Mathematik - Vorbereitung auf das Studium

Merkwürdig ist es immer, dass alle,
die diese Wissenschaft ernstlich
studieren, eine Art Leidenschaft
dafür fassen
Carl Friedrich Gauß
© Dipl.-Math. Reinhard Bley
Seite 1
1.
Rechnen mit Brüchen (ohne maschinelle Hilfsmittel!)
1.1. Addieren und Subtrahieren von Brüchen
1.
a)
1 3 1
+ −
=
4 4 2
b)
3 7 1 5
+ + −
=
8 8 8 8
c)
5 3 1 7
+ + −
=
2 2 2 2
2.
a)
3
3
+
=
24 4
b)
157 20
+
=
5
25
c)
18
21
+
=
60 72
3.
a)
1
3
5
+
+
=
6 12 6
b)
2
1
1
+4 =
2
5
c)
7
+3=
8
4.
a)
4 3 4
+ +
=
5 5 9
b)
7 2 1
− −
=
8 7 4
c)
11 1 3
− +
=
12 4 8
5.
a)
96 40
−
+3 =
12 45
b)
91 210
3
+
−
=
70
35
10
c)
6
6.
a)
−
25 124
−
=
6
6
b)
18
1
−7 =
4
2
c)
−
7.
a)
6
2
7
+4 =
9
9
b)
5
1
7
+3 =
8
8
c)
27 43 37
+
−
=
6
12 12
11 16
−
=
19 19
34
3
+1 =
10
5
1.2. Multiplizieren und Dividieren von Brüchen
8.
a)
3 4
⋅ =
4 7
b)
9 22
⋅
=
11 7
c)
1 7 2
⋅ ⋅ =
3 8 3
9.
a)
7 1
⋅3 =
9 2
b)
1 4
2⋅ ⋅ =
5 3
c)
2 3
4 ⋅3 =
3 4
10.
a)
2 3 1
 + ⋅ =
3 4 3
b)
 4 1
7⋅ −  =
2 3
c)
1
 3
+ ⋅6 =

 10 4 
11.
a)
4 3
: =
5 7
b)
4
:6 =
5
c)
3
: 10 =
14
12.
a)
9
b)
1
1 :7 =
6
c)
31 1
:1 =
49 7
1
3
:2 =
2
4
1.3. Doppelbrüche
13.
a)
3
16
5
7
=
b)
2 34
3
5
=
c)
4
9
21
5
=
d)
3 74
4
1 11
=
1.4. Gemischte Bruchrechnungsaufgaben
14.
3
 26
11  3
a) 
+ 8 −
:
=
 5
2
5 5


15.
a) 7
3
3
+ 7⋅ =
5
5
b) 0,4 :
b) 4
3
+ 5 ⋅ 0,7 =
9
c) 6
3  3
: 2⋅  =
7  7
c)
1
3
1
+ 0,75 − 3 + 2,25 :
=
2
8
7
24  3 2 
: ⋅  =
51  2 17 
1.5. Umwandlung in Dezimalbrüche (2 Dezimalstellen)
16.
3
=
4
7
=
8
9
=
16
20
=
25
2
1
=
2
6
=
25
4
2
=
5
5
=
4
127
=
5
157
=
50
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1.6. Umwandlung in Brüche
17.
0,4 =
0,7 =
0,25 =
0,003 =
4,270 =
3,02 =
13,4 =
0,875 =
0,72 =
0,125 =
1.7. Anwendungsaufgaben
18.
36 Liter Wein zu 3,60 € je Liter sollen in ¾ -Literflaschen abgefüllt werden. Berechnen Sie die
Anzahl der Flaschen und den Preis je Flasche.
19.
Tee soll in Päckchen. zu je /8 kg verkauft werden. Wie viel Päckchen erhält man aus:
5
1
a)
41 ¼ kg,
b)
63 /8 kg,
c)
72 /8 kg?
20.
586 Liter Tarragona wird in /10-Literflaschen abgefüllt. 50 Liter kosten im Einkauf 45,50 €; die
1
Bezugskosten betragen /12 des Einkaufspreises. Berechnen Sie die Anzahl der Flaschen und den
Preis für 1 Flasche.
21.
Ein Gastwirt kauft 2 Fässer mit 51 /5 Liter und 49 /3 Liter Exportbier. Der Schankverlust
1
beträgt /16. Wie viele Gläser zu
3
1
a)
/10 Liter,
b)
/5 Liter kann er zapfen?
1
7
3
2
Wie groß ist der Rest in jedem der beiden Fässer?
1
22.
Ein Fass Weinessig mit 50 ¾ Liter kostet 41,25 €. Die Bezugskosten betragen /12 des Preises.
3
Berechnen Sie den Verkaufspreis für die /4-Literflasche, wenn für allgemeine Geschäftskosten
1
1
/7 des Bezugspreises und anschließend /8 für Gewinn aufgeschlagen werden.
23.
10.000 Liter 1986er Rheinwein kosten It. Rechnung 26.200 €. Die Frachtkosten betragen 178 €.
7
Der Wein wird in /10 Literflaschen abgefüllt. Für Füllkosten werden 0,35 € je Flasche gerechnet.
Ermitteln Sie den Bezugspreis für 1 Flasche.
2.
Rechnen mit Potenzen und Logarithmen
2
5
 
3
1.
a
2
 
2
2.
3.
(3 ⋅10 )
4.
5.
6.
=
 1
− 7


=
 1
6
 
24
=
2 −4
2
−1
=
2
( x + y)
=
23
 1
2
 
2
−3 2 =
=
0,5 −2 =
=
(2 )
8.
(2 )
9.
32 + 34 =
32 ⋅ 3 4 =
10.
(3 )
32
11.
2,74
0,94
4
=
=
=
0
−1
3 −2 =
=
=
4
(2 ) =
4−3
=
4−4
=
−2
3
=
−1
0
=
 2 3
3 ⋅ 2
   
32
=
34
3
=
−2
(2 )
(2 )
2
4
=
4
( −3 )
=
(2 )
2
=
3 ⋅10 −1 =
=
7.
−2
2 3
3
−2
(x ⋅ y)
2
( −3 )
4
(0,5 )
3
 2
− 3 


=
4
=
0,43 ⋅ 53 =
4−4
4−3
=
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Seite 3
−8
12.
−2
4−4 ⋅ 4 −3 =
2
3 6
5 ⋅5
   
=
=
−2
13.
 1
5
 
5 −1
14.
24 − 25 =
15.
Lösen Sie die folgenden logarithmischen Gleichungen.
(log steht sowohl für den 10-er Logarithmus als auch für den natürlichen Logarithmus. Wenden Sie
die Logarithmengesetze an)
a)
c)
e)
=
4 ⋅ log ( x ) = log (16 )
 1
 
5
5
3
5
 
−8
 6 
 10 
 
2
24 + 25 =
2−4
2−5
2 4 ⋅ 2−5 =
3 ⋅ log ( x ) − 5 ⋅ log ( x ) = log (16 )
3 ⋅ log ( 5 ) = log ( x )
=
b)
d)
f)
=
0,5 + 2 ⋅ log ( x ) = log (13 )
− log ( x ) + 4 ⋅ log ( 7 ) = 18
4 ⋅ log ( 6 ) − 3 ⋅ log ( 8 ) = − log ( x )
16. Ein Kapital von 10.000 EUR werde jeweils zum Jahresende mit 6% verzinst, wobei Zinseszins
gezahlt wird.
Nach wie viel Jahren erreicht der Kontostand erstmals den Betrag von 15.000 EUR?
17. Die Bevölkerung einer Stadt ist in den letzten 10 Jahren von 52.000 auf 65.000 Einwohner angewachsen.
a)
Wie hoch war der durchschnittliche prozentuale Zuwachs pro Jahr?
b)
Wie hoch wird die Einwohnerzahl in zehn Jahren sein, wenn man gleich bleibendes
Wachstum unterstellt?
3.
Anwendungsaufgaben zur Prozentrechnung
1. Ein Kaufmann erhält eine Rechnung über 2.410,00 EUR. Wegen eines Transportschadens an der
Ware gewährt der Lieferer dem Kunden 15% Sondernachlass. Beim Rechnungsausgleich zieht der
Kunde 2 % Skonto vom Restbetrag ab. Über wie viel EUR lautet die Zahlung?
2. Ein Großhändler gewährt 25% Rabatt und vom verbleibenden Betrag 2 % Skonto.
a) Wie viel EUR hat ein Kunde nach Ausnutzung von Rabatt und Skonto zu zahlen, wenn er
eine Ware kauft, die mit 3600,00 EUR ausgezeichnet ist?
b) Welcher Prozentsatz ergibt sich, wenn Rabatt und Skonto zusammengefasst werden?
3. Ein Lieferer gewährt 20% Rabatt auf den Listenpreis und 3% Skonto vom Restbetrag.
Welcher Prozentsatz ergibt sich, wenn Rabatt und Skonto zu einem Prozentsatz zusammengefasst
werden?
4. Ein Lieferwagen wurde 2 Jahre hintereinander mit 16% vom Buchwert abgeschrieben und steht jetzt
noch mit 18.750,00 EUR zu Buche. Wie viel EUR betrug der Anschaffungspreis?
5. Der Verkaufspreis einer Ware beträgt nach einer Preiserhöhung von 5% nun 132,72 EUR.
Wie viel EUR beträgt die Preiserhöhung und wie viel EUR betrug der ursprüngliche Verkaufspreis?
6. Der Umsatz eines Großhandelsbetriebes betrug im 1. Halbjahr 684.500,00 EUR und stieg im
2. Halbjahr auf 816.200,00 EUR. Wie viel Prozent betrug die Steigerung?
7. Bei einem Räumungsverkauf setzt ein Großhändler Fernsehgeräte für 763,20 EUR je Stück ab.
Er erzielt dabei einen Verlust von 4%. Wie viel EUR beträgt der Verlust je Gerät?
8. Der Buchwert einer Maschine beträgt 3.543,75 EUR. Wie viel EUR betrug der Anschaffungswert
dieser Maschine vor 3 Jahren, wenn in jedem der 3 Jahre eine Abschreibung von 25% vom
jeweiligen Buchwert vorgenommen wurde?
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Seite 4
4.
Lösen von Gleichungen
Geben Sie die Lösungsmenge der Gleichungen an, dabei gilt für die Parameter a, t, k ∈R
a)
x 2 + 3x − 4 = 0
b)
x 2 + x − 56 = 0
c)
d)
( 2x − 5 ) e− x
e)
(x
x 2 + 52 x − 35 = 0
− 4 ⋅ e0,5 x = 0
f)
x ⋅ ex = 0
h)
x 2 ⋅ ( ax − 4a ) = 0
i)
( x − t ) ⋅ e− x
l)
e2x − 6e x + 5 = 0
=0
j)
( x − 1) ⋅ ( x − a )
( 2x − 4k ) ⋅ e2kx
m)
g)
2
=0
2
)
k)
(kx
e 4x − 5e2x + 6 = 0
n)
2x 4 − 3x 3 = 0
o)
x 4 − 3x 3 + 2x 2 = 0
p)
x 4 − 4x 2 + 3 = 0
q)
x 4 − 13x 2 + 36 = 0
r)
x 3 − 4x = 0
s)
x 4 − 2x 2 = 0
t)
x3 − 5x 2 + 6x = 0
u)
v)
ln [3 − x ] = 0
w)
ln ( 2x − 3 ) = 0
2 ⋅ (1 − ln x ) = 1
5.
Lösen von Gleichungssystemen mit 2 Gleichungen
=0
2
)
=0
− k ⋅ e−kx = 0
Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme bevorzugt durch das Additionsverfahren
1.
(I)
y + 2x = 2
(II)
4y - 7x = 3
2.
(I)
7x + 11y = -6
(II)
9x + 12y = 3
3.
(I)
9x + 12y = -3
(II)
7x + 11y = 6
4.
(I)
8x + 19y = -7
(II)
11x + 17y = 36
5.
(I)
5x - 2y = 3
(II)
x + 4y = 16
6.
(I)
5x + 2y = 3
(II)
x - 4y = 16
7.
(I)
27x - 26y = 67
(II)
19x + 39y = 18,5
8.
(I)
27x - 18y = 63
(II)
-0,6x + 0,4y = -1,6
9.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems über der Grundmenge Q!
3
2
2
2y − 3
(I)
+
= 0
(II)
+
= 0
3,5 y + 0,15 0,6 − 4 x
11 8 x + 1
10.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems über der Grundmenge Q!
33 − 22y
2
3
(I)
= 2
(II)
=
8x + 1
4 x − 0,6
3,5 y + 0,15
11.
In einem Käfig sind Hasen und Fasane. Sie haben zusammen 35 Köpfe und 94 Füße. Wie viele
Hasen und Fasane sind im Käfig?
(China, ca. 2500 v. Chr.)
12.
Wenn der Preis von 9 Äpfeln vermindert um den Preis einer Birne 13 Denare beträgt und der Preis
von 19 Birnen vermindert um den Preis eines Apfels 8 Denare beträgt, so frage ich, wie teuer ein
Apfel und wie teuer eine Birne ist?
(Johannes Buteo, 1549 n. Chr.)
13.
In den "Erzählungen aus Tausendundeiner Nacht" befindet sich folgendes Rätsel :
Eine fliegende Taubenschar kam zu einem hohen Baume; ein Teil von ihnen setzte sich auf den
Baum, ein anderer darunter.
Da sprachen die auf dem Baume zu denen die darunter lagerten: "Wenn eine von euch herauf
fliegt, so seid ihr ein Drittel von uns allen; und wenn eine von uns hinab fliegt, so werden wir euch
an Zahl gleich sein."
Wie viel Tauben waren auf dem Baum, wie viel darunter?
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Seite 5
6.
Quadratische Gleichungen
1.
Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen. Vermeiden Sie dabei Taschenrechnerprogramme und nutzen Sie die Lösungsformel („Mitternachtsformel“).
2.
a)
x² - 3x - 10 = 0
b)
x² - 14x + 49 = 0
c)
x² - 8x + 25 = 0
d)
3x² - 10x + 3 = 0
e)
5x² - 36x + 55 = 0
f)
6x² + 13x + 6 = 0
Zerlegen Sie die folgenden Polynome in Linearfaktoren (
a)
3.
x² - 6x + 8
b)
x² + 8x + 15
Sätze von VIETA):
c)
x² + 2x - 120
Lösen Sie die folgenden Gleichungen
a)
(4x - 3)(3x - 2) = (2x - 13)(x - 2) + 20
b)
(x - 5)² + (2x + 3)² = (x + 1)² + 97
c)
(5x + 2)(x - 3) - (2x + 3)(x - 2) = 0
4.
Auf einem rechteckigen Feld, das 100 m lang und 80 m breit ist, soll ein Sportplatz errichtet werden,
der 60% des ganzen Feldes einnehmen und rundum einen überall gleichbreiten Zuschauerraum
enthalten soll. Berechnen Sie die Breite des Zuschauerraumes!
7.
Funktionen
1.
Gegeben ist die Funktion f: y = −2x − 3.
2.
a)
Begründen Sie ohne Zeichnung, in welchen Quadranten der Graph der Funktion verläuft!
b)
Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und zeichnen Sie den
Graphen!
c)
Zeigen Sie durch Rechnung, dass der Punkt P(3 | −9) auf dem Graphen, der Punkt
Q(0 | −13) jedoch nicht auf dem Graphen liegt.
d)
Wie lautet die Funktionsvorschrift derjenigen linearen Funktion, auf deren Graphen
sowohl P als auch Q liegen?
Die Punkte A (−1 | 6) und B (6 | 3) sind Elemente der Geraden g. Die Gerade h geht durch den
Punkt C(1 | 2) und hat die Steigung ¾.
Stellen Sie die Gleichungen von g und h auf und berechne die Koordinaten von S!
3
3.
a)
b)
4.
Herr Meier bezieht für sein Haus Gas. Er hat die Wahl zwischen dem Kleinverbrauchstarif H1 und
dem Grundpreistarif H2. Beim Tarif H1 muss er monatlich 5 EUR bezahlen sowie 9 Cent für jede
Kilowattstunde. Beim Tarif H2 sind die monatlichen Kosten 10 EUR, pro Kilowattstunde müssen
aber nur 6 Cent entrichtet werden.
a)
b)
5.
Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion h: y = /5x - 2
Der Graph Gg einer Funktion g verläuft durch den Punkt P(3 | 2) und ist parallel zum
Graphen Gh der Funktion h. Geben Sie den Funktionsterm der Funktion g an.
Geben Sie die Funktionsterme h1(x) und h2(x) für beide Tarife an, die dem
Jahresverbrauch x in Kilowattstunden den Jahresgesamtpreis y in EUR zuordnen.
Von welchem monatlichen Mindestverbrauch x an würden Sie Herrn Meier raten, den Tarif
H2 zu wählen? Begründen Sie durch Rechnung.
10 Minuten nach Beginn eines Regenschauers befinden sich 20 Liter Wasser in einer Regentonne.
Jeweils in 3 Minuten nimmt die Wassermenge um 1 Liter zu.
a)
Geben Sie die Zuordnungsvorschrift an.
b)
Berechnen Sie die Wassermenge, die zu Beginn des Schauers bereits in der Tonne war.
c)
Die Tonne fasst 50 Liter. Wie lange müsste der Regenschauer dauern, damit die Tonne
überläuft?
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6.
Eine kleine Firma stellt Mountainbikes her. Dabei entstehen pro Monat Fixkosten in Höhe von
5.000 EUR. Die variablen Kosten V(x) errechnen sich nach der folgenden Formel:
2
V(x) = 2,4x + 120x.
a)
b)
7.
Bestimmen Sie die monatlichen Herstellungskosten H(x) (Fixkosten + variable Kosten)
in Abhängigkeit von x. Bei welcher Produktionszahl sind die variablen Kosten fünfmal so
hoch wie die Fixkosten?
Alle monatlich produzierten Mountainbikes werden zu einem Preis von 620 EUR pro Stück an
einen Händler verkauft.
Geben Sie den monatlichen Gewinn G in Abhängigkeit von x an (Umsatz minus Kosten.
Bei welchen Produktionszahlen macht die Firma Gewinn?
Wie hoch ist der maximale Gewinn pro Monat (Bestimmung des Scheitelpunktes und
Begründung des Maximums)?
In einer Stadt verbreitet sich ein Gerücht. Die Zahl der Personen, die davon gehört haben, nimmt im
Laufe einer Woche um 20% zu. Anfangs kennen 1.000 Einwohner das Gerücht.
a)
b)
c)
Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung, die die Ausbreitung des Gerüchts beschreibt
(t in Tagen)
Wie viele Menschen kennen das Gerücht nach 10 Tagen?
Wie lange dauert es, bis alle 200.000 Einwohner der Stadt das Gerücht kennen?
8.
Differentialrechnung
1.
Leiten Sie alle angegebenen Funktionen je einmal ab (a, k, t ∈ R):
2.
a)
f(x) = 4x 5 − 2x 3
b)
f(x) = 2ax 3 − 6a2 x 2
d)
f(x) = ( 4x + 1)
e)
f(x) = 2x 2 + a
g)
f(x) = ( x − 1) ⋅ ( x − k )
h)
f(x) = 2ax ⋅ ( x − a )
3
2
(
)
4
c)
f(x) = t 2 x 4 − 3t 3 x 2 + 4t 2
f)
f(x) = 2ax 3 + 3
(
f(x) = 3x 2 ⋅ e−4x
b)
d)
f(x) = ( x + k ) ⋅ e −kx
e)
g)
f(x) = e x + e − x
(
)
2
h)
f(x) = 21 x 3 ⋅ e2x
(
)
f(x) = ( 2k + e )
f(x) = 4x + e − x
−2x
3
2
Leiten Sie alle angegebenen Funktionen je einmal ab (k ∈ R):
a)
)
2
c)
f(x) = ( 2x + 5 ) ⋅ e− x
f)
f(x) = x 2 + e2x
(
)
2
2
3.
Zeigen Sie, dass der Graph von f mit f(x) = x ⋅e ; x ∈R bei x = 0 einen Tiefpunkt besitzt.
4.
Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f mit f(x) = x ⋅e zwei Punkte mit waagerechter Tangente
hat. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch diese beiden Punkte.
5.
Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f mit f(x) = x⋅e genau einen Wendepunkt hat.
6.
Ein quaderförmiger Swimmingpool mit 8 m Länge, 5 m Breite und 3 m Höhe wird mit Wasser gefüllt.
Zu Beginn beträgt die Wasserhöhe 0,1 m. Der Zu- bzw. Abfluss des Wassers wird modellhaft
beschrieben durch die Zulaufratenfunktion f mit
2
x
2
-x
-x
f(t) = t – 13t + 40t 0 ≤ t ≤ 9
3
2
(f(t) in m³ pro Stunde, t in Stunden)
a)
Geben Sie die Zeitpunkte an, zu denen Wasser weder zu- noch abläuft und berechnen Sie
die Zeitpunkte maximalen Zu- bzw. Abflusses.
b)
Wie viel Wasser befindet sich nach 3 Stunden im Pool? Bestimmen Sie die Höhe des Wasserstands am Ende des gesamten Einfüllvorgangs.
c)
Berechnen Sie die maximale Wassermenge im Pool.
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9.
Vektorrechnung
1.
Prüfen Sie, ob folgende Vektoren orthogonal aufeinander stehen.
a)
2.
b)
c)
4.
 2
ur
a =  1 
 −3 
 
 4
ur 

a =  0
 −2 


 −1 
ur
a =  3 
 −2 
 
b)
 5
r
r =  −1 
 3
 
 2
ur
n =  1 
 −3 
 
c)
 2
ur
z =  −2 
 4
 
1 
uur
w =  3 
1 
 
 4
ur
b =  −2 


 1
 1
ur  
b =  3
 −1 
 
5
ur
b =  2 
 
1 
3
ur
c =  5 
 
0
 6
ur 

c =  6
 −4 


 3
ur
c =  −4 
 
 −3 
Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist:
a)
A(3 | 7 | 2),
B(-1 | 5 | 1)
C(2 | 3 | 0)
b)
A(-5 | 2 | -1)
B(0 | 5 | -3)
C(-1 | 6 | -3)
Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist:
A(5 | 1 | 0)
5.
 2
ur
b =  2 
0
 
Prüfen Sie, ob die drei angegebenen Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind:
a)
3.
 −1 
ur
a =  0 
 1
 
B(1 | 5 | 2)
C(-1 | 1 | 6)
Ein Turm hat die Form einer senkrechten quadratischen Säule, der eine senkrechte Pyramide
aufgesetzt ist (siehe Skizze).
Die Gesamthöhe des Turms beträgt 24 m, die horizontalen
Kanten sind 8 m, die vertikalen Kanten sind 18 m lang.
Der Punkt D liegt im Ursprung eines kartesischen
Koordinatensystems mit der Längeneinheit 1 m.
a)
Geben Sie die Koordinaten aller Punkte an und berechnen
Sie den Neigungswinkel des Daches (Winkel zwischen
Pyramidengrundfläche und Seitenfläche) sowie die
Größe der Dachfläche.
b)
Im Punkt P(18 | 4 | 0) steht ein 8 m hoher Fahnenmast. Berechnen Sie die Länge des
Schattens auf Boden und Turmwand, wenn das einfallende
Sonnenlicht die Richtung
T
(-10; 1; -2) hat.
c)
Ein Kind mit Augenhöhe 1 m läuft vom Punkt B aus in Richtung DB vom Turm weg.
In welcher Entfernung von der Turmkante BF kann das Kind die Turmspitze S erstmals
sehen?
uuur
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Seite 8
10. Stochastik
1.
2.
3.
In einer Urne befinden sich 2 grüne, 3 rote und 5 blaue Kugeln. Es werden nacheinander ohne
Zurücklegen 2 Kugeln gezogen.
a)
Stellen Sie ein Baumdiagramm auf.
b)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
A:
Es werden die beiden grünen Kugeln gezogen.
B:
Es wird zuerst eine rote und dann eine blaue Kugel gezogen.
C:
Es werden eine rote und eine grüne Kugel gezogen.
D:
Es werden 2 gleichfarbige Kugeln gezogen.
E:
Es wird keine blaue Kugel gezogen.
Ein Fertigungsteil durchläuft mehrmals dieselbe Kontrolle, da mit einer Wahrscheinlichkeit von 20%
ein Fehler übersehen wird.
a)
Bestimmen Sie mit Hilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass ein
vorhandener Fehler zweimal übersehen und beim 3. Mal erkannt wird.
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein vorhandener Fehler spätestens beim
3. Mal erkannt wird?
Von einer großen Ladung Apfelsinen sind 20% verdorben. Es werden 5 Stück entnommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?
A:
Eine Apfelsine ist verdorben.
B:
Alle Apfelsinen sind in Ordnung.
C:
Mindestens 2 Apfelsinen sind verdorben.
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Seite 9
Lösungen
Abschnitt 1:
1.
a)
1
2
b)
3
4
c)
1
2.
a)
7
8
b)
161
5
c)
71
120
3.
a)
5
4
b)
67
10
c)
31
8
4.
a)
83
45
b)
19
56
c)
25
24
5.
a)
91
9
b)
7
c)
109
19
6.
a)
− 149
6
b)
−3
c)
− 95
7.
a)
11
b)
9
c)
5
8.
a)
3
7
b)
18
7
c)
7
36
9.
a)
49
18
b)
8
15
c)
35
2
10.
a)
17
36
b)
35
3
c)
33
10
11.
a)
28
15
b)
2
15
c)
3
140
12.
a)
38
11
b)
1
6
c)
31
56
13.
a)
21
80
b)
55
12
c)
20
189
14.
a)
85
16
b)
47
10
c)
157
8
15.
a)
59
5
b)
31
6
c)
8
3
16.
0,75
0,88
0,8
2,5
4,4
1,25
17.
2
5
7
10
1
4
3
1000
427
100
151
50
67
5
7
8
18
25
1
8
0,56
18.
48 Flaschen
2,70 €
19.
a)
b)
20.
837 Flaschen
21.
a)
22.
0,85 €
23.
2,20 €
330
509
0,24
d)
25,4
c)
577
b)
474 Gläser Rest: 687,5 ml
55
21
3,14
0,70 €
316 Gläser Rest: 137,5 ml
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Seite 10
Abschnitt 2:
8
125
a2
4
1
30
36
256
128
4.
x 2y2
x 2 + 2xy + y 2
5.
9
−9
1
9
1
9
1
64
1.
2.
3.
1
49
8
27
3
10
−
8.
1
16
1
64
64
9.
90
729
10.
38
38
11.
81
4
12.
4 −7
4
1
4
1
13.
1
5
5
48
14.
−16
1
2
2
6.
7.
15.
4
1
1
256
1
1
9
8
a)
x=2
b)
x = 2,03
e)
x = 125
f)
x = 0,395
b)
211.076 Einwohner
16.
nach 7 Jahren
17.
a)
12,5%
c)
x = 0,25
d)
-15
x = 2,4 10
Abschnitt 3:
1.
2.007,53 EUR
2.
a) 2.646,00 EUR
3.
22,4 %
4.
26.573,13 EUR
5.
6,32 EUR
6.
19,24 %
7.
31,80 EUR
8.
8.400,00 EUR
b) 26,5 %
126,40 EUR
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Seite 11
Abschnitt 4:
a)
L = {1; -4}
b)
L = {7; -8}
c)
L={
e)
L = {-2; 2}
f)
L = {0}
g)
i)
L = {t}
j)
L = {2k}
k)
m)
L={
o)
L = {0; 1; 2}
p)
L = {- 3 ; -1; 1;
r)
L = {-2; 0; 2}
s)
L = {- 2 ; 0;
u)
L={ e}
v)
L = {2}
1
2
1
2
ln 2;
Abschnitt 5:
{
1
3
4
3
ln 3}
n)
L = {0;
3
2
3
5
¸-1}
5
2
d)
L={
}
L = {1; a}
h)
L = {0; 4}
L = {-1; 1}
l)
L = {0; ln 5}
}
3}
2}
q)
L = {-3; -2; 2; 3}
t)
L = {0; 2; 3}
w)
L = {2}
}
1.
L=
2.
L = {7 | -5}
3.
L = {-7 | 5}
4.
L = {11 | -5}
5.
L = {2 | 3,5}
6.
L = {2 | -3,5}
7.
L = 2 − 21
8.
L={ }
9.
x = 1,4,
y = 0,9.
10.
x = 0,7,
y = 0,9
11.
12 Hasen, 23 Fasane
12.
1,5 Denare / 0,5 Denare
13.
7 auf / 5 darunter
{
}
Abschnitt 6:
1.
a)
{-2, 5}
d)
2.
(2)
b)
{7 }
{ /3, 3}
e)
a)
(x - 2)(x - 4)
3.
a)
{-2, 2}
4.
10 m
1
c)
{}
{ /5, 5}
f)
{- /2, - /3}
b)
(x + 3)(x + 5)
c)
(x - 10)(x + 12)
b)
{-4, 4}
c)
{0, 4}
11
3
2
Abschnitt 7:
1.
a)
II. III. IV. Quadrant
b)
2.
3
39
g(x) = − x +
;
7
7
h(x) =
3
5
x+ ;
4
4
3.
a) x =
10
3
g(x) =
3
1
x+
5
5
b)
x = −1,5; y = −3
d)
4
/15x – 9,8
 11

S | 4 
3


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Seite 12
4.
5.
6.
a)
a)
a)
h1(x) = 0,09 x + 60, h2(x) = 0,06x +120
1
50
y = /3x + /3
b)
ab 2.000 kWh ist H2 günstiger.
c)
nach 100 Minuten
2
H(x) = 2,4x + 120x + 5000
2
2,4x + 120x = 25000
b)
16,67 Liter
b)
ergibt als zulässige Lösung: x = 80,07, d.h. bei 81 Stück
2
G(x) = -2,4x + 500x – 5000
Nullstellen von G(x) ergeben als Lösung:
11 ≤ x ≤ 197 Mountainbikes
Scheitelpunkt der Parabel bei 104; Maximum, da nach unten geöffnet
Gmax(104) = 21.041,60 EUR
7.
a)
G(t) = 1000 ⋅ e
0,026 t
b)
1297
c)
nach 204 Tagen
Abschnitt 8:
1.
2.
a)
f '(x) = 20x4 – 6x²
b)
f '(x) = 6ax² - 12a²x
c)
f '(x) = 4t²x³ - 6t³x
d)
f '(x) = 12⋅(4x+1)²
e)
f '(x) = 16x⋅(2x²+a)³
f)
f '(x) = 18ax²⋅(2ax³+3)²
g)
f '(x) = (x-k)²+2⋅(x-1)⋅(x-k)
h)
f '(x) = 6xe-4x (1 − 2x )
a)
f '(x) = e 2x ( 32 x 2 + x 3 )
b)
f '(x) = e-kx (1 − kx − k 2 )
d)
e)
f '(x) = 4x 3 + ( 4x 2 + 4x ) ⋅ e2x + 4e 4x
f)
f '(x) = 2 ⋅ ( e 2x − e −2x )
g)
f '(x) = 2a⋅(x-a)²+4ax⋅(x-a)
f '(x) = 2 ⋅ ( 4x + e-x ) ⋅ ( 4 − e − x )
c) f '(x) = e-x ( −2x − 3 )
−4e −2x ( 2k + e −2x )
h)
3.
f’(0) = 0 und f’’(0) > 0
4.
f '(x) = 0
5.
f ''(x) = 0
6.
a)
nach 0, 5 und 8 Stunden
Min nach 6
b)
87,25 m³
c)
x1 = 0; x2 = 2
x=2 f´´´(2) ≠ 0
2,63 m
2
3
Stunden,
Max nach 2 Stunden
118,6 m³
Abschnitt 9:
1.
2.
a)
a)
nicht orthogonal
linear unabhängig
b)
b)
orthogonal
linear abhängig
3.
a)
gleichschenklig
b)
nicht gleichschenklig
4.
rechtwinklig bei B
5.
a)
A(8 | 0 | 0)
B(8 | 8 | 0)
E(8 | 0 | 18)
F(8 | 8 | 18)
56,31° 115,4 m²
b)
16,05 m
c)
C(0 | 8 | 0)
G(0 | 8 | 18)
c)
c)
orthogonal
linear unabhängig
D(0 | 0 | 0)
H(0 | 0 | 18)
16,03 m
Abschnitt 10:
1.
b)
P(A) =
2.
a)
0,032
3.
P(A) =
256
625
1
45
P(B) =
b)
P(B) =
1024
3125
1
6
P(C) =
2
15
P(D) =
14
45
P(E) =
2
9
0,992
P(C) =
821
3125
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