Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen

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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
von Dr. Bardo Diehl
Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Stoffverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Themen der Unterrichtsstunden
1
Multiplikation von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Faktorisieren von Termen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Material
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Produkte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösungsblatt zu MA 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Farbfolie: Abstraktion der Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Methoden des Faktorisierens quadratischer Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben zum Faktorisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurzlösungen zu MA 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösungsblatt zu MA 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arbeitsblatt 1: Methode der Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arbeitsblatt 2: Technik der Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arbeitsblatt 3: Polynomdivision mit Rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arbeitsblatt 4: Übungen und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösungsblatt zu Arbeitsblatt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösungsblatt zu Arbeitsblatt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösungsblatt zu Arbeitsblatt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösungsblatt zu Arbeitsblatt 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kompetenzprofil
I Niveau: grundlegend
I Fachlicher Bezug: –
I Kommunikation: begründen, bewerten, mathematische Texte erfassen, Vermutungen äußern
I Problemlösen: Lösungen berechnen, Ergebnisse reflektieren, vernetztes Denken,
Darstellungen verwenden
I Modellierung: –
I Medien: Farbfolie
I Methode: Gruppenarbeit, Einzelarbeit
I Inhalt in Stichworten: ganzrationale Funktion, Ordinatenaddition, Ordinatenmultiplikation,
Produkt von Funktionen, Nullstelle, quadratische Gleichung, Satz von Vieta, Linearfaktorzerlegung, gebrochenrationale Funktion, Definitionslücke, Polynomdivision
Zusätzliche Mediendateien finden Sie auf www.stark-verlag-digital.de
unter „Zu meinen Digitalpaketen“ im digitalen Ordner zu diesem Beitrag.
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Stoffverteilung
Unterrichtsstunde
1. / 2. Stunde
Thema der Stunde und Unterrichtsverlauf
1
3. Stunde
Unterrichtsmittel
Multiplikation von Funktionen
Neudurchnahme: Anhand einer Farbfolie wird die Abstraktion der
Multiplikation über die einzelnen Jahrgangsstufen nachvollzogen
(Gegenstände – Zahlen – Terme). Eine weitere Verallgemeinerung
auf Funktionen ist das Thema dieser Doppelstunde.
Dazu erarbeiten die Schüler anhand passender Aufgaben Schritt für
Schritt die Darstellung solcher Produktfunktionen sowie deren Eigenschaften. Mithilfe der Linearfaktorzerlegung werden Nullstellen bestimmt und Gebietseinteilungen für Graphen vorgenommen.
Hausaufgabe: Untersuchung ganzrationaler Funktion 5. Grades
anhand der Produktdarstellung
MA 3: Farbfolie
MA 1: Arbeitsblatt
MA 2: Lösungsblatt
Besprechung der Hausaufgabe
2
4. Stunde
Faktorisieren von Termen
Neudurchnahme: Als Ergebnis der ersten Doppelstunde wird festgehalten, dass die Produktdarstellung ganzrationaler Funktionen für
viele Fragestellungen vorteilhaft ist.
Da Schüler erfahrungsgemäß Schwierigkeiten beim Faktorisieren
von Termen haben, werden in dieser Stunde verschiedene Methoden
für das Faktorisieren quadratischer Terme wiederholt und gefestigt.
Anschließend wird die Analogie zwischen der Primfaktorzerlegung
ganzer Zahlen und der Zerlegung einer ganzrationalen Funktion in
„Primpolynome“ anhand eines Beispiels anschaulich dargestellt.
Hausaufgabe: Arbeitsblatt MA 5
Besprechung der Hausaufgabe
3
Polynomdivision
Neudurchnahme: Der Zusammenhang zwischen der Division und
der Multiplikation als Umkehroperationen wird anhand der schriftlichen Multiplikation und Division mit einem konkreten Zahlenbeispiel in Erinnerung gerufen.
Anschließend erarbeiten sich die Schüler selbstständig mithilfe von
4 Arbeitsblättern schrittweise die Vorgehensweise bei der Division
von Polynomen und setzen diese bei der Bestimmung von Nullstellen
und bei anderen Problemstellungen ein.
Hausaufgabe: Arbeitsblatt MA 11 fertig bearbeiten
MA 4: Arbeitsblatt
MA 5: Arbeitsblatt
MA 6: Kurzlösungen
MA 7: Lösungsblatt
MA 8 bis MA 11:
Arbeitsblätter
MA 12 bis MA 15:
Lösungsblätter
MA 11
Bildnachweis:
S. 29: © Sergejs Rahunoks – Fotolia.com
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Vorbemerkungen
Nachdem in der Einführungsphase der Oberstufe zunächst unterschiedliche elementare Funktionstypen behandelt werden, sollen sich die Schüler im Anschluss mit dem
Verknüpfen verschiedener Funktionen vertraut machen.
Fachwissenschaftliche
Einordnung
Didaktisch ist dies aufbauend der dritte Schritt, in welchem die Schüler Verknüpfungen von mathematischen Objekten kennenlernen: In der ersten Phase haben sie die
additive und multiplikative Verknüpfung von Zahlen kennengelernt, im zweiten
Schritt haben sie diese Verknüpfungen an Termen eingeübt. Im dritten Schritt werden
nun Funktionen als neue Objekte behandelt, die ebenfalls addiert und multipliziert
werden. Zusätzlich kommt später noch eine neue Operation hinzu, die Verkettung
von Funktionen.
Die jeweiligen Übergänge sind für Schüler in der Regel nicht einfach. Sie müssen
sich an neue Objekte gewöhnen und sollen dennoch die altbekannte Grundstruktur
wiedererkennen. Die additive und multiplikative Verknüpfung von Funktionen wird
auf die Zahlen zurückgeführt, indem an jeder Stelle die Ordinatenwerte dieser
Stellen addiert bzw. multipliziert werden.
Die Addition von Funktionen ist dabei unmittelbar anschaulich, wenn Schüler die
Graphen mittels Ordinatenaddition an jeder Stelle zeichnerisch konstruieren.
Die Multiplikation einer Funktion mit einer Konstanten kennen die Schüler bereits
durch das Strecken und Stauchen der Parabeln aus der Sekundarstufe I.
Die Multiplikation zweier Funktionen ist zwar analog zur Addition ebenso stellenweise definiert als „Ordinatenmultiplikation“, allerdings ist dies zeichnerisch schwer
umzusetzen und in der Regel auch wenig gewinnbringend. Dennoch ist diese Multiplikation von Bedeutung: Wenn ein Faktor an einer Stelle null ist, besitzt die Funktion, die aus einem Produkt mit diesem Faktor entsteht, dort eine Nullstelle. Durch
Zerlegen einer Funktion in ein Produkt lassen sich somit Nullstellen bestimmen.
Ausblick: Bei Produkten mit der Sinus- oder Kosinusfunktion sind neben den Nullstellen noch die Stellen mit den Funktionswerten 1 und –1 von Interesse. Beispielsweise lässt sich eine gedämpfte Schwingung mit der Gleichung f (x) = e − bx ⋅ sin(ax)
durch die einhüllende Exponentialfunktion und die periodischen Nullstellen der trigonometrischen Funktion relativ einfach skizzieren. Auch dies ist eine „Ordinatenmultiplikation“.
Das vorliegende Konzept geht zunächst von der Produktdarstellung von Funktionen
aus: Der Funktionsterm wird als Produkt vorgegeben. An ihm sollen Eigenschaften
entdeckt werden, die sich durch das Produkt ergeben.
Von zentraler Bedeutung für die Analysis ist der umgekehrte Vorgang, das Zerlegen
einer Funktion in Faktoren. Die Schüler kennen dies von der Primfaktorzerlegung
ganzer Zahlen, nun werden ganzrationale Funktionen in ihre Primfaktoren zerlegt.
Primpolynome, wie man diese Primfaktoren nennt, sind lineare Funktionen oder aber
Polynome, die keine Nullstellen haben.
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Methodischdidaktische
Hinweise
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Schüler haben oft große Probleme, Terme zu faktorisieren. Diese Schwierigkeit wird
bereits in der Sekundarstufe I verstärkt, wenn die Schüler die Binomischen Formeln
von links nach rechts lernen und nicht in umgekehrter Richtung, z. B.:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Für sie ist der Gebrauch der Formel meist eine Verkürzung des Ausmultiplizierens.
Die Umkehrung, bei der eine Summe in ein Produkt umgewandelt wird, ist ihnen
selten bewusst, z. B.:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Ebenso wird der Satz von Vieta in Lehrbüchern oft als Lösungsverfahren für quadratische Gleichung dargestellt (Existenz der Lösungen vorausgesetzt):
„Wenn x2 + px + q = 0, dann gilt für die Lösungen: x1 + x2 = – p und x1 ⋅ x2 = q“
Plausibler ist es, den Satz als Hilfe zur Umwandlung eines quadratischen Terms in
ein Produkt zu vermitteln:
„Es gilt x2 + px + q = (x + a) ⋅ (x + b) mit a + b = p und a ⋅ b = q“.
So wird unmittelbar durch Probe einsichtig, warum die Summe der Werte a und b den
Koeffizienten p ergeben muss und das Produkt den Koeffizienten q. Wird dann noch
zusätzlich gefordert, dass der Term mit null gleichgesetzt wird, ergeben sich die
Lösungen x1 = – a und x2 = – b, da jeder Faktor null werden kann.
Der Satz von Vieta wird auf diese Weise als eine Verallgemeinerung der binomischen
Formel gedeutet. Damit ist der Satz von Vieta eine Methode, Terme zu faktorisieren,
und gewinnt dadurch seine besondere Bedeutung.
Mögliche (bereits bekannte) Methoden der Linearfaktorzerlegung werden in der
zweiten Unterrichtsstunde wiederholt und gefestigt. Dabei wird auf die Primfaktorzerlegung der ganzen Zahlen eingegangen, um über die Zehnerpotenzen des Stellenwertsystems zu der Faktorzerlegung der Polynome zu gelangen.
Diese Analogie bildet auch die Vorarbeit für die darauffolgende Stunde, in der die
Polynomdivision als eine weitere Methode des Faktorisierens von Funktionen
schrittweise eingeführt wird.
Alle Arbeitsblätter sind so gestaltet, dass sie in Kleingruppen, aber auch in Einzelarbeit bearbeitet werden können. Dadurch soll eine größere Eigenständigkeit der
Schüler gefördert werden.
Je nach Ausstattung der Unterrichtsräume können für die Präsentation der Ergebnisse
Folien oder eine interaktive Tafel eingesetzt werden.
Voraussetzungen
•
•
•
•
•
•
Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen
Grad von ganzrationalen Funktionen
Ordinatenaddition
Definition und grundlegende Bestimmung von Nullstellen
Definitionsbereich von Funktionen
Definitionslücken von elementaren gebrochenrationalen Funktionen
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
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1. / 2. Unterrichtsstunde
Der Lehrer kopiert die Materialien MA 1 und MA 2 für jeden Schüler. Er zerschneidet die Arbeits- und
Lösungsblätter in die einzelnen Aufgaben. Zudem hält er Folien und Folienstifte bereit, damit die Schüler
ihre Ergebnisse präsentieren können.
Die Farbfolie MA 3 wird mit in den Unterricht genommen.
Wenn möglich, bringt der Lehrer zudem 12 Bausteine oder Bauklötze mit in den Unterricht, um das
haptische Begreifen der Kleinkinder zu verdeutlichen.
1
Multiplikation von Funktionen
Einleitend gibt der Lehrer im Unterrichtsgespräch anhand der Farbfolie MA 3 etwa folgende motivierende Information. Dabei deckt er schrittweise die Folie auf.
Kleinkinder zählen beispielsweise Bausteine zusammen, indem sie diese in die Hand
nehmen. Sie haben konkrete Gegenstände vor sich, mit denen sie auf ihre Weise
„rechnen“: 3 Päckchen mit jeweils 4 Bausteinen sind zusammen 12 Bausteine.
Vielleicht zählen sie auch mit ihren Fingern ab. Dann sind die Finger bereits „Stellvertreter“ für die Bausteine.
Später in der Grundschule lernen die Kinder, Zahlen miteinander zu multiplizieren.
Dies ist eine Abstraktion; die Zahlen können für Bausteine oder beliebige andere
Gegenstände stehen. Stets gilt: 3 ⋅ 4 = 12
Die Kinder rechnen nun abstrakt mit Zahlen und denken dabei immer weniger an
konkrete Gegenstände wie Bausteine oder Gummibärchen.
In der Sekundarstufe I wird auf eine nächsthöhere Stufe verallgemeinert: Variablen
werden als Stellvertreter für Zahlen eingeführt. Ein Buchstabe steht dabei für eine
feste, aber beliebige Zahl, die sich beispielsweise ein Schüler ausdenkt. Dabei kann
sich jeder Schüler durchaus eine andere Zahl merken: Einer denkt sich die Zahl 2,
der andere rechnet mit der Zahl 5.
Die Rechenregeln für Zahlen können auf die Variablen übertragen werden, da die
Variablen für Zahlen stehen.
Mit dem Übergang von einem Term zu einer Funktion wird wieder eine Erweiterung
vorgenommen: Im Term steht die Variable x für eine feste, wenn auch unbekannte
Zahl. In der Funktion steht die Variable x dagegen für alle Zahlen aus dem Definitionsbereich, denen man Zahlen y aus dem Wertebereich zuordnet.
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Vorbereitung
Neudurchnahme
© Material MA 3
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Anhand der Abbildungen unten auf der Folie MA 3 kann zusätzlich besprochen werden, was man über
den bei der Multiplikation zweier Funktionen entstehenden Graphen aussagen kann.
Zur Motivation stellt der Lehrer etwa folgende Fragen:
© Material MA 3
Wie werden Funktionen miteinander multipliziert?
Wie sieht der Graph der Funktion f ⋅ g für die beiden Graphen auf der Folie aus?
Wenn man die Graphen von f und g kennt, was könnte man daraus für den Graphen
der neuen Funktion f ⋅ g folgern?
Der Lehrer stellt diese offenen Fragen und sammelt die Ideen der Schüler. Er verweist am Ende nur darauf, dass diese Thematik mit den folgenden Arbeitsblättern in Kleingruppen genauer erarbeitet werden
soll, und vermeidet, zusätzliche Informationen vorab zu geben.
Anmerkung: Wie der Graph der Funktion f ⋅ g auf der Folie aussieht, ist nicht genau zu beantworten, da
keine Einheiten auf den Achsen eingetragen sind: Ist nämlich der Funktionswert von f an einer Stelle x
größer als 1, so wird der Graph von g gestreckt; falls f(x) kleiner als 1 ist, wird der Graph von g dagegen
gestaucht. Es kann aber eine sogenannte Gebietseinteilung vorgenommen werden: Das Vorzeichen der
Produktfunktion wird bestimmt durch die Vorzeichen der beiden Faktoren. Im Beispiel ergibt sich folgende Gebietseinteilung (rechtes Bild); der Graph verläuft dann in den nicht eingefärbten Gebieten:
Die Schüler setzen sich anschließend in Kleingruppen zusammen und der Lehrer teilt die erste Aufgabe
von MA 1 an die Gruppen aus. Der Rückgriff auf die Ordinatenaddition erleichtert den Transfer zur Definition der Multiplikation zweier Funktionen.
Aufgabe
© Material MA 1
Bearbeiten Sie Aufgabe 1 von MA 1.
© Material MA 2
Lösung:
siehe MA 2
Eine Gruppe präsentiert ihre Ergebnisse mit dem Projektor. Im Plenum wird dazu in Analogie zur präsentierten Folie an der Tafel erarbeitet, wie die Addition über die verschiedenen Schulstufen auf abstraktere
Objekte verallgemeinert wird (siehe Tafelbild). Dies dient zur Festigung des Stufenmodells bei der Verallgemeinerung mathematischer Operationen. Anstelle der Bausteine können auch andere Gegenstände
auf dem Pult drapiert werden oder eine Abbildung der Bausteine an die Tafel geheftet werden.
Die Schüler bearbeiten im Anschluss zunächst Aufgabe 2 von MA 1 in ihrer Gruppe. Dabei wird die
Multiplikation zweier Funktionen analog zu Aufgabe 1 behandelt. Die Besprechung erfolgt im Plenum.
Aufgabe
© Material MA 1
Bearbeiten Sie Aufgabe 2 von MA 1.
© Material MA 2
Lösung:
siehe MA 2
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Nach der Besprechung dieser Aufgabe und der Klärung evtl. Fragen bearbeiten die Schüler in ihren
Gruppen die restlichen Aufgaben des Arbeitsblattes. Dazu liegen die Aufgaben 3 bis 11 und ihre Lösungen auf getrennten Tischen bereit. Jede Gruppe beginnt mit Aufgabe 3 und bearbeitet diese gemeinsam.
Im Anschluss kontrolliert die Gruppe ihre Ergebnisse anhand des Lösungsblattes zu Aufgabe 3, bevor
die Gruppe sich das Blatt mit Aufgabe 4 nimmt. Auf diese Weise arbeiten sich die Gruppen sukzessive
durch alle Aufgaben durch.
Während der Gruppenarbeit geht der Lehrer durch die Klasse, beobachtet die Schüler, beantwortet
Fragen und lässt sich die Lösungen zeigen.
Aufgabe
Bearbeiten Sie in Ihrer Gruppe die Aufgaben 3 bis 11 von MA 1.
© Material MA 1
Lösung:
siehe MA 2
© Material MA 2
Geben Sie den Term einer beliebigen ganzrationalen Funktion 5. Grades in Produktdarstellung an, bestimmen Sie die Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen mithilfe
einer Gebietseinteilung. Multiplizieren Sie den Funktionsterm aus.
Lassen Sie sich durch ein Geometrieprogramm auf dem PC oder mit einem grafikfähigen Taschenrechner Ihre Funktion aufzeichnen und vergleichen Sie sie mit Ihrem
Ergebnis.
Hausaufgabe
Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:
Tafelbild
Verallgemeinerung der Addition
Objekte:
Kindergarten:
4 und 3 Bausteine
Gegenstände
sind 7 Bausteine
Grundschule:
4+3=7
Zahlen
Sekundarstufe I:
4x + 3x = 7x
Variablen
Sekundarstufe II:
f(x) + g(x) = 4x + 3x = 7x Funktionen
Hausaufgabe
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
3. Unterrichtsstunde
Vorbereitung
Der Lehrer kopiert für jeden Schüler das Arbeitsblatt MA 4 und das Arbeitsblatt MA 5.
Besprechung der
Hausaufgabe
Zu Beginn der Stunde werden einige Beispiele der Hausaufgabe von einzelnen Schülern an der Tafel
oder via Projektion vorgeführt und besprochen.
Beispielhafte Lösung:
f (x) =
1
20
x(x + 3)(x − 1) 2 (x − 3) =
1
20
1 x 4 − 2 x3 + 9 x 2 −
x 5 − 10
5
10
9
20
x
Nullstellen: x1 = −3; x 2 = 0; x 3 = 1 (doppelt); x 4 = 3
Gebietseinteilung und Graphenverlauf:
x
–
–
+
+
+
(x + 3)
–
+
+
+
+
(x – 1)2
+
+
+
+
+
(x – 3)
–
–
–
–
+
f(x)
–
+
–
–
+
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
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Faktorisieren von Termen
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Neudurchnahme
Der Lehrer motiviert ausgehend von den Erkenntnissen der letzten Stunde für den Inhalt dieser Stunde:
Wie Sie in der letzten Stunde gesehen haben, erleichtert die Produktdarstellung ganzrationaler Funktionen die Bestimmung der Nullstellen sowie das Skizzieren des
Graphenverlaufs mithilfe einer Vorzeichenuntersuchung ganz erheblich.
In der Regel sind ganzrationale Funktionen allerdings nicht als Produkt, wie z. B.
f (x) = (x + 1)(x + 2), sondern als Summe von Potenzfunktionen, wie f (x) = x 2 + 3x + 2,
gegeben. Um die Nullstellen zu bestimmen oder eine Gebietseinteilung durchzuführen, versucht man deshalb, die Summe in ein Produkt umzuwandeln.
Die Produktdarstellung der ganzrationalen Funktionen in Zähler und Nenner einer
gebrochenrationalen Funktion ist außerdem hilfreich, um den Definitionsbereich anzugeben oder den Term zu kürzen.
Für das Faktorisieren einer ganzrationalen Funktion gibt es verschiedene Möglichkeiten. Da keine Methode gleichzeitig für alle Funktionen geeignet ist, ist es wichtig,
möglichst viele Methoden zu beherrschen und zu erkennen, für welche Funktionen
sie sich eignen.
Im Unterrichtsgespräch sammelt der Lehrer an der Tafel verschiedene Methoden, um Summen in
Produkte umzuwandeln, soweit die Schüler diese kennen. Er lässt zu jeder Methode auch ein Beispiel
an der Tafel vorführen. An der Tafel bleibt diese Sammlung in ihrer Unvollständigkeit oder fehlenden
Strukturierung stehen.
Es ist damit zu rechnen, dass auf die mögliche Lösung quadratischer und kubischer Gleichungen mithilfe
eines Taschenrechners oder eines anderen Hilfsmittels hingewiesen wird. Hier sind die Schüler in Übereinstimmung mit der jeweiligen Prüfungsordnung darauf hinzuweisen, dass von ihnen im Abitur sowohl
der Gebrauch des Taschenrechners zur Lösung dieser Gleichungen als auch die algebraische Durchführung mit Rechenschritten erwartet werden können. Auf numerische Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen wird im Rahmen dieser Einheit nicht näher eingegangen.
Die Schüler besprechen anschließend in Kleingruppen das Übersichtsblatt MA 4 mit den verschiedenen
Methoden des Faktorisierens für quadratische Terme. Zu jeder Methode sollen sie zusätzlich ein eigenes
Beispiel erfinden. Dabei werden sie auch auf Beispiele stoßen, die mit der jeweiligen Methode nicht zu
lösen sind, wenn sie tatsächlich von der Summe und nicht rückwärts vom Produkt ausgehen. Auf diese
Weise erfahren sie die Grenzen der jeweiligen Methoden.
Der Lehrer geht von Gruppe zu Gruppe. Falls einige Gruppen zu einfache und glatte Beispiele entwickeln,
kann der Lehrer ggf. durch den Input geeigneter Beispiele die Diskussion über die Grenzen der Methoden anstoßen.
Arbeitsauftrag
Besprechen Sie in Ihrer Gruppe das Arbeitsblatt MA 4 und finden Sie selbst geeignete
Beispiele.
Anschließend geht der Lehrer im Plenum wieder auf die Erweiterungsthematik ein, indem er nach der
Primfaktorzerlegung ganzer Zahlen fragt. Er gibt an der Tafel die Zahl 143 vor und fordert die Schüler
auf, diese Zahl vollständig in Primzahlen zu zerlegen.
Zerlegen Sie 143 in Primfaktoren:
143 = 11 ⋅ 13
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© Material MA 4
A. 3. 7 ⏐ 10
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Die Zahl und die Primfaktoren werden anschließend als Summen in Zehnerpotenzen aufgeschrieben,
wie dies von der Stellentafel bekannt ist:
143 = 1 ⋅ 10 2 + 4 ⋅ 10 + 3
11 = 1 ⋅ 10 + 1
⇒ 143 = 11 ⋅ 13 = (1 ⋅ 10 + 1)(1 ⋅ 10 + 3)
13 = 1 ⋅ 10 + 3
Man erkennt:
1 ⋅ 10 2 + 4 ⋅ 10 + 3 = (1 ⋅ 10 + 1) (1 ⋅ 10 + 3)
}
Nun wird in Analogie das Polynom x 2 + 4x + 3 in Faktoren zerlegt:
x 2 + 4x + 3 = 1 ⋅ x 2 + 4 ⋅ x + 3 = (1 ⋅ x + 1) (1 ⋅ x + 3) = (x + 1) (x + 3)
Die Analogie wird auf der Tafel parallel nebeneinander festgehalten und ins Heft eingetragen oder als
Merkblatt ausgeteilt.
Als Zusammenfassung wird festgehalten:
Ganze Zahlen und ganzrationale Funktionen lassen sich in ein Produkt von Faktoren
zerlegen, bis eine Zerlegung in kleinere Faktoren nicht mehr möglich ist.
Diese Zerlegung nennt man Primfaktorzerlegung.
Primpolynome sind entweder lineare Funktionen mit genau einer Nullstelle oder
Polynome ohne Nullstellen.
Hausaufgabe
© Material MA 5
Bearbeiten Sie das Aufgabenblatt MA 5.
Tafelbild
Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:
Wie kann man Summen in Produkte
umwandeln?
Methode:
Beispiel:
…
Verallgemeinerung
Zahl
Stellenwertsystem
Polynom
143
= 11 ⋅ 13
1 ⋅ 10 2 + 4 ⋅ 10 + 3
= (1 ⋅ 10 + 1)(1 ⋅ 10 + 3)
1⋅ x 2 + 4 ⋅ x + 3
= (1 ⋅ x + 1)(1 ⋅ x + 3)
11 und 13 sind
Primzahlen.
(x + 1) und (x + 3) nennt
man Primpolynome.
Ganze Zahlen und ganzrationale Funktionen lassen sich in ein Produkt von Faktoren zerlegen, bis eine Zerlegung in
kleinere Faktoren nicht mehr möglich ist.
Diese Zerlegung nennt man Primfaktorzerlegung.
Primpolynome sind entweder lineare
Funktionen mit genau einer Nullstelle
oder Polynome ohne Nullstellen.
Hausaufgabe
Unterrichts-Konzepte Analysis Stark Verlag
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
A. 3. 7 ⏐ 11
4. Unterrichtsstunde
Die Kurzlösungen auf MA 6 zur Hausaufgabe der letzten Stunde werden auf eine Folie kopiert. Ggf. wird
das ausführliche Lösungsblatt MA 7 für alle Schüler kopiert.
Die 4 Arbeitsblätter MA 8 bis MA 11 werden für jeden Schüler kopiert und auf Tischen bereitgelegt.
Kopien der Lösungsblätter MA 12 bis MA 15 liegen auf anderen Tischen aus.
Vorbereitung
Die Hausaufgabe wird mit den Kurzlösungen anhand der aus MA 6 hergestellten Folie verglichen.
Sollten einzelne Probleme auftreten, werden die entsprechenden Aufgaben ausführlich durch einen
Schüler an der Tafel vorgeführt. Zudem kann den Schülern das Lösungsblatt MA 7 ausgeteilt werden.
Besprechung der
Hausaufgabe
© Material MA 6;
MA 7
3
Polynomdivision
Im Plenum wird die Primfaktorzerlegung wiederholt, um den in der letzten Stunde erarbeiteten Übergang von den Zahlen zu den Polynomen zu vergegenwärtigen. Diese gezielte Rekapitulation erleichtert
die Bearbeitung der Arbeitsblätter.
Der Lehrer schreibt auf eine Tafelhälfte 21 ⋅ 312 und auf die andere 6552 : 21.
Er bittet zwei Schüler, die sich noch das schriftliche Multiplizieren und Dividieren zutrauen, an der
Tafel die Rechenschritte ausführlich vorzustellen. Falls die genauen Techniken nicht mehr präsent sind,
werden sie im Gespräch gemeinsam erarbeitet. Der Lehrer achtet dabei darauf, dass die Faktoren bei der
Multiplikation nicht vertauscht werden, auch wenn der Rechenaufwand geringer wäre.
21 ⋅ 31 2
63
+ 21
42
+
6552
6552 : 21 = 312
−63
25
−21
42
−4 2
0
Im Gespräch wird der Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division als Umkehroperationen
wiederholt bzw. erarbeitet. Die Definition der Division wird im Heft und an der Tafel festgehalten.
Die Schüler sollen am gegebenen Beispiel verdeutlichen, dass die Division eine Umkehroperation zur
Multiplikation ist. Die Umkehrpfeile werden in die schriftliche Division an der Tafel eingezeichnet.
Aufgabe
Die Division ist als Umkehrung der Multiplikation definiert. Geben Sie die genaue
Definition an. Erläutern Sie anhand der Technik des schriftlichen Dividierens von
Zahlen, dass die Division die Umkehroperation der Multiplikation ist.
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Neudurchnahme
A. 3. 7 ⏐ 12
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Lösung:
Die Division wird allgemein als Umkehroperation der Multiplikation definiert:
Die Division a : b (mit b ≠ 0) ergibt diejenige Zahl c, die mit b multipliziert a ergibt.
a : b = c ⇔ c ⋅ b = a mit b ≠ 0
Def .
Bei der schriftlichen Division wird an jeder Stelle als „Probe“ (Umkehroperation)
eine Multiplikation ausgeführt:
3 ⋅ 21 = 63
1 ⋅ 21 = 21
2 ⋅ 21 = 42
Im Anschluss werden je nach Kurskonstellation die 4 Arbeitsblätter MA 8 bis MA 11 nacheinander in
Einzel- oder Kleingruppenarbeit bearbeitet. Jeder Schüler bearbeitet (alleine oder in seiner Gruppe)
zunächst das erste Arbeitsblatt und vergleicht anschließend seine Bearbeitung mit dem Lösungsblatt,
bevor er sich dem nächsten Blatt zuwendet.
Der Lehrer geht von Tisch zu Tisch, beobachtet die Schüler, lässt sich exemplarisch einzelne Lösungsschritte erläutern und hilft bei Problemen, soweit die Schüler sich nicht gegenseitig helfen können.
Aufgabe
© Material MA 8
bis MA 11
© Material MA 12
bis MA 15
Bearbeiten Sie nacheinander die Arbeitsblätter MA 8 bis MA 11.
Lösung:
siehe MA 12 bis MA 15
Die Übungen und Anwendungen auf dem 4. Arbeitsblatt werden als Hausaufgabe aufgegeben, soweit
sie nicht in der Stunde vollständig bearbeitet werden können.
Die Lösungen der Hausaufgabe finden Sie auf dem Lösungsblatt MA 15.
Hausaufgabe
© Material MA 11
Bearbeiten Sie das Arbeitsblatt MA 11 fertig.
Tafelbild
Vorschlag für Tafelbild und Hefteintrag:
Schriftliche Multiplikation:
21 ⋅ 312
63
+
21
+
42
6552
Die Division als Umkehroperation der Multiplikation
Die Division wird allgemein als Umkehroperation der Multiplikation
definiert:
Die Division a : b (mit b ≠ 0) ergibt diejenige Zahl c, die mit b multipliziert a ergibt.
a : b = c ⇔ c ⋅ b = a mit b ≠ 0
Schriftliche Division:
Def .
Hausaufgabe
Unterrichts-Konzepte Analysis Stark Verlag
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Material
A. 3. 7 ⏐ 13
MA 1
Kopiervorlage
Produkte von Funktionen
1. Zur Wiederholung:
Wie werden zwei Funktionen u(x) und v(x) addiert?
Verbalisieren Sie die Definition.
Verdeutlichen Sie die Definition zeichnerisch am Beispiel u(x) = x + 3 und
v(x) = x – 1. Wie lautet hier der Funktionsterm der neuen Funktion f(x)?
2. Zwei Funktionsterme u(x) und v(x) lassen sich auch miteinander multiplizieren.
Dies ergibt eine neue Funktionsgleichung: f(x) = u(x) ⋅ v(x)
a) Berechnen Sie den Term von f(x), wenn u(x) = x + 3 und v(x) = x – 1 ist.
b) Zeichnen Sie die drei Graphen von u, v und f in ein gemeinsames Koordinatensystem.
c) Welche Eigenschaften der Funktion f lassen sich bereits aus den Eigenschaften
der beiden Funktionen u und v entnehmen?
Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen.
3. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funktionen:
a) f (x) = (3x − 4) (x + 7)
(3
)
b) g(x) = (3 − 4x) 1 x + 1 (3x − 5)
c) h(x) = (x − 2) ⋅ sin x
Dabei ist x im Bogenmaß angegeben.
4. Ist eine Funktion in der Form eines Produkts f(x) = u(x) ⋅ v(x) dargestellt, so bilden
sämtliche Nullstellen der einzelnen Faktoren u(x) und v(x) zusammen die Menge
aller Nullstellen der Funktion f(x).
Insbesondere besitzt die Funktion f keine weiteren Nullstellen.
Begründen Sie diese Aussage.
5. Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen folgender ganzrationaler Funktionen.
Führen Sie anschließend die Produktdarstellung durch Ausmultiplizieren in die
Summendarstellung über und geben Sie den Grad n der ganzrationalen Funktion an.
a) f (x) = 3(x − 2)(x + 1)(x + 2)
b) g(x) = (3 − x)(x + 1)
c) h(x) = 4x(x + 2) 2 (x − 3)
d) k(x) = (x + 5) (x 2 + 4)
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A. 3. 7 ⏐ 14
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
6. Lässt sich eine ganzrationale Funktion als Produkt linearer Funktionen schreiben,
spricht man von einer Linearfaktordarstellung. Jeder Linearfaktor hat genau
eine Nullstelle. Ist in der Produktdarstellung ein Linearfaktor mehrfach vorhanden,
zählt man die Nullstelle mehrfach.
Die Funktion h(x) = 4x(x + 2) 2 (x − 3) hat z. B. eine doppelte Nullstelle in x = –2.
Geben Sie eine ganzrationale Funktion
a) vom Grad n = 3 an, die in x = 1 eine dreifache Nullstelle besitzt.
b) vom Grad n = 4 an, die in x = 0 eine doppelte Nullstelle hat und die x-Achse an
den Stellen x = –2 und x = 3 schneidet.
7. a) Quadratische Funktionen vom Typ u(x) = x2 + c mit c > 0 haben keine Nullstellen. Begründen Sie.
b) Folgern Sie daraus, dass dieser Funktionstyp nicht in Linearfaktoren zerlegt
werden kann.
c) Geben Sie eine beliebige ganzrationale Funktion vom Grad 4 an, die keine
Nullstelle besitzt.
8. Begründen Sie die Allgemeingültigkeit des folgenden Satzes:
Eine ganzrationale Funktion vom Grad n kann höchstens n Nullstellen besitzen.
9. Information:
Eine ganzrationale Funktion kann die x-Achse nur in ihren Nullstellen schneiden
und damit nur an diesen Stellen das Vorzeichen des Funktionswertes wechseln.
Über eine Vorzeichenuntersuchung können die Gebiete im Koordinatensystem
herausgestrichen werden, durch die der Graph sicher nicht verläuft. Durch diese
Gebietseinteilung lässt sich bereits abschätzen, wie der Graph der Funktion im
Wesentlichen verläuft.
Beispiel:
f (x) = 1 (x − 2) (x + 1)(x + 3) = 1 x 3 + 2 x 2 − 5 x − 2
3
3
3
3
Die Nullstellen von f sind die Nullstellen der drei Faktoren:
x1 = –3; x2 = –1; x3 = 2
Mit senkrechten Geraden durch die Nullstellen werden im Koordinatensystem die
Gebiete eingeteilt. In einer Tabelle werden sämtliche Linearfaktoren aufgelistet
und zu jedem Gebiet wird das Vorzeichen notiert, das dieser Faktor dort annimmt.
Das Vorzeichen der gesamten Funktion f ergibt sich dann aus dem Produkt der
Vorzeichen aller Faktoren in diesem Bereich.
So ergibt sich z. B. für das Gebiet x < –3 folgendes Vorzeichen für die Funktion f:
„Minus mal Minus mal Minus = Minus“
Der positive konstante Faktor 1 ändert das Vorzeichen nicht.
3
Die Bereiche mit dem entgegengesetzten Vorzeichen (für das Gebiet x < –3 also
der Bereich oberhalb der x-Achse) werden schraffiert; durch diese Bereiche verläuft der Graph nicht.
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Man erhält in etwa folgende Darstellung:
(x + 3)
–
+
+
+
(x + 1)
–
–
+
+
(x – 2)
–
–
–
+
f(x)
–
+
–
+
Aufgabe:
Gegeben ist die ganzrationale Funktion f (x) = 0,5(x + 1) (x − 2) 2 .
a) Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen mithilfe der Linearfaktordarstellung
und erstellen Sie eine Gebietseinteilung der Funktion f.
b) Formen Sie das Produkt des Funktionsterms in eine Summe von Potenzfunktionen um und bestimmen Sie den Grad der ganzrationalen Funktion.
Geben Sie den y-Achsenabschnitt an.
Welcher Summand dominiert das Verhalten der Funktion im Unendlichen,
d. h., wenn x → ∞ und x → – ∞ geht? Begründen Sie.
c) Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen von f. Berechnen Sie dazu noch
einige Punkte des Graphen.
10. Nur an Nullstellen kann das Vorzeichen einer ganzrationalen Funktion wechseln.
Geben Sie an, ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt, wenn die Nullstelle einfach,
doppelt, dreifach oder vierfach ist. Begründen Sie Ihre Antwort.
Tipp: Nutzen Sie die Linearfaktordarstellung der Funktion.
11. Listen Sie die Vorteile der Darstellung einer Funktion als Produkt elementarer
Funktionen und die Vorteile ihrer Darstellung als Summe elementarer Funktionen auf.
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MA 2
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Lösungsblatt zu MA 1
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1. Zwei Funktionen u und v lassen sich addieren, indem an jeder Stelle x die Funktionswerte (Ordinaten) beider Funktionen an dieser Stelle addiert werden:
f(x) = u(x) + v(x)
Zeichnung für u(x) = x + 3 und v(x) = x – 1:
An der Stelle x = 2,5 gilt beispielsweise:
u(2,5) = 5,5; v(2,5) = 1,5 ⇒ f(2,5) = 5,5 + 1,5 = 7
f(x) = u(x) + v(x) = x + 3 + x – 1 = 2x + 2
2. a) f(x) = u(x) ⋅ v(x) = (x + 3) ⋅ (x – 1) = x2 + 2x – 3
b) Zeichnung:
Hinweis: Der Graph der quadratischen Funktion f(x) kann über die Scheitelpunktform f(x) = x2 + 2x + 1 – 4 = (x + 1)2 – 4 oder über die Nullstellen x1 = –3
und x2 = 1 als Normalparabel gezeichnet werden.
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
c) Jede Nullstelle eines der Faktoren u(x) und v(x) ist auch Nullstelle des Produkts f(x) (im Beispiel x1 = –3 und x2 = 1).
Das Vorzeichen von f(x) hängt von den Vorzeichen beider Faktoren ab.
Weitere Beobachtungen sind möglich, auch wenn sie für die folgenden Aufgaben nicht relevant sind, z. B.: An der Stelle, an der eine Funktion u oder v
den Funktionswert 1 annimmt, schneidet f die andere Funktion.
3. Die Nullstellen der Funktionen ergeben sich jeweils aus den Nullstellen der einzelnen Faktoren.
a) Für die beiden Faktoren gilt:
u(x) = 3x − 4 = 0 ⇔ x = 4
3
und
v(x) = x + 7 = 0 ⇔ x = −7
Die Nullstellen von f(x) lauten also x1 = 4 und x 2 = −7.
3
b) Hier ergeben sich aus den Faktoren die Nullstellen x1 = 3 , x 2 = −3 und x 3 = 5 .
4
3
c) Aus dem ersten Faktor ergibt sich die Nullstelle x1 = 2, aus dem zweiten Faktor
die (unendlich vielen) Nullstellen x 2, k = k ⋅ π mit k ∈ 9.
4. Für jede beliebige Stelle x ist der Funktionswert f(x) = u(x) ⋅ v(x) ein Produkt von
Zahlen. Es gilt allgemein: Ein Produkt ist null genau dann, wenn mindestens ein
Faktor null ist. Deshalb kann die Funktion f(x) auch neben den Nullstellen von
u(x) und v(x) keine weiteren Nullstellen haben.
Also folgt: f(x) = 0 ⇔ u(x) = 0 oder v(x) = 0
5. a) f(x) hat 3 Nullstellen, nämlich x1 = 2, x 2 = −1 und x 3 = −2.
Ausmultipliziert ergibt sich f (x) = 3x 3 + 3x 2 − 12x − 12 und für den Grad der
Funktion gilt dann: n = 3
b) g(x) hat 2 Nullstellen, nämlich x1 = 3 und x 2 = −1.
g(x) = − x 2 + 2x + 3; n = 2
c) h(x) hat 3 verschiedene Nullstellen, nämlich x1 = 0 und x 2 = 3 sowie die
doppelte Nullstelle x 3, 4 = −2.
h(x) = 4x 4 + 4x 3 − 32x 2 − 48x; n = 4
d) k(x) hat nur 1 Nullstelle, nämlich x1 = −5, da der Term (x 2 + 4) für alle Werte
von x positiv ist und deshalb nie null werden kann.
k(x) = x 3 + 5x 2 + 4x + 20; n = 3
6. a) z. B.: f (x) = (x − 1) 3 = x 3 − 3x 2 + 3x − 1
b) z. B.: g(x) = x 2 ( x + 2) ( x − 3) = x 4 − x 3 − 6x 2
7. a) Für eine Nullstelle der Funktion u(x) = x2 + c mit c > 0 müsste gelten:
x2 + c = 0
x 2 = −c
Da c > 0, gilt – c < 0. Das Quadrat einer reellen Zahl ist aber immer positiv oder
null. Deshalb ist die Lösungsmenge der Gleichung leer; die Funktion u(x) hat
keine Nullstellen.
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
b) Angenommen, es gäbe eine Zerlegung dieses Funktionstyps in lineare Faktoren. Dann hätte jeder dieser Faktoren als lineare Funktion eine Nullstelle.
Diese Nullstellen wären aber auch Nullstellen der Produktfunktion. Dies ist
ein Widerspruch zu Teilaufgabe a (indirekter Beweis).
c) Da Terme der Form x2 + c mit c > 0 nach Teilaufgabe a keine Nullstellen
haben, hat auch ein Produkt solcher Terme keine Nullstellen. Ein Beispiel für
eine Funktion vom Grad 4 ohne Nullstellen ist deshalb z. B.:
f (x) = (x 2 + 2) (x 2 + 1) = x 4 + 3x 2 + 2
8. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n kann höchstens in n lineare Faktoren
zerlegt werden, denn die Variable x wird dann wegen der n linearen Faktoren
n-mal mit sich multipliziert, wodurch xn entsteht. Ein weiterer Linearfaktor
würde zu einer höheren Potenz in x (also einem höheren Grad) führen.
Jede lineare Funktion hat genau eine Nullstelle (Konstanten zählen nicht zu den
Linearfaktoren). Somit kann die ganzrationale Funktion vom Grad n insgesamt
maximal n Nullstellen besitzen.
Wenn in einer Faktordarstellung einer ganzrationalen Funktion ein quadratischer
Faktor vom Typ (x2 + c) mit c > 0 auftritt, kann dieser Faktor nicht weiter in
lineare Faktoren zerlegt werden. Dann hat die ganzrationale Funktion wegen
dieses Terms zwei Nullstellen weniger.
9. a) Die Nullstellen der Funktion ergeben sich aus den Linearfaktoren:
x1 = –1; x2, 3 = 2 (doppelte Nullstelle)
Gebietseinteilung:
(x + 1)
–
+
+
(x – 2)2
+
+
+
f(x)
–
+
+
b) f (x) = 0,5(x + 1) (x − 2) 2 = 0,5x 3 − 1,5x 2 + 2
f ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades.
Für den y-Achsenabschnitt gilt x = 0, also f(0) = 2 (konstanter Summand).
Die Potenzfunktion mit dem höchsten Exponenten dominiert den Verlauf im
Unendlichen, d. h., der Graph von f verhält sich dabei wie y = 0,5x3.
c) z. B.: A(0 | 2), B(1 | 1), C(3 | 2); Skizze: siehe Zeichnung in Teilaufgabe a
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
10. Bei einer einfachen oder dreifachen Nullstelle wechselt das Vorzeichen der
Funktionswerte, bei einer doppelten oder vierfachen Nullstelle dagegen nicht.
Begründung: Die Linearfaktoren in einer Linearfaktordarstellung der Funktion f
stellen lineare Funktionen dar.
Lineare Funktionen y = mx + c mit positiver Steigung m sind streng monoton
wachsend; die Funktionswerte links der Nullstelle sind deshalb kleiner null und
diejenigen rechts der Nullstelle größer null. Dies bedeutet einen Vorzeichenwechsel von – nach +. Bei negativer Steigung m ist die lineare Funktion streng
monoton fallend. Das Vorzeichen wechselt dann von + nach –.
In beiden Fällen schneidet die Gerade die x-Achse und es findet ein Vorzeichenwechsel statt.
Beispiel:
u(x) = 2x – 6; streng monoton wachsend; Nullstelle x = 3
x
2,9
3
3,1
u(x) = 2x – 6
– 0,2
0
0,2
Vorzeichen von u(x)
+
–
Bei einer doppelten Nullstelle ist der gleiche Linearfaktor genau zweimal vorhanden. Im Produkt heben sich die Vorzeichen auf, es gibt keinen Vorzeichenwechsel. Der Graph berührt an dieser Stelle die x-Achse, ohne sie zu durchqueren.
Beispiel:
x
2,9
3
3,1
u(x) = 2x – 6
– 0,2
0
0,2
(u(x))2 = (2x – 6)2
0,04
0
0,04
Vorzeichen von (u(x))2
+
+
Bei einer dreifachen Nullstelle erzwingt der dritte gleiche Faktor wieder einen
Vorzeichenwechsel.
Diese Aussagen gelten auch für beliebige Produktfunktionen f, da die übrigen
Linearfaktoren an der entsprechenden Stelle das Vorzeichen nicht ändern.
Allgemein gilt: Bei einer n-fachen Nullstelle mit geradem n findet kein Vorzeichenwechsel statt; bei ungeradem n wechselt das Vorzeichen.
11. Eine Darstellung der Funktion als Produkt elementarer Faktoren erleichtert,
• die Nullstellen zu bestimmen,
• den Vorzeichenwechsel an den Nullstellen zu untersuchen,
• eine Gebietseinteilung vorzunehmen.
(Ausblick: Die Produktdarstellung wird sich auch als nützlich bei der Bestimmung der Extremwerte und Wendepunkte erweisen. Insbesondere ist dann das
hinreichende Kriterium des Vorzeichenwechsels leicht zu behandeln.)
Die Darstellung der Funktion als Summe erweist sich als vorteilhaft, wenn
• der Graph durch Ordinatenaddition erstellt werden kann,
• der y-Achsenabschnitt bestimmt werden soll,
• das Verhalten für x → ∞ und x → – ∞ untersucht werden soll.
(Ausblick: Bei der Bestimmung der Ableitung oder eines Integrals sind Summendarstellungen in der Regel ebenfalls einfacher zu handhaben.)
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MA 3
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Abstraktion der Multiplikation
Farbfolie
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
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A. 3. 7 ⏐ 22
MA 4
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Methoden des Faktorisierens quadratischer Terme
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Methode
Beispiele
Ausklammern
x 2 + 4x
↑
Kommentare
= x(x + 4)
x kann ausgeklammert werden, wenn es
keinen konstanten Term gibt, d. h., wenn
sich in jedem Summanden ein x befindet.
3,5x 2 + x = x(3,5x + 1)
nicht sinnvoll
(
x 2 + 4x + 1 = x x + 4 + 1x
Vergessen Sie nicht den Faktor 1 vor dem x.
)
Binomische Formeln
Ist die Konstante nicht null, hilft ein Ausklammern selten weiter, da ein Bruchterm
entsteht.
Stehen bei x2 und im konstanten Term
Quadratzahlen, überprüfen Sie, ob eine
binomische Formel vorliegt.
1. Binomische
Formel
x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2
↑
↑
2. Binomische
Formel
4x 2 − 12x + 9 = (2x − 3) 2
↑
↑
3. Binomische
Formel
x 2 − 25 = (x + 5) (x − 5)
nicht möglich
x2 + 4
↑
Ein rein quadratischer Term mit positiven
Summanden kann nicht weiter zerlegt
werden.
Satz von Vieta
(Verallgemeinerung
der binomischen
Formeln)
x 2 − 2 x − 3 = (x + p ) (x + q)
Raten Sie unter mehreren
Möglichkeiten:
(1) −3 = 1 ⋅ ( −3)
Überprüfen Sie:
(2) 1 + ( −3) = −2
Welche Zahlen p und q ergeben als
(1) Produkt die Konstante
und als
(2) Summe den Koeffizienten vor dem x?
Beachten Sie die Vorzeichen.
Machen Sie die Probe.
Beachten Sie jeweils die Vorzeichen.
Machen Sie die Probe.
⇒ x 2 − 2x − 3 = (x + 1) (x − 3)
p-q-Formel
oder
abc-Formel
x 2 − 2x − 3 = 0
⇒ x1, 2 = − −22 ±
( )
−2 2 − ( −3)
2
⇒ x1 = 3 und x 2 = −1
Also:
(x − 3) = 0 bzw. (x − ( −1)) = 0
⇒ x 2 − 2x − 3 = (x + 1) (x − 3)
falls a ≠ 1
4x 2 − 8x − 12 = 4(x 2 − 2x − 3)
↑
= 4(x + 1) (x − 3)
↑
Setzen Sie den zu faktorisierenden Term
null und bestimmen Sie die Nullstellen x1
und x2.
Bilden Sie die zu den Nullstellen gehörenden Linearfaktoren und stellen Sie den
Term als deren Produkt dar.
Klammern Sie zuerst den Faktor a vor dem
quadratischen Term x2 aus und vergessen
Sie diesen nicht beim Faktorisieren.
Erfinden Sie eigene Beispiele quadratischer Terme, mit denen Sie die verschiedenen Methoden
sowie deren Grenzen testen können.
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Aufgaben zum Faktorisieren
A. 3. 7 ⏐ 23
MA 5
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Üben Sie alle in der Stunde wiederholten Verfahren.
Wählen Sie jeweils ein möglichst einfaches Verfahren.
1. „Ob Summe oder Produkt: Die zuletzt anzuwendende Rechenoperation
bezeichnet den Term.“
Wandeln Sie die Summe in ein Produkt um.
a) x2 – 36
b) x2 – 8x + 16
c) x2 – 5x + 6
d) 9x2 + 12x + 4
e) x2 + 81
f) 4x2 – 49
g) x2 + 10x + 24
h) 4y2 – 8y + 3
i) 6a2 + 5a + 1
2. „Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.“
Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der Gleichung.
a) 3w – 5w2 = 0
b) s2 – 7s = 60
c) x = 12
d)
x +1
e)
x(x − 8) = 3
4(x + 3) = x
3. „Ein Nenner darf nicht null werden.“
Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich D der Funktion.
a) f (x) =
1
x 2 − 5x − 24
c) h(x) =
x
5 − x2
b) g(x) =
1
x2 + 7
4. „Durch einen Faktor darf gekürzt werden, wenn er nicht null wird.“
Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich D der Funktion und kürzen Sie
anschließend den Term im Definitionsbereich.
a) f (x) =
x 2 − 25
x 2 + 2x − 15
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2
b) g(x) = x 2 − 11x + 28
x − 4x − 21
A. 3. 7 ⏐ 24
MA 6
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Kurzlösungen zu MA 5
Folienvorlage
1. a) (x + 6) (x – 6)
b) (x – 4)2
c) (x – 2) (x – 3)
d) (3x + 2)2
e) nicht möglich
f) (2x + 7) (2x – 7)
g) (x + 4) (x + 6)
h) (2y – 1) (2y – 3)
i) (2a + 1) (3a + 1)
2. a) L = {0; 3}
5
c) L = {– 4; 3}
b) L = {–5; 12}
d) L = {–1; 9}
e) L = {6}, –2 ist keine Lösung (Probe)
3. a) Df = 0 \ {–3; 8}
b) Dg = 0
c) Dh = 0 \{− 5; 5}
4. a) Df = 0 \ {–5; 3}
f (x) = x − 5 auf Df
x−3
b) Dg = 0 \ {–3; 7}
g(x) = x − 4 auf Dg
x+3
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Lösungsblatt zu MA 5
A. 3. 7 ⏐ 25
MA 7
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1. a) x2 – 36 = (x + 6) (x – 6)
3. binomische Formel
b) x2 – 8x + 16 = (x – 4)2
2. binomische Formel
c) x2 – 5x + 6 = (x – 2) (x – 3)
Satz von Vieta ((–2) ⋅ (–3) = 6; (–2) + (–3) = –5)
d) 9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)2
1. binomische Formel
e) x2 + 81 nicht möglich
immer positiv
f) 4x2 – 49 = (2x + 7) (2x – 7)
3. binomische Formel
g) x2 + 10x + 24 = (x + 4) (x + 6)
Satz von Vieta (4 ⋅ 6 = 24; 4 + 6 = 10)
(
h) 4y 2 − 8y + 3 = 4 y 2 − 2y + 3
4
)
y 2 − 2y + 3 = 0
Ausklammern
p-q-Formel
4
y1, 2 = 1 ± 1 − 3
4
y1 =
und y 2 = 1
2
3
2
(
4y 2 − 8y + 3 = 4 y − 3
2
) ( y − 12 ) = 2 ( y − 23 ) ⋅ 2 ( y − 12 ) = (2y − 3)(2y − 1)
Alternative:
Substitution z = 2y
z2 – 4z + 3 = (z – 1) (z – 3)
Resubstitution:
4y2 – 8y + 3 = (2y – 1) (2y – 3)
(
i) 6a 2 + 5a + 1 = 6 a 2 + 5 a + 1
6
6
Satz von Vieta ((–1) ⋅ (–3) = 3; (–1) + (–3) = – 4)
)
Ausklammern
a2 + 5 a + 1 = 0
6
p-q-Formel
6
a1, 2 = − 5 ±
25 − 1
12
144 6
a1 = − 1 und a 2 = − 1
3
2
(
)(
) (
) (
)
6a 2 + 5a + 1 = 6 a + 1 a + 1 = 3 a + 1 ⋅ 2 a + 1 = (3a + 1) (2a + 1)
3
2
3
2
Alternative:
Satz von Vieta in einer ähnlichen Form
pqx2 + (p + q)x + 1 = (px + 1) (qx + 1)
6a2 + 5a + 1 = (2a + 1) (3a + 1)
mit 2 ⋅ 3 = 6; 2 + 3 = 5
2. a) 3w – 5w2 = 0 ⇔ w(3 – 5w) = 0 ⇔ w = 0 oder w = 3
5
{ 5}
⇒ L = 0; 3
( ∗)
b) s2 – 7s = 60 ⇔ s2 – 7s – 60 = 0 ⇔ (s + 5) (s – 12) = 0 ⇔ s = –5 oder s = 12
⇒ L = {–5; 12}
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(∗) Satz von Vieta (5 ⋅ (–12) = – 60; 5 + (–12) = –7)
A. 3. 7 ⏐ 26
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
( ∗)
c) x = 12
x +1
⇔ x(x + 1) = 12 ⇔ x 2 + x − 12 = 0 ⇔ (x − 3) (x + 4) = 0
⇔ x = 3 oder x = – 4
⇒ L = {– 4; 3}
(∗) Satz von Vieta ((–3) ⋅ 4 = –12; (–3) + 4 = 1)
d)
(∗)
x(x − 8) = 3 ⇒ x(x − 8) = 9 ⇔ x 2 − 8x − 9 = 0 ⇔ (x + 1)(x − 9) = 0
(∗) Satz von Vieta (1 ⋅ (– 9) = – 9; 1 + (– 9) = – 8)
⇔ x = –1 oder x = 9
Die Probe ergibt: L = {–1; 9}
e)
( ∗)
4(x + 3) = x ⇒ 4(x + 3) = x 2 ⇔ x 2 − 4x − 12 = 0 ⇔ (x + 2) (x − 6) = 0
(∗) Satz von Vieta (2 ⋅ (– 6) = –12; 2 + (– 6) = – 4)
⇔ x = –2 oder x = 6
Die Probe ergibt: –2 ist keine Lösung, also L = {6}
( ∗)
3. a) Nenner: x 2 − 5x − 24 = 0 ⇔ (x + 3)(x − 8) = 0 ⇔ x = –3 oder x = 8
⇒ Df = 0 \ {–3; 8}
(∗) Satz von Vieta (3 ⋅ (– 8) = –24; 3 + (– 8) = –5)
b) Nenner: x2 + 7 immer positiv
⇒ Dg = 0
c) Nenner: 5 – x2 = 0 ⇔ x = ± 5
⇒ D h = 0 \ {− 5; 5}
4. a) Nenner: x 2 + 2x − 15 = 0 ⇔ (x − 3)(x + 5) = 0 ⇔ x = 3 oder x = −5
⇒ Df = 0 \ {–5; 3}
f (x) =
x2
x 2 − 25
+ 2x − 15
=
(x + 5) (x − 5)
(x − 3) (x + 5)
=
x −5
x −3
auf Df
b) Nenner: x 2 − 4x − 21 = 0 ⇔ (x + 3) (x − 7) = 0 ⇔ x = −3 oder x = 7
⇒ Dg = 0 \ {–3; 7}
2
(x − 4) (x − 7) x − 4
g(x) = x 2 − 11x + 28 =
=
auf Dg
(x + 3) (x − 7)
x+3
x − 4x − 21
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Arbeitsblatt 1: Methode der Polynomdivision
A. 3. 7 ⏐ 27
MA 8
Kopiervorlage
Die Methoden der schriftlichen Multiplikation und Division von Zahlen können auf beliebige Terme bzw. Polynome verallgemeinert werden. Die genaue Technik wird mit dem
Arbeitsblatt 2 eingeübt.
schriftliche
Multiplikation
Zahlen
21 ⋅ 31 2
63
+ 21
42
+
6552
(2x + 1) ⋅ (3x 2 + 1x + 2)
Polynome
6x 3 + 3x 2
2x 2 + 1x
+
4x + 2
+
6x 3 + 5x 2 + 5x + 2
schriftliche
Division
6552 : 21 = 312
− 63
25
−21
42
−42
0
(6x 3 + 5x 2 + 5x + 2) : (2x + 1) = (3x 2 + 1x + 2)
−(6x 3 + 3x 2 )
2x 2 + 5x
−(2x 2 + 1x)
4x + 2
−(4x + 2)
0
1. a) Die Division von Zahlen ist ein Spezialfall der Division von Polynomen.
Für welche Zahl x ergibt sich im Beispiel oben der Spezialfall 6 552 : 21 = 312?
b) Überprüfen Sie anhand einer weiteren Zahl x, dass das Ergebnis korrekt ist.
2. a) Das Produkt zweier Polynome ist für alle Zahlen x allgemeingültig.
Rechnen Sie das Produkt (2x + 1) ⋅ (3x2 + 1x + 2) in gewohnter Weise aus.
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Verallgemeinerung der schriftlichen Multiplikation im Beispiel oben. Welches Rechengesetz wird verwendet, das die Allgemeingültigkeit garantiert?
b) Warum folgt daraus zwingend, dass auch die Division von Polynomen allgemeingültig ist?
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A. 3. 7 ⏐ 28
MA 9
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Arbeitsblatt 2: Technik der Polynomdivision
Kopiervorlage
1. Ergänzen Sie die fehlenden Beschriftungen zur Erläuterung der Rechnung:
2. Setzen Sie die Polynomdivision fort:
(x 3 − 3x 2 − 10x + 24) : (x − 2) = x 2 − x
Vorzeichen beachten.
− (x 3 − 2x 2 )
− x 2 − 10x
− ( − x 2 + 2x)
3. Berechnen Sie (19x − 30 − x 3 ) : (x − 2).
( − x 3 + 0x 2 + 19x − 30) : (x − 2) = − x 2
− ( − x 3 + 2x 2 )
Potenzen dem Grad nach ordnen;
fehlende x-Potenzen mit dem
Koeffizienten 0 ergänzen.
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Arbeitsblatt 3: Polynomdivision mit Rest
A. 3. 7 ⏐ 29
MA 10
Kopiervorlage
Sollen 139 Kuchen auf
12 Kindergruppen gerecht aufgeteilt
werden, kann man jeden Kuchen in
12 Stücke teilen und jede Gruppe erhält
von jedem Kuchen 1 Stück, insgesamt
also 139 Stücke
bzw. 139 Zwölftel: 139
12
Mit geringerem Aufwand verteilt man
die Kuchen, indem man jeder Gruppe
11 ganze Kuchen gibt: 11 ⋅ 12 = 132
Die restlichen 7 Kuchen werden dann
noch anteilig aufgeteilt; jede Gruppe
erhält 7 Zwölftel bzw. insgesamt 11 + 7 .
12
Verallgemeinern Sie dieses Zahlenbeispiel ausgehend von der schriftlichen Division
mit Rest zu einer Polynomdivision mit Restterm.
schriftliche Division mit Rest:
139 :12 = 11 + 7
12
− 12
Polynomdivision mit Rest:
(1 ⋅ x 2 + 3 ⋅ x + 9) : (
)=
19
−1 2
7
In einem Mathematikbuch findet sich folgende Argumentation:
Die Division eines Polynoms f(x) durch einen Linearfaktor (x – xn) mit einer beliebigen
konstanten Zahl xn lässt sich bis auf einen Rest r durchführen. Dieser Rest ist dann eine
konstante Zahl, also unabhängig von x; es gilt:
f ( x ) = g( x ) ⋅ ( x − x n ) + r mit r ∈ 4
Wenn xn eine Nullstelle der ganzrationalen Funktion f(x) ist, folgt daraus:
f ( x n ) = g( x n ) ⋅ ( x n − x n ) + r
0 = g( x n ) ⋅ 0 + r
0=r
Vollziehen Sie die Argumentation nach und formulieren Sie einen allgemeingültigen
Satz über die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion f(x), der aus dieser Argumentation abgeleitet werden kann.
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A. 3. 7 ⏐ 30
MA 11
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Arbeitsblatt 4: Übungen und Anwendungen
Kopiervorlage
1. Führen Sie jeweils die Polynomdivision aus.
a) (x2 – 2x – 3) : (x + 1)
b) (x5 – 3x3 + 5x2 – 4x + 5) : (x2 + 1)
c) Multiplizieren Sie zur weiteren Übung zwei beliebige Polynome miteinander.
Anschließend dividieren Sie das Ergebnis durch einen der beiden Faktoren.
2. Erraten Sie eine Nullstelle und bestimmen Sie dann sämtliche Nullstellen der
Funktion f(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2.
3. Zerlegen Sie den Funktionsterm vollständig in Linearfaktoren:
f(x) = x3 + x2 – 10x + 8
4. Raten Sie zunächst eine Lösung und bestimmen Sie dann sämtliche Lösungen der
folgenden Gleichung:
x3 – 17x = – x2 – 15
x2 + 3x
2
als Quotient zweier ganzrationaler
5. a) Gegeben ist die Funktion f (x) =
2x − 1
Funktionen.
Führen Sie eine Polynomdivision mit Rest durch, um eine Summendarstellung
der Funktion f zu erhalten.
b) Je größer x wird, desto stärker nähert sich der Graph der Funktion f der Geraden y = 1 x + 1 an. Begründen Sie.
2
6. a) Zu einer Funktion f(x) lässt sich der Differenf (x) − f (x )
renzenquotient x − x 0 an einer Stelle x0
0
berechnen.
Berechnen Sie den Differenzenquotienten für
die Funktion f(x) = x3 und die Stelle x0 = 2
durch Polynomdivision.
b) Interpretieren Sie anhand der Abbildung rechts,
was mit dem Differenzenquotienten allgemein
berechnet wird.
7. „Kann man eine ganzrationale Funktion vollständig in Linearfaktoren zerlegen,
kennt man sämtliche Nullstellen der Funktion.“
Gilt auch der umgekehrte Schluss?
„Sind sämtliche Nullstellen gegeben, dann ist die ganzrationale Funktion eindeutig vorgegeben.“
Begründen Sie Ihre Antwort.
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Lösungsblatt zu Arbeitsblatt 1
A. 3. 7 ⏐ 31
MA 12
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1. a) Die Division der Polynome (6x3 + 5x2 + 5x + 2) : (2x + 1) = (3x2 + 1x + 2) ergibt
für x = 10 als Spezialfall die Division 6 552 : 21 = 312.
Dies entspricht der Darstellung der Zahlen anhand ihrer Dezimalstellen:
(6 ⋅10 3 + 5 ⋅ 10 2 + 5 ⋅ 10 + 2) : (2 ⋅ 10 + 1) = (3 ⋅ 10 2 + 1 ⋅ 10 + 2)
−(6 ⋅ 10 3 + 3 ⋅ 10 2 )
2 ⋅ 10 2 + 5 ⋅ 10
−(2 ⋅ 10 2 + 1 ⋅ 10)
4 ⋅ 10 + 2
−(4 ⋅ 10 + 2)
0
b) Rechnung für x = 2:
(6 ⋅ 2 3 + 5 ⋅ 2 2 + 5 ⋅ 2 + 2) : (2 ⋅ 2 + 1) = 80 : 5 = 16 und (3 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 + 2) = 16
Weiteres Beispiel x = 1:
(6 ⋅ 13 + 5 ⋅ 12 + 5 ⋅ 1 + 2) : (2 ⋅ 1 + 1) = 18 : 3 = 6 und (3 ⋅ 12 + 1 ⋅ 1 + 2) = 6
2. a) (2x + 1) ⋅ (3x 2 + 1x + 2) = 6x 3 + 2x 2 + 4x + 3x 2 + 1x + 2 = 6x 3 + 5x 2 + 5x + 2
Dies stimmt mit dem Ergebnis der entsprechenden schriftlichen Multiplikation
überein. Bei der Berechnung wird insbesondere das Distributivgesetz angewendet, um die Klammern auszumultiplizieren.
b) Bei der schriftlichen Division wird schrittweise die Umkehroperation der Multiplikation angewendet. Da diese allgemeingültig ist, gilt dies auch für die Division. Aufgrund der hergestellten Analogie kann dies auf die Verallgemeinerung
der Multiplikation und Division von Polynomen übertragen werden.
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A. 3. 7 ⏐ 32
MA 13
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Lösungsblatt zu Arbeitsblatt 2
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1. Rechnung mit vollständigen Erläuterungen:
2. Vollständige Polynomdivision:
(x 3 − 3x 2 − 10x + 24) : (x − 2) = x 2 − x − 12
Vorzeichen beachten.
− (x 3 − 2x 2 )
− x 2 − 10x
− ( − x 2 + 2x)
− 12x + 24
− ( −12x + 24)
0
3. Vollständige Berechnung von (19x − 30 − x 3 ) : (x − 2) :
( − x 3 + 0x 2 + 19x − 30) : (x − 2) = − x 2 − 2x + 15
− ( − x 3 + 2x 2 )
Potenzen dem Grad nach ordnen;
fehlende x-Potenzen mit dem
Koeffizienten 0 ergänzen.
− 2x 2 + 19x
− ( − 2x 2 + 4x)
15x − 30
− (15x − 30)
0
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Lösungsblatt zu Arbeitsblatt 3
A. 3. 7 ⏐ 33
MA 14
Kopiervorlage
Stellt man die Zahlen mit Zehnerpotenzen dar und ersetzt die 10 jeweils durch x, erhält man aus 139 : 12 die entsprechende Polynomdivision (1 ⋅ x 2 + 3 ⋅ x + 9) : (1 ⋅ x + 2).
schriftliche Division mit Rest:
Polynomdivision mit Rest:
(x 2 + 3x + 9) : (x + 2) = x + 1 + 7
x+2
− (x 2 + 2x)
x+9
− (x + 2)
7
139 :12 = 11 + 7
12
− 12
19
−1 2
7
Dividiert man ein Polynom f(x) durch einen Linearfaktor (x – xn), so ergibt sich ein
Polynom g(x) (mit einem um 1 niedrigeren Grad als f(x)) sowie evtl. ein konstanter
Rest r (im obigen Beispiel gilt g(x) = x + 1 und r = 7):
f (x) : (x − x n ) = g(x) +
r
x − xn
mit r ∈ 0
Aus dieser Gleichung erhält man die in der Argumentation angegebene Darstellung
von f(x), indem man beide Seiten mit (x – xn) multipliziert:
f (x) = g(x) ⋅ (x − x n ) + r mit r ∈0
Setzt man in diese Gleichung xn für x ein, erhält man:
f (x n ) = g(x n ) ⋅ (x n − x n ) + r = g(x n ) ⋅ 0 + r = r
Ist xn eine Nullstelle von f(x), so gilt f(xn) = 0, also folgt daraus in diesem Fall:
r=0
Man erhält folgende allgemeingültige Aussage:
Wird eine Polynomdivision durch einen Linearfaktor (x – xn) mit einer Nullstelle xn
des Polynoms durchgeführt, geht die Division auf und es bleibt kein Rest (r = 0).
Die Linearfaktoren (x – xn) mit einer Nullstelle xn sind also Teiler des Polynoms.
Umgekehrt gilt: Bleibt bei der Polynomdivision durch einen Linearfaktor ein Rest,
dann ist xn keine Nullstelle des Polynoms.
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A. 3. 7 ⏐ 34
MA 15
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
Lösungsblatt zu Arbeitsblatt 4
Kopiervorlage
1. a)
(x 2 − 2x − 3) : (x + 1) = x − 3
− (x 2 + x)
− 3x − 3
− ( − 3x − 3)
0
Die Aufgabe ist auch mit dem Satz von Vieta lösbar.
b) Ergänzen Sie zur Vereinfachung der Rechnung in beiden Polynomen fehlende
x-Potenzen jeweils mit dem Koeffizienten 0:
(x 5 + 0x 4 − 3x 3 + 5x 2 − 4x + 5) : (x 2 + 0x + 1) = x 3 − 4x + 5
− (x 5 + 0x 4 + x 3 )
− 4x 3 + 5x 2 − 4x
− ( − 4x 3 − 0x 2 − 4x)
5x 2 + 0x + 5
− (5x 2 + 0x + 5)
0
c) individuelle Lösung
Bei der Division muss sich der jeweils andere Faktor ergeben.
2. Leicht zu erraten ist die Nullstelle –1:
f(–1) = (–1)3 + 4 ⋅ (–1)2 + 5 ⋅ (–1) + 2 = –1 + 4 – 5 + 2 = 0
Der Linearfaktor (x + 1) muss also ein Teiler des Polynoms sein:
(x 3 + 4x 2 + 5x + 2) : (x + 1) = x 2 + 3x + 2
− (x 3 + x 2 )
3x 2 + 5x
− (3x 2 + 3x)
2x + 2
− (2x + 2)
0
Mit dem Satz von Vieta erhält man weiterhin: x 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2)
⇒ f (x) = x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) 2 ⋅ (x + 2)
Daraus ergeben sich die Nullstellen:
x1, 2 = –1 (doppelte Nullstelle); x3 = –2
3. Hier kann man die Nullstelle 1 erraten: f(1) = 13 + 12 – 10 + 8 = 0
Einer der Linearfaktoren lautet also (x – 1); Polynomdivision ergibt:
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Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
(x 3 + x 2 − 10x + 8) : (x − 1) = x 2 + 2x − 8
− (x 3 − x 2 )
2x 2 − 10x
− (2x 2 − 2x)
− 8x + 8
− ( − 8x + 8)
0
Mit dem Satz von Vieta erhält man weiterhin: x 2 + 2x − 8 = (x − 2) (x + 4)
Die Linearfaktordarstellung von f(x) lautet also:
f (x) = x 3 + x 2 − 10x + 8 = (x − 1) (x − 2) (x + 4)
4. Leicht zu erraten ist die Lösung 1:
13 – 17 = –12 – 15 = –16
Umgeschrieben lautet die Gleichung: x 3 + x 2 − 17x + 15 = 0
Mit der bekannten Lösung 1 führt man eine Polynomdivision durch:
(x 3 + x 2 − 17x + 15) : (x − 1) = x 2 + 2x − 15
− (x 3 − x 2 )
2x 2 − 17x
− (2x 2 − 2x)
−15x + 15
− ( −15x + 15)
0
Mit dem Satz von Vieta erhält man weiterhin: x 2 + 2x − 15 = (x − 3) (x + 5)
Die Lösungen der Gleichung lauten also:
x1 = 1; x2 = 3; x3 = –5
5. a)
( x 2 + 32 x + 0) : (2x − 1) = 12 x + 1 + 2x1− 1 = f (x)
− (x 2 − 1 x)
2
2x + 0
−(2x − 1)
1
b) Aus der Summendarstellung der Funktion f in Teilaufgabe a erkennt man, dass
der letzte Summand (der Bruch des Restterms) für große x gegen null geht.
Die ersten beiden Summanden bilden die angegebene Geradengleichung.
Die Gerade ist die Asymptote der Funktion f.
Skizze zur Veranschaulichung: s. nächste Seite.
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A. 3. 7 ⏐ 35
A. 3. 7 ⏐ 36
Ganzrationale Funktionen: Produkte und Faktorzerlegungen von Funktionen
6. a) Mit f(x) = x3 und x0 = 2 erhält man für den Differenzenquotienten:
f (x) − f (x 0 )
x − x0
=
f (x) − f (2)
x−2
3
3
3
= x − 2 = x − 8 = x 2 + 2x + 4
x−2
x−2
Nebenrechnung Polynomdivision:
(x 3 + 0x 2 + 0x − 8) : (x − 2) = x 2 + 2x + 4
− (x 3 − 2x 2 )
2x 2 + 0x
− (2x 2 − 4x)
4x − 8
− (4x − 8)
0
b) Ausgehend vom Punkt (x0 | f(x0)) wird mit dem Differenzenquotienten die
Steigung der Sekante zu einem beliebigen Punkt (x | f(x)) des Graphen berechnet. Sie gibt an, wie stark sich die Funktion im Mittel über das Intervall [x0; x]
ändert, wie steil also die Kurve verläuft.
7. Die Umkehrung der Aussage ist falsch: Die Funktion ist durch die Nullstellen
nicht eindeutig festgelegt.
Gegenbeispiel:
Sind beispielsweise die Nullstellen x1 = 1 und x2 = 2 vorgegeben, dann erfüllen
u. a. folgende verschiedene Funktionen die Bedingung, dass sie genau diese zwei
Nullstellen besitzen:
f (x) = (x − 1) (x − 2) = x 2 − 3x + 2
g(x) = 2(x − 1)(x − 2) = 2x 2 − 6x + 4
h(x) = (x − 1)(x − 2) (x 2 + 1) = x 4 − 3x 3 + 3x 2 − 3x + 2
Die Funktion h(x) hat dabei ebenfalls nur die zwei gegebenen Nullstellen, da der
Faktor (x2 + 1) immer positiv ist und deshalb nie null werden kann.
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