( )x - Bildungsportal Sachsen

Prof. Dr.-Ing. Herzig
Vorlesung " Elektrotechnik 1"
306
1etv5-2
5.4
5.4.1
Komplexe Berechnung linearer Netzwerke
Transformation
Der Lernende kann
- das grundsätzliche Prinzip der Transformation beschreiben und deren Notwendigkeit begründen
Im Abschnitt 5.3. hatten wir abschließend festgestellt, dass die Berechnung linearer
Netzwerke bei sinusförmiger Erregung in der Zeitdarstellung der Spannungen und Ströme
aufwendig und umständlich ist. Wirt hatten aber auch analysiert, dass sich die
Rechenoperationen auf die Addition, die Multiplikation mit einem konstanten Faktor, die
Differenziation und die Integration beschränken. Besonders wichtig war, dass die
Ergebnisschwingung gleiche Frequenz wie die Ausgangsschwingungen hatte und
Amplitude und Nullphasenwinkel der Ergebnisschwingung nur von den Amplituden und
Nullphasenwinkeln der Ausgangsschwingungen bestimmt wurde. Bereitet die Berechnung
in einer bestimmten Darstellungsform Schwierigkeiten, so bietet die Mathematik
Transformationsmethoden an. Die Berechnung wird dann nicht im Originalbereich
durchgeführt, sondern das ganze Problem in einen Bildbereich transformiert. Im
Bildbereich lassen sich die Berechnungen wesentlich günstiger durchführen.
Anschließend wird das im Bildbereich ermittelte Ergebnis in den Originalbereich zurück
transformiert. Dabei muss gesichert sein, dass die Ergebnisse im Bildbereich den
Ergebnissen des Originalbereichs entsprechen. Für die Aufgabenstellungen bei der
Berechnung linearer Netzwerke ist der Ablaufplan der Transformation in Abb.5.4.01
dargestellt.
Aufgabenstellung im Originalbereich
x = x1 + x 2
ˆ ⋅ cos ( ωt + ϕ
x =X
1
1
x1
)
ˆ ⋅ cos ( ωt + ϕ )
x2 = X
2
x2
Transformation der vorhandenen
Schwingungen in den Bildbereich
Durchführung der notwendigen
Rechenoperationen im Bildbereich
Rücktransformation aus dem
Bildbereich
Ergebnisschwingung im
Originalbereich
ˆ ⋅ cos ( ωt + ϕ )
x =X
x
Abb.5.4.01 Ablaufplan der Schwingungstransformation
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307
1etv5-2
5.4.2
Grundlagen komplexer Größen
Der Lernende
- kann komplexe Größen in der Komponentenform, der goniometrischen und in der Exponentialform
darstellen
- beherrscht Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division komplexer Größen
- beherrscht die Multiplikation mit einem reellen Faktor
- beherrscht die Bildung der negativen komplexen Größe
Da als Bildbereich in der Transformation die komplexe Zahlenebene benutzt wird, ist es
zweckmäßig, dass wir uns zunächst mit komplexen Größen, ihrer Darstellung in der
Elektrotechnik und dem Rechnen mit komplexen Größen wiederholend oder parallel zur
Mathematikausbildung beschäftigen.
a)
Darstellung komplexer Größen
Komplexe Größen sind Größen, die sich nicht am Zahlenstrahl darstellen lassen, sondern
zur Darstellung eine ebene Fläche benötigen. Diese Ebene wird als komplexe Ebene
bezeichnet und durch zwei Koordinaten beschrieben. Die Koordinaten können durch ein
kartesisches Koordinatensystem oder durch ein Polarkoordinatensystem dargestellt
werden.
Das kartesische Koordinatensystem ist ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit einer
Koordinatenachse in Richtung des Zahlenstrahls. Diese Koordinatenachse wird als reelle
Achse bezeichnet und umfasst die Menge der reellen Zahlen. Die dazu senkrechte
Koordinatenachse wird als imaginäre Achse bezeichnet und umfasst die Menge der
imaginären Zahlen. Die imaginären Zahlen werden in der Elektrotechnik mit der Größe j
gekennzeichnet.
j = −1
j2 = −1
(5.4.01)
Die komplexe Größe A ist in der Zahlenebene ein Pfeil der Länge A vom
Koordinatenursprung ausgehend zu einem Punkt in der Ebene. In kartesischen
Koordinaten wird die komplexe Größe A durch einen Realteil Re{A}in Richtung der
reellen Achse und einen Imaginärteil Im{A}in Richtung der imaginären Achse
beschrieben. Diese Darstellungsform der komplexen Größe wird als Komponentenform
bezeichnet.
A = Re {A} + j ⋅ Im {A}
(5.4.02)
Für Real- und Imaginärteil der komplexen Größe führen wir folgende Bezeichnungen ein:
Re {A} = A ⊥ (gesprochen: "A hoch et")
(5.4.03)
Im {A} = A ⊥⊥ (gesprochen: "A hoch ip")
⊥
A = A + jA
⊥⊥
(5.4.04)
(5.4.05)
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308
1etv5-2
In Abb.5.4.01 ist die komplexe Größe A mit ihrem Komponenten gezeigt.
Im
A
jA
j ⋅ Im {A}
α
A
Re {A}
Re
Abb.5.4.01 Darstellungsformen der komplexen Größe
Der Betrag der komplexen Größe A ist A. Aus den Komponenten wird der Betrag nach
Gl.5.4.06 berechnet.
A = A ⊥2 + A ⊥⊥2
(5.4.06
Werden die Komponenten der komplexen Größe unter Verwendung des Betrages und
des Winkels α bestimmt, erhalten wir die goniometrische Form.
A ⊥ = A ⋅ cos α
A ⊥⊥ = A ⋅ sin α
A = A ⋅ cos α + jA ⋅ sin α
(5.4.07)
(5.4.08)
Der Winkel α wird von der reellen Achse ausgehend durch einen Pfeil zur komplexen
Größe gezählt. α > 0 ist ein Winkel, der im mathematische positiven Drehsinn
(linksdrehend) angetragen wird. α < 0 bedeutet dann rechtsdrehend eingezeichnete
Winkel. Für den Betrag des Winkels vereinbaren wir α ≤ 180o . Durch den Winkelbereich
−180o ≤ α ≤ 180o können wir damit die gesamte Zahlenebene erreichen. Der Winkel α
kann unter Verwendung der Winkelfunktionen sin α , cos α und tanα aus Betrag A,
Realteil A ⊥ und Imaginärteil A ⊥⊥ aus Abb.5.4.01 bestimmt werden. Um das Vorzeichen
des Winkels richtig zu erfassen, sollten Sie diese Berechnung aber nur unter Verwendung
einer Skizze der komplexen Zahlenebene durchführen. Zur Darstellung in
Polarkoordinaten wird die komplexe Größe durch ihren Betrag A und den Winkel α
nach Gl.5.4.09 beschrieben.
A = A ⋅e{ }
(5.4.09)
Nun ist α = {α} ⋅ [ α ] mit [ α ] = rad . Da der Exponent grundsätzlich dimensionslos sein
jα
α
des im Bogenmaß angegebenen
rad
Winkels stehen. Die Kennzeichnung als Maßzahl wird allerdings meist weggelassen. Um
den Winkel auch in Grad angeben zu können, vereinbaren wir die Darstellungsform nach
Gl.(5.4.10), die wir "cis-Form" nennen.
muss, kann im Exponenten nur die Maßzahl {α} =
A=Aα
(gesprochen: "A cis α")
(5.4.10)
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1etv5-2
Zwischen der Exponentialform und der goniometrischen Komponentenform vermittelt die
Eulersche Beziehung
e { } = cos α + jsin α
jα
(5.4.11)
Beispiel 5.4.01
Gegeben ist der komplexer Strom I = 5A + j ⋅ 4A . Der komplexe Strom ist in der
Exponentialform und in der "cis-Form" anzugeben und in der komplexen Ebene
darzustellen.
Numerische Rechnungen mit komplexen Größen werden mit dem Taschenrechner
durchgeführt. Wie bereits in Kapitel 3 ausgeführt, sollten Sie über ein Rechengerät
verfügen, das komplexe Rechnungen ermöglicht.
I = I ϕi = 6.40A 38.7o
I = 6.40A
38.7o
ϕi = 38.7 ⇒ ϕir =
⋅ π rad = 0.215π rad = 0.675rad
180o
I = 6.40A ⋅ e j⋅0.215 π
o
Für die Darstellung des komplexen Stromes muss ein Darstellungsmaßstab mI festgelegt
werden. Dabei ist
I = mI ⋅ sI
(5.4.12)
sI ist die Länge des Strombetrages in einer Längenmaßeinheit [ sI ] = cm . Für die
Darstellung des Stromes I = 6.40A wählen wir mI = 1A / cm . Damit wird
I
6.40A
sI =
=
= 6.40cm
mI 1A / cm
Neben der Maßstabsangabe gibt man in der Zahlenebene die Strommaßeinheit durch
eine Längenangabe an. In Abb.5.4.02 ist der komplexe Strom dargestellt.
Im
1A
I
j4A
ϕI
5A
Re
Abb.5.4.02 Darstellung des komplexer Stromes nach Beispiel 5.4.01
Euler, Leonhard, schweizerischer Mathematiker (1707-1783)
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1etv5-2
b)
Rechnen mit komplexen Größen
Im Folgenden wollen wir die beiden komplexen Größen
A = A ⊥ + jA ⊥⊥ = A ⋅ e jα = A α
B = B⊥ + jB⊥⊥ = B ⋅ e jα = B β
durch Rechenoperationen miteinander verknüpfen.
Addition
S = A +B
Die Addition wird in der Komponentenform durchgeführt.
(
S = (A
) (
) + j( A
)
)
S = A ⊥ + jA ⊥⊥ + B⊥ + jB⊥⊥
⊥
+B
⊥
⊥⊥
+B
⊥⊥
(5.4.13)
In der Zahlenebene erfolgt die Addition durch Aneinandersetzen der komplexen Größen.
Die Summengröße S beginnt am Fußpunkt des ersten Summanden und endet an der
Pfeilspitze des zweiten Summanden. Komplexe Größen lassen sich dabei in der
komplexen Ebene beliebig verschieben. In Abb.5.4.03 ist die Addition in der
komplexen Ebene dargestellt.
Im
S=A+B
B
A
B
Re
Abb.5.4.03 Summenbildung komplexer Größen
Subtraktion
D = A −B
Subtraktion wird in der Komponentenform durchgeführt.
(
D = (A
) (
) + j( A
)
)
D = A ⊥ + jA ⊥⊥ − B⊥ + jB⊥⊥
⊥
− B⊥
⊥⊥
− B⊥⊥
(5.4.14)
In der komplexen Ebene wird die Subtraktion durchgeführt, in dem die zu subtrahierende
Größe, der Subtrahend, mit der Pfeilspitze an den Minuenden angesetzt wird. Die
Differenzgröße beginnt am Fußpunkt des Minuenden und endet am Fußpunkt des
Subtrahenden.
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1etv5-2
In Abb.5.4.04 ist die Differenzbildung in der komplexen Ebene dargestellt.
Im
B
A
B
Re
D= A - B
Abb.5.4.04 Differenzbildung komplexer Größen
Multiplikation mit reellem Faktor
C =K⋅A
Die Multiplikation mit einem reellen Faktor kann in der Komponenten- oder in
Exponentialform durchgeführt werden.
(
)
C = K ⋅ A ⊥ + jA ⊥⊥ = K ⋅ A ⊥ + jK ⋅ A ⊥⊥
jα
C = K ⋅A ⋅e = K ⋅A α = C γ
(5.4.15)
C =K⋅A α = γ
Die Multiplikation mit einem reellen Faktor verändert nur den Betrag der komplexen
Größe. In Abb.5.4.05 ist die Multiplikation mit dem reellen Faktor in der komplexen Ebene
dargestellt
Im
C =K⋅A
A
α A⊥
jA ⊥⊥
K⋅A
j⋅K ⋅ A
Re
Abb.5.4.05 Multiplikation mit einem reellen Faktor
Multiplikation
P = A ⋅B
Die Multiplikation wird in der Exponentialform durchgeführt.
P = A ⋅ e jα ⋅ B ⋅ e jβ = A ⋅ B ⋅ e (
j α+β )
= A ⋅B α + β
Die Multiplikation ist eine Drehstreckung der komplexen Größe. Die
(5.4.16)
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1etv5-2
Betragsänderung erfolgt durch die Multiplikation der Beträge, die Drehung durch
Addition der Winkel. In Abb.5.4.06 ist die Produktbildung in der komplexen Ebene
dargestellt.
Im
P
B
α+β
β
α
A
Re
Abb.5.4.06 Produktbildung komplexer Größen
Division
Die Division komplexer Größen wird in der Exponentialform durchgeführt.
Q=
A A ⋅ e jα A j( α−β ) A
=
= e
= α −β
B B ⋅ e jβ B
B
(5.4.17)
Die Division ist ebenfalls eine Drehstreckung. Die Änderung des Betrages erfolgt durch
die Division der Beträge, die Drehung durch die Subtraktion der Winkel.
In Abb.5.4.07 ist die Division in der komplexen Ebene dargestellt.
Im
B
β
α
Q
A
α −β
Re
Abb.5.4.07 Quotientenbildung komplexer Größen
Bildung der negativen komplexen Größe
Die negative komplexe Größe N wird gebildet, indem die komplexe Größe mit dem
reellen Faktor -1 multipliziert wird.
N = −1⋅ A = − A − j ⋅ A
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1etv5-2
Nach Gl.(5.4.11) ist
e± jπ = ±1800 = cos± π + jsin± π = −1
N = e jπ ⋅ A = A ⋅ e ± jπ ⋅ e jα = A ⋅ e j( ± π+α ) = A α ± 180o
(5.4.18)
Die Multiplikation mit -1 ist eine Drehung der komplexen Größe um ±180o . In Abb.5.1.08
ist die Bildung der negativen komplexen Größe in der komplexen Ebene dargestellt.
Im
A
α+π
-A
jA
α
A
-jA
N
α−π
Re
Abb.5.4.08 Bildung der negativen komplexen Größe
5.4.3
Komplexe Schwingungsberechnung
Der Lernende kann
- eine sinusförmige Schwingung in einen rotierenden Zeiger transformieren
- den Anfangs- oder ruhenden Zeiger definieren
- einen ruhenden Zeiger in eine sinusförmige Schwingung zurück transformieren
- Addition, Subtraktion, Multiplikation mit reellem Faktor, Differenziation und Integration im Bildbereich
durchführen
a)
Komplexe Schwingungstransformation
Die zeitlich sinusförmige Funktion (Gl.5.4.19)) einer physikalischen Größe haben wir auch
als Schwingung bezeichnet.
ˆ
ωt + ϕx )
x = Xcos(
(5.4.19)
Diesen Begriff wollen wir im Folgenden verwenden. Zur Erzielung von
Rechenvereinfachungen werden wir diese Schwingung, wie wir bereits in 5.4.1
beschrieben haben, in den Bildbereich transformieren. Der Bildbereich ist die komplexe
Ebene. Das Mittel für diese Transformation ist ein um den Koordinatenursprung in der
komplexen Ebene im mathematisch positiven Sinne (Linksdrehsinn) rotierender Zeiger.
Der Zeiger hat folgende Merkmale:
X̂
d α 2π
ω=
=
dt
T
T
1
f=
T
ω = 2π ⋅ f
Zeigerlänge
Winkelgeschwindigkeit
(5.4.20)
Periodendauer, Zeit für einen vollen Umlauf
Umlauffrequenz
(5.4.21)
(5.4.22)
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1etv5-2
ϕx
α = ωt
ωt + ϕ x
X̂
X̂
Winkel des Zeigers zur Zeit t = 0 gegenüber der reellen
Achse
in der Zeit t zurückgelegter Winkel
Gesamtwinkel zur Zeit t gegenüber der reellen Achse
Rotierender Zeiger
Zeiger zur Zeit t = 0 . Dieser Zeiger wird Anfangszeiger oder
ruhender Zeiger genannt
In Abb.5.4.09 ist der rotierende Zeiger in der komplexen Ebene dargestellt. Aus dieser
Abbildung ergeben sich für den rotierenden und den Anfangszeiger in goniometrischer
und Exponentialform
ˆ ˆ
ˆ sin(ωt + ϕ ) = X
ˆ ⋅ e j( ωt +ϕx ) = Xe
ˆ jωt eϕx
= Xcos(ωt + ϕx ) + jX
X
x
(5.4.23)
ˆ =X
ˆ ⋅ cos ϕ + jX
ˆ ⋅ sin ϕ = X
ˆ ⋅ e jϕ x
X
x
x
(5.4.24)
Im
t1
ω
X̂
X̂
ωt1
t =0
ϕx
Re
ϕx
x
ωt1
X̂
1
2
π
π
ωt
Abb.5.4.09 Rotierender Zeiger in der komplexen Ebene
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1etv5-2
Aus Gl.(5.4.23) und (5.4.24) ergibt sich der Zusammenhang zwischen rotierendem und
ruhendem Zeiger
ˆ ˆ jωt
= X⋅e
X
(5.4.25)
ˆ
Der Vergleich der Schwingung x = Xcos(
ωt + ϕx ) mit dem rotierenden Zeiger zeigt, dass
die Schwingung im Realteil des rotierenden Zeigers auftritt.
{}
ˆ
ˆ ⋅ cos ( ωt + ϕ )
=X
x = Re X
x
(5.4.26)
In Abb.5.4.09 ist die Schwingung mit in das Diagramm eingetragen, um die
Augenblickswerte der Schwingung mit der Zeitfunktion des Realteils vergleichen zu
können.
b) Transformationsvorschrift
Aus Gl.(5.4.26) ergibt sich die Transformationsvorschrift für die komplexe
Schwingungstransformation. Die Schwingung im Originalbereich wird zum rotierenden
Zeiger im Bildbereich. Der rotierende Zeiger wird gebildet aus der Schwingung als
Realteil und einer durch die Sinusfunktion beschriebenen Schwingung gleichen
Scheitelwertes X̂ und gleicher Winkelfunktion ωt + ϕx als Imaginärteil
{}
ˆ
Im { X
} = Xˆ ⋅ sin ( ωt + ϕ )
ˆ
ˆ ⋅ cos ( ωt + ϕ )
=x=X
Re X
x
x
ˆ ˆ
ˆ ⋅ sin(ωt + ϕ )
= X ⋅ cos(ωt + ϕx ) + jX
X
x
c)
(5.4.27)
(5.4.28)
Berechnung im Bildbereich
Nach der in 5.3. getroffenen Vereinbarung haben alle im linearen Netzwerk vorhandenen
Schwingungen gleiche Frequenz. Die Winkeldifferenz zwischen zwei Schwingungen, die
so genannte Phasenverschiebung, wird dadurch zeitunabhängig.
∆ϕ = (ωt + ϕx1 ) − (ωt + ϕ x2 ) = ϕx1 − ϕx2
(5.4.29)
Nach der Transformation der Schwingungen in den Bildbereich erhält man rotierende
Zeiger, die alle mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit rotieren. Die Phasenverschiebung
der Schwingung erscheint dann als Winkel zwischen den rotierenden Zeigern. Nach
Gl.(5.4.25) lassen sich die rotierenden Zeiger mittels der ruhenden Zeiger darstellen
ˆ
ˆ j( ωt +ϕx1 ) = X
ˆ e jϕx1 e jωt = X
ˆ 1e jωt
X
1 = X1e
1
ˆ
ˆ j8 ωt +ϕx 2 ) = X
ˆ e jϕx 2 e jωt = X
ˆ 2 e jωt
X
2 = X2 e
2
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1etv5-2
Alle rotierenden Zeiger enthalten das Zeitglied ejωt. Die speziellen Informationen der
Schwingung ( X̂ und ϕx) sind im Anfangszeiger oder ruhenden Zeiger
ˆ =X
ˆ ⋅ e jϕ x = X
ˆ ϕ
X
x
(5.4.30)
enthalten. Für die Berechnungen im Bildbereich werden daher nur die ruhenden Zeiger
benutzt. Bei sinusförmigen Schwingungen besteht der Zusammenhang zwischen
Scheitelwert und Effektivwert nach Gl.(5.1.14)
X̂ = 2 ⋅ X .
Im Weiteren werden wir nur noch ruhenden Effektivwertzeiger verwenden. Aus Gl.(5.4.30)
wird mit (5.1.14)
2 ⋅ X = 2 ⋅ X ⋅ e jϕ x = 2 ⋅ X ϕ x
X = X ⋅ e jϕ x = X ϕ x
(5.4.31)
Praktisch werden wir die Transformation der Schwingung in den Bildbereich so
durchführen, dass wir Effektivwert und Nullphasenwinkel der Schwingung unmittelbar zur
Bildung des ruhenden Effektivwertzeigers verwenden.
x = 2 ⋅ X ⋅ cos ( ωt + ϕ x )
⇒
X = X ϕx
(5.4.32)
Wie die einzelnen Rechenoperationen mit den ruhenden Effektivwertzeigern durchgeführt
werden, wollen wir in 5.4.4 untersuchen.
d)
Rücktransformation
Für die Rücktransformation wird der ruhende Ergebnis-Effektivwertzeiger X mit
2 ⋅ e jωt multipliziert und damit der rotierende Ergebniszeiger gebildet.
X̂ = 2 ⋅ X ⋅ e jωt
Die Ergebnisschwingung im Originalbereich erhalten wir als Realteil des rotierenden
Ergebniszeigers
{}
ˆ
= Re
x = Re X
{
}
2 ⋅ X ⋅ e jωt = 2 ⋅ X ⋅ cos ( ωt + ϕx )
(5.4.33)
Die Schwingung im Originalbereich wird durch Effektivwert X und Nullphasenwinkel ϕx
bestimmt. Beide Größen sind aber bereits im ruhenden Ergebnis-Effektivwertzeiger des
Bildbereiches enthalten:
X = X ϕx
(5.4.34)
Wir können also unmittelbar mit Gl.(5.4.34) die Ergebnisschwingung im Originalbereich
formulieren, indem wir X und ϕx in die Schwingungsgleichung einsetzen
x = 2 ⋅ X ⋅ cos ( ωt + ϕ x )
(5.4.35)
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1etv5-2
In Gleichung (5.4.35) muss ϕx im Bogenmaß eingesetzt werden. Da wir in der cis-Form
ϕx in Grad erhalten gibt Gl.(5.4.36) die Ergebnisschwingung im Originalbereich an, wobei
ϕx in Grad eingesetzt wird.
ϕ


x = 2 ⋅ X ⋅ cos  ωt + x o ⋅ π 
180


e)
(5.4.35)
Übersicht
In Abb.5.4.10 ist die gesamt Schwingungstransformation zusammen gestellt.
x = x1 + x2
x1 = 2 ⋅ X1 cos(ωt + ϕx1)
x2 = 2 ⋅ X2 cos(ωt + ϕx2)
Transformation in den Bildbereich:
Addition des Imaginärteils
ˆ = 2X ⋅ [cos(ωt+ϕ ) + j sin(ωt+ϕ )]
X
x
ˆ 1 =
X
2 X1 [cos(ωt+ϕx1) + j sin(ωt+ϕx1)]
2 X1 ej(ωt + ϕx1)
=
ˆ 2 =
X
2 X2 [cos(ωt+ϕx2) + j sin(ωt+ϕx2)]
2 X2 ej(ωt + ϕx2)
=
X1 = X1 ejϕx1 = X1 (cosϕx1 + j sinϕx1)
Bildung des ruhenden
Effektivwertzeigers
X2 = X2 ejϕx2 = X2 (cosϕx2 + j sinϕx2)
X = X1 + X2
x = Re
x=
{
2 ⋅ X ⋅e jωt
Rechenoperation im Bildbereich
}
2X ⋅ cos(ωt + ϕx)
Rücktransformation
Ergebnisschwingung
Abb.5.4.10 Komplexe Schwingungstransformation
x
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1etv5-2
5.4.4
Rechenregeln der komplexen Schwingungsberechnung
Der Lernende kann
- rotierende Zeiger addieren und subtrahieren, mit einem reellem Faktor multiplizieren,
differenzieren und integrieren
- die Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation mit reellem Faktor, Differenziation und
Integration mit ruhenden Zeigern durchführen
In 5.3.2 hatten wir festgestellt, dass bei der Berechnung linearer Netzwerke bei
sinusförmiger Erregung die Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation mit
einem konstanten Faktor, Differenziation und Integration durchgeführt werden müssen. Im
Folgenden wollen wir untersuchen, wie wir diese Operationen des Originalbereich im
Bildbereich mit ruhenden Effektivwertzeigern realisieren müssen. Dabei soll gleichzeitig
überprüft werden, inwieweit die im Bildbereich erzielten Ergebnisses mit dem Ergebnis im
Originalbereich übereinstimmen.
a)
Addition, Subtraktion
Originalbereich:
x = x1 ± x2 =
2 X1 cos(ωt + ϕx1) ±
2 X2 cos(ωt + ϕx2)
Bildbereich:
ˆ ˆ
ˆ
= X1 ± X
X
2 ⋅ ( X1 ± X2 ) ⋅ e jωt
2 =
X = X1 ± X2 = (X1 cosϕx1 ± X2 cosϕ2) + j (X1 sinϕx1 ± X2 sinϕx2)
x = Re
x=
{
}
2 ⋅ X ⋅ e jωt = Re
{
2 ⋅ X⋅e (
j ωt +ϕx )
}
2 X1cos x = 2 ⋅ X1 cos(ωt + ϕx1 ) ± 2 ⋅ X2 cos(ωt + ϕx2 ) ±
2 X2 cos ( ωt + ϕx2 )
Die Addition oder Subtraktion wird im Bildbereich mit ruhenden Effektivwertzeigern nach
Gl.(5.4.36) durchgeführt. Die Rücktransformation liefert gleiche Ergebnisse wie die
Durchführung der Operation im Originalbereich.
X = X1 ± X2
(5.4.36)
Beispiel 5.4.02
Es ist die Summe der Ströme i1 und i2 zu bilden
i1 = 2 ⋅ 5A ⋅ cos ( ωt + 41 π )
I1 = 5A
ϕi1 = 45o
i2 = 2 ⋅ 3A ⋅ cos ( ωt + 61 π )
I2 = 3A
ϕi2 = 30o
i = i1 + i2
Transformation der Ströme in den Bildbereich
I 1= 5A 450 = 3.54A + j3.54 A
I 2 = 3A 300 = 2.60A + j1.50A
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Durchführung der Rechenoperation im Bildbereich
I = I 1+ I 2
I = 3.54A + j3.54A + 2.60A + j1.50A = 6.14A + j5.04A
I = 7.94A 39.40
Rücktransformation in den Originalbereich
(
)
i = 2 ⋅ 7.94A ⋅ cos ωt + 39.4
π = 2 ⋅ 7.94A ⋅ cos ( ωt + 0.219π )
180o
o
Darstellung der Rechenoperation in der komplexen Ebene, Zeigerbild
Maßstab: mI = 1A/cm
Im
I2
1A
ϕI2
I2⊥
I
I1
jI2⊥⊥
jI⊥⊥
jI1⊥⊥
ϕI
ϕI1
I1⊥
I⊥
Re
Abb.5.4.11 Zeigerbild zu Beispiel5.4.02
b)
Multiplikation mit konstantem Faktor
Originalbereich:
x = A x1 = A
2 X1 cos(ωt + ϕx1)
Bildbereich:
ˆ
ˆ
X
2 ⋅ A ⋅ X1 ⋅ e jωt
= A⋅X
1 =
X = A ⋅ X1 = A ⋅ X1 ⋅ ( cos ϕ1 + jsin ϕ1 )
x = Re
x=
{
}
2 ⋅ X ⋅ eωt = Re
{
2 ⋅ X ⋅ e(
ωt +ϕx1 )
}
2 ⋅A X1 cos(ωt+ϕx1)
Die Multiplikation mit dem reellen Faktor wird im Bildbereich mit ruhenden
Effektivwertzeigern nach Gl.(5.4.37) durchgeführt. Die Rücktransformation liefert gleiche
Ergebnisse wie die Durchführung der Operation im Originalbereich.
X = A ⋅ X1
(5.4.37)
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1etv5-2
Beispiel 5.4.03
Der Widerstand R = 100Ω wird vom Strom i = 2 ⋅ 1.5A ⋅ cos ( ωt − 41 π ) durchflossen. Es ist
der Spannungsabfall u über dem Widerstand zu berechnen.
u=iR
i = 2 ⋅ 1.5A ⋅ cos ( ωt − 41 π )
I = 1.5A
ϕi = −45o
Transformation des Stromes in den Bildbereich
I = 1.5A −45o = 1.06A − j1.06A
Berechnung der Spannung im Bildbereich
U = R ⋅ I = 100Ω ⋅ 1.5A −45o = 150V −45o = 106V − j106V
Rücktransformation der Spannung in den Originalbereich
(
)
45
u = 2 ⋅ 150V ⋅ cos ωt − 180
= 2 ⋅ 150V ⋅ cos ( ωt − 41 π )
o π
o
Darstellung der Rechenoperation im Zeigerbild
Maßstäbe: mI = 0.333A/cm;
mU = 20V/cm
Im
I⊥
U⊥
Re
ϕI = ϕU
jI⊥⊥
I
jU⊥⊥
20V
U
1A
Abb.5.4.12 Zeigerbild zu Beispiel 5.4.03
c)
Differenziation
Originalbereich:
dx1
= d( 2 X1 cos(ωt + ϕx1)) = ω 2 X1 (-sin(ωt + ϕx1))
x=
dt
x = ω 2 X1 cos(ωt + ϕx1 + 21 π )
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1etv5-2
Bildbereich:
j ωt +ϕ
ˆ
d 2 ⋅ X1 ⋅ e ( x1 )
dX
j ωt +ϕ
1
X̂ =
=
= 2 ⋅ jω ⋅ X1 ⋅ e ( x1 ) = 2 ⋅ jω ⋅ X1 ⋅ e jωt
dt
dt
X̂ = 2 ⋅ X ⋅ e jωt
(
)
X = jω ⋅ X1
(5.4.38)
j ωt +ϕ
X̂ = jω ⋅ 2 ⋅ X1 ⋅ e ( x1 ) = jω ⋅ 2 ⋅ X1 ⋅ ( cos ( ωt + ϕx1 ) + j ⋅ sin ( ωt + ϕx1 ) )
X̂ = ω ⋅ 2 ⋅ X1 ⋅ ( − sin ( ωt + ϕx1 ) + j ⋅ cos ( ωt + ϕx1 ) )
{}
ˆ
= ω ⋅ 2 ⋅ X1 ⋅ ( − sin ( ωt + ϕx1 ) = ω ⋅ 2 ⋅ X1 ⋅ cos ( ωt + ϕx1 + 21 π )
x = Re X
Die Differenziation wird im Bildbereich mit ruhenden Effektivwertzeigern nach Gl.(5.4.38)
durchgeführt. Im Bildbereich wird die Differenziation zu einer Multiplikation mit jω.
Die Multiplikation mit j bedeutet, wie wir in 5.4.4 behandeln werden, eine Drehung um 90o
im mathematisch positivem Sinne. Die Rücktransformation liefert gleiche Ergebnisse wie
die Durchführung der Operation im Originalbereich.
Beispiel 5.4.04
Eine Spule mit der Induktivität L = 2mH wird vom Strom i = 2 ⋅ 10A ⋅ cos ( ωt + 61 π )
durchflossen. Der Strom hat die Frequenz f = 50Hz. Zu berechnen ist die Spannung über
der Spule
di
u =L⋅
dt
i = 2 ⋅ 10A ⋅ cos ( ωt + 61 π )
I = 10A;
ϕi = 30o ;
f = 50Hz ω = 314s−1 ;
Transformation des Stromes in den Bildbereich
I = 10A 30o = 8.66A + j5.00A
Durchführung der Rechenoperation im Bild bereich
Nach Gl.5.4.11 ist
j
π
2
j = e = 90o
U = L ⋅ jω ⋅ I = L ⋅ ω ⋅ I ⋅ 90o = L ⋅ ω ⋅ I ⋅ ϕI + 90o
U = 2 ⋅ 10−3 H ⋅ 314s−1 ⋅ 10A 30o + 90o = 6.28V 120o = −3.14V + j5.44V
Rücktransformation in den Originalbereich
(
)
u = 2 ⋅ 6.28V ⋅ cos ωt + 120
π = 2 ⋅ 6.28V ⋅ cos ( ωt + 32 π )
180o
o
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1etv5-2
Darstellung der Rechenoperation im Zeigerbild
mU = 1V / cm
Maßstäbe: mI = 1A / cm
Im
jU⊥⊥
1V
1A
U
jI⊥⊥
I
π/2
U⊥
ϕU
ϕI
I⊥
Re
Abb.5.4.13 Zeigerbild zu Beispiel 5.4.04
d)
Integration
Originalbereich
x = ∫ x1 ⋅ dt = ∫ 2 ⋅ X1 ⋅ cos ( ωt + ϕx1 ) = 2 ⋅
x = 2⋅
X1
⋅ sin ( ωt + ϕx1 )
ω
X1
⋅ cos ( ωt + ϕx1 − 21 π )
ω
Bildbereich
2 ⋅ X1 j( ωt +ϕx1 )
X
ˆ
ˆ
= ∫X
⋅e
= 2 1 ⋅ e jωt
X
2 ⋅ X1 ⋅ ∫ e j( ωt +ϕx1 )dt =
1 ⋅ dt =
jω
jω
X̂ = 2 ⋅X ⋅ e jωt
X
X= 1
jω
(5.4.39)
2 ⋅ X1
ˆ − j ˆ
= ⋅ X1 =
⋅ ( sin(ωt + ϕx1 ) − jcos(ωt + ϕx1 ))
X
ω
ω
X
X
ˆ
= 2 ⋅ 1 ⋅ sin ( ωt + ϕx1 ) = 2 ⋅ 1 ⋅ cos ( ωt + ϕx1 − 21 π )
x = Re X
ω
ω
Die Integration wird im Bildbereich mit ruhenden Effektivwertzeigern nach Gl.(5.4.39)
durchgeführt. Im Bildbereich wird die Integration zu einer Division durch jω. Die
Division durch j bedeutet, wie wir in 5.4.4 behandeln werden, eine Drehung um -90o, also
ein Zurückdrehen um 90o. Die Rücktransformation liefert gleiche Ergebnisse wie die
Durchführung der Operation im Originalbereich.
{}
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Beispiel 5.4.05
Ein Kondensator mit der Kapazität C = 0.5µF wird vom Strom i = 2 ⋅ 10A ⋅ cos ( ωt + 61 π )
durchflossen. Der Strom hat die Frequenz f = 50Hz. Zu berechnen ist die Spannung über
dem Kondensator.
1
u = ⋅ ∫ i ⋅ dt
i = 2 ⋅ 10A ⋅ cos ( ωt + 61 π )
I = 10A; ϕi = 30o ;
C
f = 50Hz ω = 314s−1 ;
Transformation des Stromes in den Bildbereich
I = 1mA 30o = 0.866mA + j0.500mA
Durchführung der Rechenoperation im Bild bereich
Nach Gl.5.4.11 ist
−j = e
−j
π
2
= −90 o
1
1
I
⋅I =
⋅ I ⋅ −90o =
⋅ ϕI − 90o
ωC
ωC
ωC
1mA ⋅ V
U = ⋅⋅
30o − 90o = 6.37V −60o = 3.19V − j5.52V
−1
−6
314s ⋅ 0.5 ⋅ 10 As
U = −j
Rücktransformation in den Originalbereich
(
)
60
u = 2 ⋅ 6.37V ⋅ cos ωt − 180
= 2 ⋅ 6.37V ⋅ cos ( ωt − 31 π )
o π
Darstellung der
Rechenoperation im Zeigerbild
Maßstäbe:
mI = 0.1mA/cm
mU = 1V / cm
o
Im
1V
0.1mA
jI⊥⊥
I
ϕI
−π / 2
U
U⊥
I⊥
ϕU
jU⊥⊥
Abb.5.4.14 Zeigerbild zu Beispiel 5.4.05
Re
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5.5 Operatoren
Der Lernende kann
- den komplexen Operator definieren
- den Versor definieren und wichtige Versoren angeben
- Multiplikation und Division des Operators mit einem Zeiger durchführen
- die Widerstands- und Leitwertoperatoren der Grundschaltelemente angeben
- Reihen- und Parallelschaltungen komplexer Widerstandsoperatoren berechnen
5.5.1
Definition des Operators
In den Beispielen 5.4.03 bis 5.4.05 hatten wir im Bildbereich die komplexe Spannung über
einem Widerstand, einer Spule und einem Kondensator berechnet. Es ergaben sich dabei
die komplexen Gleichungen
U = R⋅ I
U = jωL ⋅ I
1
1
⋅ I = −j
⋅I
U=
ωC
jωC
(5.5.01)
(5.5.02)
(5.5.03)
Da es sich in allen drei Gleichungen um den Zusammenhang zwischen der komplexen
Spannung U und dem komplexen Strom I handelt, lässt sich der Zusammenhang mit
der Einführung der komplexen Größe Z allgemein schreiben.
U = Z⋅ I
(5.5.04)
Diese komplexe Größe Z wird Operator genannt. Der Operator ist eine komplexe
physikalische Größe, die nur im Bildbereich existiert. Ruhende Zeiger und Operatoren
werden im Bildbereich in gleicher Weise als physikalische Größen dargestellt und
behandelt. Die unterschiedlichen Bezeichnungen sollen aber darauf hinweisen, dass es
sich beim Zeiger um das Abbild einer Schwingung im Bildbereich handelt. Mit Operatoren
wird beispielsweise das Widerstands- und Leitwertverhalten der Grundschaltelemente im
Bildbereich beschrieben. Operatoren charakterisieren deshalb in der Multiplikation oder
Division mit Zeigern im Bildbereich das Strom-Spannungs-Verhalten der Bauelemente
und Netzwerke. Allgemein gilt für den Operator als komplexe Größe
Z = Z ⊥ + jZ ⊥⊥ = Z ⋅ e jϕZ = Z ϕZ
(5.5.05)
Z = Z ⊥2 + Z ⊥⊥2
Z ⊥⊥
tan ϕZ =
Z⊥
(5.5.06)
In Abb.5.5.01 ist der Operator in der komplexen Ebene dargestellt.
(5.5.07)
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Im
Z
jZ
ϕZ
Z
Re
Abb.5.5.01 Darstellung des Operators in der komplexen Ebene
5.5.2
Multiplikation, Division des Operators mit einem Zeiger
Zeiger können mit Operatoren multipliziert oder durch Operatoren dividiert werden. Diese
Operationen werden nach Gl.(5.4.16) und (5.4.17) durchgeführt.
X ⋅ Z = X ϕ x ⋅ Z ϕZ = X ⋅ Z ϕ x + ϕZ
(5.5.08)
X X ϕx X
=
= ⋅ ϕ x − ϕZ
Z Z ϕZ Z
(5.5.09)
Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Winkel addiert, bei der
Division werden die Beträge geteilt und die Winkel subtrahiert. In Abb.5.5.02 sind beide
Operationen dargestellt.
Im
Im
X⋅Z
X
X
ϕZ + ϕ x
ϕx
Z
ϕx
ϕZ
X
Z
ϕ x − ϕZ
Re
Abb.5.5.02 a) Multiplikation Zeiger mit Operator
5.5.3
Z
ϕZ
Re
b) Division Zeiger durch Operator
Dreher (Versor)
Ein Operator mit dem dimensionslosen Betrag 1 wird als Dreher (Versor) bezeichnet. Bei
der Multiplikation eines Versors mit einem Zeiger wird dessen Betrag nicht verändert,
sondern nur sein Winkel im Koordinatensystem.
v = cosϕv + j sinϕv = e jϕv = ϕv
v =1
(5.5.10)
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In Abb.5.5.03 ist der Dreher in der komplexen Ebene dargestellt.
Im
v
jv
ϕV
v
1
Re
Abb.5.5.03 Dreher in der komplexen Ebene
Wird ein Zeiger mit einem Versor multipliziert wird er bei Beibehaltung seines Betrages
um den Versorwinkel im mathematisch positivem Sinne gedreht. Wird ein Zeiger durch
einen Versor dividiert, so wird er bei Beibehaltung seines Betrages um den Versorwinkel
zurück gedreht.
X ⋅ v = X ϕ x + ϕv
(5.5.11)
X
= X ϕ x − ϕv
v
(5.5.12)
In Abb.5.5.04 sind beide Operationen in der komplexen Ebene dargestellt.
Im
Im
X⋅v
X
ϕ x + ϕv
ϕx
X
v
ϕx
v
X
v
ϕ x − ϕv
Re
ϕv
Re
ϕv
Abb.5.5.04 a) Multiplikation Zeiger mit Versor
b) Division Zeiger durch Versor
Wichtige Versoren:
900
ejπ/2
j
+90o - Dreher
−90o
e-jπ/2
-j
−90o - Dreher
±180o
e±jπ
-1
±180o - Dreher
a = 120o
e j2 π / 3
− 21 + j 21 3
+120o - Dreher
a 2 = −120o
e-j2π/3 =
ej4π/3
− 21 − j 21 3
−120o - Dreher
Tab.5.5.01 Wichtige Versoren
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327
1etv5-2
5.5.4
Widerstands- und Leitwertoperatoren der Grundschaltelemente
In 5.2 hatten wir den Wechselstromwiderstand der Grundschaltelemente durch
Scheinwiderstand Z und Phasenverschiebung ϕ definiert
Wechselstromwiderstand
U
Z=
I
Phasenverschiebung
ϕ = ϕu - ϕi
Widerstand
Spule
Kondensator
ZR = R
ZL = ω L
ZC =
ϕR = 0
ϕL = 21 π
ϕC = − 21 π
1
ω⋅C
Tab.5.5.02 Wechselstromwiderstände
Wir definieren nun ausgehend von der Definition des Wechselstromwiderstandes den
komplexen Widerstandsoperator
U U j( ϕu −ϕi )
= ⋅e
= Z ⋅ e jϕ = Z ϕ
I
I
U
Z=
I
ϕZ = ϕ = ϕu − ϕi
Z=
(5.5.13)
(5.5.14)
(5.5.15)
und den komplexen Leitwertoperator
I
I
= ⋅ e− j( ϕu −ϕi ) = Y ⋅ e− jϕ = Y −ϕ
(5.5.16)
U U
Damit ergeben sich die in Tab.5.5.03 zusammengestellten komplexen Operatoren der
Grundschaltelemente
Y=
Widerstand
I
U
Spule
I
ZR
Widerstandsoperator
ZR = R ej0 = R 0o
ZR = R
U
ZL
ZL = ω L ejπ/2
XL = ω L
ZL = jXL = XL 90o
Kondensator
I
U
ZC
1
⋅ e − jπ / 2
ωC
1
XC =
ωC
ZC =
Z C = − j X C = X C −90 o
Leitwertoperator
1 j0
⋅ e = G 0o
R
YR = G
Y=
1
ZL
1
BL =
XL
1
ZC
1
BC =
XC
YL = BL −90o
YC = BC 90o
YL =
YC =
Tab.5.5.03 Widerstands- und Leitwertoperatoren der Grundschaltelemente
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328
1etv5-2
Der Widerstandsoperator des Ohmschen Widerstandes ist die rein reelle Größe R und
wird Resistanz oder Wirkwiderstand bezeichnet. Die Widerstandsoperatoren von Spule
und Kondensator sind rein imaginäre Größen und werden mit dem Formelzeichen X
gekennzeichnet und Reaktanz oder Blindwiderstand genannt. Bei den
Leitwertoperatoren ist der Leitwertoperator des Ohmschen Widerstandes der Wirkleitwert
G, die Leitwertoperatoren von Spule und Kondensator werden als Blindleitwerte mit dem
Formelzeichen B gekennzeichnet. In Abb.5.5.05 sind die Widerstands- und
Leitwertoperatoren in der komplexen Ebene dargestellt.
Im
Im
ZL = jXL
YC = jBC
ZR = R
YR = G
Re
ZC = − jXC
Re
YL = − jBL
Abb.5.5.05 Grundschaltelemente
a) Widerstandsoperatoren der
b) Leitwertoperatoren
Der Betrag des Widerstandsoperators Z, der Wechselstromwiderstand oder
Scheinwiderstand, wird als Impedanz bezeichnet.
5.5.5
Berechnung komplexer Widerstandsoperatoren
Mit den komplexen Widerstandsoperatoren kann in gleicher Weise verfahren werden wie
mit den Ohmschen Widerständen im Gleichstromkreis. Während allerdings im
Gleichstromkreis nur Ohmsche Widerstände vorlagen, also nur reelle Werte, werden wir
es jetzt im Bildbereich mit komplexen Widerständen zu tun haben. Analog zu den
Gleichstrom-Widerstands-Schalungen wollen wir im Folgenden möglich Schaltungen von
Widerstandsoperatoren untersuchen.
a)
Reihenschaltungen
Widerstandsschaltungen
R = R1 + R2 + ... + Rn =
∑R
ν
Widerstandsoperatoren
Z = Z1 + Z2 + ... Zn =
∑Z
ν
(5.5.17)
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329
1etv5-2
Beispiel 5.5.01
Die Widerstandsoperatoren Z1 = 3Ω + j 5Ω und Z2 = 7Ω - j 2Ω sind in Reihe geschaltet.
Zu bestimmen ist der Gesamtwiderstandsoperator
Z = Z1 + Z2 = 3Ω + j 5Ω + 7Ω - j 2Ω = 10Ω + j 3Ω = 10.4Ω/16.7o
j5Ω
3Ω
7Ω
− j2Ω
j3Ω
10Ω
Abb.5.5.06 Schaltungen zu Beispiel 5.5.01
b)
Parallelschaltungen
Leitwertschaltungen
G = G1 + G2 + ... + Gn =
Leitwertoperatoren
Y = Y1 + Y2 + ... + Yn =
∑G
ν
∑Y
(5.5.18)
ν
Beispiel 5.5.02
Der Widerstand R = 100Ω und der Kondensator mit der Kapazität C = 66.7nF sind parallel
geschaltet. Die Schaltung wird mit der Frequenz f = 15.9kHz betrieben. Zu berechnen
sind Gesamtleitwertoperator und Gesamtwiderstandsoperator.
XC =
ZR = R
1
1
=
= 150Ω
2π ⋅ f ⋅ C 2π ⋅ 15.9kHz ⋅ 66.7nF
1
= 10mS
100Ω
j
= j 6.67mS
ZC = -j150Ω YC =
150Ω
ZR = 100Ω
ZC = − jXC
Abb.5.5.07 Schaltung zu
Beispiel 5.5.02
YR =
Y = YR + YC = 10mS + j6.67mS = 12.0mS 33.7o
1
Z = = 83.2Ω −33.7o = 69.2Ω − j46.2Ω
Y
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1etv5-2
Liegen nur 2 Widerstände parallel, so konnten wir den Gesamtwiderstand nach folgender
Gleichung berechnen:
R1 ⋅ R2
R1 + R2
Z ⋅Z
Z= 1 2
Z1 + Z2
R=
Widerstandsschaltung:
Widerstandsoperatoren
(5.5.19)
R1
Z1
R2
Z2
Abb. 5.5.08 Parallelschaltung von
a) Zwei Widerständen
b) Zwei Widerstandsoperatoren
Für Beispiel 5.5.02 kann der Gesamtwiderstand mit Gl.(5.5.19) berechnet werden
Z1 = R = 100Ω
Z2 = − jXC = − j150Ω
R ⋅ ( − jXC ) − j100Ω ⋅ 150Ω
15000Ω 2 −90o
Z=
=
=
= 83.2Ω −33.7o
o
R − jXC
100Ω − j150Ω 180.3Ω −56.3
c)
Umwandlung Reihen- und Parallelschaltungen
Bei komplexen Widerstandsschaltungen kann der Gesamtwiderstand durch eine ReihenErsatzschaltung oder durch eine Parallel-Ersatzschaltung beschrieben werden. Beide
Schaltungen liefern den gleichen Gesamtwiderstandsoperator zwischen den Klemmen
der Abb.5.5.09.
Z1P
Z1R
Z2R
Z2P
Abb.5.5.09
a) Parallel-Ersatzschaltung
b) Reihen-Ersatzschaltung
Bei der Umwandlung einer Parallel- in eine Reihenschaltung wird der
Gesamtwiderstandsoperator der Parallelschaltung berechnet und in der
Komponentenform dargestellt. Real- und Imaginärteil der Komponentendarstellung sind
die Werte von Resistanz und Reaktanz der Reihenschaltung.
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1etv5-2
Beispiel 5.5.03
Gegeben sind die parallel geschalteten Widerstandsoperatoren Z1P = RP = 100Ω und
Z2P = − jXC = − j150Ω . Zu bestimmen sind die Widerstandsoperatoren der
Reihenschaltung.
Z=
R ⋅ ( − jXC ) − j100Ω ⋅ 150Ω
Z1 ⋅ Z2
15000Ω2 −90o
=
=
=
Z1 + Z2
R − jXC
100Ω − j150Ω 180.3Ω −56.3o
Z = 83.2Ω −33.7o = 69.2Ω − j46.2Ω
Z1R = RR = 69.2Ω
Z2R = − jXCR = − j46.2Ω
Liegt eine Reihenschaltung vor, die in eine äquivalente Parallelschaltung umgewandelt
werden soll, dann wird aus dem Gesamtwiderstandsoperator Z der Leitwertoperator Y
gebildet. Real- und Imaginärteile des Leitwertoperators ergeben Wirkleitwert G und
Scheinleitwert B der Parallelschaltung. Die Kehrwerte von G und B sind Resistanz R und
Reaktanz X der Parallelschaltung.
Beispiel 5.5.04
Es liegt die Reihenschaltung der Widerstandsoperatoren ZR = R = 69.2Ω und
ZC = − jXC = − j46.2Ω vor. Zu bestimmen sind die Widerstandsoperatoren der
Parallelschaltung.
Z = 69.2Ω - j 46.2Ω= 83.2Ω −33.7o
1
Y = = 12.0mS 33.7o = 10mS + j6.67mS
Z
1
1
1
1
Z1P =
Z2P =
=
= 1 00 Ω
=
= − j150Ω
Y1P 10mS
Y2P j6.67mS
Soll die Umwandlung allgemein ohne Zahlenwerte vorgenommen werden, so wird die
Trennung des Widerstands- oder des Leitwertoperators in Real- und Imaginärteil
folgendermaßen vorgenommen. Nach Abb. 5.5.10 soll die Umwandlung der
Parallelschaltung in eine Reihenschaltung erfolgen.
RP
RR
− jXCR
− jXCP
Abb.5.5.10 Umwandlung einer Parallel- in eine
Reihenschaltung
Z=
RP ⋅ ( − jXCP )
RP − jXCP
(5.5.20)
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1etv5-2
Gl.(5.5.20) wird in Real- und Imaginärteil getrennt, in dem der Nenner reell gemacht wird.
Das erfolgt durch konjugiert komplexe Erweiterung. Der konjugiert komplexe Wert einer
komplexen Größe hat den gleichen Realteil, aber einen vorzeichengewechselten
Imaginärteil. Die Multiplikation einer komplexen mit ihrer konjugiert komplexen Größe
ergibt einen reellen Wert.
(5.5.21)
(R + jX ) ⋅ (R − jX ) = R2 + X2
Gl.(5.5.20) wird also mit RP + jXCP erweitert.
c)
2
RP ( − jXCP )(RP + jXCP )
RP XCP
RP2 XCP
Z=
=
−j 2
2
(RP − jXCP )(RP + jXCP ) RP2 + XCP
RP + XC2 P
(5.5.22)
2
RP XCP
RR = 2
RP + XC2 P
(5.5.24)
(5.5.23)
XCR
RP2 XCP
= 2
RP + XC2 P
Gemischte Schaltungen
Liegen Reihen- und Parallelschaltungen in einer Schaltung vor, erfolgt die Bestimmung
des Gesamtwiderstandsoperators durch schrittweises Zusammenfassen der
Widerstandsoperatoren.
Beispiel 5.5.05
Es liegt die Schaltung nach 5.5.11 vor mit R = 10Ω; XL = 5Ω; XC = 10Ω. Zu ermitteln ist
der Gesamtwiderstandsoperator.
jXL
R
− jXC
Abb.5.5.11 Schaltung zu Beispiel 5.5.05
Zuerst fassen wir R und jXL zu Z1 zusammen
und bilden den Leitwertoperator Y1 :
Z1 = R + j XL = 10Ω + j5Ω = 11.2Ω 26.6o
1
= 89.4mS −26.6o = = 80Ω - j40Ω
Y1 =
Z1
ZC = − j10Ω = 10Ω −90o
1
= 100mS 90o = j100mS
YC =
ZC
Y = Y + YC = 80mS + j60mS = 100mS 36.9o
Y = 80mS + j60mS = 100mS 36.9o
1
Z = 10Ω Z = = 10Ω −36.9o = 8.00Ω − j6.00Ω =
Y
Die Berechnung des Gesamtwiderstandes kann auch mit Gl.(5.5.19) erfolgen.
Die beiden parallelen Widerstandsoperatoren sind:
Z1 = R + jXL und Z2 = − jXC
Z=
Z1 ⋅ Z 2 (R + jXL )( − jXC ) − jRXC + XL XC
=
=
Z1 + Z2
R + j ( XL − XC ) R + j ( XL − XC )
Z=
50Ω 2 − j100Ω2
= 10Ω −36.9o
10Ω − j5Ω