Verteilungsfunktionen - Fakultät für Physik und Astronomie

Verteilungsfunktionen
Wie sind zufällige Fehler verteilt ?
Fehler = Messwerte
Wie sind Messwerte verteilt ?
Verteilungsfunktionen:
Maxwell-Boltzmann
Fermi-Dirac
Bose-Einstein
Plancksche Verteilung
Frage ist stets, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Teilchen (Gasmolekül, Elektron, Photon etc.)
eine bestimmte Energie, Geschwindigkeit usw. besitzt
03.12.2001
Vorlesung 5
1
Verteilungsfunktionen
Wahrscheinlichkeit
(Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten)
Binomial-Verteilung
Normal (Gauß)-Verteilung
Poisson-Verteilung
03.12.2001
Vorlesung 5
2
Begriff der Wahrscheinlichkeit
Beispiele:
Kubischer Würfel (6 Oberflächen)
{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Würfeln mit einem Würfel
{Ω } ist eine Menge möglicher Versuchsergebnisse, die mit Ω bezeichnet wird.
Sie dient als Ausgangspunkt für die mathematische Erfassung zufälliger Ereignisse.
Die Elemente der möglichen Versuchsausgänge werden als Elementarereignisse
bezeichnet.
Werden die Elemente einzeln aufgeführt, schreibt man
Ω 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Es können auch Teilmengen A1 oder A2 interessant sein:
z. B. alle geraden Zahlen: A1 = {2, 4, 6}
oder alle Zahlen kleiner als 4: A2 = {1, 2, 3}
03.12.2001
Vorlesung 5
3
Begriff der Wahrscheinlichkeit
Würfeln mit zwei Würfeln
Die möglichen Versuchsergebnisse werden durch Paare symbolisiert,
die aus den Zahlen 1 bis 6 gebildet werden.
Ω2 = (1,1), (1,2), (1,3),...., (6,6)
Reihenfolge, falls notwendig, beachten.
Falls Reihenfolge nicht notwendig: [1,1],
Hier ist Vorsicht geboten, denn
[1,1] kommt einmal vor, während
[1,2] zweimal vorkommt (1,2) und (2,1)
03.12.2001
Vorlesung 5
4
Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace
Die Wahrscheinlichkeit eines Einzelereignisses ist der Quotient der günstigen Fälle
zur Zahl der möglichen Fälle.
W (E ) =
=
Z (E )
Z (Ω )
Anzahl der für E günstigen Ereignisse
Anzahl der möglichen, gleich − wahrscheinlichen Elementarereignisse
Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses ist 1
Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0
0≤W≤1
Je näher an 1, desto wahrscheinlicher ist ein Ereignis.
Im täglichen Leben wird die Wahrscheinlichkeit oft in % angegeben.
03.12.2001
Vorlesung 5
5
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, eine "6" zu würfeln: 1/6
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A1 = 2, 4, 6 ?
Das Ereignis A1 lässt sich zerlegen
in die Elementarereignisse E2, E4 und E6
Es gilt für die Wahrscheinlichkeit von A1
W(A1) = W(E2) + W(E4) + W(E6)
= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2
Obige Addition von Wahrscheinlichkeiten ist nur dann korrekt,
wenn die Ereignisse Ei einander ausschließen.
Einander ausschließen heißt, man kann entweder eine 2 eine 4 oder eine 6 würfeln.
Es gibt auch Ereignisse, die sich nicht ausschließen.
03.12.2001
Vorlesung 5
6
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Es seien A und B Teilmengen von Ω
Der Durchschnitt von A und B:
Die Menge der Elemente ω von Ω, die gleichzeitig zu A und
A∩B
zu B gehören,
heißt Durchschnitt:
A
B
A ∩ B oder AB
Die Vereinigung von A und B:
A ∪ B
Die Menge der Elemente ω von Ω, die zu A oder zu B
gehören, heißt Vereinigung.
Ein Element kann auch zu beiden gehören
(Oder ist nicht zu verwechseln mit entweder oder)
A∪B
03.12.2001
Vorlesung 5
7
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Sind A und B sich gegenseitig ausschließende Ereignisse
Also W (AB) = W (A ∩ B ) = 0 ,
dann ist die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung von A und B:
W (A ∪ B) = W (A) + W (B)
Da man bei einem Würfel nicht gleichzeitig eine "2" und eine "3" würfeln kann,
ist die Wahrscheinlichkeit eine "2" oder eine "3" zu Würfeln gleich
der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse, also
1/6 + 1/6 = 1/3
Allgemein gilt:
Die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung zweier Einzelereignisse ist
W (A ∪ B) = W (A) + W (B) - W (A ∩ B)
W (A ∩ B) = W (A) * W (B)
03.12.2001
Vorlesung 5
8
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Allgemein gilt:
Die Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung zweier Einzelereignisse ist
W (A ∪ B) = W (A) + W (B) - W (A ∩ B)
W (A ∩ B) = W (A) * W (B)
Beispiel : Kartenspiel mit 52 Karten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Dame oder ein Herz zu ziehen ?
52 Karten haben vier Damen und 13 Herz, davon ist eine Karte "Herz-Dame"
03.12.2001
Vorlesung 5
9
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel : Kartenspiel mit 52 Karten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Dame oder ein Herz zu ziehen ?
52 Karten haben vier Damen und 13 Herz, davon ist eine Karte "Herz-Dame"
W (A ∪ B) = W (A) + W (B) - W (A ∩ B)
W (A ∩ B) = W (A) * W (B)
52
13
W (A ∪ B) = 13/52 + 4/52 – (13/52*4/52)
4
W (A ∪ B) = 13/52 + 4/52 -1/52 = 16/52
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Vorlesung 5
10
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel: Kugeln aus Urne
Urnenmodell: Wichtig bei Qualitätssicherung und Eingangskontrolle
Eine Urne enthält 5 Kugeln, drei davon sind weiß zwei sind schwarz.
Es werden zwei Kugeln zufällig herausgegriffen.
indem man beide Kugeln zugleich herausnimmt
(Ziehen ohne Zurücklegen)
indem man zunächst eine Kugel herausnimmt, zurücklegt und noch mal zieht
(Ziehen mit Zurücklegen)
Die Kugeln seien nummeriert
Weiß = {1, 2, 3 } und Schwarz = {4, 5 }
03.12.2001
Vorlesung 5
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Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Ziehen mit Zurücklegen
Auf Reihenfolge achten
Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt ?
Man hat 5 Möglichkeiten für die erste Kugel:
(1, ..), (2, ..), (3, ..), (4, ..), (5, ..)
Für jede dieser 5 Möglichkeiten gibt es 5 Möglichkeiten für die zweite Kugel
5 * 5 = 25
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwei weiße Kugeln zu ziehen ?
03.12.2001
Vorlesung 5
12
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwei weiße Kugeln zu ziehen ?
Lösungswege:
Stumpfsinniges Hinschreiben
(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)
Dies sind neun Möglichkeiten also:
W ("zweimal weiß") = 9/25 = 0.36
Kombinatorik
Man hat für die erste Kugel 3 günstige Möglichkeiten.
Für jede dieser drei Möglichkeiten gibt es beim zweiten Zug wiederum 3 günstige Möglichkeiten,
also 3*3 = 9
03.12.2001
Vorlesung 5
13
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Ziehen ohne Zurücklegen
hier ist die Reihenfolge ohne Bedeutung
Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt ?
Man hat insgesamt zehn Möglichkeiten :
[1,2], [1,3], [1,4], [1,5], [2,3], [2,4], [2,5], [3,4], [3,5], [4,5],
davon sind 3 Ereignisse „zwei weiße Kugeln“
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwei weiße Kugeln zu ziehen ?
W ("zweimal weiß") = 3/10 = 0.30
03.12.2001
Vorlesung 5
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KOMBINATORIK
In diesen Beispielen sind die Elementarereignisse noch abzählbar.
Suche nach mathematischen Hilfsmitteln zur allgemeinen Behandlung
Annahme:
Wir haben vier Bücher in einer Kiste.
Wir greifen zufällig ein Buch aus der Kiste und stellen es auf ein Regal.
Wir greifen das nächste Buch, stellen es daneben und sofort
Wie viele verschiedene Reihenfolgen (Permutationen) gibt es ?
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Vorlesung 5
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KOMBINATORIK
Bezeichnung der Bücher mit A, B, C und D.
Ausprobieren ist langwierig und umständlich (A,C,B,D)...(D,A,C,B).
Beim ersten Griff in die Kiste haben wir vier Möglichkeiten.
Auf dem Regal steht das Buch A, B, C oder D.
Beim zweiten Griff in die Kiste haben wir drei Möglichkeiten.
Beim dritten zwei und beim vierten nur noch eine
Es gibt somit insgesamt 4*3*2*1 = 24 Reihenfolgen
Bezeichnung n! (n - Fakultät)
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Vorlesung 5
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KOMBINATORIK
Bezeichnung n! (n - Fakultät)
Wobei gilt :
n! = (n-1)! n
und 0 ! = 1
Weiteres Beispiel: 5 Bücher auf 3 Plätze
Für den ersten Platz haben wir fünf Möglichkeiten, für den zweiten
Platz vier und für den letzten Platz drei.
Dies bedeutet, es gibt 5*4*3 = 60 mögliche Permutationen
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
5!
=
2 ⋅1
(5 − 3) !
03.12.2001
Vorlesung 5
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KOMBINATORIK
n
r
Allgemeine Schreibweise
P
n!
=
(n − r)!
Auf den drei Plätzen gibt es mehrere Möglichkeiten die drei Bücher
(z.B. C, E und A) anzuordnen.
Wie wir wissen genau wie viele
3! = 6,
(CEA, CAE, EAC, ECA, ACE, AEC)
Wenn uns die Reihenfolge egal ist, wir lediglich daran interessiert sind, wie viele
unterschiedliche Kombinationen verschiedener Bücher es gibt,
müssen wir die Zahl der Permutationen durch r ! dividieren.
n
C
r
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 n
n!
=
=  
(n − r )! r!  r 
Vorlesung 5
18
Binomischer Satz:
n
C
r
 n
n!
=
=  
(n − r )! r!  r 
Das Klammersymbol (gesprochen n über r)
heißt auch Binomialkoeffizient.
Es sei der Ausdruck (a + b)n auszurechnen.
Es gibt n Faktoren (a + b)
[(a+b) (a+b) (a+b)..................(a+b) (a+b)]
Wir haben die Aufgabe, aus jedem dieser n Faktoren entweder a oder b auszuwählen
und diese n Glieder miteinander zu multiplizieren und die Ergebnisse aufzuaddieren
Wir können aus jedem Faktor das a herausziehen, was an ergibt.
Dann kann man aus (n-1) Faktoren das a herausziehen und aus dem
verbleibendem das b auswählen. Dies ergibt an-1 b1.
Wir erhalten Glieder der Form an-r br.
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Vorlesung 5
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Binomischer Satz:
Bis auf a0 bn und an b0 kommen alle Glieder mehrfach vor.
Das Glied an-r br kommt so oft vor, wie es möglich ist,
aus den vorhandenen n Faktoren diejenigen r Faktoren auszuwählen,
aus denen man das b zur Multiplikation heranzieht.
Da die Reihenfolge egal ist, ist dies auf
(a + b )
n
verschiedene Arten möglich
 n 0 n
 n  n −1 1  n  n − 2 2
 n n 0
=   a b +   a b +   a b + ........ +   a b
 n
 2
1
 0
(a+b )
n
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n
 
r
 n  n-r r
= ∑   a b
r =0 r
n
Vorlesung 5
20
Rechenregeln
n
n!
  =
= 1
0
−
(n
0)!
0!
 
n
 n 
  = 

r
n − r
n
n!
  =
= 1
(n − n)! n!
n
n  n 
 n + 1
  + 
 = 

r
r
1
r
1
+
+
  



 n + 1
n  n 

 = 
  + 
 r +1
 r   r + 1
n!
n!
=
+
(n − r )! r! (r + 1)! (n − r − 1)!
n! (r + 1)
n! (n - r)
=
+
(n − r )! r!(r + 1) (r + 1)! (n − r − 1)!(n - r)
n! (r + 1)
n! (n - r)
=
+
(n − r )!(r + 1)! (r + 1)! (n - r)!
n! (r + 1) + n! (n - r)
=
(n − r )! (r + 1)!
n! r + n! + n! n - n!r
=
(n − r )!(r + 1)!
=
03.12.2001
n! + n! n
n! (n+ 1)
=
=
(n − r )!(r + 1)! (n − r )!(r + 1)!
Vorlesung 5
 n + 1
(n+ 1)!

= 
(n − r )!(r + 1)!  r + 1 
21
Anwendungen
Beispiel:
Urne mit zehn Kugeln
4 sind weiß, sechs sind schwarz
weiß hat die Ziffern 1 bis 4
schwarz die Ziffern 5 bis 10
a) ohne Zurücklegen
b) mit Zurücklegen
Uns interessieren folgende Wahrscheinlichkeiten:
Eo : man erhält drei weiße Kugeln
E1 : man erhält zwei weiße Kugeln und eine schwarze Kugel
E2 : man erhält eine weiße Kugel und zwei schwarze Kugeln
E3 : man erhält drei schwarze Kugeln
03.12.2001
Vorlesung 5
22
Anwendungen
a ) Ziehen ohne Zurücklegen
Reihenfolge ist egal (Kombinationen nicht Permutationen)
Diskussion für W(Eo)
 10

 3
(Drei weiße Kugeln)
 10 ⋅ 9 ⋅ 8
 =
= 120
 1⋅2 ⋅3
4
  = 4
3
somit ist W (Eo) = 4/120 = 0.033
03.12.2001
Vorlesung 5
23
Anwendungen
a ) Ziehen ohne Zurücklegen
Reihenfolge ist egal (Kombinationen nicht Permutationen)
Diskussion für W(E1)
Es gibt
 4
 
 2
(zwei weiße, eine schwarze Kugel)
Möglichkeiten, die ersten beiden Stellen zu besetzen.
Für jede dieser Möglichkeiten gibt es
 6
 
 1
Möglichkeiten den dritten Platz zu besetzen
Die Anzahl der elementaren Ereignisse ist somit
 4
 
 2
 6
 
 1
= 36
somit ist W (E1) = 36/120 = 0.030
03.12.2001
Vorlesung 5
24
Anwendungen
a ) Ziehen ohne Zurücklegen
W ( Eo )
 4  6
   
3 0
4
= 0.033
=    =
120
10 
 
3
W (E1 )
 4  6
   
2 1
36
= 0.300
=    =
120
10 
 
3
W ( E2 )
 4  6
   
1 2
60
= 0.500
=    =
120
10 
 
3
W (E3 )
 4  6
   
0 3
20
= 0.167
=    =
120
10 
 
3
Zusammenfassung
W(E0) + W(E1) + W(E2) + W(E3) = 1
03.12.2001
Vorlesung 5
25
Anwendungen
Beispiel:
Urne mit zehn Kugeln
4 sind weiß, sechs sind schwarz
weiß hat die Ziffern 1 bis 4
schwarz die Ziffern 5 bis 10
a) ohne Zurücklegen
b) mit Zurücklegen
Uns interessieren wiederum folgende Wahrscheinlichkeiten:
Eo : man erhält drei weiße Kugeln
E1 : man erhält zwei weiße Kugeln und eine schwarze Kugel
E2 : man erhält eine weiße Kugel und zwei schwarze Kugeln
E3 : man erhält drei schwarze Kugeln
03.12.2001
Vorlesung 5
26
Anwendungen
a ) Ziehen mit Zurücklegen
Reihenfolge ist wichtig [Hier werden geordnete Tripel gesucht (i1,i2,i3)]
Diskussion für W(Eo)
(Drei weiße Kugeln)
Die Gesamtzahl der Ereignisse ist : 103
Wie viele Möglichkeiten für weiße Kugeln gibt es?
4*4*4 = 64
somit ist W (Eo) = 64/1000 = 0.064
03.12.2001
Vorlesung 5
27
Anwendungen
a ) Ziehen mit Zurücklegen
Reihenfolge ist wichtig [Hier werden geordnete Tripel gesucht (i1,i2,i3)]
Diskussion für W(E1)
(Zwei weiße Kugeln, eine schwarze)
Die Gesamtzahl der Ereignisse ist : 103
Irgendwelche zwei der drei Plätze werden mit Zahlen zwischen1 und 4 besetzt (Weiß).
Der restliche dritte Platz wird mit einer Nummer zwischen 5 und 10 besetzt (Schwarz)
 3
Dies ist auf  2  Arten möglich :
 
03.12.2001
Vorlesung 5
w, w, s
w, s, w
s, w, w
28
Anwendungen
a ) Ziehen mit Zurücklegen
Diskussion für W(E1)
(Zwei weiße Kugeln, eine schwarze)
Wir zählen zunächst alle Elementarereignisse,
bei denen die ersten beiden Plätze mit weißen Kugeln besetzt werden,
der dritte mit einer schwarzen Kugel
Anzahl ist 4*4*6,
(w, w, s)
besser
42*61
Wir können die zwei Plätze für weiße Kugeln aus insgesamt drei möglichen Plätzen
auf verschiedene Arten auswählen
Also haben wir für E1 genau
 3
  * 42 * 61
 2
Möglichkeiten (288)
W(E1) = 288/1000 = 0.29
03.12.2001
Vorlesung 5
29
Anwendungen
a ) Ziehen mit Zurücklegen
W (Eo )
Zusammenfassung
W (E1 )
W (E2 )
W (E3 )
 3 3 0
  ⋅ 4 ⋅ 6
3
64
=
= 0.06
=   3
10
1000
 3 2 1
  ⋅ 4 ⋅ 6
2
288
=
= 0.29
=   3
10
1000
 3 1 2
  ⋅ 4 ⋅ 6
1
432
=
= 0.43
=   3
10
1000
 3 0 3
  ⋅ 4 ⋅ 6
0
216
=
= 0.22
=   3
10
1000
W(E0) + W(E1) + W(E2) + W(E3) = 1
03.12.2001
Vorlesung 5
30
Allgemeine Formulierung:
Eine Urne enthalte N Kugeln, unter denen sich genau M schwarze Kugeln
befinden (0 ≤ M ≤ N).
Aus dieser Urne werden n Kugeln (0 ≤n ≤N) zufällig herausgezogen,
und zwar
a) ohne Zurücklegen (α ist die Anzahl der herausgegriffenen schwarzen)
b) mit Zurücklegen (β ist die Anzahl der herausgegriffenen schwarzen)
Die Wahrscheinlichkeit:
a) ohne Zurücklegen
W (α = m )
03.12.2001
b) mit Zurücklegen
M  N − M 
  ⋅ 

−
m
n
m

=   
N
 
n
W (β = m )
Vorlesung 5
n
n−m
  ⋅ M m ⋅ (N −M )
m
=  
Nn
31
Die Binomialverteilung
b) mit Zurücklegen
W (β = m )
n
n−m
  ⋅ M m ⋅ ( N −M )
n−m
m
n
m


(
)
M
N
M
⋅
−
=  
=   ⋅
n
m
n
−m
N
 m N ⋅ N ⋅ N
m
n M   M 
=   ⋅   ⋅ 1− 
 m  N   N 
n m
n−m
=   ⋅ p ⋅ (1− p ) ,
 m
n−m
wobei p =
M
N
Man sieht, dass die Wahrscheinlichkeit unter n gezogenen Kugeln,
genau m schwarze zu finden, nur vom Anteil der schwarzen Kugeln in der Urne
abhängt und nicht von N oder M selbst abhängt.
03.12.2001
Vorlesung 5
32
Die Binomialverteilung
W (β = m )
n m
n−m
=   ⋅ p ⋅ (1− p ) ,
 m
wobei p =
M
N
Man sieht, dass die Wahrscheinlichkeit unter n gezogenen Kugeln,
genau m schwarze zu finden, nur vom Anteil der schwarzen Kugeln in der Urne abhängt
und nicht von N oder M selbst abhängt.
Dieser Anteil p kann natürlich selbst wieder als Wahrscheinlichkeit aufgefasst
werden, bei einmaligen Ziehen eine schwarze Kugel zu erhalten
03.12.2001
Vorlesung 5
33
Die Binomialverteilung
W (β = m )
n m
n−m
=   ⋅ p ⋅ (1− p )
 m
Beispiel: Münzwurf
Wir werfen zwanzig Mal (n = 20) eine Münze und fragen,
wie oft erhalte ich das Ergebnis Zahl ?
Die Wahrscheinlichkeit für das Einzelereignis Zahl ist p = 1/2
Die Binomialverteilung gibt Auskunft über Fragen nach
der Wahrscheinlichkeit bei zwanzig Würfen
vier Mal (m = 4) das Ergebnis Zahl zu erhalten
03.12.2001
Vorlesung 5
34
Die Binomialverteilung
W (β = m )
n
n−m
=   ⋅ p m ⋅ (1− p )
 m
n = 20
p = 1/2
Verteilung ist diskret
Verteilung ist symmetrisch
03.12.2001
Vorlesung 5
35
Die Binomialverteilung
n = 20
n = 20
p = 0.85
p = 0.15
n = 20
Je größer die Abweichung von
p = 0.02
p = 0.5, desto unsymmetrischer
wird die Verteilung
03.12.2001
Vorlesung 5
36
Die Binomialverteilung
W (m )
n m
n−m
=   ⋅ p ⋅ (1− p )
 m
Die Binomialverteilung hat zwei Parameter (n und p).
Sie ist für p=1/2 symmetrisch.
Für kleine und große p ist sie stark asymmetrisch.
Die Binomialverteilung ist normiert, d.h. die Summe der W(m) ist 1
Wie groß ist der Mittelwert (Erwartungswert)?
03.12.2001
Vorlesung 5
37
Die Binomialverteilung
Wie groß ist der Mittelwert (Erwartungswert)?
g =
∑ g ( x ) ⋅ P( x )
∑ P(x )
i
i
oder bei kontinuierlichen Verteilungen
i
g =
∫ g (x )⋅ P(x )⋅ dx
∫ P(x )⋅ dx
Bei der Definition des Mittelwertes und der Varianz
(siehe vorangegangene Vorlesungen) haben wir nichts anderes getan,
als den Erwartungswert von x und (x - M)2 berechnet.
03.12.2001
Vorlesung 5
38
Mittelwert der Binomialverteilung
M =
n
∑
m =0
m ⋅ W (m ) =
n
∑m⋅
m =0
n!
n−m
⋅ p m ⋅ (1 − p )
(n − m )! ⋅ m !
Der Summand mit m = 0 ist Null,
daher Summationsgrenze m = 0 durch m = 1 ersetzten
es gilt :
Damit erhält man:
03.12.2001
m
1
=
(m − 1) !
m!
n
n!
n−m
M = ∑
p m (1 − p )
m=1 (n − m )! (m − 1)!
Vorlesung 5
39
Mittelwert der Binomialverteilung
n
n!
n −m
M = ∑
p m (1 − p )
m=1 (n − m )! (m − 1)!
Herausziehen von n p
(n − 1)!
m =1 (m − 1)!(n − m )!
n
M = n p∑
p m (1 − p )
n−m
Substitution von a = m-1 und b = n-1 ergibt:
M = n⋅ p
b
b!
n−m
a
(
)
p
1
−
p
∑
a = 0 (b − a )! a!
1
4444
4244444
3
=1
Damit ist der Mittelwert einer Binomialverteilung
03.12.2001
Vorlesung 5
M = np
40
Varianz einer Binomialverteilung
Die Varianz ist der Erwartungswert von (m-M)2
n
σ
2
n!
n−m
= ∑ (m − M )
p m (1 − p )
m!(n − m )!
m=0
2
Hier ist benutzt, dass folgendes gilt:
σ2 =
2
(
)
x
−
M
⋅ p(x )
∑
x
σ
2
=
n
∑ m2
m=0
=
2
2
(
)
x
⋅
p
x
−
M
∑
x
n!
n−m
p m (1 − p ) − M 2
m!(n − m )!
m2 lässt sich schreiben als (m (m - 1) + m)
03.12.2001
Vorlesung 5
41
Varianz einer Binomialverteilung
m2 lässt sich schreiben als (m (m - 1) + m)
σ
n


 n
n−m 
n!
+ ∑ m
p m (1 − p ) 
 m =0 m! (n − m )!

1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3




M
− M2
Für m=0 und m=1 sind die
Summanden Null;
Summation beginnt mit m=2
n−m
n
σ2
n−m
n!
= ∑ m (m − 1)
p m (1 − p )
m!(n − m )!
m =0
2
n!
= ∑ m(m − 1)
p m (1 − p )
m! (n − m )!
m=2
+ M − M2
(n − 2)!
n−2−m+2
m−2
(
)
1
−
p
p
∑
m = 2 (m − 2 )! (n − 2 − m + 2 )!
n
= n (n − 1) p
2
= n (n − 1) p
2
+ M − M2
b
b!
b
2
a
(
)
p
1
−
p
+
M
−
M
∑
a = 0 a ! (b − a )!
1
4444244443
1
03.12.2001
Vorlesung 5
42
Varianz einer Binomialverteilung
σ 2 = n (n − 1) p 2 + M − M 2
Da M = np,
σ 2 = n 2 p 2 − np 2 + np − n 2 p 2
Die Varianz der Binomialverteilung ist somit
σ 2 = n p (1 − p )
03.12.2001
Vorlesung 5
43
Zusammenhang der Verteilungen
PoissonVerteilung
Bernoulli- Verteilung
diskret
Parameter: n=1, p
Binomial-Verteilung
n ! ∞
p ! 0
diskret
Parameter µ = σ2
diskret
Parameter: n, p
P(x)
Bi (x)
Gauss-Verteilung
n ! ∞
p ! const.
Normal-Verteilung
µ ! ∞
kontinuierlich
Parameter: µ, σ
µ = np
G (x)
03.12.2001
Vorlesung 5
44