Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik

Universität der Bundeswehr München
Studiengang Mechanical Engineering (B. Eng.)
Prof. Dr. K. Uhlmann
Ergänzende Kapitel
Zur Vorlesung
Angewandte Physik
als Manuskript gedruckt
Gliederung
1.
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
1.1.6
1.1.7
1.1.8
1.1.9
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
1.3
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
1.3.5
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Vektorrechnung
Freie und gebundene Vektoren
Vektoraddition
Darstellung eines Vektors in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
Der Betrag eines Vektors
Der Richtungskosinus eines Vektors
Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
Das Vektorprodukt zweier Vektoren
Gemischte und mehrfache Produkte
Differentialrechnung
Die Geschwindigkeit
Definition der Ableitung einer Funktion
Ableitungen ausgewählter Funktionen
Grundregeln für das Differenzieren
Das Differential
Anwendung der Differentiation in der Mechanik (Kinematik)
Integralrechnung
Das bestimmte Integral
Beziehung zwischen Integral- und Differentialrechnung
Das unbestimmte Integral
Allgemeine Integrationsregeln
Anwendung der Integration in der Mechanik (Kinematik)
3
3
3
3
4
5
5
6
6
7
9
10
10
12
12
13
13
14
16
16
17
17
18
19
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.4.1
2.4.2
DIE NEWTON’SCHE BEWEGUNGSGLEICHUNG
Die Newton’schen Axiome
Die Masse
Die Kraft
Integration (Lösung) der Bewegungsgleichung
Konstante Kraft
Kraft ist nicht konstant und hängt vom Ort bzw. von Ort und
Geschwindigkeit ab
22
22
22
24
25
25
26
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
3.
3.1
3.2
3.3
DYNAMIK STARRER KÖRPER
Freiheitsgrade
Dynamik der Rotation um eine feste Achse
Massenträgheitsmoment, Satz von Steiner
30
30
30
33
4.
4.1
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.1.5
4.2
4.2.1
4.2.2
35
35
35
35
37
37
38
40
40
4.2.3
4.3
4.3.1
4.3.2
ERHALTUNGSSÄTZE DER MECHANIK
Energieerhaltung
Arbeit
Verschiebungsarbeit und potentielle Energie
Leistung
Beschleunigungsarbeit und kinetische Energie
Erhaltungssatz der mechanischen Energie
Impulserhaltung
Impuls und Kraftstoß
Systeme von Massepunkten: Innere Kräfte, Impulserhaltung,
Massenmittelpunkt
Der zentrale gerade Stoß zweier Kugeln
Drehimpulserhaltung
Drehimpulserhaltung bei der Zentralbewegung eines Massepunktes
Drehimpulserhaltung für starre Körper
5.
HERLEITUNG DER WELLENGLEICHUNG FÜR EINE KUGELKETTE
48
6.
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
EINFÜHRUNG IN DIE THERMODYNAMIK
Thermodynamisches System
Zustand, Zustandsgrößen, Prozessgrößen
Extensive und Intensive Zustandsgrößen
Temperatur und Temperaturmessung
Wärmemenge und Wärmekapazität
Ideales Gas
Thermische Zustandsgleichung für ideale Gase
Ausdehnungsarbeit
Innere Energie U
Energieerhaltung, Erster Hauptsatz der Wärmelehre
Übersicht über Zustandsänderungen für ideale Gase
Der zweite Hauptsatz der Wärmelehre
50
50
50
51
51
52
53
54
55
55
56
57
59
7.
7.1
7.2
7.3
7.3.1
7.3.2
ANWENDUNGEN DER LOGARITHMENGESETZE
Exponentialausdrücke und logarithmische Ausdrücke
Anwendung logarithmischer Größen - Pegel
Logarithmische Darstellungen von Exponential- und Potenzfunktionen
Die darzustellende Funktion ist eine Exponentialfunktion
Die darzustellende Funktion ist eine Potenzfunktion
60
60
62
63
64
65
41
42
44
44
46
Herbsttrimester 2007
Seite 2
1.
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
1.1
Vektorrechnung
Als vektorielle Größe oder Vektor bezeichnet man alle Größen, die eine Richtung besitzen.
Skalare Größe oder Skalar heißt jede Größe, die keine Richtung besitzt.
Beispiele: Die an einem Massepunkt angreifende Kraft ist ein Vektor, da sie eine Richtung
besitzt. Die Geschwindigkeit eines Massepunktes ist ebenfalls ein Vektor. Die Temperatur
eines Körpers ist ein Skalar, da mit dieser Größe keine Richtung verbunden ist. Die Masse
eines Körpers ist ebenfalls ein Skalar.
Wenn man von der Richtung einer vektoriellen Größe absieht, so kann man diese genauso wie
eine skalare Größe durch Wahl einer entsprechenden Maßeinheit messen. Aber während die
Maßzahl die skalare Größe vollständig beschreibt, beschreibt sie die vektorielle Größe nur
teilweise.
Die vollständige Beschreibung einer vektoriellen Größe erfolgt durch eine gerichtete Strecke
und erfordert neben der Angabe des Betrages (Länge der Strecke) die Angabe der Richtung.
Die Richtung der vektoriellen Größe fällt in die Richtung der Strecke und wird durch einen
Pfeil symbolisiert.
Vektorielle Größen werden meist durch einen Pfeil über dem Formelbuchstaben bezeichnet.
r
r
Beispiel: Die Kräfte F1 und F2 haben beide
r
r
den gleichen Betrag ( F1 = F2 , dargestellt
durch gleiche Länge der Pfeile), aber unterschiedliche Richtungen.
r
F1
r
F2
1.1.1
Freie und gebundene Vektoren
Die an einen Massepunkt angreifende Kraft (z.B. Schwerkraft) ist ein Vektor. Wird der Massepunkt durch die Kraft verschoben, greift die Kraft in gleicher Weise an den verschobenen
Massepunkt an.
In bestimmten Fällen ist es jedoch zweckmäßig, sich den Vektor mit festem Angriffspunkt
vorzustellen (z.B. beim Hebel, wo die Wirkung der Kraft von deren Angriffspunkt abhängt).
Man gelangt so zum Begriff des gebundenen Vektors.
Ein gebundener Vektor, dessen Anfangspunkt der Koordinatenursprung ist, wird Radiusvektor oder Ortsvektor genannt.
1.1.2
Vektoraddition
Greifen z.B. an einem Massepunkt mehrere Kräfte an, so ergibt sich die resultierende Kraft
durch Vektoraddition der beteiligten Kräfte.
r
r
r
Zur Addition der Vektoren a und b verschiebt man zunächst den Vektor b an den Endpunkt
r
r r r
des Vektors a . Der Summenvektor c = a + b ergibt sich dann als Verbindung zwischen dem
r
r
Ausgangspunkt des Vektors a und dem Endpunkt von Vektor b .
Ergänzungen_07
Seite 3
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
r
b
r
b
r
c
r
a
r
a
Muss ein Vektor von einem anderen subtrahiert werden, so addiert man den entgegen gesetzten Vektor, d.h. einen Vektor gleichen Betrages aber entgegen gesetzter Richtung:
r
r r r
a −b = a + −b
( )
1.1.3
Darstellung eines Vektors in einem rechtwinkligen Koordinatensystem
z
z
r
az
r r r r
a = a x + a y + az
r
a
r
ay
r
az
y
r
ax
r
ax
x
x
y
r
ay
In einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem stellt man Vektoren als Summe der
Projektionen des Vektors auf die Achsen des Koordinatensystems dar:
r r r r
a = a x + a y + az
Üblicherweise stellt man die Projektionen außerdem als Vielfache bzw. Teile von Basisvektoren in Richtung der x-, y- und z-Achsen dar:
r
r
a x = a x ⋅ e x usw.
r r
Dabei sind die Basisvektoren ex , ey , ez Einheitsvektoren, d.h. Vektoren vom Betrag 1. Ihre
Länge ist gleich der jeweiligen Maßeinheit. Es gilt:
r r r r r r
ex ⋅ ex = ey ⋅ ey = ez ⋅ ez = 1
r r r r r r
ex ⋅ ey = ex ⋅ ez = ey ⋅ ez = 0
r r
An Stelle der Symbole ex , ey , ez verwendet man in der Mathematik häufig die Symbole
r r r
i , j , k . Die hier angewandte Schreibweise wird jedoch den Anforderungen der Physik besser
gerecht, da man mit den Indizes darstellen kann, welche physikalischen Größen das jeweilige
Koordinatensystem aufspannen.
Seite 4
r
Der ganze Vektor a lässt sich auf diese Weise schreiben als
r
r
r
v
a = ax ⋅ ex + ay ⋅ ey + az ⋅ ez .
Weniger Schreibaufwand erfordert die Darstellung des Vektors als Matrix (Zeilen- oder Spaltenvektor):
r
a = (ax ; ay ; az )
oder
⎛ ax ⎞
r ⎜ ⎟
a = ⎜ ay ⎟
⎜a ⎟
⎝ z⎠
Dabei finden sich unterschiedliche Schreibweisen, die Matrizen werden z. T. in eckige Klammern gesetzt oder mit senkrechten Doppelstrichen begrenzt.
Beispiel: Eine Kraft des Betrages F = 10,00 N,
die in der y-z-Ebene wirkt und unter einem
Winkel von 30° zur x-y-Ebene angreift, hat die
Komponenten
1
Fz = F ⋅ sin 30° = 10,00 N ⋅ = 5,00 N
2
1
Fy = F ⋅ cos 30° = 10,00 N ⋅
3 = 8,66 N
2
z
r
Fy = F ⋅ cos 30°
r
F
30°
r
Fz = F ⋅ sin 30°
y
Damit kann man schreiben:
r
F = (0; 8,66; 5,00) N
1.1.4
Der Betrag eines Vektors
Der Betrag eines Vektors, der durch seine Komponenten in den drei Achsenrichtungen eines
rechtwinkligen Koordinatensystems gegeben ist, ergibt sich als
r
a = a = a x2 + a y2 + az2 .
r
Beispiel: Der Betrag der oben angeführten Kraft F = (0; 8,66; 5,00) N ist
r
F = F = 0 + 8,66 2 + 5,00 2 N = 0 + 75,00 + 25,00 N = 10,00 N .
1.1.5
Der Richtungskosinus eines Vektors
Die Betrachtung in obigem Beispiel lässt sich umkehren. Die Frage lautet dann z.B., welchen
r
Winkel der Vektor a mit der x-Achse einschließt. Man erhält
r
r r a
cos ( x, a ) = cos (ex , a ) = rx .
a
Beispiel: Obiges Beispiel soll so zurückgerechnet werden, d.h. wir suchen den Winkel, den
r
der Vektor F = (0; 8,66; 5,00) N mit der y-Achse einschließt. Der Richtungskosinus ergibt
sich dann als
(
)
r F
8,66 N
cos y, F = ry =
= 0,866 .
F 10,00 N
Ergänzungen_07
Seite 5
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
Mit der Umkehrfunktion erhält man den gesuchten Winkel:
r
∠ y, F = arccos 0,866 = 30,0°
(
)
1.1.6
Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl
r
Bei der Multiplikation eines Vektors a mit einer Zahl n erhält man einen neuen Vektor, der
r
die Richtung des Vektors a hat (bzw. die entgegen gesetzte Richtung, wenn n negativ ist)
und dessen Betrag um den Faktor n vergrößert ist.
Es gelten die Beziehungen:
(n + m ) ⋅ ar = n ⋅ ar + m ⋅ ar
r
r r
r
n ⋅ a + b = n ⋅ a + n ⋅b
r
r
n ⋅ (m ⋅ a ) = (n ⋅ m ) ⋅ a
(
)
1.1.7
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
r
r
Als Skalarprodukt zweier Vektoren a und b bezeichnet man das Produkt ihrer Beträge mit
dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels:
r r r r
r r
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos a , b
( )
Bilden die beiden Vektoren einen spitzen Winkel, ist das Skalarprodukt positiv, bei einem
stumpfen Winkel ist es negativ. Das Skalarprodukt ist gleich dem Produkt der Beträge der
beiden Vektoren, wenn die Vektoren die gleiche Richtung haben, d.h. wenn der eingeschlossene Winkel gleich Null ist. Stehen die Vektoren senkrecht aufeinander, ist das Skalarprodukt
gleich Null.
r
Das Skalarprodukt lässt sich geometrisch deuten als Produkt des Betrages von a mit dem
r
r
Betrag der Projektion des Vektors b auf den Vektor a .
Es gelten die Beziehungen:
r r r r
a ⋅b = b ⋅a
r
r
r
(n ⋅ ar ) ⋅ b = n ⋅ ar ⋅ b = n ⋅ ar ⋅ b
r r r r r r r
a ⋅ b + c = a ⋅b + a ⋅c
r
r
(m ⋅ ar ) ⋅ n ⋅ b = (m ⋅ n ) ⋅ ar ⋅ b
(
)
( )
( )
Das Produkt
r r r
r2
a ⋅ a = a 2 = a = a2
r
r
bezeichnet man als Skalarquadrat des Vektors a . Das Skalarquadrat des Vektors a ist
gleich dem Quadrat seines Betrages.
Seite 6
Mit der Formel für das Skalarprodukt
r r r r
r r
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos a , b
( )
r
r
lässt sich schließlich auch der Winkel zwischen zwei Vektoren a und b bestimmen:
r r
r r
a ⋅b
cos a , b = r r
a ⋅b
( )
Das Skalarprodukt in Komponentendarstellung erhält man mit
r
r
r
v
a = ax ⋅ ex + ay ⋅ ey + az ⋅ ez
und
r
r
r
r
b = bx ⋅ ex + by ⋅ ey + bz ⋅ ez
wie folgt:
r r
r
r
r
r
r
r
a ⋅ b = (ax ex + ay ey + az ez )⋅ (bx ex + by ey + bz ez ) =
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
= ax ex bx ex + ax ex by ey + ax ex bz ez + ay eybx ex + ay eyby ey + ay eybz ez + az ezbx ex + az ezby ey + az ez bz ez
Wegen
r r r r r r
ex ⋅ ey = ex ⋅ ez = ey ⋅ ez = 0
und
r r r r r r
ex ⋅ ex = ey ⋅ ey = ez ⋅ ez = 1 ,
bleiben davon nur drei Summanden übrig:
r r
a ⋅ b = ax bx + ayby + azbz
r
Beispiel: Die Kraft F = (0; 8,66; 5,00) N soll nun einen Körper längs der y-Achse um 0,5 m
r
verschieben. Diese Strecke kann man entsprechend als Vektor s = (0; 0,5; 0 ) m darstellen.
Die dabei verrichtete Arbeit ergibt sich (wenn die Kraft längs des Weges konstant ist, was
hier der Fall sein soll) als Skalarprodukt aus Kraft und Weg
r r
W = F ⋅ s = 8,66 N ⋅ 0,5 m = 4,33 Nm
1.1.8
Das Vektorprodukt zweier Vektoren
r
Als Vektorprodukt des Vektors a (erster Faktor) mit dem
r
Vektor b (zweiter Faktor) bezeichnet man einen dritten
r
Vektor c (Produkt), der auf folgende Weise gebildet wird:
•
Sein Betrag ist gleich dem Flächeninhalt rdes Parallelor
gramms, das von den Vektoren a und b aufgespannt
r r
r r
wird, d.h. gleich a ⋅ b ⋅ sin a , b .
( )
•
r
c
r
b
r
a
Seine Richtung ist senkrecht zur Ebene des erwähnten
Parallelogramms.
r
• Dabei wählt man die Richtung des Vektors c (unter den zwei Möglichkeiten) so, dass die
r r r
Vektoren a , b , c ein Rechtssystem bilden. (Rechte-Hand-Regel: Der Daumen der rechten
Ergänzungen_07
Seite 7
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
r
r
Hand zeigt in Richtung des Vektors a , der Zeigefinger in Richtung von b und der Mittelr
finger in Richtung des Produktvektors c .)
Bevorzugte Schreibweise (daher auch die gebräuchliche Bezeichnung „Kreuzprodukt“):
r r r
c = a×b
Es gelten die folgenden Beziehungen:
r r
a×a = 0
r r
r r
b ×a = − a ×b
r r r r r r r
a +b ×d = a×d +b ×d
r
r
(n ⋅ ar )× b = n ⋅ ar × b
(
)
(
)
(
)
Berechnung des Vektorproduktes in Komponentendarstellung
Vektorprodukte der Basisvektoren:
r r
r r
r
ex × ex = 0 ex × ey = ez
r r
r
r r
ey × ex = −ez ey × ey = 0
r r
r r r
r
ez × ex = ey ez × ey = −ex
Das Vektorprodukt
nung:
r
ex
r
a × b = ax
bx
r r
r
ex × ez = −ey
r r
r
ey × ez = ex
r r
ez × ez = 0
berechnet man am besten unter Verwendung einer Determinante 3. Ord-
r
ey
ay
r
ez
r
r
r
az = (aybz − az by )ex + (az bx − ax bz ) ey + (ax by − aybx )ez
by
bz
Beispiel: Man berechne das Drehmoment, das auftritt, wenn eine Kraft vom Betrag F wie
gezeichnet an einen starren Körper (dünne Scheibe vom Radius R) angreift. Die Scheibe
soll um eine feste Achse drehbar sein, die
y
mit der (senkrecht auf der Zeichenebene
stehenden) z-Achse zusammenfällt.
r
F
r
r
x
45°
15°
Das Drehmoment bezüglich der z-Achse
ergibt sich dann gemäß
r
r r
Mz = r × F .
r
Der Ortsvektor r ist der Vektor vom Koordinatenursprung (Drehachse) zum Angriffspunkt der Kraft. In der gezeichneten
r
Situation ist r = R .
r
Zunächst lässt sich der Betrag von M z berechnen:
r
r r
r r
M z = r ⋅ F ⋅ sin r , F
(
)
r
r
Der Winkel, den die Vektoren r und F einschließen, beträgt 150°. Der Betrag des Drehmomentes ist also
M z = R ⋅ F ⋅ sin 150° = 0,5 R F .
Seite 8
r
r
Das Drehmoment muss senkrecht auf der durch r und F aufgespannten Ebene, also senkrecht auf der Zeichnungsebene stehen. Die Forderung, dass die drei Vektoren ein Rechtssystem bilden, führt dazu, dass der Vektor des Drehmomentes die Richtung der –z-Achse
hat, also in die Zeichnungsebene hinein zeigt.
Die Rechnung soll mit den Vektoren in Komponentendarstellung wiederholt werden:
r
r = (R ⋅ cos 45°; R ⋅ sin 45°; 0 ) = (0,707 R; 0,707 R; 0 )
r
F = (F ⋅ cos 15°; F ⋅ sin 15°; 0 ) = (0,966 F ; 0,259 F ; 0)
Das Vektorprodukt lässt sich mit der Determinante
r
r
r
r
r
r
ex ey ez
ex
ey
ez
r r
r × F = rx ry rz = 0,707 R 0,707 R 0 =
Fx Fy Fz 0,966 F 0,259 F 0
r
r
= (0,707 R ⋅ 0,259 F − 0,707 R ⋅ 0,966 F ) ⋅ ez = −0,5 R F ⋅ ez
r
r
berechnen. Wie man sieht, führt die Tatsache, dass r und F keine Komponenten in zRichtung besitzen, dazu, dass die Komponenten des Drehmoments in x- und y-Richtung
Null werden. Man erhält auch die oben ermittelte Richtung des Drehmoments in Richtung
der negativen z-Achse.
1.1.9
Gemischte und mehrfache Produkte
r r
Zur Berechnung des Volumens des Parallelepipeds, das durch die drei Vektoren a , b und
r
c aufgespannt wird, verwendet man das gemischte Produkt oder auch Spatprodukt
r r r r r r r r r
V = a ⋅ b × c = b ⋅ (c × a ) = c ⋅ a × b .
(
)
(
)
Das doppelte Vektorprodukt
r r r r r r r r r r
d = a × b × c = b ⋅ (a ⋅ c ) − c ⋅ a ⋅ b
(
)
( )
liefert als Ergebnis einen Vektor.
Das doppelte Vektorprodukt benötigt man z.B. bei der Betrachtung der Kreisbewegung. Die
r
r
Radialbeschleunigung an ergibt sich aus der Winkelgeschwindigkeit ω und dem Ortsvektor
r
r , der die Lage des Massepunktes im Raum beschreibt, gemäß
r
r r r
an = ω × (ω × r ) .
Ergänzungen_07
Seite 9
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
1.2
Differentialrechnung
Ausgangspunkt für die Differentialrechnung waren zwei Probleme:
Die Bestimmung der Tangente an eine beliebige Kurve
Die Bestimmung der Geschwindigkeit bei beliebigen Bewegungen
Beide Probleme führten zur gleichen mathematischen Aufgabe und begründeten die Differentialrechnung.
1.2.1
Die Geschwindigkeit
Zur Erklärung der Differentialrechnung soll zunächst die Bewegung eines Massepunktes
längs einer Geraden herangezogen werden. (Modell des Massepunktes: Ein Massepunkt
(Punktmasse) hat eine endlicher Masse m, jedoch, als Punkt, keine Ausdehnung.)
Die Bewegung eines Massepunktes längs einer Geraden (z.B. in x-Richtung) wird durch die
Ort-Zeit-Funktion
x = x (t )
x( t )
0
vollständig beschrieben.
x
Beispiel: Fahrplan als Ort-Zeit-Funktion in Tabellenform 1
km Ort
0 Garmisch-Partenkirchen ab
101 München Hbf
an
ab
108 München-Pasing
an
ab
163 Augsburg Hbf
an
ab
378 Würzburg Hbf
an
ICE 588
9:23
10:43
10:58
11:04
11:05
11:31
11:33
13:26
Die Geschwindigkeit ergibt sich als pro Zeiteinheit zurückgelegter Weg:
vx =
Δx
Δt
Beispiel: Für die gesamte dargestellte Strecke ergibt sich die Geschwindigkeit mit
Δ x = 378 km und Δ t = 4 : 03 h = 4,05 h
vGW =
378 km
km
= 93
4,05 h
h
Betrachten wir nun die Geschwindigkeiten auf den Teilabschnitten, stellen wir fest, dass
diese von der eben berechneten Geschwindigkeit für die Gesamtstrecke abweichen. Für die
Strecke von München-Pasing nach Augsburg erhält man z.B.
1
Natürlich bewegen sich die Züge nicht entlang einer Geraden. Man kann aber auch die krummlinige Bewegung
in der Ebene oder im Raum dadurch beschreiben, dass man die Bewegung entlang der Bahnkurve zur Charakterisierung der Bewegung verwendet. An die Stelle der Funktion x(t ) , welche die Position auf der x-Achse beschreibt, tritt dann die Funktion s(t ) , mit der die Position längs der Bahnkurve als Funktion der Zeit dargestellt
wird.
Seite 10
vPA =
55 km
km
= 128
.
0,43 h
h
Noch deutlicher wird das Problem, wenn wir uns den Aufenthalten auf den Bahnhöfen zuwenden. Im Bahnhof steht der Zug, seine Geschwindigkeit ist dann gleich Null.
Wir stellen fest, dass wir als Quotient aus Weg und Zeit immer nur die mittlere Geschwindigkeit erhalten:
vx =
Δx
Δt
Offensichtlich ist diese Formel nicht geeignet, die momentane Geschwindigkeit bei einer
ungleichförmigen Bewegung, wie es die Bewegung des als Beispiel verwendeten Zuges ist,
zu berechnen.
Wir können uns der momentanen Geschwindigkeit annähern, indem wir die Geschwindigkeit
für immer kleinere Zeitabschnitte berechnen. Im Grenzfall lässt man das Zeitintervall gegen
Null gehen:
Δx
Δ t→0 Δ t
vx = lim
Auf diese Weise lässt sich die momentane Geschwindigkeit berechnen. Die Berechnung ist
jedoch recht umständlich.
Beispiel: Wir betrachten den freien Fall eines Körpers. Die Ort-Zeit-Funktion für diese
Bewegung lautet
x (t ) =
1 2
gt .
2
Wir wollen nun die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1 berechnen. Dazu müssen wir zunächst die Orte bestimmen, an denen sich der Körper zum Zeitpunkt t1 sowie eine kurze Zeit Δ t später befindet:
x (t1 ) =
1 2
g t1
2
1
1
2
2
x (t1 + Δ t ) = g (t1 + Δ t ) = g t12 + 2 t1 Δ t + (Δ t )
2
2
[
]
Der in der Zeit Δ t zurückgelegte Weg ist damit
Δ x = x (t1 + Δ t ) − x (t1 ) =
[
]
1
2
g 2 t1 Δ t + (Δ t ) .
2
Damit wird die momentane Geschwindigkeit:
vx1 = lim
Δ t→ 0
Ergänzungen_07
[
]
1
g 2 t1 Δ t + (Δ t )
1
Δx
= lim g (2 t1 + Δ t ) = g t1
= lim 2
Δt
Δ t Δ t→0
Δ t→ 0 2
2
Seite 11
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
1.2.2
Definition der Ableitung einer Funktion
Verallgemeinert man das obige Beispiel für eine stetige Funktion
y = f (x ) ,
so kann man den Ausdruck
lim
Δ x→0
y (x + Δ x ) − y (x ) d y
=
= y′
dx
Δx
als Ableitung der Funktion y = f ( x ) einführen:
Die Ableitung einer Funktion ist der Grenzwert, gegen den das Verhältnis aus einem gegen
Null strebenden Zuwachs der Funktion und dem entsprechenden Zuwachs im Argument
strebt.
1.2.3
Ableitungen ausgewählter Funktionen
Für einige analytische Ausdrücke der Funktion y = f ( x ) sollen die Ableitungen angegeben
werden:
Funktion y = f ( x )
dy
dx
Funktion y = f (x )
Ableitung y′ =
dy
dx
C
0
ex
ex
x
1
ax
a x ln a
xn
n x n−1
ln x
1
x
1
x
−
1
x2
log a x
1
1
log a e =
x
x ln a
1
xn
−
n
sin x
cos x
cos x
− sin x
tan x
1
cos 2 x
x
n
Seite 12
Ableitung y′ =
x n+1
1
2 x
1
x
n
n x
n −1
1.2.4
Grundregeln für das Differenzieren
u , v, w seien Funktionen der Variablen x ; u′ =
du
dv
dw
, v′ =
, w′ =
die Ableitungen dieser
dx
dx
dx
Funktionen nach x .
•
Ableitung einer algebraischen Summe zweier oder mehrerer Funktionen
(u + v − w)′ = u′ + v′ − w′
•
Ableitung eines Produktes
(u v )′ = u v′ + u′ v
•
Ableitung einer Funktion mit einem konstanten Faktor
(c u )′ = c u′
•
Ableitung eines Bruches
′
⎛ u ⎞ v u ′ − u v′
⎜ ⎟ =
v2
⎝v⎠
•
Ableitung einer mittelbaren (zusammengesetzten) Funktion
Ist y = f (u ) und u = ϕ ( x ) so gilt
d y d y du
=
⋅
d x du d x
1.2.5
Das Differential
Es soll betrachtet werden, wie groß der Zuwachs Δ y einer Funktion y = f (x ) ist, wenn das
Argument um den kleinen Betrag Δ x vergrößert wird.
Beispiel: Es soll die Funktion y = x 3 betrachtet werden. Der Zuwachs der Funktion ergibt
sich als
Δ y = y (x + Δ x ) − y (x ) .
Im konkreten Fall also:
Δ y = (x + Δ x ) − x 3 = x 3 + 3 x 2 Δ x + 3 x (Δ x ) + (Δ x ) − x 3 = 3 x 2 Δ x + 3 x (Δ x ) + (Δ x )
3
2
3
2
3
Lässt man die Glieder weg, in denen Δ x in Potenzen von 2 und mehr vorkommt, und die
damit von höherer Ordnung klein sind, erhält man hier
Δ y = 3 x2 Δ x .
Allgemein kann man das in der Form
Δ y = AΔ x +α
darstellen, wobei α bei Δ x → 0 relativ zu Δ x von höherer Ordnung klein ist. Das erste
Glied ist proportional zu Δ x und heißt Differential der Funktion f ( x ) .
Das Differential einer Funktion ist gleich dem Produkt aus ihrer Ableitung und dem Zuwachs
des Arguments
Ergänzungen_07
Seite 13
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
d y = y′ Δ x bzw.
d y = y′ d x .
1.2.6
Anwendung der Differentiation in der Mechanik (Kinematik)
1.2.6.1 Geschwindigkeit
Für den oben hergeleiteten Ausdruck kann man nun die Ableitung des Ortes nach der Zeit
einsetzen:
Δ x dx
=
= x&
dt
Δ t→ 0 Δ t
vx = lim
In der Physik ist es üblich, die Ableitung nach der Zeit mit einem über die Funktion gesetzten
Punkt zu symbolisieren, man schreibt also für die Ableitung der Ort-Zeit-Funktion x(t ) nach
der Zeit den Ausdruck x& (t ) .
Die Ableitung der Ort-Zeit-Funktion nach der Zeit ergibt die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion.
Beispiel: Beim freien Fall gilt x (t ) =
1 2
g t . Die Geschwindigkeit vx (t ) lässt sich durch
2
Ableiten der Ort-Zeit Funktion leicht berechnen:
vx (t ) =
d ⎛1 2⎞
⎜ gt ⎟ = gt
dt ⎝ 2
⎠
Sucht man, wie im obigen Beispiel, die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt
t1 , muss man diesen nur noch einsetzen:
vx1 = vx (t1 ) = g t1 .
1.2.6.2 Beschleunigung
Unter Beschleunigung versteht man die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeitintervall. Die
für die Geschwindigkeit angestellten Überlegungen sind hier in gleicher Weise gültig, wenn
die Beschleunigung im Zeitverlauf nicht konstant bleibt. Man muss also schließlich hier auch
zur Berechnung der momentanen Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit-ZeitFunktion heranziehen.
ax =
d vx d 2 x
=
= &x&
dt dt2
Geschwindigkeit
vx (t ) =
d x(t )
= x& (t )
dt
Beschleunigung
ax (t ) =
d vx (t )
d 2 x(t )
= v&x (t ) =
= &x&(t )
dt
dt2
Damit gewinnt man durch Ableiten (Differentiation) der Ort-Zeit-Funktion x(t) die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion vx (t ) und die Beschleunigung-Zeit-Funktion ax (t ) .
Seite 14
Beispiel: senkrechter Wurf nach oben
Die Ort-Zeit-Funktion soll die Form x (t ) = −
g 2
t + v x 0 ⋅ t + x0 haben. Dabei zeigt die x2
Achse senkrecht nach oben. Der Ort des Abwurfes ist x0 , die nach oben gerichtete Anfangsgeschwindigkeit ist vx 0 .
Durch Ableiten erhält man die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion vx (t ) = x& (t ) = − gt + vx 0 und
die Beschleunigung-Zeit-Funktion ax (t ) = &x&(t ) = v&x (t ) = − g . Die Beschleunigung ist wie
erwartet im Zeitverlauf konstant.
Grafische Darstellung der Zeitabläufe:
x
v
ax
x
vx 0
x0
t1
x=−
t
g 2
t + v x 0 ⋅ t + x0
2
Ergänzungen_07
t1
vx = − gt + vx 0
t
t
−g
ax = − g
Seite 15
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
1.3
Integralrechnung
1.3.1
Das bestimmte Integral
Die Integralrechnung entstand aus dem Bestreben, eine allgemeine Methode zur Bestimmung
von Flächeninhalten, Volumina und Schwerpunkten zu schaffen.
Der Integralbegriff
Eine Kurve M N sei
durch die Gleichung
y = f ( x) gegeben und es
sei der Flächeninhalt des
„krummlinigen Trapezes“
a A B b zu bestimmen.
Dazu wird die Strecke
a b in n Teile
a x1 , x1 x2 , x2 x3 , ... xn-1 b
unterteilt und es wird die
in der Abbildung dargestellte Treppenfigur konstruiert. Ihr Flächeninhalt
ist gleich
y
B
N
y = f (x )
M
A
y0 y1 y2 y3
a
x1 x2 x3
b
Fn = y0 ( x1 − a ) + y1 (x2 − x1 ) + y2 ( x3 − x2 ) + ... + yn-1 (b − xn-1 ) .
Mit den Abkürzungen (x1 − a ) = d x0 , ( x2 − x1 ) = d x1 usw. kann man dafür schreiben:
Fn = y0 d x0 + y1 d x1 + y2 d x2 + ... + yn -1 d xn -1
Die gesuchte Fläche ist der Grenzwert dieser Summe für n → ∞ . LEIBNITZ hat für diesen
Grenzwert das Symbol
∫ydx
eingeführt, das später als Integral bezeichnet wurde.
Die heute gebräuchliche Form des Integrals stammt von FOURIER und schließt die Angabe der
Integrationsgrenzen, d.h. des Anfangs- und Endwertes von x ein:
b
∫ydx
a
Seite 16
x
1.3.2
Beziehung zwischen Integral- und Differentialrechnung
Lässt man die obere Grenze b der Integration nicht konstant, sondern betrachtet sie als variable Größe x , erhält man eine Fläche, die nun ihrerseits eine Funktion von x ist:
x
F ( x ) = ∫ f (ξ ) d ξ
a
An Stelle der Funktion f ( x ) wurde hier die Funktion f (ξ ) verwendet, um die Größen besser unterscheiden zu können.
y
y = f (ξ )
dF
Nun soll betrachtet werden, wie groß der Zuwachs
der Fläche d F ( x ) ist, wenn sich die obere Grenze
der Fläche um den kleinen Betrag d x verschiebt.
ξ
Der Zuwachs der Fläche ist näherungsweise gleich
a
x x+dx
der Rechteckfläche, die sich aus dem Funktionswert f ( x ) und der Größe d x des Zuwachses in x-Richtung ergibt. Das verbleibende Reststück zwischen dem Rechteck und der Kurve ist dagegen sehr klein.
Damit lässt sich die Betrachtungsweise anwenden, die wir beim Differential kennen gelernt
hatten. Man erhält für den Zuwachs der Fläche
x
d F ( x ) = d ∫ f (ξ ) d ξ = f ( x ) d x .
a
Die Funktion f ( x ) ist die Ableitung der Funktion F ( x ) nach x:
f (x ) =
d F (x )
dx
Die Integration ist also die Umkehrung der Differentiation.
1.3.3
Das unbestimmte Integral
Auf diese Weise lässt sich die Berechnung des Integrals zurückführen auf die Bestimmung
einer Funktion aus dem Ausdruck für ihr Differential:
f (x ) d x = d F (x )
Die Funktion F ( x ) bezeichnet man als Stammfunktion der Funktion f ( x ) .
Man kann leicht sehen, dass es zu einer Funktion f ( x ) beliebig viele Stammfunktionen F ( x )
gibt, die sich jedoch nur durch eine additive Konstante voneinander unterscheiden.
Den Ausdruck
F (x ) = ∫ f (x ) d x
Nennt man unbestimmtes Integral.
Ergänzungen_07
Seite 17
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
Unbestimmte Integrale ausgewählter Funktionen (Die Integrationskonstante wurde jeweils
weggelassen.):
n
∫x dx=
∫
x n+1
n +1
(n ≠ −1)
dx
= ln x
x
∫ sin x d x = − cos x
∫ cos x d x = sin x
∫e
x
dx = ex
x
∫ a dx =
1.3.4
•
ax
ln a
Allgemeine Integrationsregeln
Ein konstanter Faktor lässt sich vor das Integrationszeichen ziehen
∫ a f (x ) d x = a ∫ f (x ) d x
•
Das Integral einer Summe (bzw. Differenz) ist gleich der Summe (bzw. Differenz) der
Integrale der einzelnen Glieder
∫ (u + v − w)d x = ∫ u d x + ∫ v d x − ∫ w d x
•
Substitutionsmethode:
Ist x = ϕ (t ) , so gilt
∫ f (x ) d x = ∫ f [ϕ (t )]⋅
•
dϕ (t )
⋅ dt
dt
Partielle Integration
∫ u d v = u v − ∫ v du
Beispiel: Für die Substitutionsmethode, die häufiger benötigt wird, soll ein Beispiel angeführt werden. Das Integral habe die Form
∫
2x −1 d x .
Wir ersetzen (substituieren) ϕ = 2 x − 1 und bilden die Ableitung
wir ersetzen: d x =
∫
ϕ
Seite 18
dϕ
= 2 . Damit können
dx
dϕ
. An Stelle des ursprünglichen Integrals haben wir nun das Integral
2
dϕ
zu lösen:
2
∫
ϕ
3
2
1
dϕ 1 ϕ
= ⋅
+C = ϕ2 +C
3
3
2 2
2
3
Wenn wir wieder ϕ = 2 x − 1 einsetzen, erhalten wir für das gesuchte Integral:
(2 x − 1)2
2x −1 d x =
3
∫
3
+C
1.3.5
Anwendung der Integration in der Mechanik (Kinematik)
Wie wir bereits gesehen hatten, erhalten wir aus der Ort-Zeit-Funktion x(t ) durch Ableiten
nach der Zeit die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion und die Beschleunigung-Zeit-Funktion.
Umgekehrt lässt sich nun bei bekannter Beschleunigung-Zeit-Funktion durch Integration die
Geschwindigkeit-Zeit-Funktion und schließlich die Ort-Zeit-Funktion bestimmen:
t
∫ a (t )d t = v (t ) −v (t )
x
x
x
0
t0
t
∫ v (t ) d t = x (t ) − x (t )
x
0
t0
Beispiele: Bewegungsformen
Bei den Bewegungsformen hat man vorgegeben, ob z.B. die Geschwindigkeit oder die Beschleunigung eine bestimmte Form annimmt. Die gesuchte Ort-Zeit-Funktion gewinnt man
durch Integration unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t0 = 0
vx (0) = vx 0 und x (0) = x0 .
Man unterscheidet die folgenden Bewegungsformen:
Ruhe:
x
vx = 0
x0
x = const = x0
t
x(t ) = x0
Gleichförmige Bewegung:
vx
ax = 0
vx = const = vx 0
x
vx 0
x(t ) = vx 0 ⋅ t + x0
x0
t
t
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
ax = const = ax 0
ax
vx (t ) = ax 0 ⋅ t + vx 0
x(t ) =
Ergänzungen_07
ax 0 2
t + vx 0 ⋅ t + x0
2
vx
ax 0
x
vx 0
t
t
x0
t
Seite 19
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung :
ax = ax (t )
vx
ax
z.B. harmonische Schwingung
ax (t ) = − xmω 2 cos ω t
xm
vxm
axm
vx (t ) = − xmω sin ω t
x
t
t
t
x (t ) = xm cos ω t
Die erste Integration der Beschleunigung hat für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung die
Form:
t
t
t0
t0
∫ ax (t )dt = ax 0 ∫ dt = ax 0 (t − t0 ) = vx (t ) −vx (t0 )
Man erhält also die Differenz der Geschwindigkeiten als Fläche unter der Beschleunigung-Zeit-Kurve ax (t ) :
ax
vx
vx (t )
ax 0
vx (t0 )
vx (t ) − vx (t0 )
vx 0
t
t0
t
t0
t
t
Das Verfahren lässt sich natürlich auch auf die anderen Bewegungsformen und auch auf die
Integration der Geschwindigkeit anwenden, wobei man dann den zurückgelegten Weg als
Fläche unter der Geschwindigkeit-Zeit-Kurve vx (t ) erhält.
Beispiel (Aufgabe):
Ein Körper wird aus dem Zustand
der Ruhe bei x = 0 heraus in positiver x−Richtung während der Dauer
T so beschleunigt, wie es in nebenstehend skizziertem Diagramm dargestellt ist.
α
a0
2
3
1
2
T
T
t
T
a)
Zeichnen Sie das zugehörige − 3 a 0
2
t,v−Diagramm.
b)
Zeichnen Sie das zugehörige t,x−Diagramm.
c)
Bestimmen Sie den während T zurückgelegten Weg in Abhängigkeit von a 0 und T.
Lösung: Die Aufgabe lässt sich recht schnell mit Hilfe der Flächen unter den a (t ) - bzw.
v (t ) -Kurven lösen. In den drei Abschnitten von ist die Beschleunigung jeweils konstant, so
Seite 20
dass sich für die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion Geraden ergeben. Den Geschwindigkeitsunterschied erhält man jeweils aus der Fläche unter der Beschleunigung-Zeit-Kurve:
v ( 12 T ) − v (0 ) = a0 ⋅ 12 T
v (T ) − v ( 32 T ) = − 32 a0 ⋅ 13 T = − 12 a0T
Man sieht hier sofort, dass die Geschwindigkeit am Ende der Bewegung (zum Zeitpunkt T)
wieder Null sein muss, da die Geschwindigkeitsabnahme während der Bremsphase gleich
der Geschwindigkeitszunahme während der Beschleunigungsphase ist.
In entsprechender Weise geht man vor, um zum Weg-Zeit-Diagramm zu gelangen. Da im
ersten und dritten Abschnitt der Bewegung die Geschwindigkeit linear von der Zeit abhängt, ergeben sich dort im t,x-Diagramm jeweils Parabelstücke. Die zurückgelegte Strecke kann wieder über die Flächen berechnet werden, wobei hier die Dreiecks- bzw. Rechtecksflächen unter der t,v-Kurve herangezogen werden. Man beachte, dass die einzelnen
Kurvenstücke im Weg-Zeit-Diagramm mit gleicher Steigung aneinander anschließen müssen.
a)
1
a0 T
2
v
0
7
a0 T 2
24
b)
5
a0 T 2
24
1
a0 T 2
8
x
0
1
T
2
0
2
T
3
T
t
c)
s =
Ergänzungen_07
7
a0 T 2
24
Seite 21
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
2.
DIE NEWTON’SCHE BEWEGUNGSGLEICHUNG
2.1
Die Newton’schen Axiome
Während die Kinematik (Bewegungslehre) die Bewegung von Körpern beschreibt, ohne
nach deren Ursache zu fragen, beschreibt die Dynamik die Bewegung unter dem Einfluss von
Kräften. Aufgabe der Dynamik ist die Aufstellung von dynamischen Grundgesetzen (Bewegungsgleichungen) und deren Lösung.
Grundlage der Dynamik sind die Newton’schen Axiome (1687):
1. Trägheitsgesetz (Galilei’sches Trägheitsgesetz):
Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder gleichförmigen, geradlinigen Bewegung,
solange keine äußeren Kräfte auf ihn wirken.
2. Bewegungsgleichung:
r
dp r
=F
dt
r r
m⋅a = F
r
F:
m :
v
v:
r
r
p = m⋅ v :
Kraft
Masse
Geschwindigkeit des Massepunktes
Impuls
v
Die zeitliche Änderung des Impulsvektors p ist der einwirkenden Kraft proportional und
v
geschieht längs derjenigen geraden Linie, in der F wirkt.
3. Gegenwirkungsprinzip:
Die von zwei Körpern aufeinander ausgeübten Wirkungen (Kräfte, Momente) sind stets
gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.
Gemäß der Newton’schen Bewegungsgleichung ist die Beschleunigung, die ein Körper erfährt, proportional zur angreifenden Kraft und erfolgt in Richtung der angreifenden Kraft.
Außerdem ist die Beschleunigung umgekehrt proportional zur Masse des Körpers.
2.2
Die Masse
Die Masse eines Körpers ist ein Maß für seine schweren und trägen Eigenschaften.
Die Trägheit eines Massepunktes äußert sich darin, dass dieser unter dem Einfluss äußerer
Kräfte eine Beschleunigung erfährt, während er beim Fehlen äußerer Kräfte seinen Zustand
der Ruhe oder gleichförmigen geradlinigen Bewegung beibehält. Die Masse, die in die Newton’sche Bewegungsgleichung eingeht, ist die träge Masse. Werden zwei unterschiedliche
Massen durch die gleiche Kraft beschleunigt, so verhalten sich die Beschleunigungen wie die
Kehrwerte der Massen.
Die Masse, die in das Gravitationsgesetz eingeht, ist seine schwere Masse. Die Masse wird
über ihre Schwere definiert (Kilogrammprototyp).
Im Versuch wurde nachgewiesen, dass die träge Masse gleich der schweren Masse ist (Äquivalenzprinzip). Das Masseverhältnis zweier Körper kann daher durch deren Gewichtsverhältnis ausgedrückt werden (Hebelwaagen).
‹ Versuch Kugel mit Faden:
Eine schwere Metallkugel ist an einem dünnen Faden aufgehängt. An der Kugel hängt ein
gleichartiger Faden, an dem gezogen werden kann. Zieht man langsam, reißt der Faden
oberhalb der Kugel, da sich dort die von außen angreifende Kraft und das Gewicht addieSeite 22
ren, während im unteren Faden nur die äußere Kraft wirkt. Bei ruckartigem Ziehen am unteren Faden reißt jedoch dieser zuerst. Die Kugel kann wegen ihrer Trägheit der schnellen
Bewegung des Fadens nicht folgen.
‹ Atwood’sche Fallmaschine zur Erklärung der Newton’schen
Bewegungsgleichung
Zwei Körper 1 und 2 mit den Massen m1 und m2 = m1 hängen an
einem Seil, das über eine Rolle läuft. Wird ein Körper 3 auf den
Körper 1 gelegt, so bewegen sich beide abwärts. Die Bewegung
soll zum Zeitpunkt t = 0 an der Stelle s = 0 mit der Geschwindigkeit v = 0 beginnen. Die Reibung und die Masse der Rolle 0
werden ebenso wie die Masse des Seiles vernachlässigt.
m3
m1
m2
s
Die Beschleunigung des Systems kann aus einer gemeinsamen
Bewegungsgleichung aller drei Körper bestimmt werden, da diese durch das Seil miteinander verbunden sind. Außerdem erfolgt die Bewegung nur entlang des Seiles, weshalb man die Bewegung
eindimensional beschreiben kann. Die Bewegungsgleichung lautet allgemein
m⋅&s& = F
Dabei wird mit der s-Koordinate eine positive Bewegungs- und Beschleunigungsrichtung in der
Weise eingeführt, dass sich bei positiver Beschleunigung &s& der Körper 2 hebt, während sich die
Körper 1 und 3 senken.
Die in obiger Gleichung auftretende Masse ist die träge Masse, die zu beschleunigen ist. Als träge
Masse wird die Summe der drei Einzelmassen wirksam.
In F müssen alle angreifenden Kräfte berücksichtigt werden, wobei sich die inneren Kräfte zwischen den Körpern aufgrund des Gegenwirkungsprinzips in der Kräftesumme aufheben. Als äußere
Kräfte bleiben die Gewichte der Massen m1 und m3 in positiver und der Masse m 2 in negativer
Richtung übrig:
(m1+m2 +m3 ) ⋅&s&=m1⋅g +m3⋅g −m2⋅g .
Mit m1 = m2 lautet die Bewegungsgleichung
(2m1+m3 ) &s&=m3⋅g .
Die Beschleunigung ergibt sich als
&s&=
m3
⋅g .
2m1 +m3
Zur Bestimmung der Beschleunigung misst man die Zeit, die Masse 1 benötigt, um eine definierte
Strecke s1 zurückzulegen (gleichmäßig beschleunigte Bewegung):
s1 =
&s& 2
t1
2
t1 =
2 s1
&s&
Das Experiment wurde ursprünglich durchgeführt, um die Fallbeschleunigung g mit der zur Verfügung stehenden Messtechnik relativ genau bestimmen zu können. Man muss dann die Gleichungen
so umstellen, dass aus den bekannten Massen, der Stecke s1 und der Zeit t1 die Fallbeschleunigung
berechnet werden kann.
Ergänzungen_07
Seite 23
s
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
g=
2 s1 2 m1 + m3
⋅
t12
m3
Im Versuch verwenden wir folgende Größen: m1 = m 2 = 250 g , m3 = 40 g , s1 = 1,00 m
Die gemessene Zeit beträgt zum Beispiel t1 = 1,71s . Damit ergibt sich g = 9,23
m
. Die Abweis2
chung vom inzwischen gut bekannten Tabellenwert ist mit 6 % relativ groß und darauf zurückzuführen, dass die Seilmasse, das Massenträgheitsmoment der Umlenkrolle und die Reibung vernachlässigt wurden.
2.3
Die Kraft
Im Gegensatz zur Masse, die eine Basisgröße des SI ist, ist die Kraft eine abgeleitete Größe.
r
r
Sie wird über die Grundgröße Masse definiert gemäß F = ma . Die abgeleitete SI-Einheit der
Kraft ist das Newton. 1 Newton ist gleich der Kraft, die einem Körper der Masse 1 kg die
Beschleunigung 1 m/s² erteilt: 1 N = 1 kg m s-2.
Die Kraft ist eine vektorielle Größe. Sie ist vollständig bestimmt, wenn man ihren Absolutbetrag, ihre Richtung und ihren Angriffspunkt kennt. Greifen an einen Massepunkt mehrere
Kräfte an, so ist deren Wirkung der resultierenden Kraft äquivalent, die gleich der Vektorsumme der wirkenden Kräfte ist. Als Wirkungslinie der Kraft wird die in Richtung des Vekr
tors Fi liegende Gerade bezeichnet. Die Wirkung auf einen starren Körper bleibt gleich, wenn
man die Kraft längs ihrer Wirkungslinie verschiebt.
Kräfte treten immer paarweise auf (Gegewirkungsprinzip).
In einem System von Massepunkten bzw. Körpern werden diejenigen Kräfte, die zwischen
den Punkten bzw. Körpern des Systems wirken als innere Kräfte bezeichnet. Kräfte, die von
Punkten bzw. Körpern ausgeübt werden, die nicht zum System gehören, heißen äußere Kräfte. Als abgeschlossenes System bezeichnen wir ein System auf das keine äußeren Kräfte
ausgeübt werden.
Bei der Bindung eines Massepunktes an eine bestimmte Fläche oder Kurve im Raum, wird
die vom Führungsmechanismus aufzubringende Kraft als Zwangskraft bezeichnet. Die
Zwangskraft steht immer senkrecht auf der Fläche oder Kurve, an die die Bewegung gebunden ist. Sie kann daher keine Arbeit leisten (Bezeichnung auch als „verlorene Kraft“).
‹ Versuch Kräfteparallelogramm:
Über Umlenkrollen greift das Gewicht zweier Massen aus verschiedenen Richtungen an
einer dritten, frei hängenden Masse an. Im Gleichgewicht muss die Summe der von den ersten beiden Massen ausgeübten Kraft gleich dem Gewicht der dritten Masse sein. Man
sieht, dass die Kräfte vektoriell addiert werden müssen (Kräfteparallelogramm).
‹ Versuch Gegenwirkungsprinzip:
Es wird die Seilkraft für die beiden Fälle gemessen, dass (über Umlenkrollen) in einem
Fall an beiden Seiten des Seiles je eine gleich große Masse hängt und im anderen Fall nur
an einer Seite eine Masse hängt, während das zweite Ende an einem Haken befestigt wird.
Da die verbleibende Masse in beiden Fällen ruht, muss die Seilkraft in beiden Fällen vom
Betrag dieselbe Größe wie das Gewicht der Masse haben.
Seite 24
2.4
Integration (Lösung) der Bewegungsgleichung
2.4.1
Konstante Kraft
Zur Lösung der Bewegungsgleichung muss man zunächst ermitteln, welche Kraft an den
Körper angreift. Der einfache Fall besteht zunächst darin, dass diese Kraft konstant ist. Das ist
z.B. bei der Bewegung eines Körpers unter dem Einfluss der Schwerkraft der Fall.
Die Kraft, die den Körper beschleunigt, ist sein Gewicht
r
r
FG = m g ,
r
r
wobei g die Fallbeschleunigung ist ( g = g = 9,81 m ⋅ s -2 ), die zum Erdmittelpunkt zeigt.
Diese Kraft muss man nun in die Newton’sche Bewegungsgleichung
r
r
F = m⋅a
einsetzen:
r
r
FG = m a
r
r
mg=ma
In der dargestellten Situation des freien Falls, bei dem die schwere Masse gleich der trägen
Masse ist, erhält man, dass die Beschleunigung des Körpers gleich der Fallbeschleunigung ist.
Das Ort-Zeit-Gesetz kann man nun durch einfache Integration unter Berücksichtigung der
Anfangsgeschwindigkeit und des Ortes, an dem die Bewegung beginnt, gewinnen.
‹ Versuch Seilrolle:
Ein Körper der Masse m1 kann reibungsfrei auf einer Ebene gleiten. Er ist im Fall a) über
ein Seil und eine feste Rolle bzw. im Fall b) über ein Seil, eine feste und eine lose Rolle mit
einem hängenden Körper der Masse m2 verbunden. Es soll ermittelt werden, wie groß die
Beschleunigungen der beiden Körper in den beiden Fällen ist. Dabei sollen außer der Reibung auch die Massen von Seil und Rollen vernachlässigbar sein.
m1
m1
a)
m2
b)
m2
Die zu erwartenden Beschleunigungen sollen zunächst berechnet werden. Da die Bewegung nur entlang des Seiles erfolgt, kann eine eindimensionale Darstellung verwendet
werden.
Ergänzungen_07
Seite 25
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
a)
m2 g = (m1 + m2 ) a
Dem Gewicht des Körpers 2 als Verursacher der Bewegung steht die träge Masse
beider Körper gegenüber.
a=g
b)
m2
m1 + m2
Für den Fall b) muss man zunächst die angreifenden Kräfte betrachten:
Außer dem Gewicht des Körpers 2 spielen die
Seilkräfte eine Rolle. Wegen des Gegenwirkungsprinzips müssen die Seilkräfte überall im
Seil gleich groß sein.
1
r
FS
Körper 1:
FS = m1 a1
(1)
Körper 2:
m2 g − 2 FS = m2 a2
(2)
Außerdem sieht man noch, dass die Beschleunigung des Körpers 1 doppelt so groß wie die des
(3)
Körpers 2 ist: a1 = 2 a2
r
FS
r
FS
Man kann nun die Bewegungsgleichung für beide
Körper aufstellen.
2
r
m2 g
Einsetzen von (1) und (3) in (2) liefert die Beschleunigung von Körper 2.
m2 g − 4 m1 a2 = m2 a2
a2 = g
m2
m2 + 4 m1
Die Beschleunigung des Körpers 1 ist gemäß (3) doppelt so groß, also
a1 = g
2 m2
.
m2 + 4 m1
2.4.2
Kraft ist nicht konstant und hängt vom Ort bzw. von Ort und Geschwindigkeit
ab
Der Fall einer ortsabhängigen Kraft tritt z.B. beim Federpendel (Feder mit angehängtem Körper der Masse m) auf. Die Kraft, mit der die Feder versucht, den angehängten Körper wieder
in die Ruhelage zu ziehen, ist umso größer, je weiter die Feder gedehnt oder gestaucht wurde:
r
r
(bzw. eindimensional FD = − D x )
FD = − D x
D ist dabei eine Proportionalitätskonstante (Federkonstante).
Setzt man diese Kraft in die Bewegungsgleichung ein, erhält man den Ausdruck
− D x = m ax
d2 x
− D x = m 2 = m &x&
dt
Seite 26
Gleichungen dieser Art, die eine Funktion und ihre Ableitung(en) enthalten, nennt man Differentialgleichung. Im konkreten Fall ist es eine gewöhnliche, lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung, die man in der Form
&x& +
D
x=0
m
schreiben kann.
Die Lösung von Differentialgleichungen erfolgt über Lösungsansätze. Im Fall des Federpendels müssen wir für die Ort-Zeit-Funktion x (t ) nach einer Funktion suchen, deren zweite
Ableitung sich von der ursprünglichen Funktion nur durch einen Faktor unterscheidet. Hierfür
kommen außer der e-Funktion noch die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus in Frage, die
ebenfalls diese Bedingung erfüllen.
Im Rahmen des Kurses „Angewandte Physik“ wird zur Lösung der auftretenden Differentialgleichungen jeweils ein Ansatz gewählt, der den im Experiment beobachteten Bewegungsablauf beschreibt. Im Fall des Federpendels wird also die Beobachtung herangezogen, dass sich
seine Bewegung durch die Projektion einer Kreisbewegung beschreiben lässt:
x (t ) = A ⋅ sin (ω t + ϕ 0 )
Dabei bedeuten A: Amplitude (maximale Auslenkung); ω : Kreisfrequenz (abgeleitet aus der
Winkelgeschwindigkeit); ϕ 0 : Anfangsphase.
Einsetzen dieses Lösungsansatzes in die Differentialgleichung liefert die bekannte Beziehung
ω=
D
.
m
Die Größen A und ϕ 0 lassen sich so nicht bestimmen, da die Bewegungsgleichung für alle
Werte dieser Größen erfüllt wird. Sie lassen sich nur mittels der Anfangswerte (Ort und Geschwindigkeit der Bewegung zu einem bestimmten Zeitpunkt) bestimmen.
Lässt man außer einer ortsabhängigen Kraft noch eine Reibungskraft zu, die von der Geschwindigkeit des Körpers abhängt, erhält man eine Differentialgleichung, die zu einer gedämpften Schwingung führt. Mit einer zusätzlichen, von Ort und Geschwindigkeit unabhängigen Kraft eines Erregers erhält man die inhomogene Differentialgleichung der erzwungenen
Schwingung. In allen Fällen werden die Differentialgleichungen durch Ansätze gelöst, die aus
der Beobachtung der entsprechenden Bewegung im Experiment gewonnen wurden.
Beispiel: Gedämpfte Schwingung eines Federpendels mit geschwindigkeitsunabhängiger
Dämpfung
Während in der Vorlesung „Angewandte Physik“ die gedämpfte Schwingung mit einer geschwindigkeitsabhängigen Dämpfung, wie sie bei der inneren Reibung (z.B. in einer Flüssigkeit) auftritt, behandelt wurde, soll hier die Ort-Zeit-Funktion einer Schwingung hergeleitet werden, deren Dämpfung durch äußere Reibung hervorgerufen wird. Äußere Reibung
ist die Reibung zwischen festen Körpern. Dabei ist die Reibungskraft konstant, d.h. unabhängig von der Geschwindigkeit:
FR = μ FN
FN ist die Normalkraft, d.h. die Kraft mit der der bewegte Körper auf die Unterlage drückt.
Ergänzungen_07
Seite 27
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
Die Reibungskraft ist zwar vom Betrag her konstant, ändert aber während der Bewegung
ständig ihre Richtung, da sie der Bewegung entgegengerichtet ist. Man muss also hier zwei
Differentialgleichungen aufstellen, die jeweils für die Bewegung in positiver bzw. negativer x-Richtung gültig sind:
Bewegung in positiver x-Richtung ( v = x& > 0 )
m &x& = − D x − μ FN
m &x& + D x + μ FN = 0
Bewegung in negativer x-Richtung ( v = x& < 0 )
m &x& = − D x + μ FN
m &x& + D x − μ FN = 0
Zur Lösung dieser Gleichungen wird zunächst die konstante Reibungskraft formal durch
einen ebenfalls konstanten Ausdruck
μ FN = D x0
ersetzt und dieser in die Differentialgleichung eingesetzt:
m &x& + D (x + x0 ) = 0
Wir substituieren nun zunächst für den Fall x& > 0 den Ausdruck in der Klammer
durch y = x + x0 ( &y& = &x& ):
m &y& + D y = 0
und erhalten die Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung mit der Eigenfrequenz
ω0 =
D
m
und der Ort-Zeit-Funktion
y = yˆ sin (ω 0 t + ϕ 0 ) ,
aus der durch Rücksubstitution schließlich wird
x + x0 = ( xˆ + x0 )sin (ω 0 t + ϕ 0 )
x = ( xˆ + x0 )sin (ω 0 t + ϕ 0 ) − x0 .
Die Ort-Zeit-Funktion für den Fall x& < 0 erhält man entsprechend:
x = ( xˆ − x0 )sin (ω 0 t + ϕ 0 ) + x0
Die Größe x0 kann man nun wieder ersetzen durch
x0 =
μ FN
D
.
Die grafische Darstellung des Bewegungsablaufes erhält man durch stückweises Zusammensetzen der Bewegungen mit x& > 0 und x& < 0 aus Sinusschwingungen, wobei sich jeweils einer Viertelschwingung, die zu x = − x0 symmetrisch ist ( x& > 0 ), eine Viertel-
Seite 28
schwingung, die zu x = x0 symmetrisch ist ( x& < 0 ), stetig anschließt. Auf diese Weise
nimmt die Amplitude der Schwingung innerhalb einer Periode um
4 x0 =
4 μ FN
D
ab. Im Gegensatz zur gedämpften Schwingung mit geschwindigkeitsabhängiger Dämpfung, bei der das Verhältnis der Amplituden aufeinander folgender Schwingungen gleich
ist, ist hier die Differenz der Amplituden aufeinander folgender Schwingungen gleich. Das
bedeutet, dass diese Schwingung bereits nach wenigen Perioden zum Stillstand kommt.
1
0.75
0.5
0.25
x( t )
x(t )
x̂(0 )
x0
0
− x0
0.25
0.5
0.75
1
0
3.14
6.28
9.42
12.56
t
t s
Die grafische Darstellung zeigt den Bewegungsablauf für ω = 1s -1 , ϕ 0 =
π
2
und
xˆ (0)
: Während einer Schwingungsdauer T = 6,28 s nimmt die Amplitude
8
um 4 x0 ab. Nach zwei Schwingungen kommt die Bewegung zum Stillstand.
x0 =
Ergänzungen_07
Seite 29
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
3.
DYNAMIK STARRER KÖRPER
3.1
Freiheitsgrade
Als Freiheitsgrad bezeichnet man die Anzahl der frei wählbaren, voneinander unabhängigen
Parameter eines physikalischen Systems, die die räumliche Lage des Systems eindeutig festlegen:
Ein Massepunkt besitzt 3 Freiheitsgrade, die
Ortskoordinaten x, y, z.
ϕ
N Massepunkte besitzen 3 N Freiheitsgrade,
sofern die Massepunkte sich voneinander unabhängig bewegen können.
Im Gegensatz dazu ist die Lage der Massenelemente in einem starren Körper relativ zueinander fest. Zur Beschreibung der Lage eines
starren Körpers im Raum sind 6 Koordinaten
nötig; der starre Körper hat 3 Translations- und
3 Rotationsfreiheitsgrade.
β
λ
z
y
x
Rotation um eine feste Achse:
Eine feste Achse ist durch ihre Lage im Raum (Koordinaten x, y, z eines Punktes der Achse
sowie Azimutwinkel λ und Erhebungswinkel β) bestimmt. Lässt man einen Körper um eine
feste Achse rotieren, bleibt ihm nur noch ein Freiheitsgrad, der Drehwinkel ϕ.
3.2
Dynamik der Rotation um eine feste Achse
r
F2
Nicht jede Kraft kann eine Drehbewegung in Gang bringen,
vielmehr sind Angriffspunkt und Richtung entscheidend.
r
In nebenstehender Skizze bewirkt nur F1 eine Drehung.
An die Stelle, die bei der Translationsbewegung die Kraft eingenommen hatte, tritt bei der Drehbewegung das Drehmoment als Ursache für die Änderung des Bewegungszustandes:
r r r
M = r ×F
r
r
A
r
F1
r
F3
Es drängt sich die Frage auf, ob es weitere Änderungen gegenüber einer Translationsbewegung gibt, die Auswirkungen auf die Gestalt
der Bewegungsgleichung haben.
‹ Experiment: Einfluss der Position der
Massen relativ zur Drehachse auf die
Winkelbeschleunigung
Ein an einer Achse befestigter Stab mit
zwei verschiebbaren Massen wird durch
zwei weitere Massen, die an um die Achse gewickelten Fäden hängen, beschleur
nigt. (s. Skizze)
Es wird die Zeit gemessen, die für 5 Umdrehungen ( ϕ 1 = 5 ⋅ 360° = 10 π ) aus der Ruhe benötigt wird. Dabei ist das antreibende Drehmoment stets gleich. Die beiden Massen wer-
Seite 30
den zunächst am Ende des Stabes und dann beim halben Radius positioniert. Man stellt
fest, dass im zweiten Fall die benötigte Zeit nur etwa halb so lang wie im ersten Fall ist:
rI
=2 →
rII
tI
≈2
t II
Erklärung:
Beschreibung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit dem Drehwinkel ϕ (vgl.
Kreisbewegung):
ω& = ϕ&& = const
( ω& = ϕ&& : Winkelbeschleunigung)
(ω 0 = 0)
ω = ϕ& = ϕ&& ⋅ t
ϕ=
ϕ&&
2
(ϕ 0 = 0)
t2
ϕ 1 = ϕ (t1 ) =
ϕ&&
2
t12
ϕ&& =
2ϕ 1
t12
→
ϕ&&II t I2
=
ϕ&&I t II2
Die Winkelbeschleunigung ist im zweiten Fall also etwa vier mal so groß wie im ersten. In
unserem Fall verhalten sich die Winkelbeschleunigungen etwa wie die Kehrwerte der
Quadrate der Abstände der Massen von der Drehachse.
Es wird deutlich, dass die Trägheit des Systems nicht (wie bei der Translationsbewegung)
allein von der Masse abhängt, sondern auch vom Abstand der Masse von der Drehachse.
Es wird daher das Massenträgheitsmoment JA eingeführt, das in der Bewegungsgleichung
an die Stelle der trägen Masse tritt. Der Index „A“ soll dabei die Achse bezeichnen, auf die
sich das Trägheitsmoment bezieht.
Für die Winkelbeschleunigung erhält man daher:
ϕ&& =
MA
JA
D.h., die Bewegungsgleichung erhält die Form
M A = J Aϕ&&
Das Massenträgheitsmoment ist ein Maß für die Trägheit eines Körpers bei Änderung
der Winkelgeschwindigkeit (Änderung der Drehzahl).
An dieser Stelle ist es zweckmäßig, den Drehimpuls als neue Größe einzuführen. Allgemein
ergibt sich der Drehimpuls bezüglich eines bestimmten Koordinatensystems als Vektorprodukt aus dem Ortsvektor und dem Impulsvektor:
r r r
L=r×p
r
Für einen auf einer Kreisbahn vom Radius r mit der Winkelgeschwindigkeit ω umlaufenden
Massepunkt der Masse m erhält man bezüglich des Kreismittelpunktes den Drehimpuls
r r
r r
r r
L = r × m v = r × m (ω × r )
r
r
L =mr 2ω .
Auf eine ausführliche Begründung soll hier verzichtet werden.
Ergänzungen_07
Seite 31
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
Dieser Ausdruck gilt natürlich auch für die Kreisbewegung, welche die Massepunkte eines
starren Körpers bei Rotation um eine feste Achse ausführen.
r& r
r& r r
r r r r r r r
(wegen L = r& × p + r × p& = r × p& = r × F = M ) erhält man damit
Mit
L =M
r
r
M =mr 2ω& .
(
) (
)
Daraus lässt sich schnell das Massenträgheitsmoment für den Massepunkt ableiten:
J = mr 2
Mit diesem Trägheitsmoment kann das Ergebnis des obigen Versuches nochmals überprüft werden: Nimmt man an, dass die beiden Massen wie Massepunkte behandelt werden
können, müssten sich die Winkelbeschleunigungen wie die Kehrwerte der Quadrate der
Radien verhalten. Noch einfacher wird der Zusammenhang, wenn man die Zeiten für die 5
Umdrehungen nimmt. Dann müsste gelten:
tI
r
= I .
t II rII
Das ist, wie wir gesehen haben, näherungsweise der Fall. Die Abweichung des Messergebnisses vom erwarteten Zusammenhang kommt daher, dass die Stäbe, auf denen die
Massestücke verschoben werden, einen nennenswerten Beitrag zum Massenträgheitsmoment liefern.
In diesem Abschnitt haben wir außer der Bewegungsgleichung noch gesehen, welche Gestalt
der Drehimpuls für die Drehbewegung annimmt. Im Analogieschluss lassen sich außerdem
weitere Beziehungen für die Drehung um eine feste Achse herleiten. Die folgende Tabelle
zeigt die Gegenüberstellung der Gleichungen für die geradlinige Bewegung (Translation) und
die Drehbewegung (Rotation):
Translation längs des Weges s
s = s(t )
ds
v=
= s&
dt
a=
d2s
= &s&
dt2
α=
d 2ϕ
= ϕ&&
dt2
Fs
MA
Fs = m&s&
M A = J A ϕ&&
ps = mv
LA = J A ω
Impulserhaltungssatz für Fs = 0 :
ps = const
Drehimpulserhaltungssatz für M A = 0 :
LA = const
W = ∫ Fs d s
W = ∫ M Adϕ
P = Fs v
Wk =
Seite 32
Rotation um eine feste Achse A
ϕ = ϕ (t )
dϕ
= ϕ&
ω=
dt
m 2
v
2
P = M Aω
Wk =
JA 2
ω
2
3.3
Massenträgheitsmoment, Satz von Steiner
Für den einzelnen Massepunkt war das Trägheitsmoment bereits ermittelt worden. Für einen
starren Körper ergibt sich das Trägheitsmoment als Summe über
alle Trägheitsmomente von infinitesimal kleinen Massenelemenr
Δm
ten Δm :
r1
n
J A = ∑ ri 2 ⋅ Δm
i =1
JA =
∫r
2
A
r
r2
Δm
dm
( Körper )
Einen anderen Zugang zum Begriff des Massenträgheitsmomentes erhält man durch Betrachtung der kinetischen Energie der einzelnen Massenelemente bei der Rotation des Körpers:
Die kinetische Energie des i-ten Massenelements ergibt sich als
Wk ,i =
Δm 2
vi ,
2
die gesamte kinetische Energie ergibt sich als Summe über alle Wk ,i .
Bei der Summation stellt man jedoch fest, dass sich die Bahngeschwindigkeiten vi der einzelnen Massenelemente unterscheiden. Allen gemeinsam ist nur die Winkelgeschwindigkeit
ω . Man muss die Bahngeschwindigkeit also durch die Winkelgeschwindigkeit und den Abstand des jeweiligen Massenelementes von der Drehachse ausdrücken:
vi = ω ⋅ ri
Die kinetische Energie ist damit
Wk =
Δm
(ω ⋅ ri )2 = 1 ω 2 ∑ ri2 ⋅ Δm = J A ω 2 .
∑
2 i
2
2
i
Vor allem bei rotationssymmetrischen Körpern ist es vorteilhaft, zunächst das Trägheitsmoment bezüglich der Schwerpunktachse (Index „S“) zu berechnen.
Das Trägheitsmoment bezüglich irgend einer anderen dazu parallelen Achse kann man mit
dem Satz von Steiner bestimmen:
JA = JS + m s2
Das Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen Achse ist gleich der Summe aus dem
Trägheitsmoment bezüglich einer zu ihr parallelen Achse durch den Schwerpunkt und
dem Produkt aus Körpermasse und Quadrat des Abstandes der beiden Achsen.
Berechnung von Massenträgheitsmomenten
Zur Berechnung des Massenträgheitsmomentes eines homogenen Körpers formt die oben
angegebene Beziehung so um, dass man das Massenelement durch das Produkt aus Dichte
und Volumenelement ersetzt:
Ergänzungen_07
Seite 33
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
JA =
∫r
2
dm =
∫ r ) ρ ⋅ d V = ρ ( ∫∫∫ ) r
2
( Körper
( Körper )
2
dx dy dz = ρ
Körper
∫∫∫ )r
(
2
r dr dϕ dz
Körper
Der letzte Ausdruck ergibt sich, wenn man an Stelle der kartesischen Koordinaten x, y, z die
Zylinderkoordinaten r , ϕ , z verwendet ( dx dy dz = r dr dϕ dz ).
Bei rotationssymmetischen Körpern kann man die Integration über den Winkel ϕ sofort ausführen, bei zylindrischen Körpern außerdem die Integration über die Länge z. In diesem Fall
hat man nur noch die Integration über den Abstand von der Drehachse auszuführen.
Beispiel: Vollzylinder, Länge h
R
Zur Berechnung des Trägheitsmomentes zerlegt man
den Vollzylinder in Röhren der Länge h, des Durchmessers r und der infinitesimalen Wanddicke dr. Das
Volumen einer solchen dünnen Röhre berechnet sich
einfach als Produkt aus Zylinderoberfläche und Wanddicke:
dr
r
d V = 2π r h d r
(Diese Betrachtungsweise ist gleichbedeutend damit,
dass die ersten beiden Integrationen wie oben beschrieben bereits ausgeführt wurden:
h 2π
∫ ∫ d ϕ d z = 2π h )
0 0
Für das einzelne Massenelement erhält man damit
d m = ρ ⋅ d V = ρ h 2πr d r
Die Integration ergibt dann
R
J S = ρ h 2π ∫ r 3 d r = ρ h 2π
0
R4
R4
= ρ hπ
4
2
Diesen Ausdruck kann man vereinfachen, indem man die Masse des gesamten Zylinders
einsetzt
m = ρ hπ R 2 ,
womit man schließlich den in Tafelwerken angegebenen Ausdruck für das Massenträgheitsmoment eines Vollzylinders bezüglich seiner Symmetrieachse erhält:
JS =
Seite 34
1
m R2
2
4.
ERHALTUNGSSÄTZE DER MECHANIK
4.1
Energieerhaltung
4.1.1
Arbeit
v
Bewegt sich ein Körper unter dem Einfluss einer Kraft F , so verrichtet diese Kraft auf dem
r
r
Wege von r1 nach r2 eine Arbeit W am Körper :
r
r2
r r
W12 = ∫ F d r = Wegintegral der Kraft
s1
r
F
r
r1
r
r1
Für die Bewegung längs einer Bahnkurve spielt nur
r r
r
die Kraft Fv (r ) = Fs (s ) ev in Bahnrichtung (Richtung der Bahntangente) eine Rolle, da die Komponente senkrecht dazu durch die Zwangskraft kompensiert wird:
r
r2
r r s2
W12 = ∫ F d r = ∫ Fs d s
r
r1
0
r
r
r
dr
α
r
Fv
s2
r
r2
s1
mit
r
ds = dr
r
Fs = F cosα
Die aus der Schule bekannte einfachste Beziehung W = F ⋅ s erhält man nur, wenn die Kraft
in Richtung des Weges wirkt ( F s ) und außerdem auf dem gesamten Weg gleich groß ist
( F = const ).
Die physikalische Größe Arbeit ist eine abgeleitete Größe. Die Einheit der Arbeit ist das
Joule (J).
1 Joule ist gleich der Arbeit, die verrichtet wird, wenn der Angriffspunkt der Kraft 1 N in
Richtung der Kraft um 1 m verschoben wird: 1 J = 1 Nm
4.1.2
Verschiebungsarbeit und potentielle Energie
v
Ein Körper, der unter dem Einfluss einer Kraft F steht, soll beschleunigungsfrei verschoben werden. Dazu mussv während der Bewegung das Kräftegleichgewicht durch eine zusätzlich angreifende Kraft F ′ (z.B. Muskelkraft) hergestellt werden 2:
r
v
r
r
Körper unter Einfluss einer Kraft
F
(z.B. Gewicht: F = mg = −mgez )
r
r
r
r
r
Verschieben mit
F ' = −F
(im Beispiel: F ' = −mg = mgez )
r
r
Bei Verschieben längs einer Bahn gilt entsprechend F ' = − Fv , da wieder nur die Komponente
der Kraft in Bahnrichtung zu berücksichtigen ist.
v
Durch diese Kraft F ' wird die Verschiebungsarbeit W ' verrichtet: W ' = −W
2
Der Strich bezeichnet hier keine Ableitung !
Ergänzungen_07
Seite 35
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
Lässt sich die Verschiebungsarbeit durch Umkehren
der Bewegung zurückgewinnen, so war
v
sie zwischendurch „gespeichert“. Eine Kraft F , bei der das der Fall ist, heißt Potentialkraft;
gespeicherte Verschiebungsarbeit ist Zuwachs an potentieller Energie:
Δ Wp = W'
r
r2
r r
r
r
Wp (r2 ) − Wp (r1 ) = − ∫ F d r
r
r1
Kräfte sind Potentialkräfte, wenn die geleistete Arbeit nur vom Anfangs- und Endpunkt
der Bewegung, aber nicht vom zurückgelegten Weg abhängt.
Verschiebungsarbeit gegen Kräfte, die keine Potentialkräfte sind, lässt sich nicht zurückgewinnen. Vor allem Reibungskräfte sind keine Potentialkräfte.
Die potentielle Energie eines Systems ist nur bis auf eine unbestimmte Konstante definiert, da über eine Anfangsenergie Wp (0 ) nichts ausgesagt wird.
Beispiele:
Verschiebungsarbeit im Schwerkraftfeld (Hubarbeit)
r
r
r
FG = m g = −m g ez
z
r
r2
z2
r r
W = − ∫ FG d r = − ∫ − m g d z
'
12
r
r1
z2
z1
= m g ( z 2 − z1 ) = Wp (2) − Wp (1)
Potentielle Energie der Schwerkraft
z1
r
r1
r
FG
r
r2
Wp (z ) = m g z
Verschiebungsarbeit bei einer Feder (Spannarbeit)
r
r
FD = − D xex
r
r2
r r x2
D
W = − ∫ FD d r = ∫ D xd x = (x 22 − x12 ) = Wp (2) − Wp (1)
r
2
r1
x1
'
12
Potentielle Energie der Federkraft
Wp ( x ) =
D 2
x
2
Die potentielle Energie bezeichnet man auch als Potential. Bei gegebenem Potential erhält
man die zugehörige Kraft als
r
∂ Wp
r
F = − grad Wp (r ) = − r
∂r
Flächen mit gleicher potentieller Energie nennt man Potentialflächen oder Äquipotentialflächen. Zur Verschiebung eines Massepunktes auf einer Äquipotentialfläche muss keine Arbeit
verrichtet werden.
Seite 36
Gleichgewichte
Ein Körper befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn Wp ( x ) an dieser Stelle einen Extremwert oder Wendepunkt mit horizontaler Tangente hat. Je nachdem, ob Wp ein Minimum oder Maximum besitzt oder über einen gewissen Bereich konstant ist, unterscheidet
man zwischen stabilem, labilem oder indifferentem Gleichgewicht.
‹ Versuch Gleichgewicht:
Mit einer Rolle und einer biegsamen Leiste können die verschiedenen Arten des Gleichgewichts demonstriert werden. Führt die Verschiebung aus der Gleichgewichtslage zu einer
Erhöhung der potentiellen Energie, ist das Gleichgewicht stabil usw.
4.1.3
Leistung
Die Leistung P ist der Differentialquotient der Arbeit nach der Zeit
P=
dW
.
dt
r r
r r
Setzt man d W = F d r ein, so erhält man P = F ⋅ v .
4.1.4
Beschleunigungsarbeit und kinetische Energie
v
Wirkt auf einen Körper die Kraft F , so wird er entsprechend der Bewegungsgleichung
r
r
F = m⋅a
beschleunigt. Die dabei verrichtete Arbeit W heißt Beschleunigungsarbeit.
Berechnet man W mit Hilfe der Bewegungsgleichung, so kann man zunächst schreiben:
r
r
r
r
dv d p
=
und
F = ma = m
dt
dt
r r d pr r r r pr r
F dr =
dr = v d p = d p
dt
m
Damit erhält man für die Beschleunigungsarbeit:
r
r
r2
r r p2 pr r
1 r2 r2
m
(
W = ∫ Fd r = ∫ d p =
p 2 − p1 ) = (v 22 − v12 ) = Wk (2) − Wk (1)
r
r m
2m
2
r1
p1
Die Größe
Wk =
Ergänzungen_07
m 2 p2
v =
2
2m
heißt kinetische Energie.
Seite 37
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
4.1.5
Erhaltungssatz der mechanischen Energie
Bisher wurde die Verschiebungsarbeit nur unter dem Aspekt einer äußeren Kraft betrachtet,
r
r
r
die einen Massepunkt beschleunigungsfrei (quasistatisch) von r nach r + d r verschoben
hat. Die Verschiebungsarbeit kann aber auch verrichtet werden, ohne dass äußere Kräfte wirken, z.B. indem ein Massepunkt dabei abgebremst wird.
‹ Experiment Fadenpendel:
Im untersten Punkt der Bahn hat die Masse ihre größte Geschwindigkeit und damit ihre
größte kinetische Energie. Nach Durchgang durch diesen Punkt bewegt sich die Masse auf
der Kreisbahn aufwärts, wobei sie einerseits an potentieller Energie gewinnt, andererseits
aber abgebremst wird (kinetische Energie verliert) und im Umkehrpunkt schließlich zum
Stillstand kommt.
r
Der Massepunkt bewege sich unter dem Einfluss der Kraft F . Multipliziert man diese mit der
r
Geschwindigkeit v , erhält man die Leistung P :
r r r d rr d W
F ⋅v = F
=
=P
dt
dt
Diese Beziehung kann man für die Integration der Newton’schen Bewegungsgleichung heranziehen. Multipliziert man die Bewegungsgleichung mit der Geschwindigkeit, ergibt sich:
r r
r r
r r d ⎛1 r ⎞
F ⋅ v = m a ⋅ v = m v& ⋅ v = ⎜ m v 2 ⎟
dt ⎝ 2
⎠
d
P = Wk
dt
r
r r r
Ist die Kraft F nur vom Ort abhängig ( F = F (r ) ), kann man außerdem die potentielle Energie angeben:
r
r r
r
r r
Wp − Wp (r0 ) = − ∫ F (r ) d r
r
r0
r r
d Wp
r = − F (r )
dr
und
r r r d Wp d rr d
− P = − F (r ) ⋅ v = r
= Wp .
dr dt dt
Eliminiert man nun die Leistung P aus diesen Gleichungen, erhält man schließlich den Energieerhaltungssatz der Mechanik:
[
]
d
Wk + Wp = 0
dt
r
Ist die Kraft F eine Potentialkraft, so ist die von ihr an einem Körper verrichtete Beschleunigungsarbeit gleich der Abnahme seiner potentiellen Energie.
Damit kann auch der Begriff „Energie“ allgemein definiert werden:
Energie ist die Fähigkeit eines Systems, Arbeit zu verrichten.
Seite 38
Die Summe von potentieller und kinetischer Energie eines Körpers, der sich unter dem
Einfluss einer Potentialkraft bewegt, ändert sich nicht.
r
r
Wp (r1 ) + Wk (v1 ) = Wp (r2 ) + Wk (v 2 )
Die verallgemeinerte Schreibweise des Energiesatzes für beliebige Orte der Bewegung heißt:
r
WP (r ) + Wk (v ) = W0 = const
Der Energiesatz ist besonders geeignet für die Lösung von Bewegungsproblemen, bei denen
der Zusammenhang zwischen Ort und Geschwindigkeit eines Körpers benötigt wird.
Mit dem Energieerhaltungssatz kann die Bewegungsgleichung nicht vollständig gelöst
werden, da die Energie nur eine skalare Größe liefert, die gesuchte Ort-Zeit-Funktion
r
r (t ) jedoch ein Vektor ist.
‹ Experiment Schleifenbahn:
Eine Kugel soll eine Schleifenbahn mit dem Radius r
reibungsfrei durchlaufen, ohne herab zu fallen.
Wie groß muss die Starthöhe z1 mindestens gewählt
werden
z
z1
g
z2
Energieerhaltungssatz:
Wp (1) = Wp (2 ) + Wk (2 )
J
m
m ⋅ g ⋅ z1 = m ⋅ g ⋅ z 2 + v22 + S, K ω 22
2
2
m
v2
1 2
m ⋅ g ⋅ z1 = m ⋅ g ⋅ z 2 + v22 + ⋅ m RK2 ⋅ 22
RK
2
2 5
m ⋅ g ⋅ z1 = m ⋅ g ⋅ z 2 +
r
0
7
m v22
10
Die Kugel durchläuft die Bahn dann gerade noch ohne herab zu fallen, wenn am oberen
Punkt der Schleife das Produkt aus Masse und Radialbeschleunigung gleich dem Gewicht
ist:
m
v 22
= mg
r
→ v2 = g r
Einsetzen ergibt:
und
m g z1 = m g z 2 +
7
mgr
10
m g z1 = m g 2r +
7
mgr
10
z1 =
27
r = 2,7 r .
10
Ergänzungen_07
Seite 39
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
4.2
Impulserhaltung
4.2.1
Impuls und Kraftstoß
r
Wenn F als Funktion der Zeit t gegeben ist, kann man die Bewegungsgleichung
r
dv r
r
m &r& = m
(m = const)
= F (t )
dt
auf beiden Seiten über die Zeit integrieren
r
r
m v1 − m v0 =
t1
r
∫ F (t ) d t
.
t0
1
424
3
Kraftstoß
Das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit bezeichnet man als Impuls:
r
r
p = m⋅v
r
r
Das Integral ∫ F d t ist der Kraftstoß, der die Impulsänderung Δ p verursacht.
Dabei sind folgende Fälle interessant:
r
a)
F = 0 (keine Kraft)
r
⇒ p = const
⇒ pi = const
r
r r rdp
p⋅F = p
= 0 ; Integration:
dt
b)
Fi = 0 (Komponente der Kraft ist Null)
c)
r r
F⊥p ⇒
p = const
2
r r
p⋅F = 0
Impulserhaltung
r
!
r r p2
rdp
d
d
p
t
=
p
p
=
+
C
=
0
∫ dt
∫
2
Die Impulsänderung erfolgt senkrecht zur Bahn, es ändert sich die Richtung, aber
nicht der Betrag des Impulses. Die kinetische Energie ist Erhaltungsgröße.
r
r r
r
Beispiel: Lorentzkraft FL = Q ⋅ v × B (Q - elektrische Ladung; v - Geschwinr
digkeit des geladenen Teilchens; B - magnetische Flussdichte): Geladene Teilchen
erfahren im Magnetfeld keine Bahnbeschleunigung.
Der Impuls eines Massepunktes bleibt konstant, wenn keine Kraft angreift.
Stehen angreifende Kraft und Impuls senkrecht aufeinander, ändert sich nur die Richtung des Impulses, während sein Betrag konstant bleibt. In diesem Fall ist die kinetische
Energie Erhaltungsgröße.
Seite 40
4.2.2
Systeme von Massepunkten: Innere Kräfte, Impulserhaltung, Massenmittelpunkt
Zunächst soll ein System von nur zwei Massepunkten mit inneren und äußeren Kräften betrachtet werden:
r
r r i r a d pr1
F1a
m1
F1 = F21 + F1 =
r
dt
F2a
ri
r
r
r i r a d pr 2
F
r
1
21
F2 = F12 + F2 =
ri
dt
F12
r
r2
m2
Die Summe der Kräfte ist dann:
r
r
r
r r
r
r
r
dp dp
dp
F = F21i + F12i + F1a + F2a = 1 + 2 =
dt
dt
dt
Wegen des Gegenwirkungsprinzips (3. Newton’sches Axiom) ist die Summe der inneren
Kräfte gleich Null. Die Gleichung erhält die Form
r
r a r d pr
d pk
∑k Fk = F = d t = ∑k d t
Man erhält also für ein System von Massepunkten die gleiche Beziehung wie für einen einzelnen Massepunkt, wenn man die Summe der äußeren Kräfte und die Summe der Impulsänderungen berücksichtigt.
Folgerungen:
a) Impulserhaltung
Treten in einem System von mehreren (N) Massepunkten nur innere Kräfte auf (Summe der
äußeren Kräfte ist Null), dann verschwindet aufgrund des Gegenwirkungsprinzips in diesem
System die Gesamtsumme aller wirkenden Kräfte. Die Addition der Bewegungsgleichungen
aller Punktmassen führt daher auf die Beziehung
N
r
∑m a
k =1
k
k
= 0.
Das Zeitintegral über diesen Ausdruck ist der Impulserhaltungssatz:
N
r
r
r
m
v
=
∑ k k ∑ p k = p0 = const
N
k =1
k =1
Die Summe der Impulse
r
∑m v
k k
r
(bzw. der Gesamtimpuls p0 ) in einem System mehre-
rer Massepunkte ist konstant, wenn nur innere Kräfte wirken (abgeschlossenes System)
bzw. die Summe aller äußeren Kräfte verschwindet.
b) Massenmittelpunkt
Für obiges Beispiel gilt:
r
r
r
d p1 d p 2
d
(m1vr1 + m2 vr2 ) = F
+
=
dt
dt
dt
Ergänzungen_07
und
Seite 41
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
r
r
r
d2
(
)
m
r
+
m
r
=
F
1
1
2
2
dt2
Mit Einführung des Massenmittelpunktes oder Schwerpunktes
r
N
r
r
r m1 r1 + m2 r2
rs =
=
m1 + m2
∑m r
k k
k =1
m
N
r
r
(bzw. m rs = ∑ mk rk )
k =1
wird daraus
r
d2 r r
F
rs = as = .
m
dt2
Daraus folgt der Schwerpunktsatz:
Der Schwerpunkt eines beliebigen Systems von Massepunkten bewegt sich so, als sei im
Schwerpunkt die Gesamtmasse m des Systems vereinigt und als griffen die äußeren
Kräfte im Schwerpunkt an.
‹ Experiment Wagen mit Pendel:
Setzt man das auf einem Wagen montierte Pendel in Bewegung, führt der Wagen ebenfalls
eine Bewegung aus. Die Bewegung des Wagens erfolgt so, dass der Schwerpunkt am ursprünglichen Ort bleibt.
4.2.3
Der zentrale gerade Stoß zweier Kugeln
Der Impulserhaltungssatz eignet sich besonders zur Berechnung des Ablaufs von Stoßvorgängen, bei denen zwischen den stoßenden Körpern nur kurzzeitig innere Kräfte wirken. Dabei
gehört der Stoß zweier Kugeln eigentlich nicht mehr unter die Überschrift „Dynamik des
Massepunktes“, da die elastischen Eigenschaften starrer Körper eine wesentliche Rolle spielen.
Der zentrale gerade Stoß zweier Kugeln lässt sich eindimensional behandeln, da die Bewegung nur längs der Verbindungslinie der Mittelpunkte der beiden Kugeln verläuft.
Für den geraden Stoß zwischen zwei Körpern (m1 und m2 ) erhält der Impulserhaltungssatz
die Gestalt
m2
m1
v2
v1
m1 v1 + m 2 v 2 = m1v1′ + m 2 v 2′
Hier sind v1 und v 2 die Geschwindigkeiten vor dem Stoß
und v1′ und v 2′ die Geschwindigkeiten nach dem Stoß.
s
m1
Der Impulssatz allein reicht aber zur Bestimmung beider
v1′
m2
v2′
Endgeschwindigkeiten v1′ und v 2′ im allgemeinen nicht aus,
da auch die Art der Kraftwirkung während des Stoßes eine Rolle spielt. Zwei Grenzfälle
können dabei unterschieden werden:
Der vollkommen elastische Stoß findet statt, wenn die gesamte kinetische Energie erhalten
bleibt. Beide Massen entfernen sich nach dem Stoß wieder voneinander.
Zusätzlich zum Impulserhaltungssatz gilt der Energieerhaltungssatz:
m1 2 m2 2 m1 2 m2 2
v1 +
v2 =
v1′ +
v 2′
2
2
2
2
Man erhält so die zweite Gleichung zur Bestimmung der beiden Unbekannten.
Seite 42
s
Beispiel: Nimmt man in einem einfachen Beispiel an, dass die Masse 2 vor dem Stoß ruht,
erhält man die Beziehungen
m1v1 = m1v1′ + m2 v ′2
bzw. umgeformt
m1 (v1 − v1′ ) = m2 v 2′
m1 2 m1 2 m2 2
v1 =
v1′ +
v 2′
2
2
2
bzw.
m1 v12 − v1′ 2 = m2 v 2′ 2
(2)
Gleichung (2) kann man weiter schreiben als
m1 (v1 − v1′ )(v1 + v1′ ) = m2 v 2′ 2
(3)
Dividiert man Gl. (3) durch Gl. (1) ergibt sich sofort
v1 + v1′ = v ′2
(4).
(1)
und
(
)
Das Ergebnis erhält man durch Einsetzen von Gl. (4) in Gl. (1):
v1′ =
m1 − m2
⋅ v1
m1 + m2
und
v ′2 =
2m1
⋅ v1
m1 + m2
Setzt man in diesen Lösungen m1 = m2 , erhält man
v1′ = 0
und
v 2′ = v1 .
‹ Experiment vollkommen elastischer Stoß:
Zwei Massen stoßen auf einer Schiene aneinander. Die Wechselwirkung erfolgt durch Federn bzw. sich abstoßende Magnete. In beiden Fällen sind die Kräfte bei der Wechselwirkung Potentialkräfte, so dass der vollkommen elastische Stoß auftritt. Die oben hergeleiteten Beziehungen werden bestätigt.
Für die Geschwindigkeit nach dem Stoß erhält man allgemein
v1′ =
(m1 − m2 )v1 + 2m2 v2
m1 + m2
und
(m2 − m1 )v2 + 2m1v1
v 2′ =
m1 + m2
Beim vollkommen unelastischen Stoß bewegen sich beide Körper mit einer gemeinsamen
Endgeschwindigkeit v ′ weiter. Ein Teil der kinetischen Energie wird über Verformungsarbeit in Wärme (Verlustenergie WQ ) umgewandelt.
m1v1 + m 2 v 2 =(m1 + m 2 )v ′
v′ =
m1v1 + m2 v 2
m1 + m2
Energiebilanz:
m1 2 m2 2 m1 + m2 2
v1 +
v2 =
v ′ + WQ
2
2
2
WQ =
Ergänzungen_07
m1 m2
(v1 − v 2 )2
2(m1 + m2 )
Seite 43
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
Diskussion:
Für m1 = m2 und v2 = 0 erhält man schnell:
WQ =
m1 v12 Wk1
=
4
2
‹ Experiment vollkommen unelastischer Stoß:
Die Stoßanordnung wird so gewählt, dass die beiden stoßenden Massen aneinander kleben
bleiben (Knetmasse). Für einfache Fälle lassen sich die oben hergeleiteten Beziehungen
überprüfen.
‹ Weitere Experimente zum Stoß (Kugelkette, zwei Kugeln am Pendel mit und ohne dämpfenden Puffer)
4.3
Drehimpulserhaltung
4.3.1
Drehimpulserhaltung bei der Zentralbewegung eines Massepunktes
Eine Zentralbewegung ist eine Bewegung unter dem Einfluss einer Zentralkraft. Die
Wirkungslinie der Kraft geht dabei stets durch einen festen Punkt, der als Zentrum der Kraft
bezeichnet wird. Folglich ist der Vektor der Beschleunigung stets auf das Zentrum der Kraft
r
r r
F r
gerichtet, d.h. die Beschleunigung ist eine Radialbeschleunigung a = a r =
.
mr
v
v
Die Zentralbewegung findet stets in einer Ebene statt, nämlich in der von v und a r aufgespannten:
r
r
r r r
v (t + d t ) = v (t ) + d v = v + a r d t
Zentralkräfte sind z.B. die Anziehungskraft zwischen Massepunkten (Gravitationskraft), die
Kraft der elektrostatischen Wechselwirkung zwischen elektrischen Punktladungen (Cour
r
lomb-Kraft) oder auch eine Kraft der allgemeinen Form F = − D ⋅ r (z.B. Federkraft; isotroper harmonischer Oszillator).
r
Flächensatz
dr
y
Der Flächensatz bezieht sich auf die Fläche, die der Ortsr
r
vektor (Radiusvektor) vom Zentrum der Kraft zu einem
eine Zentralbewegung ausführenden Massepunkt im Zeitr
dA
intervall d t überstreicht.
x
Bei der allgemeinen Betrachtung der Bewegung unter
dem Einfluss von Zentralkräften kann man nicht von einer Kreisbahn ausgehen. Zur Berechnung der Fläche muss man daher das Vektorprodukt her
ranziehen. Die vom Radiusvektor überstrichene Fläche ist die Hälfte der von den Vektoren r
r
und d r aufgespannten Fläche:
mit
r 1 r
r
d A = (r × d r )
2
r r
dr = v dt
erhält man
r 1 r r
d A = (r × v ) d t
2
Seite 44
r
r
und mit dem Impuls p = m ⋅ v schließlich
r
1 r r
(r × p ) d t
dA=
2m
An dieser Stelle verwenden wir wieder den im Abschnitt 3.2 eingeführten Drehimpuls:
r r r
r×p=L
Damit kann man die überstrichene Fläche ausdrücken als
r
r
L
dA=
dt
2m
r
Wenn der Drehimpuls L konstant ist, folgt daraus, dass der Radiusvektor in gleichen Zeiten
gleiche Flächen überstreicht. (vgl. 2. Kepler’sches Gesetz: Der Fahrstrahl von der Sonne zum
Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.)
Der Drehimpuls
r r r r
r
L = r × p = r × mr&
r
r
steht senkrecht auf der von r und r& aufgespannten
Bahnebene.
r
r r& r d r
Zur Berechnung des Produktes r × r = r ×
ist es
dt
r
zweckmäßig, d r in Polarkoordinaten darzustellen
(vgl. nebenstehende Skizze). Wie man sieht, liefert
r
nur die zu r senkrechte Komponente einen Beitrag zum Vektorprodukt:
r
r
r × d r = r 2 dϕ .
y
dr
r dϕ
dϕ
r
dr
r
r
ϕ
x
Damit erhält man für den Betrag des Drehimpulses
L = m r2 ω ,
dϕ
die Winkelgeschwindigkeit des umlaufenden Massepunktes ist.
dt
r
Mit der oben angestellten Überlegung zur Richtung von L erhält man schließlich als Drehimpuls eines Massepunktes bei einer Bewegung im Zentralkraftfeld
r
r
L = m r2 ω .
wobei ω =
Für die Kreisbewegung war diese Beziehung bereits im Abschnitt 3.2 verwendet worden.
Zeitliche Änderung des Drehimpulses, Drehimpulserhaltung
Die Zeitableitung des Drehimpulses ergibt:
r& r
& × mrr& + rr × m&rr&
L = r1
23
=0
r& r
r r r
L = r × m&r& = r × F
Ergänzungen_07
Seite 45
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
r
r r
Das Produkt r × F wurde bereits im Abschnitt 3.2 eingeführt und als Drehmoment M bezeichnet:
r r r
M = r×F
Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist also gleich dem angreifenden Drehmoment:
r&
r
L=M
r
Der Drehimpuls L bleibt konstant (ist eine Erhaltungsgröße), wenn das Drehmoment
r r r
r
r r
M = r × F verschwindet, wenn also F = 0 oder F r ist.
r
r
r
Letzteres ist bei Zentralkräften der Fall ( F = F ).
r
Bei Bewegung im Zentralkraftfeld ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße.
Drehimpulserhaltungssatz:
Ist das resultierende Moment der äußeren Kräfte in Bezug auf einen Fixpunkt oder den
Schwerpunkt des Systems gleich Null, ist der Drehimpuls des Systems in Bezug auf diesen Punkt zeitunabhängig. In einem abgeschlossenen System von Massepunkten treten
keine äußeren Kräfte auf. Daher ist der Gesamtdrehimpuls eines abgeschlossenen Systems in Bezug auf einen beliebigen ruhenden Punkt nicht von der Zeit abhängig.
Der Drehimpulserhaltungssatz kann ebenso wie der Energieerhaltungssatz und der Impulserhaltungssatz zur Lösung der Bewegungsgleichung herangezogen werden.
Die Drehimpulserhaltung lässt sich auch auf Fälle anwenden, die eigentlich gar nichts mit
einer Drehbewegung zu tun haben:
Eine Masse m bewegt sich geradlinig mit
r
konstanter Geschwindigkeit v . Dabei gilt
die Drehimpulserhaltung:
r r r r r
L = r × p = r0 × p = const
r r r
L = L = r p sin α = r0 ⋅ p
r
p
α
α
r
r0
r
r
0
4.3.2
Drehimpulserhaltung für starre Körper
Wichtigste Erhaltungsgröße für die Rotation starrer Körper um eine feste Achse ist der Drehimpuls. Der Drehimpuls bleibt erhalten, wenn kein Moment einer äußeren Kraft wirkt.
Das kann erreicht werden, wenn
•
keine äußere Kraft angreift,
•
die Wirkungslinie der Kraft durch die Drehachse geht oder
•
die Wirkungslinie der Kraft parallel zur starren Achse ist.
(Letztere Bedingung gilt nur für die Rotation um eine starre Achse, die beiden anderen Forderungen gelten auch für die Rotation um freie Achsen.)
Für die Rotation starrer Körper um eine feste Achse erhält der Drehimpulserhaltungssatz die
Form:
Seite 46
LA = J A 1ω1 + J A 2 ω 2 + ...=∑ J A i ω i = ∑ LA i = const
i
i
bzw. auch
∑L
( Zustand 1)
Ai
2)
= ∑ L(AZustand
i
Da der Drehimpuls natürlich ein Vektor ist, ist zu beachten, dass für diese Form des Drehimpulserhaltungssatzes jeweils nur die Komponenten in Richtung der Achse „A“ zu berücksichtigen sind.
Obwohl die Art der Darstellung mit einigen wesentlichen Einschränkungen zu versehen ist,
ist die angegebene Form doch von großem technischen Interesse, da bei vielen Systemen tatsächlich nur die Rotation um eine feste Achse möglich ist.
‹ Experiment Kugel am Faden:
Eine an einem Faden befestigte Kugel führt eine Kreisbewegung aus. Beim Verkürzen des
Fadens verkleinert sich das Trägheitsmoment, folglich muss die Winkelgeschwindigkeit
entsprechend größer werden.
‹ Experiment Drehschemel:
Eine auf einem Drehschemel sitzende Person hält Hanteln in den Händen und wird in
Drehung versetzt. Dadurch, dass die Hanteln in unterschiedlichem Abstand von der Drehachse gehalten werden, ergibt sich eine Veränderung des Trägheitsmomentes. Da sich der
Drehimpuls nicht ändert, ergeben sich so unterschiedliche Winkelgeschwindigkeiten.
‹ Experiment Drehschemel mit Rad:
Einer auf einem ruhenden Drehschemel sitzenden Person wird ein drehendes Rad mit horizontal liegender Achse übergeben. Wird die Achse des Rades in die vertikale Lage gebracht, dreht sich der Drehschemel entgegen der Drehrichtung des Rades. Nur die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Achse des Drehschemels ist wirksam.
Andere Betrachtungsweise: Durch Ändern der Richtung des Drehimpulses wird ein Drehmoment ausgeübt, das den Drehschemel beschleunigt.
‹ Experiment Modelleisenbahn:
Auf einem drehbaren Schienenkreis fährt eine Modelleisenbahn. Zunächst befinden sich
Bahn und Schienenkreis in Ruhe. Lässt man die Bahn losfahren, dreht sich der Schienenkreis in Gegenrichtung, so dass der Gesamtdrehimpuls weiterhin gleich Null ist. Es lassen
sich so auch Betriebszustände mit von Null verschiedenem Gesamtdrehimpuls und die Änderung des Drehimpulses durch ein am Schienenkreis angreifendes Bremsmoment demonstrieren.
Die Anordnung entspricht einer technisch oft anzutreffender Konfiguration (z.B. Motorläufer und -ständer), bei der die Beschleunigung z.B. des Motorläufers durch innere Kräfte
erfolgt und bei der folglich die Drehimpulserhaltung gilt. Im praktischen Fall muss dann
z.B. der Motorständer durch ein äußeres Drehmoment in Ruhe gehalten bzw. zur Ruhe gebracht werden.
Ergänzungen_07
Seite 47
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
5.
HERLEITUNG DER WELLENGLEICHUNG FÜR EINE KUGELKETTE
mi −3
mi −2
mi −1
mi
mi +1
mi + 2
mi +3
x
ξi −3
0
ξi −2
0
ξi −1
ξi
0
0
ξi +2
ξi +1
0
0
ξ i +3
0
ξ (x )
Δx
x
xi −3
xi −2
xi
xi −1
xi +1
xi + 2
xi +3
Es wird von einer Kugelkette ausgegangen, bei der sich die Kugeln (Masse jeweils m) nur in
x-Richtung verschieben lassen. Die Kugeln haben in der Ruhelage zueinander alle den gleichen Abstand Δ x = xi +1 − xi und sind mit Federn gekoppelt, wobei die Federkonstante jeder
einzelnen Feder mit d bezeichnet werden soll.
Die Kette besteht aus n Federn und entsprechend (n + 1) Massen. Ihre Gesamtlänge beträgt
l = n ⋅ Δ x , die Gesamtmasse ist M = m (n + 1) .
Zur Darstellung der Wellenbewegung ist es nun zweckmäßig, die Auslenkung der einzelnen
Massen aus ihrer Ruhelage durch eine neue Größe ξ i (t ) = ξ ( xi , t ) zu beschreiben (s. Momentbild dieser Funktion in der Skizze). Die Federkraft einer Feder erhalt man so einfach als Produkt aus der Federkonstanten d und der Differenz der Auslenkungen der beiden Enden der
Feder aus der Ruhelage, d.h.
FD i+ = d (ξ i+1 − ξ i ) .
Die Federkraft, die an die Masse mi angreift, ergibt sich als Differenz der Federkräfte der
beiden benachbarten Federn. Eine resultierende Kraft ergibt sich nur dann, wenn die Federkräfte der benachbarten Federn unterschiedlich groß sind.
Die Bewegungsgleichung für die Bewegung der i-ten Masse lautet damit:
Fi = m ξ&&i = d [(ξ i +1 − ξ i ) − (ξ i − ξ i−1 )]
[
]
Fi = m ξ&&i = d Δ ξ i rechts − Δ ξ i links = d Δ(Δ ξ i ) = d Δ2ξ i
Um zu Aussagen über die gesamte Kette zu gelangen, muss man nun deren Eigenschaften
einfließen lassen:
Seite 48
Zieht man die einzelne Feder um die Strecke x0 auseinander, erhält man die rücktreibende
Federkraft
FD = d x0 .
Beim langsamen (statischen) Auseinanderziehen einer Kette aus n Federn um die gleiche
x
Strecke x0 wird nun jede einzelne Feder nur um die Strecke 0 auseinandergezogen, d.h. die
n
Strecke x0 verteilt sich auf alle n Federn. Dadurch ist nun auch die Federkraft kleiner
FD n = d
x0 d
= x0 = D x0 ,
n n
was man durch eine neue Federkonstante D, die die Eigenschaften der gesamten Kette beschreibt, ausdrücken kann. Der Zusammenhang zwischen der Federkonstante der einzelnen
Feder und der Federkonstanten der Federkette ist demnach
d = nD.
Damit, und mit dem Zusammenhang zwischen der Einzelmasse m und der Gesamtmasse M
der Federkette kann man nun schreiben
d 2ξ i
d
D n (n + 1) 2
D l (l + Δ x ) 2
= Δ2ξ =
Δ ξi =
Δ ξi .
2
2
dt
m
M
M (Δ x )
Im letzten Ausdruck wurde außerdem die Beziehung zwischen der Gesamtlänge l der Federkette und dem Abstand Δ x zweier benachbarter Massen in der Ruhelage eingesetzt.
Zur Wellengleichung gelangt man nun, wenn man die Zahl der Massen der betrachteten Kugelkette sehr groß werden lässt, wobei der Abstand zwischen den Massen (bei gleichbleibender Gesamtlänge der Federkette) gegen Null geht. Dabei muss man nun auch übergehen von
der Funktion ξ i = ξ ( xi , t ) für die einzelne Masse mi zur allgemeinen Funktion ξ = ξ ( x, t ) , die
das Verhalten der gesamten Kette beschreibt. Da diese Funktion nun von zwei Variablen abhängt, muss man jeweils die partiellen Ableitungen nach der Zeit bzw. nach dem Ort verwenden.
Der Grenzübergang Δ x → 0 führt so zur Wellengleichung
∂ 2ξ
D l 2 ∂ 2ξ
=
,
∂t2
M ∂ x2
bzw. (in der üblichen Darstellung)
∂ 2ξ
M ∂ 2ξ
−
=0.
∂ x2 D l 2 ∂ t 2
Damit haben wir die Phasengeschwindigkeit der Longitudinalwelle einer Kugelkette auf deren Eigenschaften Masse, Federkonstante und Länge zurückgeführt:
1
M
=
2
c
Dl2
c=
Ergänzungen_07
Dl2
M
Seite 49
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
6.
EINFÜHRUNG IN DIE THERMODYNAMIK
•
Die Thermodynamik (Wärmelehre) beschreibt Zustände von makroskopischen Systemen, die aus einer Vielzahl von Molekülen und Atomen bestehen.
•
Die phänomenologische Thermodynamik beschreibt die allgemeinen Eigenschaften von
makroskopischen Systemen, die sich im thermodynamischen Gleichgewicht befinden, und
die Übergänge zwischen diesen Gleichgewichtszuständen durch makroskopische Größen
wie z.B. Druck und Temperatur, die der Beobachtung zugänglich sind. Sie verbindet damit keinerlei Vorstellung über die innere Struktur der Körper und die Art der Bewegungen
der Teilchen, aus denen sie sich zusammensetzen. Die wichtigsten Erkenntnisse der (phänomenologischen) Thermodynamik sind in 3 Hauptsätzen zusammengefasst.
•
Die statistische Thermodynamik (Molekularkinetik) untersucht die Wärmebewegung
der großen Zahl von Mikroteilchen mit statistischen Methoden. Die Eigenschaften des
makroskopischen Systems werden hierbei aus den Eigenschaften der Mikroteilchen, den
Besonderheiten ihrer Bewegung und den gemittelten dynamischen Kenngrößen (Geschwindigkeit, Energie usw.) abgeleitet.
6.1
Thermodynamisches System
Ein Thermodynamisches System ist ein Teil einer wärmetechnischen Anlage, das herausgelöst betrachtet wird.
Das thermodynamische System kann auf unterschiedliche Weise mit seiner Umgebung in
Verbindung stehen:
Austausch von Arbeit, Wärme und Masse offenes System
(ΔW, ΔQ, Δm)
6.2
Austausch von Arbeit und Wärme (ΔW, ΔQ)
geschlossenes System
Austausch von Arbeit (ΔW)
adiabatisches System
kein Austausch
abgeschlossenes System
Zustand, Zustandsgrößen, Prozessgrößen
In der Mechanik wird die Lage eines Punktes im Raum durch 3 Koordinaten beschrieben.
In der Thermodynamik beschreibt man den Zustand eines Systems durch Zustandsgrößen.
Die wichtigsten Zustandsgrößen sind die direkt messbaren thermischen Zustandsgrößen
Druck p, Volumen V und Temperatur T. Daneben gibt es die kalorischen Zustandsgrößen,
zu denen z.B. die Innere Energie U gehört.
Die Änderung einer Zustandsgröße (allgemein mit „Z“ bezeichnet) hängt nicht von der Art
der Prozessführung ab, sondern nur von Anfangs- und Endpunkt:
ΔZ = Z 2 − Z1
Bleiben die Zustandsgrößen zeitlich konstant, befindet sich das System in einem Gleichgewichtszustand. Für jeden Gleichgewichtszustand sind die Zustandsgrößen durch eine Zustandsgleichung miteinander verknüpft.
Seite 50
Prozessgrößen hängen dagegen von der Art der Prozessführung ab, sind also wegabhängig.
Solche Prozessgrößen sind die Wärmemenge Q und die mechanische Arbeit W.
6.3
Extensive und Intensive Zustandsgrößen
Extensive Größen (Quantitätsgrößen) sind Größen, die sich beim Zusammenfügen zweier
thermodynamischer Systeme addieren. Beim Vergleich gleichartiger, aber verschieden großer
Systeme sind extensive Größen proportional zum Volumen V, zur Masse m oder zur Stoffmenge n. Neben den genannten Größen (Volumen, Masse, Stoffmenge) ist z.B. die innere
Energie U eine extensive Größe.
Die Stoffmenge ist eine Basisgröße des SI.
Basiseinheit: 1 Mol (mol)
1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel Einzelteilchen besteht,
wie Atome in 12/1000 Kilogramm des Kohlenstoffnuklids 12C enthalten sind.
In den thermodynamischen Gleichungen verwendet man oft Werte extensiver Größen, die auf
die Substanzmenge bezogen sind. Die Substanzmenge kann entweder durch die Masse m oder die Stoffmenge n beschrieben werden.
[z ] = [Z ]
Z
m
spezifische Größe
z=
molare Größe
Zm =
Umrechnung:
Zm = z
kg
[Z m ] = [Z ] .
Z
n
mol
m
= zM
n
(M: Molmasse; [M ] =
kg
)
mol
Z: beliebige extensive Zustandsgröße
Intensive Größen (Qualitätsgrößen) sind thermodynamische Größen, die nicht von der
Stoffmenge abhängen. Sie haben für jeden makroskopischen Teil eines homogenen thermodynamischen Systems den gleichen Wert. Bei Zerlegung eines thermodynamischen Systems
in Teilsysteme bleiben die intensiven Größen in allen Teilsystemen erhalten. Typische intensive Größen sind der Druck p, die Temperatur T und die Dichte ρ.
6.4
Temperatur und Temperaturmessung
Der Temperaturbegriff ist subjektiv („heiß“, „kalt“) geprägt. Die Temperatur ist eine physikalische Größe, die den Grad der Erwärmung eines Körpers charakterisiert.
Bringt man zwei Körper zusammen, findet ein Temperaturausgleich statt. Nach hinreichend
langer Zeit stellt sich so das thermodynamische Gleichgewicht ein.
Im thermodynamischen Gleichgewicht haben alle Bestandteile eines Systems dieselbe
Temperatur. („Nullter“ Hauptsatz der Wärmelehre)
Die historisch erste Temperaturmessung erfolgte 1704 durch G. Amontons mit Hilfe eines
Gasthermometers, wobei die Erkenntnis ausgenutzt wurde, dass der Druck eines (idealen)
Gases proportional der Temperatur zunimmt.
Die thermodynamische Temperatur ist über den Wirkungsgrad einer idealen Wärmekraftmaschine (Carnot-Prozess) definiert (Messung der Temperatur durch Messung der ausgetauschten Wärme).
Ergänzungen_07
Seite 51
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
Die Temperatur ist eine Basisgröße des SI.
Basiseinheit: 1 Kelvin (K)
1 Kelvin ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes
von Wasser.
Die Kelvin-Skala hat dieselbe Teilung wie die Skala von Celsius (1742): Schmelz- und Siedepunkt von Wasser bei Normaldruck sind die Fixpunkte für 0°C und 100°C.
ϑ
°C
6.5
=
T
− 273,15
K
3
Wärmemenge und Wärmekapazität
Wärme oder Wärmemenge ist eine Energie, die aufgrund eines Temperaturunterschiedes
zwischen zwei Systemen übertragen wird. Diese Energieübertragung erfolgt stets in Richtung der niedrigeren Temperatur. Der Wärmeübergang ist also ein irreversibler (unumkehrbarer) Prozess.
Die SI-Einheit der Wärme ist (wie für jede Energie) 1 Joule (J).
Früher war die Kalorie (eigentlich: Internationale Tafelkalorie) gebräuchliche Einheit der
Wärme: 1 cal = 4,1868 J
Falls kein Phasenübergang (zu einem anderen Aggregatzustand oder anderem Zustand – wie
z.B. von α- zu γ-Fe -) stattfindet, führt die Zufuhr von Wärme zu einem Festkörper oder einer
Flüssigkeit immer zu einer Temperaturerhöhung:
δ Q = C dT
Die Proportionalitätskonstante ist hierbei die Wärmekapazität C, sie gibt an, welche Wärmemenge benötigt wird, um eine bestimmte Temperaturerhöhung herbeizuführen.
3
Erklärung des Tripelpunktes und des Unterschiedes
der Zahlenwerte am Zustandsdiagramm von Wasser
Schmelzpunkt
(101,3 kPa; 0°C)
8
10
7
10
flüssig
6
10
kritischer Punkt
(22,1 MPa; 374,15°C)
5
Druck / Pa
10
4
10
3
fest
gasförmig
10
2
10
Tripelpunkt
(612 Pa; 0,0098°C)
1
10
0
10
-1
10
Seite 52
0
100 200
Temperatur / °C
300
C
Wärmekapazität
[C ] =
J
K
c = C/m
spezifische Wärmekapazität
[c] =
J
kg ⋅ K
Cm = C/n
molare Wärmekapazität
[C m ] =
J
mol ⋅ K
Die Wärmekapazität von Festkörpern und Flüssigkeiten ist abhängig von der Substanz
und (in geringerem Maße) von der Temperatur.
Die Wärmekapazität von Gasen hängt außer von der Gasart auch von
•
•
•
der Temperatur,
dem Druck (nicht bei idealen Gasen) und
der Prozessführung ab.
Für die Praxis verwendet man zwei Wärmekapazitäten für bestimmte Prozessführungen:
•
•
Temperaturänderung bei konstantem Volumen: isochore Wärmekapazität CV (cV, CmV)
Temperaturänderung bei konstantem Druck: isobare Wärmekapazität Cp (cp, Cmp)
Die Messung von Wärmekapazitäten erfolgt in Kalorimetern (Kalorimetrie). Das Grundprinzip besteht darin, dass die von einem Körper abgegebene Wärmemenge gleich der von einem
anderen Körper aufgenommenen Wärmemenge ist. Dabei wird gemessen, zu welcher Temperaturveränderung die Zu- bzw. Abfuhr einer bestimmten Wärmemenge führt.
6.6
Ideales Gas
Im Sinne der phänomenologischen Thermodynamik bezeichnet man als ideales Gas ein Gas,
für das die im Weiteren besprochene thermische Zustandsgleichung für ideale Gase gilt:
Druck und Dichte eines idealen Gases sind bei konstanter Temperatur einander proportional.
Je kleiner die Dichte und je höher die Temperatur des Gases sind, umso genauer gilt die Zustandsgleichung für ideale Gase.
Bei hohen Dichten und tiefen Temperaturen erzeugen das endliche Eigenvolumen der Moleküle und die Kräfte zwischen ihnen die erheblichen und technisch wichtigen Abweichungen,
die das reale Gas kennzeichnen.
Die in der kinetischen Gastheorie verwendete Modellvorstellung vom idealen Gas geht davon aus, dass
•
die Gasteilchen ständig eine ungeordnete Bewegung ausführen und sich wie elastische Kugeln stoßen,
•
die Teilchen im Mittel weit voneinander entfernt sind, sodass ihr Eigenvolumen und
die Wechselwirkung der Moleküle untereinander vernachlässigt werden können.
Die Moleküle werden also als Massepunkte behandelt, die sich wie elastische Kügelchen im
Raum bewegen und den Gesetzen der klassischen Physik genügen (kinetische Theorie).
Bei realen Gasen sind die Moleküle nicht mehr weit voneinander entfernt, sodass ihr Eigenvolumen und die Wechselwirkung untereinander (z.B. durch Van-der-Waals-Kräfte) nicht
mehr zu vernachlässigen sind. Im Gegensatz zu den idealen Gasen, die durch eine Zustandsgleichung (die Zustandsgleichung für ideale Gase) beschrieben werden können, gibt es für
reale Gase viele Zustandsgleichungen für verschiedene Druck- und Temperaturbereiche. Die
einfachste Zustandsgleichung für reale Gase ist die Van-der-Waals-Gleichung.
Ergänzungen_07
Seite 53
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
6.7
Thermische Zustandsgleichung für ideale Gase
Übergänge von einem thermodynamischen Zustand zu einem anderen bezeichnet man als
Zustandsänderungen.
Die Zustandsänderungen werden zunächst mit den thermischen Zustandsgrößen Druck, Temperatur und Volumen beschrieben.
Druck = Kraft (senkrecht zu einer Fläche) / Fläche
Einheit: [ p ] =
N
= Pa (Pascal)
m2
p=
F
A
zulässige Einheit: 1 bar = 105 Pa
In Flüssigkeiten und Gasen wirkt der Druck in alle Richtungen in gleicher Größe.
(Allseitigkeit des Druckes)
Geräte zur Druckmessung heißen Manometer.
Zustandsänderungen:
‹ Experiment Zustandsänderungen:
Bei Änderung von Druck, Volumen und Temperatur eines eingeschlossenen Gases ändern
sich auch die anderen Zustandsgrößen.
Wir betrachten ein thermodynamisches System, das durch das Volumen V0, den Druck p0 und
die Temperatur T0 gekennzeichnet ist. Verändert man nun das Volumen (z.B. durch einen
Kolben), so gilt für eine konstante Temperatur T0 das Boyle’sche Gesetz:
pV = p0V0
Außerdem gilt bei konstantem Druck p0 das (erste) Gesetz von Gay-Lussac, das man für
ideale Gase schreiben kann als:
V = V0
T
T0
bzw.
V V0
=
T T0
Verallgemeinert lässt sich schreiben, dass
p V
pV
= 0 0
T
T0
Der auf der rechten Seite stehende Ausdruck ist eine Konstante.
Wie man leicht zeigen kann, hat der Ausdruck
Arbeit
pV
die Dimension
.
T
Temperatur
Man drückt die Konstante aus als Produkt aus der universellen Gaskonstante und der Stoffmenge.
Universelle Gaskonstante R: Arbeit, die ein Mol eines Gases bei isobarer Erwärmung um 1
Kelvin leistet.
R = 8,31 J / K . mol
Die universelle Gaskonstante ergibt sich als Produkt aus der Zahl der Teilchen pro Mol und
der Boltzmann-Konstante:
R = k NA
Seite 54
Boltzmann-Konstante k: Grundlegende Konstante der Thermodynamik zur Umrechnung
von absoluten Temperaturen auf Energien. (Keine fundamentale Naturkonstante, da sie nur
ein Umrechnungsfaktor zwischen der willkürlich definierten Temperatureinheit K (Grad) und
der Energie ist.)
k = 1,38 . 10-23 J / K
Avogadro-Konstante NA: Zahl der Teilchen eines idealen Gases pro Mol:
NA = 6,02 . 1023 mol-1
Mit Einführung der universellen Gaskonstante erhält die oben ausgeführte Gleichung die
Form
pV = n RT
n: Stoffmenge
Dies ist die thermische Zustandsgleichung für ideale Gase (Clapeyron’sche Zustandsgleichung).
Eine weitere Form der thermischen Zustandsgleichung ergibt sich durch Einführung der Gasmasse m:
m = nM
M: molare Masse, [M] = kg/mol
M = N A mt
mt: Masse eines Gasteilchens
m
RT
M
pV =
6.8
R
= R ′ : individuelle Gaskonstante
M
Ausdehnungsarbeit
Ausdehnungsarbeit ist die Verschiebungsarbeit, die ein Gas bei der Änderung des Volumens
gegen eine äußere Kraft F verrichtet:
W = ∫ F 'ds
F ' = −F = p A
und
A ds = dV
erhält man die Ausdehnungsarbeit
F
W
s1
mit
s2
s1
s2
p1
p2
V1
A
V2
V2
W = ∫ p dV
V1
Die getroffene Vorzeichenkonvention zählt eine vom System abgegebene Arbeit positiv.
6.9
Innere Energie U
Die innere Energie U ist die Energie eines thermodynamischen Systems, die allein durch seinen inneren Zustand bestimmt ist. Die innere Energie U ist eine Zustandsgröße.
Bei idealen Gasen hängt die Änderung der inneren Energie nur von der Temperaturänderung
und der isochoren Wärmekapazität ab:
Ergänzungen_07
Seite 55
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
dU = C V dT = n C mV dT = m cV dT
Diese Beziehung bezeichnet man auch als kalorische Zustandsgleichung.
Die innere Energie U realer Gase ist volumen- bzw. druckabhängig. (→ Joule-ThompsonEffekt, technisch verwendet zur Gasverflüssigung).
6.10
Energieerhaltung, Erster Hauptsatz der Wärmelehre
Die Erkenntnis, dass auch Wärme eine Form der Energie ist, und der allgemeine Energieerhaltungssatz auch die Wärme einschließt, wurde 1842 vom Arzt Robert Mayer formuliert.
Wesentlich Beiträge zur Bestimmung des mechanischen Wärmeäquivalents leistete James
Prescott Joule.
Unabhängig von Mayer formulierte Hermann v. Helmholtz 1847 den allgemeinen Energieerhaltungssatz, der auch alle anderen Energieformen (elektrische, magnetische, chemische)
einschloss:
In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtbetrag der Energie konstant. Innerhalb des Systems können die verschiedenen Energieformen ineinander umgewandelt
werden.
und:
Es gibt kein Perpetuum mobile, d. i. eine Maschine, die ständig Arbeit verrichtet ohne entsprechende Energie aufzunehmen.
Für die thermodynamischen Zustandsänderungen ergibt sich daraus die Formulierung des
ersten Hauptsatzes der Thermodynamik:
Die einem geschlossenen System zugeführte Wärmemenge dient zur Erhöhung der inneren Energie und zur Verrichtung mechanischer Arbeit.
δ Q = dU + δ W
δ Q = d U + p dV
Dabei wird die Wärmemenge positiv gezählt, wenn sie dem System zugeführt wird. Die mechanische Arbeit zählt positiv, wenn sie vom System verrichtet wird (s. o.).
Mit dem 1. Hauptsatz und den obigen Beziehungen für die innere Energie und die Enthalpie4
lassen sich einige wichtige Aussagen über die Wärmekapazität treffen:
C m p − C mV = R
Außerdem gilt noch:
Cm p
C mV
Seite 56
=κ
mit κ: Adiabatenexponent
6.11
Übersicht über Zustandsänderungen für ideale Gase
Bezeichnung der
Zustandsänderung
konZustandsstante gleichung
Zustandsgröße
Ausdehnungsarbeit
isochor
V
0
p
= const
T
isobar
p
V
= const
T
isotherm
T
pV = const
U
H4
polytrop
-
W
ΔU
C V (T2 − T1 )
T V x −1 = const
δ Q = dU
δ Q = C V dT
p(V2 − V1 )
C V (T2 − T1 )
δ Q = dU + δ W
δ Q = dH
δ Q = C p dT
0
δ Q =δW
δ Q = p dV
p1V1 − p2V2
x −1
C V (T2 − T1 )
δ Q = dU + δ W
p1V1 − p2V2
κ −1
C V (T2 − T1 )
dU = −δ W
nRT ln
V2
V1
= nRT ln
p V x = const
Änderung der 1. Hauptsatz
inneren Energie
p1
p2
x
p T 1− x = const
für 1 < x < κ
adiabatisch S 5
(δQ = 0)
p V κ = const
Enthalpie H: H = U + pV Für eine isobare Zustandsänderung ist die zugeführte Wärmemenge gleich der Änderung der Enthalpie.
4
Entropie S, Die Entropie ist eine Zustandsgröße, d.h. das Integral ΔS = d S = δ Qrev ist bei reversiblen
∫1
∫1 T
Zustandsänderungen (s.u.) nur von den Zuständen 1 und 2, aber nicht vom durchlaufenen Weg abhängig. Die
Entropie ist daher zur Beschreibung Irreversibilität eines Vorganges geeignet. Wegen der konstanten Entropie
wird die adiabatische Zustandsänderung auch als isentrope Zustandsänderung bezeichnet.
5
Ergänzungen_07
2
2
Seite 57
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
Darstellung im V - p - Diagramm:
p
p
isochor
p2
isobar
p0
p1
V
V
V1
V0
p
1
2i
isotherm 6
dp
p
=−
dV
V
polytrop
dp
p
= −x
dV
V
adiabatisch
dp
p
= −κ
dV
V
2p
2a
V2
V
Grafische Darstellung der Ausdehnungsarbeit
Im V-p-Diagramm ergibt sich die Ausdehnungsarbeit als Fläche unter der vom
System durchlaufenen Kurve:
p
2
1
Mit dieser Darstellung sieht man z.B.
sofort, dass für eine isochore Zustandsänderung die Ausdehnungsarbeit Null
W>0
ist. Außerdem wird deutlich, dass die
mechanische Arbeit nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt der ZustandsändeV
rung abhängt, sondern auch vom gewählten Weg. Um das richtige Vorzeichen
der Ausdehnungsarbeit zu erhalten, muss
beachtet werden, in welcher Richtung die Kurve im V-p-Diagramm durchlaufen wird. Im gezeichneten Beispiel ist sie auf dem Weg von 1 nach 2 positiv.
6
Rechnung, z.B. für isotherme Zustandsänderung:
pV = nRT ;
Seite 58
p =
nRT
V
;
dp
dV
= −
nRT
V
2
= −
pV
V
2
= −
p
V
6.12
Der zweite Hauptsatz der Wärmelehre
Nach dem ersten Hauptsatz der Wärmelehre sind alle Vorgänge möglich, bei denen der Energieerhaltungssatz erfüllt ist. Dabei sind Vorgänge eingeschlossen, die aus anderen Gründen
nicht vorkommen können. Der zweite Hauptsatz schränkt die möglichen Vorgänge weiter ein.
Bei Prozessen innerhalb eines geschlossenen Systems gibt es zwei Typen:
Vorgänge, die sich durch Umkehrung des „Weges“ rückgängig machen lassen, so dass allein
durch Maßnahmen innerhalb des Systems der Ausgangszustand wieder hergestellt werden
kann, ohne dass eine dauernde Zustandsänderung zurückbleibt. Diese nennt man reversible
Vorgänge.
Vorgänge, bei denen das nicht möglich ist, nennt man irreversible Vorgänge. Beispiele für
irreversible Vorgänge sind die Wärmeleitung und der Joule’sche Versuch zur Umwandlung
von mechanischer Energie in Wärme.
Das Perpetuum mobile zweiter Art (PM II)
Wir betrachten nun einen speziellen Prozess, der die Umkehrung eines irreversiblen
Prozesses (nämlich der Umwandlung von mechanischer Energie in Wärme) darstellen würde
und als Perpetuum mobile zweiter Art (PM II) bezeichnet wird:
Ein PM II ist eine Einrichtung, die nichts weiter leistet, als dass sie einem Wärmebehälter
eine Wärmemenge entzieht und den gleichwertigen Betrag mechanischer Arbeit abgibt.
Ein PM II wäre praktisch von gleichem Nutzen wie ein Perpetuum mobile (das wir jetzt als
Perpetuum mobile erster Art bezeichnen wollen). Es ermöglicht z.B. die Energiegewinnung
aus dem riesigen Reservoir der Weltmeere.
Ein PM II ist nach dem ersten Hauptsatz zugelassen.
Da die Umkehrung irreversibler Prozesse gemäß Definition nicht möglich ist, gilt:
Ein solches Perpetuum mobile zweiter Art kann es nicht geben.
Die beiden vorstehenden eingerahmten Feststellungen ergeben zusammen eine Formulierung
des zweiten Hauptsatzes der Wärmelehre.
Beispiele für die Unmöglichkeit eines PM II sind:
• Ein Körper, der sich abkühlt und dabei hochspringt;
• Die isotherme Ausdehnung eines idealen Gases − Das Gas verrichtet mechanische Arbeit
und entzieht einem Wärmebehälter die entsprechende Wärmemenge. Am Ende dieses
Schrittes ist das Volumen vergrößert. Die Forderung, dass nichts weiter verändert wird,
ist nicht erfüllt. Die Rückführung des Volumens auf den Ausgangszustand gelingt mit der
Prämisse nur eines Wärmespeichers nicht. (Sie gelingt nur, wenn noch ein zweiter Wärmebehälter mit niedrigerer Temperatur eingeführt wird.)
Weitere Formulierungen des 2. Hauptsatzes:
Es ist unmöglich, eine periodisch arbeitende Maschine zu bauen, die nichts anderes bewirkt,
als Erzeugung mechanischer Arbeit und Abkühlung eines Wärmespeichers. (Formulierung
von Thomson und Planck)
Wärme kann niemals spontan, d.h. ohne äußere Einwirkung, von einem kälteren zu einem
wärmeren Körper übergeben. (Clausius-Prinzip)
Ergänzungen_07
Seite 59
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
7.
ANWENDUNGEN DER LOGARITHMENGESETZE
7.1
Exponentialausdrücke und logarithmische Ausdrücke
Die Umformung von Exponentialausdrücken der Form a x geschieht nach den gleichen Regeln wie die Umformung von Potenzen:
a ⋅a = a
x
y
x+ y
ax
= a x− y
ay
(a )
x y
=a
y
xy
a =a
x
x
y
Hierbei können x und y beliebige Zahlenwerte annehmen.
Exponentialausdrücke, in denen mehrere Hauptgrößen auftreten ( a x ; b y ; c z ; ... ), lassen sich
durch Verwendung der Identität
b = a loga b
zu Ausdrücken mit gleicher Basis umgestalten.
Beispiel:
a x b y a x a y loga b
=
= a x+ y loga b − z loga c
z log a c
z
c
a
Logarithmen:
Als Logarithmus A der Zahl N zur Basis a (Schreibweise: A = log a N ) wird der Exponent der
Potenz bezeichnet, in die man a erheben muss, um die Zahl N zu erhalten ( a A = N ).
Jede positive Zahl besitzt bei jeder beliebigen positiven Basis (≠ 1) ihren Logarithmus. Die
Logarithmen verschiedener Zahlen für ein und dieselbe Basis a bilden das System der Logarithmen zu dieser Basis. Kennt man die Logarithmen der Zahlen zu einer Basis a, so lassen
sich auch die Logarithmen dieser Zahlen zu einer anderen Basis b nach der Formel
log b N =
log a N
log a b
ermitteln.
Die Haupteigenschaften der Logarithmen bei ein und derselben Basis a (a ≠ 1) sind:
log a 1 = 0
log a a = 1
log( N1 ⋅ N 2 ) = log N1 + log N 2
( )
log N n = n log N
⎧− ∞ für a > 1
log a 0 = ⎨
⎩+ ∞ für a < 1
log
N1
= log N1 − log N 2
N2
log n N =
1
log N
n
Unter Logarithmieren einer gegebenen Größe versteht man das Aufsuchen ihres Logarithmus.
Seite 60
Beispiel:
3 x2 3 y
1
log
= log 3 + 2 log x + log y − log 2 − log z − 3 log u
3
2zu
3
Anwendung der Logarithmengesetze beim Rechenschieber:
+ log 20
2
1
2
1
3
4
5
6
3
8
4
5
10
6
8
20
log 3
10
20
30
30
60
90
= log 60
Interaktiver Rechenschieber
http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/history/ausstell/rechenschieber/interaktiv.html
Die gebräuchlichsten Logarithmensysteme sind:
•
Die dekadischen oder Brigg’schen Logarithmen mit der Basis 10
Schreibweise: log10 N = lg N
•
Die natürlichen oder Neper’schen Logarithmen mit der Basis e = 2,71828...
x
⎛ 1⎞
( e = lim ⎜1 + ⎟ )
x⎠
x →∞ ⎝
Schreibweise: log e N = ln N
•
(Abkürzung von logarithmus naturalis)
Die dualen Logarithmen zur Basis 2
Schreibweise: log 2 N = ld N
(Abkürzung von logarithmus dualis)
Umrechnung:
ln N =
lg N
lg N
≈
lg e 0,4343
ld N =
lg N
lg N
≈
lg 2 0,3010
Ergänzungen_07
lg N =
ln N
= lg e ⋅ ln N ≈ 0,4343 ⋅ ln N
ln 10
Seite 61
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
7.2
Anwendung logarithmischer Größen - Pegel
Pegel verwendet man bei Größen, die sich um mehrere Zehnerpotenzen unterscheiden können
und dort, wo es vor allem auf das Verhältnis, z.B. von Ein- und Ausgangsgrößen ankommt.
Dabei erhält man den Pegel dadurch, dass man das Verhältnis der jeweiligen Größe zu einer
Bezugsgröße bildet und logarithmiert.
Neben den Schallpegeln werden Pegel vor allem in der Elektrotechnik verwendet:
Leistungs-Pegel
⎛P⎞
PP = 10 lg ⎜⎜ ⎟⎟ dB
⎝ P0 ⎠
mit dem Bezugswert P0 = 1 mW
Spannungs-Pegel
⎛U ⎞
PU = 20 lg ⎜⎜ ⎟⎟ dB
⎝U0 ⎠
mit dem Bezugswert U 0 = 775 mV
Die Bezugswerte sind so gewählt, dass an einem Widerstand R = 600 Ω beide Pegel gleich
sind. (Zum Vergleich: Die Schallpegel sind so angelegt, dass sie in Luft bei 20°C und gleicher
Bezugsfläche alle gleich sind.)
Die unterschiedlichen Vorfaktoren bei Leistungs- bzw. Spannungspegel haben ihre Ursache
im Zusammenhang zwischen den beiden Größen:
P =U ⋅I =
U2
R
→ lg P = 2 lg U − lg R
Zum Vergleich - Die unterschiedlichen Faktoren beim Schalldruck- bzw. Schallstärkepegel
lassen sich auf gleiche Weise erklären:
2
pw,eff
I=
Z
→ lg I = 2 lg pw,eff − lg Z
Rechnen mit Schallpegeln
Erste Fragestellung: Wie unterscheidet sich der Schallpegel zweier Schallquellen, die am
Ort der Messung die Schallstärken I1 bzw. I 2 hervorrufen ?
L1 = 10 lg
I1
dB
I0
L2 = 10 lg
I2
dB
I0
⎛ I
I ⎞
I
Δ L = L2 − L1 = 10 ⎜⎜ lg 2 − lg 1 ⎟⎟ dB = 10 lg 2 dB
I0 ⎠
I1
⎝ I0
Statt eines Verhältnisses der Schallstärken erhält man eine Differenz der Schallpegel.
I 2 I1
1
2
10
100
1000
Seite 62
ΔL
0 dB
3 dB
10 dB
20 dB
30 dB
Zweite Fragestellung: Um welchen Betrag erhöht sich der Schallpegel, wenn eine zweite
Schallquelle in Betrieb genommen wird ? Dabei sollen die Schallpegel beider Quellen gegeben sein.
Wirken mehrere Schallquellen zusammen, addiert sich die von ihnen am Ort der Messung
hervorgerufene Schallstärke.
L1, 2 = 10 lg
I1, 2
I1, 2
I0
I0
L1, 2
= 10 10
1
2
I G I1 + I 2
=
= 1010 + 10 10
I0
I0
L
L
L2
⎛ L1
⎞
LG = 10 lg ⎜⎜1010 + 10 10 ⎟⎟
⎝
⎠
Beispiel: Der Schallpegel beider Schallquellen ist gleich ( L1 = L2 ).
L1
⎛
⎞
L ⎞
⎛
LG = 10 lg ⎜⎜ 2 ⋅1010 ⎟⎟ dB = 10 ⎜ lg 2 + 1 ⎟ dB = 3 dB + L1
10 ⎠
⎝
⎝
⎠
Beispiel: Unterschiedlich starke Schallquellen L1 = 30 dB , L2 = 40 dB
40
⎛ 30
⎞
LG = 10 lg ⎜⎜10 10 + 10 10 ⎟⎟ dB = 10 lg 103 + 10 4 dB = 10 lg11000 dB = 40,4 dB
⎝
⎠
(
)
Dritte Fragestellung: Wie ändert sich der Schallpegel, wenn der Beobachter seinen Abstand
von der Schallquelle (Punktquelle) verändert ?
I1 =
P
4π r12
L1 = 10 lg
I2 =
P
I 0 ⋅ 4 π r12
P
4π r22
L2 = 10 lg
P
I 0 ⋅ 4 π r22
⎛
⎞
P
P
r12
r
⎟
Δ L = L2 − L1 = 10 ⎜⎜ lg
−
=
lg
dB
10
lg
dB = 20 lg 1 dB
2
2 ⎟
2
I 0 ⋅ 4 π r1 ⎠
r2
r2
⎝ I 0 ⋅ 4 π r2
Beispiel: Der Abstand von der Schallquelle wird verdoppelt.
Δ L = 20 lg
7.3
1
dB = −6 dB
2
Logarithmische Darstellungen von Exponential- und Potenzfunktionen
Logarithmen können auch verwendet werden, um Funktionen in einer Form grafisch darzustellen, die eine sichere Auswertung ermöglicht. Dies spielt besonders dann eine Rolle, wenn
man fehlerbehaftete Messwerte (die z.B. im Praktikum erhalten wurden) zur Bestimmung
charakteristischer Größen heranziehen muss.
Ergänzungen_07
Seite 63
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
7.3.1
Die darzustellende Funktion ist eine Exponentialfunktion
Die darzustellende Funktion sei eine Funktion der Form
y = e−a x .
Im Beispiel ist diese Funktion für die Werte a = 1 und a = 3 dargestellt. Im linken Bild ist die
Funktion selbst dargestellt. Die Bestimmung von a anhand dieser Darstellung fällt schwer.
Bildet man jedoch den Logarithmus, erhält man Geraden mit der Steigung –a (rechtes Bild):
ln y = −a x
0.99
1
0
0.8
5
−x
e
( − x)
0.6
ln e
( − 3x)
− 3 ⋅x
e
10
ln e
0.4
15
0.2
1.769×10
−8
0
0
1
2
3
0.01
4
5
x
20
6
0
1
2
5.95
3
4
5
6
x
Den gleichen Effekt erreicht man, wenn man die Funktion auf einfach logarithmischem Papier darstellt, bzw. im Computerprogramm für die y-Achse eine logarithmische Skala wählt.
Die Bestimmung der Größe a erfordert allerdings einen etwas größeren Aufwand.
1
0.99
0.1
0.01
−x
1 .10
3
1 .10
4
1 .10
5
1 .10
6
1 .10
7
e
− 3 ⋅x
e
−8
1.769×10 1 .10 8
0
0.01
1
2
3
4
5
x
6
5.95
Beispiel: Schwächung von γ-Strahlung (Praktikumsversuch)
Die Zählrate (Zahl der γ-Quanten pro Zeitintervall) z ergibt sich als
z = z0 ⋅ e − μ x ,
wobei z0 die Zählrate vor der Abschirmung, μ der Schwächungskoeffizient und x die Dicke der Schicht sind. Bei dem Versuch geht es letztlich darum, den Schwächungskoeffizienten μ zu bestimmen. Da man in dieser einfach logarithmischen Darstellung μ nicht
direkt ablesen kann, geschieht das über den Umweg der Bestimmung der Halbwertsdicke
ξ , d.h. der Dicke der Abschirmung, bei der die Zählrate gerade halbiert wird. Den Schwächungskoeffizienten erhält man daraus nach der einfachen Formel
Seite 64
μ=
ln 2
ξ
,
die hier nicht hergeleitet werden soll.
Die grafische Darstellung zeigt die Messwerte mehrerer Praktikumsgruppen, durch die die
wahrscheinlichste Gerade gelegt wurde.
Versuch 4.05
Halbwertsdicke
1,25 cm
Zählrate / 1/min
1000
100
10
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
Schichtdicke / cm
7.3.2
Die darzustellende Funktion ist eine Potenzfunktion
Die darzustellende Funktion sei eine Potenzfunktion der Form
y = xa .
Auch in diesem Fall kann man den gesuchten Exponenten a aus der Darstellung der Funktion
selbst nur schwer gewinnen. Logarithmieren liefert aber
log y = a ⋅ log x .
2.512
3
0.4
0.5
2.5
0
2
( 0.2)
0.2
x
0.4
log x
( 0.4)
1.5
x
0.5
log x
1
1
0.5
0.063
0
0
1×10
2
−3
Ergänzungen_07
4
6
x
8
10
10
− 1.2 1.5
3
−3
2.5
2
1.5
1
log( x)
0.5
0
0.5
1
1
Seite 65
Ergänzende Kapitel zur Vorlesung Angewandte Physik
Trägt man die Logarithmen von x und y gegeneinander auf, erhält man den gesuchten Exponenten a (im Beispiel 0,2 bzw. 0,4) als Steigung der jeweiligen Geraden.
In doppelt logarithmischer Darstellung ergibt sich ein ähnliches Bild:
2.512
10
1
0.2
x
0.4
x
0.1
0.063 0.01
3
1 .10
1×10
0.01
−3
0.1
x
1
10
10
Anwendung findet dieses Verfahren ebenfalls im Praktikum bei einem Versuch zur Strömung
im Rohr, wo sich für den Bereich der laminaren und den der turbulenten Strömung Funktionen mit unterschiedlichen Exponenten ergeben.
Seite 66