Analytische Geometrie - NoLuck

Analytische Geometrie
Geraden Teil 2
Schnittwinkel von Geraden
Innenwinkel im Dreieck
Länge von Strecken, Abstände
Lotgeraden
Dreiecksinhalt
November 2005
Datei Nr. 20015
Friedrich Buckel
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
20015
Analytische Geometrie
1
Winkel und Abstände
1
Schnittwinkel von Geraden
y
Grundwissen:
Eine Geradengleichung der Form y = mx + n
enthält die Steigungszahl m. Ihre Bedeutung liegt darin,
dass sie an gibt, wie groß der Tangens des
Steigungswinkels ist:
m = tan α =
1. Fall:
∆y
α
∆x
∆y
∆x
x
Winkel zwischen einer Geraden
und einer Horizontalen.
Beispiele:
a)
g: y = 2x − 1 hat m = 2 d.h. tan α = 2
führt zu α = arctan2 = 63,4o
b)
y
α
g: y = −x + 2 hat m = - 1 d.h. tan α = −1.
Mit dem Taschenrechner erhält man zu einem
negativen Tangenswert meist einen negativen
Winkel, d.h. hier α = −45o , was eine
Drehrichtung im Urzeigersinn (nach unten) bedeutet.
Dazu gehört aber auch ein Winkel zwischen 90o und 180o . Wir rechnen
also in diesem Fall: α = 180o − 45o = 135o
Merke:
Der Schnittwinkel zwischen einer horizontalen Geraden und
einer schrägen Geraden wird mit der Formel m = tan α berechnet.
x
20015
Analytische Geometrie
2. Fall:
Winkel und Abstände
2
Winkel zwischen einer Geraden
und einer Vertikalen.
g
Hinweis:
Man berechnet zuerst den Winkel gegen die x-Richtung:
x
Beispiele:
a)
g: y = 32 x + 1
und h: x = 3
y h
α
Aus tan α ' = 32 folgt α ' = 33,7o
In diesem Falle subtrahieren wir α ' von 90o :
α = 90o − 33,7o = 56,3o
g
α'
x
b)
g: y = - 2x + 5 und h: x = 2
Wir bestimmen zuerst den Steigungswinkel
von g: tan α ' = 2 ( das Minus ist unnötig)
also α ' = 180o − 63,4o = 116,6o
Davon subtrahiert man 900 :
α = 116,6o − 90o = 26,6o
y
h
α
α'
g
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Analytische Geometrie
Winkel und Abstände
3
3. Fall: Winkel zwischen beliebigen Geraden.
Aufgabe:
y
g1
Gegeben sind zwei Geraden
g2
γ1
g1 : y = m1 x + n1 und g2 : y = m2 x + n2..
γ2
Welche Winkel schließen sie ein ?
α1
α2
x
Überlegung:
Aus den Steigungen kann man die Steigungswinkel α1 und α 2 berechnen.
Ihre Differenz ist der erste Schnittwinkel: γ1 = α1 −α 2 .
Nun sollte man nicht hergehen, und dies genau so rechnen!
Die Trigonometrie liefert uns eine Formel, die es gestattet, den Tangens eines
Differenzwinkels γ1 = α1 − α 2 direkt aus den Einzelwinkeln zu berechnen:
tan α1 − tan α 2
1+ tan α1 ⋅ tan α 2
und ferner m1 = tan α1 bzw. m2 = tan α 2 , dann folgt_
tan (α1 −α 2 ) =
Sie lautet
Ersetzt man γ1 = α1 −α 2
tan γ =
m1 − m2
1+ m1m2
Die Verwendung des Betrages sichert uns, dass der Tangens einen positiven Wert
bekommt, was zu einem Winkel unter 90o gehört. Mit anderen Worten: Diese
Formel liefert stets den kleineren der beiden Schnittwinkel.
Da dieser Winkel und sein Nebenwinkel zusammen 180o ergeben, berechnet man
den zweiten Schnittwinkel durch Subtraktion von 180o .
Beispiele:
(1)
g:
y = 2x + 3
h:
Schnittwinkelberechnung:
7−2
5
1
=
=
tan γ1 =
1+ 7 ⋅ 2 15 3
(2)
g:
g:
also γ1 = 18,4o ;
y = - 2x + 1
y=
h:
−2 − 41
− 94
9
9
=
=
−
=
2
1− 2 ⋅ 41
2
2
4
tan γ1 =
(3)
y = 7x - 5.
y = − 34 x + 1
tan γ1 =
und
h:
11
− 34 + 72
4
=
=
3
7
1+ (− 4 ) ⋅ (− 2 )
1+ 21
8
γ 2 = 180o − 18,4o = 161,6o
1
x+4
4
γ1 = 77,5o und γ 2 = 102,5o
y = − 72 x − 1
22
8
29
8
=
22
29
γ1 = 37,2o ; γ 2 = 142,8o
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Analytische Geometrie
Winkel und Abstände
2
(1)
4
Orthogonale Geraden
Eine harmlose Überlegung:
Der rechte Winkel besitzt keinen Tangenswert. Je näher sich ein Winkel der 90o
Marke nähert, desto größer wird der Tangens, er geht dort nach Unendlich.
Dies zeigt sich auch mit der Tangensformel: Wird der Nenner 0, erhalten wir keinen
Tangenswert, und dies genau die 90o - Situation, daraus folgt:
g1 ⊥ g2 ⇔ m1 ⋅ m2 = −1 ⇔ m2 = −
1
m1
Dies setzt natürlich voraus, dass keine der Steigungen 0 ist, also keine der Geraden
horizontal verläuft (die andere wäre dann vertikal).
Dies kann man auch problemlos über eine Zeichnung beweisen.
Wir setzen wieder voraus,
dass keine der Geraden
horizontal verläuft, also dass
beide Steigungen ≠ 0 sind.
g2
Für g1 gilt dann
m1 =
∆x 2 = ∆ y 1
∆y1
∆x1
g1
∆y 2 = ∆ x 1
Und für g2 gilt dann
m2 =
∆y 2
∆x 2
∆y1
Wenn uns vorstellen, dass
∆x1
g2 durch Drehung um den
Punkt S um 90O entsteht,
dann gilt dasselbe für das
Steigungsdreieck von g2.
Dann erkennt man, dass
∆x 2 = ∆y1 ist und ∆y 2 = ∆x1 .
Und weil bei einer solchen Drehung aus der steigenden Geraden eine fallende wird
bzw. umgekehrt, müssen wir noch einen Vorzeichenwechsel durch ein Minuszeichen
einplanen. Dann gilt:
∆y 2
∆x
m2 =
=− 1 .
∆x 2
∆y1
Nun berechnen wir das Produkt der beiden Steigungen und erhalten:
m1 ⋅ m2 =
∆y1
∆y1 ∆y 2
⋅
=
∆x1 ∆x 2
∆x1
 ∆x 

1 
⋅ −
 = −1 !!!
 ∆y1 
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Analytische Geometrie
Winkel und Abstände
5
Bemerkungen
1.
Zwei Geraden „stehen aufeinander senkrecht“ kann man auch so formulieren:
Zwei Geraden sind (zueinander) orthogonal.
2.
Für die Grundaufgabe: Prüfe nach, ob zwei Geraden orthogonal sind,
kann man die Orthogonalitätsbeziehung
1
g1 ⊥ g2 ⇔ m1 ⋅ m2 = −1 ⇔ m2 = −
m1
kann man auf zwei Arten anwenden:
(1) Man verwendet die mittlere Gleichung m1 ⋅ m2 = −1, setzt also beide
Steigungen ein und prüft nach, ob – 1 heraus kommt.
1
m1
und schaut nach, ob die Steigung der einen Geraden der negative
Kehrwert der anderen ist.
(2)
(2)
Man verwendet die rechte Gleichung:
m2 = −
Beispiele zur Grundaufgabe 1:
Überprüfung der Orthogonalität:
a)
g1 : y = 3x + 5
denn es gilt
g2 : y = − 31 x + 1
und
sind orthogonal,
m1 ⋅ m2 = 3 ⋅ (− 31 ) = −1 ,
oder weil m2 = − 31 der negative Kehrwert von m1 = 3 ist.
b)
g: : y = − 34 x
denn es gilt
und
sind orthogonal.
m1 ⋅ m2 = (− 34 ) ⋅ 34 = −1 ,
oder weil m2 =
(2)
y = 34 x + 1
h:
3
3
der negative Kehrwert von m1 = − 34 ist.
Grundaufgabe 2:
Gleichung einer Lotgeraden aufstellen
c)
Gesucht ist die Lotgerade von A ( 3 I 1 ) auf g: y = 2x − 5 .
Lösung
1
1
=− .
mg
2
Mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form erstellt man die Gleichung von L:
Aus mg = 2 folgt für die Lotgerade L:
1
y − 1 = − (x − 3)
2
also
mL = −
1
5
y =− x+
2
2
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Analytische Geometrie
d)
Winkel und Abstände
6
Fälle das Lot vom Punkt Z ( - 3 I 3 ) auf g: y = −3x + 1.
Zusatzaufgabe: Berechne den Schnittpunkt
Lösung
Steigung der Lotgeraden
mL = −
1
1
1
=−
=
mg
−3 3
Punkt-Steigungs-Form für L:
y −3 =
1
(x + 3)
3
d.h.
y=
1
x+4
3
Zusatzaufgabe:
1
x + 4 = −3x + 1
3
9
ergibt
xF = −
10
37
und durch Einsetzen in g:
yF =
.
10
Schnittpunkt F von g und Z :
Ergebnis:
Lotfußpunkt F ( −
9 37
I
)
10 10
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Analytische Geometrie
Winkel und Abstände
3
Winkel im Dreieck
Rest auf der Mathe-CD
7