecht bewegen, angedeutet sind die Geschwindigkeiten v1, v2, v3, v4. Auf die
linke Masse (m1) wirkt die Kraft F1. Die Masse m1 ist durch die Koppelfeder D12 und die viskose Reibung r12
mit der benachbarten Masse m2 gekoppelt. Entsprechend sind m2 und m3 durch die Koppelelemente D23 und
r23 gekoppelt. Analog ist Masse m3 mit Masse m4 durch D34 und r34 gekoppelt.
Alle 4 Massen sind auch mit „Erde“ verbunden: Masse m1 mit Feder D1 und Reibelement r1, Masse m2 mit D2
und r2, Masse m3 mit D3, r3 und Masse m4 mit D4, r4.
Im vorliegenden Text soll die Dynamik dieser Feder-Masse- Kette nicht im Zeitbereich, sondern im
Frequenzbereich berechnet werden. Die auf m1 wirkende Kraft F1 sei sinusförmig. Gesucht sind die
stationären Geschwindigkeiten v1, v2, v3, v4. Das könnte man mit einer auf dieser Homepage schon
angewendeten Methode durchführen, http://www.home.hs-karlsruhe.de/~kero0001/ket4home/NeuKet4.pdf
Seite 10.
Hier soll aber die Methode der elektromechanischen Analogien angewendet werden, die sehr viel schneller zu
Ziel führt. Gemäß der folgenden Analogie-Tabelle wurde aus der mechanischen Schaltung die obige elektrische
Analogie-Schaltung erzeugt. Dabei ist s der Operator d/dt, also Ableitung nach der Zeit. Für sinusförmige
Vorgänge wird s = j*w ( j = Wurzel aus –1, w = Kreisfrequenz, gelesen omega)
%
Tabelle der Analogien:
%
Mechanik
Elektrik
%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
%
F= m*dv/dt= m*s* v
i= C*du/dt = C*s* u
%
F= D*x
= D/s* v
u= L*di/dt=L*s*i -->i=1/(L*s) *u
%
F= r*v
i= 1/R * u
%
Kraft F
Strom i
%
Geschwindigkeit v
Spannung u
%
Masse m
Kondensator C
%
Feder D
Induktivität 1/L
%
viskose Reibung r
Widerstand 1/R
%
Reihen-Schaltung
Reihen-Schaltung
%
Parallel-Schaltung
Parallel-Schaltung
Die oberen 3 Zeilen der Tabelle mögen hier als Begründung der Analogien genügen. An anderer Stelle soll
ausführlicher auf die Begründung eingegangen werden.
s.auch http://info.fh-wels.at/skripten/MJungwirth/Aktoren/Folien/AKTOREN_2.pdf
Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\ro\Si05\dgln\matlab\FedMasKetAnalogie.doc, S.
2/5
Im vorliegenden Text wird mit Matlab die komplexen Rechnung für die elektrische Analogieschaltung
durchgeführt. Die durch die Sinuskraft F1 entstehenden Geschwindigkeiten v1, v2, v3, v4 werden als Funktion
der Kreisfrequenz w (gelesen omega) berechnet und als Realteil geplottet. Der Realteil von v1 wird nach
Maxima abgesucht. Daraus findet man die Eigenkreisfrequenzen und aus den zugehörigen Werten v2, v3, v4
findet man die sogenannte „Modaltabelle“. Je eine Spalte dieser Modaltabelle entspricht der Schwingungsform
der zugehörigen Eigenschwingung, vgl. den Text unterhalb der folgenden Matlab-Bilder.
Zunächst einige Aufrufe:
bild 1,m=[1 1 1 1], D=[1 0 0 1], Dk=[1 1 1],r=[0.03
0.001
0.001
0.001],wst=0.1
Realteil der Geschindigkeiten
50
0
real(v1)
-50
real(v2)
-100
real(v3)
-150
real(v4)
-200
0
0.5
1
1.5
Kreisfrequenz w [1/sec]
2
2.5
clear;m=[1,1,1,1];D=[1,0,0,1];r=[0.03,1e-3,1e-3,1e-3];Dk=[1,1,1];bild=1;dw=0.001;wst=0.1;wend=2.5;fedmas43;
Vom Bildschirm kopiert und hier eingefügt:
Modaltabelle, obere Zeile = Kreisfrequenzen
modtab =
0.6180
1.1760
1.6180
1.9020
0.6181
0.9992
0.9999
0.6170
1.0000
0.6192
-0.6182
-0.9995
1.0000
-0.6171
-0.6179
1.0000
0.6180
-1.0000
1.0000
-0.6182
Vergleichen wir die Kurven der Figur mit der Modaltabelle:
Zunächst sieht man an den Kurven, dass das System 4 Kreisfrequenzen hat, also Frequenzen, bei denen die
Amplitude maximal wird. Diese Resonanzkreisfrequenzen sind die „Eigenkreisfrequenzen“ des Systems.
Die obere Zeile der Modaltabelle enthält die gefundenen Eigenkreisfrequenzen für die Maximalwerte der
oberen Kurve, also real(v1). Jede der 4 Spalten der Modaltabelle zeigt von oben nach unten die Realteile der
Geschwindigkeiten v1, v2, v3, v4.
Man erkennt, dass in der ersten Spalte die Zahlen alle positiv sind. Das bedeutet, dass alle 4 Massen
gleichphasig schwingen. Das bestätigt auch die Figur.
Bei der zweiten Eigenkreisfrequenz (w=1.176) schwingen v1 und v2 gleichphasig, v3 und v4 gegenphasig,
siehe Figur und 2. Spalte der Tabelle.
Bei der 3. Eigenkreisfrequenz (w= 1.618) sind v1 und v4 positiv, v2 unv3 negativ, also gegenphasig zu v1.
Bei der 4. Eigenkreisfrequenz (w=1.902) sind v1 und v3 positiv, v2 und v4 negativ.
Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\ro\Si05\dgln\matlab\FedMasKetAnalogie.doc, S.
bild 2,m=[1 1 1 1], D=[1 0 0 0], Dk=[1 1 1],r=[0.03
0.001
0.001
3/4
0.001],wst=0.1
Realteil der Geschindigkeiten
50
0
real(v1)
-50
real(v2)
-100
real(v3)
-150
real(v4)
-200
0
0.5
1
1.5
Kreisfrequenz w [1/sec]
2
2.5
clear;m=[1,1,1,1];D=[1,0,0,0];r=[0.03,1e-3,1e-3,1e-3];Dk=[1,1,1];bild=2;dw=0.001;wst=0.1;wend=2.5;fedmas43;
Modaltabelle, obere Zeile = Kreisfrequenzen
modtab =
0.3470
1.0000
1.5320
1.8790
0.3479
1.0000
1.0000
0.6504
0.6530
1.0000
-0.3476
-1.0000
0.8795
-0.0000
-0.8794
0.8805
1.0000
-1.0000
0.6528
-0.3479
Wie man am Aufruf erkennt, ist hier der Vektor der Federn D=[1,0,0,0], d.h. nur die Masse m1 ist über eine
Feder mit Erde verbunden. Beim Aufruf der vorigen Figur war D=[1,0,0,1], also waren dort Masse m1 und
Masse m4 mit Feder an Erde gekoppelt.
Vergleichen wir auch hier die Kurven der Figur mit der Modaltabelle:
Zunächst sieht man, dass die 4 Kreisfrequenzen etwas alle sind etwas niedriger sind. Das wundert uns nicht,
denn es wirkt ja eine Feder weniger. Die Phasenbeziehungen sind in beiden Figuren gleich, aber die Amplituden
sind anders. Insbesondere erkennt man dass bei der 2. Eigenkreifrequenz die Masse m3 nicht mitschwingt. Die
Masse m3 ist als bei der 2. Eigenkreisfrequenz ein „Schwingungsknoten“
Die zugehörige Matlab-Datei:
% Datei fedmas43.m
% Version43: mit Modalanalyse
% Feder-Masse-Kette ais 4 Parallelfedersystemen, mit elektromechanischer Analogie
% so wie im Text Analogien Seite 5/6 (1993), Heft R85 S. 154, 16.2.2010
%clear;m=[1,1,1,1];D=[1,0,0,1];r=[0.02,1e-3,1e-3,1e-3];Dk=[1,1,1];bild=4;dw=0.001;wst=0.1;wend=2.5;fedmas43;
%clear;m=[1,1,1,1];D=[1,0,2,2];r=[0.03,1e-3,1e-3,1e-3];Dk=[1,1,1];bild=6;dw=0.001;wst=0.1;wend=2.5;fedmas43;
format compact
F1=1;
% F1=
rk=[0,0,0]; % rk=
m1=m(1); m2=m(2);
D1=D(1); D2=D(2);
r1=r(1); r2=r(2);
auf Masse m1 wirkende Kraft
viskose Reibwerte der Koppelglieder
m3=m(3); m4=m(4); % Massenvektor
D3=D(3); D4=D(4); % Federn zur "Erde"
r3=r(3); r4=r(4); % viskose Reibung gegen "Erde"
zwischen Masse i und Masse k
D12=Dk(1); D23=Dk(2); D34=Dk(3); % Dik = Feder
r12=rk(1); r23=rk(2); r34=rk(3); % rik = viskose Reibung zwischen Masse i und Masse k
Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\ro\Si05\dgln\matlab\FedMasKetAnalogie.doc, S.
1/D12
1/D23
1/D1
v1
m1
1/D3
1/r23
v2
m2
1/r1
Y1
1/D34
1/D2
1/r12
1/r2
Z12
Y2
Z23
4/5
v3
m3
Y2p
D12
v4
m4
1/r3
Y3
1/D4
1/r34
Z34
1/r4
Y4
Y3p
D12
Y1p
D12
%
%
%
%
%
%
%
%
%
Als Hilfe beim Aufstellen des Matlabtextes ist die obige elektrische
Analogieschaltung noch mal dargestellt. Daraus werden die Leitwerte
Y1,Y2,Y3,Y4 und die Impedanzen Z12, Z23, Z34 und die Hilfsleitwerte Y3p,
Y2p,Y1p formuliert.
Man beachte die punktweisen Formulierungen:
.* statt einfach * und ./ statt einfach /
Zwei Beispiele mit ähnlicher komplexer Rechnung auf dieser Homepage:
http://www.home.hs-karlsruhe.de/~kero0001/RLCFilter/Bandsperre1.pdf
http://www.home.hs-karlsruhe.de/~kero0001/komplexefilter/Bandpass%20T.pdf
w=wst: dw: wend; s=j*w;
Y1= s*m1+ D1./s +r1 ;
Y2= s*m2+ D2./s +r2 ;
Y3= s*m3+ D3./s +r3 ;
Y4= s*m4+ D4./s +r4 ;
% wst =Startwert, wend =Endwert der Kreisfrequenz w
% Y1 =Leitwert, mit der Masse m1 an Erde gekoppelt ist
% Y2 =Leitwert, mit der Masse m2 an Erde gekoppelt ist
% Y3 =Leitwert, mit der Masse m3 an Erde gekoppelt ist
% Y4 =Leitwert, mit der Masse m4 an Erde gekoppelt ist
Z12= 1./(D12./s + r12);
Z23= 1./(D23./s + r23);
Z34= 1./(D34./s + r34);
% Z12= Impedanz der Kopplung Masse m1 nach Masse m2
% Z23= Impedanz der Kopplung Masse m2 nach Masse m3
% Z34= Impedanz der Kopplung Masse m3 nach Masse m4
Y3p= Y3+ 1./(Z34 +1./Y4);
Y2p= Y2+ 1./(Z23 +1./Y3p);
Y1p= Y1+ 1./(Z12 +1./Y2p);
% Y3p = Leitwert parallel Spannung v3
% Y2p = Leitwert parallel Spannung v2
% Y1p = Leitwert parallel Spannung v1
% entspricht Spannung= Strom * Widerstand = Strom durch Leitwert
v1 = F1 ./Y1p;
v2= v1*1./(1+Z12.*Y2p) ; % entspricht Spannungsteiler
v3= v2*1./(1+Z23.*Y3p); % entspricht Spannungsteiler
v4= v3*1./(1+Z34.*Y4); % entspricht Spannungsteiler
figure(bild); clf reset;
S1=['bild ',num2str(bild)]; S2=[',m=[',num2str(m),']'];
S3=[', D=[',num2str(D),']']; S4=[', Dk=[',num2str(Dk),']'];
S5=[',r=[',num2str(r),']'];S6=[',wst=',num2str(wst)];
tit=[S1,S2,S3,S4,S5,S6];
ofs=-50; % Im Bild und in der Modaltabelle ist Masse 1 oben, darunter Masse 2 etc.
plot(w, real(v1), w,real(v2)+ofs, w,real(v3)+2*ofs, w,real(v4)+3*ofs);
grid on;
text(max(w),0,' real(v1) ');
text(max(w),ofs,' real(v2) ');
text(max(w),2*ofs,' real(v3) ');
text(max(w),3*ofs,' real(v4) ');
xlabel('Kreisfrequenz w [1/sec]');
ylabel( 'Realteil der Geschindigkeiten');
title (tit);
% +++++++++++++++++++ Jetzt Modalanalyse:+++++++++++++++++++++++++++++++++
% Prinzip: Von der Referenzmasse m1 die Maxima des Realteils der Geschwindigkeit suchen
% und speichern des Index der Kreisfrequenz
% Die Werte der Massen m2, m3, m4 ergeben sich aus den Vektoren v2,v3,v4 für die gleichen Indizes
Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\ro\Si05\dgln\matlab\FedMasKetAnalogie.doc, S.
5/6
disp('die Maxima der Spektrallinien suchen und mit Kreisen markieren');
pause;
Nv=length(v1); % hier ist v1 Referenz
Nrma=[]; % Vektor der Indizes k der gefundenen Maxima
kma=0; Nr=0;
for k=2: length(v1)-1
uralt= real(v1(k-1));
alt= real(v1(k));
neu= real(v1(k+1));
if (alt > uralt)&(alt > neu),kma=kma+1; Nrma(kma)=k;
end;
end; % for k=..
hold on;
% alle Gipfel mit Kreis markieren, in der richtigen Farbe:
plot(w(Nrma),real(v1(Nrma)),'o',...
w(Nrma),real(v2(Nrma))+ofs,'o',...
w(Nrma),real(v3(Nrma))+2*ofs,'o',...
w(Nrma),real(v4(Nrma))+3*ofs,'o');
disp('Aus diesen Fundstellen die (normierte) Modaltabelle aufstellen:');
pause;
% die Kreisfreqenzen der Maxima:
Kfr= w(Nrma); % Vektor der Eigen-Kreisfrequenzen
% Tabelle der Amplituden-Werte bei den Eigenfrequenzen:
tab=[real(v1(Nrma)); real(v2(Nrma)); real(v3(Nrma));real(v4(Nrma)) ];
maxwert=max(abs(tab(:,:))); % Maximalwerte der Beträge in jeder Spalte von tab
% Normieren jeder Spalte auf ihren BetragsMaximalwert:
for k=1:4 q(:,k)=tab(:,k)/maxwert(k); end; q;
disp('Modaltabelle, obere Zeile = Kreisfrequenzen')
% modtab = Modaltabelle, obere Zeile die Eigenkreisfrequenzen:
modtab=[Kfr;q]
% sie wird auf den Bildschirm gedruckt
%Ende Datei Fedmas43.m