6. Übungsserie zur Vorlesung `Elementargeometrie`

6. Übungsserie zur Vorlesung Elementargeometrie“
”
Lehramt Regelschule, Wintersemester 2015/16, PD Dr. Konrad Schöbel
Aufgabe 1
(5 Punkte)
(a) Konstruieren Sie mit Hilfe der dynamischen Geometrie-Software GeoGebra in
iterierter Weise Quadrate über den Seiten eines beliebigen Dreiecks, wie in der
Skizze auf der Rückseite dargestellt. Drucken Sie die entstehende Figur aus.
(b) Erklären Sie Ihr Vorgehen kurz.
(c) Verändern Sie nun das Ausgangsdreieck und beobachten Sie, was passiert. Stellen
Sie eine Vermutung über Lage und Seitenlänge der inneren und äußeren Quadrate
an. Formulieren Sie Ihre Vermutung präzise.
(∗) Bonusaufgabe: Beweisen Sie Ihre Vermutung.
Aufgabe 2
(5 Punkte)
Für einen beliebigen Punkt P im Innern eines Dreiecks ABC seien PA , PB und PC die
Fußpunkte der Lote von P auf die Seiten BC, CA und AB. Zeigen Sie:
(a) |APB |2 + |BPC |2 + |CPA |2 = |PC A|2 + |PA B|2 + |PB C|2
Hinweis: Wenden Sie den Satz des Pythagoras auf die sechs Teildreiecke an.
(b) Ist ABC gleichseitig, so hängt die Summe |P PA | + |P PB | + |P PC | nicht von der
Lage des Punktes P ab.
Hinweis: Betrachten Sie die Flächen der drei Teildreiecke P AB, P BC und P CA.
Aufgabe 3
(5 Punkte)
Berechnen Sie für ein beliebiges Dreieck die Längen der
(a) Seitenhalbierenden
(b) Höhen
(c) Mittelsenkrechten
(d) Winkelhalbierenden
in Abhängigkeit von den Seitenlängen des Dreiecks.
Hinweis: Drücken Sie diese Längen zunächst durch Seitenlängen und Innenwinkel aus,
indem Sie den Sinus- bzw. Kosinussatz auf die jeweiligen Teildreiecke anwenden. Drücken
Sie dann die Winkel wie in der Vorlesung mit Hilfe der Seitenlängen aus.
Aufgabe 4
(5 Punkte)
Formulieren Sie die Umkehrung des Höhensatzes und versuchen Sie, diese zu beweisen.
Abgabe: Dienstag, den 1. Dezember 2015, vor der Vorlesung.
Diese Übungsblätter finden Sie im Netz unter http://friedolin.uni-jena.de.