ExPhys 1, Vorlesung 12, 08.06.2009
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Zur Erinnerung Stichworte aus der 11. Vorlesung: Zusammenfassung: Trägheitsmomente, Kreisel, etc. allgemeine Darstellung des Drehimpulses für Drehung von beliebig geformtem Körper um beliebige Drehachse (durch den Schwerpunkt) Zusammenhang von ω und L. Im allgemeinen Fall liegt L nicht parallel zu ω. Trägheitstensor: verbindet L mit ω („transformiert ω nach L“ ) Hauptträgheitsachsen: Trägheitsmomente: Experimentalphysik I SS 2008 Hauptträgheitsachsen = drei senkrecht zu einander stehende Achsen a, b, c mit zugehörigen Trägheitsmomenten Ia ≤ Ib ≤ Ic 12-1 Zur Erinnerung (wenn zwei der Trägheitsmomente gleich sind: symmetrischer Kreisel) Trägheitsellipsoid: Trägheits-Ellipsoid (aus Darstellung der Rotationsenergie durch Trägheitstensor). Wenn Ia, Ib und Ic bekannt, kann Iω für beliebige Richtung der Drehachse ω bestimmt werden. Rotation um nicht gelagerte Achsen: stabile Rotation nur um die Achse c, d.h. die Achse mit dem größten Trägheitsmoment Kreisel: Experimentalphysik I SS 2008 Präzession Nutation Kreiselkompass 12-2 Kreisel-Kompass kardanisch aufgehängter Kreisel am Äquator positioniert Blick längs der Drehachse auf den Nordpol Drehimpuls L 0 Std 3 Std L 6 Std L N Experimentalphysik I SS 2008 N L N 12-3 Kreisel-Kompass (2) Verkippung der Kreiselplattform um Achse ⇈ Erdoberfläche nicht möglich Fixierung einer Drehachse Drehmoment D durch Verkippung der Plattform Ebene parallel zur Erdoberfläche Fixierung Achse der Verkippung parallel zu L D = 0 L L dL = D dt L + dL D dt dL Präzession von L N D = 0 sobald L⇈Erdachse A L richtet sich parallel zu A aus L zeigt nach Einschwingung N dauerhaft nach Norden Experimentalphysik I SS 2008 12-4 Kreiseldynamik am Fahrrad Einige praktische Konsequenzen aus der Kreiseldynamik Steuerung eines Rades beim f r e i h ä n d igen Fahren: Experimentalphysik I SS 2008 12-5 6. Eigenschaften nicht-starrer (deformierbarer) fester Körper Reale Körper: ob fest – flüssig – gasförmig hängt wesentlich ab von der Stärke der Atom-Atom Wechselwirkung im Vergleich zur (siehe später) „mittleren thermischen Energie“ Experimentalphysik I SS 2008 12-6 Übergang zwischen Aggregatzuständen Fest Kristalliner Festkörper wohldefinierte Nahordnung durch gerichtete Bindung, wohldefinierte Fernordnung. (Amorpher Festkörper: keine Fernordnung, Richtungsabhängigkeit der Bindung läßt keine Kristallstruktur zu.) Erhöhung der Temperatur (Energiezufuhr): <Ekin> = ½ k T pro Freiheitsgrad (s. später) steigt, wenn <Ekin> ≥ E* → Schmelzen. Flüssig Flüssig Nahordnung vorhanden (ungerichtete atomare Bindung), keine Fernordnung mehr. Weitere Erhöhung der Temperatur: wenn <Ekin> ≥ EBindung → Verdampfen. Gasförmig Gasförmige Substanz: Weder Nahordnung noch Fernordnung vorhanden. Individuelle, untereinander stoßende Teilchen. Experimentalphysik I SS 2008 12-7 Struktur von Festkörpern Homogenität: physikalische Eigenschaften im makroskopischen Maßstab L >> a (wobei a = Atomabstand) überall gleich. Isotropie: physikalische Eigenschaften im makroskopischen Maßstab unabhängig von der Richtung Kristalline Strukturen (Stück Eisen, Salzkristall, Diamant) sind in der Regel homogen, aber nicht isotrop. Beispiele: Kristallwachstum, Spalten von Kristallen, Doppelbrechung, Elektronenleitung in Halbleitern usw. Amorphe Festkörper, flüssiges Material, Gas sind in der Regel homogen und isotrop. Gegenbeispiele: Nylon (gerichtete Molekülketten), Emulsionen (insb. deren Zerfall), Erdatmosphäre (auf der km-Skala). Experimentalphysik I SS 2008 12-8 Struktur von Festkörpern Kristalline Struktur: Atome sitzen auf Positionen, gegeben durch ri na ,i a nb ,i b nc ,i c Starre Verbindungen ersetzt durch Federn: Betrachtet werden: 1. Elastische (reversile) Verformung 2. irreversible Verformung Experimentalphysik I SS 2008 12-9 Deformierbare feste Körper Allgemeines: Dehnung eines Stabes: Experimentalphysik I SS 2008 12-10 Deformierbare feste Körper Dehnung eines Stabes: Hook‘sches Gesetz: Anmerkung: der Modul, die Moduln Experimentalphysik I SS 2008 12-11 Deformierbare feste Körper Beispiel: Dehnung eines Eisendrahtes F E q L L „Atomares Bild“ typischer Abstand der Atome: 0.1 nm bei L = 1 m 1010 Atome „in Reihe“ bei d ≈ 1 mm 107 Reihen parallel Dehnung Atom-Atom-Abstand (einzeln) Δr ≈ 0.1 nm 10-3 = 10-13 m, vergleiche: Durchmesser Atomkern rK ≈ 10-15 m Experimentalphysik I SS 2008 12-12 Deformierbare feste Körper Grenzen des Hook‘schen Gesetzes: E „Atomares Bild“ d) a) b) c) a) Elastische Dehnung, b) Plastische Verformung c) „Fließen“ d) Reißen Experimentalphysik I SS 2008 12-13 Querkontraktion Experimentalphysik I SS 2008 12-14 Querkontraktion Experimentalphysik I SS 2008 12-15 Hysterese Arbeit bei der periodischen Streckung und Stauchung um L: (mit Substitution ε = ΔL/L, dε = dL/L) Elastische Verformung: (reversible) plastische Verformung: Experimentalphysik I SS 2008 12-16 Kompression ) Druckeinheit: Im Labor („leicht“) erreichbar 50 GPa Experimentalphysik I SS 2008 ½ Mio bar 12-17 Scherung und Torsion + Experimentalphysik I SS 2008 12-18 Torsion eines Drahtes = Richtmoment Experimentalphysik I SS 2008 12-19 Torsion eines Drahtes und erforderliches Drehmoment für Verdrillung um ϕ: R4 (Torsionsschwingungen, Messung von G) r D~R4 Experimentalphysik I SS 2008 12-20 Zusammenhang zwischen den Moduln σ=Eε (Herleitung: GKV) (s.o.) κ = 1/K = Kompressibilität Experimentalphysik I SS 2008 12-21 Elastizitätskonstanten Im Vorgriff, Wasser: K = 2x109 N/m2 Experimentalphysik I SS 2008 12-22 Reibung Reibung und Oberfläche: Experimentalphysik I SS 2008 12-23 Reibung ≤ Haft-, Gleit- und Rollreibung: (Reibungskoeffizient) Haftreibung: Experimentalphysik I SS 2008 12-24 Hydrostatik Verhalten und Gesetze ruhender Flüssigkeiten ideale Flüssigkeit: keine elastische Dehnung möglich keine Oberflächen-Effekte später: Hydrodynamik: strömende Flüssigkeiten und Gase, Reibungseffekte spielen eine Rolle Kompressionsmodul: vergleichbar Festkörpern Aber: Schermodul G = 0, d.h. keine Tangentialkräfte FT im stationären Zustand können keine TangentialKräfte auf die Oberfläche wirken stationär: Kraft Oberfläche Oberfläche einer idealen Flüssigkeit steht immer senkrecht zu der auf die Flüssigkeit wirkenden Gesamtkraft Experimentalphysik I SS 2008 12-25 Hydrostatik Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit: Im stationären Zustand: resultierende Kraft muss senkrecht zur Oberfläche stehen (da G = 0) Experimentalphysik I SS 2008 Form der Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit: Paraboloid 12-26 Statischer Druck in Flüssigkeiten Schermodul von Flüssigkeiten: G = 0 freie Beweglichkeit der Moleküle nur Normalkomponente der Kraft F bezüglich Fläche A kann zum Druck beitragen Definition des Druckes: mit F = | Fn| wird p = F/A Druck ist ein Skalar und kein Vektor!! Druck im Flüssigkeitsvolumen: Experimentalphysik I SS 2008 12-27 Kräfte an der Oberfläche von Flüssigkeiten in stationären Fall stellt sich die Richtung der Oberfläche so ein, dass nur FN 0 z FN F dA y Fx Fy x dA = Normale des Flächenelementes dA = Normale des Flächenelementes Experimentalphysik I SS 2008 12-28 Statischer Druck in Flüssigkeiten Druck im Flüssigkeitsvolumen (bei Vernachlässigung des Eigengewichtes) Volumenelement dV = dx dy dz, Flächenelement dA = dy dz p(x) = p bei Druckänderung p(x + dx) = p + (∂p/∂x) dx damit wird Kraft Fx auf Flächenelement Fx = p dy dz - (p + (∂p/∂x) dx) dy dz Fx = - (∂p/∂x) dV entsprechend Fy = - (∂p/∂y) dV, Fz = - (∂p/∂z) dV also F = - (grad p) dV Gesamtkraft auf ruhendes Flüssigkeitselement (stationärer Zustand) F = 0 ! grad p = 0, p(x,y,z) = const. auf jedes Flächenelement dA wirkt die gleiche Kraft und somit der gleiche Druck! Experimentalphysik I SS 2008 12-29 Statischer Druck in Flüssigkeiten Hydraulische Presse: Heben eines schweren Gegenstandes der Masse M um h Arbeit W = M g h muss geleistet werden jedoch: Kraft F = M g nicht notwendig, da p = const. innerhalb der Flüssigkeit: F1 = p A1 F2 = p A2 F1 = F2 (A1/A2) (F1 << F2 ) allerdings muss gelten (Energieerhaltung) W1 = W2 also F1 s1 = F2 s2, daher s1 = (F2 / F1) s2 s1 = (A2 / A1) s2 Experimentalphysik I SS 2008 (s2 >> s1) 12-30
