Tutorium 08.11.2011

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Beweistechniken
1.1 Prädikatenlogik . . . . . .
1.2 Direkter Beweis . . . . .
1.3 Indirekter Beweis . . . . .
1.4 Beweis durch Widerspruch
1.5 Induktionsbeweis . . . . .
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1 Beweistechniken
1 Beweistechniken
1.1 Prädikatenlogik
Oftmals ist es schwierig einen Sachverhalt direkt zu folgern oder zu beweisen. Zudem ist es praktisch
unmöglich für Dritte Lösungswege nachzuvollziehen, die allein auf der intuitiven Lösung Einzelner
beruhen. Aus diesem Grund ist es notwendig Beschreibungen sinnvoll in mathematischen Objekten
fassen zu können. Ein Prädikat ist im Allgemeinen eine Beschreibung eines Umstands, der geeignet
auf eine mathematische Aussage projeziert wird.
Beispiel:
Ein Student, der Mathe kann, wird keine Probleme mit linearer Algebra haben. Ein Student, der DS
kann, sollte normalerweise Mathe können. Wer Mathe kann, schafft sein Informatikstudium.
Dieser allgemein formulierte Text lässt sich hervorragend in ein Prädikatenlogisches Äquivalent
transformieren: Dazu führt man folgende Bezeichnungen ein: Sei M(x) eine boolsche Aussagenfunktion(d.h M : X → B), die den Umstand bezeichne, dass x Mathe kann. Sei dazu im Folgenden
x ∈ S mit S = {s|s ist Student}. In dieser Definition sieht man bereits zwei Anwendungen von
Prädikaten: (1) als boolsche Funktion M, (2) zur mengentheoretischen Beschreibung von S. Um
das Beispiel zu vervollständigen werden noch DS : S → B, PLA : S → B und Inf : S → B
eingeführt, wobei deren Bedeutung sei
0
wenn x DS nicht kann
DS(x) =
1
wenn x DS kann
analog dazu PLA, Inf. Die textuellen Aussage lassen sich somit auf drei boolsche Ausdrücke projezieren:
M(s) ⇒ P LA(s)
DS(s) ⇒ M(s)
M(s) ⇒ Inf (s)
(1)
(2)
(3)
Dem aufmerksamen Leser wird schon an dieser Stelle aufgefallen sein, dass ein Student der DS kann,
sein Informatikstudium schaffen wird, sowie keine Probleme mit linearer Algebra haben wird. Dem
liegt das Prinzip einer Folgerungskette zu Grunde:
(DS(s) ⇒ M(s) ∧ M(s) ⇒ Inf (s)) ⇒ (DS(s) ⇒ Inf (s))
In der bisherigen logischen Denkweise hat sich jedoch noch ein kleiner Denkfehler eingeschlichen.
So wurde zwar bereits DS(s) ⇒ Inf(s) gefolgert, dies ist allerdings nur bedingt korrekt. Dies liegt
daran, da bislang noch keinerlei Aussagen darüber getroffen wurden für welche s z.B. DS(s) erfüllt
ist. In der Logik gibt es dafür 3 Möglichkeiten:
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1 Beweistechniken
Ausdruck
∀x : A(x)
∃x : A(x)
∃!x : A(x)
Bedeutung
für alle x ist die Aussage A(x) gültig. Ist nur angegeben,
dass A(x) gilt, so ist (i.A.) anzunehmen, dass ∀x : x : A(x)
erfüllt ist. Typische Fomulierungen für allgemeingültige
Aussagen sind sei x beliebig, es gelte A(x) oder für x gelte
A(x). Für alle x gilt A(x) ist demnach gleichbedeutend mit
für ein beliebiges x gilt A(x).
für mindestens ein (bestimmtes) x ist Aussage A(x) gültig.
Typische Fragestellung: Gibt es ein x mit der Eigenschaft
A(x)?
es gibt genau ein(und nur maximal ein) x für das A(x)
erfüllt ist.
Ferner gilt
¬(∃x : A(x)) ⇔ ∀x : A(x)
sowie
¬(∀x : A(x)) ⇔ ∃x : A(x)
Auf das obige Studentenbeispiel bezogen sind sämtliche Aussagen allgemeingültig und sollten dementsprechend mit einem Allquantor(∀) formuliert werden.
1.2 Direkter Beweis
Jedem Beweis liegt zu Grunde, dass es eine These(d.h. eine Aussage, deren Wahrheitsgehalt gezeigt
werden soll) gibt, die es zu beweisen gilt. Dazu kann man sich ein oder mehrer Prämissen(Vorraussetzungen)
bedienen, die im Allgemeinen entweder schon bewiesene Thesen darstellen oder Axiome (d.h. als wahr
definierte Sachverhalte). Um einen Sachverhalt direkt zu beweisen, nimmt man also eine Prämisse
an und folgert deren Gültigkeit die Hypothese.
Beispiel:
Zu beweisen: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl ist eine gerade natürliche Zahl.
Der erste Schritt besteht darin erst einmal den zu beweisenden Sachverhalt zu erkennen, sowie dessen
Richtung. Umformuliert bedeutet die Aufgabenstellung soviel wie: Wenn x eine ungerade natürliche
Zahl sei, dann ist x2 eine ungerade natürliche Zahl. Es ist dabei wichtig, die korrekte Beweisrichtung
zu erkennen, denn die Aufgabenstellung bedeutet nicht Wenn x2 eine ungerade natürliche Zahl sei,
dann ist x eine ungerade natürliche Zahl. In dem Beispiel wollen wir also direkt A(x) ⇒ B(x)
zeigen, wobei A(x) gleichbedeutend mit der Aussage x ist eine ungerade natürliche Zahl und B(x)
bedeute, dass x2 eine ungerade natürliche Zahl sei.
A(x) ⇔ (∃k ∈ N) [x = 2k + 1]
B(x) ⇔ (∃k ∈ N) x2 = 2k + 1
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1 Beweistechniken
Der Beweis erfolgt nun mittels einer Folgerungskette:
A(x) ⇔ (∃k ∈ N) [x = 2k + 1] ⇒ (∃k ∈ N) x2 = (2k + 1)2
⇒ (∃k ∈ N) x2 = 4k 2 + 4k + 1


2
⇒ (∃k ∈ N) x2 = 2(2k
+ 2k}) + 1
| {z
:=l
⇒ (∃l ∈ N) x2 = 2l + 1
Man beachte hierbei, dass ⇔ und = zwar im Grunde diesselbe Bedeutung haben, aber dennoch
unterschiedlich verwendet werden sollten. So wird ⇔ verwendet um logische Äquivalenzen zu zeigen
und = vor allem, wenn es um äquivalente Umformungen geht. So ist z.B. klar was
1<4=2·2⇔1<2·2+1
bedeutet, während dies bei
1< 4= 2·2 =1 <2·2+1
nicht der Fall ist. Die zweite Möglichkeit sollte auf keinen Fall in einem Beweis gewählt werden,
da mathematisch nicht nachvollziehbar. Bei einem Beweis ist es zudem essentiell, Ausdrücke durch
logische Operatoren zu verknüpfen. A ⇔ B entspricht dabei der Gültigkeit von A ⇒ B ∧ B ⇒ A.
Dies bedeutet, das eine Äquivalenz A ⇔ B gezeigt wird durch Schlussfolgerung in die eine(A ⇒ B)
und die andere(B ⇒ A) Richtung.
1.3 Indirekter Beweis
Dem indirekten Beweis liegt zu Grunde, dass A ⇔ B genau dann gilt, wenn ¬B ⇔ ¬A erfüllt
ist. In der Literatur finden sich nicht wirklich viele Beispiele bei denen ein indirekter Beweis in
seiner Ursprungsform geführt wird. Oftmals wird nur ein Spezialfall durchgeführt, der Beweis durch
Widerspruch.
1.4 Beweis durch Widerspruch
Der Beweis durch Widerspruch ist dadurch gegeben, dass er im Wesentlichen einen indirekten Beweis
darstellt. Doch zuerst einmal zum allgemeinen Prinzip: Wenn eine Aussage B zu zeigen ist, kann
man dies bewerkstelligen indem man beweist, dass ¬B zu einem Widerspruch führt. Denn wenn ¬B
nicht wahr ist, so muss ¬(¬B) = B nicht nicht wahr, also wahr sein. Nun kann es sein, dass man
einen Sachverhalt unter Verwendung einer Prämisse A beweisen will, d.h. A ⇒ B zeigen will. Es
gilt allgemein
(A ⇒ B) ⇔ (¬A ∨ B)
wie man durch Wahrheitstafeln verifiziert.
Für die logische Grundstruktur eines indirekten Beweises ergibt sich also der Widerspruchsbeweis als
Spezialfall wie folgt(unter der Anwendung der DeMorgan’schen Formeln):
(¬B ⇔ ¬A) ⇔ (¬¬B ∨ ¬A) ⇔ ¬(A ∧ ¬B)
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1 Beweistechniken
Allgemein ist ¬C genau dann wahr, wenn C falsch ist. Das bedeutet, dass A ∧ ¬B nicht wahr sein
muss. Ergo, da die Prämisse A als wahr angesehen wird, ¬B einen Widerspruch darstellen muss.
Dies ist äquivalent zu dem oben erwähnten Prinzip eines Widerspruchsbeweises.
Beispiel:
√
5 ist nicht rational.
√
Die
Annahme
B
ist
äquivalent
zu
der
Aussage
5 ist nicht rational. ¬B ist somit äquivalent zu
√
5 ist rational. Eine Zahl x ist genau dann rational, wenn teilerfremde(d.h. ggT(p, q) = 1) Zahlen
p ∈ Z und q ∈ N existieren, für die gilt x = pq oder mathematisch ausgedrückt
p
∧ (ggT(p, q) = 1)
x∈Q ⇔
(∃p ∈ Z ∃q ∈ N) x =
q
Der Beweis erfolgt nun durch
√
√
p
∧ (ggT(p, q) = 1)
5 ∈ Q ⇒ (∃p ∈ Z ∃q ∈ N)
5=
q
p2
⇒ (∃p ∈ Z ∃q ∈ N) 5 = 2 ∧ (ggT(p, q) = 1)
q
2
⇒ (∃p ∈ Z ∃q ∈ N) 5q = p2 ∧ (ggT(p, q) = 1)
⇒ (∃k ∈ N) p2 = 5k
⇒ (∃k ∈ N) [p = 5k]
⇒ (∃k ∈ N) 5q 2 = (5k)2
⇒ (∃k ∈ N) q 2 = 5k 2
⇒ (∃l ∈ N) [q = 5l]
⇒ ggT(p, q) = 5
⇒ Widerspruch zur Annahme ggT(p, q) = 1!
1.5 Induktionsbeweis
Ein weiterer häufiger Beweis, bzw. eher eine Beweisform ist ein Induktionsbeweis. Er stellt einen
direkten Beweis dar und orientiert sich am Erzeugungsprinzip der natürlichen Zahlen. So lässt sich
die Menge der natürlichen Zahlen intuitiv so beschreiben, das sie alle Zahlen umfasst, die durch
Addition von 1 erzeugt werden können. D.h.
N = {1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, ...}
Kennt man eine natürliche Zahl, so lässt sich die nächstgrößere Zahl durch Addition von 1 erzeugen.
Da man die 1 bereits kennt, kann man sich so jede beliebige natürliche Zahl sukzessiv erzeugen. Für
eine tiefergehende theoretische Zahlenbeschreibung sei hierbei das Buch Zahlen von Ebbinghaus et
al. empfohlen. Das Prinzip der vollständigen Induktion orientiert sich daran: Will man eine Aussage
A(x) für alle x zeigen, so zeigt man deren Gültigkeit zuerst für den Fall x = 1 und folgert, dass
wenn A(x) ⇒ A(x + 1) erfüllt ist, die Gültigkeit von A(x). Die notwendigen Schritte erhalten dabei
folgende Bezeichnungen:
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1 Beweistechniken
Abkürzung
IV
Name
Induktionsvorraussetzung
IA
Induktionsanfang
IS
Induktionsschluss
Fragestellung
Was ist zu zeigen? Allgemeingültige Beschreibung der Aussage in Abhängigkeit einer Variablen n
Von welchem n aus ist gesichert, dass für alle
weiteren k > n die Aussage erfüllt ist? Beweis
erfolgt hier für den Startwert von n
Man nimmt an, dass die Aussage für n gilt. Es
ist nun zu zeigen, dass daraus die Gültigkeit für
den Fall n + 1 folgt.
Beispiel:
Das klassische Beispiel zur Demonstration eines Induktionsbeweises ist der Beweis der Formel
∀n ∈ N :
n
X
k=0
k=
(n + 1)n
2
auch bekannt als kleiner Gauß.
Induktionsvoraussetzung:
n
X
k=
1
X
k =0+1=1
k=0
(n + 1)n
2
Induktionsanfang:
Für n = 1 ist die Formel zu zeigen. Mit
k=0
und
(1 + 1) · 1
2
= =1
2
2
ist die Formel für den Fall n = 1 gezeigt.
Induktionsschluss:
Es wird die Gültigkeit von
n
X
(n + 1)n
k=
2
k=0
für n angenommen. Für den Fall n + 1 gilt:
n+1
X
k=
n
X
k + (n + 1)
k=0
k=0
(n + 1)n
+ (n + 1)
2
(n + 2)(n + 1)
=
2
Somit ist der Induktionsbeweis komplett, die Aussage ist als erwiesen anzusehen.
=
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