Hans Walser, [20100417a] Schwerpunkt beim Dreieck Zwei

Hans Walser, [20100417a]
Schwerpunkt beim Dreieck
Zwei Eigenschaften im Zusammenhang mit dem Schwerpunkt des Dreieckes.
1
Aufsetzen ähnlicher Dreiecke
1.1 Allgemeiner Fall
Einem beliebigen Dreieck A0 A1A2 setzen wir auf den Seiten drei zueinander ähnliche
Dreiecke A0 A1B2 , A0 B1A2 und B0 A1A2 an. Die Dreiecke dürfen nach außen oder nach
innen angesetzt werden.
B1
A2
S
A0
B0
A1
B2
Ansetzen ähnlicher Dreiecke
Dann haben die beiden Dreiecke A0 A1A2 und B0 B1B2 denselben Schwerpunkt S.
Beweis
Wir interpretieren die Punkte als komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene. Zunächst ist dann:
S = 13 ( A0 + A1 + A2 )
Weiter gilt wegen der Ähnlichkeit der angesetzten Dreiecke:
B0 = A1 + ( A2 A1 )
B1 = A2 + ( A0 A2 )
B2 = A0 + ( A1 A0 ) Für den Schwerpunkt T des Dreieckes B0 B1B2 erhalten wir:
T = 13 ( B0 + B1 + B2 )
(
= 13 ( A1 + ( A2 A1 )) + ( A2 + ( A0 A2 )) + ( A0 + ( A1 A0 ))
= 13 ( A0 + A1 + A2 )
=S
)
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Hans Walser: Schwerpunkt beim Dreieck
1.2 Verallgemeinerung
Der Sachverhalte und die Beweisführung lassen sich auf ein beliebiges n-Eck A0 …An
und seinen Eckenschwerpunkt S verallgemeinern.
Situation im Viereck
1.3 Sonderfall: Napoleon-Barlotti
Wir setzen einem beliebigen Dreieck A0 A1A2 gleichseitige Dreiecke auf und bezeichnen deren Mittelpunkt mit B0 , B1, B2 . Gemäß dem Satz von Napoleon-Barlotti ist das
Dreieck B0 B1B2 gleichseitig. Sein Mittelpunkt ist der Schwerpunkt des Dreieckes
i
A0 A1A2 . In diesem Sonderfall ist = 1 e 6 (vgl: [Coxeter/Greitzer 1983], S. 67f, S.
3
167f).
Sonderfall
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Hans Walser: Schwerpunkt beim Dreieck
2 Schwerpunkt als Drehzentrum
Wir beginnen mit dem beliebigen Dreieck A0 A1A2 mit dem Schwerpunkt S. Wir drehen
den Punkt A j um S um den Winkel j 120° = j 2
und erhalten so den Punkt A j .
3
Dann ist das Dreieck A0 A1A2 gleichseitig.
A2
A1
S
A0 = A0
120°
240°
A1
A2
Ein gleichseitiges Dreieck entsteht
Beweis
Wir arbeiten wieder in der Gaußschen Zahlenebene und setzen den Ursprung in den
Schwerpunkt S. Dann ist zunächst A0 + A1 + A2 = 0 . Weiter ist
A0 = A0
2 i
A1 = A1e 3
4 i
A2 = A2 e 3
Zu prüfen ist:
?
A1 A0 = ( A2 A0 ) e 3
Einsetzen ergibt:
1 i
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Hans Walser: Schwerpunkt beim Dreieck
?
A1 A0 = ( A2 A0 ) e 3
2 i
A1e 3
1 i
?
4 i
1 i
A0 = A2 e 3 A0 e 3
2 i
5 i ?
1 i 3
A0 e 3 1 + A1e 3 A2 e
=0
2 i
3
e
2 i
e3
2 i
e3
?
+ A1 + A2 ) = 0
(A0
=S=0
Der Sachverhalt lässt sich nicht auf n-Ecke verallgemeinern.
Literatur
[Coxeter/Greitzer 1983] Coxeter, H. S. M. / Greitzer, S. L.: Zeitlose Geometrie. Stuttgart: Klett 1983. ISBN 3-12-983390-0