Die Linearfaktorzerlegung

Die Linearfaktorzerlegung
Bisher kennen wir nur für quadratische Funktionen und spezielle ganzrationale Funktionen vierter
Ordnung ein allgemeines Verfahren zur Nullstellenbestimmung. Für z.B. ganzrationale Funktionen
dritter Ordnung ist uns noch keine Möglichkeit bekannt. Für solche und alle weiteren
ganzrationalen Funktionen lässt sich der folgende Satz benutzen.
Satz: Für ganzrationale Funktionen
f ( x ) n-ter Ordung und
x 0 ∈ℝ gilt:
f ( x0 ) =0⇔ f ( x )= p ( x )⋅( x−x 0 ) für alle x ∈ℝ ,
wobei
p ( x ) eine ganzrationale Funktion (n-1)-ter Ordnung ist.
Dieser Satz besagt im Wesentlichen, dass sich jedes Polynom als Produkt von kleineren Polynomen
schreiben lässt. Die Form dieser kleineren Polynome hängt dabei von den Nullstellen des
Ursprungspolynoms ab.
Beispiele: 1.)
x 2−1=( x+1 )( x−1 )
2.)
x 2+2x+1=( x+1 )( x+1 )
3.)
x 2−2x+1=( x−1 )( x−1 )
Aber wie hilft dieser Satz uns nun bei der Nullstellenbestimmung?
Eine Nullstelle einer gegebenen ganzrationalen Funktion können wir durch Raten bestimmen.
Dieser Satz sagt uns nun, dass wir die Nullstelle quasi aus dem Ursprungspolynom heraus
dividieren können. Der Grad des Restpolynoms ist dabei um eins kleiner als der Grad des
Ursprungspolynoms.
Die hierzu nötige Division verläuft im Wesentlichen genau so wie die bekannte Division in den
reellen Zahlen. Die Anzahl der notwendigen Schritte hängt vom Grad der Polynome ab.
Im folgenden schauen wir uns nun diese Division, die Polynomdivision, an einem einfachen
Beispiel an.
( x 2+2x+1) ÷( x+1 )=x+1
−( x 2+ x )
0+ x +1
−( x+1 )
0
Zum besseren Verständnis gehen wir die oben aufgeführte Rechnung noch einmal Schritt für Schritt
durch.
( x 2+2x+1 )÷( x+1 )=x
Als erstes dividieren wir das x 2 des Dividenden durch das
schreiben wir hinter das Gleichheitszeichen.
x des Divisors. Das Ergebnis
( x 2+2x+1 )÷( x+1 )=x
−( x 2+ x )
Nun multiplizieren wir den gesamten Divisor mit dem vorhin erhaltenen Ergebnis
x und
subtrahieren dieses Ergebnis vom Dividenden.
( x 2+2x+1 )÷( x+1 )=x
−( x 2+ x )
0+ x
Anschließend nehmen wir die Eins aus dem Dividenden und schreiben sie hinter die vorhin
erhaltene Differenz.
( x 2+2x+1 )÷( x+1 )=x
−( x 2+ x )
0+ x +1
Im vorletzten Schritt dividieren wir das
Divisors und erhalten Eins als Ergebnis.
x unterhalb des Dividenden durch das
x des
( x 2+2x+1 )÷( x+1 )=x+1
−( x 2+ x )
0+ x +1
Genau wie oben multiplizieren wir nun Eins mit dem Divisor und subtrahieren das erhaltene
Ergebnis.
( x 2+2x+1) ÷( x+1 )=x+1
−( x 2+ x )
0+ x +1
−( x+1 )
0
Wie gehen wir also nun zur Berechnung einer Nullstelle vor, wenn wir kein anderes Verfahren zur
Verfügung haben?
1. Rate eine Nullstelle
x0 .
2. Führe eine Polynomdivision mit
( x− x 0)
durch.
3. Bestimme die Nullstellen des Restpolynoms.
Schauen wir uns dieses Vorgehen an einem Beispiel an:
x 3+2 x 2−x−2=0 .
Durch Raten erkennen wir, dass -1 eine Nullstelle ist, also erhalten wir die folgende
Polynomdivision.
( x 3+2 x 2−x−2 )÷( x+1 )= x 2+x−2
−( x 3+ x 2 )
x 2 −x
−( x 2+x )
−2 x−2
−2 x−2
0
Die Nullstellen des Restpolynoms können wir nun mit Hilfe der quadratischen Ergänzung
bestimmen. Insgesamt erhalten wir die folgende Rechnung.
x 3+2 x 2− x−2=0
⇔ ( x+1 ) ( x 2+x−2 )=0
⇔ x +1=0 ∨ x 2+x−2=0
⇔ x =−1 ∨ x 2+ x =2
1 9
⇔ x 2+x+ =
4 4
2
1
9
⇔ x+
=
2
4
1 3
1
3
⇔ x+ = ∨ x+ =−
2 2
2
2
⇔ x=1 ∨ x=−2
⇔ x =−1 ∨ x=1 ∨ x=−2
L={−2 ;−1 ; 1}
( )
Aufgaben:
Bestimme die Lösungsmenge:
a)
x 3+ x 2−x−1=0
c)
x −2 x −x +2=0
d) x 3+ x 2−16 x−16=0
e)
x 3−2 x 2−9 x+18=0
f)
3
2
g) 2 x 3−6 x 2−18 x+54=0
b)
x 3−3x 2+4=0
x 3+9 x 2+27 x+27=0
h) 5 x 3−40 x 2+45 x −40=0