Serie 4 - Institut für Physik
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Übungen zur Biophysik 1 - Wintersemester 2012/2013 Serie 4 9. November 2012 Vorzurechnen am 13. November Aufgabe 1: Die Energie eines Elektrons in einem Atom mit mehreren Elektronen kann in Anlehnung an das Wasserstoffmodell durch folgenden Ausdruck angenähert werden: 2 me e4 Zeff En = 2 2h̄ (4π0 )2 n2 Dabei gibt die Hauptquantenzahl n die Schale an, in der das Elektron sich befindet. Die effektive Kernladung Zeff = Z − s gibt die Anzahl der Kernladungen (Z) an vermindert um die Abschirmung (s) durch innere Elektronen. Nach einem empirischen Modell liefern die inneren Elektronen folgende Beiträge zu s: • 1,00 für innere Elektronen, die sich bei gleicher Quantenzahl l für den Bahndrehimpuls zwei Schalen weiter innen befinden (zum Beispiel 1s zu 3s oder 2p zu 4p), oder für ein p-Elektron, das ein anderes pElektron in der gleichen Schale und mit gleichem ml abschirmt (zum Beispiel 2px spin-up zu 2px spin-down). • 0,70 für die Abschirmung eines p-Elektrons durch ein anderes p-Elektron der gleichen Schale mit anderem ml (zum Beispiel 2px zu 2py ). • 0,65 für die Abschirmung eines s-Elektrons durch ein anderes s-Elektron der gleichen Schale (zum Beispiel 2s spin-up zu 2s spin-down). • 0,90 für alle übrigen Fälle. Welche Energie erhalten Sie nach dieser empirischen Abschätzung für ein 1s-Elektron in einem Heliumatom und für ein 2p-Elektron in einem Sauerstoffatom? Vergleichen Sie Ihre Werte mit Ionisierungsenergien für beide Atome, die Sie der Literatur entnehmen können. Aufgabe 2: In einem ausreichend starken äußeren Magnetfeld B lassen sich ungepaarte Elektronen spektroskopisch nachweisen, da sie sich bevorzugt so ausrichten, dass ihr magnetisches Moment µ parallel zu B steht. Wie groß muss der Betrag von B sein, damit 501 von 1000 Elektronen parallel und 499 antiparallel zum Magnetfeld stehen? Was ändert sich, wenn man Protonen statt Elektronen betrachtet? Privatdozent Dr. Hauke Paulsen · Institut für Physik · Universität zu Lübeck · [email protected] Übungen zur Biophysik 1 - Wintersemester 2012/2013 Hinweis: Die potentielle Energie, die ein Teilchen mit dem magnetischen Moment µ in einem Magnetfeld B besitzt, lautet µ·B E = −µ Legt man das Koordinatensystem so, dass das Magnetfeld in z-Richtung zeigt, lässt sich das Skalarprodukt durch das Produkt aus der z-Komponente µz und dem Betrag B ersetzen. Die Wahrscheinlichkeit, in einem Ensemble gleicher Teilchen eines zu finden, das eine Energie E besitzt, ist proportional zu e−(E−E0 )/kB T Dabei ist E0 die Grundzustandsenergie, also der kleinstmögliche Energiewert des Teilchens, und kB ist die Boltzmannkonstante. Schlagen Sie die erforderlichen Naturkonstanten in der einschlägigen Literatur nach. Verwenden Sie die gyromagnetischen Faktoren gS = 2.0024 (für das Elektron) und gI = 5.58 (für das Proton). Aufgabe 3: Die potentielle Energie zweier einfach geladener Ionen hat den Betrag e2 1 Epot = 4πr 0 r Im Durchschnitt haben beide Ionen zusammen eine kinetische Energie von Ekin = 3kB T . In welchem Abstand sind potentielle und kinetische Energie vom Betrag her gleich groß? Rechnen Sie einmal mit der relativen Permittivität des Vakuums (r = 1) und einmal mit der relativen Permittivität des Wassers (r = 78). Aufgabe 4: Die potentielle Energie, die von der Dipol-Dipol-Wechselwirkung zweier Wassermoleküle herrührt, hat maximal den Betrag Epot = 1 p2 2πr 0 r3 Hier ist p = 6, 17 × 10−30 C m das statische Dipolmoment des Wassermoleküls. Zusammen haben zwei Wassermoleküle eine durchschnittliche kinetische Energie von Ekin = 3kB T . In welchem Abstand sind potentielle und kinetische Energie vom Betrag her gleich groß? Rechnen Sie zunächst mit der relativen Permittivität des Vakuums (siehe vorherige Aufgabe) und überlegen Sie dann, ob eine Rechnung mit der relativen Permittivität des Wassers sinnvoll ist. Privatdozent Dr. Hauke Paulsen · Institut für Physik · Universität zu Lübeck · [email protected]
