3'. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 255 Z u r B r e m s u n g r a s c h bewegter Te2chen b e i m Durchgarzg durch Materie yon 3.B l o c h (Mit 1 Figur) S 1. Einleitung Die Theorie der Breinsung rasch bewegter Punktladungen, d. h. die Antwort auf die Frage, wieviel Energie sie an die Atome der bremsenden Substanz ubertragen, ist nach der klassischen Theorie von B o h r l) gegeben worden. Unter der Annahme, daB sich an jedem Atom ein Elektron befindet, clas elastisch an die Ruhelage gebunden ist, findet man fiir die mittlere Energie A T , die langs der Wegstrecke A z an die Atome abgegeben wird, 4n e 2 E A km v3 AT=------Ndzlg---"---, 92" v2 ZnreE solange die Geschwindigkeit v des bewegten Teilchens klein ist gegen die Lichtgeschwindigkeit c. 1st dagegen v vergleichbar mit c, so wird I Dabei ist: e = Ladung des Elektrons, E = Ladung des stoBenden Teilchens, m, = Ruhmasse des Elektrons, (3) v = Eigenfrequenz des Elektrons im Atom, N = Zahl der Atome pro Volumeinheit, k = 1,123. Die Formeln (1) und (2) gelten nach B o h r , solange man annimmt, daB die Rahn des fliegenden Teilchens wahrend des StoBes mit eineni Atom als geradlinig betrachtet werden darf und daB seine Geschwindigkeit so grog ist, daB .>q-". m0 Man erhalt (1) und (a), indem man zunachst fu r einen bestimmten Minimalabstand b der Bahn des Teilchens von der ursprunglichen Gleichgewichtslage des Elektrons die an das 1) N. B o h r , Phil. Mag. 85. S. 1913; 30. S. 681. 1516. Annulen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933 286 &om iibertragene Energie berechnet und dann uber alle Werte von b = 0 bis b = co mittelt. Das Problem der Bremsung, zunachst im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik, ist zuerst von G a u n t neu aufgerollt worden, indem er die in der Bohrschen Reclinung auftretende Beschreibung des Atoms durch einen klassischen Oszillator fallen lie6 und das Atom als qantenmechanisches System behandelt. G a u n t berechnet die a n das Atom iibertragene Energie nur fur den F a l l , da8 der Abstand b der Bahn des Teilchens vom Atom hinreichend grog ist, und glaubt, die Divergenz, die er durch Extrapolation des fiir groBe Werte von h erhaltenen Wertes auf kleine b erhalt, allgemein so beheben zu miissen, daB er als untere Grenze fiir b den klassischen Minimalabstand e Elm,, v 2 des Teilchens voni Btornelektron setzt. Auf diese Weise erhalt er cine im wesentlichen mit der B ohrschen Formel (1)ubereinstimmende Bremsformel. Sie ergibt sich aus (l),wenn man die dort auftretende Frequenz v durch cine Frequenz der Gr6Wenordnung v= 1 Ionisierungsarbeit ersetzt. G a u n t gibt keine Begriindung fur seine klassische Rechnungsweise bei kleinen StoBabstanden b, und wir werdeu auch spater sehen, daB sie sich nur in einem gewissen Grenzfall rechtfertigen laBt, wahrend unter Umstanden die strenge quantenmechanische Betrachtung wesentliche Abweichungen vom klassischen Xesultat ergibt. Ein im Grenzfall hoher Geschwindigkeiten konsequentes quantenmechanisches N3,herungsverfahren 2, fiihrt B e t h e 7 auf die von der klassischen Formel (1) wesentlich verschiedene Brenisformel Die C n erstreckt sich hier uber alle Zustande des Atoms; vn ist hier die der Kombination des Zustandes n niit dem Grund1) J . A . G a u n t , Proc. Cambr. Phil. SOC. 23. S. 732. 1927. 2) Auf die strenge Formulierung seiner Giiltigkeit werden wir im folgenden auafiihrlich zu sprechen koinmen. 3) H. B e t h e , Ann d. Phys. [5] 5. S. 325. 1930. 4) Wir sehreiben hier (2), um anzudeuten, daB der Faktor 2 unter dem Logarithmus nur dann zu stehen hat, wenn die Ablenkung des Teilchens wahrend des ZusammenstoRes mit dem Atom vernachliissigt werden darf. Bei a-Teilchen ist dies ohne weiteres der Fall; bei Elektronen steht wegen des sog. ,,straggling"-Effektes an Stelle von (2) ein komplizierterer, die Dicke der durchlaufenen Schicht enthaltender, Faktor. P. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teildien usw. 287 zustancl zugehijrige Ubergangsfrequenz , f ,L die entsprechende Oszillatorstarke Im Fall des harmonischen Oszillators mit der Eigenfrequenz geht (4) uber in 2’ was sich von (1) in charakteristischer Weise durch einen Faktor TZ unter dem Logarithmus unterscheidet. I; h v Die Bethesche Rechnung stellt wesentlich die erste Naherung eines Losnngsverfahrens dar, in welchem nach Potenzen der Ladung E des stoBenden Teilchens entwickelt wird, uncl es ist daher von Ar -ng an klar, daB in dieser Xaherung die Ladung E in der ormel fur die iibertragene Energie nur als Faktor auftretGn kann, dagegen nicht etwa nach Art der klassischen Formel (1) unter dem Logarithmus. Indessen ist ein solches Naherungsverfahren nicht unbedenklich. F ur diejenigen StoBprozesse, bei denen die Energie des Elektrons nach dem StoB groB ist gegen seine Bindungsenergie, kann man niimlich auch nach der B e t h e schen Theorie das Elektron als frei betrachten, und in diesem Falle ist das B e t b e sche Verfahren gleichbedeutend init der Anwendung cler B ornschen Naherungsmethode 1) zur Behandlung von StoBproblemen. B e t h e gibt als Kriteriuin fur die Anwendbarkeit der B o r n schen Methode an, daB der Entwicklungsparameter e Elh v klein gegen eins sei. Nun ist aber durch die Untersuchungen von M s l l e r 2 ) und Diste13) bekannt, daB im Falle strenger C o ulo mb scher Wechselwirkung zweier freier Teilchen die Bornsche Methode in erster Naherung zwar das richtige, auch nach der Gordonschen strengen Rechnung 4, folgende Resultat liefert, in zweiter Naherung aber unabhkngig vorn Wert e E/h v bereits divergiert. Das bedeutet freilich nicht, daB die Bethesche Rechnung etwa in zweiter Naherung divergieren wiirde, cla fur kleine Impulsiibertragungen an das Atomelektron diese nicht mehr als frei betrachtet werden darf, sondern seine Bindung an den Atomkern wesentlich wird; vielmehr wurden infolge dieses Unistandes bei hinreichend 1) $1. B o r n , Ztschr. f. Phys. 47. S. 863. 1926; 38. S. 803. 1926. 2 ) Chr. M s l l e r , Ztschr. f. Phys. 66. S. 513. 1930. 3) F. D i s t e l , Ztschr. f. Phys. 74. S. 785. 1932. 4) W. G o r d o n , Ztschr. f. Phys. 48. S. 180. 1028. %88 A n n u l e n der Physik. 5. F o l g e . Band 16. 1933 kleinem eElh v die hoheren Naherungen tatsachlich beliebig klein gegenuber der ersten. Dagegen wiirde bei vorgegebenem, wenn auch noch so kleinem e E l k v der EinfluB der hoheren Ngherungen mit abnehmender Bindungsenergie des Elektrons an das Atom immer grofier, so daW in diesem E'alle die R e t h e sche Rechnung versagen wiirde.l) Wir hielten es daher nicht fu r iiberfhssig, einen anderen Weg zur Losung des Problems einzuschlagen.2) Die Annahme, die der folgenden Rechnung zugrunde liegt, ist die, daB die Impulsanderung des stoWenden Teilchens wahrend des StoDes stets klein sei gegen seinen urspriinglichen Impuls. Diese Annahme trifft z. B. fiir den StoB eines a-Teilchens mit den Atomelektronen natiirlich stets zu. Fiir den StoB rasch bewegter Elektronen verbietet sie allerdings die Behandlung derjenigen StiiBe , bei denen das stoWende Elektron eine groBe Winkelablenkung erfahrt, doch spielen diese wegen ihrer relativen Seltenheit fiir die Bremsung eine untergeordnete Rolle. Ferner wird hier sowohl der Austausch des stol3enden Teilchens mit den Elektronen des Atoms, wie sein Spin vernachlassigt. Beides ist wiederum fur a-Teilchen stets gestattet, fur hinreichend schnell bewegte Elektronen dann, wenn man von den groBen Winkelablenkungen absieht. I m nichtrelativistischen Fall ist yon M o t t ") gezeigt worden, daB sich unter der obigen Annahme geringer Impulsubertragung a n das stoBende Teilchen, dessen Wirkung auf das Atom wie in der klassischen Theorie durch die eines geradlinig und gleichfiirmig bewegten Coulombschen Xraftzentrums beschreiben la&. Wir benutzen irn folgenden wesentlich dieses Resultat und ziehen die daraus folgende Behandlungsweise des Problems (wegen ihrer grokieren Analogie z u r klassischen Betrachtung) der B e t h e schen Rechnung im Impnlsraum vor, obwohl in einer strengen Theorie (also nicht in tler B e t h e schen Kaherung) die beiden Behandlungsweisen nach M ot t aquivalent sind. 1) Man iiberlegt sich an Hand der Mlnller-Distelschen Besnltate leicht, daB die zweite Nlherung gegenuber der ersten in der Brems- eE f'ormel einen relativen Anteil der GrOBenordnung __ Ig - e g e b e n hv hv wiirde, wo hv von der GrGBenordnung der Ionisierungsarbeit des Atoms ist. 2) Die Frage nach der Giiltigkeit der klassischen, bzw. der B e t h e schen Bremsformel fiibrte mit N i e l s B o h r zu interessanten Diskussionen, die mich zu der vorliegenden Arbeit veranlaBt haben. Prof. B o h r wird in einer demnachst erscheinenden Arbeit die prinzipiellen Fragen der StoBprobleme naher beleuchten. 3) S. F. AIott, Proc. Cambr. Phil. SOC.27. S. 583. 1931. F. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilcchen usw. 289 Wir machen im folgendem auBerdem einzig die Annahme, daB die mittlere Geschwindigkeit des Elektrons im Atom hinreichend klein sei gegen die Geschwindigkeit des stoBenden Teilchens. Man erhalt d a m einen geschlossenen Ausdruck fiir die Bremsung, der fiir sehr groBe, bzw. fur sehr kleine T e r t e von e E/h v die klassische, bz w. die B e t h e sche Bremsformel als Grenzfalle enthaIt 1) und als deren Verallgemeinerung bezeichnet werden darf. Im relativistischen Falle steht bekanntlich eine endgiiltige qunntentheoretische Formulierung der Wechselwirkung zweier Teilchen noch aus, die der Forderung des Relativitatsprinzips geniigt. Merller2) und Ro sen feld 3 ) konnten aber zeigen, daB man unter AusschlieBung der Strahlungskrafte eine befriedigende quantentheoretische Beschreibung der Retardierung geben kann, solange man sich auf die in den Ladungen der beiden Teilchen linearen Glieder beschrankt. Der Ansatz wurde von M s l l e r 4 ) und B e t h e 5 ) zur Behandlung des Problems der Bremsung verwendet, was als eine vollkommen relativistische Verallgemeinerung der friiheren unrelativistischen Srbeit von B e t h e betrachtet werden. Dies liefert auch eine Formel, die in derselben Weise von (2) abweicht, wie die Bethesche Formel (4) von (1). Abgesehen davon, daB es auch hier, wie im unrelativistischen Fall, fraglich erscheint, ob eine solche Naherung fiir StoBprobleme statthaft ist, wird man annehmen diirfen, daB auch in einer strengen relativistischen Theorie, solange man Strahlungswirkungen und ImpulsBnderung des stoBenden Teilchens vernachlassigt, dessen Wirkung sich durch die retardierten Potentiale einer gleichformig bewegten Punktladung beschreiben 1BBt. Es erschien uns interessant, zu zeigen, daB diese Annahme zu einer Bremsformel fiihrt, die von den bekannten Schwierigkeiten der relativistischen Quantenmechanik frei ist, obschon bei ihr nicht vorausgesetzt wird, daB die Wechselwirkung zwischen stoflendem Teilchen und Elektron schwach sei. Sie enthalt, wie im nichtrelativistischen Fall, die B o h r sche klassische Formel (2) und die Beth e-Ms lle rs c h e Formel als Grenzfalle. _. ~ 1) Letztere infolge einer Besonderheit des C o u 1o m b schen Kraftgesetzes, die in der B e t h e s c h e n und-Bornschen NCherungsmethode nieht zum Ausdruck kommen kann. 2) Chr. M s l l e r , Ztsohr. f. Phys. 70. S. 786. 1931. 3) L. R o s e n f e l d , Ztschr. f. Phys. 73. S. 253. 1932. 4) C h r . M s l l e r , Ann. d. Phys. [5] 14. S. 831. 1932. 5) H. B e t h e , Ztschr. f. Phys. 76. S. 293. 1932. 290 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933 S 2. Unrelativistische Bremsung Wir betrachten ein Teilchen der Ladung E, das sich mit der Geschwindigkeit 9 geradlinig und gleichformig in der z-Richtung bewegt. Seine Wirkung auf den Atomkern sei zu vernachlassigen, so daB wir uns diesen als fest im Koordinatenursprung denken konnen. Zur Vereinfachung wollen wir ferner annehmen, daB wir pro Atom nur ein Elektron hiitten l) und die Koordinaten des betrachteten Elektrons mit 2, y, x bezeichnen. Das Teilchen mijge zur Zeit t = 0 die Koordinaten X = b, Y = 0, 2 = 2, b haben. Der von ihm herriihrende Teil der potentiellen Energie des Elektrons ist dann gegeben durch > und fiir clas Elektron gilt die zeitabhangige Schrodingergleichung f 2- = [H + v (t)] I $ ,Z) WO die Hamiltonfunktion des Atoms bedeutet. Ton dem Potential cy werde im folgenden vorausgesetzt, daB es Kugelsyinmetrie habe. Das Atom befinde sich zur Zeit t = 0 im Grundzustand mit der Eigenfunktion 7p = q0. Seine Energie setzen wir durch Wahl der willkiirlichen additiven Konstanten fest z u Eo = 0, d. h. es sol1 gelten: (7) ~v~= 0 . 3 ) Die zur Zeit t an das Atom iibertragene Energie ist dann gegeben durch d T [t)= J (t)H (t) d t , i? wo 7 p ( ( t ) die normierte Losung von (6) ist, die zur Zeit t = 0 die Form 71,’ = y o hat. ** 1) Diese Vereinfachung ist nicht wesentlich. Die erhaltenen Endformeln lasven sich ohne weiteres auf den Fall mehreier Elektronen iibertragen. 2) Wir wollen im folgenden statt des P l a n c k s c h e n Wirkungsh quantums h stets die GrijBe fi = 2- und entsprechend statt der Fre27c quenz Y die Kreisfrequenz w = 2 n v verwenden. 3) Im Falle eines Wasserstoffatoms hatte man also fur das Poel ea fia tential des Atomkernes zu setzen U = - - + -- ; a = = Bo h r r 2a wq, ea scher Atomradius. ~ F. Block Zur Brenasung rasch bewegter Teilchen usw. 291 Wir wollen zunachst analog der I3 e t h e when Eechnung eine Storungsrechnung treiben, in der nach Potenzeu des stijrenden Potentials V entwickelt wird und nachtraglich sehen, wie das Ergebnis in einer strengeren Eechnung durch die Besonderheiten des C o u l o m b when Kraftfeldes bestatigt wird. ) eine formale Zunachst bemerken wir, dab sich fur ~ ( tsofort Reihenentwicklung nach Potenzen von V angeben la&. Sei namlich i €It i I€ t -~ i O(t)= - e ii Vjt) e , (9) fi so iiberzeugt man sich sofort, daB die Losung von (6) gegeben ist durch Y (4 = G tt) 7po (10) und daraus die iibertragene Energie wegen (7), (8) und (91, wenn man bis zu den in V quadratischen Gliedern geht: 0 0 Wie in der klassischen Theorie von B o h r wollen wir nun den ganzen Wertebereich des StoBabstnndes b in zwei Teile zerlegen durch Einfiibrung einer Lange bl, deren GrBBenordnung charakterisiert ist durch den Atomradius des Grundzustandes (13) r = [Y,,*ry,at und die Eigenfrequenz w =4 t14) 1 h ’ wo El etwa die zur Anregung des ersten angeregten Zustandes notwendige Energie bedeutet. Es sol1 zunachst gelten : 7:<bl<Z. (15) 01 Damit diese Bedingung erfiillbar ist, muB offenbar 116) v > v o = ro, sein, wo vo yon der GroDenordnung der mittleren Qeschwindigkeit des Elektrons im Atom ist.1) Da man annehmen darf, 1) Die Bedingung (16) ist notwendig, aber noch nicht hinreichend fur die Giiltigkeit unserer Rechnung. Ihre notwendigen und hinreichenden Voraussetzungen sind erst erfiillt, wenn gleichzeitig die Bedingungen (16) und (21) gelten. Anizalen der Physik. 5. FoZge. Band 16. 1933 392 - daB im Atom kinetische und potentielle Energie von derselben GroBenordnung sind, d. h. daR hwl vz,vOL,laRt sich statt (16) auch schreiben : h a), m, vz. (16 4 Die Einschrankung von b durch (15) hat den Vorteil, daR f ur b > b, (im folgenden a h Fall A bezeichaet) das Problem der Hremsung ein reines Dispersionsproblem wird und daR f ur b < b, (Fall B) das Atomelektron wahrend des StoRes als frei betrachtet werden kann. Beide Falle lassen sicli in dieser Naherung exakt behandeln und sollen im folgenden diskutiert werden. Full A : b > b,: Hier variiert das Potential V innerhalb des Atoms so wenig, da6 wir in (12) die von dem stoRenden Teilchen herruhrende Kraft P auf das Elektron niit guter Anniiherung als raumlich konstant betrachten durfen. Wir konnen also nach (5) setzen: V(n:yxt) = - X F J ) - zPz(t) (17 ) mit < eEb (174 Entwickelt man nun V yo nach den Eigenfunktionen y,, des Atoms, d. h. setzt man n=cI H und ferner w y, m so wird aus (12): = w,, t t I + ( O l ~ / ~ ) F z ( t " ) ~ f ( ~ ! s / O ) E ' , ( ~+(nIzlO)P%(t')\. ') Nan uberlegt sich leicht, daR wegen der vorausgesetzten Kugelsymmetrie des Atomkraftfeldes die Glieder mit F , (t")F, (t') und FZ(t")F3:(t')herausfallen. Definiert man nun die aus der Dispersionstheorie bekannten ,,0szillatorstiirken'6 f, durch F . Bbch. Zur Bremsung rascli bewegter Teilchen usw. 293 so -wird aus (18a) I I {Fz(t”)Fm(t’) +- P, (t”)P, (t‘)). L). h. das Atom bremst im Falle A wie eine Anzahl klassischer Oszillatoren mit den Kreisfrequenzen w und den relativen Anzahlen f,. Dieses Resultat ist gewissermalen selbstverstandlich, da es sich hier um ein reines Dispersionsproblem handelt. Wir kiinnen zur Berechnung von (20) die klassischen Resultate von B o h r ubernehmen und finden danach fur die mittlere Energie, die fu r b > b, an die Atome iibertragen wird * n Wir miissen uns noch uberlegen, unter welchen Bedingungen die hier zugrunde liegende Formel (12), die nur die in E quadratischen Glieder enthalt, im B’alle A anwendbar ist, d. h. mit welchem Recht die hoheren Glieder in der Entwicklung (11) des Operators G (t) vernachlassigt werden diirfen. Man zeigt nun unschwer, daB die in der Ladung E ungeraden Terme in der Energie stets herausfallen, und daB die mit E2s proportionalen Glieder, d. h. die s-te Naherung in der iibertragenen Energie, im Abstand b zur ersten Naherung (20) e E F z(8-1) einen relativen Anteil der GroBenordnung ftv b ) beitragen wiirden. Wie man leicht sieht, geniigt es hier, zur Abschatzung b N -5 zu setzen und wir diirfen also die hoheren Wl Naherungen vernachkssigen, wenn ( ~ ist. D. h. neben (16) haben wir noch zu fordern, daB ist, wo vo wieder von der GroBenordnung der mittleren Geschwindigkeit des Elektrons im Atom ist. Die gleichzeitige Giiltigkeit von (16) und (21) stellt die notwendige und hinreichende Bedingung fur die Giiltigkeit unscrer Rechnung dar. Man sieht also, daB sie auch fur be- Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 16. 2933 294 liebig groBe Werte von e E / h v noch giiltig bleibt, wenn nur uo hinreichend klein ist.l) Interessant ist es noch, speziell diejenigen StoBe zu betrachten, die zwar nach (15) ebenfalls noch zum Falle A gehoren, bei denen aber bereits b 2ist. a1 Die wesentliche Vereinfachung, die hier wegen (15) gemacht werden kann, ist die, daf3 die Exponentialfaktoren in (18) samtlich gleich 1 gesetzt werden diirfen. In der Tat spielen nach (18a) nur die tiefsten angeregten Zustancle eine Rolle, deren Eigenfrequenz yon der GroBenordnung der in (15) auftretenden Frequenz w1 sind. dndeiseits ist nach (17a) clie auf das Atom wirkende Kraft nur wiihrend eiiier Zeit der b merklich von Null verschieden ? so GroBenordnung A t da8 die Exponenten von (18) von der GroBenordnung < bw i A t w1 ~2 . 1 werden, d. h. es wird < dtw, 1 . Slso konnen in diesem Falle auch bereits in (12) die i H t" -~ iH1' Operatoren e 2 und e f i gleich 1 gesetzt werden, uncl aus (12) wird dann durch eine einfache Umformung (bei der (7) zu beachten ist, sowie mit Benutzung von (6a) der Urnstand, daB V und U vertauschbare Operatoren sind): oder mit Benutzung von (17) t -~ ~~ 1) Wegen (16a) lii5t sich (21) aach in der Form u > i = schreiben. Dann folgt aber wegen (16) erst reeht u,> ___. fE1.9. ?,> m0 , 1/= 1 oder d. h. diese der Bohrschen Theorie eugrunde liegende Annahme (vgl. § 1) ist eine notmendige Folge von (16) und (21). F . Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 295 Dies ist genau die Energie, wie sie nach der klassischen Nechanik a n ein ursprunglich ruhendes freies Teilchen der Masse m, iibertragen wird, wenn wahrend des StoBes die ortliche Veranderung der &aft 5 vernachlassigt werden kann. In der Tat bedeutet der hier auftretencle Umstand, dab die Eigenfrequenzen des Btoms keine Rolle mehr spielen, daB das Elektron wahrend des StoBes als frei hetrachtet werden kann. Fall B : b < b,. Wahrend im Falle A das Bremsvermogen des Atoms noch vollig durch das klassische Verhalten von virtuellen Oszillatoren beschrieben wird, treten im Falle B charakteristische, durch das TiTirkungsquanturn bedingte Unterschiede auf. I n dem der B e t h e schen Rechnung entsprechenden Ausdruck (12) fiir die iibertragene Energie auBern sie sich darin, daB fur diejenigen StoBe, bei denen das Teilchen sehr nahe am Atom vorbei oder durch dieses hindurchfliegt, das Elektron auch nach Zustanden sehr hoher Energie iibergehen kann, so daB die in (12) auftretenden Exponentialfaktoren nicht mehr gleich 1 gesetzt werden diirfen. Dagegen ist es naturlich auch hier gestattet, das Atomelektron wahrend des StoBes als frei zu betrachten, d. h. in den Exponenten den potentiellen Teil CT in der Energie zu vernachlassigen und H zu ersetzen durch Da sich die Eigenfunktion vjo einer Strecke der GroBenordnung F andert, kann man wegen dz nach (13) erst innerhalb wesentlich ver- in (12) setzen iH ~ e init t" V (t")y o z s y ow (t") W (t) = e iht - - A % V(t). Dann wird aus (12) durch eine analoge Umformung, wie im Falle B: t (23a) AT =2 m, s y o *( l g r a d W(t')dt')ayod t 0 296 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933 Schreibt man V (t) in seiner Abhangigkeit von den Koordinaten des Elektrons in Form einer Fourierreihe, so 1aBt sich nach (23) W und daraus nach (23a) A T berechnen. Integriert man dann noch iiber alle Werte von b von 0 bis b, und addiert die so erhaltene Energie A T B zu der durch (20a) gegebenen Energien d T A , so erKalt man das Ijethesche Resultat (4). Die Rechnung sol1 hier nicht ausgefuhrt werden, zumal sie lediglich als eine Kontrolle der B e t h e schen Rechnungen betrachtet werden kann, da j a nach dem in der Einleitung Gesagten die beiden Methoden aquivalent sind. Ein qualitatives Verstandnis dafur, dafl das Auftreten von TT in (23) an Stelle von V in (21) zur B e t h eschen Bremsformel (4)fuhrt, gewinnt man leicht, wenn man den aus (23) folgenden Ausdruck e E dx0 a yoaz, V(5 - To) a + (7 - yo) + (5 - zo)2 betrachtet, in dem g, q, 5 die Relativkoordinaten von stoflendem Teilchen und Elektron bedeuten. Er stellt niimlich im wesentlichen clas Potential des stoflenden Teilchens dar, wenn man sich dessen Laclung nicht auf einen Punkt konzentriert, sondern innerhalb einer Kugel mit einem Radius der GroBen- r/"nl", verteilt denkt. Nun gilt fur die StoBordnung d R Y zeit t in diesem Abstand groBenordnungsmiiflig ~ also wird Setzt man nun und f ur 6, einen ,,effektiven Minimalabstand'l von stoBendem Teilchen und Elektron von der GroBenordnung A R = A mo v ein, so erhalt man tatsaclilich den in der Betheschen Bremsformel enthaltenen charakteristischen Unterschied gegenuber der Bohrschen Formel (1). Die oben gegebene Diskussion des Falles A als reines Dispersionsproblem auf Grund cler Naherungsformel (12) gibt ~ P. Block. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen. usw. 297 nach dem dort Gesagten zu keinerlei Bedenken AnlaB, solange die Bedingung (21) erfullt ist. Dagegen ist im Falle B die Verwendung des Naherungsausdruckes (12) fur die ubertragene Energie nicht mehr ohne weiteres statthaft, da sie, wie bei B e t h e , der Anwendung der Bornschen Methode fur den StoB zweier freier Teilchen entsprechen wurde, die nach dem Coulombschen Gesetz aufeinander wirken. Wir wollen im folgenden die im Falle B iibertragene Energie insofern streng berechnen, als hier nach (15) die ,,StoBzeit" b/v kurz ist gegen die reziproke Eigenfrequenz llw, des Atoms. D a m gehen wir nochmals auf die strenge Gleichung zuruck, die wir entsprechend dem Falle B fur den Grenzfall sehr kurzer StoBzeiten zu losen suchen. Setzen wir nun (24) v (4 = sp It) Yo 7 so wird aus (6) wegen (7) Urn der Anfangsbedingung q~(0)= yo zu geniigen, mug offenbar aus (24) gefolgert werden, daB y ( 0 ) innerhalb des Atombereiches als konstant betrachtet werden m a . Man iiberzeugt sich leicht, dab man wegen der Giiltigkeit der Ungleichung (15), die bedingt, dat3 die reziproke StoBzeit v l b im Falle B stets grot3 ist gegen die Eigenfrequenz w1 des Atoms, das Atomelektron insofern als ,,frei(' betrachtet werden darf, als man das dritte Glied in (24) vernachliissigen kann. Die Gleichung stellt dann namlich die Wellengleichung eines freien Elektrons in einem zeitlich veranderlichen Potential P (t) dar. Wir betrachten nun die Bahn des fiiegenden Teilchens als fest vorgegeben, etwa in der x-Achse, und fragen nach der ubertragenen Energie an alle diejenigen Atome, die sich innerhalb eines Zylinders vom Radius b, und der Lange A x befinden. M7ir konnen so vorgehen, dat3 wir, statt iiber alle Eigenfunktionen qo innerhalb des Zylinders zu rnitteln, die Funktion y (0) so wahlen, dat3 sie innerhalb des Zylinders gleich lx Annalen der Physik. 5. Folge. 16. 20 Annalen deer Physik. 5. Folge. Band 16. 1933 298 ist, auBerhalb verschwindet, und d a m uber alle moglichen Eigenfunktionen yo mitteln, wie sie der Lage der Atome an irgendeiner Stelle des Raumes entsprechen. Der Faktor l R ist so gewahlt, daB ~v*io)Y(0)ar=SYo*Yo9"*(O)9"(O!d~, integriert uber alle Lagen von qo im Raum gleich der richtigen Anzahl N V der Elektronen im Zylinder Tom Volumen V wird. Wir finden auf diese Weise offenbar die totale Energie, die im Falle B vom Teilchen langs der Wegstrecke Ax an die Atome iibertragen w i d . Sie wird gegeben durch __- A T B = Jb0* Yj* (4 H vo 9" (4 - %* 9"(0)H 90 9" (0,l d r oder wegen (7) Der Querstrich bedeutet, dab noch iiber alle Lagen von yo im Raum zu integrieren ist. Nun ist und vo* vo = 1 yo* grad vo = 0 , letzteres, da der mittlere Impuls des Atoms im Grundzustand verschwindet. Also wird aus (25) wobei von der Zeit t nur zu fordern ist, daB sie so groB sei, daR nach ihrem Verlauf die Wirkung des Teilchens in dem betrachteten Zylinder bereits vollig zu Ende ist. Um nun die Funktion ~ ( tzu) bestimmen, betrachten wir das durch sie dargestellte Wellenpaket von einem Bezugssystem aus, das sich mit dem Teilchen bewegt, und dessen Ursprung wir an die Stelle des Teilchens verlegen wollen. In F. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 299 diesem Bezugssystem wird das Wellenpaket durch eine Funktion x(t) dargestellt, die aus y ( t ) hervorgelit mittels d'er Beziehung x (t) = el t o cp (1) (27) mit Die Funktion x (t) ist dnnn offenbar die Wellenfunktion eines Elektrons in einem xeitlich konstanten Coulomb schen Potentialfeld e E / r , d. h. sie geniigt der aus (24b) hervorgehenden JTellengleichung mit der Anfangsbedingung (29) ~ ( 0=) eikoz ~ ( 0 ) . Setzt man y ( t ) nach (27) in (26) ein, so folgt: Das erste ntegral in (30) verschwindet wegen des Erhaltungssatzes dei Ladung. Das zweite stellt die Veranderung der mit tler en inetischen Energie des Wellenpaketes x wahrend des StoBes dar. Da sowohl zur Zeit Null wie zur Zeit t das Wellenpaket so weit von dem festen Kraftzentrum entfernt sein soll, da6 der von letzterem herriihrende potentielle Teil der Energie vernachlassigt werden kann, so verschwindet also auch das zweite Integral wegen des Erhaltungssatzes der Energie. Um das letzte Integral von (30) in ein Integral uber x(t) allein umformen zu konnen, mug man bedenken, daB der mittlere Impuls des Wellenpaketes y (0) sehr klein ist gegen mou, da ja schon der mittlere Impuls von yoklein gegen m,, u vorausgesetzt wurde, die Dimensionen von ~0 aber noch grog gegen die Atomdimensionen gewahlt sind. Also enthalt das Wellenpaket (29, praktisch nur Impulse in der x-Richtung und man kann setzen 20 * 300 Annulen der Physik. 5. Folge. Bard 16. 1933 wobei der letzte Ansdruck den negativen mittleren Radialimpuls des Wellenpaketes x vor dem StoB bedeutet. Nun andert aber der mittlere Radialimpuls wahrend des StoBes lediglich sein Vorzeichen. Es ist also und aus (30) wird schliefilich Zur Berechnung von x(t) benutzen wir nun wieder den Umstand, daB sowohl das Wellenpaket x(O), wie das Wellenpaket ~ ( t sehr ) weit entfernt von dem Kraftzentrum im Koordinatenursprung sind. Dies erlaubt uns namlich, fur x die asymptotische Losung eu verwenden, die yon G o r d o n (a. a. 0.) im Falle eines Coulombschen Potentialfeldes f u r grol3e W'erte von r angegeben wurde. Nach G o r d o n lautet diejenige Losung der Schrodingergleichung, die im Unendlichen die Form einer ebenen Welle e f(tr) hat, in einem Coulombfeld: i[(fr) leI + 2 kS a r 2r sine -- c 1 @f i k r - k , , l g Z k r s i n ' ~ + z + Zo(O,d)] + e og---- 2 k2 a' r sin2 2 Dabei ist k der Betrag des Vektors I , Of der Winkel zwischen der Richtung von 1 und der Beobachtungsrichtung. Fuhren wir im Raum Polarkoordinaten r, 8, sp ein, und charakterisieren ferner den Vektor f auger durch seinen Betrag d u d seine Winkel 9.1, yt in diesem Polarkoordinatensystem, so wird (33) 2sin2-Or = ( l - c o s O f ) = l - ~os9.~cos9.-sin9.~cos(sp~-sp). 2 Ferner ist die in (32) auftretende Lange a' gegeben durch (34) wo a den Bohrschen Atomradius bedeutet. Setzen wir mit P. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 301 Benutzung der Geschwindigkeit vk der einfallenden Welle 1 k = m f i , so wird also die in (32) auftretende GroBe fi -ka'1 --_ae uEk ' (35) Es erscheint zunachst sonderbar, da8 die Verwendung von (32) im Falle B fur die Bremsung ein anderes Resultat liefern kann, als in der klassischen Mechanik, da die durch den letxten Summanden von (32) gegebene Kugelwelle, auf die es fur die Bremsung allein ankommt, genau dieselbe Intensitat hat, wie sie ein Stroni von Teilchen nach dem klassischen Rutherfordschen Gesetz ergeben wurde. Andererseits sind j a allfallige Abweichungen in der Bremsformel von dem klassischen Ausdruck, wie wir gesehen haben, allein durch den Fall B bestimmt, und man wiirde daher zuaachst vollkommene nbereinstimmung mit der klassischen Bremsformel erwarten. Indessen hat man zu bedenken, daB wir zum Aufbau unseres Wellenpaketes x eine Superposition von Losungen der Form (32) brauchen, daB also nicht nur die Intensitat, sondern auch die Phase der Kugelwelle von (32) eine wichtige Rolle spielen kann. Wahrend nun in der klassischen Mechanik (wo A als verschwindend klein betrachtet wird), l / k a' nach (35) als sehr grog angenommen werden mug, also die Phase der Kugelwelle fur groBe r gegeben ist durch 1 Qf -lg 2 k T sin2k a' 2 , spielt in der Quantenmechanik auch der entgegengesetzte Grenzfall eine wichtige Rolle, in dem der durch (35) gegebene Wert von l l k a ' sehr klein ist. Wir konnen also d a m statt (32) mit guter Naherung setzen (32 a) e"(fr) + eikr 01 2 k2 a' r sins 2 , wobei wir die hoheren Glieder in l./ka' sowie die unwesentliche Phasenkonstante ~d+ 2 o(0,a') in der Xugelwelle vernachlassigt haben. DaB in diesem Grenzfall die Bethesche Bremsformel erhalten w i d , liegt an dem gewissermagen zufalligen Umstand, da8 der durch (32a) gegebene Ausdruck fur die ges treute Welle mit demjenigen iibereinstimmt, den man nach der B o r n schen Methode in erster Naherung erhalt. Wahrend aber diese in hoheren Naherungen divergiert, bleibt natiirlich der strenge Go r d o n sche Ausdruck (32) durchaus endlich und 302 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933 geht in dem Grenzfall sehr groDer XTerte von k a‘ bis auf verschwindend kleine Glieder tatsachlich in (32 a) uber. Zur Berechnung von x (t) zerlegen wir zunachst das Wellenpaket nach ebenen Wellen. Es sei mit (37) Da innerhalb eines Zylinders Tom Radius b , und der Lange A x nach (29) x(0) = e i k o z v N ist, und da auDerhalb des Zylinders x (0) verschwindet, kann man auch schreiben: wobei das Integral (durch C angedeutet) nur uber den Zylinder zu erstrecken und to ein Vektor in der 2-Richtung vom Betrage k, ist. Damit nun x tatsachlich eine asymptotische Losung der Schrodingergleichung ist, die sich zur Zeit t = 0 fur negative und dem Betrage nach sehr groDe Werte von x dem Ausdruck (36) nahert, haben wir nach (32) zu setzen: (39) -&- - iam, Z k a t {ei[(fr)+ 1 ip i 1g2krsina r @€ - 1 l g 2 k r sina + n + Z a ( 0 , a’) 2 ”, --\- 2 k2a‘r sinB2 Man iiberzeugt sich leicht, daD, wenn xo als sehr groR und negativ betrachtet wird, fur t = 0 in (39) der von den Kugelwellen herriihrende Teil durch Interferenz wegfallt ; dies ist auch deshalb klar, weil ja die Streuung erst wahrend des Stof3es eintritt. Dieses Weginterferieren 5ndet indessen nicht mehr statt, wenn wir t als groB und positiv betrachten, und wir kiinnen dann aus dem von den Kugelwellen herriihrenden Anteil von (39) nach (31) die uns interessierende Energie A TB berechnen. 1) d t und d W stehen fur das Volumelement im f-, bzw. W-Raum. I?. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 303 I n der Tat liefert der erste Summand der Hlammer in (39), wenn man (39) in (31) einsetzt, keinen Eeitrag; er stellt namlich den unverandert iiber das Kraftzentrum hinweglaufendeii Teil des Wellenpakets x dar, und fur dieses gilt a a offenbar die Operatorgleichung - - - \Vir erhalten also nach a z - ar * (31) und (39), wenn wir beriicksichtigen, daB deikr a und asymptotisch az = i k eikr 2 k 2 a ' r s i n 2 -@€ 2 [ i kT 1 -lg 2 k r siu* ka' 01 2 = ikcos8 t n t 2 (0,a') (I 1 8, 2k2ua'rsin'2 mit Benutzung von (38): J'il (I( (40) - k')r + 2 o ( k , a ' ) - 20 @',a') k' k (1 - COB e3]' i + iiz "(1 ii - -- 2 mo (k'- k'2 ) t1 - C 0 8 e4' - 23 . (1 - cos 8)sin 7 ~ a 8 a y a r . Hier laBt sich die Integration iiber r, k, k',Z und Z leicht ausfuhren. Sie liefert, da k, A,z> 1 angenommen ist, nur etwas merklich von Null verschiedenes fiir k = k ' = k = -m0v 0 und aus (40) wird Dabei ist (42) fi' 304 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933 !Rl und !R2 sind Vektoren mit verschwindender z-Komponente; die Integration uber !Rl und !R2 ist in (41) uber den Querschnitt des Zylinders zu erstrecken (durch Q angedeutet). I, und f, sind Vektoren vom Betrage k,, e, und e, Einheitsvektoren in Richtung der Vektoren P, bzw. f, und der Vektor e weist nach dem Punkt auf der Einheitskugel mit den Polarwinkeln 7 9 , y . Wir werden im mathematischen Anhang I zeigen, daB sich (41) in der Form schreiben laBt T B = (A T B ) a (dTB)fl (43) mit 2m v 4ne2EP N lg 0 (44) (d T B )=~ mova Ad und + Dabei ist in (44) und (44a) d eine reziproke Lange, von der vorausgesetzt ist 1 d k,. b, 3,f, und fz sind in (442) Vektoren mit verschwindender z-Komponente. Die Integration uber 93 ist wieder uber den Querschnitt Q des Zylinders, d. h. uber eine Kreisscheibe vom Radius b,, die Integration uber f1 und P, uber eine Kreisscheibe vom Radius d (durch K angedeutet) zu erstrecken. Totale Bremsung: Um die im Falle A und B berechneten Ausdriicke fur die ubertragene Energie summieren zu kiinnen, empfiehlt es sich, die im Fall A durch (20a) gegebene Energie in einer Form zu schreiben, die analog dem Ausdruck ( A TB)p in (44a) gebaut ist. Dazu gehen wir nochmals auf (20) zuruck, indem wir dort uber alle StoBabstande b > b, des stoBenden Teilchens mitteln. Fuhren wir fur v t rind vt’ die Bezeichnung Z bzw. Z’ ein, so erhalten wir _-(2- Z‘) 2m0 e2 Ev2 z N AZzjJaz are v n (45) < < j WIL .s Q‘ w*+ Z Z ’ (8% + 2 2 T ‘ a (W+ Z‘ -a%. 2)*’~ Dabei ist !R die Projektion des Ortsvektors des stoBenden Teilchens auf die x-y-Ebene; er durchlauft in dem Integral > b, ist. Durch (durch Q’ angedeutet) alle Werte, fur die Differentiation der Formel 17. Bloch. Zur Bremsung rascla bewegter Teilchsn usw. 305 M3t sich (45) in der Form schreiben (454 { n ei [( k,- kz') X i ( kv - k,') II .JmJ Q' €9 rz Y f k, Z- k,' 2'1 (EY) a t dr. Die Integration iiber Z und Z'liefert tvo 8 die Diracsche &Funktion bedeutet und aus (45a) wird I 2e2EB N A z -m, v9 (2nY dTA wobei E, und f, die Projektionen der Vektoren f bzw. f' von (45a) auf die z-y-Ebene sind. Wegen der Integration iiber Q' beziiglich 8 spielen in (45) nur Werte von ItI I und I E, I eine Rolle, die hochstens von der GroBenordnung l / b , sind. Man begeht also keinen merklichen Fehler, wenn mantn,wie in (43a), die Integration iiber El und f2 statt uber die ganze x-y-Ebene nur iiber eine Kreisscheibe K 1 vom Radius d - erstreckt. Wir kiinnen also statt (46) auch bl schreiben > (47) I I 1 2e2E2 N A z A T A =m, vT - (2n)B Anderseits spielen in (44a) wegen der Integration iiber Q beziiglich ?' R nur Werte von If, I und Ifa I eine Rolle, die min- 306 Annalen &r Physik. 5. Folge. Band 16. 1933 destens voii der GroBenordnung 1l b , sind. Man begeht also wegeu (15) keinen merklichen Fehler, wenn man f12 durch f12 + f, und Wir konnen also, da ersetzt. Cfn= 1 ist, statt ( 4 4 4 auch n schreiben (dWB = 2eeE8 N A z 7 (2n)P ,i Q (TI - G , a) K Die totale ubertragene Energie erhalt man d a m riach (43), (44), (47) und (48) in der Form 1 AT I = (AT& + (AT,),, + AT, = 7 2e8 E 2 N A s Z f , (2alg* n F. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 307 Das erste und zweite Doppelintegral in (49) lassen sich leicht zusammenfassen. Da in ihnen namlich insgesamt iiber die game Ebene von 8 integriert wird, liefert die Integration iiber 3 : 2 n2 d (f, - Q. Sie liefern also zusammen 2n K \ " I d 0 > da d ist. Das dritte Doppelintegral yon (49) liefert, wie im mathematischen Anhang I1 bewiesen wird (50) 27c{y(1)- R q ( 1 + ip)] (R = Realteil von), wo y die logarithmische Ableitung der Gammafunktion ist. Unter Benutzung von (42) erhalten wir also schlieBlich fur die totale iibertragene Energie Dieser Ausdruck enthalt die Bethesche Formel (4)und die Bohrsche Bremsformel (1) als Grenzfalle fur sehr kleine bzw. sebr groBe Werte von eElrZv. eE I n der Tat bleibt fur iv = 0 nur das erste Glied der Klammer von (51), d. h. die Bethesche Formel iibrig. F u r sehr groBe Werte von e E / h v hat man zu bedenken, daB fur groBe Werte des Arguments x : y (2)G lg x wird. Also wird fur groBe Werte von e E / E v und aus (51) wird dann, wenn man bedenkt, daB v(1)= - Y2), n niit k = 2 . e-Y = 1,123. 1) Wir haben hier wieder (2) statt 2 gesetzt, urn anzudeuten, daE die Formel (51) nur gilt, so lange dss stoBende Teilchen abgelenkt wird, und daE andernfalls statt (2) ein ,,straggling"-Faktor zu stehen hat. (Vgl. die FuBnote auf S. 288). 2) g = 0,577 ist die bekannte E u l e r - M a s c h e r o n i s c h e Konstante. Annalen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933 308 D. h. in diesem Falle ist das Bremsvermogen eines Atoms dasselbe, wie das einer Reihe virtueller klassischer Oszillatoren nach der B o h r schen Theorie. Die Formel (51), die hier nur fur den Fall e k e s Elektrons pro Atom hergeleitet wurde, gilt unverandert auch fur mehrere Elektronen. Die Betrachtungen fur den Fall A gelten dam, wenn unter den f, und w, die Oszillatorstarken bzw. Eigenfrequeuzen des ganzen Atoms verstanden werden. Im Falle B ist jedes Elektron, wie oben, als frei zu betrachten. Man hat dann nur, im B’alle von Z Elektronen pro Atom, zu berucksichtigen, dai3 Cf, = Z ist. 0 3. Relativietiecher Fall F u r den Fall, daB die Geschwindigkeit des stoBenden Teilchens vergleichbar mit der Lichtgeschwindigkeit ist, muB man statt von (6) yon der relativistischen Gleichung von D i r a c : (52) 1 fi dv - G33T % a ={?a. [ixq - -A,(t) : I x= O ’ e +.,+,V(t)+tc,m,c 1 9 ausgehen. I n ihr bedeuten czl, az.,a3,,a4die beksnnten D i r a c schen vierreihigen Matrizen; U 1st die vom Atom herruhrende potentielle Energie. Ferner seien T’ (t) das zeitlich veranderliche skalare Potential, das vom Teilchen erzeugt wird, A , (t) die ebenfalls zeitlich veranderlichen Komponenten des von ihm herriihrenden Vektorpotentials. Da in einem mit dem Teilchen bewegten Bezugssystem dessen Wirkung beschrieben wird durch das skalare Potential -f7, = _ ______.-_ _ _E_ _ ~ _ ~ V(Z - b y 4 y2 + 22 so folgen durch eine Lorentzformation die der nichtrelativistischen Formel (5) entsprechenden Ausdrucke: rnit (54) Wie in 6 2 lassen sich auch’ hier durch einen trennenden StoBabstand b, zwei Falle A und B unterscheiden derart, dai3 F. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 309 man es f u r b 7 b, mit einem reinen Dispersionsproblem zu tun hat und fiir b < b, das Atomelektron als frei betrachten kann. Die Bedingungen hierfiir sind dieselben, wie in 5 2. FalZ A : b > b,. Da in diesem Falle das Elektron mit merklicher Wahrscheinlichkeit nur Ubergange nach Zustanden niedriger Energie macht, also seine Geschwindigkeit stets klein bleibt gegen die Lichtgeschwindigkeit? geniigt es? an Stelle von (52) die in diesem Falle giiltige nichtrelativistische Niiherungsgleichung zur D ir a c schen Gleichung (52) zu betrachten. Bezeichnen wir wieder, wie in 0 2, rnit die Hamiltonfunktion des Atoms und vernachlassigen die im Vektorpotential quadratischen Glieder, so wird unter Reriicksichtigung von A , = A, = 0 aus (55) (56) - - 6- a* = [ H - L 2 m 0 i c ( -8a-2- A , + A i at Es spielt also der Operator W = e V - - ( ( - AeAf i , + A a (57) 2m,,ac dz --)a 82 dieselbe Rolle wie das Potential V in 5 2. Die Formel (18) yon 8 2 kann also unverandert iibernommen werden wenn man dort statt V :W setzt und wir haben uns nur zu uberlegen, was an Stelle der in (18a) auftretenden Komponenten der Kraft F, und F, an der Stelle des Atoms zu treten hat. Es ist in Analogie zur Bo hrschen relativistischen Rechnung (a. a. 0.) von Anfang an klar, daB auch (18a) unverandert iibernommen werden kann, wenn unter F, und FZdie Komponenten der elektrischen Kraft auf das Elektron verstanden werden. Wir wollen mit V,, V z 9(A&? (AJz die Ableitungen der Potentiale nach x und x innerhalb des Atoms bezeichnen, wo sie in dem hier behandelten Falle A als ortlich konstant betrachtet werden durfen. Wahrend nun die Komponente der elektrischen Feldstarke in der x-Richtung wie im nichtrelativistischen Falle gegeben ist durch (58) Ez = - Tiz, gilt fur die Komponente in der x-Richtung AnmaZen deer Physik. 5. Folge. Band 16. 1933 310 oder nach (53a), da V von t nur in der Form x abhangt : Ez=-V I - ? . .( - 2, + v t Cf) Man sieht also, dab die Beriicksichtigung des Vektorpotentials fur V E C eine wichtige Rolle spielt, da man andernfalls fur 1 die Feldstarke in der x-Richtung einen - -ma1 zu groBen 1- - 2 Wert erhielte. Um zii zeigen, dab das Vektorpotential diese Rolle auch in der Quantenmechanik beibehalt, betrachten wir den in der Formel fur die iibertragene Energie m t t auftretenden Ausdruck t Nun folgt aus den H a m i l t o n schen Gleichungen der Quantenmechanik bzw. aus der Schrodingergleichung direkt die Beziehung (62) Tfi l y o Ta Yan r = - m o i ~ w J q + , z q ~ m a r . I)a A , 8 A, von der GroBenordnung Y, aber Ton der GroBenordnung 1 1 A , (i' = Atomradius), A , I,U, ist, und in dem hier betrachteten E'alle i; b vorausgesetzt ist, diirfen die Ableitungen von A , zunachst vernachlassigt werden und es folgt aus (62) __ az << F . Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 311 oder durch partielle Integration nach t', wobei zu bedenken ist, daB fur t'= t A, verschwindet: t t Also wird aus (60), entsprechend (18a), tatsachlich c a t I t + + (n 1x1 O)FZ(t')1{(O l z l n ! W ' ) (0 I x l ~ n ) F z ( t " ) ) , wo FZ= e Ez und Fz= e Ez die durch (58) und (59) gegebene Bedeutung als Komponenten der elektrischen Kraft an der Stelle des Atoms haben. Damit ist aber gezeigt, da8 auch im relativistischen Fall fiir b > b, das Atom so bremst, mie es die entsprechenden virtuellen Oszillatoren nach der klassischen B o h r schen Theorie tun wurden. Wir konnen also das Bohrsche Eesultat iibernehmen und erhalten so analog zu A T Ain 5 2 fur die mittlere, im Falle A iibertragene Energie n Fall 3 :b < b,: Auch hier andert sich nichts Wesentliches gegeniiber den entsprechenden Dberlegungen von 5 2. Wir konnen wieder das Problem abbilden auf das der Energieubertragung an ein Wellenpaket, das zur Zeit t = 0 die Form q ( 0 ) eines Zylinders vom Radius b, und der Liinge A x hat. Bezeichnen wir mit T den Operator der kinetischen Energie in der relativistischen Quantenmechanik, so tritt an Stelle von (26) die Gleichung (66) A T = 2 j [ y * ( ~ ) T Y ( t )u-* ( O ) ~ v ( O ) l d t . Die Summe erstreckt sich @bei iiber die vier moglichen Werte der Spinvariabeln. Beim Ubergang von dem mit dern Atom ruhenden qp einem mit dem Teilchen bemegten Bezugssystem, d. h. beim Ubergang von dem Wellenpaket cp nach dem Wellenpaket x, haben wir zu beriicksichtigen, daB letzteres nunmehr wegen der Lorentzkontraktion in der x- bzw. r-Richtung im Verhaltnis l/y kontrahiert ist. Anderseits transformiert sich der Operator der kinetischen Energie von dem in einem mit dem Atom ruhenden System gultigen Ausdruck T nach einem 312 Annabn der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933 im Bezugssystem des Teilchens gultigen Ausdruck T' mittels der Formel der Lorentztransformation (67) T = y(T' - UP^'), d - den Operator cles Impulses in der 2-Richa dz A in der p e = tung im Bezugssystem des Teilchens bedeutet. also: Aus (66) wird Wegen des Erhaltungssatzes der kinetischen Energie vor und nach dem StoB, fallt, entsprechend wie in (30), der T' enthaltende Teil in (68) fort und es bleibt entsprechend (31): F u r die weitere Rechnung ist nun an Stelle der G o r d o n schen asymptotischen Formel (32) die entsprechende Formel zu verwenden, wie sie Mott') aus der Diracschen relativistischen Gleichung f u r die Streuung einer ebenen Welle an einem C o u l o m b schen Kraftzentrum hergeleitet hat. Wahrend fur die Streuung unter kleinen Winkeln, d. h. 0 fiir kleine Werte von sin f die Gordonsche Formel (32) 2 unverandert ubernommen werden kann, tritt fiir die Streuung unter gr66eren Winkeln an Stelle der Rutherfordschen Winkelabhangigkeit mit fur die gestreute Intensitat 0, sin4 2 nach Mot t 2, die Abhangigkeit 1 V2 -- 0, sin' 2 02 1 sin2 0, 2 Dies hat zur Folge, daf3 an Stelle der Energie ( A T & von 8 2, wie sie durch (44)gegeben ist, und die, wie im mathematischen Snhang I gezeigt ist, hervorgeht aus dem Integral 1) N. F. M o t t , Proc. Roy. SOC.A 124. S. 426.1929; 136.S. 429.1932. 2) A. a. 0.S. 451. Formel (6, 9). F. Block. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. hier 313 , z . sin 9.(1 - cos Ist.)di? tritt, was sich- fur kleine Winkel @, von dem Ausdruck (44) durch einen Zusatzterm - unterscheidet. 4 n ey EB m, vp NA2.- V= 2 CS Es wird also hier statt (44) Die ubrigen Rechnungen von 0 2 konnen unverandert iibernommen werden, und man erhalt fur die totale Bremsung im relativistischen Fall analog zu (51) Diese Bremsformel geht im Grenzfall sehr kleiner Werte von e E i h v in die Bethe-Mellersche, fur sehr groBe eEihv in die Bohrsche Formel (2) uber. Auch sie gilt, wie (51), unverandert fiir ein Atom mit mehreren Elektronen, wenn unter f, und to,, seine Oszillatorstarken bzw. Eigenfrequenzen verstanden werden. Zusammenfassung Die Bremsung rasch bewegter geladener Teilchen beilu Durchgang durch Materie wird berechnet fur den Fall, daS sich die Ruckwirkung des bremsenden Atoms auf das gebremste Teilchen vernachlassigen la&. Es wird so fur den relativistischen und nichtrelativistischen Fall eine Bremsformel hergeleitet, die fur mit hinreichend groBer Geschwindigkeit v bewegte Teilchen der Ladung E gilt und die die Resultate von B e t h e und M s l l e r einerseits und die von B o h r nach der klassischen Mechanik erhaltenen anderseits als Grenzfalle fur sehr kleine, bzw. sehr groBe Werte von e E l h v enthalt. 1) Wegen des Einklammerns von 2 unter dem Logarithmus vgk. die FuBnoten anf S. 288 und S. 307. Annalen der Physik. 5 . Folge. 16. 21 314 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933 Mathematiecher Anhang I. Zur Berechnung von (41) miissen wir bedenken, daB wegen der dort nuftretenden Integration uber Q, den Querschnitt des Zylinders und E, nur solche Faktoren I, und vom Radius b,, im Integral iiber fa eine Rolle spielen, deren 2- und y-Komponenten die GrijBenordnung l / b , nicht ZA iibersteigen. Anderseits haben t, und & den Betrag ko. Wir denken uns also eine Kugcl Toni Radius k, geschlagen und auf dieser eine Kalotte A B C (vgl. Fig. l), deren Radius d der Bedingung 1 --Qd<<ko bl geniigen soll. Die hierzu notwendige An1 < nahme - k, ist wegen (15) und (161 erbl fiillt. Dann liegen die Endpunkte der in (41) wesentlich vorkommenden Vektoren f, uud sicher weit innerhalb der Kalotte A B C. Den Winkel A 0 B bezeichnen wir i l mit~ ~ und ~ zerlegen nun die Integration ~ i 1. ~~ . i ~ tder~ InteFation iiber die Richtungen iiber 4 und cp in (41) in zwei Teile: u) 4 > 4,: Hier liiBt sich mit guter des gestoBenen Elektrons Niiherung (e el) = (e e,) = cos 4 setzen : also : [(e - e,)2]' + fi [(e - el)$]' - B = 4 (1- cos a)*, und es wird 2ic (1 72 1- c o s 9 sin 4 d 4 6. 2m u 2 2.n lg 2 2 Ig 1- cos 8, Rd ' da 4, ein sehr kleiner Winkel ist, so daB man setzeu darf: . .- n - In derselben Niiherung liefert die Integration iiber f,, f,, %,. 91, insgesamt einen Faktor (2 z ) ~ ,und es wird also: fi2 wie in (44)behauptet, da wegen (42) -= e'E2 ist. kOea', v2 8, 4 < 4,: Wir wollen hier statt des Vektors e in (41) den Vektor f = k,e einfiihren. I n dem hier betrachteten Winkelbereich la& sich die Kalotte A B C praktisch durch eine ebene Kreisfliiche ersetzen, so daB man in (41) nur die Projektionen &',t i , f' der Vektoren f,, &, f auf die z-y-Ebene zu variieren braucht und ihre z-Komponenten als fest vorgegeben und gleich k, betrachten kann. Ferner gilt hier angeniihert: ~ F. Bloch. Zur Bremsurtg rasch bewegter Teilchen usw. 1 -- b 1 - cos 4 = 2 sin2 2 - 2 315 f'S _ . kop und es wird also: wobei die Integration uber f' uber eine Kreisflaehe vom Radius d zu erstrecken ist (durch K angedeutet). An Stelle von €,'und €z' wollen wir nun zwei neue Vektoren %, = €,'- I' und 112, = f' f' einfuhren. Dam wird - s . e- ; (f', 81- w:) f' 2 d f' K oder durch partielle Integration nach st und %Iz: .s e - i t f r , ~ l - % )df'. K Bei der Integration uber und B2 haben wir unter das Integral den Buchstaben K gesetzt, um anzudeuten, daB wegen der angenomnahemenen GraBenordnung von d der Wertebereich von 112, und rungsweise derselbe ist, wie der von t', namlich eine Kreisscheibe vom Radius d erfiillt. I n derselben Naherung ist dann wo S die D i r a c s c h e &Funktion ist, und es wird wie in (44a) behauptet, wenn man statt %, und Sz die neue Bezeichnung f, bzw. f2 einfuhrt. 11. Wir wollen die Bezeichnung 21 * 316 Annalen der Physik. 5. Folpe. Band 16. 1933 einfuhren. Dann ist das letzte Integral von (49) gegeben durch J(0)- J!B, und bekannt, sobald J(B, fur jeden Wert seines Arguments bekannt 1st. Wegen der Integration uber Q' bezuglich R spielen in J ( 6 ) nur Werte von If, I und I & (eine Rolle, die hochstens von der GrGBenordnung l / b , sind, so dal3 wir hier bezuglich t, und €2 statt uber K ohne merklichen Fehler uber die game z - y -Ebene integrieren konnen. Wir konnen also auch schreiben: wobei die Integration hezuglich f und f' iiber den ganzen Raum nehmen ist. Sei ei(kzX+ku17+ksZ) df=li'(@,x,Y,ZJ=F(B) und hezeichnen wir ferner FC@,X , Y, 2 )= F' (@I ? so wird Do 2x x m Also mit Benutzung von r ( 2 i @ ) r ( - 2iB) = M = 2 Bsh 2 'IT B Fiibrt man die neueu dimensionslosen Tariabeh . zii F. Block. Zur Brernsuny rasch bewegter Teilchen usw. 317 ein und ferner die Bezeichnung s = *, so wird 2, E .- -w 1 + 55’ 3 -+ i @ Also wird rind mit Benutzung von 1) E, (2) ist nach Watson (The Theory of Bessel functions, Cambr. 1922; im folgenden als W. bezeichnet) S. 172 verwandt mit den Besselfunktionen vom Index Y . 2) w. 6.79. Annalen der Physik. 5 . FoZge. Band 16. 1933 318 m t Nun ist') 0 also J(fl = ~ T ' sh L 7z ca JCOS 00 2 @ t dtJ'r d r {Kz( 2 2 ch t ) + KO(22 ch t)i 7zB u E oder, wenn wir statt z: x = 2 2 ch t einfiihren Wir haben nun zu beachten, daB wegen (15) ist nnd miissen untersuchen, wie sich K%(x) und X o (2) f u r kleine Argumente verhalten. Es gilt f u r z 1$) < KO(X)=-- lg 5 2 ' 2 --. 5 K2(z)2L Da z KO(z) f u r kleine Werte von r 2seht x' rerschwindet, z KO(x)d x z f 0 diirfen wir also setzen .r KO( 2 )dx = 1 . und wegen des im Integral iiber t auftretenden Ausdruckes l / c h 4 i kommen nur Werte von c h ( t ) von der GrGBenordnung 1 in Betracht, so daB auch stets E ch t 1 ist. Dagegen wRchst z li; (z) fiir kleine Werte von x stark an und wir miissen hier ein anderes Yerfahren einschlagen. Wir setzen < 1) W. 8. 440. 2) w. s. so. 3) W. S. 385. F. Block. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 319 Das erste Integral gibt 224 (z), denn es ist I ) Zur Berechnung des zweiten durfen wir fur K9(Vx2 + 9)den f u r kleine Argnmente giiltigen Ausdruck 2 K, (V.2 f 22) N ___ x2 + 2% gebrauchen. Das sweite Integral Iiefert also und mit Benutzung von KO(2)v '2 - lg -y 2 fur z <1 9 Also wird Fiihren wir statt t eine nene Integrationsvariable so wird L: ein durcli 1 - 2v = th t cla 1 11W. S. 417. 21 W. S. 80 (7 = Euler-Mascheronische Konstante = 0 , X i ) . Annalen der Pkysik. 5 . Folge. Band 16. 2933 32.0 und 1 m WQ die logarithmische Ableitung der Gammafunktion bedeutet, denn es ist - Also wird, wenn man berucksichtigt, daB y (2) = 1 y ist , J ( @= I 2 n { R y ( 1 .t ip) l g ~ 1gZj - 11nd + J ( 0 )- J(@)= 2~ {W(1) - Rv (1 -I- i @)I wie in (50) behauptet. Die vorliegende Arbeit geht in ihrem Ursprung auf einen Aufenthalt zuriick, den mir der 0rsted-Fonds im Winter 1931/32 in Kopenhagen ermoglichte. Hrn. Prof. N. B o h r mochte ich fiir die freundliche Aufnahme in seinem Institut und f u r viele nnregende Diskussionen meinen warinsten Dank aussprechen. L e i p z i g , Institut fiir theoretische Physik der Universitat, 8. Juli 1932. (Eingegangen 25. November 1932)