Vektorgeometrie

Vektorgeometrie
Aufgabenteile zum Argumentieren
Lösungen
1. Punkt
Aufgabe 1.1
a) Z.B. B(0|3|4), C(-2|2|3).
⎛ − 4⎞
⎛ − 6⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
b) Da AB = ⎜ 2 ⎟ und AC = ⎜ 3 ⎟ Vielfache voneinander sind, liegen A, B und C
⎜ 2 ⎟
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
auf einer Geraden g.
Diese Gerade gibt die „Blickrichtung“ des Koordinatensystems an, d.h. man
schaut längs der Geraden g auf das Koordinatensystem. Dadurch liegen alle
Punkte auf g „hintereinander“ und erscheinen im Bild als ein einziger Punkt.
Dasselbe gilt für alle Geraden, die parallel zu g sind.
Aufgabe 1.2
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
Wegen AB = BC = ⎜ − 2 ⎟ ist B der Mittelpunkt der Strecke AC.
⎜ 3 ⎟
⎝ ⎠
2. Geraden
Aufgabe 2.1
a) Wenn das Vielfache des Richtungsvektors nicht der Nullvektor ist, so wird
die Lage der Geraden dadurch nicht verändert, da jedes Vielfache (außer
dem Nullfachen) eines Richtungsvektors ebenfalls Richtungsvektor der
Geraden ist.
b) Im Allgemeinen ändert sich durch Vervielfachen des Stützvektors die Lage
der Geraden, da dadurch ein anderer Stützpunkt entsteht, der i.A. nicht auf
der Geraden liegt.
G G
G
c) Die Aussage ist richtig. Ist bei der Geraden g : x = p + r ⋅ u der Stützvektor
G
G
G
G
G G
p = a ⋅ u , so gilt für r = −a : x = a ⋅ u + (−a ) ⋅ u = o , d.h. der Ursprung liegt auf der
Geraden.
d) Die Aussage ist falsch. Geraden sind auch dann parallel, wenn die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, d.h. sie müssen nicht gleich
sein.
e) Die Aussage ist richtig. Da der Richtungsvektor derselbe bleibt, sind die
Geraden parallel.
G
G
f) Bei der Geraden g : x = r ⋅ u erhält man für r = 0 den Nullvektor, d.h. der
Ursprung liegt auf der Geraden.
Aufgabe 2.2
a) Zwei Geraden, deren Bilder im Koordinatensystem parallel (aber nicht
identisch) sind, können keinen gemeinsamen Punkt haben. Sie können
parallel oder windschief sein.
b) Zwei Geraden, deren Bilder im Koordinatensystem sich schneiden, können
weder parallel noch identisch sein. Sie können einen Schnittpunkt haben
oder windschief sein.
Wenn sich ihre Bilder senkrecht schneiden, lässt sich nichts über einen evtl.
Schnittwinkel aussagen.
c) Zwei Geraden, deren Bilder im Koordinatensystem identisch sind, liegen in
einer Ebene und können identisch oder parallel sein oder einen Schnittpunkt besitzen.
Aufgabe 2.3
g1 und g2 können keinen gemeinsamen Punkt
besitzen, d.h. sie können parallel oder
windschief sein.
X3
g1
g3
g2
g1 und g3 können weder parallel noch identisch
sein, d.h. sie können windschief sein oder
einen Schnittpunkt besitzen.
X2
X1
Aufgabe 2.4
a) Bei einer Geraden mit genau einem Spurpunkt
können alle drei Spurpunkte zusammenfallen, d.h. die Gerade geht
durch den Ursprung;
können zwei Spurpunkte zusammenfallen und der dritte existiert nicht,
d.h. die Gerade schneidet eine Koordinatenachse senkrecht;
können zwei Spurpunkte nicht existieren, d.h. die Gerade ist parallel zu
zwei Koordinatenebenen, also parallel zu einer Koordinatenachse.
b) Bei einer Geraden mit genau zwei Spurpunkten
können alle drei Spurpunkte zusammenfallen, d.h. die Gerade geht
durch den Ursprung;
können zwei Spurpunkte zusammenfallen und der dritte existiert nicht,
d.h. Die Gerade schneidet eine Koordinatenachse senkrecht;
können zwei Spurpunkte nicht existieren, d.h. die Gerade ist parallel zu
zwei Koordinatenebenen, also parallel zu einer Koordinatenachse.
Aufgabe 2.5
Der Ursprung ist der Schnittpunkt mit allen drei Koordinatenebenen. Es gibt
also keinen weiteren Spurpunkt.
Es gibt keine Geraden, die keine Spurpunkte haben, da es keine Gerade gibt,
die zu allen drei Koordinatenebenen parallel ist.
Aufgabe 2.6
a) Wenn g2 parallel zu g1 und g3 ist, so ist ihr Richtungsvektor Vielfaches der
Richtungsvektoren von g1 und g3. Damit sind auch die Richtungsvektoren
von g1 und g3 Vielfache voneinander, d.h. g1 und g3 sind parallel zueinander.
b) Die Aussage ist falsch. b) Die Aussage ist
g1
g3
falsch. Liegen g1, g2 und g3 z.B. in einer Ebene,
so sind g1 und g3 parallel.
g2
3. Flächen (Dreieck, Viereck)
Aufgabe 3.1
Nehmen Sie Stellung zu folgenden Aussagen.
a) Die Aussage ist falsch. Da die Längenverzerrungen in verschiedenen
Richtungen verschieden groß sind, muss das Quadrat nicht als Raute
erscheinen. Gegenbeispiel: Einheitsquadrat in der x1x2-Ebene.
b) Die Aussage ist richtig. Parallele Seiten erscheinen auch im Schrägbild
parallel. Es könnte jedoch sein, dass das Quadrat als Strecke erscheint.
c) Die Aussage ist falsch. Winkel werden i.A. verzerrt. Bsp.: Rechter Winkel
zwischen x1- und x2-Achse.
d) Die Aussage ist falsch. Da die Längenverzerrungen in verschiedenen Richtungen verschieden groß sind, können alle drei Seiten im Koordinatensystem verschieden lang erscheinen.
Aufgabe 3.2
Durch „Anhängen“ des Verbindungsvektors
von zwei der Eckpunkte an den dritten erhält
man den gesuchten Punkt D. Hierfür gibt es 6
Möglichkeiten, von denen je zwei zum selben
Punkt D führen. Es gibt also drei
verschiedene Punkte D, so dass ABCD ein
Parallelogramm ist.
D2
C
A
D1
B
D3
Aufgabe 3.3
Durch Verdoppeln der Koordinaten der Punkte verdoppeln sich auch die
Koordinaten der Verbindungsvektoren und damit ihre Länge. Die Seitenlänge
des Quadrats wird dadurch also doppelt so groß, die Fläche viermal so groß.