2 Punkte 2.

2011. október
Mittelstufe – I. Teil – 45 Minuten
1. Schreiben Sie die Zahl 420 als Produkt von Primzahlen auf!
2 Punkte
2. Teilen Sie 36 000 in zwei Zahlen so auf, dass das Verhältnis der Zahlen 5 : 4 sein soll!
2 Punkte
3. In einer Zellenzucht verdoppelt sich die Zahl der Zellen alle 2 Tage. Am Anfang des ersten Tages besteht die Zucht aus 5000 Zellen. Wie viele Zellen sind in der
Zucht 8 Tage später? Schreiben Sie Ihre Berechnungen ausführlich nieder!
2+1 Punkte
4. Bezeichne man die Menge der natürlichen Zahlen mit N, die Menge der ganzen Zahlen mit Z, die leere Menge mit ∅. Geben Sie die Ergebnisse folgender
Mengenoperationen an!
a) N ∩ Z
b) Z ∪ ∅
c) ∅ \ N
1+1+1 Punkte
5. Auf der Abbildung ist ein Teil des Graphen der Funktion f (x) = |x + a| + b zu sehen, die in der Menge der reellen Zahlen definiert ist. Geben Sie die Werte für a
und b an!
2 Punkte
6. Geben Sie den Medianwert (Median) der Zahlen 2; 11; 7; 3; 17; 5; 13 an!
2 Punkte
7. Zeichnen Sie einen einfachen Graphen mit vier Knoten, wo die Gradzahlen der Knoten der Reihe nach 3, 2, 2, 1 sind!
2 Punkte
8. N=437y51 bezeichnet eine durch drei teilbare, sechsstellige Zahl im Zehnersystem. Geben Sie die möglichen Werte von y an!
2+1 Punkte
2
2
2
2
a –a
a –a
a –a
a –a
=a−1 B)
=a C)
=a1 D)
=0 2 Punkte
9. Welche der folgenden Gleichungen ist eine Identität, wenn a ≠ 1 ist? A)
a−1
a−1
a−1
a−1
10. István wollte den Graphen der Funktion x a log0,5 x (x>0) darstellen, es gelang ihm aber nicht, er beging mehrere Fehler dabei (die falsche Skizze ist auf der
Abbildung nebenan zu sehen). Entscheiden Sie sich, welche der folgenden Behauptungen richtig ist! A) Der Fehler bei der Skizze ist, dass die skizzierte Funktion
streng monoton fallend ist. B) Der Fehler bei der Skizze ist, dass die skizzierte Funktion der Zahl 2 die Zahl –2 zuordnet. C) Der Fehler bei der Skizze ist, dass die
Nullstelle der skizzierten Funktion 1 ist.
2 Punkte
11. Wenn man bei einem Grundkapital von 2000 Euro jährlich 6% Zinsen bekommt, in wie vielen vollen Jahren erreicht das Kapital den Wert
von 4024 Euro? Schreiben Sie Ihre Berechnungen ausführlich nieder!
3+1 Punkte
12. Eine Seitendiagonale des Würfels auf der Abbildung wurde eingetragen. Zeichnen
Sie eine andere Seitendiagonale ein, die einen gemeinsamen Endpunkt mit der schon
eingezeichneten Seitendiagonale hat. Welchen Winkel schließen diese zwei
Seitendiagonalen ein! Begründen Sie Ihre Antwort!
2+1 Punkte
2012. május
Mittelstufe – II. Teil – 135 Minuten. Von den Aufgaben 16-18 müssen Sie zwei beliebige auswählen und ausarbeiten.
13. Lösen Sie die folgenden Gleichungen in der Menge der reellen Zahlen!
a) 5 – x =
 2x 2−71
b) sin2x = 1 + 2cosx
(6+6)
14. In einer Umfrage wurden in zwei Altersgruppen insgesamt 200 Leute gefragt, wie viel Mal sie jährlich ins Theater gehen. Unter ihnen sind 120 Leute jünger als 40 Jahre, 80
Leute sind 40 Jahre alt oder älter. Die Ergebnisse sind (im prozentuellen Verteilung) im Diagramm unten zu sehen. a) Wie viele mindestens 40 jährige Leute haben geantwortet, dass
sie weniger als 5-mal im Kino waren? b) Wie viel Prozent der Befragten gehen jährlich mindestens 5, aber höchstens 10- mal ins Kino? c) Aus den 200 Leuten werden 2 zufällig
ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens einer von ihnen jünger als 40 jährig ist? Geben Sie Ihr Ergebnis auf drei Nachkommastellen gerundet an! (3+4+5)
15. Gegeben sind zwei Geraden: e: 5x − 2y = −14,5 , f: 2x + 5y = 14,5. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes P der zwei Geraden!
b) Zeigen Sie, dass die Geraden e und f senkrecht aufeinander sind! c) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Geraden e mit der x-Achse!
(4+4+4)
16. Zeitungsnachricht: „Nach den Berechnungen der Seismologen, das Erdbeben, das am 26. Dezember 2004 in der Nähe der Insel Sumatra ausgelöst war, war auf der RichterSkala 9,3 stark; die Zahl der tödlich Verunglückten der vom Erdbeben ausgelösten Tsunamiwelle näherte der Zahl 300 Tausend an.“ Den Zusammenhang zwischen der „Stärke“ des
Erdbebens auf der Richterskala und der freigesetzten Energie im Zentrum des Erdbebens beschreibt der folgende Zusammenhang: M = –4,42 +
2
lg E. In dieser Formel bedeutet E
3
die Größe der freigesetzten Energie im Zentrum des Bebens (in Joule gemessen), M die nichtnegative Größe des Erdbebens auf der Richter-Skala. a) Die freigesetzte Energie bei der
Explosion der Atombombe in Nagasaki im Jahre 1945 war 1,344⋅1014 Joule. Welche Stärke hätte das Erdbeben auf der Richter-Skala, in dessen Zentrum so viel Energie freigesetzt
wäre? b) Wie groß war die freigesetzte Energie bei dem Erdbeben am 26. Dezember 2004 in der Nähe von Sumatra. c) Die Stärke des großen Erdbebens in Chile im Jahr 2007 war
auf der Richter-Skala um 2 größer als die Stärke des Erdbebens in Canada im selben Jahr. Wie viel Mal so viel Energie ist im Erdbeben in Chile wie in Canada freigesetzt worden. d)
Die Tsunamiwelle nach dem Erdbeben hat auf einer Insel im Pazifischen Ozean einen kreissegmentförmigen Teil vernichtet. Der Mittelpunkt des grenzenden Kreisbogens des
Kreissektors ist das Zentrum des Erdbebens, sein Radius ist 18 km. Das Zentrum des Erdbebens liegt 17 km weit von der Küste entfernt (siehe die Oberansicht). Wie groß ist der
Flächeninhalt des vernichteten Gebietes auf der Insel auf ganzes Quadratkilometer gerundet?
(3+3+5+6)
17. a) Wie viele aus vier verschiedenen Ziffern bestehende vierstellige Zahlen kann man bilden, wenn deren Ziffern alle Elemente der Menge {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} sind? b)
Wie viele durch 4 teilbare siebenstellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 bilden? c) Wie viele sechsstellige, durch drei teilbare Zahlen kann man bilden, die nur
die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 enthält, und alle dieser Ziffern kommen in der Zahl mindestens einmal vor.
(3+6+8)
18. Die Ausmaße eines kegelstumpfförmigen Joghurtbechers sind die folgenden: der Durchmesser der Grundseite ist 6 cm, der Durchmesser der Deckseite ist 11 cm und die
Erzeugende ist 8,5 cm. a) Wie viel cm3 Joghurt kommt in den Becher, wenn der Becher, der auf der kleineren Kreisfläche steht, in der Fabrik bis zum 86% Prozent seiner Höhe
gefüllt wird? Geben Sie Ihre Antwort auf zehn cm3 gerundet an! b) Während der Produktion werden 3% der Becher beschädigt, sie werden Ausschüsse. Der Kontrolleur nimmt aus
den hergestellten Bechern 10 Stück mit Zurücklegen heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den 10 Bechern mindestens ein Stück Ausschuss gibt? Geben Sie Ihre
Antwort auf zwei Nachkommastellen
gerundet an!
(11+6)