Lösung Nr. 7

Expo_u_3_Zusatz
Exponentialfunktionen – Wachstum und Zerfall
Teilgebiet – Wachstum (Generationszeit)
Ein Anfangswert G0 wächst je Zeiteinheit n (Generationszeit) prozentual an. Der Endwert Gn
wird nach n-Jahren bei einem Prozentsatz p % mit folgender Formal berechnet:
Gn = G0 · qn
q ist der Wachstumsfaktor. Er wird aus p% berechnet: q = 1 +
p
100
Beispiele für die Berechnung des Aufzinsungsfaktors q:
a)
p%=+6%
q=1+
p
100
q=1+
6
100
q = 1,06 « Wachstum »
b)
p%=–4%
q=1–
p
100
q=1–
4
100
q = 0,96 « „Zerfall“ »
Aufgabenbeispiel: „Wachstum“
1. Eine Bakterienkultur umfasst anfangs 50 000 Bakterien. Die Anzahl vergrößert sich alle 30
Minuten (0,5 h = Generationszeit) um 25 %.
a. Nach wie vielen Stunden hat sich die Anzahl der Bakterien versechsfacht?
b. Nach wie vielen Stunden ist die Anzahl der Bakterien auf 1 Mio. angewachsne?
geg.: Gn = 300 000 B. ; G0 = 50 000 B. ; q = 1,25
ges.: n (Zeiteinheit je 30 min)
Gn = G0 · qn
| : K0
Gn
= qn
| log kurz lg
G0
lg Gn − lg G0
=n
lg q
lg 300000 − lg 50000
=n
lg 1,25
n = 8,029626932 n ~ 4 h
Die Generationszeit ist die Zeiteinheit, nach der eine neue Generation
(z.B. Bakterien) dazu kommt.
Wächst eine Bakterienkultur ...
... alle 15 Minuten, dann ist nach
1 Stunde n = 4.
... alle 10 Minuten, dann ist nach
1 Stunde n = 6.
... alle 5 Minuten, dann ist nach
1 Stunde n = 12.
( Da eine Generationszeit 30 min dauert, ergeben 8 Generationszeiten 4 Stunden! )
„rückwärts“
2.
geg.: Gn = 300 000 B.
G0 = 50 000 B.
n=8
ges.: p% ( mit Hilfe von q)
3.
geg.: Gn = 300 000 B.
n=8
q = 1,25
ges.: G0
Gn = G0 · qn | : K0
Gn
= qn
| n
G0
q=6
Gn
G0
300000
50000
q = 1,251033.. p % = 25 %
q=6
Gn = G0 · qn | : qn
G
G0 = nn
q
G0 =
300000
1,258
G0 = 50331 B.
G0 = fast 50 000 €
4.
G0 = 50 000 B.
n=8
q = 1,25
ges.: Gn
Gn = G0 · qn
G8 = 50 000 B. · 1,258
G8 = 298023,22 ... B.
G8 ~ fast 300 000 B.