Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen beim Durchgang durch

3'. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 255
Z u r B r e m s u n g r a s c h bewegter Te2chen
b e i m Durchgarzg durch Materie
yon 3.B l o c h
(Mit 1 Figur)
S 1.
Einleitung
Die Theorie der Breinsung rasch bewegter Punktladungen, d. h. die Antwort auf die Frage, wieviel Energie sie
an die Atome der bremsenden Substanz ubertragen, ist nach
der klassischen Theorie von B o h r l) gegeben worden. Unter
der Annahme, daB sich an jedem Atom ein Elektron befindet,
clas elastisch an die Ruhelage gebunden ist, findet man fiir
die mittlere Energie A T , die langs der Wegstrecke A z an die
Atome abgegeben wird,
4n e 2 E A
km v3
AT=------Ndzlg---"---,
92" v2
ZnreE
solange die Geschwindigkeit v des bewegten Teilchens klein
ist gegen die Lichtgeschwindigkeit c. 1st dagegen v vergleichbar mit c, so wird
I
Dabei ist:
e = Ladung des Elektrons,
E = Ladung des stoBenden Teilchens,
m, = Ruhmasse des Elektrons,
(3)
v = Eigenfrequenz des Elektrons im Atom,
N = Zahl der Atome pro Volumeinheit,
k = 1,123.
Die Formeln (1) und (2) gelten nach B o h r , solange man
annimmt, daB die Rahn des fliegenden Teilchens wahrend des
StoBes mit eineni Atom als geradlinig betrachtet werden darf
und daB seine Geschwindigkeit so grog ist, daB
.>q-".
m0
Man erhalt (1) und (a), indem man zunachst fu r einen bestimmten Minimalabstand b der Bahn des Teilchens von der
ursprunglichen Gleichgewichtslage des Elektrons die an das
1) N. B o h r , Phil. Mag. 85. S. 1913; 30. S. 681. 1516.
Annulen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
286
&om iibertragene Energie berechnet und dann uber alle Werte
von b = 0 bis b = co mittelt.
Das Problem der Bremsung, zunachst im Rahmen der
nichtrelativistischen Quantenmechanik, ist zuerst von G a u n t
neu aufgerollt worden, indem er die in der Bohrschen Reclinung auftretende Beschreibung des Atoms durch einen klassischen Oszillator fallen lie6 und das Atom als qantenmechanisches System behandelt. G a u n t berechnet die a n das Atom
iibertragene Energie nur fur den F a l l , da8 der Abstand b
der Bahn des Teilchens vom Atom hinreichend grog ist, und
glaubt, die Divergenz, die er durch Extrapolation des fiir
groBe Werte von h erhaltenen Wertes auf kleine b erhalt,
allgemein so beheben zu miissen, daB er als untere Grenze fiir
b den klassischen Minimalabstand e Elm,, v 2 des Teilchens voni
Btornelektron setzt. Auf diese Weise erhalt er cine im wesentlichen mit der B ohrschen Formel (1)ubereinstimmende Bremsformel. Sie ergibt sich aus (l),wenn man die dort auftretende
Frequenz v durch cine Frequenz der Gr6Wenordnung
v=
1
Ionisierungsarbeit
ersetzt. G a u n t gibt keine Begriindung fur seine klassische
Rechnungsweise bei kleinen StoBabstanden b, und wir werdeu
auch spater sehen, daB sie sich nur in einem gewissen Grenzfall rechtfertigen laBt, wahrend unter Umstanden die strenge
quantenmechanische Betrachtung wesentliche Abweichungen
vom klassischen Xesultat ergibt.
Ein im Grenzfall hoher Geschwindigkeiten konsequentes
quantenmechanisches N3,herungsverfahren 2, fiihrt B e t h e 7 auf
die von der klassischen Formel (1) wesentlich verschiedene
Brenisformel
Die
C
n
erstreckt sich hier uber alle Zustande des Atoms; vn
ist hier die der Kombination des Zustandes n niit dem Grund1) J . A . G a u n t , Proc. Cambr. Phil. SOC. 23. S. 732. 1927.
2) Auf die strenge Formulierung seiner Giiltigkeit werden wir im
folgenden auafiihrlich zu sprechen koinmen.
3) H. B e t h e , Ann d. Phys. [5] 5. S. 325. 1930.
4) Wir sehreiben hier (2), um anzudeuten, daB der Faktor 2 unter
dem Logarithmus nur dann zu stehen hat, wenn die Ablenkung des
Teilchens wahrend des ZusammenstoRes mit dem Atom vernachliissigt
werden darf. Bei a-Teilchen ist dies ohne weiteres der Fall; bei Elektronen steht wegen des sog. ,,straggling"-Effektes an Stelle von (2) ein
komplizierterer, die Dicke der durchlaufenen Schicht enthaltender, Faktor.
P. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teildien usw.
287
zustancl zugehijrige Ubergangsfrequenz , f ,L die entsprechende
Oszillatorstarke
Im Fall des harmonischen Oszillators mit der Eigenfrequenz
geht (4) uber in
2’
was sich von (1) in charakteristischer Weise durch einen Faktor
TZ
unter dem Logarithmus unterscheidet.
I; h v
Die Bethesche Rechnung stellt wesentlich die erste Naherung eines Losnngsverfahrens dar, in welchem nach Potenzen
der Ladung E des stoBenden Teilchens entwickelt wird, uncl
es ist daher von Ar -ng an klar, daB in dieser Xaherung die
Ladung E in der ormel fur die iibertragene Energie nur
als Faktor auftretGn kann, dagegen nicht etwa nach Art der
klassischen Formel (1) unter dem Logarithmus.
Indessen ist ein solches Naherungsverfahren nicht unbedenklich. F ur diejenigen StoBprozesse, bei denen die Energie
des Elektrons nach dem StoB groB ist gegen seine Bindungsenergie, kann man niimlich auch nach der B e t h e schen Theorie
das Elektron als frei betrachten, und in diesem Falle ist das
B e t b e sche Verfahren gleichbedeutend init der Anwendung
cler B ornschen Naherungsmethode 1) zur Behandlung von StoBproblemen.
B e t h e gibt als Kriteriuin fur die Anwendbarkeit der
B o r n schen Methode an, daB der Entwicklungsparameter e Elh v
klein gegen eins sei. Nun ist aber durch die Untersuchungen
von M s l l e r 2 ) und Diste13) bekannt, daB im Falle strenger
C o ulo mb scher Wechselwirkung zweier freier Teilchen die
Bornsche Methode in erster Naherung zwar das richtige,
auch nach der Gordonschen strengen Rechnung 4, folgende
Resultat liefert, in zweiter Naherung aber unabhkngig vorn
Wert e E/h v bereits divergiert. Das bedeutet freilich nicht,
daB die Bethesche Rechnung etwa in zweiter Naherung
divergieren wiirde, cla fur kleine Impulsiibertragungen an das
Atomelektron diese nicht mehr als frei betrachtet werden darf,
sondern seine Bindung an den Atomkern wesentlich wird;
vielmehr wurden infolge dieses Unistandes bei hinreichend
1) $1. B o r n , Ztschr. f. Phys. 47. S. 863. 1926; 38. S. 803. 1926.
2 ) Chr. M s l l e r , Ztschr. f. Phys. 66. S. 513. 1930.
3) F. D i s t e l , Ztschr. f. Phys. 74. S. 785. 1932.
4) W. G o r d o n , Ztschr. f. Phys. 48. S. 180. 1028.
%88
A n n u l e n der Physik. 5. F o l g e . Band 16. 1933
kleinem eElh v die hoheren Naherungen tatsachlich beliebig
klein gegenuber der ersten. Dagegen wiirde bei vorgegebenem,
wenn auch noch so kleinem e E l k v der EinfluB der hoheren
Ngherungen mit abnehmender Bindungsenergie des Elektrons
an das Atom immer grofier, so daW in diesem E'alle die
R e t h e sche Rechnung versagen wiirde.l)
Wir hielten es daher nicht fu r iiberfhssig, einen anderen
Weg zur Losung des Problems einzuschlagen.2)
Die Annahme, die der folgenden Rechnung zugrunde liegt,
ist die, daB die Impulsanderung des stoWenden Teilchens
wahrend des StoDes stets klein sei gegen seinen urspriinglichen
Impuls. Diese Annahme trifft z. B. fiir den StoB eines a-Teilchens mit den Atomelektronen natiirlich stets zu. Fiir den
StoB rasch bewegter Elektronen verbietet sie allerdings die
Behandlung derjenigen StiiBe , bei denen das stoWende Elektron eine groBe Winkelablenkung erfahrt, doch spielen diese
wegen ihrer relativen Seltenheit fiir die Bremsung eine untergeordnete Rolle. Ferner wird hier sowohl der Austausch des
stol3enden Teilchens mit den Elektronen des Atoms, wie sein
Spin vernachlassigt. Beides ist wiederum fur a-Teilchen stets
gestattet, fur hinreichend schnell bewegte Elektronen dann,
wenn man von den groBen Winkelablenkungen absieht.
I m nichtrelativistischen Fall ist yon M o t t ") gezeigt
worden, daB sich unter der obigen Annahme geringer Impulsubertragung a n das stoBende Teilchen, dessen Wirkung auf
das Atom wie in der klassischen Theorie durch die eines geradlinig und gleichfiirmig bewegten Coulombschen Xraftzentrums beschreiben la&. Wir benutzen irn folgenden wesentlich dieses Resultat und ziehen die daraus folgende Behandlungsweise des Problems (wegen ihrer grokieren Analogie z u r
klassischen Betrachtung) der B e t h e schen Rechnung im Impnlsraum vor, obwohl in einer strengen Theorie (also nicht in
tler B e t h e schen Kaherung) die beiden Behandlungsweisen
nach M ot t aquivalent sind.
1) Man iiberlegt sich an Hand der Mlnller-Distelschen Besnltate
leicht, daB die zweite Nlherung gegenuber der ersten in der Brems-
eE
f'ormel einen relativen Anteil der GrOBenordnung __ Ig - e g e b e n
hv
hv
wiirde, wo hv von der GrGBenordnung der Ionisierungsarbeit des Atoms ist.
2) Die Frage nach der Giiltigkeit der klassischen, bzw. der B e t h e schen Bremsformel fiibrte mit N i e l s B o h r zu interessanten Diskussionen,
die mich zu der vorliegenden Arbeit veranlaBt haben. Prof. B o h r wird
in einer demnachst erscheinenden Arbeit die prinzipiellen Fragen der
StoBprobleme naher beleuchten.
3) S. F. AIott, Proc. Cambr. Phil. SOC.27. S. 583. 1931.
F. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilcchen usw. 289
Wir machen im folgendem auBerdem einzig die Annahme,
daB die mittlere Geschwindigkeit des Elektrons im Atom hinreichend klein sei gegen die Geschwindigkeit des stoBenden
Teilchens. Man erhalt d a m einen geschlossenen Ausdruck
fiir die Bremsung, der fiir sehr groBe, bzw. fur sehr kleine
T e r t e von e E/h v die klassische, bz w. die B e t h e sche Bremsformel als Grenzfalle enthaIt 1) und als deren Verallgemeinerung bezeichnet werden darf.
Im relativistischen Falle steht bekanntlich eine endgiiltige
qunntentheoretische Formulierung der Wechselwirkung zweier
Teilchen noch aus, die der Forderung des Relativitatsprinzips
geniigt. Merller2) und Ro sen feld 3 ) konnten aber zeigen,
daB man unter AusschlieBung der Strahlungskrafte eine befriedigende quantentheoretische Beschreibung der Retardierung
geben kann, solange man sich auf die in den Ladungen der
beiden Teilchen linearen Glieder beschrankt. Der Ansatz
wurde von M s l l e r 4 ) und B e t h e 5 ) zur Behandlung des Problems der Bremsung verwendet, was als eine vollkommen relativistische Verallgemeinerung der friiheren unrelativistischen
Srbeit von B e t h e betrachtet werden. Dies liefert auch eine
Formel, die in derselben Weise von (2) abweicht, wie die
Bethesche Formel (4) von (1). Abgesehen davon, daB es
auch hier, wie im unrelativistischen Fall, fraglich erscheint,
ob eine solche Naherung fiir StoBprobleme statthaft ist, wird
man annehmen diirfen, daB auch in einer strengen relativistischen Theorie, solange man Strahlungswirkungen und ImpulsBnderung des stoBenden Teilchens vernachlassigt, dessen Wirkung sich durch die retardierten Potentiale einer gleichformig
bewegten Punktladung beschreiben 1BBt.
Es erschien uns interessant, zu zeigen, daB diese Annahme zu einer Bremsformel fiihrt, die von den bekannten
Schwierigkeiten der relativistischen Quantenmechanik frei ist,
obschon bei ihr nicht vorausgesetzt wird, daB die Wechselwirkung zwischen stoflendem Teilchen und Elektron schwach
sei. Sie enthalt, wie im nichtrelativistischen Fall, die B o h r sche klassische Formel (2) und die Beth e-Ms lle rs c h e Formel
als Grenzfalle.
_.
~
1) Letztere infolge einer Besonderheit des C o u 1o m b schen Kraftgesetzes, die in der B e t h e s c h e n und-Bornschen NCherungsmethode
nieht zum Ausdruck kommen kann.
2) Chr. M s l l e r , Ztsohr. f. Phys. 70. S. 786. 1931.
3) L. R o s e n f e l d , Ztschr. f. Phys. 73. S. 253. 1932.
4) C h r . M s l l e r , Ann. d. Phys. [5] 14. S. 831. 1932.
5) H. B e t h e , Ztschr. f. Phys. 76. S. 293. 1932.
290
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
S 2. Unrelativistische Bremsung
Wir betrachten ein Teilchen der Ladung E, das sich mit
der Geschwindigkeit 9 geradlinig und gleichformig in der
z-Richtung bewegt. Seine Wirkung auf den Atomkern sei zu
vernachlassigen, so daB wir uns diesen als fest im Koordinatenursprung denken konnen. Zur Vereinfachung wollen wir
ferner annehmen, daB wir pro Atom nur ein Elektron hiitten l)
und die Koordinaten des betrachteten Elektrons mit 2, y, x
bezeichnen. Das Teilchen mijge zur Zeit t = 0 die Koordinaten X = b, Y = 0, 2 = 2, b haben. Der von ihm herriihrende Teil der potentiellen Energie des Elektrons ist dann
gegeben durch
>
und fiir clas Elektron gilt die zeitabhangige Schrodingergleichung
f
2-
= [H
+ v (t)]
I
$
,Z)
WO
die Hamiltonfunktion des Atoms bedeutet. Ton dem Potential cy werde im folgenden vorausgesetzt, daB es Kugelsyinmetrie habe.
Das Atom befinde sich zur Zeit t = 0 im Grundzustand
mit der Eigenfunktion 7p = q0. Seine Energie setzen wir
durch Wahl der willkiirlichen additiven Konstanten fest z u
Eo = 0, d. h. es sol1 gelten:
(7)
~v~= 0 . 3 )
Die zur Zeit t an das Atom iibertragene Energie ist
dann gegeben durch
d T [t)= J (t)H (t) d t ,
i?
wo 7 p ( ( t ) die normierte Losung von (6) ist, die zur Zeit t = 0
die Form 71,’ = y o hat.
**
1) Diese Vereinfachung ist nicht wesentlich. Die erhaltenen Endformeln lasven sich ohne weiteres auf den Fall mehreier Elektronen
iibertragen.
2) Wir wollen im folgenden statt des P l a n c k s c h e n Wirkungsh
quantums h stets die GrijBe fi = 2- und entsprechend statt der Fre27c
quenz Y die Kreisfrequenz w = 2 n v verwenden.
3) Im Falle eines Wasserstoffatoms hatte man also fur das Poel
ea
fia
tential des Atomkernes zu setzen U = - - + -- ; a =
= Bo h r r
2a
wq, ea
scher Atomradius.
~
F. Block Zur Brenasung rasch bewegter Teilchen usw. 291
Wir wollen zunachst analog der I3 e t h e when Eechnung
eine Storungsrechnung treiben, in der nach Potenzeu des
stijrenden Potentials V entwickelt wird und nachtraglich sehen,
wie das Ergebnis in einer strengeren Eechnung durch die Besonderheiten des C o u l o m b when Kraftfeldes bestatigt wird.
)
eine formale
Zunachst bemerken wir, dab sich fur ~ ( tsofort
Reihenentwicklung nach Potenzen von V angeben la&. Sei
namlich
i €It
i I€ t
-~
i O(t)= - e ii Vjt) e
,
(9)
fi
so iiberzeugt man sich sofort, daB die Losung von (6) gegeben
ist durch
Y (4 = G tt) 7po
(10)
und daraus die iibertragene Energie wegen (7), (8) und (91,
wenn man bis zu den in V quadratischen Gliedern geht:
0
0
Wie in der klassischen Theorie von B o h r wollen wir nun
den ganzen Wertebereich des StoBabstnndes b in zwei Teile
zerlegen durch Einfiibrung einer Lange bl, deren GrBBenordnung charakterisiert ist durch den Atomradius des Grundzustandes
(13)
r = [Y,,*ry,at
und die Eigenfrequenz
w =4
t14)
1
h ’
wo El etwa die zur Anregung des ersten angeregten Zustandes notwendige Energie bedeutet. Es sol1 zunachst gelten :
7:<bl<Z.
(15)
01
Damit diese Bedingung erfiillbar ist, muB offenbar
116)
v > v o = ro,
sein, wo vo yon der GroDenordnung der mittleren Qeschwindigkeit des Elektrons im Atom ist.1) Da man annehmen darf,
1) Die Bedingung (16) ist notwendig, aber noch nicht hinreichend
fur die Giiltigkeit unserer Rechnung. Ihre notwendigen und hinreichenden Voraussetzungen sind erst erfiillt, wenn gleichzeitig die Bedingungen (16) und (21) gelten.
Anizalen der Physik. 5. FoZge. Band 16. 1933
392
-
daB im Atom kinetische und potentielle Energie von derselben
GroBenordnung sind, d. h. daR hwl vz,vOL,laRt sich statt (16)
auch schreiben :
h a), m, vz.
(16 4
Die Einschrankung von b durch (15) hat den Vorteil,
daR f ur b > b, (im folgenden a h Fall A bezeichaet) das Problem der Hremsung ein reines Dispersionsproblem wird und
daR f ur b < b, (Fall B) das Atomelektron wahrend des StoRes
als frei betrachtet werden kann. Beide Falle lassen sicli in
dieser Naherung exakt behandeln und sollen im folgenden
diskutiert werden.
Full A : b > b,: Hier variiert das Potential V innerhalb
des Atoms so wenig, da6 wir in (12) die von dem stoRenden
Teilchen herruhrende Kraft P auf das Elektron niit guter Anniiherung als raumlich konstant betrachten durfen. Wir konnen
also nach (5) setzen:
V(n:yxt) = - X F J ) - zPz(t)
(17 )
mit
<
eEb
(174
Entwickelt man nun V yo nach den Eigenfunktionen y,, des
Atoms, d. h. setzt man
n=cI
H
und ferner w y,
m
so wird aus (12):
= w,,
t
t
I
+ ( O l ~ / ~ ) F z ( t " ) ~ f ( ~ ! s / O ) E ' , ( ~+(nIzlO)P%(t')\.
')
Nan uberlegt sich leicht, daR wegen der vorausgesetzten
Kugelsymmetrie des Atomkraftfeldes die Glieder mit F , (t")F, (t')
und FZ(t")F3:(t')herausfallen. Definiert man nun die aus der
Dispersionstheorie bekannten ,,0szillatorstiirken'6 f, durch
F . Bbch. Zur Bremsung rascli bewegter Teilchen usw. 293
so -wird aus (18a)
I
I
{Fz(t”)Fm(t’) +- P, (t”)P, (t‘)).
L). h. das Atom bremst im Falle A wie eine Anzahl
klassischer Oszillatoren mit den Kreisfrequenzen w und den
relativen Anzahlen f,. Dieses Resultat ist gewissermalen selbstverstandlich, da es sich hier um ein reines Dispersionsproblem
handelt. Wir kiinnen zur Berechnung von (20) die klassischen
Resultate von B o h r ubernehmen und finden danach fur die
mittlere Energie, die fu r b > b, an die Atome iibertragen wird
*
n
Wir miissen uns noch uberlegen, unter welchen Bedingungen die hier zugrunde liegende Formel (12), die nur die
in E quadratischen Glieder enthalt, im B’alle A anwendbar
ist, d. h. mit welchem Recht die hoheren Glieder in der Entwicklung (11) des Operators G (t) vernachlassigt werden diirfen.
Man zeigt nun unschwer, daB die in der Ladung E ungeraden
Terme in der Energie stets herausfallen, und daB die mit E2s
proportionalen Glieder, d. h. die s-te Naherung in der iibertragenen Energie, im Abstand b zur ersten Naherung (20)
e E F z(8-1)
einen relativen Anteil der GroBenordnung
ftv b )
beitragen wiirden. Wie man leicht sieht, geniigt es hier, zur
Abschatzung b N -5 zu setzen und wir diirfen also die hoheren
Wl
Naherungen vernachkssigen, wenn
(
~
ist.
D. h. neben (16) haben wir noch zu fordern, daB
ist, wo vo wieder von der GroBenordnung der mittleren Geschwindigkeit des Elektrons im Atom ist.
Die gleichzeitige Giiltigkeit von (16) und (21) stellt die
notwendige und hinreichende Bedingung fur die Giiltigkeit
unscrer Rechnung dar. Man sieht also, daB sie auch fur be-
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 16. 2933
294
liebig groBe Werte von e E / h v noch giiltig bleibt, wenn nur
uo hinreichend klein ist.l)
Interessant ist es noch, speziell diejenigen StoBe zu betrachten, die zwar nach (15) ebenfalls noch zum Falle A gehoren, bei denen aber bereits b 2ist.
a1
Die wesentliche Vereinfachung, die hier wegen (15) gemacht
werden kann, ist die, daf3 die Exponentialfaktoren in (18)
samtlich gleich 1 gesetzt werden diirfen. In der Tat spielen
nach (18a) nur die tiefsten angeregten Zustancle eine Rolle,
deren Eigenfrequenz yon der GroBenordnung der in (15) auftretenden Frequenz w1 sind. dndeiseits ist nach (17a) clie
auf das Atom wirkende Kraft nur wiihrend eiiier Zeit der
b
merklich von Null verschieden ? so
GroBenordnung A t
da8 die Exponenten von (18) von der GroBenordnung
<
bw
i A t w1 ~2 . 1
werden, d. h. es wird
<
dtw, 1 .
Slso konnen in diesem Falle auch bereits in (12) die
i H t"
-~
iH1'
Operatoren e
2
und e f i gleich 1 gesetzt werden, uncl
aus (12) wird dann durch eine einfache Umformung (bei
der (7) zu beachten ist, sowie mit Benutzung von (6a) der
Urnstand, daB V und U vertauschbare Operatoren sind):
oder mit Benutzung von (17)
t
-~
~~
1) Wegen (16a) lii5t sich (21) aach in der Form u > i =
schreiben. Dann folgt aber wegen (16) erst reeht u,>
___.
fE1.9.
?,>
m0
,
1/=
1
oder
d. h. diese der Bohrschen Theorie eugrunde liegende
Annahme (vgl. § 1) ist eine notmendige Folge von (16) und (21).
F . Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 295
Dies ist genau die Energie, wie sie nach der klassischen
Nechanik a n ein ursprunglich ruhendes freies Teilchen der
Masse m, iibertragen wird, wenn wahrend des StoBes die ortliche
Veranderung der &aft 5 vernachlassigt werden kann. In der
Tat bedeutet der hier auftretencle Umstand, dab die Eigenfrequenzen des Btoms keine Rolle mehr spielen, daB das
Elektron wahrend des StoBes als frei hetrachtet werden kann.
Fall B : b < b,. Wahrend im Falle A das Bremsvermogen
des Atoms noch vollig durch das klassische Verhalten von
virtuellen Oszillatoren beschrieben wird, treten im Falle B
charakteristische, durch das TiTirkungsquanturn bedingte Unterschiede auf.
I n dem der B e t h e schen Rechnung entsprechenden Ausdruck (12) fiir die iibertragene Energie auBern sie sich darin,
daB fur diejenigen StoBe, bei denen das Teilchen sehr nahe
am Atom vorbei oder durch dieses hindurchfliegt, das Elektron
auch nach Zustanden sehr hoher Energie iibergehen kann, so
daB die in (12) auftretenden Exponentialfaktoren nicht mehr
gleich 1 gesetzt werden diirfen. Dagegen ist es naturlich auch
hier gestattet, das Atomelektron wahrend des StoBes als frei
zu betrachten, d. h. in den Exponenten den potentiellen Teil CT
in der Energie zu vernachlassigen und H zu ersetzen durch
Da sich die Eigenfunktion
vjo
einer Strecke der GroBenordnung F
andert, kann man wegen
dz
nach (13) erst innerhalb
wesentlich ver-
in (12) setzen
iH
~
e
init
t"
V (t")y o z
s y ow (t")
W (t) = e
iht
- - A
%
V(t).
Dann wird aus (12) durch eine analoge Umformung, wie im
Falle B:
t
(23a)
AT
=2 m, s y o *(
l g r a d W(t')dt')ayod t
0
296
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
Schreibt man V (t) in seiner Abhangigkeit von den Koordinaten
des Elektrons in Form einer Fourierreihe, so 1aBt sich
nach (23) W und daraus nach (23a) A T berechnen. Integriert
man dann noch iiber alle Werte von b von 0 bis b, und addiert
die so erhaltene Energie A T B zu der durch (20a) gegebenen
Energien d T A , so erKalt man das Ijethesche Resultat (4).
Die Rechnung sol1 hier nicht ausgefuhrt werden, zumal sie
lediglich als eine Kontrolle der B e t h e schen Rechnungen betrachtet werden kann, da j a nach dem in der Einleitung Gesagten die beiden Methoden aquivalent sind.
Ein qualitatives Verstandnis dafur, dafl das Auftreten
von TT in (23) an Stelle von V in (21) zur B e t h eschen Bremsformel (4)fuhrt, gewinnt man leicht, wenn man den aus (23)
folgenden Ausdruck
e E dx0 a yoaz,
V(5 -
To) a
+ (7 - yo) + (5 -
zo)2
betrachtet, in dem g, q, 5 die Relativkoordinaten von stoflendem
Teilchen und Elektron bedeuten. Er stellt niimlich im wesentlichen clas Potential des stoflenden Teilchens dar, wenn man
sich dessen Laclung nicht auf einen Punkt konzentriert,
sondern innerhalb einer Kugel mit einem Radius der GroBen-
r/"nl",
verteilt denkt. Nun gilt fur die StoBordnung d R Y
zeit t in diesem Abstand groBenordnungsmiiflig
~
also wird
Setzt man nun
und f ur 6, einen ,,effektiven Minimalabstand'l von stoBendem
Teilchen und Elektron von der GroBenordnung A R = A
mo v
ein, so erhalt man tatsaclilich den in der Betheschen Bremsformel enthaltenen charakteristischen Unterschied gegenuber
der Bohrschen Formel (1).
Die oben gegebene Diskussion des Falles A als reines
Dispersionsproblem auf Grund cler Naherungsformel (12) gibt
~
P. Block. Zur Bremsung
rasch bewegter Teilchen. usw. 297
nach dem dort Gesagten zu keinerlei Bedenken AnlaB, solange
die Bedingung (21) erfullt ist.
Dagegen ist im Falle B die Verwendung des Naherungsausdruckes (12) fur die ubertragene Energie nicht mehr ohne
weiteres statthaft, da sie, wie bei B e t h e , der Anwendung der
Bornschen Methode fur den StoB zweier freier Teilchen entsprechen wurde, die nach dem Coulombschen Gesetz aufeinander wirken. Wir wollen im folgenden die im Falle B iibertragene Energie insofern streng berechnen, als hier nach (15) die
,,StoBzeit" b/v kurz ist gegen die reziproke Eigenfrequenz llw,
des Atoms.
D a m gehen wir nochmals auf die strenge Gleichung
zuruck, die wir entsprechend dem Falle B fur den Grenzfall
sehr kurzer StoBzeiten zu losen suchen. Setzen wir nun
(24)
v (4 = sp It) Yo 7
so wird aus (6) wegen (7)
Urn der Anfangsbedingung q~(0)= yo zu geniigen, mug offenbar
aus (24) gefolgert werden, daB y ( 0 ) innerhalb des Atombereiches als konstant betrachtet werden m a . Man iiberzeugt
sich leicht, dab man wegen der Giiltigkeit der Ungleichung (15),
die bedingt, dat3 die reziproke StoBzeit v l b im Falle B stets
grot3 ist gegen die Eigenfrequenz w1 des Atoms, das Atomelektron insofern als ,,frei(' betrachtet werden darf, als man
das dritte Glied in (24) vernachliissigen kann. Die Gleichung
stellt dann namlich die Wellengleichung eines freien Elektrons
in einem zeitlich veranderlichen Potential P (t) dar.
Wir betrachten nun die Bahn des fiiegenden Teilchens
als fest vorgegeben, etwa in der x-Achse, und fragen nach der
ubertragenen Energie an alle diejenigen Atome, die sich innerhalb eines Zylinders vom Radius b, und der Lange A x befinden.
M7ir konnen so vorgehen, dat3 wir, statt iiber alle Eigenfunktionen qo innerhalb des Zylinders zu rnitteln, die Funktion y (0) so wahlen, dat3 sie innerhalb des Zylinders gleich
lx
Annalen der Physik. 5. Folge. 16.
20
Annalen deer Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
298
ist, auBerhalb verschwindet, und d a m uber alle moglichen
Eigenfunktionen yo mitteln, wie sie der Lage der Atome an
irgendeiner Stelle des Raumes entsprechen. Der Faktor l R
ist so gewahlt, daB
~v*io)Y(0)ar=SYo*Yo9"*(O)9"(O!d~,
integriert uber alle Lagen von qo im Raum
gleich der richtigen Anzahl N V der Elektronen im Zylinder
Tom Volumen V wird.
Wir finden auf diese Weise offenbar die totale Energie,
die im Falle B vom Teilchen langs der Wegstrecke Ax an die
Atome iibertragen w i d . Sie wird gegeben durch
__-
A T B = Jb0*
Yj* (4 H
vo 9" (4 - %*
9"(0)H
90
9" (0,l d r
oder wegen (7)
Der Querstrich bedeutet, dab noch iiber alle Lagen von yo im
Raum zu integrieren ist. Nun ist
und
vo* vo = 1
yo* grad vo = 0 ,
letzteres, da der mittlere Impuls des Atoms im Grundzustand
verschwindet. Also wird aus (25)
wobei von der Zeit t nur zu fordern ist, daB sie so groB sei, daR
nach ihrem Verlauf die Wirkung des Teilchens in dem betrachteten Zylinder bereits vollig zu Ende ist.
Um nun die Funktion ~ ( tzu) bestimmen, betrachten wir
das durch sie dargestellte Wellenpaket von einem Bezugssystem aus, das sich mit dem Teilchen bewegt, und dessen
Ursprung wir an die Stelle des Teilchens verlegen wollen. In
F. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 299
diesem Bezugssystem wird das Wellenpaket durch eine Funktion x(t) dargestellt, die aus y ( t ) hervorgelit mittels d'er Beziehung
x (t) = el t o cp (1)
(27)
mit
Die Funktion x (t) ist dnnn offenbar die Wellenfunktion eines
Elektrons in einem xeitlich konstanten Coulomb schen Potentialfeld e E / r , d. h. sie geniigt der aus (24b) hervorgehenden
JTellengleichung
mit der Anfangsbedingung
(29)
~ ( 0=) eikoz ~ ( 0 ) .
Setzt man y ( t ) nach (27) in (26) ein, so folgt:
Das erste ntegral in (30) verschwindet wegen des Erhaltungssatzes dei Ladung. Das zweite stellt die Veranderung der
mit tler en inetischen Energie des Wellenpaketes x wahrend
des StoBes dar. Da sowohl zur Zeit Null wie zur Zeit t das
Wellenpaket so weit von dem festen Kraftzentrum entfernt sein
soll, da6 der von letzterem herriihrende potentielle Teil der
Energie vernachlassigt werden kann, so verschwindet also auch
das zweite Integral wegen des Erhaltungssatzes der Energie.
Um das letzte Integral von (30) in ein Integral uber x(t)
allein umformen zu konnen, mug man bedenken, daB der
mittlere Impuls des Wellenpaketes y (0) sehr klein ist gegen mou,
da ja schon der mittlere Impuls von yoklein gegen m,, u vorausgesetzt wurde, die Dimensionen von ~0 aber noch grog gegen
die Atomdimensionen gewahlt sind. Also enthalt das Wellenpaket (29, praktisch nur Impulse in der x-Richtung und man
kann setzen
20 *
300
Annulen der Physik. 5. Folge. Bard 16. 1933
wobei der letzte Ansdruck den negativen mittleren Radialimpuls des Wellenpaketes x vor dem StoB bedeutet. Nun
andert aber der mittlere Radialimpuls wahrend des StoBes
lediglich sein Vorzeichen. Es ist also
und aus (30) wird schliefilich
Zur Berechnung von x(t) benutzen wir nun wieder den Umstand, daB sowohl das Wellenpaket x(O), wie das Wellenpaket ~ ( t sehr
)
weit entfernt von dem Kraftzentrum im Koordinatenursprung sind. Dies erlaubt uns namlich, fur x die
asymptotische Losung eu verwenden, die yon G o r d o n (a. a. 0.)
im Falle eines Coulombschen Potentialfeldes f u r grol3e W'erte
von r angegeben wurde.
Nach G o r d o n lautet diejenige Losung der Schrodingergleichung, die im Unendlichen die Form einer ebenen Welle
e f(tr) hat, in einem Coulombfeld:
i[(fr)
leI
+
2 kS a r 2r sine --
c
1
@f
i k r - k , , l g Z k r s i n ' ~ + z + Zo(O,d)]
+ e
og----
2 k2 a' r sin2 2
Dabei ist k der Betrag des Vektors I , Of der Winkel zwischen
der Richtung von 1 und der Beobachtungsrichtung. Fuhren
wir im Raum Polarkoordinaten r, 8, sp ein, und charakterisieren ferner den Vektor f auger durch seinen Betrag d u d
seine Winkel 9.1, yt in diesem Polarkoordinatensystem, so wird
(33) 2sin2-Or = ( l - c o s O f ) = l - ~os9.~cos9.-sin9.~cos(sp~-sp).
2
Ferner ist die in (32) auftretende Lange a' gegeben durch
(34)
wo a den Bohrschen Atomradius bedeutet.
Setzen wir mit
P. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw.
301
Benutzung der Geschwindigkeit vk der einfallenden Welle
1
k = m f i , so wird also die in (32) auftretende GroBe
fi
-ka'1 --_ae uEk '
(35)
Es erscheint zunachst sonderbar, da8 die Verwendung von
(32) im Falle B fur die Bremsung ein anderes Resultat liefern
kann, als in der klassischen Mechanik, da die durch den
letxten Summanden von (32) gegebene Kugelwelle, auf die es
fur die Bremsung allein ankommt, genau dieselbe Intensitat
hat, wie sie ein Stroni von Teilchen nach dem klassischen
Rutherfordschen Gesetz ergeben wurde. Andererseits sind
j a allfallige Abweichungen in der Bremsformel von dem klassischen Ausdruck, wie wir gesehen haben, allein durch den
Fall B bestimmt, und man wiirde daher zuaachst vollkommene
nbereinstimmung mit der klassischen Bremsformel erwarten.
Indessen hat man zu bedenken, daB wir zum Aufbau
unseres Wellenpaketes x eine Superposition von Losungen der
Form (32) brauchen, daB also nicht nur die Intensitat, sondern
auch die Phase der Kugelwelle von (32) eine wichtige Rolle
spielen kann. Wahrend nun in der klassischen Mechanik
(wo A als verschwindend klein betrachtet wird), l / k a' nach (35)
als sehr grog angenommen werden mug, also die Phase der
Kugelwelle fur groBe r gegeben ist durch
1
Qf
-lg 2 k T sin2k a'
2
,
spielt in der Quantenmechanik auch der entgegengesetzte
Grenzfall eine wichtige Rolle, in dem der durch (35) gegebene
Wert von l l k a ' sehr klein ist. Wir konnen also d a m statt
(32) mit guter Naherung setzen
(32 a)
e"(fr)
+
eikr
01
2 k2 a' r sins 2
,
wobei wir die hoheren Glieder in l./ka' sowie die unwesentliche Phasenkonstante ~d+ 2 o(0,a') in der Xugelwelle vernachlassigt haben. DaB in diesem Grenzfall die Bethesche Bremsformel erhalten w i d , liegt an dem gewissermagen zufalligen
Umstand, da8 der durch (32a) gegebene Ausdruck fur die
ges treute Welle mit demjenigen iibereinstimmt, den man nach
der B o r n schen Methode in erster Naherung erhalt. Wahrend
aber diese in hoheren Naherungen divergiert, bleibt natiirlich
der strenge Go r d o n sche Ausdruck (32) durchaus endlich und
302
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
geht in dem Grenzfall sehr groDer XTerte von k a‘ bis auf verschwindend kleine Glieder tatsachlich in (32 a) uber.
Zur Berechnung von x (t) zerlegen wir zunachst das Wellenpaket nach ebenen Wellen. Es sei
mit
(37)
Da innerhalb eines Zylinders Tom Radius b , und der Lange
A x nach (29)
x(0) = e i k o z v N
ist, und da auDerhalb des Zylinders x (0) verschwindet, kann
man auch schreiben:
wobei das Integral (durch C angedeutet) nur uber den Zylinder zu erstrecken und to ein Vektor in der 2-Richtung vom
Betrage k, ist.
Damit nun x tatsachlich eine asymptotische Losung der
Schrodingergleichung ist, die sich zur Zeit t = 0 fur negative
und dem Betrage nach sehr groDe Werte von x dem Ausdruck (36) nahert, haben wir nach (32) zu setzen:
(39)
-&-
- iam,
Z k a t {ei[(fr)+
1
ip
i
1g2krsina
r
@€
- 1 l g 2 k r sina + n + Z a ( 0 , a’)
2
”,
--\-
2 k2a‘r sinB2
Man iiberzeugt sich leicht, daD, wenn xo als sehr groR und
negativ betrachtet wird, fur t = 0 in (39) der von den Kugelwellen herriihrende Teil durch Interferenz wegfallt ; dies ist
auch deshalb klar, weil ja die Streuung erst wahrend des
Stof3es eintritt. Dieses Weginterferieren 5ndet indessen nicht
mehr statt, wenn wir t als groB und positiv betrachten, und
wir kiinnen dann aus dem von den Kugelwellen herriihrenden
Anteil von (39) nach (31) die uns interessierende Energie
A TB berechnen.
1) d t und d W stehen fur das Volumelement im f-, bzw. W-Raum.
I?. Bloch. Zur Bremsung
rasch bewegter Teilchen
usw. 303
I n der Tat liefert der erste Summand der Hlammer in
(39), wenn man (39) in (31) einsetzt, keinen Eeitrag; er stellt
namlich den unverandert iiber das Kraftzentrum hinweglaufendeii Teil des Wellenpakets x dar, und fur dieses gilt
a
a
offenbar die Operatorgleichung - - - \Vir erhalten also nach
a z - ar *
(31) und (39), wenn wir beriicksichtigen, daB
deikr
a
und asymptotisch
az
= i k eikr
2 k 2 a ' r s i n 2 -@€
2
[
i kT
1
-lg 2 k r siu*
ka'
01
2
= ikcos8
t n t 2 (0,a')
(I
1
8,
2k2ua'rsin'2
mit Benutzung von (38):
J'il
(I(
(40)
- k')r
+ 2 o ( k , a ' ) - 20 @',a')
k' k (1 - COB
e3]'
i
+
iiz "(1
ii
- --
2 mo
(k'-
k'2
)
t1
- C 0 8 e4' - 23
. (1 - cos 8)sin 7 ~ a 8 a y a r .
Hier laBt sich die Integration iiber r, k, k',Z und Z
leicht ausfuhren. Sie liefert, da k, A,z> 1 angenommen ist,
nur etwas merklich von Null verschiedenes fiir
k = k ' = k = -m0v
0
und aus (40) wird
Dabei ist
(42)
fi'
304
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
!Rl und !R2 sind Vektoren mit verschwindender z-Komponente;
die Integration uber !Rl und !R2 ist in (41) uber den Querschnitt des Zylinders zu erstrecken (durch Q angedeutet).
I, und f, sind Vektoren vom Betrage k,, e, und e, Einheitsvektoren in Richtung der Vektoren P, bzw. f, und der Vektor e
weist nach dem Punkt auf der Einheitskugel mit den Polarwinkeln 7 9 , y .
Wir werden im mathematischen Anhang I zeigen, daB
sich (41) in der Form schreiben laBt
T B = (A T B ) a
(dTB)fl
(43)
mit
2m v
4ne2EP N
lg 0
(44)
(d T B )=~ mova
Ad
und
+
Dabei ist in (44) und (44a) d eine reziproke Lange, von der
vorausgesetzt ist
1
d
k,.
b,
3,f, und fz sind in (442) Vektoren mit verschwindender
z-Komponente. Die Integration uber 93 ist wieder uber den
Querschnitt Q des Zylinders, d. h. uber eine Kreisscheibe vom
Radius b,, die Integration uber f1 und P, uber eine Kreisscheibe vom Radius d (durch K angedeutet) zu erstrecken.
Totale Bremsung: Um die im Falle A und B berechneten
Ausdriicke fur die ubertragene Energie summieren zu kiinnen,
empfiehlt es sich, die im Fall A durch (20a) gegebene Energie
in einer Form zu schreiben, die analog dem Ausdruck ( A TB)p
in (44a) gebaut ist. Dazu gehen wir nochmals auf (20) zuruck,
indem wir dort uber alle StoBabstande b > b, des stoBenden
Teilchens mitteln. Fuhren wir fur v t rind vt’ die Bezeichnung Z bzw. Z’ ein, so erhalten wir
_-(2- Z‘)
2m0
e2 Ev2
z N AZzjJaz are v
n
(45)
< <
j
WIL
.s
Q‘
w*+ Z Z ’
(8%
+ 2 2 T ‘ a (W+ Z‘
-a%.
2)*’~
Dabei ist !R die Projektion des Ortsvektors des stoBenden
Teilchens auf die x-y-Ebene; er durchlauft in dem Integral
> b, ist. Durch
(durch Q’ angedeutet) alle Werte, fur die
Differentiation der Formel
17. Bloch. Zur Bremsung rascla bewegter Teilchsn usw. 305
M3t sich (45) in der Form schreiben
(454
{
n
ei [( k,-
kz') X i ( kv - k,')
II .JmJ
Q'
€9
rz
Y f k, Z- k,'
2'1
(EY) a t dr.
Die Integration iiber Z und Z'liefert
tvo 8 die Diracsche &Funktion bedeutet und aus (45a) wird
I
2e2EB N A z
-m, v9
(2nY
dTA
wobei E, und f, die Projektionen der Vektoren f bzw. f' von
(45a) auf die z-y-Ebene sind.
Wegen der Integration iiber Q' beziiglich 8 spielen in (45)
nur Werte von ItI I und I E, I eine Rolle, die hochstens von der
GroBenordnung l / b , sind. Man begeht also keinen merklichen
Fehler, wenn mantn,wie in (43a), die Integration iiber El und f2
statt uber die ganze x-y-Ebene nur iiber eine Kreisscheibe K
1
vom Radius d - erstreckt. Wir kiinnen also statt (46) auch
bl
schreiben
>
(47)
I
I
1
2e2E2 N A z
A T A =m, vT -
(2n)B
Anderseits spielen in (44a) wegen der Integration iiber Q
beziiglich ?' R nur Werte von If, I und Ifa I eine Rolle, die min-
306
Annalen &r Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
destens voii der GroBenordnung 1l b , sind. Man begeht also
wegeu (15) keinen merklichen Fehler, wenn man
f12 durch f12 +
f,
und
Wir konnen also, da
ersetzt.
Cfn= 1 ist,
statt ( 4 4 4 auch
n
schreiben
(dWB
=
2eeE8 N A z
7
(2n)P
,i
Q
(TI
- G , a)
K
Die totale ubertragene Energie erhalt man d a m riach (43),
(44), (47) und (48) in der Form
1 AT
I
= (AT&
+ (AT,),, + AT, = 7
2e8 E 2 N A s Z f , (2alg*
n
F. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 307
Das erste und zweite Doppelintegral in (49) lassen sich
leicht zusammenfassen. Da in ihnen namlich insgesamt iiber
die game Ebene von 8 integriert wird, liefert die Integration
iiber 3 : 2 n2 d (f, - Q. Sie liefern also zusammen
2n
K
\
"
I
d
0
>
da d
ist. Das dritte Doppelintegral yon (49) liefert,
wie im mathematischen Anhang I1 bewiesen wird
(50)
27c{y(1)- R q ( 1 + ip)] (R = Realteil von),
wo y die logarithmische Ableitung der Gammafunktion ist.
Unter Benutzung von (42) erhalten wir also schlieBlich
fur die totale iibertragene Energie
Dieser Ausdruck enthalt die Bethesche Formel (4)und
die Bohrsche Bremsformel (1) als Grenzfalle fur sehr kleine
bzw. sebr groBe Werte von eElrZv.
eE
I n der Tat bleibt fur iv = 0 nur das erste Glied der
Klammer von (51), d. h. die Bethesche Formel iibrig. F u r
sehr groBe Werte von e E / h v hat man zu bedenken, daB fur
groBe Werte des Arguments x : y (2)G lg x wird. Also wird
fur groBe Werte von e E / E v
und aus (51) wird dann, wenn man bedenkt, daB
v(1)= - Y2),
n
niit
k
=
2 . e-Y = 1,123.
1) Wir haben hier wieder (2) statt 2 gesetzt, urn anzudeuten, daE
die Formel (51) nur gilt, so lange dss stoBende Teilchen abgelenkt wird,
und daE andernfalls statt (2) ein ,,straggling"-Faktor zu stehen hat.
(Vgl. die FuBnote auf S. 288).
2) g = 0,577 ist die bekannte E u l e r - M a s c h e r o n i s c h e Konstante.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
308
D. h. in diesem Falle ist das Bremsvermogen eines Atoms
dasselbe, wie das einer Reihe virtueller klassischer Oszillatoren
nach der B o h r schen Theorie.
Die Formel (51), die hier nur fur den Fall e k e s Elektrons
pro Atom hergeleitet wurde, gilt unverandert auch fur mehrere
Elektronen. Die Betrachtungen fur den Fall A gelten dam,
wenn unter den f, und w, die Oszillatorstarken bzw. Eigenfrequeuzen des ganzen Atoms verstanden werden. Im Falle B
ist jedes Elektron, wie oben, als frei zu betrachten. Man hat
dann nur, im B’alle von Z Elektronen pro Atom, zu berucksichtigen, dai3 Cf, = Z ist.
0 3. Relativietiecher Fall
F u r den Fall, daB die Geschwindigkeit des stoBenden
Teilchens vergleichbar mit der Lichtgeschwindigkeit ist, muB
man statt von (6) yon der relativistischen Gleichung von D i r a c :
(52)
1
fi
dv
- G33T
% a
={?a.
[ixq
- -A,(t)
: I
x=
O
’
e
+.,+,V(t)+tc,m,c
1
9
ausgehen. I n ihr bedeuten czl, az.,a3,,a4die beksnnten D i r a c schen vierreihigen Matrizen; U 1st die vom Atom herruhrende
potentielle Energie. Ferner seien T’ (t) das zeitlich veranderliche skalare Potential, das vom Teilchen erzeugt wird, A , (t)
die ebenfalls zeitlich veranderlichen Komponenten des von
ihm herriihrenden Vektorpotentials.
Da in einem mit dem Teilchen bewegten Bezugssystem
dessen Wirkung beschrieben wird durch das skalare Potential
-f7,
= _ ______.-_ _ _E_ _ ~ _ ~
V(Z - b y 4 y2 + 22
so folgen durch eine Lorentzformation die der nichtrelativistischen Formel (5) entsprechenden Ausdrucke:
rnit
(54)
Wie in 6 2 lassen sich auch’ hier durch einen trennenden
StoBabstand b, zwei Falle A und B unterscheiden derart, dai3
F. Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 309
man es f u r b 7 b, mit einem reinen Dispersionsproblem zu
tun hat und fiir b < b, das Atomelektron als frei betrachten
kann. Die Bedingungen hierfiir sind dieselben, wie in 5 2.
FalZ A : b > b,. Da in diesem Falle das Elektron mit
merklicher Wahrscheinlichkeit nur Ubergange nach Zustanden
niedriger Energie macht, also seine Geschwindigkeit stets
klein bleibt gegen die Lichtgeschwindigkeit? geniigt es? an
Stelle von (52) die in diesem Falle giiltige nichtrelativistische
Niiherungsgleichung zur D ir a c schen Gleichung (52)
zu betrachten.
Bezeichnen wir wieder, wie in
0 2,
rnit
die Hamiltonfunktion des Atoms und vernachlassigen die im
Vektorpotential quadratischen Glieder, so wird unter Reriicksichtigung von A , = A, = 0 aus (55)
(56) - - 6- a*
= [ H - L 2 m 0 i c ( -8a-2- A , + A
i at
Es spielt also der Operator
W = e V - - ( ( - AeAf i , + A a
(57)
2m,,ac
dz
--)a
82
dieselbe Rolle wie das Potential V in 5 2. Die Formel (18)
yon 8 2 kann also unverandert iibernommen werden wenn man
dort statt V :W setzt und wir haben uns nur zu uberlegen,
was an Stelle der in (18a) auftretenden Komponenten der
Kraft F, und F, an der Stelle des Atoms zu treten hat.
Es ist in Analogie zur Bo hrschen relativistischen Rechnung
(a. a. 0.) von Anfang an klar, daB auch (18a) unverandert iibernommen werden kann, wenn unter F, und FZdie Komponenten
der elektrischen Kraft auf das Elektron verstanden werden.
Wir wollen mit V,, V z 9(A&? (AJz die Ableitungen der
Potentiale nach x und x innerhalb des Atoms bezeichnen, wo
sie in dem hier behandelten Falle A als ortlich konstant betrachtet werden durfen. Wahrend nun die Komponente der
elektrischen Feldstarke in der x-Richtung wie im nichtrelativistischen Falle gegeben ist durch
(58)
Ez = - Tiz,
gilt fur die Komponente in der x-Richtung
AnmaZen deer Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
310
oder nach (53a), da V von t nur in der Form x
abhangt :
Ez=-V I - ? .
.(
- 2, + v t
Cf)
Man sieht also, dab die Beriicksichtigung des Vektorpotentials
fur V E C eine wichtige Rolle spielt, da man andernfalls fur
1
die Feldstarke in der x-Richtung einen - -ma1
zu groBen
1-
-
2
Wert erhielte. Um zii zeigen, dab das Vektorpotential diese
Rolle auch in der Quantenmechanik beibehalt, betrachten wir
den in der Formel fur die iibertragene Energie
m
t
t
auftretenden Ausdruck
t
Nun folgt aus den H a m i l t o n schen Gleichungen der Quantenmechanik bzw. aus der Schrodingergleichung direkt die Beziehung
(62)
Tfi l y o Ta Yan r = - m o i ~ w J q + , z q ~ m a r .
I)a A ,
8 A,
von der GroBenordnung
Y, aber Ton der GroBenordnung
1
1
A , (i' = Atomradius),
A , I,U, ist, und in dem
hier betrachteten E'alle i;
b vorausgesetzt ist, diirfen die Ableitungen von A , zunachst vernachlassigt werden und es folgt
aus (62)
__
az
<<
F . Bloch. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw. 311
oder durch partielle Integration nach t', wobei zu bedenken
ist, daB fur t'= t A, verschwindet:
t
t
Also wird aus (60), entsprechend (18a), tatsachlich
c a t
I
t
+
+
(n 1x1 O)FZ(t')1{(O l z l n ! W ' )
(0 I x l ~ n ) F z ( t " ) ) ,
wo FZ= e Ez und Fz= e Ez die durch (58) und (59) gegebene
Bedeutung als Komponenten der elektrischen Kraft an der
Stelle des Atoms haben.
Damit ist aber gezeigt, da8 auch im relativistischen Fall
fiir b > b, das Atom so bremst, mie es die entsprechenden
virtuellen Oszillatoren nach der klassischen B o h r schen Theorie
tun wurden. Wir konnen also das Bohrsche Eesultat iibernehmen und erhalten so analog zu A T Ain 5 2 fur die mittlere,
im Falle A iibertragene Energie
n
Fall 3 :b < b,: Auch hier andert sich nichts Wesentliches
gegeniiber den entsprechenden Dberlegungen von 5 2. Wir
konnen wieder das Problem abbilden auf das der Energieubertragung an ein Wellenpaket, das zur Zeit t = 0 die Form
q ( 0 ) eines Zylinders vom Radius b, und der Liinge A x hat.
Bezeichnen wir mit T den Operator der kinetischen Energie
in der relativistischen Quantenmechanik, so tritt an Stelle von
(26) die Gleichung
(66)
A T = 2 j [ y * ( ~ ) T Y ( t )u-* ( O ) ~ v ( O ) l d t .
Die Summe erstreckt sich @bei iiber die vier moglichen Werte
der Spinvariabeln. Beim Ubergang von dem mit dern Atom
ruhenden qp einem mit dem Teilchen bemegten Bezugssystem,
d. h. beim Ubergang von dem Wellenpaket cp nach dem Wellenpaket x, haben wir zu beriicksichtigen, daB letzteres nunmehr
wegen der Lorentzkontraktion in der x- bzw. r-Richtung im
Verhaltnis l/y kontrahiert ist. Anderseits transformiert sich
der Operator der kinetischen Energie von dem in einem mit
dem Atom ruhenden System gultigen Ausdruck T nach einem
312
Annabn der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
im Bezugssystem des Teilchens gultigen Ausdruck T' mittels
der Formel der Lorentztransformation
(67)
T = y(T' - UP^'),
d
- den Operator cles Impulses in der 2-Richa dz
A
in der p e =
tung im Bezugssystem des Teilchens bedeutet.
also:
Aus (66) wird
Wegen des Erhaltungssatzes der kinetischen Energie vor und
nach dem StoB, fallt, entsprechend wie in (30), der T' enthaltende Teil in (68) fort und es bleibt entsprechend (31):
F u r die weitere Rechnung ist nun an Stelle der G o r d o n schen asymptotischen Formel (32) die entsprechende Formel
zu verwenden, wie sie Mott') aus der Diracschen relativistischen Gleichung f u r die Streuung einer ebenen Welle
an einem C o u l o m b schen Kraftzentrum hergeleitet hat.
Wahrend fur die Streuung unter kleinen Winkeln, d. h.
0
fiir kleine Werte von sin f die Gordonsche Formel (32)
2
unverandert ubernommen werden kann, tritt fiir die Streuung
unter gr66eren Winkeln an Stelle der Rutherfordschen
Winkelabhangigkeit mit
fur die gestreute Intensitat
0,
sin4 2
nach Mot t 2, die Abhangigkeit
1
V2
--
0,
sin' 2
02
1
sin2
0,
2
Dies hat zur Folge, daf3 an Stelle der Energie ( A T & von 8 2,
wie sie durch (44)gegeben ist, und die, wie im mathematischen
Snhang I gezeigt ist, hervorgeht aus dem Integral
1) N. F. M o t t , Proc. Roy. SOC.A 124. S. 426.1929; 136.S. 429.1932.
2) A. a. 0.S. 451. Formel (6, 9).
F. Block. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw.
hier
313
,
z
. sin 9.(1 - cos Ist.)di?
tritt, was sich- fur kleine Winkel @, von dem Ausdruck (44)
durch einen Zusatzterm
-
unterscheidet.
4 n ey EB
m, vp
NA2.-
V=
2 CS
Es wird also hier statt (44)
Die ubrigen Rechnungen von 0 2 konnen unverandert iibernommen werden, und man erhalt fur die totale Bremsung im
relativistischen Fall analog zu (51)
Diese Bremsformel geht im Grenzfall sehr kleiner Werte
von e E i h v in die Bethe-Mellersche, fur sehr groBe eEihv
in die Bohrsche Formel (2) uber. Auch sie gilt, wie (51), unverandert fiir ein Atom mit mehreren Elektronen, wenn unter f,
und to,, seine Oszillatorstarken bzw. Eigenfrequenzen verstanden werden.
Zusammenfassung
Die Bremsung rasch bewegter geladener Teilchen beilu
Durchgang durch Materie wird berechnet fur den Fall, daS
sich die Ruckwirkung des bremsenden Atoms auf das gebremste Teilchen vernachlassigen la&.
Es wird so fur den relativistischen und nichtrelativistischen
Fall eine Bremsformel hergeleitet, die fur mit hinreichend
groBer Geschwindigkeit v bewegte Teilchen der Ladung E gilt
und die die Resultate von B e t h e und M s l l e r einerseits und
die von B o h r nach der klassischen Mechanik erhaltenen
anderseits als Grenzfalle fur sehr kleine, bzw. sehr groBe
Werte von e E l h v enthalt.
1) Wegen des Einklammerns von 2 unter dem Logarithmus vgk.
die FuBnoten anf S. 288 und S. 307.
Annalen der Physik. 5 . Folge. 16.
21
314
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 16. 1933
Mathematiecher Anhang
I. Zur Berechnung von (41) miissen wir bedenken, daB wegen der
dort nuftretenden Integration uber Q, den Querschnitt des Zylinders
und E, nur solche Faktoren I, und
vom Radius b,, im Integral iiber
fa eine Rolle spielen, deren 2- und y-Komponenten die GrijBenordnung l / b , nicht
ZA
iibersteigen. Anderseits haben t, und &
den Betrag ko.
Wir denken uns also eine Kugcl Toni
Radius k, geschlagen und auf dieser eine
Kalotte A B C (vgl. Fig. l), deren Radius d
der Bedingung
1
--Qd<<ko
bl
geniigen soll. Die hierzu notwendige An1
<
nahme - k, ist wegen (15) und (161 erbl
fiillt.
Dann liegen die Endpunkte der in
(41) wesentlich vorkommenden Vektoren f,
uud
sicher weit innerhalb der Kalotte
A B C. Den Winkel A 0 B bezeichnen wir
i l mit~ ~ und
~ zerlegen nun die Integration
~ i 1. ~~ . i ~ tder~ InteFation iiber die Richtungen iiber 4 und cp in (41) in zwei Teile:
u) 4 > 4,: Hier liiBt sich mit guter
des gestoBenen Elektrons
Niiherung (e el) = (e e,) = cos 4 setzen : also :
[(e
- e,)2]'
+
fi [(e
- el)$]'
- B = 4 (1- cos a)*,
und es wird
2ic
(1
72
1- c o s 9
sin 4 d 4
6.
2m u
2
2.n lg 2
2 Ig 1- cos 8,
Rd '
da 4, ein sehr kleiner Winkel ist, so daB man setzeu darf:
.
.-
n
-
In derselben Niiherung liefert die Integration iiber f,, f,, %,. 91,
insgesamt einen Faktor (2 z ) ~ ,und es wird also:
fi2
wie in (44)behauptet, da wegen (42) -= e'E2 ist.
kOea',
v2
8, 4 < 4,: Wir wollen hier statt des Vektors e in (41) den Vektor
f = k,e einfiihren. I n dem hier betrachteten Winkelbereich la& sich
die Kalotte A B C praktisch durch eine ebene Kreisfliiche ersetzen, so
daB man in (41) nur die Projektionen &',t i , f' der Vektoren f,, &, f
auf die z-y-Ebene zu variieren braucht und ihre z-Komponenten als fest
vorgegeben und gleich k, betrachten kann. Ferner gilt hier angeniihert:
~
F. Bloch. Zur Bremsurtg rasch bewegter Teilchen usw.
1
--
b
1
- cos 4 = 2 sin2 2 - 2
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f'S
_
.
kop
und es wird also:
wobei die Integration uber f' uber eine Kreisflaehe vom Radius d zu
erstrecken ist (durch K angedeutet).
An Stelle von €,'und €z' wollen wir nun zwei neue Vektoren
%, = €,'- I' und 112, = f' f' einfuhren. Dam wird
-
s
.
e- ; (f', 81- w:)
f' 2 d f'
K
oder durch partielle Integration nach
st und %Iz:
.s e - i t f r , ~ l - % )df'.
K
Bei der Integration uber
und B2 haben wir unter das Integral
den Buchstaben K gesetzt, um anzudeuten, daB wegen der angenomnahemenen GraBenordnung von d der Wertebereich von 112, und
rungsweise derselbe ist, wie der von t', namlich eine Kreisscheibe vom
Radius d erfiillt. I n derselben Naherung ist dann
wo S die D i r a c s c h e &Funktion ist, und es wird
wie in (44a) behauptet, wenn man statt %, und Sz die neue Bezeichnung f, bzw. f2 einfuhrt.
11. Wir wollen die Bezeichnung
21 *
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Annalen der Physik. 5. Folpe. Band 16. 1933
einfuhren.
Dann ist das letzte Integral von
(49) gegeben durch
J(0)- J!B, und bekannt, sobald J(B, fur jeden Wert seines Arguments
bekannt 1st.
Wegen der Integration uber Q' bezuglich R spielen in J ( 6 ) nur
Werte von If, I und I & (eine Rolle, die hochstens von der GrGBenordnung l / b , sind, so dal3 wir hier bezuglich t, und €2 statt uber K ohne
merklichen Fehler uber die game z - y -Ebene integrieren konnen.
Wir konnen also auch schreiben:
wobei die Integration hezuglich f und f' iiber den ganzen Raum
nehmen ist. Sei
ei(kzX+ku17+ksZ)
df=li'(@,x,Y,ZJ=F(B)
und hezeichnen wir ferner
FC@,X , Y, 2 )= F' (@I
?
so wird
Do
2x
x
m
Also mit Benutzung von
r ( 2 i @ ) r ( - 2iB) =
M
=
2 Bsh 2 'IT B
Fiibrt man die neueu dimensionslosen Tariabeh
.
zii
F. Block. Zur Brernsuny rasch bewegter Teilchen usw. 317
ein und ferner die Bezeichnung
s =
*,
so wird
2,
E
.-
-w
1
+ 55’
3
-+ i @
Also wird
rind mit Benutzung von
1) E, (2) ist nach Watson (The Theory of Bessel functions,
Cambr. 1922; im folgenden als W. bezeichnet) S. 172 verwandt mit den
Besselfunktionen vom Index Y .
2) w. 6.79.
Annalen der Physik. 5 . FoZge. Band 16. 1933
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m
t
Nun ist')
0
also
J(fl =
~
T
'
sh
L
7z
ca
JCOS
00
2 @ t dtJ'r d r {Kz( 2 2 ch t ) + KO(22 ch t)i
7zB u
E
oder, wenn wir statt z: x = 2 2 ch t einfiihren
Wir haben nun zu beachten, daB wegen (15)
ist nnd miissen untersuchen, wie sich K%(x) und X o (2) f u r kleine
Argumente verhalten. Es gilt f u r z 1$)
<
KO(X)=-- lg 5
2 '
2
--.
5
K2(z)2L
Da z KO(z) f u r kleine Werte von
r
2seht
x' rerschwindet,
z KO(x)d x z
f
0
diirfen wir also setzen
.r KO( 2 )dx = 1
.
und wegen des im Integral iiber t auftretenden Ausdruckes l / c h 4 i
kommen nur Werte von c h ( t ) von der GrGBenordnung 1 in Betracht,
so daB auch stets E ch t
1 ist.
Dagegen wRchst z li; (z) fiir kleine Werte von x stark an und wir
miissen hier ein anderes Yerfahren einschlagen. Wir setzen
<
1) W. 8. 440.
2)
w. s. so.
3) W. S. 385.
F. Block. Zur Bremsung rasch bewegter Teilchen usw.
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Das erste Integral gibt 224 (z), denn es ist I )
Zur Berechnung des zweiten durfen wir fur K9(Vx2 + 9)den f u r kleine
Argnmente giiltigen Ausdruck
2
K, (V.2 f 22) N ___
x2 + 2%
gebrauchen. Das sweite Integral Iiefert also
und mit Benutzung von KO(2)v
'2
- lg -y
2
fur z
<1 9
Also wird
Fiihren wir statt t eine nene Integrationsvariable
so wird
L:
ein durcli 1 - 2v = th t
cla
1
11W. S. 417.
21 W. S. 80 (7 = Euler-Mascheronische Konstante = 0 , X i ) .
Annalen der Pkysik. 5 . Folge. Band 16. 2933
32.0
und
1
m
WQ
die logarithmische Ableitung der Gammafunktion bedeutet, denn
es ist
-
Also wird, wenn man berucksichtigt, daB y (2) = 1 y ist ,
J ( @=
I 2 n { R y ( 1 .t ip) l g ~ 1gZj
-
11nd
+
J ( 0 )- J(@)= 2~ {W(1) - Rv (1 -I- i @)I
wie in (50) behauptet.
Die vorliegende Arbeit geht in ihrem Ursprung auf einen
Aufenthalt zuriick, den mir der 0rsted-Fonds im Winter 1931/32
in Kopenhagen ermoglichte. Hrn. Prof. N. B o h r mochte ich
fiir die freundliche Aufnahme in seinem Institut und f u r viele
nnregende Diskussionen meinen warinsten Dank aussprechen.
L e i p z i g , Institut fiir theoretische Physik der Universitat,
8. Juli 1932.
(Eingegangen 25. November 1932)