Aufgabe 1 Aufgabe 2

Aufgabe 1
Der Weihnachtsmann startet im Punkt (0, 0) und fliegt in jedem Schritt genau
einen Schritt nach oben oder nach rechts. Somit kann er nach 10 Schritten nur
diejenigen Gitterpunkte (ω1 , ω2 ) ∈ N20 anfliegen, für die ω1 +ω2 = 10 gilt. Damit
kann die Menge der erreichbaren Orte modelliert werden durch
Ω = {ω = (ω1 , ω2 ) ∈ N20 | ω1 + ω2 = 10}.
Dabei ist ω1 die Anzahl der Schritte nach rechts und ω2 die der nach oben.
Wegen Unabhängigkeit ist ω1 binomialverteilt mit den Parametern 10 und p
(beachte, dass 10 − ω1 = ω2 gilt). Somit ist
10
P[ω] =
0.7ω1 0.3ω2 .
ω1
a) Durch Rechnen findet man, dass P[ω] für ω = (7, 3) maximal ist.
5
5
b) Für den Punkt (5, 5) erhalten wir P[(5, 5)] = 10
5 · 0.7 · 0.3 ≈ 0.103.
Aufgabe 2
Sei n die Zahl der Triebwerke und Xi die Zufallsvariable gegeben durch
(
1 Triebwerk i fällt nicht aus,
Xi =
0 Triebwerk i fällt aus.
Pn
Dann modelliert Yn :=
i=1 Xi die Anzahl der nicht-ausgefallen Triebwerke
unter n Triebwerken. Da die Triebwerke unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit 1−p ausfallen, ist Yn binomialverteilt mit den Parametern n und p. Für
einen erfolgreichen Flug werden mehr als die Hälfte aller Triebwerke benötigt.
Somit gilt
qn (p) := P[Flug mit n Triebwerken erfolgreich] = P Yn > n2
Für n ∈ {3, 5} erhalten wir
q3 (p) = P[Flug mit 3 Triebwerken erfolgreich]
= P [Y3 ∈ {2, 3}]
3 2
3 3
p (1 − p) +
p
=
2
3
= 3p2 (1 − p) + p3
q5 (p) = P[Flug mit 5 Triebwerken erfolgreich]
= P [Y5 ∈ {3, 4, 5}]
5 3
5 4
5 5
=
p (1 − p)2 +
p (1 − p) +
p
3
4
5
= 10p3 (1 − p)2 + 5p4 (1 − p) + p5
Ein Plot der Funktionen q3 und q5 zeigt, dass ein Flugzeug mit 5 Triebwerken
für p > 0.5 und eines mit 3 Triebwerken für p < 0.5 sicherer ist.
1
1.0
0.8
0.6
q3
0.4
q5
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
p
Aufgabe 3
Sei K diejenige Runde, in der das erste Mal Kopf erscheint. Da das wiederholte
Werfen einer idealen Münze eine Folge unabhängiger Bernoulli-Experimente ist,
ist die Zufallsvariable K geometrisch verteilt (vgl. Aufgabe 5.4), d.h.
P[K = k] = (1 − 0.5)k−1 · 0.5 = 0.5k .
Sei G der Gewinn, dann ist G = 2K−1 . Damit ist der Erwartungswert des
Gewinns
E[G] =
∞
X
k−1
2
P[K = k] =
k=1
∞
X
2
k−1
k
· 0.5 =
k=1
∞
X
1
k=1
2
=∞
Damit wird das Spiel für keinen noch so großen Einsatz fair sein, stets ist der
erwartete Netto-Gewinn strikt positiv. Die meisten Menschen wären aber nicht
bereit mehr als 20 e für dieses Spiel zu zahlen.
Aufgabe 4
a) Der Erwartungswert der zum Parameter λt Poisson-verteilten Zufallsvariable XI ist gegeben durch
E[XI ] =
∞
X
(λt)k −λt
k
e
k!
k=0
= λte−λt
= λte−λt
∞
X
(λt)k−1
(k − 1)!
k=1
∞
X
k=0
(λt)k
k!
= λt
wobei wir im letzten Schritt die Reihendarstellung der ExponentialfunkP∞ k
tion ex = k=0 xk! verwenden.
2
b) Es gilt
P[{XJ = k} ∩ {XI = n}]
P[{XI = n}]
P[{XI\J = n − k} ∩ {XJ = k}]
=
P[{XI = n}]
P[{XI\J = n − k}] · P[{XJ = k}]
=
P[{XI = n}]
(Unabhängigkeit)
P[XJ = k | XI = n] =
=
(λs)n−k −λs (λ(t−s))k −λ(t−s)
·
e
(n−k)! e
k!
(λt)n −λt
n! e
n−k
k
n (λs)
(λ(t − s))
k
(λt)n
n−k
n s
(t − s)k
=
n−k
t
tk
k
k
n s n−k
=
1 − st
t
k
=
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist also eine Binomialverteilung zu den
Parametern n und st . Das beschreibt die Durchführung von n unabhängigen
Bernoulli-Experimenten mit Erfolgswahrscheinlichkeit st .
Intuition: Jeder der n Anrufe im Intervall I ist ein Zufallsexperiment, die
Wahrscheinlichkeit, dass er im Intervall J ⊂ I liegt, ist gerade der Anteil
|J|/|I| und die Anzahl der Erfolge ist die Anzahl der Anrufe im Intervall
J.
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