10. ¨Ubung zur Vorlesung Graphentheorie

Prof. Dr. R. Schrader
S. Kousidis
WS 2007/2008
10. Übung zur Vorlesung Graphentheorie
Abgabe: 16. bzw. 17.01.2008
Besprechung: 23. bzw. 24.01.2008
jeweils in Ihrer Übungsgruppe
Aufgabe 37:
Sei G = (V, E) ein 2-zusammenhängender Graph. Jedem Knoten u ∈ V sei eine Farbmenge
C(u) zugeordnet mit |C(u)| = dG (u). Zeigen Sie, falls ein Knotenpaar v, w ∈ V existiert
mit C(v) 6= C(w), so können die Knoten von G so gefärbt werden, dass jeder Knoten
mit einer Farbe aus der ihm zugeordneten Farbmenge gefärbt ist und je zwei benachbarte
Knoten unterschiedlich gefärbt sind.
Hinweis: Je nach Vorgehen, kann man Aufgabe 36 benutzen.
Aufgabe 38: (wird korrigiert)
Sei G ein Graph, so dass eine Färbung der Knoten existiert, in der jede Farbe mindestens
zweimal vorkommt. Zeigen Sie, dass dann eine Färbung mit dieser Eigenschaft existiert,
die χ(G) Farben benutzt.
Hinweis: Betrachten Sie eine Färbung α, in der jede Farbe mindestens zweimal vorkommt
und eine zweite Färbung β, die χ(G) Farben verwendet. Wählen Sie beide Färbungen so,
dass die Anzahl der Farbklassen, die die gleichen Knoten beinhalten, maximal ist.
Aufgabe 39:
Ermitteln Sie das chromatische Polynom von Kreisen und Rädern. Ein Rad ist ein Kreis
mit einem zusätzlichen Knoten, der mit allen Kreisknoten verbunden ist.
Aufgabe 40:
Bei der Verteilung der Sendemasten für Mobiltelefonnetze spielen zwei Aspekte eine zentrale Rolle:
Reichweite: Mit zunehmender Entfernung eines Teilnehmers zu dem Sendemast sinkt
die Empfangsqualität des ausgesendeten Signals und damit auch die Qualität der
übertragenen Sprache. Um eine vorgegebene Qualität zu erreichen, ist vom Netzbetreiber ein maximaler Radius r vorgegeben, den ein Sendemast höchstens abdecken
kann. Abschattung des Signals durch Hügel, Gebäude o.ä. werden hier nicht weiter
beachtet.
Auslastung: Jede Sendeeinheit hat eine fest vorgegebene maximale Auslastung a an Teilnehmern, die gleichzeitig über diese Einheit telefonieren können.
In ländlichen Regionen ist die Reichweite r der begrenzende Faktor bei der Verteilung der
Masten. In Ballungsräumen hingegen würden (wieder von Abschattungen durch Gebäude
abgesehen) schon wenige Masten zur Erlangung der vorgegebenen Qualität ausreichen. Hier
ist daher die Auslastung a das Problem: Wollen mehr als a Teilnehmer einer Sendeeinheit
gleichzeitig telefonieren, so hat zwar nach wie vor jeder Teilnehmer eine gute Empfangsqualität, jedoch kann durch die ausgeschöpfte Auslastung kein neues Gespräch über diese
Sendeeinheit aufgebaut werden.
In Ballungsräumen stellt sich also das Problem, dass sich benachbarte Sendeeinheiten in ihrer Reichweite überlappen. Damit es hier nicht zu Problemen mit der Gesprächszuordnung
kommt, müssen diese Sendemasten auf unterschiedlichen Frequenzbereichen senden, wobei
jedem Sendemast genau ein Frequenzbereich zugeordnet wird. Da solche Sendefrequenzbereiche knapp sind, werden sie zentral zugewiesen. Nachdem ein Netzbetreiber geeignete
Standorte für Sendemasten gefunden hat, ist nun die Frage, mit wievielen unterschiedlichen Frequenzbereichen diese insgesamt ausgestattet werden müssen, um einen geregelten
Betrieb zu gewährleisten. Offensichtlich möchte der Betreiber aus finanziellen Gründen so
wenig wie möglich Frequenzbereiche beantragen.
Modellieren Sie obige Problemstellung mittels graphentheoretischer Methoden, und geben
Sie so eine obere Schranke für die benötigten Frequenzbereiche an.