Labor 7 (Matlab oder Octave) Hermite Polynom mit doppelten

Labor 7 (Matlab oder Octave)
Hermite Polynom mit doppelten Knoten
Gegeben sind die Knotenpunkte x0 , . . . , xm und die Werte einer Funktion f in diesen Punkten: f (x0 ), . . . , f (xm ),
sowie die Ableitungen f 0 (x0 ), . . . , f 0 (xm ). Seien z0 , z1 , . . . , z2m+1 definiert durch z2i = z2i+1 = xi , i = 0, m. Das
zugehörige Hermite Polynom, ausgedrückt mit dividierten Differenzen, ist :
(H2m+1 f )(x) = f (z0 ) + (x − z0 )[z0 , z1 ; f ] + · · · + (x − z0 )(x − z1 ) · · · (x − z2m )[z0 , . . . , z2m+1 ; f ],
wobei [z0 , . . . , zk ; f ] die dividierte Differenz der Ordnung k ist (beinhaltet auch dividierte Differenzen mit doppelten
Knoten).
Man schreibe ein Programm, welches das Hermite Polynom H2m+1 f generiert (man gebe seine Koeffizienten an)
und auf dem Intervall [a, b] darstellt, wobei a = min{x0 , . . . , xm }, b = max{x0 , . . . , xm }. Die Interpolationspunkte
(xi , f (xi )), i = 0, m sollen auf dem Bild speziell hevorgehoben werden.
Beispiel 1: x0 , x1 , x2 : -1, 0, 1; f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ) : -2, -1, 0; f 0 (x0 ), f 0 (x1 ), f 0 (x2 ) : 5, 0, 5
(H5 f )(x) = x5 − 1.
Beispiel 2: x0 , x1 , x2 : -1, 0, 1; f (x0 ), f (x1 ), f (x2 ) : 2, 1, 2; f 0 (x0 ), f 0 (x1 ), f 0 (x2 ) : −4, 0, 4
(H5 f )(x) = x4 + 1.
Hinweis: Die Tabelle mit dividierten Differenzen mit den Knoten zi , i = 0, 2m + 1, ist
Knotenp. Div. Diff. 0. Ordn. Div. Diff. 1. Ordn.
z0 = x0
f (z0 )
[z0 , z1 ; f ] = f 0 (x0 )
z1 = x0
f (z1 )
[z1 , z2 ; f ] =
z2 = x1
f (z2 )
[z2 , z3 ; f ] =
z3 = x1
f (z3 )
[z3 , z4 ; f ] =
z4 = x2
f (z4 )
[z4 , z5 ; f ] =
z5 = x2
f (z5 )
f (z2 )−f (z1 )
z2 −z1
0
f (x1 )
f (z4 )−f (z3 )
z4 −z3
0
f (x2 )
Div. Diff. 2. Ordn.
[z0 , z1 , z2 ; f ] =
[z1 , z2 , z3 ; f ] =
[z2 , z3 , z4 ; f ] =
[z1 ,z2 ;f ]−[z0 ,z1 ;f ]
z2 −z0
[z2 ,z3 ;f ]−[z1 ,z2 ;f ]
z3 −z1
[z3 ,z4 ;f ]−[z2 ,z3 ;f ]
z4 −z2
...
Div. Diff. 5. Ordn.
...
[z0 , z1 , z2 , z3 , z4 , z5 ; f ]