Blatt 1 - FiMS - Technische Universität Kaiserslautern

Technische Universität Kaiserslautern
Fachbereich Mathematik
Dr. Florentine Bunke
Wintersemester 2011/2012
VORKURS MATHEMATIK
für Studierende der Studiengänge Mathematik, Informatik und
Wirtschaftsingenieurwesen (Vertiefung Informatik)
Übungsblatt 1
Aufgabe 1
Es ist kurz vor 12 Uhr an diesem 4. Oktober 2011, als der neue Student Hugo nach seiner
ersten Vorkursvorlesung ins Freie tritt. Das Mathefrühstück ist längst verdaut und ihm wird
bewusst, welchen Bärenhunger er hat. Da er etwas getrödelt hat und deshalb seine heute neu
kennengelernten Kommilitonen aus den Augen verloren hat, kramt er seinen Gebäudelageplan
der TU Kaiserslautern heraus, um ihn nach der Mensa abzusuchen. Darauf kann er zwar die
Nummern der Gebäude erkennen, doch leider ist die Legende abgerissen, die erklärt, was
sich hinter den einzelnen Gebäuden verbirgt. Er fragt deshalb eine gerade vorbeikommende
Studentin höheren Semesters um Rat. Diese ist zum Leidwesen von Hugo der Ansicht, dass
ein gewisses Mindestmaß an logischem Denkvermögen Zugangsvoraussetzung für die Mensa
sein sollte. Sie verrät ihm zunächst nur, dass sich die Mensa in einem der Gebäude 28, 30,
32 oder 48 befindet. Die einzige weitere Hilfe, die die unbarmherzige Studentin anbietet, ist,
dass sie ihm noch drei Hinweise gibt, von denen genau zwei falsch sind:
(1) Die Mensa befindet sich in Gebäude 48 oder 30.
(2) Die Mensa befindet sich in Gebäude 32.
(3) Die Mensa befindet sich nicht in Gebäude 30.
Mit knurrendem Magen überlegt Hugo eine Weile und stöhnt dann ungeduldig: Damit ist
”
immer noch nicht klar, wo die Mensa ist, es sind zwei Gebäude möglich.“ (Welche?)
Gut“, sagt die Studentin, dann gebe ich Dir noch einen vierten Hinweis, aber ich sage Dir,
”
”
dass von allen vier Hinweisen nur genau einer stimmt:“
(4) Die Mensa befindet sich in Gebäude 28 oder 32.
Hugo gelingt es mit aller Willenskraft, die an seinem inneren Auge vorbeiziehenden hämisch
grinsenden Wiener Schnitzel mit Pommes zu ignorieren und sich noch ein letztes Mal zu
konzentrieren.
Dann rennt er plötzlich los. (Wohin und warum?)
Aufgabe 2
Es seien die folgenden Aussagen gegeben: A: Es schneit, B: Es ist kalt.
Übersetzen Sie die folgenden Aussagen in die Umgangssprache.
a) A ∧ B
b) A ∧ ¬B
c) A ⇒ B
d) ¬A ∧ ¬B
e) ¬(A ∨ B)
Das Gegenteil einer wahren Aussage ist eine falsche Aussage.
Das Gegenteil einer tiefen Wahrheit kann eine andere tiefe Wahrheit sein.
Niels Bohr
Aufgabe 3
Wie lautet die jeweilige Negation der folgenden Aussagen? Formalisieren Sie zunächst die
Aussagen mit Symbolen der Aussagenlogik, führen Sie dann die Negation formal durch und
übersetzen“ Sie dann die verneinte Aussage zurück in die Umgangssprache.
”
(i) Alle Mathematikstudenten sind lustige langhaarige Linkshänder.“
”
(ii) Es gibt einen Informatikstudenten, der eine Brille oder Kontaktlinsen trägt.“
”
(iii) Für alle natürlichen Zahlen gilt: Wenn a < b ist, so ist a2 < b2 .“
”
Aufgabe 4
a) Beweisen Sie indirekt: Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 2, 3, 7 oder 8 ist, dann ist sie
keine Quadratzahl.
b) Ist die Aussage “Die Zahl n2 + n + 41 ist für alle n ∈ N eine Primzahl” wahr oder falsch?
Beweisen Sie Ihre Behauptung.
c) Finden Sie einen direkten Beweis des Satz des Thales: Konstruiert man ein Dreieck aus
den zwei Endpunkten A und B des Durchmessers eines Halbkreises (des Thaleskreises)
und einem weiteren Punkt C dieses Kreises, dann ist der Winkel bei C ein rechter
Winkel. (Sie können als bewiesen voraussetzen, dass die Winkelsumme im Dreieck 180◦
beträgt und dass die Basiswinkel bei einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind.)
Aufgabe 5
a) Sei A = {a, b, c, d} und B = {1, 2, 3}. Bestimmen Sie A × B und B × A.
b) Sei M = {0, 1}. Verdeutlichen Sie sich M × M × M als die Eckpunkte eines Würfels.
c) Bestimmen Sie die Potenzmengen von C = {a, b}, D = {a, {a}}, E = ∅, F = {∅} und
G = P(F ) (Potenzmenge von F ).
Aufgabe 6
Seien A, B und C Mengen. Welche der folgenden Formeln sind allgemeingültig (Beweis),
welche sind es nicht (Gegenbeispiel)?
a) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C
b) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ C
c) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Aufgabe 7
Seien A und B zwei Mengen. Beweisen Sie mittels eines Ringschlusses, dass die folgenden
Aussagen äquivalent sind:
(i) B ⊆ A
(ii) A ∩ B = B
(iii) A ∪ B = A
If people do not believe that mathematics is simple,
it is only because they do not realize how complicated life is.
John Louis von Neumann