Geometrie/Algebra/Zahlentheorie Merkblatt: Kongruenzabbildungen

FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften
Prof. Dr. R. Frank/ Dr. D. Habeck
Geometrie/Algebra/Zahlentheorie
Merkblatt: Kongruenzabbildungen
Definition:
(1) Eine Abbildung f : Rn → Rn heißt abstandserhaltend, falls d(f (B), f (A)) = d(A, B)
für alle A, B ∈ Rn .
(2) Eine Kongruenzabbildung f : Rn → Rn ist eine Abbildung, die bijektiv und abstandserhaltend ist. Die Menge der Kongruenzabbildungen f : Rn → Rn bezeichnet man
mit Kn . Die Menge der orientierungserhaltenden Kongruenzabbildungen bezeichnet
man mit Kn+ , die Menge der orientierungsumkehrenden Kongruenzabbildungen mit
Kn− .
Satz:
Die Menge der Kongruenzabbildungen K2 besteht aus folgenden Abbildungen:
(1) Identische Abbildung idR2
(2) Verschiebungen τAB mit A, B ∈ R2
(3) Spiegelungen σg an einer Achse g
(4) Drehungen ρD,α um den Punkt D mit Drehwinkel α
(5) Schubspiegelungen σg,AB := σg ◦ τAB mit ABkg
Dabei sind die Abbildungen in (1),(2) und (4) orientierungserhaltend, die in (3) und (5)
aufgelisteten Abbildungen sind orientierungsumkehrend.
Satz:
Seien g und h Geraden im R2 . Dann gilt:
(1) Sind g und h parallel mit Abstand d, so ist σh ◦ σg eine Verschiebung um 2d senkrecht
zu g und h.
(2) Schneiden sich die Geraden g und h im Punkt A in einem Winkel α, so ist σh ◦ σg
eine Drehung um den Punkt A mit Drehwinkel 2α.
Satz von Leonardo da Vinci:
Die endlichen Untergruppen von (K2 , ◦) sind die Gruppen {id}, {id, σd }, Dn+ und Dn (mit
n ∈ N, n ≥ 2). Dabei ist Dn+ := Dn ∩ K2+ und Dn bezeichnet die Diedergruppe (vgl.
Merkblatt 4).