EM-Wellen

Elektromagnetische Welle
Thomas Schwotzer
31. Oktober 2013
Zusammenfassung
Mobilfunk, Ortung mit GPS und vieles andere basiert auf elektromagnetischen Wellen. Wir wollen einmal sehr grob die Grundlagen dieser Wellen betrachten, wiederholen dabei hoffentlich Kenntnisse aus der
Schulphysik und kratzen lediglich an der Oberfläche. Das soll uns Informatikern genügen.
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Einführung
Überträger elektromagnetischer Kräfte sind Photonen. Bei Messungen zeigen sie
recht interessante Eigenschaften, die unter Teilchen-Welle-Dualismus bekannt
ist. Der Begriff kaschiert mehr oder weniger gut, dass eine intuitive Vorstellung
über Quantenphänomene der Photonen fehlt.
Wir fassen zusammen: Bereits in der Schule sollten Sie erfahren haben, dass
man elektromagnetische Wellen als einen Teilchenstrahl verstehen kann, der sich
mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Photonen zeigen dabei typische Eigenschaften eines Teilchenstrahles.
Gleichzeitig zeigen elektromagnetische Wellen typische Eigenschaften von
Wellen. Diese Eigenschaften werden in Mobilfunk und der Funkortung genutzt,
weshalb im Folgenden lediglich die Welleneigenschaften angerissen werden. Die
Teilcheneigenschaften müssen aber allein deshalb beachtet werden als dass elektromagnetische Wellen keines Medium bedürfen und deshalb alternativlos für
Signale z.B. von GPS-Satelliten aus dem All sind.
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Welleneigenschaften
Die wichtigsten Welleneigenschaften sollen kurz genannt. Eine Welle ist ein periodisches Phänomen mit folgenden Eigenschaften:
• An einem Ort kann ein Wert gemessen werden (Lautstärke, Magnetismus,
Elektrisches Feld etc. pp.). Dieser Wert verändert sich. Die Veränderungen sind aber periodisch. Die Dauer des Durchlaufes einer Periode wird
Periodendauer T genannt.
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• Eine Welle breitet sich in der Raumzeit aus. In Ausbreitungsrichtung gibt
es daher jeweils zwei Punkte an denen die gleichen Werte gemessen werden
können, wobei gleichzeitig zwischen den Punkten andere Werte gemessen
werden. Der Abstand zwischen den beiden Punkten ist die Wellenlänge.
Abbildung 1: Wellenlänge und Periode
Abbildung 1 soll die beiden Größen skizzieren. Es sind drei Orte dargestellt
an denen jeweils eine Person eine Messung vornimmt. Die Messung erfolgt zu
zwei unterschiedlichen Zeitpunkten: Die unteren Strichpersonen sollen als die
gleiche sein wie in der darüber liegenden Zeile, nur etwas später in der Zeit.
Betrachten wir erst die obere Zeile: Die Person am Ort 1 misst einen Wert
x11 , an Ort 2 und 3 werden zur gleichen Zeit die Werte x12 und x13 gemessen.
Eine Welle ist ein periodisches Phänomen, das sich ausbreitet. Findet man
nun zwei Orte, die immer die gleichen Werte messen, so sind beide ein Vielfaches
der Wellenlänge voneinandern entfernt. Stellt man aber fest, dass an zwei Orten,
hier 1 und 3 immer der gleiche Wert gemessen wird, dazwischen gibt es aber
keinen Ort an dem das der Fall ist, so ist der Abstand s zwischen den Orte 1
und 3 genau die Wellenlänge.
Eine Welle ist auch ein zeitlich periodisches Phänomen: In der Abbildung ist
ein zweiter Zeitpunkt symbolisiert. Misst man an einem Ort die gleichen Werte
wie einige Zeit zuvor (und ist das bisher nicht passiert), so ist die bis dahin
vergangene Zeit die Periodenlänge.
Das Reziproke der Periodenlänge ist die Frequenz f . Die Frequenz beschreibt
die Anzahl der Perioden, die innerhalb einer Zeiteinheit durchlaufen werden. Bei
einer Frequenz von 1 Hz (= 1s−1 ) vollzieht die Welle eine Periode je Sekunde.
2.1
Wellenarten
Man kann zwischen Transversalwellen und Longitudinalwelle unterscheiden.
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Bei einer Longitudinalwelle wirkt die Messgröße in Ausbreitungsrichtung der
Welle. Schallwellen sind ein Beispiel dafür. Moleküle werden verdichtet und geben den Impuls weiter. Die Verdichtung erfolgt in der Richtung der Ausbreitung.
Bei Transversalwellen wirkt die Messgröße senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Elektromagnetische Wellen haben die (verblüffende) Eigenschaft, dass
senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ein elektrisches Feld und dazu um 90◦ versetzt ein magnetisches Feld existiert. Beide Felder sind Träger elektrische bzw.
magnetischer Kräfte. Kräfte werden durch Vektoren beschrieben: Maß und Richtung. Die Felder sind also Vektorfelder. Uns interessiert im folgenden lediglich
das elektrische Feld.
Bei Transversalwellen können die Vektoren in beliebige Richtungen senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung weisen. Zeigen die Vektoren nur in eine Richtung, so
wird von polarisierten Wellen gesprochen. Polarisation kann in der Funktechnik durch Filter erzeugt werden. In der Satellitentechnik ist die Polarisation
allerdings schwer zu erreichen, hier wird häufig mit zirkularer Polarisation gearbeitet. Das bedeutet, dass die Vektoren des Felder an einem Ort über die Zeit
einen Kreis beschreiben.
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Abgeleitete Wellengrößen
Periodendauer und Wellenlänge lassen sich in der Regel direkt messen. Andere
Größen lassen sich davon ableiten. Man möge hier immer beachten: Das sind
Modelle, die auf beobachteten Eigenschaften beruhen. Diese Modelle sind effektiv und gut benutzbar – jedenfalls behaupten tausende von Physikern und
Nachrichtentechnikern das seit Jahrhunderten. Das heißt aber nicht, dass man
irgendetwas davon real beobachten kann. Wir werden gleich auf Sinuswellen
stoßen. Versuchen Sie bitte nicht, diese Sinuswellen in Ihrem Handy oder Navigationsgerät direkt messen zu können. Die gibt es nicht – Sie können lediglich
das elektrische Feld direkt messen, der Rest ist Mathematik. Los gehts.
Die Periodendauer T beschreibt die Zeit in der die Welle an einem Ort
eine Periode durchläuft. Benötigt also ein periodisches Phänomen also z.B. eine
Sekunde, um die gleichen Werte zu produzieren, so ist T = 1s. Unterteilt man
diese Periodendauer in Unterabschnitte, so nennt man diese die Phase φ.
Periodische Phänomene haben auch folgende Eigenschaft: Es gibt einen maximalen Wert und einen minimalen Wert zwischen denen sie pendeln. Bei EMWellen erfolgt dieser Durchlauf gleichmäßig und lässt sich mit einer Sinusfunktion (hier ist sie schon!) darstellen. Ein elektrisches Feld lässt eine Kraft wirken.
Die Sinusfunktion beschreibt sowohl die Größe der Kraft als auch deren Richtung 1 .
Abbildung 2 soll den Zusammenhang darstellen. Es gibt einen Maximal und
Minimalwert, die man sich als Pole eines Kreises vorstellen kann. Man kann
sich weiterhin vorstellen, dass ein Radius umläuft und dass der aktuelle Wert
der elektrischen Kraft die Höhe über der waagerechten Linie ist (die Länge der
1 aber nur vorwärts / rückwärts – die Ebene des Vektorfeldes wird durch die Polarisation
festgelegt
3
Abbildung 2: Phase und Phasenwinkel
grünen Linie). Rechts in der Zeichnung sind die nächsten Werte skizziert, die sich
ergeben, wenn der Radius weiter umläuft. Diese Werte lassen sich berechnen,
dazu kommen wir gleich.
In der Abbildung sind auch die Phase eingezeichnet. Das ist die Zeit, die seit
einem Zeitpunkt 0 vergangen ist. Der Phasenwinkel ist dann der Winkel, den
der umlaufende Radius überstrichen hat2 .
An der Stelle passt es, die Kreisfrequenz ω einzuführen. Sie ist definiert als:
ω = 2πf
Was ist das? Die Frequenz ist die Anzahl der umlaufenden Perioden je Zeiteinheit. Bei einem Hz umläuft der Radius den Kreis einmal. Soweit so gut. Die
Rechnung 2πr erinnert auch an etwas: Richtig, das ist der Umfang des Kreises.
Die Kreisfrequenz ist damit das Maß der Länge, die auf dem Kreis zurückgelegt
wird je Zeiteinheit - das Bogenmaß. Bei 1 Hz ist ω = 2π.
Haben wir das. Noch eine kritische Frage soll folgen: Wozu führen wir hier
überhaupt Kreise ein? Es gibt keine Kreise bei Wellen. Das sind periodische
Phänomene, mehr nicht. Und natürlich weiß jeder, dass kein Photon lustige
Kreisbewegungen macht und dabei grüne Linien malt. Man misst lediglich Werte. Das interessante ist, dass dieses Modell mit dem Kreis Werte zu berechnen,
die sich mit den beobachteten Werte decken. Das ist gut, weil wir dann nicht
immer mit Messgeräten herumturnen müssen. Warum das nun aber so ist, soll
in dieser LN nicht einmal andeutungsweise geklärt werden3
2 Haben Sie diese Sätze nicht auf Anhieb verstanden? Willkommen im Club. Das ist normal.
Lesen Sie das ganz langsam noch einmal. Malen Sie die Skizze ab und denken Sie darüber
nach. Das kann man verstehen. Fragen Sie mich idealerweise auch im Seminar oder der Übung.
Nehmen Sie aber erstmal die Finger von der Tastatur und lassen Sie Wikipedia in Ruhe.
Versuchen Sie das selber zu ergründen. Das ist gut für Ihr Gehirn. Sie sind Studenten. Sie
können das. Die Schreiberlinge im Web sind auch nicht schlauer als Sie. Jedenfalls nicht alle.
3 Wir müssten uns dazu etwas tiefer in die Feldtheorie und ein wenig in die Quantenphysik
eingraben, um auf die Ursachen dessen zu kommen. Das schenken wir uns aber in einem
Informatikstudium dann doch besser. Erstmal.
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Nun soll es aber ans Rechnen gehen und dazu brauchen wir noch ein paar
Definitionen:
Zuächst wird der Phasenwinkel ρ definiert als
ρ = 2πφ
Die Amplitude einer Welle ist der maximale Wert der wirkenden Kraft innerhalb einer Periode. Der Sinus bewegt sich zwischen 1 und -1, aber man kann
durch einfache Multiplikation den Sinus an die tatsächlichen (gemessenen) Werte anpassen: A sin ist eine Sinusfunktion, die zwischen den Werten A und -A
oszilliert.
Nun können ein paar Formeln notiert werden. Der aktuelle Wert eine Kraft
a ist abhängig von der Zeit t, der Periodenlänge T , der Amplitude und natürlich
der Phase aber der die Welle an dem Messort gemessen wird (φ0 ):
a = A sin(2π( Tt + φ0 ))
Der Phasenwinkel und die Phase haben folgende Beziehung:
ρ = 2πφ
Die aktuelle Kraft können wir nun auch berechnen, in dem wir Phasenwinkel
und Kreisfrequenz einsetzen und dafür die Periode und die Phase loswerden:
a = A sin(ωt + ρ0 )
Nun können wir mit obiger den Wert errechnen, den wir an einem Ort zu
einer Zeit t messen würden. Er ist offenbar abhängig von der Zeit und dem
Phasenwinkel zu Beginn eines Zeitraumes.
Wir ermittelt man aber nun den Wert, der zur gleichen Zeit an einem anderen
Ort gemessen wird? Wellen sind periodische Phänomene und offenbar können
wir deren Werte mit einem Sinus beschreiben. Will man als einen Wert an einem
Ort ermitteln, der in Ausbreitungsrichtung vor uns liegt, so bedeutet das auch:
Die Werte, die wir jetzt hier messen, werde erst später an diesem Ort zu messen
sein. Stellen wir uns den Sinus vor: Die Messwerte an dem entfernten Ort liegen
weiter links in der Funktion, weil die Welle noch nicht so weit gekommen ist.
Setzen wir s als den Weg von uns zu diesem Ort, so kann der dort messbare
Wert so ermittelt werden:
a = A sin(ωt + ω st + ρ0 )
Was sagt diese Formel aus? Sie liefert den Wert einer periodische physikalischen Größe an einem Ort, der von unseren Ort eine Entfernung s hat.
Fein. Kommen wir einmal in die Realität zurück: Die Werte können wir messen,
ebenso die Zeit. Den Anfangswinkel ρ0 kennen wir. Von den Werten unserer
physikalischer Größe können wir direkt auf den Phasenwinkel schließen. Voila!
Wir können die Entfernung zweier Orte bestimmen, wenn wir die die Differenz der Phasenwinkel kennen. Wir sparen uns die Herleitung (schauen Sie dazu
in [1, Seite 45f]) und stellen fest:
s = ∆ρ
2π λ
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Der Abstand ist ermittelbar, indem die Differenz der Phasenwinkel durch 2π
geteilt und mit der Wellenlänge multipliziert wird. Die Wellenlänge ergibt sich
direkt aus der Frequenz und der Ausbreitungsgeschwindigkeit. Bei EM-Wellen
gilt wie bereits zu sehen war:
λ = c/f = cT 4
Dieser Effekt wird u.a. bei GPS genutzt, um die Entfernung eines irdischen
Beobachters zu einem Satelliten zu ermitteln. Dazu haben wir das gemacht und
das soll nun aber auch genügen.
4
Interferenzen
Wellen interagieren miteinander, sie treten in Interferenz. Ich gehe davon aus,
dass der Schulstoff noch gegenwärtig ist. Im Semniar machen wir ein paar kleine
Beispiel, hier sollen nur dürr die Fakten vermerkt werden:
EM-Wellen lassen sich durch Vektorfelder darstellen, d.h. an jedem Ort im
Feld wirkt ein Vektor. Durchdringen sich zwei Felder, so erzeugen die beiden
Vektoren unterschiedlicher Felder am gleichen Ort einen effektiven Vektor. Dessen Größe kann durc Vektorrechnung ermittelt werden.
Abbildung 3: Interferenz von Feldvektoren
Abbildung 3 skizziert drei Fälle: Im ersten Fall ist die Richtung beider Vektoren gleich. Die Länge, d.h. die Stärke der Kräfte addiert sich. Im Fall stehen beiden Vektoren in einem Winkel aufeinander. Der resultierende Vektor (schwarz)
ist der Durchmesser des Vierecks. Sowohl die Richtung als auch die Größe der
resultierenden Kraft weicht von den beiden Eingangsvektoren ab.
Der dritte Fall zeigt eine Auslöschung. Die beiden Kräfte sind gleich groß,
wirken allerdings in genau andere Richtungen. Es erfolgt eine Auslöschung der
Kräfte.
Malen Sie sich einmal zu Übungszwecken Sinuskurven auf und verschieben
die jeweils gegeneinander und ermitteln sie (zeichnerisch das Resultat).
4 Machen Sie mal eine Beispielrechnung mit einem Radiosender, sagen wir 100 Mhz. Wie
groß ist die Wellenlänge bei vereinfacht angenommenen 300.000 km/s Lichtgeschwindigkeit?
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5
Modulation
Uns genügt es nicht, die wunderbare Welt des Mikrokosmos zu analysieren, wir
wollen EM-Wellen nutzen, um Informtionen zu transportieren.
Und interessieren digitale Daten und die beiden prinzipiellen Vorgehensarten
sollen knapp genannt werden.
5.1
Amplitudenmodulation
Man kann die Amplitude einer Welle modifizieren. Man könnte eine digitale 1
dadurch symbolisieren, dass sie eine doppelte Stärke hat, wie eine digitale 0 oder
ähnliches.
Amplitudenmodulation findet man vorrangig in der analogen Informationsübertragung. Der Grund ist einfach: Auf Dämpfungen reagiert die Amplitude sehr
sensibel und bei weiten Entfernungen kann eine beträchliche Störung erfolgen
und die Information verloren gehen. Im Satellitenbereich ist das Verfahren praktisch nicht anwendbar.
5.2
Phasenmodulation
Für digitale Daten bietet sich die Phasenmodulation an. Sie ist deutlich unempfindlich gegen dämpfende Einflüsse.
Die Idee ist einfach. Man kann die Phase eine Welle bei deren Erzeugung
manipulieren. Die einfachste Variante ist das Phase Shift Keying (PSK). Hier
wird die Phase um π verschoben. Stellen wir uns einen Sinus vor. Er beginnt
zur Zeit 0 beim Wert 0 steigt auf, ist bei π/2 auf dem Wert 1, sinkt bei π auf
den Wert 0 und geht dann weiter ins negative usw.
PSK bedeutet, dass zu einem Zeitpunkt die Phase um π verschoben wird.
Würde das genau dann passieren, wenn die Werte aus dem positiven kommend
bei 0 waren, so würden die Wert nun nicht in Richtung -1 gehen, sondern wieder
nach oben in Richtung 1.
Interessant ist auch, wenn man beim PSK die ursprüngliche Sinuswelle mit
der modulierten übereinander legt: Nach dem PSK löschen sich beide Wellen
aus (wenn sie polarisiert sind).
Phasenmodulation ist stabil gegen Störungen. Dämpfungen schade nahezu
gar nicht, Dopplereffekte und andere Verzerrungen können stören. Hat man
aber die Referenzwelle, so ist das ein sehr stabile Form der Informationsmodellierung. Sie wird für das CDMA Verfahren in GPS, UMTS, WLAN und anderen
eingesetzt.
Literatur
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