Satz 1.18 (Kompaktheitssatz der Aussagenlogik) Korollar 1.19

Satz 1.18 (Kompaktheitssatz der Aussagenlogik)
Σ ⊆ F ist erfüllbar genau dann, wenn jede endliche Teilmenge von Σ
erfüllbar ist.
Σ ⊆ F ist unerfüllbar genau dann, wenn es eine unerfüllbare endliche
Teilmenge von Σ gibt.
Beweis: (s. Vorlesung)
Korollar 1.19
Es gilt Σ |= A genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge Σ0 ⊆ Σ gibt
mit Σ0 |= A.
Der zweite Teil des Satzes ist die Grundlage für Beweisverfahren für
Σ |= A. Dies ist der Fall, wenn Σ ∪ {¬A} unerfüllbar ist.
Widerspruchbeweise versuchen systematisch eine endliche Menge
Σ0 ⊆ Σ zu finden, so dass Σ0 ∪ {¬A} unerfüllbar ist.
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Anwendungen Kompaktheitssatz
Beispiel 1.20
Sei Σ ⊆ F , so dass es zu jeder Belegung ψ ein Aψ ∈ Σ mit Bψ (Aψ ) = 1
gibt. Dann gibt es A1 , ..., An ∈ Σ (n > 0) mit |= A1 ∨ ... ∨ An .
Beweisskizze:
Betrachte die Menge Σ′ = {¬A | A ∈ Σ}.
Σ′ ist unerfüllbar.
(Sonst gäbe es ein ψ mit Bψ (¬A) = 1 für alle A ∈ Σ; nach Voraussetzung
gibt es zu ψ ein Aψ mit Bψ (Aψ ) = 1, im Widerspruch zu Bψ (¬Aψ ) = 1.)
Nach dem Kompaktheitssatz gibt es eine endliche nichtleere Teilmenge
{¬A1 , ..., ¬An } von Σ′ , die unerfüllbar ist.
Also gibt es für jede Belegung ψ ein i mit Bψ (¬Ai ) = 0, also Bψ (Ai ) = 1.
Also gilt für jede Belegung ψ: Bψ (A1 ∨ ... ∨ An ) = 1.
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Deduktive Systeme der Aussagenlogik
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Deduktive Systeme
Jede formale Logik baut auf einer formalen Sprache auf, deren Syntax und
Semantik festgelegt ist. Die Semantik beschreibt insbesondere, unter
welchen Bedingungen Aussagen/Formeln wahr sind.
Jede formale Logik besitzt darüber hinaus (mindestens) ein deduktives
System/Kalkül bestehend aus Axiomen und Regeln, mit dem man wahre
Aussagen/Formeln ableiten (formal beweisen) kann.
Man kann die Wahrheit von Formeln also auf zwei Arten “prüfen”:
Durch Anwendung der Semantik.
Durch Ableiten mit dem deduktiven System.
Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit deduktiven Systemen/Kalkülen für
die Aussagenlogik.
Eine Formel wird Theorem der Logik genannt, wenn sie mit dem
deduktiven System abgeleitet werden kann.
Man kann deduktive Systeme angeben, in denen Formeln genau dann
Theoreme sind, wenn sie auch Tautologien sind.
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Deduktive Systeme
Definition 2.1 (Deduktives System)
Sei F eine Menge von Formeln. Ein deduktives System F besteht aus
einer Menge von Axiomen Ax ⊆ F und
A , . . . , An
einer Menge R von Regeln der Form 1
und
A
A1 , ..., An , A ∈ F .
Die Mengen F , Ax und R sind typischerweise entscheidbar.
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Deduktive Systeme (Fort.)
Definition 2.2
Sei F = (Ax, R) ein deduktives System. Die Menge T (F) der Theoreme
von F ist induktiv definiert durch:
1
2
Ax ⊆ T (F)
alle Axiome sind Theoreme
A , . . . , An
Sind A1 , . . . , An ∈ T (F) und ist 1
in R, dann ist A ∈ T (F).
A
Schreibe A ∈ T (F) als ⊢F A und sage A ist in F herleitbar.
Deduktiver Folgerungsbegriff: Sei Σ ⊆ F , A ∈ F .
Dann ist A in F aus Σ herleitbar, kurz Σ ⊢F A, falls ⊢(Ax∪Σ,R) A gilt.
FolgF (Σ) := {A ∈ F | Σ ⊢F A}.
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Deduktive Systeme (Fort.)
Gibt es ein deduktives System F0 , so dass
⊢F0 A gdw.
|= A?
Bemerkung 2.3
Ist F aus dem Kontext klar, schreibt man abkürzend ⊢ A und Σ ⊢ A
Definition 2.4
Σ heißt konsistent, falls für keine Formel A ∈ F gibt: Σ ⊢ A und Σ ⊢ ¬A.
Andernfalls heißt Σ inkonsistent.
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Beweise in der Logik
Definition 2.5 (Beweis)
Eine endliche Folge von Formeln B1 , . . . , Bn mit A ≡ Bn , so dass für alle
Bi mit 1 ≤ i ≤ n gilt:
B . . . B il
Bi ∈ Ax oder es gibt i1 , . . . , il < i und i1
∈R
Bi
heißt Beweis für A in F.
Eine Folge B1 , . . . , Bn heißt Beweis für Σ ⊢ A in F, wenn B1 , . . . , Bn ein
Beweis für A in (Ax ∪ Σ, R) ist.
Sei H eine Menge von Herleitbarkeitsaussagen der Form A1 , . . . , Ak ⊢ A0 .
A , . . . , Ak
Die Elemente von H kann man als Regeln 1
interpretieren. Mit
A0
HR bezeichen wir die Menge der Regeln zu H.
Eine Folge B1 , . . . , Bn heißt abgekürzter Beweis für Σ ⊢ A in F mit
Annahmen H, wenn B1 , . . . , Bn ein Beweis für A in (Ax ∪ Σ, R ∪ HR ) ist.
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Lemma 2.6
1
⊢ A gilt genau dann, wenn es einen Beweis für A gibt.
2
Sei H eine Menge von Herleitbarkeitsaussagen der Form
A1 , . . . , Ak ⊢ A0 . Es gibt einen Beweis für Σ ⊢ A genau dann, wenn es
einen abgekürzten Beweis für Σ ⊢ A mit Annahmen H gibt.
Bemerkung 2.7
Eigenschaften der Elemente von T (F) werden durch strukturelle
Induktion bewiesen.
Die Menge der Beweise
Bew := {B1 , . . . , Bn ∈ F + | B1 , . . . , Bn ist Beweis}
ist entscheidbar.
Mit der vorherigen Bemerkung ist die Menge T (F) der Theoreme
rekursiv aufzählbar.
Ist Σ entscheidbar, dann gelten entsprechende Eigenschaften von
Herleitbarkeitsaussagen. Insbesondere ist FolgF (Σ) aufzählbar.
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Wichtige Eigenschaften zu Herleitbarkeitsaussagen
Lemma 2.8
Gilt Σ ⊢ A, dann gibt es eine endliche Teilmenge Σ0 ⊆ Σ mit Σ0 ⊢ A.
(Folgt aus der induktiven Definition von T (F)
(Siehe Korollar zum Kompaktheitssatz für |=.)
Ist Σ inkonsistent, dann gibt es eine endliche Teilmenge Σ0 ⊆ Σ, die
inkonsistent ist.
Ist Σ ⊆ Γ ⊆ F , dann gilt FolgF (Σ) ⊆ FolgF (Γ).
Gilt Σ ⊢ A und Γ ⊢ B für alle B ∈ Σ, dann auch Γ ⊢ A.
Ist also Σ ⊆ FolgF (Γ), dann gilt FolgF (Σ) ⊆ FolgF (Γ).
(Beweise lassen sich also zusammensetzen.)
Gilt Σ ⊢ A, so ist Σ ∪ {¬A} inkonsistent.
(Gilt auch die Umkehrung?)
Es gilt T (F) ⊆ FolgF (Σ) für jede Menge Σ.
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Beschreibungen von deduktiven Systemen/Schemata
Die Mengen der Axiome und Regeln deduktiver Systems sind im
Allgemeinen nicht endlich.
Um sie endlich zu beschrieben, benutzt man häufig Schemata.
Beispielsweise beschreibt das Formelschema A → (B → A) die Menge
{A0 → (B0 → A0 ) | A0 , B0 ∈ F }.
Das Regelschema
A, A → B
beschreibt die Menge von Regeln
B
{
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A0 , A0 → B0
| A0 , B0 ∈ F }.
B0
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Das deduktive System F0
Eingeführt von Stephen Cole Kleene (1909 — 1994).
Definition 2.9 (Das deduktive System F0 )
Sei F0 die Formelmenge F{¬,→} . Das deduktive System F0 für die
Aussagenlogik besteht aus der Axiomenmenge Ax, die durch folgende
Axiomenschemata beschrieben ist:
Ax1: A → (B → A)
Ax2: (A → (B → C )) → ((A → B) → (A → C ))
Ax3: (¬A → ¬B) → (B → A)
Die Regelmenge R wird beschrieben durch das Regelschema
MP:
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A, (A → B)
B
Logik
(modus ponens).
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Bemerkung zum deduktiven System F0
Ax1, Ax2 und Ax3 beschreiben disjunkte Formelmengen.
Ax und R sind entscheidbar.
Alle Axiome sind Tautologien. Da diese abgeschlossen gegen Modus
Ponens sind, sind alle Theoreme Tautologien: T (F0 ) ⊆ TAUT(F0 ).
Die Rückwärtsanwendung der Regel ist nicht eindeutig:
A′ , A′ → B
A, A → B
und
haben unterschiedliche Annahmen.
B
B
Das erschwert das Finden von Beweisen.
Es genügt, nur Axiome für Formeln in → und ¬ zu betrachten.
Andere Formeln sind zu einer solchen Formel logisch äquivalent.
Will man allerdings Beweise für die Formeln in F führen, braucht man
weitere Axiome, zum Beispiel:
Ax1∧ :(A ∧ B) → ¬(A → ¬B)
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Ax2∧ :¬(A → ¬B) → (A ∧ B)
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Beispiel
Beispiel 2.10
Für jedes A ∈ F0 gilt ⊢ (A → A), also (A → A) ∈ T (F0 )
Beweis:
B0 ≡ (A → ((A → A) → A)) →
((A → (A → A)) → (A → A))
B1 ≡ A → ((A → A) → A)
B2 ≡ (A → (A → A)) → (A → A)
B3 ≡ A → (A → A)
B4 ≡ A → A
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Ax2
Ax1
MP(B0 , B1 )
Ax1
MP(B2 , B3 )
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Deduktionstheorem
Wie findet man Beweise im System F0 ?
Einziger Hinweis: Sofern Zielformel B kein Axiom ist, muss sie in der Form
(A1 → . . . (An → B) . . .) vorkommen. Wähle geeignete Ai .
Hilfreich:
Satz 2.11 (Deduktionstheorem (syntaktische Version))
Seien Σ ⊆ F0 und A, B ∈ F0 . Dann gilt
Σ, A ⊢ B
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gdw.
Logik
Σ ⊢ (A → B).
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Anwendungen des Deduktionstheorems
Beispiel 2.12
Um ⊢ ¬¬A → A zu zeigen, genügt es, ¬¬A ⊢ A zu zeigen.
Beweis:
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
𠪪A
≡ ¬¬A → (¬¬¬¬A → ¬¬A)
≡ ¬¬¬¬A → ¬¬A
≡ (¬¬¬¬A → ¬¬A) → (¬A → ¬¬¬A)
≡ ¬A → ¬¬¬A
≡ (¬A → ¬¬¬A) → (¬¬A → A)
≡ ¬¬A → A
≡A
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Ax1
MP
Ax3
MP
Ax3
MP
MP
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Anwendungen des Deduktionstheorems (Fort.)
Lemma 2.13
Die folgenden Theoreme gelten in F0 :
(Transitivität der Implikation)
(Folgerung aus Inkonsistenz)
(Doppelnegation)
(Kontraposition)
(Implikation)
(Hilfslemma 1)
(Hilfslemma 2)
(Negation aus Inkonsistenz)
(Eliminierung von Annahmen)
⊢ (A → B) → ((B → C ) → (A → C ))
⊢ ¬B → (B → A)
(1)
(2)
⊢ B → ¬¬B
⊢ (A → B) → (¬B → ¬A)
(3)
(4)
⊢ B → (¬C → ¬(B → C ))
⊢ (A → B) → ((A → ¬B) → (A → ¬Ax))
(5)
(E1)
⊢ (A → ¬Ax) → ¬A
⊢ (A → B) → ((A → ¬B) → ¬A)
(E2)
(6)
⊢ (B → A) → ((¬B → A) → A)
(7)
Es gilt Σ ⊢ A gdw. Σ ∪ {¬A} inkonsistent ist.
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Korrektheit und Vollständigkeit von F0
Frage: Lassen sich alle Tautologien als Theoreme in System F0 herleiten?
Satz 2.14 (Korrektheit und Vollständigkeit von F0 )
Sei A ∈ F0 eine Formel der Aussagenlogik.
a) Korrektheit: Gilt ⊢F0 A, dann auch |= A
d.h. jedes Theorem in T (F0 ) ist eine Tautologie.
b) Vollständigkeit: Gilt |= A, dann auch ⊢F0 A
d.h. alle Tautologien lassen sich in F0 herleiten.
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