Korrektheit und Vollständigkeit von F0

Korrektheit und Vollständigkeit von F0
Frage: Lassen sich alle Tautologien als Theoreme in System F0 herleiten?
Satz 2.14 (Korrektheit und Vollständigkeit von F0 )
Sei A ∈ F0 eine Formel der Aussagenlogik.
a) Korrektheit: Gilt ⊢F0 A, dann auch |= A
d.h. jedes Theorem in T (F0 ) ist eine Tautologie.
b) Vollständigkeit: Gilt |= A, dann auch ⊢F0 A
d.h. alle Tautologien lassen sich in F0 herleiten.
A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern)
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Korrektheit und Vollständigkeit von F0 (Fort.)
Als Hilfsmittel dient:
Lemma 2.15
Seien A ∈ F0 und p1 , . . . , pn , n > 0, die in A vorkommenden
Aussagevariablen. Sei ψ eine Belegung. Mit
A,
falls Bψ (A) = 1
pi ,
falls Bψ (pi ) = 1
′
A :=
Pi :=
¬A, falls Bψ (A) = 0
¬pi , falls Bψ (pi ) = 0
gilt P1 , . . . , Pn ⊢ A′ .
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Folgerung
Folgerung 2.16
Sei Σ ⊆ F0 , A ∈ F0 .
Σ ⊢F0 A gilt genau dann, wenn Σ |= A gilt.
Σ ist genau dann konsistent, wenn Σ erfüllbar ist.
Ist Σ endlich und A ∈ F0 , dann ist Σ ⊢F0 A entscheidbar.
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Beweis der Folgerung
Beweis:
1. Aussage:
Σ ⊢F0 A
2.8
⇐⇒ Es gibt A1 , . . . , An ∈ Σ mit A1 , . . . , An ⊢F0 A
D.T.
⇐⇒ Es gibt A1 , . . . , An ∈ Σ mit
⊢F0 (A1 → (A2 → . . . (An → A) . . .))
2.14
⇐⇒ Es gibt A1 , . . . , An ∈ Σ mit
|= (A1 → (A2 → . . . (An → A) . . .))
D.T.
⇐⇒ Es gibt A1 , . . . , An ∈ Σ mit A1 , . . . , An |= A
K.S.
⇐⇒ Σ |= A
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Beweis der Folgerung (Fort.)
Beweis:
2. Aussage:
Σ ist konsistent
⇐⇒ Es gibt kein A mit Σ ⊢ A und Σ ⊢ ¬A
⇐⇒ Es gibt kein A mit Σ |= A und Σ |= ¬A
⇐⇒ Σ ist erfüllbar (Lemma 1.11(c)).
3. Aussage:
Sei also Σ endlich:
Σ ⊢F0 A ist entscheidbar
⇐⇒ Σ |= A ist entscheidbar
⇐⇒ Die endlich vielen Belegungen, die Σ erfüllen, lassen sich berechnen
und für jede lässt sich prüfen, ob sie A erfüllt
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Sequenzenkalkül
Es gibt weitere korrekte und vollständige deduktive Systeme für die
Aussagenlogik. Das folgende System geht auf Gerhard Gentzen
(1909–1945) zurück. Es erleichtert das automatische Finden von Beweisen.
Definition 2.17 (Gentzen-Sequenzenkalkül)
Seien Γ, ∆ ⊆ F endliche Mengen von Formeln.
Eine Sequenz ist eine Zeichenreihe der Form Γ ⊢G ∆ .
Die Menge der Sequenzen bezeichnen wir mit FG .
Wir betrachten die Sequenzen als spezielle Form von Formeln.
Semantische Interpretation von Sequenzen:
Eine Sequenz Γ ⊢G ∆ mit Γ = {A1 , . . . , An } und ∆ = {B1 , . . . , Bm } ist
allgemeingültig, wenn für jede Belegung ψ gilt:
es gibt ein Ai ∈ Γ mit Bψ (Ai ) = 0 oder ein Bj ∈ ∆ mit Bψ (Bj ) = 1.
Semantisch entspricht Γ ⊢G ∆ also der Formel
(A1 ∧ · · · ∧ An ) → (B1 ∨ · · · ∨ Bm ).
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Sequenzenkalkül (Fort.)
Definition 2.17 (Gentzen-Sequenzenkalkül (Fort.))
Die folgenden Schemata definieren die Axiome des Sequenzenkalküls:
(Ax1) Γ, A ⊢G A, ∆
(Ax2) Γ, A, ¬A ⊢G ∆
(Ax3) Γ ⊢G A, ¬A, ∆
Die folgenden Schemata definieren die Regeln des Sequenzenkalküls:
Γ ⊢G A, B, ∆
Γ, A, B ⊢ ∆
R∧,∨ : Γ, A ∧ B ⊢G ∆
Γ ⊢G A ∨ B, ∆
G
Γ ⊢G A, ∆ ; Γ, B ⊢G ∆
Γ, A → B ⊢G ∆
R→ :
Γ, A ⊢G ∆, B
Γ ⊢G A → B, ∆
R¬ :
Γ, A ⊢G ∆
Γ ⊢G ¬A, ∆
R∧′ :
Γ ⊢G A, ∆ ; Γ ⊢G B, ∆
Γ ⊢G A ∧ B, ∆
R∨′ :
Γ, A ⊢G ∆ ; Γ, B ⊢G ∆
Γ, A ∨ B ⊢G ∆
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Γ ⊢G A, ∆
Γ, ¬A ⊢G ∆
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Sequenzenkalkül (Fort.)
Eine Sequenz Γ ⊢G ∆ heißt herleitbar oder ableitbar , falls es eine endliche
Folge von Sequenzen Γ1 ⊢G ∆1 , . . . , Γr ⊢G ∆r gibt mit Γr ≡ Γ, ∆r ≡ ∆,
so dass gilt:
Jedes Γj ⊢G ∆j mit 1 ≤ j ≤ r ist ein Axiom oder geht aus
vorangehenden Folgegliedern aufgrund einer Regel hervor.
Satz 2.18
Der Sequenzenkalkül ist
korrekt: Wenn Γ ⊢G ∆ herleitbar ist, gilt Γ |= ∆ .
vollständig: Wenn Γ |= ∆ gilt, ist Γ ⊢G ∆ herleitbar.
W
Dabei ist Γ |= ∆ definiert als Γ |= B∈∆ B.
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Beispiel
Beispiel 2.19
Es gilt
p ∨ q, ¬p ∨ r ⊢G q ∨ r .
Beweis:
q, ¬p ∨ r ⊢ q, r
p, r ⊢ q, r
p, ¬p ⊢ q, r
p, ¬p ∨ r ⊢ q, r
p ∨ q, ¬p ∨ r ⊢ q, r
p ∨ q, ¬p ∨ r ⊢ q ∨ r
Ax1
Ax1
Ax2
R∨′
R∨′
R∨
Beweise im Sequenzenkalkül werden typischerweise aber nicht als eine
Folge von Sequenzen angegeben, sondern bottom-up konstruiert und
baumartig notiert (siehe Vorlesung).
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