Messung zeitlich aufgelöster Paarkorrelationen in ultrakalten

Messung zeitlich aufgelöster
Paarkorrelationen in
ultrakalten Quantengasen
Diplomarbeit
in Experimentalphysik
von
Arne Ewerbeck
durchgeführt
am Fachbereich Physik
der Technischen Universität Kaiserslautern
unter Anleitung von
Prof. Dr. Herwig Ott
Juli 2011
Zusammenfassung
In dieser Arbeit wird zum ersten Mal die Messung zeitlich aufgelöster Paarkorrelationen einer thermischen 87 Rb Atomwolke präsentiert. Die Messungen wurden dabei in situ durchgeführt und ermöglichen so einen direkten
Einblick in ein System von ultrakalten Quantengasen.
Dazu wurde in das bestehende Experiment zur Erzeugung eines Bose-Einstein-Kondensats eine stark oblate Dipolfalle implementiert, die es in Kombination mit einem Rasterelektronenmikroskop ermöglicht, eine große zeitliche (100 ns) und räumliche (100 nm) Auflösung zu erreichen. Die typischen
Längen- und Zeitskalen, in denen Korrelationen in kalten Atomwolken beobachtet werden können, liegen im Bereich von einigen zehntel Mikrosekunden beziehungsweise einigen hundert Nanometern. Damit ergibt sich im
vorliegenden Experiment die Möglichkeit, die Korrelationsfunktion mit hoher Präzision experimentell zugänglich zu machen.
Durch Messung der Korrelationen wird ein experimentelles Verfahren vorgestellt, mit dessen Hilfe lokal im System eine Temperatur bestimmt werden kann. Darüber hinaus lässt sich der Einfluss von Wechselwirkungen
zwischen den Atomen auf die messbare Korrelationsamplitude der Paarkorrelationsfunktion untersuchen.
i
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Die Atom-Licht-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bose-Einstein-Kondensate in harmonischen Fallen . . . . . .
2.3 Das nicht wechselwirkende Bose-Gas . . . . . . . . . . . . .
2.4 Das schwach wechselwirkende Bose-Gas . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Die Gross-Pitaevskii-Gleichung . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Die Thomas-Fermi-Näherung . . . . . . . . . . . . .
2.5 Korrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Die klassische Korrelationsfunktion erster Ordnung .
2.5.2 Die klassische Korrelationsfunktion zweiter Ordnung
2.5.3 Die quantenmechanische Korrelationsfunktion . . . .
2.5.4 Korrelationen und deren Zählstatistiken . . . . . . .
3
3
7
9
10
10
11
13
13
15
17
20
3 Experimenteller Aufbau
3.1 Von der Atomquelle zum Bose-Einstein-Kondensat .
3.2 Die magneto-optische Falle und das Lasersystem . .
3.3 Die CO2 -Dipolfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Das Elektronenmikroskop . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Die Absorptionsabbildung . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Das Lightsheet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
25
26
29
33
35
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4 Die experimentelle Realisierung
41
4.1 Der Experimentzyklus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Charakterisierung des Lightsheets . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Simulation der Strahlparameter . . . . . . . . . . . . 45
iii
Inhaltsverzeichnis
4.2.2
4.2.3
4.2.4
Messung der Strahlparameter . . . . . . . . . . . . .
Die Fallenfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Heizrate und Lebensdauer im Lightsheet . . . . .
5 Auswertung
5.1 Die Korrelationsfunktion im Experiment . . . . . . . . . .
5.2 Vom Ionensignal zur Korrelationsfunktion zweiter Ordnung
5.3 Mittlung der Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Offset des Korrelationssignals . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Doppelt gezählte Ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung . . . . . . . . .
5.7 Reduziertes Korrelationssignal . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Räumliche Korrelationen . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Repulsive Wechselwirkungen . . . . . . . . . . . . .
5.8 Bestimmung der Korrelationszeiten . . . . . . . . . . . . .
5.9 Unkorrelierte Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 A priori unkorrelierte Messung . . . . . . . . . . . .
5.9.2 BEC-Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10 Zeitlich veränderliches Korrelationssignal . . . . . . . . . .
5.11 Abschlussbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Ausblick
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48
49
56
59
59
64
65
68
70
72
74
74
78
80
83
83
84
86
88
91
A Anhang
93
A.1 Wichtige physikalische Konstanten . . . . . . . . . . . . . . 93
A.2 Rubidium 87 Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A.3 Herleitung der Korrelationsfunktion erster Ordnung . . . . . 94
Literaturverzeichnis
iv
97
Kapitel
Einleitung
Seit der ersten Realisierung der Bose-Einstein-Kondensation im Jahre 1995
[1],[2],[3], die bereits 70 Jahre vorher durch Satyendranath Bose und Albert
Einstein vorhergesagt wurde [4],[5], gehören Bose-Einstein-Kondensate zu
einem wichtigen Forschungsgebiet der Physik. Über die Jahre hat sich das
Feld der damit einhergehenden ultrakalten Quantengase sowohl bosonischen
als auch fermionischen Charakters stark ausgeweitet. Neben vielen Experimenten, die auf eindrucksvolle Weise die quantenmechanische Natur dieser
Materiezustände nachgewiesen haben [6],[7], lassen sich mit diesen Systemen auch Experimente durchführen, die ihre Motivation aus vergangenen,
vermeintlich klassischen Experimenten gewonnen haben.
Im Jahr 1956 wurde von Robert Hanbury Brown und Richard Twiss ein
Experiment vorgestellt, bei dem die Bestimmung des Winkeldurchmessers
von Sternen gelang [8],[9]. Über die Beobachtung von Korrelationen in den
Intensitätsfluktuationen, der von dem Stern ausgesandten Strahlung, konnten Informationen über die räumliche Struktur der Quelle gewonnen werden.
Eine physikalische Erklärung für das Auftreten von Korrelationen konnte in
einem klassischen Bild gegeben werden, bei dem das ausgesandte Licht als
klassische Welle beschrieben wird. Erst Roy Glauber präsentierte im Jahr
1963 eine quantenmechanische Interpretation der Ergebnisse, die heute als
Geburtsstunde der Quantenoptik gilt [10].
Im Verlauf der letzten Jahre wurden viele sogenannte Hanbury-BrownTwiss-Experimente durchgeführt. Dabei konnten Korrelationen in Experimenten mit Elektronen [11], Neutronen [12] und auch kalten Atomen [13]
nachgewiesen und zur Charakterisierung des jeweiligen Systems herangezogen werden. Durch die Messung von Teilchenzahlschwankungen ist es
möglich auf Größen wie die Kohärenz, Temperatur oder auch auf räumliche
Ordnungen [14] zu schließen. Daraus ergeben sich viele interessante Anwen1
1
1. Einleitung
dungen für Experimente mit ultrakalten Quantengasen.
Korrelationen erster Ordnung beschreiben die Kohärenz im System und
sind in der Regel durch Interferenzexperimente zugänglich. Um Korrelationen zweiter oder höherer Ordnung, die sich durch Teilchenzahlschwankungen bestimmen lassen, messen zu können, wird ein Messverfahren benötigt,
das sensitiv auf einzelne Atome ist. Dies erfordert eine hohe räumliche sowie
zeitliche Auflösung, die im Experiment erreicht werden muss.
Im Rahmen dieser Arbeit wird durch Implementierung einer stark oblaten Fallengeometrie in das bestehende Experiment eine Möglichkeit vorgestellt, Atomzahlschwankungen mit einer hohen Auflösung experimentell
zugänglich zu machen. Damit ist es zum ersten Mal gelungen, zeitlich aufgelöst Paarkorrelationen in einer thermischen Rubidium-Atomwolke, gefangen in einer Dipolfalle, zu messen.
Gliederung der Arbeit
Die Arbeit ist in vier Abschnitte gegliedert. Im ersten Abschnitt werden die
theoretischen Grundlagen zur Beschreibung eines Bose-Einstein-Kondensates und ultrakalter Atomwolken gegeben. Darüber hinaus wird auf die
klassischen und quantenmechanischen Korrelationsfunktionen, speziell erster und zweiter Ordnung eingegangen. Veranschaulicht werden diese durch
verschiedene Beispiele. Im zweiten Abschnitt wird der experimentelle Aufbau des bestehenden Experiments beschrieben sowie die Implementierung
einer neuen Dipolfalle durch ein zusätzliches Lasersystem vorgestellt. Im
dritten Abschnitt werden die Simulationen präsentiert, die im Vorfeld erfolgt sind, um sowohl den optischen Aufbau als auch die Charakteristik
der Dipolfalle abschätzen zu können. Zusätzlich werden die experimentellen Ergebnisse der Charakterisierung der Falle sowie die Implementiertung
in den bestehenden Experimentzyklus vorgestellt. Im letzten Abschnitt soll
die Berechnung und Analyse der gemessenen Korrelationsfunktionen dargestellt werden. Neben der Auswertung der Messdaten steht hier vor allem die
Interpretation der Messwerte im Vordergrund. Um eine adäquate Beschreibung der Messwerte anzugeben, wird das Modell der Korrelationsfunktionen
sowohl räumlich als auch zeitlich genau beschrieben und Wechselwirkungen
im System berücksichtigt.
2
Kapitel
Theoretische Grundlagen
In diesem Kapitel sollen die theoretischen Grundlagen zur Erzeugung und
Beschreibung eines Bose-Einstein-Kondensates1 beschrieben werden. Dies
schließt sowohl die Wechselwirkung von Atomen mit Licht ein, als auch die
Beschreibung von wechselwirkenden Bosonen bei niedrigen Temperaturen.
Darüber hinaus wird im zweiten Teil des Kapitels auf Korrelationen, deren
physikalische Bedeutung und den Unterschied zwischen einer klassischen
und quantenmechanischen Betrachtung eingegangen.
2.1
Die Atom-Licht-Wechselwirkung
Wird ein Atom dem Einfluss eines elektrischen Feldes ausgesetzt, das zum
Beispiel durch einen einfallenden Laserstrahl erzeugt wird, lässt sich die
Wechselwirkung des Atoms mit diesem Feld durch zwei Effekte beschreiben:
i) Die Dipolkraft - Das im Atom induzierte Dipolmoment wechselwirkt
mit dem angelegten elektrischen Feld.
ii) Die Strahlungskraft - Der Absorption und anschließender spontaner
Emission von Photonen.
Im Folgenden soll ein Modell für beide Wechselwirkungen angegeben werden. Dazu wird das sogenannte Oszillator-Model verwendet, welches das
Atom als klassischen Oszillator in einem Strahlungsfeld betrachtet. Das
durch das elektrische Feld E induzierte Dipolmoment des Atoms wird mit
1
engl. Bose-Einstein condensate (BEC)
3
2
2. Theoretische Grundlagen
der von außen angelegten Frequenz ω oszillieren. Der Zusammenhang von
Dipolmoment und elektrischem Feld ist gegeben durch
p = α(ω)E
,
(2.1)
wobei α(ω) die frequenzabhängige Polarisierbarkeit ist. Das induzierte Dipolmoment wechselwirkt mit dem elektrischen Feld und erzeugt ein Potential der Form
1
1
Udip = − hp · Ei = − α(ω)|E(r)|2 ∝ I(r)
2
2
(2.2)
und ist somit proportional zur Intensität des eingestrahlten Feldes. Der
Faktor 1/2 ergibt sich dadurch, dass es sich um einen induzierten und nicht
um einen permanenten Dipol handelt[15]. Um die Polarisierbarkeit α(ω)
zu berechnen, wird im Oszillator-Modell das Elektron mit Masse me und
Elementarladung e als elastisch mit dem Atom verbunden angenommen.
Dabei schwingt es mit der Eigenfrequenz ω0 um den Atomkern. Für die
Bewegungsgleichung des Elektrons, beschrieben durch einen klassischen Oszillator mit Dämpfung Γω und einem äußeren, treibenden elektrischen Feld
gilt
eE(t)
.
(2.3)
ẍ + Γω ẋ + ω02 x = −
me
Für die Polarisierbarkeit α(ω) = qx/E(t) ergibt sich durch Lösen der Differentialgleichung
e2
1
α(ω) =
(2.4)
2
me ω0 − ω 2 − iωΓω
mit der Dämfpungsrate
e2 ω 2
,
(2.5)
6π0 m0 c3
die das Aussenden elektromagnetischer Strahlung des Elektrons auf Grund
der beschleunigten Bewegung berücksichtigt.
Durch Substitution von e2 /me = 6π0 c3 Γω /ω 2 und Definition der resonanten Dämpfungsrate Γ ≡ (ω0 /ω)2 Γω ergibt sich somit
Γω =
α(ω) =
6π0
1
2
2
2
ω0 ω0 − ω − i(ω 3 /ω02 )Γ
.
(2.6)
Alternativ kann die Polarisierbarkeit in einem semiklassischen Ansatz berechnet werden, wobei das Atom als ideales Zwei-Niveau-System mit der
Übergangsfrequenz ω0 beschrieben wird [16]. Wenn keine Sättigungseffekte
des betrachteten Übergangs zu berücksichtigen sind, ergibt sich das gleiche
4
2.1. Die Atom-Licht-Wechselwirkung
Ergebnis wie im klassischen Fall, lediglich mit der Modifikation, dass die
Dämpfungsrate nun durch das Dipolmatrixübergangselement
ω03
ˆ 2
Γ=
|he|d|gi|
3
3π0 ~c
(2.7)
zwischen Grund- und angeregtem Zustand gegeben ist. Mit dˆ = −ex ist
der elektrische Dipoloperator bezeichnet. Für die D-Linien Übergänge der
Alkali-Atome Na, K, Rb und Cs stimmt die aus dem klassischen Modell bestimmte Dämpfungsrate (2.5) innerhalb weniger Prozent mit der tatsächlich
gemessenen überein. Mit Hilfe von (2.6) lässt sich somit das Dipolpotential
Γ
Γ
3πc2
+
I(r)
(2.8)
Udip (r) = − 3
2ω0 ω0 − ω ω0 + ω
berechnen. Für Laserlicht der Frequenz ω in der Nähe der Resonanzfrequenz ω0 gilt mit ∆ ≡ ω − ω0 , dass |∆| ω0 . Diese Abschätzung ist
bekannt als Drehwellen-Näherung2 und erlaubt es, das Verhältnis ω/ω0 ≈ 1
abzuschätzen. Dadurch ergibt sich das Dipolpotential in vereinfachter Form
zu
3πc2 Γ
Udip (r) =
I(r) .
(2.9)
2ω03 ∆
Neben dem Dipolpotential stellt die Streurate Γstreu eine weitere charakteristische Größe der Atom-Licht-Wechselwirkung dar. Sie ist dabei ein Maß
für die Anzahl gestreuter Photonen am Atom pro Zeiteinheit. Photonen
mit einer Energie ~ω werden vom Atom absorbiert und anschließend durch
spontane Emission wieder emittiert. Die Streurate ergibt sich so aus dem
Verhältnis von absorbierter Leistung, normiert auf die Energie pro emittiertem Photon
Pabs
.
(2.10)
Γstreu =
~ω0
Es ergibt sich nach [16]:
Γstreu
3πc2
=−
2~ω03
ω
ω0
3 Γ
Γ
+
ω0 − ω ω0 + ω
2
I(r) .
(2.11)
Auch hier lässt sich mit der Rotating-Wave-Approximation eine vereinfachte
Form angeben
2
3πc2 Γ
I(r) .
(2.12)
Γstreu =
2~ω03 ∆
2
engl: Rotating-Wave-Approximation
5
2. Theoretische Grundlagen
(a)
Vdip
(b)
Vdip
Abbildung 2.1: Optisches Dipolpotential für a) rot-verstimmtes und b)
blau-verstimmtes Licht in einem fokussierten Gauß-Strahl.
Aus (2.9) und (2.12) lassen sich somit zwei entscheidende Kriterien für das
Verwenden von Laserlicht zum Fangen und Kühlen von neutralen Atomen
ableiten:
i) Für rot-verstimmtes Licht, das heißt ∆ < 0, ist das Dipolpotential
negativ und erzeugt somit für die Atome ein attraktives Potential.
Folglich werden die Atome zum Intensitätsmaximum gezogen. Hingegen gilt für blau-verstimmtes Licht ∆ > 0. Das Dipolpotential ist
somit positiv und die Atome erfahren eine repulsive Wechselwirkung.
Beide Fälle sind in Abb. 2.1 am Beispiel eines fokussierten GaußStrahls dargestellt.
ii) Aus (2.9) und (2.12) ergeben sich die Proportionalitäten Udip ∝ I/∆
und Γstreu ∝ I/∆2 . Für optische Dipolfallen sollten entsprechend
möglichst hohe Intensitäten, bei großen Verstimmungen gewählt werden, um das unerwünschte Aufheizen durch Streuung an den Atomen
so klein wie möglich zu halten.
6
2.2. Bose-Einstein-Kondensate in harmonischen Fallen
2.2
Bose-Einstein-Kondensate in
harmonischen Fallen
In den meisten Experimenten mit ultrakalten Quantengasen, so auch im
vorliegenden Fall, werden Atome mit Hilfe von magnetischen und optischen
Fallen örtlich eingeschränkt und manipuliert. Dabei lässt sich der Einschluss
oft in sehr guter Näherung durch ein harmonisches Potential der Form
1
V (x, y, z) = m[ωx2 x2 + ωy2 y 2 + ωz2 z 2 ]
2
(2.13)
annähern. Hierbei beschreiben ωx , ωy und ωz die Oszillationsfrequenzen in
der jeweiligen Raumrichtung und m die Atommasse. Für ein einzelnes Atom
in solch einem Potential ergeben sich folgende Energieeigenwerte
nx ,ny ,nz = ~ωx nx + ~ωy ny + ~ωz nz
(2.14)
mit dem reduzierten Plankschen Wirkungsquantum ~ und den Quantenzahlen nx , ny , nz . Die Nullpunktenergie des harmonischen Oszillators wird
nicht weiter berücksichtigt, da diese lediglich zu einer konstanten Verschiebung des Energienullpunkts führt.
Für ein System nicht wechselwirkender Bosonen im thermischen Gleichgewicht ist die mittlere Besetzungszahl eines Quantenzustandes für Energieeigenwerte nx ,ny ,nz gegeben durch
n̄nx ,ny ,nz =
1
β(nx ,ny ,nz −µ)
e
−1
=
1
ζ −1 eβnx ,ny ,nz
−1
,
(2.15)
wobei ζ = eβµ die Fugazität, β = 1/kB T , T die Temperatur und µ das
chemische Potential ist. Letzteres gibt die Energie an, die benötigt wird,
um bei konstanter Entropie dem System ein Teilchen hinzuzufügen.
Für die mittlere Besetzung muss immer gelten, dass µ < nx ,ny ,nz , da diese
aus physikalischer Sicht nicht negativ werden kann. Somit ergibt sich für
die Fugazität folgende Bedingung
0 < ζ < 1.
(2.16)
Für den Grenzfall ζ → 0 ergibt sich aus (2.15) die klassische BoltzmannStatistik mit einer mittleren Besetzungszahl n̄ ∝ e−β .
Im Grenzfall ζ → 1 erhält man hingegen aus Gleichung (2.15) für die mittlere Besetzungszahl
1
ζ
n̄0,0,0 = −1
=
(2.17)
ζ −1
1−ζ
7
2. Theoretische Grundlagen
und somit für ζ → 1 einen divergierenden Ausdruck für die mittlere Besetzungszahl des Grundzustands, der als makroskopische Besetzung interpretiert werden kann [5].
Um diese makroskopische Besetzung des Grundzustands näher zu untersuchen, wird die Normalisierungsbedingung für die Gesamtzahl der Teilchen
betrachtet, die durch
N=
1
X
nx ,ny ,nz
ζ −1 eβnx ,ny ,nz
(2.18)
−1
gegeben ist. Die Summe kann in guter Näherung [17] durch ein Integral der
Form
Z
1
N = N0 + dnx dny dnz −1 βn ,n ,n
(2.19)
ζ e x y z −1
ersetzt werden, wobei N0 die Teilchenzahl im Grundzustand bezeichnet. Die
Lösung des Integrals ergibt
3
kB T
N − N0 = g3 (ζ)
(2.20)
~ω̄
mit der gemittelten
Oszillationsfrequenz ω̄ = (ωx ωy ωz )1/3 und der BoseP∞
Funktion g3 (ζ) = n=1 ζ n /n3 , die für ζ = 1 ein Maximum aufweist. Gleichung (2.20) erlaubt es im Grenzfall N0 → 0 bei T = Tc , die sogenannte
kritische Temperatur Tc zu definieren
kB Tc ≤ ~ω̄
N
g3 (1)
1/3
= 0.94 ~ω̄ N 1/3
.
(2.21)
Unterhalb dieser Temperatur beobachtet man eine makroskopische Besetzung des Grundzustands und spricht von Bose-Einstein-Kondensation. Mit
wachsender Anzahl von Atomen steigt die kritische Temperatur, was bedeutet, dass zur experimentellen Realisierung der Bose-Einstein-Kondensation
nicht nur geringe Temperaturen erreicht werden müssen, sondern dies gleichzeitig mit einer möglichst großen Anzahl von Atomen.
Qualitativ lässt sich dieser Zusammenhang über die Teilchendichte im Zentrum der Falle ausdrücken. Es ergibt sich folgender Zusammenhang [18]:
n(r = 0) =
λ3t
2.61
1
≈ 3
g3 (1)
λt
(2.22)
√
mit der thermischen de-Broglie-Wellenlänge λt = h/ 2πmkB T . Damit lässt
sich die dimensionslose Größe der Phasenraumdichte als nλ3t einführen. Mit
8
2.3. Das nicht wechselwirkende Bose-Gas
Hilfe dieser beiden Beziehungen lässt sich die Bose-Einstein-Kondensation
folgendermaßen veranschaulichen: Für große Temperaturen T verhalten sich
die Atome wie klassische Objekte, da die thermische de-Broglie-Wellenlänge
sehr klein im Vergleich zum mittleren Abstand der Atome zueinander ist
und diese damit keinen Wellencharakter aufweisen. Für kleiner werdende
Temperaturen wird λt größer und für die kritische Temperatur Tc wird die
Wellenlänge so groß, dass sie in der gleichen Größenordnung des mittleren
Atomabstands d ∼ n1/3 liegt und somit die Wellenfunktionen der Atome
miteinander überlappen. Für den Idealfall T = 0 K befinden sich alle Atome im Grundzustand, ihre Wellenfunktionen überlappen vollständig und
das Kondensat kann durch eine effektive Ein-Teilchen-Wellenfunktion beschrieben werden.
2.3
Das nicht wechselwirkende Bose-Gas
Unter der Annahme nicht wechselwirkender Bosonen befinden sich bei einer Temperatur von T = 0 K alle Atome im Grundzustand und jedes Atom
kann durch die Grundzustandswellenfunktion des harmonischen Oszillators
(2.13) ausgedrückt werden. Für N Atome ergibt sich entsprechend eine
Vielteilchenwellenfunktion, die sich aus dem Produkt der Grundzustandswellenfunktion zusammensetzen lässt:
Ψ(x1 , x2 , ..., xN ) =
N
Y
ψ0 (xi ) .
(2.23)
i=1
Die Dichteverteilung in solch einem Kondensat lässt sich bestimmen zu
n(x) = N |ψ0 (x)|2
.
(2.24)
Unter diesen Voraussetzungen lässt sich die Ausdehnung des Kondensates
durch
r
~
(2.25)
aho =
mω
angeben, was gerade der klassischen harmonischen Oszillatorlänge entspricht.
Bevor im nächsten Abschnitt Wechselwirkungen zwischen den Bosonen berücksichtigt werden, soll noch eine Abschätzung für die Energieverhältnisse
in einem idealen Bose-Gas gegeben werden.
Für ein ideales Bose-Gas in einem isotropen harmonischen Potential der
Form V (x) = 1/2 mω 2 x2 , mit der mittleren Ausdehnung L, ergibt sich für
die potentielle Energie
1
Epot ∝ mω 2 L2 ∝ L2
2
.
(2.26)
9
2. Theoretische Grundlagen
Über die Heisenbergsche Unschärferelation ist der Impuls mit der mittleren
Ausdehnung über p = ~/L verknüpft und die kinetische Energie kann als
~2
1
∝
(2.27)
2mL2
L2
ausgedrückt werden. Bereits für Ausdehnungen des Kondensates in der
Größenordnung von L ist die kinetische Energie, im Vergleich zur potentiellen Energie, im Falle des nicht wechselwirkenden Bose-Gases, vernachlässigbar.
Ekin ∝
2.4
Das schwach wechselwirkende Bose-Gas
Im vorherigen Abschnitt wurde das ideale Bose-Gas in harmonischen Fallenpotentialen beschrieben. Im Folgenden soll nun zusätzlich eine Beschreibung
für schwach wechselwirkende Bosonen gegeben werden, um Wechselwirkungen zwischen den Atomen zu berücksichtigen. Ausgehend von der sogenannten Gross-Pitaevskii-Gleichung, die als eine nichtlineare SchrödingerGleichung interpretiert werden kann, wird für den Spezialfall vernachlässigbarer kinetischer Energie, die sogenannte Thomas-Fermi-Näherung, erarbeitet.
2.4.1
Die Gross-Pitaevskii-Gleichung
Ein System aus schwach wechselwirkenden Bosonen lässt sich in zweiter
Quantisierung durch den Hamilton-Operator
Z
~2 2
†
O + Uext (r) ψ̂(r)
(2.28)
Ĥ = dr ψ̂ (r) −
2m
Z
1
+
dr dr 0 ψ̂ † (r) ψ̂(r 0 ) U (r − r 0 )ψ̂(r) ψ̂ † (r 0 )
(2.29)
2
beschreiben [19]. Dabei bezeichnen die Feldoperatoren ψ̂ † (r), ψ̂(r) die Erzeugung beziehungsweise die Vernichtung eines Bosons am Ort x , U (r −r 0 )
das Wechselwirkungspontial zwischen den Teilchen und Uext (r) das externe
Potential. Der erste Term in Gleichung (2.29) repräsentiert die kinetische
und potentielle Energie im System während der zweite Term die Wechselwirkungsenergie darstellt.
Unter der Voraussetzung, dass stark verdünnte Bose-Gase vorliegen, das
heißt, dass die Streulänge der Bosonen viel kleiner ist als deren interatomarer Abstand, kann das Wechselwirkungspotential
U (r − r 0 ) = gδ 3 (r − r 0 )
10
(2.30)
2.4. Das schwach wechselwirkende Bose-Gas
als Punktwechselwirkungspotential ausgedrückt werden. Die Kopplungskonstante g ist dabei gegeben durch
g=
4π~2 a
m
(2.31)
mit der atomaren Masse m und der Streulänge a. Für 87 Rb beträgt diese
a = 0.529 nm [20] und das Wechselwirkungspotential resultiert so in einer repulsiven Interaktion. Unter Berücksichtigung dieser Näherung lässt
sich das schwach wechselwirkende Bose-Gas nun effektiv durch eine EinTeilchen-Wellenfunktion Φ beschreiben; jedoch nicht mehr als Produkt von
Grundzustandswellenfunktion, wie für das nicht wechselwirkende Bose-Gas
in harmonischen Fallen (2.23). Charakterisiert wird die Wellenfunktion Φ
nun durch die zeitabhängige Gross-Pitaevskii-Gleichung, die von E. Gross
und L. Pitaevskii in den frühen 60er Jahren zum ersten Mal beschrieben
wurde [21][22]:
~2 2
∂
2
∇ + Uext (r) + g|Φ(r, t)| Φ(r, t) .
(2.32)
i~ Φ(r, t) = −
∂t
2m
−iµt
Mit dem Separationsansatz Φ(r, t) = φ(r)e ~ , wobei die Wellenfunktion in einen ort- und zeitabhängigen Anteil separiert wird, ergibt sich die
stationäre Gross-Pitaevskii-Gleichung der Form
~2 2
2
∇ + Uext + g|φ(r)| φ(r) = µ φ(r) .
(2.33)
−
2m
Die Gross-Pitaevskii-Gleichung unterscheidet sich somit von der Schrödinger-Gleichung durch ihren nicht linearen Charakter bezüglich φ(r), der
durch die Wechselwirkung im System zu Stande kommt. Für verschwindendes Wechselwirkungspotential g → 0, ergibt sich der Fall für ein nicht
wechselwirkendes Bose-Gas, welches durch eine Schrödinger-Gleichung der
Form
~2 2
∇ + Uext φ(r) = µ φ(r)
(2.34)
−
2m
beschrieben wird.
2.4.2
Die Thomas-Fermi-Näherung
Die Gross-Pitaevskii-Gleichung (2.33) ist eine partielle, nicht lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die nicht analytisch gelöst werden kann.
Neben numerischen Verfahren zur Lösung gibt es eine wichtige Näherung,
11
2. Theoretische Grundlagen
die im Folgenden beschrieben wird.
Neben dem Beitrag der kinetischen und potentiellen Energie, die bereits in
Abschnitt 2.3 charakterisiert wurde, muss in der Gross-Pitaevskii-Gleichung
zusätzlich der Beitrag der Wechselwirkungsenergie berücksichtigt werden.
Die Teilchendichte lässt sich in Abhängigkeit der mittleren Ausdehnung L
als n ∝ N/L3 ausdrücken. Somit ergibt sich für die Energie, die durch das
Wechselwirkungspotential im System steckt,
Eww ∝
N
∝n .
L3
(2.35)
Für hinreichend ausgedehnte Atomwolken und Teilchendichten ergibt sich
aus (2.26), (2.27) und (2.35), dass die kinetische Energie vernachlässigbar
ist und aus der Gross-Pitaevskii-Gleichung folgt
Uext + g|φ(r)|2 φ(r) = µtf φ(r) ,
(2.36)
wobei sich die Lösung für |φ(r)|2 direkt angeben lässt zu
|φ(r)|2 = ntf (r) =
[µtf − Uext (r)]
g
.
(2.37)
R
Über die Normierungsbedingung der Teilchendichte N = n(r)dr 3 , ergibt
sich ein Zusammenhang zwischen chemischem Potential und der Teilchenzahl N :
2/5
~ω 15N a
µtf =
.
(2.38)
2
aho
Mit Hilfe von Gleichung (2.38) lässt sich das Dichteprofil eines Bose-EinsteinKondensates, für eine harmonische Falle zu
1
µtf = Uext (r) = mωi2 Ri2
2
(2.39)
bestimmen. Mit Ri ist der Radius in den drei Raumrichtungen für i = x, y, z
bezeichnet. Damit ergibt sich ein Dichte-Profil in Form einer invertierten
Parabel, die in den klassischen Umkehrpunkten verschwindet. Mit dem Ausdruck für das chemische Potential µtf aus (2.38) lässt sich die Ausdehnung
des Kondensates in diesen drei Richtungen berechnen
1/5
15N a
ω̄
Ri = aho
.
(2.40)
aho
ωi
Im Vergleich zur Längenskala des idealen Bose-Gases (2.25) ist in ThomasFermi-Näherung die Ausdehnung des Kondensates von der Anzahl der Atome abhängig und es gilt Ri ∝ N 1/5 .
12
2.5. Korrelationen
2.5
Korrelationen
In dem berühmten Experiment von R. Hanbury Brown und R.Q. Twiss
wurden im Jahre 1956 zum ersten Mal Korrelationen zwischen Paaren von
emittierten Photonen einer chaotischen Lichtquelle nachgewiesen. In den
folgenden Jahrzehnten haben sich Korrelationen zu einem wichtigen Werkzeug entwickelt, verschiedenste physikalische Systeme zu untersuchen und
zu charakterisieren. Unter anderem fanden Experimente auf dem Gebiet der
Astronomie [9], der Hochenergiephysik [23] und der Atomphysik [24] statt.
Seit der experimentellen Realisierung der Bose-Einstein-Kondensation steht
ein zusätzliches schwach wechselwirkendes Quantensystem zur Verfügung,
in dem mit Korrelationsmessungen wichtige Informationen gewonnen werden können. Im ersten Abschnitt wurde eine Interpretation der Bose-Einstein-Kondensation gegeben, die auf der Beschreibung der Atome als eine
makroskopische Wellenfunktion beruht. In vielen Experimenten wurde die
Phasenkohärenz für solche Systeme untersucht und erfolgreich nachgewiesen [6],[25]. Daneben lassen sich mit Hilfe von Bose-Einstein-Kondensaten
sogenannte Atom-Laser realisieren, wobei ein Teil der Atome kohärent aus
dem Kondensat ausgekoppelt werden kann, was ein Analogon zu den klassischen Laserlichtquellen bildet.
Um zu verstehen wie sich Systeme durch Korrelationsfunktionen unterschiedlicher Ordnungen beschreiben lassen und wie diese mit bestimmten
physikalischen Eigenschaften zum Beispiel der Kohärenz des Systems verknüpft sind, soll im Folgenden eine theoretische Einleitung gegeben werden.
Im ersten Abschnitt zunächst für ein klassisches Modell, anschließend für
ein quantenmechanisches Modell, welches später konkret auf die Messungen
im Experiment angewendet werden soll.
2.5.1
Die klassische Korrelationsfunktion erster
Ordnung
Durchläuft ein Lichtstrahl mit konstanter mittlerer Intensität einen festen
Beobachtungspunkt, an dem die Zeitabhängigkeit des elektrischen Feldes
gemessen werden kann, so ist das Frequenzspektrum des Lichts im Beobachtungspunkt durch die Fourierkomponenten des elektrischen Feldes E(t)
gegeben:
1
E(ω) =
2π
Z+∞
E(t)eiωt dt .
(2.41)
−∞
13
2. Theoretische Grundlagen
Die Korrelationsfunktion erster Ordnung beschreibt, in welcher Weise der
Wert des elektrischen Feldes zum Zeitpunkt t die Wahrscheinlichkeit beeinflusst, wie dieser Wert zu einem Zeitpunkt t + τ auftritt
1
hE (t)E(t + τ )i =
T
∗
ZT
E ∗ (t)E(t + τ )dt ,
(2.42)
0
wobei sich die Integration praktikabler Weise nur noch über positive Werte
für t erstreckt und für große, jedoch endliche Werte von T zu verstehen ist.
Die Form dieser Korrelationsfunktion ist bestimmt durch die Fluktuationen, die durch die vorliegende Photonenquelle und somit dem elektrischen
Feld vorgegeben sind. Dabei unterscheiden sich die Korrelationsfunktionen
unter Umständen stark voneinander. Das von einem Detektor gemessene
Leistungs-Frequenzspektrum kann in folgender Form angegeben werden
T
|E(ω)|2 = 2
4π
Z+∞
hE ∗ (t)E(t + τ )ieiωt dτ
.
(2.43)
−∞
Auf die Gesamtintensität normiert ergibt sich
Z+∞
Z+∞
1
F (ω) = |E(ω)|2 / |E(ω)|2 dω =
g (1) (τ )eiωt dτ
2π
−∞
,
(2.44)
−∞
mit der normierten3 Korrelationsfunktion erster Ordnung
hE ∗ (t)E(t + τ )i
g (τ ) =
hE ∗ (t)E(t)i
(1)
.
(2.45)
Relation (2.44) ist als Wiener-Chintchin-Theorem bekannt und stellt den
Zusammenhang zwischen spektroskopischen Messwerten und den gemessenen zeitabhängigen Fluktuationen des Lichts her.
Für eine idealisierte Lichtquelle, bei der lediglich eine lorentzförmige Stoßverbreiterung und keine Polarisation berücksichtigt wird, lässt sich das elektrische Feld durch E(t) = E0 e−iω0 t+iφ(t) ausdrücken und somit g (1) (τ ) berechnen. Unter der Voraussetzung, dass die Mittelung in (2.45) als rein
statisches Mittel interpretiert wird, ergibt sich für die normalisierte Korrelationsfunktion erster Ordnung
g (1) (τ ) = e−iω0 τ −γstoß τ
3
(2.46)
Mit Korrelationsfunktion ist im Folgenden die normierte Korrelationsfunktion gemeint.
14
2.5. Korrelationen
mit der Dämpfungsrate γstoß = 1/τ0 und der mittleren freien Stoßzeit τ0 .
Wird neben der Stoßverbreiterung zusätzlich noch die natürliche Strahlungsverbreiterung berücksichtigt, ergibt sich
0
g (1) (τ ) = e−iω0 τ −γ τ
,
(2.47)
wobei γ 0 = γstoß + γnat .
Eine Möglichkeit Interferenzexperimente zu beschreiben, ist das Modell der
optischen Kohärenz. Im Folgenden soll die optische Kohärenz mit der Korrelationsfunktion erster Ordnung verknüpft werden. Dafür wird die Definition
der Korrelationsfunktion aus (2.45) für zwei Orte r 1 , r 2 und zwei Zeitpunkte
t1 , t2 erweitert
hE ∗ (r 1 , t1 )E(r 2 , t2 )i
p
g (r 1 , t1 , r 2 , t2 ) =
h|E(r 1 , t1 )|2 ih|E(r 2 , t2 )|2 i
(1)
.
(2.48)
Damit ergibt sich für den Zusammenhang von Kohärenz und Korrelationsfunktion:




= 1
kohärent erster Ordnung
(1)
ist das Licht inkohärent
|g (r 1 , t1 , r 2 , t2 )| = 0




6= 0 , 1
teilweise kohärent
.
(2.49)
Mit Hilfe dieses Zusammenhangs ergibt sich eine anschauliche Interpretation der Korrelationsfunktion erster Ordnung. In einem typischen Interferenzexperiment wird die Beziehung der elektrischen Felder zueinander an einem
bestimmten Ort untersucht, nachdem zwei Teilstrahlen einen gewissen Laufzeitunterschied durchschritten haben. Besitzen die beiden interferierenden
Teilstrahlen für alle Zeiten eine konstante Phasenbeziehung zueinander, ergibt sich eine Korrelationsfunktion von g (1) = 1 und sie werden als perfekt
kohärent bezeichnet. Entsprechendes gilt für die beiden Fälle, in denen inkohärentes oder nur teilweise kohärentes Licht vorliegt.
2.5.2
Die klassische Korrelationsfunktion zweiter
Ordnung
Das vorgestellte Konzept der Korrelationen lässt sich für höhere Ordnungen
erweitern und physikalisch interpretieren. Im Folgenden soll die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung g (2) beschrieben und eingehender untersucht
15
2. Theoretische Grundlagen
werden. Dafür wird nicht mehr die Beziehung von elektrischen Feldern zu
verschiedenen Zeitpunkten oder Orten zueinander betrachtet, sondern die
Beziehung von Intensitäten zu verschiedenen Zeitpunkten t und t + τ . Analog zur Definition der Korrelationsfunktion erster Ordnung in (2.45) wird
die normierte Korrelationsfunktion zweiter Ordnung definiert als
g (2) (τ ) =
¯ I(t
¯ + τ )i
hI(t)
hE ∗ (t)E ∗ (t + τ )E(t + τ )E(t)i
=
hE ∗ (t)E(t)i2
I¯2
.
(2.50)
Für g (2) (τ ) lassen sich zwei wichtige Eigenschaften angeben, die direkt aus
der Cauchy’schen Ungleichung und der Forderung nicht negativer Intensitäten folgen [26]:
g (2) (0) > 1 und
g (2) (τ ) < g (2) (0) .
(2.51)
Darüber hinaus lässt sich durch Auswertung der gemittelten elektrischen
Felder in der Definition der Korrelationsfunktion zweiter Ordnung ein wichtiger Zusammenhang zu g (1) (τ ) herstellen
g (2) (τ ) = 1 + |g (1) (τ )|2
.
(2.52)
Um noch einmal das Beispiel der Lichtquelle mit lorentzförmiger Stoßverbreiterung zu betrachten, lässt sich die gemittelte Intensität berechnen
1
¯
I¯ ≡ hI(t)i
= 0 cE02 ν
2
.
(2.53)
Die Anzahl der beteiligten und Strahlung aussendenden Atome wird mit
ν bezeichnet. Damit lässt sich die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung
angeben zu:
g (2) (τ ) = 1 + e−2γ|τ | = 1 + e−2|τ |/τk .
(2.54)
Handelt es sich nicht um ein lorenztverbreitertes Frequenzspektrum, das
zum Beispiel durch die Stoßverbreiterung hervorgerufen wird, sondern um
eine gaußförmige Verbreiterung, ergibt sich
2 2
2
g (2) (τ ) = 1 + e−δ τ = 1 + e−π(τ /τk )
(2.55)
√
mit der Korrelationszeit τk = π/δ, wobei δ der Verbreiterung entspricht.
In Abb. 2.2 sind die Korrelationsfunktionen für diese beiden Beispiele abgebildet. Zusätzlich ist noch der Fall für eine Lichtquelle mit deltaförmigem
Verbreiterungsspektrum mit Intensität hI(t)i = I0 angegeben, für die sich
g (2) (τ ) = 1 ergibt.
Darüber hinaus lässt sich die Korrelationszeit τk in diesem Graphen gut
veranschaulichen. Diese ist ein Maß für die zu erwartende Zeitspanne, in
der Korrelationen im System zu beobachten sind.
16
2.5. Korrelationen
Gauß
Lorentz
Delta
g(2)(τ)
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
τk,l
τk,g
τ
Abbildung 2.2: Klassische Korrelationsfunktion zweiter Ordnung für eine Lichtquelle mit gaußförmigem Frequenzspektrum (blau), mit lorentzförmigem Frequenzspektrum (rot) und mit deltaförmigem Frequenzspektrum (grün). Zusätzlich ist die Korrelationszeit für gauß- und lorentzförmige Verteilung angegeben.
2.5.3
Die quantenmechanische Korrelationsfunktion
Im folgenden Abschnitt sollen die im vorherigen Kapitel formulierten Ausdrücke für die Korrelationsfunktionen erster und zweiter Ordnung in ein
quantenmechanisches Bild übertragen werden. Dies gelingt, indem die klassischen elektrischen Felder durch quantisierte elektrische Felder ersetzt werden. Dabei liefert die Quantisierung bis auf den konzeptionellen Unterschied
in den meisten Fällen die gleichen Ergebnisse. Abweichungen von der klassischen Theorie treten erst auf, wenn Phänomene beobachtet werden, die
nicht mehr mit Hilfe von klassischen elektromagnetischen Feldern beschrieben werden können [27].
Im Vergleich zur Definition in (2.45), die mit Hilfe des elektrischen Feldes realisiert wurde, wird diese nun durch die entsprechenden quantisierten
Felder, die mit Ê + und Ê − bezeichnet werden, ersetzt. Dabei bezeichnen
17
2. Theoretische Grundlagen
± jeweils die positiven, beziehungsweise negativen Frequenzkomponenten.
Damit folgt für die Korrelationsfunktion erster Ordnung
hÊ − (r 1 , t1 )Ê + (r 2 , t2 )i
g (1) (r 1 , t1 , r 2 , t2 ) = q
hÊ − (r 1 , t1 )Ê + (r 1 , t1 )ihÊ − (r 2 , t2 )Ê + (r 2 , t2 )i
,
(2.56)
die analog auf die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung erweitert werden
kann [28]
(2)
g (r 1 , t1 , r 2 , t2 ; r 2 , t2 , r 1 , t1 ) =
hÊ − (r 1 , t1 )Ê − (r 2 , t2 )Ê + (r 2 , t2 )Ê + (r 1 , t1 )i
hÊ − (r 1 , t1 )Ê + (r 1 , t1 )ihÊ − (r 2 , t2 )Ê + (r 2 , t2 )i
(2.57)
wobei die Mittlung mit Hilfe des Dichteoperators
hÊ − (r 1 , t1 )Ê + (r 2 , t2 )i = T r ρ̂Eˆ− (r 1 , t1 )Ê + (r 2 , t2 )
(2.58)
durchgeführt wird.
Für g (2) bietet es sich an, eine Darstellung zu wählen, in der die quantisierten
Felder durch Erzeuger- und Vernichteroperatoren ↠, â der entsprechenden
bosonischen Felder ersetzt werden können [27]. Dazu wird der elektromagnetische Feldoperator mit Ausbreitungsrichtung in z-Richtung und linearer
Polarisation der Form
r
~ω
Ê(χ) = Eˆ+ (χ) + Eˆ− (χ) =
âe−iχ + ↠eiχ
(2.59)
20 V
betrachtet. Dabei ist 0 die Permittivität des Vakuums und V das effektive
Modenvolumen. Die explizite Abhängigkeit vom Ort und der Zeit ist in dem
Phasenfaktor
π
(2.60)
χ = ωt − kz −
2
enthalten.
p Mit der Konvention, dass das elektrische Feld in Einheiten von
EV = 2 ~ω/20 V gemessen wird, ergibt sich
1
1
Ê(χ) = Eˆ+ (χ) + Eˆ− (χ) = âe−iχ + ↠eiχ = X̂cosχ + Ŷ sinχ
2
2
(2.61)
mit den Operatoren X̂ = 1/2(↠+ â) und Ŷ = i/2(↠− â).
Für die Korrelationsfunktion erster Ordnung aus (2.56) ergibt sich so für
einen Lichtstrahl, der durch (2.59) beschrieben werden kann,
g (1) (z1 , t1 ; z2 , t2 ) = g (1) (τ ) = g (1) (χ1 ; χ2 ) = exp{i(χ1 + χ2 )}
18
(2.62)
2.5. Korrelationen
mit τ = χ2 − χ1 .
Für die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung ergibt sich analog
g (2) (τ ) = g (2) (χ1 ; χ2 ) =
h↠↠ââi
h↠âi2
(2.63)
mit den beiden Beziehungen
√
n|n − 1i
√
↠|ni = n + 1|n + 1i .
â|ni =
(2.64)
Damit lässt sich g (2) (τ ) in Abhängigkeit des Mittelwerts und des quadratischen Mittelwerts der Besetzungszahl ausdrücken
σ 2 + hn̂i2 − hn̂i
σ 2 − hn̂i
hn2 i − hn̂i
hn̂(n̂ − 1)i
=
=
1
+
.
=
hn̂i2
hn̂i2
hn̂i2
hn̂i2
(2.65)
Hier zeigt sich ein wichtiger Unterschied zur rein klassischen Theorie aus
2.5.1, denn die in Gleichung (2.65) zu messenden Größen sind von quantenmechanischer Natur. Eine Messung dieser Größen beeinflusst somit das zu
messende System. Entspricht n der Anzahl detektierbarer Photonen, ist im
darauf folgenden Messprozess, nach erfolgreicher Detektion eines Photons,
nur noch die Größe n − 1 zu messen.
Für eine Lichtquelle, die exakt n Photonen emittiert, was einem Eigenzustand |ni des Photonenzahloperators entspricht, ergibt sich eine Korrelationsfunktion
n−1
für n ≥ 2
(2.66)
g (2) (τ ) =
n
und somit immer ein Wert, der kleiner als 1 ist, was im klassischen Fall
(2.51) nicht möglich ist. Wird g (2) (τ ) hingegen für einen kohärenten Lichtstrahl im Einmodenbetrieb ausgewertet, ergibt sich
g (2) (τ ) =
g (2) (τ ) = 1 ,
(2.67)
was dem Beispiel der Lichtquelle mit deltaförmigem Verbreiterungsprofil in
2.2 entspricht.
19
2. Theoretische Grundlagen
2.5.4
Korrelationen und deren Zählstatistiken
Im letzten Abschnitt dieses Kapitels soll ein Zusammenhang zwischen g (2)
und der Zählstatistik erarbeitet werden, um einen konkreten Zugang zur
Messung der Korrelationsfunktionen in Experimenten aufzuzeigen.
In (2.66) wurde am Beispiel einer Photonenquelle, die eine exakte Anzahl
von Photonen emittiert, gezeigt, dass g (2) (τ ) ≤ 1 gilt. Den Effekt, dass die
mittlere Wahrscheinlichkeit klein oder sogar null ist, zwei Photonen zum
gleichen Zeitpunkt zu detektieren, nennt man Anti-Bunching.
Ein Beispiel für ein solches System ist ein ideales Zwei-Niveau System, in
dem ein Atom nur die Möglichkeit besitzt, angeregt zu werden und durch
Aussenden eines Photons wieder in den Grundzustand zurückzugelangen.
Wird die Anzahl der emittierten Photonen gegen die zeitliche Differenz der
Detektionen gemessen, so ergibt sich für eine Zeitdifferenz ∆ = 0 zwischen
den Detektionen keine Messung von Photonen. Da das Atom eine endliche
Zeit benötigt, um aus dem angeregten Zustand wieder in den Grundzustand
zu gelangen, ist eine gleichzeitige Emission von zwei oder mehr Photonen
nicht möglich.
Der genau entgegengesetzte Effekt wird beobachtet, wenn die ausgesandten Photonen einer thermischen Lichtquelle, wie zum Beispiel eines Sterns,
detektiert werden. Hier ergibt sich eine deutlich erhöhte Wahrscheinlichkeit, zwei oder mehr Photonen zum gleichen Zeitpunkt zu detektieren; das
sogenannte Bunching. Zum ersten Mal experimentell nachgewiesen wurde
dieser Effekt in dem berühmten Experiment von R. Hanbury Brown und
R.Q. Twiss. Eine quantenmechanische Erklärung des Bunching und AntiBuchning lieferte R. Glauber, die auf der Interpretation der emittierten
Photonen im Rahmen des Welle-Teilchen-Dualismus beruht [28].
Um ein besseres Verständnis für den Zusammenhang zwischen Korrelationsfunktionen und Zählstatistiken zu erlangen, soll noch einmal das Beispiel
des Laserlichts als Photonenquelle herangezogen werden.
Laut Gleichung (2.65) besteht ein Zusammenhang zwischen der Korrelationsfunktion auf der einen Seite, der Varianz σ und dem Mittelwert der
gemessen Teilchenzahl hni auf der anderen Seite. Detektiert man die Anzahl
der Photonen, die von einem Laser emittiert werden, folgt die gemessene
Photonenzahl einer Poisson-Statistik [29] der Form
f (k, λ) =
20
λk e−λ
k!
(2.68)
2.5. Korrelationen
mit dem Erwartungswert λ und k ∈ N. Die Varianz der Poisson-Verteilung
ist gegeben durch σ 2 = λ und entspricht somit gerade dem Erwartungswert.
Mit der Definition der Korrelationsfunktion zweiter Ordnung aus (2.65)
g (2) (τ ) = 1 +
σ 2 − hni
σ2 − λ
=
hni2
λ2
(2.69)
ergibt sich für eine Lichtquelle deren emittierte Photonenzahl der PoissonStatistik folgt σ 2 = hni und somit g (2) (τ ) = 1.
Der Einfluss von Bunching und Anti-Bunching auf die Zählstatistik, speziell
auf die zu erwartende Teilchenzahl lässt sich durch die sogenannte superbzw. sub-Poisson Verteilung beschreiben [30]. Der charakteristische Unterschied zu einer Poisson-Verteilung mit σ 2 = λ ist beim Bunching durch
eine größere, beziehungsweise beim Anti-Bunching durch eine kleinere Varianz bei gleichbleibendem Erwartungswert gegeben. Für Systeme, in denen
Bunching auftritt, erhält man σ 2 > λ und somit eine Korrelationsfunktion
g (2) (τ ) > 1. Analog ergibt sich für den entgegengesetzten Fall des AntiBunchings σ 2 < λ und somit g (2) (τ ) < 1.
Zusammengefasst ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen der Korrelationsfunktion zweiter Ordnung und der Zählstatistik

σ2 < λ

sub-Poisson
< 1
σ2 = λ .
g (2) (τ ) = 1
(2.70)
Poisson


2
σ >λ
>1
super-Poisson
In Abb. 2.3 sind die in diesem Abschnitt dargestellten Beispiele noch einmal
graphisch zusammengefasst. Auf der linken Seite sind die Zählstatistiken für
die drei besprochenen Fälle von sub-Poisson-, super-Poisson- und PoissonVerteilung dargestellt. Der Mittelwert ist in allen drei Fällen gleich und
beträgt λ = 10. Der charakteristische Unterschied zwischen den drei aufgezeigten Verteilungen lässt sich allein durch die unterschiedlichen Werte
für die Varianz erklären. Auf der rechten Seite ist die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung exemplarisch für diese drei Typen der Zählstatistik
angegeben. Anhand des so aufgezeigten Zusammenhangs zwischen der Korrelationsfunktion zweiter Ordnung und den Zählstatistiken lassen sich durch
Bestimmung dieser, wichtige Informationen über das System gewinnen und
direkt auf Bunching oder Anti-Bunching im System zurückführen. In realen
Systemen, so auch in Experimenten mit ultrakalten Quantengasen, gilt es
Mehrteilchenprozesse, wie zum Beispiel Wechselwirkungen der Atome untereinander, zu berücksichtigen. Diese können einen großen Einfluss auf die
Korrelationsfunktionen haben, ermöglichen es auf der anderen Seite aber
21
2. Theoretische Grundlagen
sub-Poisson
Poisson
super-Poisson
0.3
0.2
1.5
1.0
0.5
0.1
0
2.0
g(2)(τ)
P(N)
0.4
5
10
15
N
20
τ
Abbildung 2.3: In der linken Abbildung sind die verschiedenen
Zählstatistiken für eine Poisson- (grün), sub-Poisson- (blau) bzw. superPoisson - Verteilung (rot) mit einem Erwartungswert von λ = 10 dargestellt. Auf der rechten Seite sind die entsprechenden Korrelationsfunktionen
zweiter Ordnung angegeben.
auch, diese durch Messung der Korrelationsfunktionen zu charakterisieren.
22
Kapitel
Experimenteller Aufbau
Nachdem im vorherigen Kapitel die theoretischen Grundlagen beschrieben
wurden, soll im Folgenden der experimentelle Aufbau im Vordergrund stehen. Dazu wird das bestehende Experiment zur Erzeugung von ultrakalten
Quantengasen vorgestellt und darüber hinaus speziell auf das Lasersystem
sowie das Elektronenmikroskop eingegangen. Zusätzlich wird im letzten Abschnitt die Implementierung einer weiteren Laserquelle zur Erzeugung einer
oblaten Fallengeometrie in das bestehende Experiment beschrieben.
3.1
Von der Atomquelle zum
Bose-Einstein-Kondensat
Um einen ersten Eindruck zu gewinnen, wie im vorliegenden Experiment
ultrakalte 87 Rb Atomwolken erzeugt werden, wird zunächst ein kurzer Überblick über die bestehende Apparatur gegeben, bevor in den folgenden Abschnitten detaillierte Betrachtungen zu einzelnen Komponenten des Systems gemacht werden.
Die Untersuchung von Quantenphänomenen in kalten atomaren Gasen bedarf einer guten Isolation des zu untersuchenden Systems von seiner Umgebung. Dazu ist unter anderem eine Hochvakuum-Umgebung nötig, um
Kollisionen mit dem Hintergrundgas so weit wie möglich zu reduzieren.
Zusätzlich muss eine ausreichend große Anzahl an kalten Atomen zur Untersuchung zur Verfügung stehen. Diese kann nur aus einem Hintergrundgas
mit vergleichsweise hohen Drücken in ausreichend kurzer Zeit präpariert
werden. Um diesen beiden Anforderungen gerecht zu werden, basiert der
Aufbau auf einem Zweikammer-Design. Die in Abb. 3.1 gezeigte Experimentkammer besitzt eine sphärische Vakuumkammer mit einem Durchmes23
3
3. Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.1: Experimenteller Aufbau zur Erzeugung ultrakalter 87 Rb
Atomwolken. Im Vordergrund ist die Hauptkammer mit der vertikal angebrachten Elektronensäule zu sehen. Rechts im Hintergrund befindet sich
die 2D-MOT sowie der Transfer in die Hauptkammer. Auf der linken Seite
befindet sich der Zugang, durch den der CO2 -Laser in die Kammer fokussiert wird, sowie weitere optische Zugänge, die zur Verfügung stehen.
ser von 30 cm, wobei mit dem vorliegenden Vakuumsystem Drücke von etwa
2 × 10−10 mbar erreicht werden können. Als Quelle für die Rubidium-Atome
wird eine zweidimensionale magneto-optische Falle1 (1) verwendet, in der
die Atome mit einem Lasersystem gekühlt und anschließend in die Hauptkammer befördert werden [31]. Dort werden die Atome in einem weiteren
Schritt in einer dreidimensionalen MOT (2,3) bis auf wenige hundert Mikrokelvin gekühlt und anschließend in eine Dipolfalle umgeladen, die durch
einen fokussierten CO2 -Laserstrahl (4) erzeugt wird. Durch definiertes Herunterfahren der CO2 -Laserleistung können die Atome bis zur Bose-EinsteinKondensation evaporativ gekühlt werden.
1
24
engl. magneto-optical trap, Abk. MOT
3.2. Die magneto-optische Falle und das Lasersystem
Zur Detektion der kalten Atomwolke sind zwei Absorptions-Abbildungen
installiert (nicht in der Abb. gezeigt). Des Weiteren ist in die Kammer ein
Elektronenobjektiv integriert, das zusammen mit einem Faradaybecher (6)
zur Strommessung und einer Ionenoptik ein Elektronenmikroskop darstellt.
Auf dessen genaue Funktionsweise wird im Abschnitt 3.4 eingegangen. Neben den Vakuumfenstern für MOT-, CO2 - und Absorptionsabbildungen
verfügt die Kammer über weitere optische Zugänge.
3.2
Die magneto-optische Falle und das
Lasersystem
Die Rubidium-Atome werden in der 2D-MOT vorgekühlt und anschließend
über eine differentielle Pumpstrecke in die 3D-MOT transferiert. Dort werden sie nach einer Ladezeit von wenigen Sekunden in die CO2 -Dipolfalle
umgeladen. Vorteil dieser Konfiguration bestehend aus 2D- und 3D-MOT
ist, dass die Atome in der 3D-MOT nicht aus dem Hintergrundgas geladen werden müssen, wodurch in der Hauptkammer ein deutlich geringerer
Druck erreicht werden kann. Darüber hinaus ist die Ladezeit in der 2DMOT durch den höheren Druck im Vergleich zum alleinigen Laden in der
3D-MOT deutlich verkürzt.
In der 2D-MOT werden die Atome mit Hilfe der Strahlungskraft2 und einem
zweidimensionalen magnetischen Quadrupolfeld in der transversalen Richtung gekühlt. Dafür sind um die Kammer vier Spulen angebracht, die ein
Magnetfeld mit einem Gradienten von 15 G/cm erzeugen. Dabei führt der
Magnetfeldgradient zu einer Zeeman-Aufspaltung der Besetzungsniveaus im
Atom. Daraus ergibt sich eine Abhängigkeit der Resonanzfrequenz vom Ort
der Atome [32]. Zur Laserkühlung wird der |5S1/2 (F = 2i → |5P3/2 (F 0 = 3)i
Übergang von 87 Rb verwendet, der bei einer Wellenlänge von 780, 241 nm
liegt [20]. Eine schematische Übersicht über das im Experiment verwendete Lasersystem ist Abb. 3.2 zu entnehmen. Der Kühl-Laser3 besteht aus
einem gitterstabilisierten Diodenlaser in Littrow-Konfiguration (siehe Abschnitt 3.6), der durch einen Trapez-Verstärker4 in seiner Leistung verstärkt
wird. Mit Hilfe der dopplerfreien Sättigungsspektroskopie an Rubidium wird
die Wellenlänge auf 780, 033 nm stabilisiert und für die Kühlung in der
2D-MOT mit Hilfe des zweimaligen Durchgangs durch einen akustooptischen Modulator5 resonant auf den |5S1/2 (F = 2)i → |5P3/2 (F 0 = 3)i
2
engl. scattering-force
im Experiment mit Master-Laser bezeichnet
4
engl. tapered-amplifier, Abk. TA
5
engl. acousto-optical modulator (AOM)
3
25
3. Experimenteller Aufbau
Übergang gestimmt. Es gibt eine geringe Wahrscheinlichkeit dafür, dass
Atome nicht resonant in den |5P3/2 (F = 2)i Zustand angeregt werden, aus
dem sie dann in den |5S1/2 (F = 1)i Zustand zerfallen können und somit
nicht mehr am Kühlprozess teilnehmen. Um diese Atome nicht zu verlieren, wird zusätzlich ein Rückpump-Laser verwendet, der resonant auf den
Übergang |5S1/2 (F = 1)i → |5P3/2 (F 0 = 2)i gestimmt ist. Von dort aus
können die Atome wieder in den |5S1/2 (F = 2)i Zustand zerfallen und dem
Kühlprozess erneut zugeführt werden. Dafür wird ebenfalls ein gitterstabilisierter Diodenlaser verwendet, der durch eine dopplerfreie Sättigungsspektroskopie an einer Rubidiumdampfzelle frequenzstabilisiert wird.
Um den Fluss an Atomen in Richtung Hauptkammer zu erhöhen, wird
zusätzlich ein resonanter Laserstrahl in der Längsachse6 des Quadrupolfeldes eingestrahlt. Das benötigte Licht wird hierbei dem Strahlengang des
Master-Lasers entnommen und durch zweimaliges Passieren eines akustooptischen Modulators auf die entsprechende Wellenlänge gestimmt. Im aktuellen Aufbau leistet die 2D-MOT einen Fluss von 3 × 108 Atomen/s.
3.3
Die CO2-Dipolfalle
Die Verbindung zwischen Hauptkammer und 2D-MOT ist durch eine differentielle Pumpstrecke gegeben, die eine Druckdifferenz von bis zu 10−3 mbar
aufrecht erhalten kann. Als zweiter Kühlschritt werden die Atome in der 3DMOT durch insgesamt sechs Laserstrahlen (zwei in jeder Raumrichtung),
kombiniert mit einem magnetischen Quadrupolfeld, weiter gekühlt. Durch
das im Experiment integrierte Elektronenmikroskop und die darin verwendeten magnetischen Linsen ist es nicht möglich, ein perfektes Quadrupolfeld
am Ort der Atome zu erzeugen. Aus diesem Grund sind weitere magnetische Kompensationsfelder von Nöten, die um die Kammer angebracht sind.
Analog zur 2D-MOT wird derselbe Kühlübergang verwendet, wobei das
Laserlicht ebenfalls durch einen TA-verstärkten und gitterstabilisierten Diodenlaser zur Verfügung gestellt wird. Dieser sogenannte Slave-Laser wird
über eine Radiofrequenz-Stabilisierung7 auf einer konstanten Frequenz betrieben und stellt das Kühllicht für die 3D-MOT bereit. Im Gegensatz zur
dopplerfreien Spektroskopie ist es mit Hilfe des Offset Locks möglich, die
Wellenlänge, auf die der Laser stabilisiert ist, in einem kleinen Frequenzbereich während des Experiments zu ändern. Dies wird später beim Umladen
in die CO2 -Dipolfalle ausgenutzt (siehe Abschnitt 4.1). Zusätzlich wird wie
bei der 2D-MOT ein Rückpump-Laser eingestrahlt.
6
7
26
engl. push beam
engl. Offset Lock
3.3. Die CO2 -Dipolfalle
Abbildungs- AbbildungsPush-Strahl
strahl 2
strahl 1
3D-MOT
PBC
PBC
λ/2
λ/2
2x AOM
Spektroskopie
+212 MHz
TA
2x AOM
2D-MOT
TA
PBC
λ/2
+200 MHz
PBC
Spektroskopie
λ/2
Offset Lock
Master-Laser
Slave-Laser
Faserkopplung
Abbildung 3.2: Schematische Darstellung des Lasersystems, das für die experimentelle Realisierung der 2D- und 3D-MOT benötigt wird.
27
3. Experimenteller Aufbau
Für einen typischen Experimentzyklus wird die 2D- und 3D-MOT innerhalb von vier Sekunden mit 109 Atomen geladen, bevor diese in die CO2 Dipolfalle transferiert werden. Die Atomwolke besitzt zu diesem Zeitpunkt
eine Temperatur von etwa 170 nK.
Um ein Bose-Einstein-Kondensat experimentell realisieren zu können, muss
die Phasenraumdichte groß genug werden. Diese ist zum einen durch die
Dichte und zum anderen durch die thermische de-Broglie-Wellenlänge und
somit auch durch die Temperatur bestimmt (siehe 2.22). Die in der 3DMOT realisierbare Phasenraumdichte reicht jedoch nicht zur Kondensation
aus. Da die Temperatur in der 3D-MOT bereits nahe dem Doppler-Limit
von 146 µK [20] liegt, muss ein zusätzliches Kühlverfahren angewendet werden: das evaporative Kühlen [33],[34],[35]. Da verhindert werden soll, dass
durch zusätzliche Magnetfelder Hystereseeffekte die Abbildungsqualität des
Elektronenmikroskops beeinflussen, wurde ein rein optischer Ansatz [36] zur
Herstellung des Bose-Einstein-Kondensats gewählt. Nachdem die Atome in
der 2D- und 3D-MOT vorgekühlt wurden, werden sie in die optische Dipolfalle des fokussierten CO2 -Lasers umgeladen. Im Gegensatz zum Kühlen in
der 2D- und 3D-MOT, die sich die Strahlungskraft zu Nutze macht, werden die Atome in einer Dipolfalle mit Hilfe der Dipolkraft (2.9) gekühlt.
Da die Wellenlänge des CO2 -Lasers mit 10, 6 µm weit entfernt von den
Übergangsfrequenzen in 87 Rb ist, kann die Strahlungskraft in dieser Falle
vernachlässigt werden. Um die Phasenraumdichte zu erhöhen, wird durch
evaporatives Kühlen kontinuierlich der Anteil an Atomen mit der höchsten
Temperatur aus der Dipolfalle entfernt. Dies geschieht durch kontrolliertes
Senken der CO2 -Laserleistung und somit einer Reduzierung der Fallentiefe.
Wird dem System anschließend Zeit zur Rethermalisierung gegeben, besitzen die Atome im Anschluss im Mittel eine niedrigere Temperatur. Dieser
Vorgang wird kontinuierlich für knapp sechs Sekunden vollzogen, wobei sich
die Phasenraumdichte um mehrere Größenordnungen steigern lässt.
Im Experimentzyklus wird der CO2 -Laser während der MOT-Ladephase
eingeschaltet und mit Hilfe zweier Linsen auf 30 µm Strahltaille fokussiert.
Durch Verstimmung der Kühl-Laser und Reduzierung der Laserleistung des
Rückpump-Lasers wird die Dichte im Zentrum der 3D-MOT erhöht, um das
Umladen in die Dipolfalle zu verbessern. Nach dem Abschalten der Kühlund Rückpump-Laser wird die Intensität des CO2 -Laser über eine Zeitspanne von sechs Sekunden in zwei exponentiellen Rampen heruntergefahren.
Mit diesem letzten Kühlschritt können die Atome bis auf wenige Zehntel
nK gekühlt werden. Typischerweise wird die Kondensation mit etwa 50 000
Atomen erreicht.
28
3.4. Das Elektronenmikroskop
3.4
Das Elektronenmikroskop
Einen Großteil der Informationen, die über ultrakalte Quantengase gewonnen werden können, beruhen darauf, diese Systeme mit Hilfe von optischen
Methoden abzubilden und zu untersuchen. Dies geschieht in den meisten
Fällen mit Hilfe von optischen Verfahren, zum Beispiel der Absorptionsabbildung, die sich die Streuung von Photonen an Atomen zu Nutze macht.
Großer Nachteil dieser Methoden ist es, dass sie stark destruktiv wirken
und die Atomwolken nicht mehr für das Experiment zur Verfügung stehen
und neu erzeugt werden müssen. Darüber hinaus lassen sich mit Absorptionsabbildungen keine dynamischen Effekte (in vivo) innerhalb der Wolke
auflösen und die maximale räumliche Auflösung ist durch das Beugungslimit
bestimmt. Im vorliegenden Experiment wird die Auflösung zusätzlich durch
die verwendete numerische Apertur beschränkt und beträgt etwa 3 µm.
Mit dem im Experiment implementierten Elektronenmikroskop ist es dagegen nicht nur möglich in-situ Aufnahmen der Atome anzufertigen, sondern
dies mit einer extrem hohen Auflösung im Bereich von ∼ 100 nm vorzunehmen. Durch diese hohe Auflösung ist es möglich, das System lokal mit
einer Einzel-Atom-Sensitivität zu untersuchen. Durch den räumlich stark
fokussierten Elektronenstrahl ist nur ein kleiner Teil des zu untersuchenden
Systems von der Abbildung betroffen. Im Vergleich zu der Absorptionsabbildung ist diese Abbildungsmethode somit minimal invasiv und ermöglicht
unter anderem auch Messungen von zeitlich veränderlichen Phänomenen
innerhalb des Systems.
Für eine typische Abbildung wird der Elektronenstrahl mit einer Elektronenenergie von 6 keV und einer Halbwertsbreite von ∼ 100 nm auf die Atome fokussiert. Ein Teil der Atome wird durch Elektronenstoß-Ionisation
ionisiert. Die so lokal erzeugten Ionen werden mit Hilfe eines elektrostatischen Feldes aus der Wolke gezogen und einem Channeltron zugeführt. Mit
Hilfe des Channeltrons lässt sich ein zeitaufgelöstes Signal der Ionen messen
und anschließend auswerten. Bevor der Aufbau und die Funktionsweise des
Elektronenmikroskops näher beschrieben wird, soll eine kurze Beschreibung
der Wechselwirkung zwischen Elektronen und Atomen gegeben werden.
Elektron-Atom-Wechselwirkung
Die Abbildungsmethode mit Hilfe des Elektronenmikroskops beruht auf der
Wechselwirkung zwischen Elektronen und den im Experiment zu untersuchenden Atomen. Bei einer typischen Energie der Elektronen von 6 keV
treten hauptsächlich drei verschiedene Wechselwirkungsmechanismen auf:
29
3. Experimenteller Aufbau
Ionisation
Der wichtigste Mechanismus für die Funktionsweise der Elektronenstrahlabbildung ist die sogenannte Elektronenstoß-Ionisation. Dabei wird das Atom
(A) durch das hochenergetische Elektron ionisiert. Schematisch ergibt sich
A + e− = A+ + 2e− . Der Wirkungsquerschnitt [37] bei einer Energie von
6 keV beträgt
σion = 3.4 × 10−17 cm2 .
Da die Abbildung nur durch Detektion der Ionen möglich ist, bildet dieser
Wechselwirkungsmechanismus die Grundlage der Abbildungsmethode.
Elastische und inelastische Streuung
Neben der Elektronenstoß-Ionisation kann das Elektron sowohl elastisch als
auch inelastisch mit dem Atom streuen. Für den elastischen Fall ändert sich
der Impuls des Elektrons, der des Atoms auf Grund der deutlich größeren
Masse jedoch kaum. Für diesen Fall lässt sich der Wirkungsquerschnitt mit
Hilfe einer Born-Oppenheimer-Näherung bestimmen zu [38]
σel = 0.7 × 10−17 cm2
.
Findet statt dem elastischen ein inelastischer Stoß statt, kann das Atom in
einen energetisch höher liegenden Zustand angeregt werden. Der im Experiment dominierende Übergang von 5S1/2 → 5P3/2 besitzt einen Wirkungsquerschnitt von
σinel = 4.8 × 10−17 cm2 .
Werden diese drei Mechanismen zu Grunde gelegt, beträgt die theoretisch
maximal mögliche Detektionseffizienz 40%, da detektierbare Ionen nur im
Fall der Elektronenstoß-Ionisation erzeugt werden. Im Experiment hängt
diese Effizienz maßgeblich von der Güte der Ionenoptik und des Channeltrons ab.
Streurate
Neben dem Wirkungsquerschnitt ist vor allem die zu erwartende Streurate im Experiment von großer Bedeutung. Der gesamte Wirkungsquerschnitt
aller drei obig genannten Mechanismen beträgt σges = 9×10−17 cm2 , was im
Vergleich zum Wirkungsquerschnitt, einer optischen Dipolanregung bei einer Wellenlänge von 780 nm, von σop = 10−9 cm2 um acht Größenordnungen
kleiner ist. Im Durchschnitt erwartet man so für 106 Elektronen nur eine
Wechselwirkung mit einem einzelnen Atom.
30
3.4. Das Elektronenmikroskop
Das Elektronenobjektiv
Das im Experiment installierte Elektronenobjektiv ist eine Modifikation eines industriell verwendeten Objektivs. Es verfügt im Vergleich zu kommerziellen Systemen über einen erhöhten Emissionsstrom und wurde speziell für
dieses Experiment angefertigt. Eine schematische Darstellung findet sich in
Abb. 3.3.
Ein thermischer Schottky-Emitter erzeugt Elektronen mit einer Energie von
6 keV . Der erzeugte Strahl von Elektronen wird mit Hilfe einer Stigmatorund Deflektor-Einheit in Strahlqualität und Strahlrichtung optimiert. Anschließend folgt eine optionale Aperturstufe mit wählbaren, festen Lochdurchmessern zwischen 20 µm und 300 µm. Diese dient dazu, den Strahl lateral einzuschränken und verringert somit sphärische Aberrationen. Dies reduziert allerdings den Strahlstrom, der später im Experiment zur Verfügung
steht. Nach der Apertur passiert der Elektronenstrahl eine differentielle
Pumpstrecke und eine zweite Kombination aus Stigmator und Deflektor,
die den Strahl der magnetischen Objektivlinse zuführt. Diese dient zur Fokussierung des kollimierten Strahls auf die Atome.
Mit Hilfe der beiden Quadrupoldeflektoren in der Spitze des Elektronenobjektivs lässt sich der Austrittswinkel des Elektronenstrahls kontrolliert einstellen. Beide Deflektoren können durch eine äußere Kontrolleinheit angesprochen werden, wodurch es möglich ist, beliebige Abtastmuster zu realisieren. Je nach Deflektor ergibt sich eine unterschiedliche Abtast-Charakteristik
am Ort der Atome. Zum einen ein Abtastbereich von 500 µm × 500 µm mit
einer Geschwindigkeit von 1 kHz (langsamer Abtastmodus). Zum anderen
steht ein schneller Abtastmodus mit einem Bereich von 200 µm × 200 µm
mit einer Geschwindigkeit von 1 MHz zur Verfügung. Mit den Einstellungen
von Aperturgröße, Kollimations- und Objektivlinsenstrom muss ein Kompromiss zwischen Strahlgröße und Strahlstrom gefunden werden. Meist wird
der Elektronenstrahl zur hochauflösenden Abbildung verwendet, weswegen
kleine Foki mit vergleichsweise geringem Strahlstrom gewählt werden. Typische Werte im Experiment sind ein Strahlstrom von 20 nA bei einer Halbwertsbreite des Strahls von 120 nm.
Der Elektronenstrahl wird mit einer in die Fokalebene einfahrbaren Justierhilfe8 scharf gestellt. Auf dem Test-Target befindet sich eine Mikrokanalplatte9 mit deren Hilfe zurückgestreute Elektronen, sowie erzeugte
Sekundärelektronen detektiert werden. Dies erlaubt es, ein Bild des TestTargets zu rekonstruieren. Auf dem Test-Target selber befindet sich ein
8
9
engl. test target
engl. multi channel plate (MCP)
31
3. Experimenteller Aufbau
erster Stigmator und
statischer Deflektor
Kondensorlinse
Apertur
Ablenk-Elektroden
zweiter Stigmator und
statischer Deflektor
Objektivlinse
dynamische
Deflektoren
Schottky-Emitter
differentielle Pumpstrecke
Abbildung 3.3: Schematische Darstellung des Elektronenobjektivs. Der
Elektronenstrahl wird mit Hilfe eines thermischen Schottky-Emitters erzeugt und anschließend mit einer magnetischen Kondensor-Linse, einem
elektrostatischem Deflektor und Stigmator geformt. Mit Hilfe einer variablen Apertur lässt sich die Strahlgröße einstellen. Mit den AblenkElektroden lässt sich der Strahl bei Bedarf abschalten. Mit der zweiten
Kombination aus Deflektor und Stigmator kann die Strahlform ein weiteres
Mal korrigiert werden, bevor die Elektronen mit der magnetischen Objektivlinse auf die Atome fokussiert werden.
Kupfer-Gitter, auf das der Strahl bezüglich Strahlfokussierung und Sichtfeld optimiert werden kann. Zusätzlich besitzt das Test-Target ein Loch
mit einem Durchmesser von 200 µm, womit die Halbwertsbreite des Strahls
minimiert und gemessen werden kann [39].
Ionendetektion
Die durch den Elektronenstrahl erzeugten Ionen dienen im Experiment der
Bilderzeugung und werden durch eine Ionenoptik aus der Atomwolke abgezogen. Diese besteht aus insgesamt sechs Elektroden, von denen die vorderen
drei die Ionen zum Detektor ziehen. Mit deren relativen Spannungen ist es
möglich, den Ionenpfad in horizontaler und vertikaler Richtung zu schwen32
3.5. Die Absorptionsabbildung
2.AOM
Abbidungsng
nu
rd
O
Laser
+1
Atomwolke
Spiegel
Linse
1. AOM
CCD Chip
Abbildung 3.4: Experimentelle Realisierung der Absorptionsabbildung. Mit
dem CCD-Chip wird der transmittierte Anteil des resonaten Laserlichts
abgebildet und daraus ein Bild der Atomwolke rekonstruiert.
ken. Danach folgt eine Ring- und eine Zylinderelektrode, die die Ionen zu
einem Kanalelektronenvervielfacher10 leitet. Vor dem Channeltron befindet
sich zusätzlich eine Konversionsdynode. Jeder Einschlag eines Ions dort hat
einen Elektronenschauer zur Folge, der anschließend in das Channeltron
gelangt. Darin kommt es bei jeder Kollision eines Elektrons mit der Channeltronwand zur Auslösung weiterer Elektronen, bis schließlich die Kaskade
von Elektronen die Anode erreicht und einen Strompuls erzeugt. Dieser wird
zunächst in einem Diskriminatorverstärker in ein messbares Signal umgeformt und anschließend dem Messrechner zugeführt.
3.5
Die Absorptionsabbildung
Neben dem oben beschriebenen Abbildungssystem, das auf der Elektronenstoß-Ionisation und anschließender Detektion der Ionen beruht, sind im
Experiment zwei Absorptionsabbildungen implementiert. Dieses Standardverfahren zur Abbildung von kalten Atomwolken wird zur Bestimmung
wichtiger Parameter wie Temperatur, Atomzahl und daraus abgeleiteten
Größen benötigt. Darüber hinaus dient es als wichtiges Werkzeug zur Justage und Abbildung aller Vorgänge innerhalb der Kammer, beginnend mit
der 3D-MOT bis hin zur Abbildung und Vermessung der Kondensate. Bei
der Absorptionsabbildung werden die Atome mit einem resonanten Laserstrahl beleuchtet und mit Hilfe einer Kamera, der von den Atomen geworfene Schatten, abgebildet.
10
eng. channeltron
33
3. Experimenteller Aufbau
Durchläuft Licht, das in der z-Richtung propagiert, mit einer Intensitätsverteilung I0 (x, y) ein halbtransparentes Medium, folgt das axiale Intensitätsprofil dem Lambert-Beerschen-Gesetz. Für den transmittierten Teil
des Lichts ergibt sich eine Intensität
It (x, y) = I0 (x, y)e−α(x,y)z
(3.1)
mit dem Absorptionskoeffizienten α des beteiligten Mediums. Mit der Dichteverteilung n(x, y, z) lässt sich der Exponent ausdrücken als
Z
α(x, y)z = σ n(x, y, z)dz ,
(3.2)
wobei σ der Streuquerschnitt für ein einzelnes Atom ist. Die über z integrierte Dichteverteilung lässt sich mit Hilfe von It und I0 berechnen:
Z
1 It (x, y)
n(x, y, z)dz = − ln
.
(3.3)
σ I0 (x, y)
Im Experiment muss besonders darauf geachtet werden, eine passende Intensität des Abbildungsstrahls zu wählen. Falls die Intensität zu gering
gewählt ist, wird It (x, y) sehr klein, womit die gemessene Atomzahl gegen
unendlich divergiert. Für sehr hohe Intensitäten sättigt man die Atome, was
bedeutet, dass It (x, y) konstant bleibt und sich nur noch I0 (x, y) ändert, was
eine zu geringe Atomzahl liefert.
Schematisch wird das Prinzip in Abb. 3.4 dargstellt. Der Laserstrahl wird
mit Hilfe von zwei akustooptischen Modulatoren in der Frequenz so verschoben, dass er resonant auf den Übergang |5S1/2 , F = 2i → |5P3/2 , F = 3i
gestimmt ist. Das durch die Atomwolke transmittierte Licht wird mit einer
Linse vergrößert und anschließend mit einer CCD11 -Kamera abgebildet. Die
Intensitätsregelung sowie das Ein- und Ausschalten des Abbildungslichts
kann mit dem akustooptischen Modulator und einer in den Strahlengang
implementierten schaltbaren Blende gesteuert werden.
11
34
ladungsgekoppeltes Bauteil, engl. charged-coupled device
3.6. Das Lightsheet
3.6
Das Lightsheet
Im bisher beschriebenen Experimentverlauf befinden sich die RubidiumAtome nach dem Umladen aus der MOT in der CO2 -Dipolfalle und können
dort abgebildet und weiter manipuliert werden. Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurde eine zusätzliche Dipolfalle installiert. Dabei handelt es sich um
ein stark oblates Fallenpotential12 , das sich durch eine starke Kompression
in nur einer Raumrichtung vom prolaten Dipolpotential der CO2 -Falle unterscheidet. Im folgenden Abschnitt wird auf die beteiligten Komponenten
und den Aufbau dieses Lightsheets eingegangen.
Der Lightsheet-Laser
Als Laserquelle dient in diesem Aufbau ein gitterstabilisierter Diodenlaser
in Littrow-Konfiguration, der mit einer Wellenlänge im nahinfrarotem Wellenlängenbereich betrieben wird. Die Littrow-Konfiguration ist schematisch
in Abb. 3.5 abgebildet. In dieser Konfiguration wird der von der Laserdiode divergent emittierte Laserstrahl zunächst durch eine kurzbrennweitige
Linse kollimiert und fällt anschließend unter einem Winkel α auf ein holographisch beschichtetes Reflektionsgitter. Der Einfallswinkel und die Gitterkonstante werden so gewählt, dass die erste Beugungsordnung für 852 nm
ebenfalls unter dem Winkel α auftritt. Damit ist gewährleistet, dass ein Teil
des ausgekoppelten Lichts in die Diode zurückreflektiert wird und mit der
hinteren Facette der Diode einen externen Resonator bilden kann. Die nullte Ordnung wird dagegen ausgekoppelt und für den weiteren Strahlengang
verwendet.
Eine Wellenlängenselektion des Lichts in dieser Konfiguration gelingt durch
Änderung des Winkels α und somit einer Drehung des Gitters. Nach dem
Verlassen des Diodenlasers passiert der Laserstrahl einen optischen FaradayIsolator und wird mit Hilfe eines Strahlteilers in zwei Teilstrahlen aufgeteilt. Ein Teilstrahl durchquert anschließend eine Cäsiumdampfzelle. Die
Wellenlängenstabilisierung auf 852, 120 nm erfolgt durch die dopplerfreie
Sättigungsspektroskopie. Der Hauptstrahl passiert einen AOM, mit Hilfe
dessen die Leistungsstabilisierung geregelt wird. Im AOM befindet sich ein
Kristall, der durch ein Piezoelement mit einer akustischen Welle orthogonal zur Ausbreitung des Laserlichts moduliert wird. Durch den druckabhängigen Brechungsindex des verwendeten Kristalls ist die Wirkung der
akustischen Welle auf den Laserstrahl vergleichbar mit der eines Transmissions-Beugungsgitters. Durch gezielte Ansteuerung des AOMs lässt sich
12
im Folgenden als ”Lightsheet”bezeichnet
35
0.Ordnung
3. Experimenteller Aufbau
Diode
1.Ordnung
Gitter
Kollimationslinse
Abbildung 3.5: Schematische Darstellung eines gitterstabilisierten Diodenlasers in Littrow-Konfiguration.
der Gesamtanteil des Lichts, der in die erste Ordnung gestreut wird, bestimmen und somit die Intensität des Laserlichts variieren und nach Bedarf
steuern.
Nach dem AOM wird der Strahl mit zwei dichroitischen Spiegeln in eine Faser eingekoppelt. Ein dichroitischer Spiegel zeichnet sich dadurch aus, dass
er nur für einen Teil des Lichtspektrum reflektierend wirkt und für die anderen Wellenlängenkomponenten transparent. Laserdioden können neben dem
definierten Emissionsspektrum in einem sehr engen Wellenlängenbereich,
in diesem Fall bei etwa 852 nm, zusätzlich ein sehr breites Emissionsspektrum über große Wellenlängenbereiche aufweisen. Im Aufbau soll durch
Verwendung der dichroitischen Spiegel somit verhindert werden, dass Wellenlängenkomponenten, die zu unerwünschten Heizeffekten führen, nicht
mit in die Faser eingekoppelt werden. Als Faser wird eine polarisationserhaltende Faser verwendet.
Der optische Aufbau des Lightsheets
Um die gewünschte stark oblate Fallengeometrie zu erreichen, wird ein laterales Intensitätsprofil mit starker Elliptizität benötigt. Dazu Bedarf es
anamorpher Optiken. Ein schematischer Aufbau ist in Abb. 3.6 dargestellt.
Der aus der Faser ausgekoppelte Strahl besitzt ein sphärisches Strahlprofil.
Um daraus ein sphärisch oblates Profil realisieren zu können, benötigt man
36
3.6. Das Lightsheet
Optiken, die die Stahlparameter selektiv nach ihrer Ausrichtung im Raum
verändern. Besonders geeignet hierfür sind Zylinderlinsen. Diese zeichnen
sich dadurch aus, dass sie je nach Orientierung den Strahl entlang nur einer
Achse fokussieren beziehungsweise aufweiten. Mit Hilfe dieser Linsen ist es
im Experiment möglich, die Strahltaillen sowohl in der horizontalen als auch
in der vertikalen Ebene (bezogen auf die Ausbreitungsrichtung des Lichts)
separat von einander anzupassen. Daneben werden im Aufbau achromatische Linsen verwendet um eine möglichst geringe sphärische Abberation zu
erreichen und um die Option zu besitzen, einen weiteren Laserstrahl mit
einer anderen Wellenlänge durch das gleiche Linsensystem zu führen.
Nach dem Auskoppler wird der Strahl zunächst mit Hilfe eines Strahlteilers
in der Polarisation gereinigt. Ein Teil des Strahls wird auf eine Photodiode abgebildet. Das Photodiodensignal wird als Feedback durch einen PIRegler13 zurück auf den AOM gegeben und ermöglicht so eine Leistungstabilisierung. Hinter der Polarisationsreinigung besteht die Möglichkeit, mit Hilfe eines weiteren Strahlteilers einen zusätzlichen Laserstrahl in den Strahlengang einzubringen. Anschließend passiert der Strahl eine achromatische
Linse mit einer Brennweite von f = 750 mm, eine Sammellinse mit f =
100 mm und im Anschluss die erste Zylinderlinse mit einer Brennweite von
fx = 50 mm. Die Kombination aus sphärischer Linse und Zylinderlinse bildet
somit in x-Richtung ein Teleskop. Daraufhin folgt ein Paar Zylinderlinsen
mit einer Brennweite von jeweils fy = 300 mm, mit deren Hilfe der Strahl in
der y-Richtung stark aufgeweitet wird. Um mit einem kollimierten Strahl
auf die letzte Abbildungslinse vor dem Zugang zur Kammer zu gelangen,
befindet sich ein weiterer Achromat mit einer Brennweite von 750 mm im
Strahlengang. Direkt vor dem optischen Zugang zur Kammer ist ein PiezoSpiegel im Strahlengang platziert, mit dessen Hilfe die Position des Strahls
in der Kammer auf wenige Mikrometer genau eingestellt werden kann. Als
letzte Linse befindet sich die Abbildungslinse mit f = 300 mm im Strahlengang, die den kollimierten Strahl auf die Atome fokussiert.
Um den durch das optische System geformten Strahl vermessen zu können,
ist vor der letzten Linse ein Klappspiegel angebracht, der bei Bedarf in den
Strahlengang gebracht werden kann. Der ausgekoppelte Laserstrahl passiert
dann den baugleichen Achromaten, wie auf dem Weg zu den Atomen und
wird mit Hilfe eines Mikroskops14 auf eine Kamera zur Strahlprofilbestimmung15 abgebildet. Diese ermöglicht das hochaufgelöste Abbilden von Laserstrahlen, mit Hilfe eines integrierten CCD-Chips. Das Mikroskop besitzt
13
engl. proportional-integral controller
Obejktiv: Mitutoyo M Plan APO 20x NIR, Tubus: Infinitube 1x
15
Wincam D Series UCD23
14
37
3. Experimenteller Aufbau
Spiegel
Zylinderlinse
2 x fy = 300 mm
Achromat
Sammellinse
Strahlteiler
fx = 50 mm
Teleskop in
x-Richtung
f = 100 mm
z
y
x
f = 750 mm
Mikroskop
Wincam
Polarisationsreinigung
f = 750 mm
Photodiode
Piezo-Spiegel
Klappspiegel
f = 300 mm
zu den Atomen
Abbildung 3.6: Schematischer Aufbau des optischen Teils des Lightsheets.
Abgebildet ist der Strahlengang nach dem Auskoppler. Der Strahl passiert
eine Kombination aus verschiedenen optischen Bauelementen, bevor er auf
die Atome fokussiert wird. Optional kann der Strahl vor der letzten Linse
ausgekoppelt werden und mit Hilfe eines Mikroskops und der Wincam vermessen werden. Mit x, y, z sind die drei Raumrichtungen angedeutet, wobei
y die Richtung aus der Blattebene heraus bezeichnet.
38
3.6. Das Lightsheet
eine 20-fache Vergrößerung und ist speziell auf nahinfrarote Wellenlängen
optimiert. Durch Positionierung der Observationsebene der Wincam im gleichen Abstand der Atome zum letzten Achromaten lassen sich die Strahlparamter am Ort der Atome indirekt messen.
39
Kapitel
Die experimentelle Realisierung
Im vorherigen Kapitel wurden die notwendigen Schritte zur Präparation
eines Rubidium-BECs vorgestellt. Darüber hinaus wurde mit dem im Experiment implementierten Elektronenmikroskop ein hochauflösendes Abbildungsverfahren vorgestellt. Neben der Möglichkeit, die Atome in der CO2 Dipolfalle zu fangen, steht mit dem Lightsheet eine weitere optische Dipolfalle zur Verfügung, die sich durch eine stark oblate Fallengeometrie auszeichnet. Im Folgenden soll auf den Experimentzyklus eingegangen werden,
so wie er typischerweise im Experiment durchgeführt wird und vor allem
die Charakterisierung des Lightsheets im Vordergrund stehen.
4.1
Der Experimentzyklus
Der Experimentzyklus, schematisch in Abb. 4.1 abgebildet, startet mit dem
Laden der 2D- und 3D-MOT, wobei die Kühl-, Push- und Rückpump-Laser
sowie die magnetischen Spulen eingeschaltet werden. Das Ein- und Ausschalten der Laserstrahlen wird durch mechanische Blenden1 und die AOMs,
die im Strahlengang platziert sind, gesteuert. Die Leistungsregelung der Laserstrahlen während des Experimentzyklus wird durch die beteiligten akustooptischen Modulatoren gesteuert. Nach einer typischen Ladezeit von vier
Sekunden und dem Transfer von der 2D-MOT in die 3D-MOT befinden sich
dort etwa 109 Atome. Der CO2 -Laser wird zu Beginn des Experimentzyklus
mit einer Leistung von 10 W gestartet. Bei dieser Leistung betragen die
Fallenfrequenzen in der vom Laser erzeugten Dipolfalle ωaxial = 2π × 180 Hz
in axialer und ωradial = 2π × 2860 Hz in radialer Richtung.
Nach der Ladezeit der 3D-MOT, werden zum Transfer alle Laser und ma1
engl. shutter
41
4
MOT - Verstimmung
4. Die experimentelle Realisierung
-13 MHz
-35 MHz
-140 MHz
CO2 - Leistung
10 W
25 mW
Lightsheet
0 mW
3 mW
0 mW
4s
6s
200 ms 200 ms
Zeit
Abbildung 4.1: Experimentzyklus zur Erzeugung eines Bose-EinsteinKondensates mit anschließendem Transfer in die Lightsheet-Falle. Dargestellt ist der zeitliche Verlauf der Verstimmung des Kühl-Lasers, der Leistung des CO2 -Lasers und der Leistung des Lightsheet-Lasers. Details zum
Transfer in die Lightsheet-Dipolfalle, werden in Abschnitt 4.2.3 gegeben.
42
4.1. Der Experimentzyklus
gnetischen Felder der 2D-MOT ausgeschaltet. Um ein möglichst gutes Umladeverhalten in die CO2 -Dipolfalle zu gewährleisten, wird der Kühl-Laser
kurz vor dem Ende der Ladephase schrittweise verstimmt, um die MOT
kurzzeitig stark zu komprimieren. Durch diese starke Komprimierung der
Atome werden erhöhte Streuverluste erzeugt, die es ermöglichen einen Teil
der Atome in das konservative CO2 -Dipolpotential umzuladen. Gleichzeitig wird die Leistung des Rückpump-Lasers linear auf 4% der Ausgangsleistung reduziert, um so eine Dunkel-MOT2 [40] zu erzeugen. Sowohl der
Rückpump-Laser mit reduzierter Leistung, als auch der Kühl-Laser mit der
maximalen Verstimmung von 140 MHz bleiben für weitere 25 ms eingeschaltet, bevor alle Laser der 3D-MOT abgeschaltet werden. Durch die geringe
Leistung des Rückpump-Lasers befinden sich die Atome nach dem MOTZyklus im |5S1/2 (F = 1)i Zustand und werden so in die optische Dipolfalle
umgeladen. Anschließend werden alle magnetischen Felder der 3D-MOT
ausgeschaltet und die Atome mit Hilfe des evaporativen Kühlens bis zur
Bose-Einstein-Kondensation gebracht.
Durch die Verwendung des Elektronenmikroskops muss bei der evaporativen Kühlung auf zusätzliche magnetische Felder verzichtet werden, da diese
die Abbildung mit Hilfe des Elektronenstrahls stören könnten. Stattdessen werden die Atome mit der höchsten Temperatur aus der Atomwolke
entfernt, indem die Leistung des CO2 -Lasers kontrolliert heruntergefahren
wird. Dies entspricht einer Reduzierung der Fallentiefe, die durch das optische Dipolpotential erzeugt wird. Die Evaporation umfasst eine Zeitspanne
von sechs Sekunden. Somit ist sichergestellt, dass dem atomaren Ensemble
ausreichend Zeit gegeben wird kontinuierlich zu thermalisieren.
Nach dem Umladen in die Dipolfalle befinden sich darin ∼ 5 × 106 Atome
mit einer Temperatur von 170 µK. Die Phasenraumdichte beträgt zu diesem
Zeitpunkt etwa nλ3t ≈ 5 × 10−5 und ist somit um einige Größenordnungen
zu klein, um die Bose-Einstein-Kondensation zu erreichen.
Im Anschluss an den Umladeprozess in die Dipolfalle schließt sich zunächst
eine 200 ms andauernde frei Evaporation an, die bei konstanter Fallentiefe
durchgeführt wird3 . Dabei verringert sich die Temperatur der Atome auf
70 µK und die Phasenraumdichte vergrößert sich um eine Größenordnung.
Die weitere Evaporation wird durch Reduzierung der CO2 -Laserleistung erreicht. Experimentell liefert ein doppelt exponentieller Abfall der Leistung
mit einer Gesamtzeit von sechs Sekunden das beste Evaporationsverhalten.
Reine Kondensate werden bei einer finalen CO2 -Laserleistung von 25 mW
erreicht und enthalten etwa 105 Atome. Die Fallenfrequenzen in der Di2
3
engl. Dark MOT
engl. plain evaporation
43
4. Die experimentelle Realisierung
polfalle betragen bei dieser Leistung ωaxial = 2π × 13 Hz in axialer und
ωradial = 2π × 170 Hz in radialer Richtung.
Optional folgt als nächster experimenteller Schritt das Umladen in die durch
das Lightsheet erzeugte oblate Fallengeometrie. Dafür wird die verbleibende
CO2 -Laserleistung erneut exponentiell heruntergefahren und gleichzeitig die
Laserleistung des Lightsheets mit einer s-förmigen Rampe auf 3 mW hochgefahren (siehe Abb. 4.1). Dies geschieht in beiden Fällen innerhalb von
200 ms. Das Zeitverhalten zwischen beiden Rampen wurde experimentell
auf das beste Umladeverhalten optimiert, so dass mehr als 85% der Atome
umgeladen werden können. Eine detaillierte Beschreibung des Transfers der
Atome aus der CO2 -Dipolfalle in die des Lightsheets erfolgt in Abschnitt
4.2.3.
44
4.2. Charakterisierung des Lightsheets
4.2
Charakterisierung des Lightsheets
Die Implementierung des Lightsheets, insbesondere des optischen Aufbaus
in das bestehende Experiment, wurde unter Berücksichtigung einiger Rahmenbedingungen im Vorfeld geplant. Dazu wurde der gesamte Aufbau mit
CAD4 -Zeichnungen bereits am Computer durchgeführt. Da der optische Zugang beschränkt und nur schwer zugänglich ist, sollte der Aufbau, der in
Abb. 3.6 dargestellt ist, im Idealfall schon im Vorfeld erfolgen können, wodurch eine grobe Vorjustage gewährleistet ist. Die Feinjustage kann schließlich mit Hilfe des Piezo-Spiegels vorgenommen werden. Darüber hinaus ergeben sich durch die Zielsetzung eines sehr stark elliptischen Strahlprofils
spezielle Anforderungen an die verwendete Optik und den realisierbaren
Strahlengang. Im folgenden Abschnitt wird ein Überblick über die im Vorfeld erfolgten Simulationen gegeben und anschließend die experimentellen
Ergebnisse präsentiert werden.
4.2.1
Simulation der Strahlparameter
Mit Hilfe des Lightsheets soll eine starke Kompression der Atomwolke in der
Ausbreitungsrichtung des Elektronenstrahls erreicht werden. Diese Raumrichtung wird im Folgenden mit y bezeichnet, siehe dazu Abb. 4.2. Die Ausbreitungsrichtung des Lightsheet-Lasers wird mit z und die dazu horizontale
Komponente mit x bezeichnet. In diesen beiden Raumrichtungen soll ein
schwacher Einschluss der Atome erreicht werden. Eine starke Kompression
in der y-Richtung lässt sich in einer optischen Dipolfalle durch einen stark
fokussierten Strahl in dieser Raumrichtung realisieren. Am Ort der letzten
Linse vor der Abbildung auf die Atome bedeutet dies, dass der Strahl in
dieser Richtung sehr stark aufgeweitet sein muss. Durch den vorgegebenen
Abstand zwischen dieser Linse und dem Ort der Atome von f = 300 mm ist
damit die Größe der optischen Elemente festgelegt. Dadurch, dass der Strahl
je nach Raumrichtung unterschiedlich stark aufgeweitet werden soll, werden
anamorphotische Optiken benötigt. Im Experiment werden dazu Zylinderlinsen verwendet. Für die verwendeten Linsen werden große Brennweiten
gewählt, da so für den aufgeweiteten Strahl die sphärische Abberation klein
gehalten werden kann [41].
In der linearen Optik lässt sich mit Hilfe des Matrizen-Formalismus der
Strahlengang, also die freie Propagation und der Durchgang durch verschiedene Linsen beschreiben. Die benötigten Parameter für die Simulation sind
zum einen die Brennweiten der beteiligten Linsen, die optische Weglänge,
4
engl. computer-aided design
45
4. Die experimentelle Realisierung
Detektor
Ionen
Lightsheet-Strahl
Elektronenstrahl
Atomwolke
Abbildung 4.2: Koordinatensystem im Experiment. Die Ausbreitungsrichtung des Lightsheet-Lasers wird mit z bezeichnet und die Propagationsrichtung des Elektronenstrahls mit y. Im Vordergrund ist in rot die
Ligthsheet-Falle mit Atomen dargestellt. Der fokussierte Elektronenstrahl
ist als dünner blauer Strahl zu erkennen. Die erzeugten Ionen (grün) werden
mit der im Hintergrund angedeuteten Ionenoptik detektiert.
die Wellenlänge des beteiligten Lichts sowie der Strahldurchmesser an einer
definierten Stelle innerhalb des optischen Aufbaus. Um diesen zu messen,
wird mit Hilfe einer Wincam der Strahldurchmesser gemessen. Die Messung
wird direkt hinter dem Auskoppler durchgeführt, da der Strahl an dieser
Stelle kollimiert ist und somit sichergestellt ist, dass der Krümmungsradius
des Strahls an dieser Stelle im Strahlengang als ∞ angenommen werden
kann. Somit ist der Strahl eindeutig definiert.
Durch entsprechende Kombination der optischen Elemente mit Hilfe des
Matrizen-Formalismus lässt sich der Strahldurchmesser für jeden Ort des
Strahlengangs berechnen. Da die verwendeten Zylinderlinsen selektiv auf
die horizontalen beziehungsweise vertikalen Strahlkomponenten bezüglich
der Ausbreitungsrichtung des Lichts wirken, werden die Simulationen für
beide Orientierungen durchgeführt, wobei jeweils nur die Zylinderlinsen betrachtet werden, die einen Einfluss auf den Strahlengang in der jeweiligen
Raumrichtung haben. Das Ergebnis einer solchen Simulation in x-Richtung,
also der horizontalen Komponente des Lichts, ist Abb. 4.3 zu entnehmen.
Dabei ist die zurückgelegte optische Weglänge gegen die Strahltaille an jedem Ort des Strahlengangs aufgetragen. Durch Verschieben der Positionen
der Linsen lässt sich die Strahltaille am Ort der Atome verändern. Dabei
muss jedoch beachtet werden, dass für den Strahlengang und die Linsen maximale Abmessungen vorgegeben sind. Sollte die Ausdehnung des Strahls
größer sein als die Abmessungen der verwendeten Linsen, kann es zu un46
Ort der Atome
Achromat
Sammellinse
Sammellinse
Zylinderlinse
Zylinderlinsen Duplett
Strahltaille [mm]
Achromat
4.2. Charakterisierung des Lightsheets
6
4
2
0
500
1000
1500
2000
optische Weglänge [mm]
Abbildung 4.3: Simulierter Strahlengang des Lighsheets für die horizontale
Komponente des Lichtes. Dabei ist die Strahltaille gegen die zurückgelegte
optische Weglänge dargestellt. Die vertikalen farbigen Markierungen geben
die Positionen der optischen Elemente an.
erwünschten Interferenzeffekten im Fokus kommen. Darüber hinaus sollte
immer gewährleistet sein, dass der aufgeweitete Strahl kollimiert auf die
letzte achromatische Linse vor der Fokussierung auf die Atome trifft, um
Astigmatismus zwischen der x- und y-Richtung zu vermeiden. Durch den
räumlich selektiven Einfluss der Zylinderlinsen ist darauf zu achten, dass
bis auf die Position der Zylinderlinsen alle anderen optischen Komponenten
für die Simulation in beiden Raumrichtungen an der gleichen Position sein
müssen. Zusätzlich muss der Fokus beider Richtungen am gleichen Ort liegen, um die gewünschte Fallengeometrie am Ort der Atome realisieren zu
können.
Aus der Simulation lassen sich wichtige Anhaltspunkte für die Positionierung der Linsen gewinnen und Abschätzungen für die Strahlparameter am
Ort der Atome treffen. Da die Größe der Strahltaillen sehr sensitiv auf die
Positionen der Zylinderlinsen reagiert, (bereits Verschiebungen von einigen
zehn Mikrometern haben einen starken Einfluss auf die Strahltaille) muss
die Feinjustage im Experiment vorgenommen werden. Aus der Simulation
ergeben sich für die im Experiment angestrebte Fallengeometrie eine Halb47
4. Die experimentelle Realisierung
wertsbreite des Strahls in x-Richtung von wx ∼ 110 µm und in y-Richtung
von wy ∼ 7 µm .
4.2.2
Messung der Strahlparameter
Um die tatsächlichen Strahlparameter bestimmen zu können, wäre im Idealfall eine Messung am Ort der Atome nötig. Da durch den experimentellen
Aufbau der Vakuumkammer kein Zugang zum Fokus zur Verfügung steht,
muss ein anderer Weg gewählt werden. Dafür wird der Strahlengang vor
dem Achromaten, der das Licht auf die Atome fokussiert, (siehe Abb. 3.6)
ausgekoppelt. In diesem Fall wird der Strahl somit nicht in die Kammer
abgebildet, sondern kann stattdessen mit Hilfe eines baugleichen Achromaten auf die Wincam abgebildet werden. Da der Fokus in y-Richtung kleiner
ist als die Auflösung der Wincam, muss das Sichtfeld mit Hilfe eines Mikroskops vergrößert werden. Dabei muss besonders darauf geachtet werden,
dass der Abstand vom Achromaten bis zum Messpunkt der Wincam dem
Abstand entspricht, der zwischen den Atomen und dem Achromaten besteht. Das Mikroskop besitzt einen Vergrößerungsfaktor von 20, der zuvor
mit einer bekannten Gitterstruktur verifiziert wurde.
Somit lassen sich die Strahlparameter im Experiment mit Hilfe der Wincam
zu jeder Zeit der Justage vermessen und gegebenenfalls anpassen. Eine Aufnahme zur Bestimmung der Strahlparameter ist in Abb. 4.4 dargestellt. Für
die so gemessenen Strahlparameter ergibt sich wx ∼ 90 µm und wy ∼ 5 µm
.
Die Feinjustage muss im Experiment selbst erfolgen und wird mit Hilfe
eines Piezo-Spiegels bezüglich der x- und y-Komponente des Laserlichts
gewährleistet. So sind Änderungen der Strahlposition im Mikrometerbereich möglich. Für die Positionierung des Fokus in z-Richtung lässt sich die
letzte achromatische Linse, die das Laserlicht auf die Position der Atome
fokussiert, durch eine Mikrometerschraube justieren.
Der Unterschied zwischen simulierten und gemessenen Strahlparametern
lässt sich durch die Näherungen erklären, die bei der Simulation mit Hilfe
des Matrizen-Formalismus eingegangen wurden. Das Licht wird dort zu Beginn als idealer Gauß-Strahl beschrieben, die Linsen werden als perfekt angenommen und mögliche Abbildungsfehler nicht berücksichtigt. Diese Annahmen unterliegen im Experiment Abweichungen und führen somit zu einer Diskrepanz im Vergleich zu den simulierten Werten.
Da keine direkte Möglichkeit besteht, die Strahlparameter in der Kammer
zu vermessen, liefern die beiden Resultate die besten Anhaltspunkte für die
erreichbare Fallengeometrie am Ort der Atome. Zu beachten gilt zusätzlich,
48
6 µm
4.2. Charakterisierung des Lightsheets
90 µm
Abbildung 4.4: Aufgenommenes Strahlprofil des Lightsheet-Lasers, um die
Strahltaillen am Ort der Atome zu bestimmen. Aus dem Intensitätsprofil ist
deutlich zu erkennen, dass keine unerwünschten Interferenzeffekte sichtbar
sind.
dass der Einfluss des optischen Zugangs5 an der Kammer sowie der genaue
Abstand zwischen Atomen und dem letztem Achromaten nicht exakt bekannt ist. Da auf der gegenüberliegenden Seite des Viewports kein optischer
Zugang vorhanden ist, besteht keine Möglichkeit den Einfluss des Viewports
auf den Strahlengang zu untersuchen.
Sowohl die Simulation als auch die Vermessung des Strahlprofils zeigt jedoch deutlich, dass mit Hilfe des Lightsheet-Lasers eine Quelle zur Verfügung steht, die durch ihr Strahlprofil in der Lage ist, eine stark oblate
Fallengeometrie am Ort der Atome zu erzeugen.
4.2.3
Die Fallenfrequenzen
Das Hauptcharakteristikum einer Dipolfalle sind ihre resultierenden Fallenfrequenzen, die eine quantitative Größe darstellen, mit der der Einschluss
der Atome in der Falle beschrieben werden kann. Neben der Simulation der
Fallenfrequenzen im Vorfeld der Messung soll im folgenden Abschnitt auf
die experimentelle Bestimmung dieser eingegangen werden.
Simulation der Fallenfrequenzen
Die Zielsetzung für das Lightsheet ist ein starker Einschluss der Atome in
der vertikalen Raumrichtung kombiniert mit einem schwachen Einschluss in
den beiden horizontalen Raumrichtungen, was durch rot-verstimmtes Licht
bezüglich des Rubidium-D2-Übergangs erreicht werden soll. Charakterisieren lässt sich dieser Einschluss durch das vom Laserstrahl erzeugte DipolPotential und damit durch die Fallenfrequenzen in den drei Raumrichtungen. Die Fallenfrequenzen sind lediglich durch drei Parameter bestimmt:
5
engl. Viewport
49
4. Die experimentelle Realisierung
Wellenlänge, Leistung und Strahltaille des beteiligten Laserlichts. Durch
die Wellenlängenstabilisierung mit Hilfe der dopplerfreien Sättigungsspektroskopie ist die Wellenlänge mit 852, 120 nm festgelegt. Die Strahltaillen
wurden durch die Simulationen im Vorfeld abgeschätzt und die Leistung
kann mit Hilfe des akustoptischen Modulators zwischen 0 − 25 mW variiert
werden und zu jedem Zeitpunkt mit einer Photodiode ausgelesen werden.
Die Simulation der Fallenfrequenzen lässt sich nach folgendem Prinzip berechnen, wobei auf Normierungsfaktoren der Übersichtlichkeit halber verzichtet wird. Als Laserstrahl wird ein idealer Gaußstrahl angenommen, mit
Hilfe dessen die Intensität in Abhängigkeit der Position, des Strahlradius und der Wellenlänge berechnet werden kann. Da der Strahl durch die
beteiligte Optik in der x- und y-Richtung unterschiedlich stark aufgeweitet wird, muss dies für die Berechnungen berücksichtigt werden. Für das
Intensitätsprofil ergibt sich somit
I(x, y, z ) ∝ P e
| {z }
2x2
2
wx
e
2y 2
2
wy
(4.1)
r
mit der Leistung des Laserstrahls P und den Strahlradien, die gegeben sind
durch
s
s
2
2 2
2
πwy0
πwx0
.
wx = wx0 1 + x/
und wy = wy0 1 + y/
λ
λ
Dabei ist mit λ die Wellenlänge bezeichnet und mit wx0 , wy0 die Strahltaille
am Ort x, y = 0. In diesem Fall ist dies der Ort der Atome im Fokus des
Laserstrahls. Damit lässt sich das dort erzeugte Dipolpotential nach (2.8)
3πc2
Γ
Γ
Udip (r) = − 3
+
I(r)
2ω0 ω0 − ω ω0 + ω
berechnen, wobei die Streuraten für die beteiligten Übergänge aus [20] bekannt sind. In Abb. 4.5 sind exemplarisch zwei simulierte Potentialkurven
dargestellt. Dabei ist die Entfernung zum Fallenzentrum gegen die Potentialtiefe aufgetragen. Aus dem Dipolpotential lassen sich die Fallenfrequenzen wie folgt ableiten. Wenn die Ausdehnung des atomaren Ensembles in
radialer und axialer Richtung klein gegenüber den Ausdehnungen des Laserstrahls in diesen Richtungen ist, lassen sich die Fallenfrequenzen durch
eine harmonische Näherung im Fallenminimum approximieren zu
r
1 ∂ 2 U (r)
2π × ω(r) =
.
(4.2)
m ∂r 2
50
Potentialtiefe [μK]
4.2. Charakterisierung des Lightsheets
0.8
1.2
1.6
2
-300
-100
0
100
300
Ausdehnung in x-Richtung [μm]
0.5
1
1.5
2
-4
-2
0
2
4
Ausdehnung in y-Richtung [μm]
Abbildung 4.5: Simulierter Potentialverlauf (grün) am Ort der Atome für
zwei verschiedene Raumrichtungen. Dabei ist die Potentialtiefe in µK gegen den Abstand vom Fallenzentrum aufgetragen. Zu beachten ist die stark
unterschiedliche Breite der beiden Potentialkurven. In schwarz ist die harmonische Approximation um das Fallenzentrum dargestellt.
Leistung
3 mW
7 mW
ωx
33 ± 5 Hz
51 ± 8 Hz
ωy
487 ± 34 Hz
731 ± 52 Hz
ωz
9 ± 2 Hz
14 ± 3 Hz
Tabelle 4.1: Simulierte Fallenfrequenzen in den drei Raumrichtungen für
zwei verschiedene Leistungen des Lightsheets
Aus Abb. 4.5 lässt sich entnehmen, dass eine harmonische Näherung in
der Nähe des Fallenzentrums eine gute Approximation liefert. Die Ergebnisse der Simulation sind in Tabelle 4.1 zusammengefasst. Darin sind die
Fallenfreuquenzen für die drei Raumrichtungen für zwei unterschiedliche
Leistungen angegeben. Der angegebene Fehler beruht zum einen auf der
Unsicherheit in der Bestimmung des Strahlradius und zum anderen in der
Ungenauigkeit bei der Bestimmung der Leistung am Ort der Atome. In beiden Fällen lassen sich die Werte nur außerhalb der Kammer messen. Somit
ist für die Fallenfrequenzen ein Frequenzbereich angegeben, in denen die
Simulationen mit den genannten Fehlerquellen berechnet wurden.
Umladeverhalten in das Lightsheet
Eine wichtige Anforderung an das Lightsheet ist das erfolgreiche und effektive Umladen aus der CO2 -Dipolfalle. Ohne dieses eignet sich das Lightsheet
nicht als Ausgangspunkt für weitere Messungen.
Wie bereits im Abschnitt 4.1 und Abb. 4.1 gezeigt, wird die Leistung
51
4. Die experimentelle Realisierung
des Lightsheets innerhalb von 200 ms mit einer s-förmigen Rampe hochgefahren. Gleichzeitig wird die Leistung des CO2 -Lasers heruntergefahren.
Sowohl die Paramater der Rampe, die Dauer und die zeitliche Differenz
der beiden Rampen wurden experimentell optimiert. Optimiert bedeutet
in diesem Fall, dass für eine feste Konfiguration des CO2 -Dipolpotentials
auf die maximale Atomzahl und minimale Temperatur im Lightsheet optimiert wurde. Dies bedeutet, dass ein möglichst adiabatischer Transfer in
die Lightsheet-Falle vollzogen wird, bei der die Entropie so weit wie durch
die Fallengeometrie vorgegeben, erhalten bleibt.
In Abb. 4.6 sind die beiden Fallengeometrien mit Hilfe des Elektronenmikroskops dargestellt. Dabei wurde der Abbildungsbereich von 1500 nm ×
1000 nm innerhalb von 120 ms abgebildet, woraus sich ein Einzelbild bestehend aus einigen hundert Ionen ergibt. In beiden Fällen sind in der Abbildung jeweils 200 aufsummierte Bilder zu sehen.
Aus der Aufnahme lässt sich gut erkennen, dass die stark prolate Geometrie der CO2 -Dipolfalle durch das Ligthsheet in eine deutlich oblatere Form
überführt wird. Da das Elektronenmikroskop auf der Experimentkammer
montiert ist, wird die Atomwolke somit von oben abgebildet (siehe Abb.
4.2). Die verringerte Ausdehnung, die durch das Lightsheet in dieser Achse erreicht werden soll, lässt sich aus dieser Aufnahme nicht entnehmen.
Dadurch, dass der optische Zugang des Lightsheets im Vergleich zum CO2 Laser um 45◦ versetzt ist, ergibt sich in der Abbildung die dargestellte
Rotation der Falle.
Durch Ändern der finalen CO2 -Laserleistung im Experimentverlauf lässt
sich die Tiefe des erzeugten Dipolpotentials kontrolliert steuern. Dadurch
lässt sich die Evaporation bei einer bestimmten Temperatur beenden. Beim
Umladen der Atome in das Lightsheet findet eine Erwärmung der Atomwolke statt, da eine starke Kompression und somit Reduzierung des Volumens
in der y-Raumrichtung vorliegt. Für eine typische Laserleistung des Lightsheets von 3 mW ist die Falle in der Lage, Atome bis zu einer Temperatur
von etwa 100 nK gegen die Gravitation zu halten. Sollen Atome mit einer höheren Temperaturen in der Falle gehalten werden, bedarf dies einer
Leistungserhöhung der Laserleistung.
Das parametrische Heizen
Eine experimentelle Möglichkeit, die Fallenfreuqenzen in ultrakalten Quantengasen zu bestimmen, ist das sogenannte parametrische Heizen. Dabei
wird die Laserintensität mit einer Frequenz f periodisch moduliert. Für
den Fall, dass f = 2f0 , wobei f0 die Fallenfrequenz ist, können die Atome resonant angeregt werden. Die doppelte Frequenz wird benötigt, da die
52
4.2. Charakterisierung des Lightsheets
0
0
250
250
500
500
750
750
250
500
750
1000
CO2 - Falle
1250
250
500
750
1000
1250
Lightsheet - Falle
Abbildung 4.6: Elektronenmikroskop-Aufnahmen der Atome in der CO2 Dipolfalle auf der linken Seite und nach dem Transfer in die LigthsheetFalle auf der rechten Seite. Die Größe des mit dem Elektronenmikroskops
abgerasterten Bereichs beträgt 1500 µm × 1000 µm.
Atome aus Gründen der Paritätserhaltung aus dem Grundzustand nicht
in den ersten angeregten Zustand angehoben werden können [42]. In einem klassischen Oszillatormodell lässt sich die Anregung der Atome direkt
in eine Heizrate und somit in eine gesteigerte Ausdehnung der Atomwolke
übersetzen [43]. In Abb. 4.8 ist schematisch dargestellt, wie das parametrische Heizen im Experiment realisiert wird. Die Modulation ist von der
Form I(t) = Ils (1 + A · sin(2πf t)) mit der Leistung des Lightsheet-Lasers
Ils , der Modulationsfrequenz f und dem Amplitudenfaktor A, der im Experiment 0,2 beträgt.
Mit Hilfe der simulierten Fallenfrequenzen liegt ein Frequenzbereich vor, in
dem die Fallenfrequenzen zu erwarten sind. Für verschiedene Modulationsfrequenzen f wird im Experiment jeweils eine Absorptionsabbildung nach
18 ms freier Expansion aufgenommen. Mit Hilfe dieser Abbildung lassen
sich aus dem so gewonnenen Dichteprofil Rückschlüsse auf die Temperatur,
die Atomzahl und die Ausdehnung der Atomwolke vornehmen. Für unterschiedliche Werte von f wird jeweils die Ausdehnung der Wolke in den zwei
durch die Abbildung vorgegebenen Achsen gemessen. Für f ≈ 2ω ergibt
sich eine starke Aufheizung der Atome, da die Modulationsfrequenz gerade
einer doppelten Fallenfrequenz entspricht. Die Ergebnisse dieser Messungen
sind exemplarisch in Abb. 4.9 dargestellt. In den beiden dargestellten Messergebnissen, einmal in einem niedrigen Frequenzbereich von 25 − 75 Hz und
einmal in einem Frequenzbereich zwischen 850−1150 Hz, ist die Ausdehnung
der Atomwolke gegen die Modulationsfrequenz aufgetragen. Für beide Fre53
4. Die experimentelle Realisierung
Lightsheet
MOT
Umladephase
Parametrisches Heizen
Abbildung
3 mW
0 mW
10 s
200 ms
410 ms
18 ms
Zeit
Abbildung 4.7: Schematische Darstellung des parametrischen Heizens. Nach
dem Umladen der Atome aus der MOT in die Dipolfalle des CO2 -Lasers
und anschließendem Transfer in das Lightsheet wird die Laserleistung periodisch moduliert. Nach einer freien Expansion von 18 ms wird mit Hilfe
einer Absorptionsaufnahme die Ausdehnung der Atomwolke bestimmt.
quenzbereiche lässt sich eine charakteristische Verbreiterung für bestimmte
Werte der Modulationsfrequenz f ausmachen. Da wie oben beschrieben,
die Modulationsfrequenz gerade der doppelten Fallenfrequenz entspricht,
lassen sich aus diesen Messungen direkt die Fallenfrequenzen bestimmen.
Im Experiment wurden zwei Messungen mit einer thermischen Wolke bei
Laserleistungen von 3 mW und 7 mW durchgeführt. Eine Übersicht der Ergebnisse dieser Messungen findet sich in Tabelle 4.2.
Das Verhältnis zwischen den gemessenen Fallenfrequenzen für verschiedene Leistungen lässt sich leicht mit der Theorie√vergleichen. Aus Gleichung
(4.2) folgt, dass sich die Fallenfrequenzen ω ∝ I proportional zur Wurzel
der Laserleistung verhalten. Somit sollte sich die gemessene
p Fallenfrequenz
bei einer Messung mit 7 mW statt 3 mW um den Faktor 7/3 = 1, 53 vergrößern. Aus der letzten Zeile in Tabelle 4.2 lässt sich entnehmen, dass dies
für alle drei Raumrichtungen sehr gut erfüllt ist.
Der Vergleich zwischen den simulierten Fallenfrequenzen aus Abschnitt
4.2.3 und den Fallenfrequenzen, die mit Hilfe des parametrischen Heizens
bestimmt wurden, zeigt eine gute Übereinstimmung. Die leichten Abweichungen zu den im Experiment gemessenen Fallenfrequenzen, lassen sich
dadurch erklären, dass die tatsächlichen Strahlradien im Experiment nicht
genau den durch die Simulationen berechneten entsprechen.
54
4.2. Charakterisierung des Lightsheets
f = 57 Hz
f = 63 Hz
f = 60 Hz
gemessene Ausdehung [w.E.]
gemessene Ausdehung [w.E.]
Abbildung 4.8: Experimentelle Durchführung des parametrischen Heizens.
Abgebildet sind drei Absorptionsaufnahmen der Atome, für verschiedene
Modulationsfrequenzen f , die nach dem parametrischen Heizen aufgenommen wurden. Bei einer Modulationsfrequenz von 60 Hz ist eine deutliche
Verbreiterung der Wolke zu erkennen. Der abgebildete Bereich besitzt eine
Größe von jeweils etwa 600 µm × 550 µm.
24
20
16
12
850
900
950
1000
1050
1100
Modulationsfrequenz f [Hz]
16
12
8
4
30
40
50
60
70
Modulationsfrequenz f [Hz]
Abbildung 4.9: Ergebnisse des parmametrischen Heizens zur Bestimmung
der Fallenfrequenzen. Dabei ist die Ausdehnung gegen die Modulationsfrequenz f aufgetragen. Auf der linken Seite die Messung im Frequenzbereich
von 25 − 75 Hz und auf der rechten Seite im Bereich von 850 − 1150 Hz.
55
4. Die experimentelle Realisierung
Leistung
3 mW
7 mW
Verhältnis
ωx
30 ± 2 Hz
47 ± 2 Hz
1,56
ωy
495 ± 10 Hz
765 ± 10 Hz
1,55
ωz
17 ± 2 Hz
25 ± 2 Hz
1,47
Tabelle 4.2: Gemessene Fallenfrequenzen in den drei Raumrichtungen für
zwei verschiedene Leistungen des Lightsheets. Zusätzlich ist das Verhältnis
aus der gemessenen Fallenfrequenz bei 7 mW und bei 3 mW angegeben.
Werden die mit dem parametrischen Heizen gemessenen Fallenfrequenzen
zu Grunde gelegt, lässt sich im Umkehrschluss auf das Strahlprofil am
Ort der Atome schließen. So ergeben sich Werte für die Strahlradien von
wx = 130 µm und wy = 6, 5 µm.
4.2.4
Die Heizrate und Lebensdauer im Lightsheet
Neben den Fallenfrequenzen ist die Lebensdauer und die Heizrate ein experimentell entscheidendes Kriterium an die Falle. Nur mit entsprechend geringen Heizraten und langen Lebensdauern lassen sich die Atome im Experiment in der Falle halten und damit manipulieren und nachweisen. Ähnlich
wie die CO2 -Dipolfalle soll auch die Lightsheet-Falle als Ausgangspunkt für
weitere Messungen dienen. Entsprechend hoch sind die Anforderungen an
die Lebenszeit und Heizrate. Der Atomverlust, sowie die Heizrate der Falle
selbst, sollen während einer Messung möglichst vernachlässigbar sein.
Zur experimentellen Bestimmung der Lebensdauer werden die Atome für
eine bestimmte Zeitspanne in der Falle gehalten. Anschließend wird mit
Hilfe einer Absorptionsabbildung die Atomzahl am Ende der Haltezeit bestimmt. Die Atomzahl in der Falle ist mit der Lebensdauer τ über eine
Exponentialfunktion verknüpft. Durch Variation der Haltezeit lässt sich somit auf die Lebensdauer schließen. Das Ergebnis dieser Messung für eine
Laserleistung von 3 mW ist in Abb. 4.10 dargestellt. Der so gemessene Wert
für die Lebensdauer beträgt τ = 10, 7 ± 0, 7 s und liegt somit in der gleichen
Größenordnung der Lebensdauer der CO2 -Dipolfalle [36]. Für typische Anwendungen im Experiment ist dies mehr als ausreichend, da die typischen
Zeitskalen der Manipulation und des Nachweises im Bereich von einigen
hundert Millisekunden liegen.
Nur eine lange Lebensdauer reicht jedoch nicht aus, um gute experimentelle
Bedingungen zu schaffen. Die Heizrate muss ebenfalls gering genug sein, so
dass Experimente bei nahezu gleichbleibenden Bedingungen durchgeführt
56
4.2. Charakterisierung des Lightsheets
exponentieller Fit
Atomzahl
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Zeit [ms]
Abbildung 4.10: Messung der Lebensdauer in der Lightsheet-Falle. Dabei ist
die Atomzahl gegen die Haltezeit in der Falle aufgetragen. Die Messdaten
wurden mit einer Exponentialfunktion gefittet.
werden können.
Die Heizrate lässt sich nach [16] durch
Ṫ =
Γ
2/3
Tr
Û
1 + κ ~|∆|
(4.3)
ausdrücken. Dabei bezeichnet κ = Ēpot /Ēkin das Verhältnis von potentieller zu kinetischer Energie, Tr = ~2 k 2 /m die Rückstoß-Temperatur, ∆
die Verstimmung des Laserlichts, Γ die Streurate und Û die Potentialtiefe.
Gleichung (4.3) beschreibt somit die Heizrate, die durch Streuung der Photonen an den Atomen in der Falle zu Stande kommt. Da nicht alle Größen
zu jedem Zeitpunkt des Experiments direkt zugänglich sind, kann nur eine
Größenordnung der zu erwartenden Heizrate angegeben werden. Diese beträgt bei einer Wellenlänge von 852 nm und einer Laserleistung von 3 mW
einige Nanokelvin pro Sekunde.
Zur experimentellen Bestimmung wird wie im Falle der Lebensdauermessung die Haltezeit der Atome im Lightsheet variiert und mit Hilfe einer
Absorptionsaufnahme am Ende der Haltezeit die Temperatur ausgewertet.
57
4. Die experimentelle Realisierung
linearer Fit
Temperatur [nK]
90
80
70
60
50
40
0
2000
4000
6000
8000
10000
Zeit [ms]
Abbildung 4.11: Messung der Heizrate in der Lightsheet-Falle. Dabei ist die
Temperatur der Atomwolke gegen die Haltezeit in der Falle aufgetragen.
Die Messdaten wurden mit einem linearen Funktion gefittet.
Das Ergebnis dieser Messung ist Abb. 4.3 zu entnehmen, woraus sich eine
mittlere Heizrate von 3, 5 ± 0, 2 nK/s ergibt. Für typische Zeitskalen im Experiment von einigen hundert Millisekunden ist diese Heizrate somit niedrig
genug, um annähernd gleiche Bedingungen während eines Experimentzyklus zu gewährleisten. Darüber hinaus liegt sie in der Größenordnung der
zu erwarteten Heizrate durch Streuung der Photonen an den Atomen aus
Gleichung (4.3). Das bedeutet, dass andere Heizmechanismen, wie Stöße
mit dem Hintergrundgas in der Lightsheet-Falle nur eine untergeordnete
Rolle spielen.
58
Kapitel
Auswertung
Nachdem in den vorherigen Kapiteln die theoretischen Grundlagen, der experimentelle Aufbau sowie der Experimentzyklus beschrieben wurde, soll in
diesem Kapitel die quantitative und qualitative Analyse der Messdaten im
Vordergrund stehen. Bevor die durchgeführten Messungen vorgestellt werden, soll kurz auf die theoretische Beschreibung der Korrelationsfunktion
eingegangen werden, die speziell für Bosonen im vorliegenden Experiment
gültig ist. Anschließend soll aufgezeigt werden, wie aus den gemessenen Rohdaten die Korrelationsfunktionen extrahiert werden können. Anhand von
konkreten Beispielen wird auf die Analyse der Korrelationsfunktion zweiter
Ordnung eingegangen und ein Vergleich mit der beschriebenen Theorie gegeben. Darüber hinaus wird es nötig sein, das Modell der räumlichen und
zeitlichen Korrelationen auf ein wechselwirkendes System zu erweitern, um
eine adäquate theoretische Beschreibung des zu untersuchenden Systems
sicherzustellen.
5.1
Die Korrelationsfunktion im
Experiment
Mit Hilfe des Lightsheets steht experimentell eine geeignete Falle zur Messung von Korrelationen in ultrakalten Quantengasen zur Verfügung. Durch
Variation der Leistung des Lightsheet-Lasers lässt sich das Fallenpotential
in einem definierten Bereich ändern. Zusätzlich lässt sich die Temperatur
der Atome im Lightsheet durch das Umladeverhalten aus dem CO2 -Laser
gut beeinflussen, so dass es möglich ist, ein reines Kondensat, genauso wie
thermische Wolken mit Temperaturen bis zu einigen hundert Nanokelvin,
umzuladen. Bevor näher auf die experimentelle Messung der Korrelatio59
5
5. Auswertung
nen eingegangen werden soll, wird das Konzept der Korrelationsfunktion
speziell auf ein dreidimensionales Fallenpotential erweitert.
Die verallgemeinerte Korrelationsfunktion
In Abschnitt 2.5.3 wurde die quantenmechanische Korrelationsfunktion zweiter Ordnung mit Hilfe der quantisierten Feldoperatoren eingeführt. Eine
allgemeine Definition der Korrelationsfunktion beliebiger Ordnung, für n
Teilchen am Ort r i , zum Zeitpunkt ti mit i = 1,..,n ist gegeben durch [28]
g (n) (r 1 , t1 ; ...; r n , tn ) =
ψ̂ † (r 1 , t1 )...ψ̂ † (r n , tn )...ψ̂(r n , tn )...ψ̂(r 1 , t1 )
,
hψ̂ † (r 1 , t1 )...ψ̂(r 1 , t1 )i...hψ̂ † (r n , tn )...ψ̂(r n , tn )i
(5.1)
†
wobei ψ̂ , ψ̂ die bosonischen Feldoperatoren und h...i den Ensemble-Mittelwert beschreibt.
Zunächst soll ein analytischer Ausdruck für g (1) (r 1 , t1 ; r 2 , t2 ) angegeben werden, mit Hilfe dessen anschließend beliebige höhere Ordnungen der Korrelationsfunktion berechnet werden können. Speziell für g (2) gilt nach (2.52)
g (2) (r, t) = 1 + |g (1) (r, t)|2
.
Im Experiment werden die Atome in das Lightsheet umgeladen und dort
für die Dauer der Messung gehalten. Das vom Lightsheet erzeugte Potential lässt sich als dreidimensionales harmonisches Potential der Form
V (r) = mω̄ 2 r2 /2, mit der gemittelten Fallenfrequenz ω̄, annähern. Wird
neben der räumlichen auch die zeitliche Korrelation berücksichtigt, ergibt
sich für die Korrelationsfunktion erster Ordnung mit r = r 2 −r 1 , τ = t2 −t1
und den beiden Näherungen ωτ, ~ω/(kB T ) 1 für eine Temperatur T > Tc
mr2 τk + iτ
1
exp −
g (r, τ ) =
(1 + iτ /τk )3/2
2~τk2 1 + (τ /τk )2
(1)
.
(5.2)
Dabei wird mit τk = ~/kB T die Korrelationszeit bezeichnet. Eine ausführliche
Herleitung von (5.2) findet sich im Anhang A.3. Damit ergibt sich für
3/2
2πr2
1
exp −
(5.3)
g (r, τ ) = 1 +
λt 1 + (τ /τk )2
√
mit der thermischen de-Broglie-Wellenlänge λt = h/ 2πmkB T .
Durch das implementierte Elektronenmikroskop mit einer hohen räumlichen
(2)
60
1
1 + (τ /τk )2
5.1. Die Korrelationsfunktion im Experiment
Auflösung von bis zu 100 nm und der zeitaufgelösten Detektion, der lokal
erzeugten Ionen, ist es zum ersten Mal möglich, die zeitliche Korrelationsfunktion g (2) (τ ) einer kalten Atomwolke in situ zu messen. Im Idealfall für
vernachlässigbare räumliche Korrelationen ergibt sich somit
3/2


g (2) (0, τ ) = 1 + 
1+
1

2 
.
(5.4)
τ
τk
Dabei wird untersucht, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, zwei Teilchen am
gleichen Ort r = 0, innerhalb einer gewissen Zeitspanne τ zu detektieren.
Für τ = 0 wird somit gemessen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, zwei
Teilchen zur gleichen Zeit am gleichen Ort anzutreffen. Für eine thermische
Wolke von Bosonen ergibt sich für die beiden Grenzfälle
lim g (2) (τ ) = 2 und
τ →0
lim g (2) (τ ) = 1 ,
τ →∞
(5.5)
genauso wie für die klassische Korrelationsfunktion zweiter Ordnung für
eine thermische Lichtquelle (siehe Abschnitt 2.5.1). Für ein BEC erwartet
man hingegen eine Korrelationsfunktion g (2) (0, τ ) = 1 für beliebige Zeitintervalle τ [28].
In Abb. 5.1 ist der Verlauf der Korrelationsfunktion zweiter Ordnung aus
(5.4) für drei verschiedene Temperaturen dargestellt. Beide Grenzwerte sind
in allen drei Fällen gut zu erkennen. Der charakteristische Unterschied ist
die Zeitspanne, in der die Korrelationsfunktion abfällt. Qualitativ wird dieses Verhalten durch die Korrelationszeit τk = ~/kB T ausgedrückt. Da diese
von der Temperatur abhängt, ändert sich das Verhalten von g (2) (τ ) je nach
vorliegender Temperatur im System.
61
5. Auswertung
T = 25 nK
T = 50 nK
T = 100 nK
2.0
g(2)(τ)
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
200
400
τ [µs]
600
800
1000
Abbildung 5.1: Theoretischer Verlauf der Korrelationsfunktion zweiter Ordnung g (2) (r = 0, τ ) für thermische Bosonen bei drei verschiedenen Temperaturen T .
Messung der Korrelationen
Nachdem im vorherigen Abschnitt kurz auf die spezielle Korrelationsfunktion, für die im Experiment verwendete Fallengeometrie, eingegangen wurde,
soll nun der experimentelle Ablauf zur Messung beschrieben werden.
Ausgangspunkt der Messungen ist die Atomwolke, die aus der CO2 -Dipolfalle in das Lightsheet umgeladen wird. Dabei lässt sich mit Hilfe der Leistung
des CO2 -Lasers bestimmen, ob ein (reines) Kondensat oder eine thermische
Wolke umgeladen werden soll. Dabei werden typischerweise Temperaturen
für die thermischen Wolken zwischen 45 nK und 150 nK erreicht. Während
der Messungen werden die Atome mit einer konstanten Laserleistung des
Lightsheet-Lasers in der Falle gehalten. Ein schematischer Ablauf einer typischen Messung ist Abb. 5.2 zu entnehmen. Mit Hilfe des Elektronenstrahls
wird über eine Zeitspanne von t = 600 ms ein Punkt in der Atomwolke
beschossen, wobei kontinuierlich Ionen erzeugt werden, die mit Hilfe der
Ionenoptik und dem Channeltron zeitaufgelöst detektiert werden. Um eine möglichst große Anzahl von Ionen detektieren zu können und so die
bestmögliche Statistik zu erreichen, wird der Elektronenstrahl auf das Zentrum der Atomwolke fokussiert. Dort wird das Maximum an Atomen erwartet und somit auch die maximale Ionenzahl, die erzeugt werden kann. Typische experimentelle Parameter für den fokussierten Elektronenstrahl sind
eine Elektronenenergie von 6 keV, 20 nA Strom und eine Halbwertsbreite
62
Lightsheet - Leistung
5.1. Die Korrelationsfunktion im Experiment
MOT
Umladephase
Elektronenmikroskop
Abbildung
10 s
200 ms
600 ms
18 ms
3 mW
0 mW
Zeit
Abbildung 5.2: Experimenteller Zyklus des Lightsheets zur Bestimmung der
Korrelationsfunktionen.
des fokussierten Strahls von 120 nm. Im Anschluss werden die Atome nach
einer freien Expansion von 18 ms mit der Absorptionsabbildung abgebildet,
bevor der Experimentzyklus von Neuem starten kann. Durch das Channeltron werden alle Ionen innerhalb von einem Zeitintervall1 von 10 µs gezählt
und über die gesamte Zeitspanne von 600 ms aufgenommen. Während einer Messung werden im Durchschnitt etwa 1000 Ionen detektiert. Um eine
ausreichend große Anzahl von Messdaten zu besitzen, werden mindestens
1500 Messungen für eine gewählte Temperatur durchgeführt.
Die maximal mögliche zeitliche Auflösung des Channeltrons beträgt deutlich weniger, als die im Experiment gewählten 10 µs. Diese werden für die
Messungen gewählt, da nicht nur einfach ionisierte Atome, sondern auch
mehrfach ionisierte Atome detektiert werden. Der Flugzeitunterschied zwischen einfach und zweifach ionisierten Atomen beträgt etwa 8 µs [44]. Da etwa 20% der erzeugten Ionen doppelt geladen sind und für eine feste Position
des Elektronenstrahls kein Unterschied zwischen einfach und mehrfach geladenen Atomen getroffen werden kann, liefert eine höhere zeitliche Auflösung
des Channeltrons keinen Mehrgewinn zur Bestimmung der Ionensignale.
1
engl. bining
63
5. Auswertung
5.2
Vom Ionensignal zur
Korrelationsfunktion zweiter Ordnung
Ausgangspunkt der Auswertung sind die mit Hilfe des Channeltrons zeitaufgelöst detektierten Ionen. Eine schematische Darstellung der so gewonnenen
Messdaten ist Abb. 5.3 zu entnehmen. Für eine typische Messreihe von 1500
Messungen mit einer Abbildungszeit des Elektronenmikroskops von 600 ms
ergeben sich 60 000 Spalten, die jeweils eine Zeiteinheit von 10 µs darstellen.
Dabei entsprechen die Einheiten von 10 µs der eingestellten Zeitauflösung
des Channeltrons. Innerhalb dieses Zeitintervalls wird die Anzahl der detektierten Ionen registriert. Jede neue Zeile repräsentiert somit eine neue
Messung. Für typische Messreihen von 1500 Einzelmessungen ergibt sich
somit eine Tabelle mit 1500 × 60 000 Einträgen.
Mit Hilfe der Definition der Korrelationsfunktion aus (2.50) lässt sich die
normierte Korrelationsfunktion zweiter Ordnung
g (2) (t1 , t2 ) =
hI(t1 )I(t2 )i
hI(t1 )ihI(t2 )i
(5.6)
mit den vorhanden Daten auswerten. Dazu wird für beliebige Zeitpunkte
(t1 , t2 ) jeweils eine Spalte betrachtet und das Produkt jedes Eintrags aus
Spalte t1 mit dem entsprechenden Eintrag aus t2 berechnet. Die Mittlung in
(5.6) ergibt sich durch Bilden des Mittelwertes aller berechneten Produkte.
Die Normierung berechnet sich entsprechend durch Mittlung aller Einträge
einer Spalte.
Dieses Vorgehen wird für alle möglichen Kombinationen aus (ti , tj ) wiederholt. Daraus ergibt sich eine Matrix der Form, die in Abb. 5.4 dargestellt ist.
Für jedes Wertepaar von (ti , tj ) wird g (2) (ti , tj ) berechnet und ergibt einen
Eintrag in der Matrix. So ergibt sich eine Matrix mit allen Einträgen für
g (2) (ti , tj ). Auf der Diagonalen befinden sich die Einträge für ti = tj , auf der
ersten Nebendiagonalen entsprechend die Einträge mit ti = tj +10 µs und so
weiter. Da g (2) (t1 , t2 ) = g (2) (t2 , t1 ) gilt, ist die so berechnete Matrix symmetrisch und im Folgenden wird die Diskussion nur auf die untere Hälfte der
Matrix bezogen. Ausgehend von dieser Matrix liegt so für alle möglichen
Wertepaare von (ti , tj ) die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung vor. Durch
die große Anzahl an Einzelmessungen und Zeitintervallen besitzt die Matrix viele Millionen Einträge und eignet sich in dieser Form nur schlecht
zur weiteren Auswertung, da Berechnungen einen großen Rechen- und Zeitaufwand benötigen. Im nächsten Abschnitt soll beschrieben werden, welche
Möglichkeiten bestehen, diese Matrixdarstellung zu vereinfachen.
64
5.3. Mittlung der Messwerte
10 µs
Messzeit t
1. Messung
1
0
0
0
1
0
0
2. Messung
0
1
1
0
0
2
1
0
0
0
2
1
0
0
Anzahl der detektierten Ionen
Anzahl der
Messungen
Abbildung 5.3: Schematische Darstellung der Messwerte, die mit Hilfe des
Channeltrons während der Messung aufgezeichnet werden. Jede Zeile steht
für eine Messung, wobei die Spalten Zeiteinheiten von 10 µs darstellen. Für
eine typische Scanzeit des Elektronenstrahls von 600 ms ergeben sich so
60 000 Spalten. Die Tabelleneinträge spiegeln die Anzahl der detektierten
Ionen pro Zeiteinheit dar.
5.3
Mittlung der Messwerte
Um aus der großen Menge an Messdaten effizient Korrelationssignale zu
berechnen, bietet sich eine Mittlung über Wertepaare (ti , tj ) an, die den
gleichen zeitlichen Abstand besitzen und somit das gleiche Korrelationssignal liefern sollten. Dies betrifft somit alle Wertepaare für die der Abstand
∆t = ti −tj gleich groß ist. In Abb. 5.4 b) entspricht dies einer Mittlung über
alle Werte einer jeden Diagonale. Um sicher zu gehen, dass diese Mittlung
zulässig ist, muss sichergestellt sein, dass sich das berechnete Korrelationssignal innerhalb der Messungen von 600 ms für einen festen Zeitabstand ∆t
nicht ändert. Um dies zu überprüfen, wird für einen festen Wert von zum
Beispiel ∆t = 20 µs die Amplitude der Korrelationsfunktion zweiter Ordnung für alle Wertepaare mit ti − tj = 20 µs berechnet und miteinander
verglichen. Ändert sich das System während der Messung von 600 ms nicht,
sollte das berechnete Korrelationssignal g (2) (t, t + 20 µs) für alle Wertepaare
und somit unabhängig vom Zeitpunkt innerhalb der Messung gleich bleiben.
In Abbildung 5.5 ist dieses Verhalten für zwei verschiedene Messungen dargestellt. Dabei wird die Korrelationsamplitude gegen die Zeit aufgetragen
65
5. Auswertung
t2
t1
}
}
a)
Messzeit t
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
2
1
0
0
0
2
1
0
0
Anzahl der
Messungen
g(2)(t1,t2)
b)
t2
t1
ti
g(2)
tj
Abbildung 5.4: Schematischer Ablauf zur Auswertung der Messwerte zur
Berechnung von g (2) . a) Ausgangspunkt bildet eine Tabelle mit den im
Experiment gemessenen, zeitaufgelösten Ionensignalen. b) Berechnung von
g (2) für alle möglichen zeitlichen Kombinationen von t1 und t2 .
und für zwei verschiedene Korrelationsmessungen berechnet. Die grün eingefärbte Kurve entspricht der Korrelationsamplitude einer Messung, die
über die Messzeit von 600 ms konstant geblieben ist. Im Gegensatz dazu ist
mit Messung 2 ein Beispiel gezeigt, bei dem dies nicht der Fall ist. Hier hängt
die Korrelationsamplitude stark davon ab, zu welchem Zeitpunkt t die Auswertung der Wertepaare (t, t + ∆t) erfolgt. Eine Mittlung würde in diesem
Fall nicht nur die gemessene Amplitude falsch analysieren, sondern auch
außer Acht lassen, das sich das System während der Messung nicht stabil
verhalten hat. Eine Diskussion speziell zu dieser Messung ist im Abschnitt
5.10 zu finden. Für Messung 1 ist die Mittlung über die gesamte Messdauer
jedoch möglich, da das extrahierte Korrelationssignal g (2) (t, t + 20 µs) zu
allen Zeiten t konstant bleibt.
66
5.3. Mittlung der Messwerte
Messung 1
g(2)(t, t+ 20 µs)
1,3
Messung 2
1,2
1,1
1,0
0
120
360
240
480
600
t [ms]
Abbildung 5.5: Korrelationsfunktion g (2) (t, t + 20 µs) für alle Wertepaare
(ti , tj ) mit gleichem zeitlichen Abstand von ∆t = 20 µs am Beispiel zweier
Messungen.
Durch Mittlung über alle Diagonalen und somit Mittlung aller Korrelationssignale mit gleichem Abstand ti − tj ergibt sich eine stark vereinfachte
Form der Matrix. Mit Definition des Parameters τ ≡ t + ∆t − t =
b tj − ti
wird die Korrelationsfunktion in die Form
g (2) (ti , tj ) → g (2) (τ )
überführt. Dabei kann τ alle im Experiment gemessenen Zeitintervalle τ =
0, 10, 20, ..., 60 000 µs annehmen.
Die Mittlung über jede Diagonale und somit über gleiche Zeitdifferenzen
∆t = tj −ti liefert so eine stark vereinfachte Handhabung der im Experiment
aufgenommenen Daten. Dabei muss jedoch sicher gestellt sein, dass die
Mittlung zulässig ist.
67
5. Auswertung
5.4
Offset des Korrelationssignals
Auch wenn darauf geachtet wird, dass die Atomzahl während der gesamten Messung möglichst stabil ist, lassen sich Schwankungen der Atomzahl
nicht vermeiden. Eine schwankende Atomzahl hat zur Folge, dass auch die
Anzahl an detektierten Ionen von Messung zu Messung unterschiedlich ist.
Im Theorie-Kapitel wurde in Gleichung (2.65) durch
g (2) = 1 +
σ 2 − hn̂i
hn̂i2
ein Zusammenhang zwischen der Korrelationsfunktion, der Varianz sowie
der mittleren Teilchenzahl hergestellt. Für die durchgeführten Messungen
entspricht die mittlere Teilchenzahl der mittleren Anzahl an detektierten
Ionen und die Varianz entsprechend die Varianz dieser Größe.
Im Falle einer Poisson-Verteilung ist die Varianz gleich der mittleren Anzahl an gezählten Ereignissen. Ergibt sich für die mittlere detektiere Anzahl von Ionen eine Zählstatistik, die nicht einer Poisson-Verteilung entspricht, sondern einer super-Poisson-Verteilung, ergibt sich aus (2.65) ein
nicht verschwindendes Korrelationssignal von g (2) 6= 1. Dieses Korrelationssignal hat seinen Ursprung nicht im Bunching der Bosonen, sondern in den
Atomzahlschwankungen in jeder Messung. Im Gegensatz zu den Korrelationsamplituden, hervorgerufen durch das Bunching der Atome, die sich in
einer Zeitskala von einigen 100 µs abspielen, führen die Atomzahlschwankungen zu einer Amplitude, die für alle Zeiten auftritt. Dieses Verhalten
muss mit einer geeigneten Normierung in der Auswertung berücksichtigt
werden. Wichtige Größen, wie die Atom- und Ionenzahl werden nach jedem
einzelnen Experimentzyklus bestimmt und abgespeichert.
In Abb. 5.6 ist der zeitliche Verlauf folgender Größen über einen kompletten
Messzyklus von 1800 Einzelmessungen dargestellt:
a) Mittlere Zählrate der Ionen mit einem Bining von 300 µs.
b) Standardabweichung der Anzahl detektierter Ionen.
c) Die Größe g (2) = 1 +
σ 2 − hn̂i
.
hn̂i2
d) Gesamtzahl der detektierten Ionen N (i) für jede Einzelmessung i.
Für alle vier Größen ist zu entnehmen, dass sie während der Messung leichten Schwankungen unterliegen. Die gemittelte Zählrate der Ionen nimmt
innerhalb der Messung ab, da weniger Atome am Ort der Messung vorhanden sind. Entsprechend kleiner wird auch die mittlere Abweichung der
68
nIonen
5.4. Offset des Korrelationssignals
σ (nIonen)
a)
g(2)
b)
c)
N (Ionen)
0
100
200
300
Messzeit t [ms]
400
500
d)
Anzahl der Messungen
Abbildung 5.6: Darstellung der mittleren Anzahl detektierter Ionen n̄Ionen ,
deren Standardabweichung, g (2) und der Gesamtzahl an Ionen NIonen für
einen Messzyklus bestehend aus 1800 Einzelmessungen.
Ionenzahl. Zur Auswertung der Korrelationsamplitude g (2) ist jedoch vor
allem die in Abb. 5.6 c) gezeigte Größe von Bedeutung, da sie die Korrelationsamplitude um einen Offset verschiebt. Durch Berechnung dieser Größe
für alle Messzeiten t lässt sich gut erkennen, dass dieses Korrelationssignal
für alle Zeiten einen konstanten Wert > 1 annimmt. Durch die im Experiment vorhandenen Atom- und somit Ionenzahlschwankungen ergibt sich
im Grenzwert limτ →∞ g (2) > 1 und nicht wie aus der Theorie zu erwarten
limτ →∞ g (2) = 1. Um dies in der Auswertung zu berücksichtigen, wird die
Korrelationsfunktion durch
g (2) (τ ) ≡
g (2) (τ )
σ 2 − hn̂i
1+
hn̂i2
69
5. Auswertung
normiert. So werden die im Experiment vorhandenen Ionenzahlschwankungen berücksichtigt und liefern keinen Betrag bei der Auswertung der Korrelationsamplitude. Ganz allgemein muss während eines Messzyklus darauf
geachtet werden, dass die in Abb. 5.6 gezeigten Größen c) und d) über die
gesamte Messdauer so konstant wie möglich gehalten werden, um gleichbleibende Bedingungen liefern zu können. Da für die Auswertung im ersten
Schritt über alle beteiligten Einzelmessungen gemittelt wird, sollte zum Beispiel gewährleistet sein, dass sich die Temperatur der thermischen Wolke
nicht ändert. Im Experiment wird dies dadurch berücksichtigt, dass die in
Abb. 5.6 gezeigten Größen direkt während der Messung berechnet werden
und so zu jedem Zeitpunkt zugänglich sind. Für die Auswertung muss entsprechend vor der Berechnung geprüft werden, ob sich die oben gezeigten
Größen über die gesamte Messdauer konstant verhalten haben. Für alle in
den folgenden Abschnitten präsentierten Ergebnisse wurde dies überprüft
und trifft zu. Im Abschnitt 5.10 wird speziell eine Messung diskutiert bei
der die oben genannten Punkte nicht erfüllt sind.
5.5
Doppelt gezählte Ionen
Mit Hilfe der im vorherigen Abschnitt eingeführten Mittlung über alle
Diagonalen ergibt sich die normierte Korrelationsfunktion zu g (2) (τ ) mit
τ = 0, 10, 20, ..., 60 000 µs. Bei der Auswertung fällt auf, dass der Wert
für den ersten Punkt, das heißt für g (2) (τ = 0 µs) eine Amplitude aufweist, die deutlich größer ist, als der maximal zu erwartende Wert von
g (2) (τ = 0 µs) = 2. Für zwei Messungen sind in Tabelle 5.1 die Werte von
g (2) (τ ) für jeweils die ersten drei Zeitintervalle angegeben. Daraus lässt sich
erkennen, dass sich die Werte für g (2) (τ = 0 µs) nicht auf Korrelationen
im System zurückführen lassen können. Erklären lässt sich dieses Verhalten durch doppelt gezählte Ionen, die als Artefakt der Signalverarbeitung
auftreten können [45]. Somit wird ein im Experiment erzeugtes Ion vom
Ionendetektor fälschlicherweise doppelt gezählt. Die Vermutung liegt nahe,
dass die doppelt gezählten Ionen nur für kleine Zeitintervalle τ auftreten.
Um herauszufinden, für welche Zeitintervalle von τ dies der Fall ist, wird
eine Messung durchgeführt, bei der Korrelationen im System nicht mehr
aufgelöst werden können.
Um zu verstehen, wie dies experimentell realisiert werden kann, soll noch
einmal auf die Korrelationsfunktion aus Gleichung (5.3)
(2)
g (r, τ ) = 1 +
70
1
1 + (τ /τk )2
3/2
exp
−2πr 2
1
λt 1 + (τ /τk )2
5.5. Doppelt gezählte Ionen
8.0
g(2)(τ)
7.5
1.5
1.0
0
500
1000
1500
τ [µs]
Abbildung 5.7: Ergebnis der Messung einer thermischen Wolke bei T =
240 nK und einem stark aufgeweiteten Elektronenstrahl, so dass die Korrelationen im System nicht messbar sind. Damit lässt sich der Einfluss von
doppelt gezählten Ionen auf die Messwerte bestimmen.
eingegangen werden. Durch den im Experiment an einer festen Position
fokussierten Elektronenstrahl soll die räumliche Komponente der Korrelationsfunktion im Idealfall r = 0 betragen, um somit die größtmögliche Korrelationsamplitude für die zeitlichen Korrelationen messen zu können. Für
eine Messung, bei der die Korrelationen sowohl räumlich als auch zeitlich
nicht mehr auflösbar sein sollen, wird der Elektronenstrahl möglichst stark
aufgeweitet und die Korrelationszeit so klein wie möglich gewählt. Wird
der Elektronenstrahl so stark aufgeweitet, dass die Ausdehnung größer ist
als die thermische de-Broglie-Wellenlänge λt , sollten im System keine Korrelationen mehr messbar sein. Um die Korrelationsamplitude zusätzlich zu
reduzieren, wird die Messung in einer thermischen Wolke bei T = 230 nK
durchgeführt. Da sich das zeitliche Korrelationssignal über die Korrelationszeit τk = ~/kB T antiproportional zur Temperatur skaliert, wird die
Korrelationszeit so stark reduziert. Bei dieser Temperatur beträgt die thermische de-Broglie-Wellenlänge λt ∼ 380 nm. Durch Aufweiten des Elektronenstrahls auf ∼ 1000 nm und Messung bei einer Temperatur von 240 nK
wird so sichergestellt, dass keine Korrelationen im System messbar sind.
Sollten in der Messung Amplituden für g (2) > 1 vorhanden sein, lassen sich
diese auf doppelt gezählte Ionen zurückführen.
Das Ergebnis dieser Messung ist in Abb. 5.7 zu sehen. Es ist klar zu erken71
5. Auswertung
Messung 1
Messung 2
g (2) (τ = 0 µs)
28,5
31,4
g (2) (τ = 10 µs)
1,06
1,09
g (2) (τ = 20 µs)
1,04
1,07
Tabelle 5.1: Korrelationsamplituden für die ersten drei Zeitintervalle am
Beispiel zweier Messungen. Deutlich zu erkennen ist, dass der erste Messpunkt eine unnatürlich hohe Korrelationsamplitude aufweist.
nen, dass lediglich die ersten beiden Messpunkte durch die doppelt gezählten
Ionen beeinflusst sind. Alle anderen Messpunkte, für die τ ≥ 20 µs gilt, sind
davon nicht betroffen und zeigen die erwartete Korrelationsamplitude von
g (2) = 1. Für die folgenden Teile der Auswertung und Diskussion der Ergebnisse werden die Messwerte für τ = 0 µs und τ = 10 µs nicht zur Auswertung
herangezogen.
5.6
Die Korrelationsfunktion zweiter
Ordnung
Nach den Vorbemerkungen zur Berechnung der Korrelationsfunktion zweiter Ordnung, Berücksichtigung der Atomzahlschwankungen sowie der doppelt gezählten Ionen, soll in diesem Abschnitt g (2) (τ ) anhand von zwei Messungen bei verschiedenen Temperaturen gezeigt und diskutiert werden.
Die beiden Messungen wurden mit einer thermischen Wolke bei Temperaturen von 45 nK und 100 nK durchgeführt. Dabei wurde in der Messung der Elektronenstrahl auf das Zentrum der Falle positioniert, um die
größtmögliche Anzahl an Ionen zu erzeugen. In beiden Fällen wurden 1800
Einzelmessungen aufgenommen, über die in der Auswertung eine Mittlung
durchgeführt wurde. Das Ergebnis der Berechnung nach dem in den beiden
vorherigen Abschnitten gezeigten Schema ist Abb. 5.8 zu entnehmen. Dabei
ist die Korrelationsfunktion g (2) (τ ) gegen die Zeitintervalle τ dargestellt.
In beiden Messungen ist für kleine Zeitintervalle ein deutlich erhöhtes Korrelationssignal zu erkennen. Der charakteristische Unterschied zwischen beiden Messungen ist durch die unterschiedliche Amplitude sowie die unterschiedlichen Korrelationszeiten gegeben. Letztere ist durch τk = ~/kB T
gegeben und nimmt für höhere Temperaturen kleinere Werte an. Für große
Zeitintervalle τ fällt die Amplitude für beide Messungen auf den zu erwartenden Wert von g (2) (τ ) = 1 ab, was einem unkorrelierten Signal entspricht.
Neben den Messwerten ist zusätzlich eine Fitfunktion in der entsprechenden
Farbe angegeben, die sich auf Grundlage der in Abschnitt 5.1 berechneten
72
5.6. Die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung
1,08
g(2)(τ)
1,06
1,04
1,02
1,00
200
400
600
800
1000
τ [µs]
Abbildung 5.8: Gemessene Korrelationsfunktion zweiter Ordnung bei einer
Temperatur von 45 nK (orange) und 100 nK (grün).
Korrelationsfunktion ergibt. Da in den Messungen die zeitliche Korrelation
gemessen wurde und sich der Elektronenstrahl an einem festen Ort befindet, lässt sich die Korrelationsfunktion aus Gleichung (5.3) vereinfachen zu
g (2) (r = 0, τ ) = 1 +
1
(1 + ττk )2
!3/2
.
(5.7)
Theoretisch sollte die maximale Korrelationsamplitude in beiden Fällen für
g (2) (τ = 0) = 2 betragen. Eine Erklärung, warum die gemessenen Amplituden lediglich einen maximalen Kontrast von 2% und 4% aufweisen, wird im
nächsten Abschnitt gegeben. Damit der theoretisch zu erwartende Verlauf
aus (5.7) an die Messwerte gefittet werden kann, wird die Amplitude der
Korrelationsfunktion als zusätzlicher freier Fitparameter eingeführt. Das
Ergebnis der beiden Fitfunktionen ist ebenfalls in Abb. 5.8 abgebildet. Der
qualitative Verlauf der Korrelationsfunktion zweiter Ordnung lässt sich in
73
5. Auswertung
beiden Fällen sehr gut bestätigen. Neben den maximalen Korrelationssignalen, die A45nK = 1,043 ± 0,008 und A100nK = 1,019 ± 0,004 betragen, lässt
sich die Korrelationszeit τk so zu 348 ± 31 µs und 154 ± 19 µs bestimmen.
Ein Vergleich zwischen den theoretisch zu erwartenden Korrelationszeiten
und den aus der Messung bestimmten Werten folgt in Abschnitt 5.8.
5.7
Reduziertes Korrelationssignal
Für die in Abb. 5.8 gezeigten Korrelationsmessungen beträgt die maximal
gemessene Korrelationsamplitude A45nK = 1,043 und A100nK = 1,019. Theoretisch sollte sich in beiden Fällen jedoch eine maximale Amplitude von 2
ergeben.
Im folgenden Abschnitt soll eine Erklärung dafür gegeben werden, warum
die Korrelationsamplitude so stark reduziert ist und inwiefern dies bei der
Auswertung der Daten berücksichtigt werden kann. Dabei sollen zwei verschiedene Aspekte untersucht werden:
i) Der Einfluss von räumlichen Korrelationen auf die Messung der zeitlichen Korrelationen.
ii) Repulsive Wechselwirkungen im System.
5.7.1
Räumliche Korrelationen
Für die theoretische Beschreibung der Korrelationsfunktion aus Gleichung
(5.7) wurde angenommen, dass durch die feste Position des Elektronenstrahls innerhalb der Atomwolke die räumliche Komponente des Korrelationssignals g (2) (r = 0) = 1 ist und somit keinen Einfluss auf die Messung
der zeitlichen Korrelationen besitzt. Berücksichtigt wurde dies durch die
Tatsache, dass der Ort an dem die Atome ionisiert werden für alle Atome
der gleiche r = 0 ist. Abb. 5.9 macht jedoch klar, dass diese Aussage so nur
in erster Näherung stimmen kann, da neben der endlichen Ausdehnung des
Elektronenstrahls in der x-z-Ebene zusätzlich zu beachten ist, dass auch die
Ausdehnung der Atomwolke in der Propagationsrichtung des Elektronenstrahls nicht beliebig klein ist. Daher ergeben sich in den Messungen für
eine feste Position des Elektronenstrahls immer auch räumliche Korrelationen, die gemessen werden und nicht von den zeitlichen Korrelationen zu
unterscheiden sind.
Die Ausdehnung in der x-z-Ebene ist durch die Breite des fokussierten Elektronenstrahls vorgegeben. Im Experiment wird die volle Halbwertsbreite
möglichst klein gewählt und beträgt etwa ∼ 120 nm. Die Ausdehnung in
74
5.7. Reduziertes Korrelationssignal
a)
b)
Elektronenstrahl
Abbildung 5.9: a) In rot ist der fokussierte Strahl des Lightsheet-Lasers dargestellt. Im Zentrum befinden sich die im erzeugten Potential gefangenen
Atome. In blau ist der Elektronenstrahl dargestellt, der auf die Mitte der
Falle fokussiert ist. Vom Ionendetektor werden die erzeugten Ionen zeitaufgelöst detektiert. b) Vergrößerte Darstellung des durch den Elektronenstrahl
und die Ausdehnung der Dipolfalle eingeschlossenen Volumens.
der y-Achse ist durch die verwendetete Fallengeometrie des Lightsheets bestimmt.
Während der Messung werden so nicht nur Korrelationen von Atomen am
gleichen Ort r = 0 gemessen, sondern auch Korrelationen zwischen Atomen, die sich innerhalb dieses Volumens an unterschiedlichen Orten befinden können. Um abschätzen zu können, wie groß der Einfluss der räumlichen
Korrelationen auf die messbare Amplitude im Experiment ist, soll ein Modell erarbeitet werden, mit dem diese räumlichen Korrelationen quantitativ
berechnet werden können. Dazu wird, statt nur die zeitliche Abhängigkeit
zu untersuchen, auch die räumliche Abhängigkeit der Korrelationsfunktion aus Gleichung (5.5) berücksichtigt. Um das durch den Elektronenstrahl
und die Ausdehnung der Falle eingeschlossene Volumen zu berechnen, wird
75
5. Auswertung
die ortsabhängige Komponente der Korrelationsfunktion als Integral dargestellt, welches das eingeschlossene Volumen darstellt. Der Übersicht halber
wird in den nächsten Beispielen nur der Fall für τ = 0 beschrieben. Für alle
Werte von τ 6= 0 ergibt sich jedoch das gleiche Prinzip. Das durch den Elektronenstrahl eingeschlossene Volumen lässt sich durch folgendes Integral in
der Korrelationsfunktion berücksichtigen:
g (2) (r, τ = 0) =
2
Z3σ Z3σ Z3R
1
m(x2 + y 2 + z 2 )
−z
x2 + y 2
1 + exp
exp
dydxdz .
−
π 3/2 Rσ 2
~τk
4R2
4σ 2
0
0
0
(5.8)
Dabei ist mit σ = 120 nm/2.35 die Ausdehnung des Elektronenstrahls in
der x-z-Ebene berücksichtigt und mit R die Ausdehnung der Atomwolke in
y-Richtung. Letztere Größe ist experimentell direkt nicht zugänglich. Da
die Fallenfrequenzen, die Strahlradien, die Leistung sowie die Wellenlänge
des Lightsheet-Lasers bekannt sind, lässt sich das am Ort der Atome erzeugte Potential berechnen (siehe Abschnitt 4.2.3). Aus dem Potential lässt
sich mit Hilfe der Atomzahl die Dichte bestimmen und somit die Ausdehnung der thermischen Wolke. Als Integrationsgrenzen wurden jeweils die
3σ und 3R Grenzen gewählt, womit 99.7 % des durch die Gaußstrahlen
eingeschlossenen Volumens berücksichtigt sind. Prinzipiell ist auch eine Integration bis ∞ möglich. Diese liefert bis auf wenige Promille die gleichen
Ergebnisse, erhöht den Rechenaufwand jedoch enorm.
Um die räumlichen Korrelationen im eingeschlossenen Volumen zu berücksichtigen, müssen in x-Richtung alle möglichen Abstände x = x1 − x2 zwischen zwei Atomen betrachtet werden. Mathematisch formuliert bedeutet
das, dass zunächst die Faltung aus zwei Gaußstrahlen für die Positionen
x1 und x2 berechnet werden müssen, um bei einer Integration in (5.8) alle
räumlichen Korrelationen mit Abstand x = x1 − x2 zu berücksichtigen. Die
Faltung hat dabei die Form [46]
Z∞
f (x) =
0
2
Z∞
(x1 − x)2
−x
x21
dx = exp
dx . (5.9)
exp − 2 exp −
2
2σ
2σ
4σ 2
0
Damit ergibt sich eine Gaußsche Einhüllende f (x), mit der alle möglichen
Abstände x = x1 − x2 berücksichtigt werden können. Nach dem gleichen
Prinzip ergeben sich die Funktionen f (y) und f (z) für die anderen beiden
Raumrichtungen.
Der Vorfaktor π 3/2 Rσ 2 in (5.8) stellt die Normierung über das integrierte
76
5.7. Reduziertes Korrelationssignal
Messwerte
Modell mit räumlichen
Korrelationen
g(2)(0) - 1
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0
25
50
75
100
125
150
T [nK]
Abbildung 5.10: In grün ist der berechnete Verlauf der Korrelationsfunktion
in Abhängigkeit der Temperatur unter Berücksichtigung der Volumenintegration dargestellt. Dadurch werden räumliche Korrelationen in der Messung berücksichtigt, die die messbare Korrelationsamplitude reduzieren. In
schwarz sind die im Experiment bestimmten Korrelationsamplituden aufgetragen.
Volumen dar und ist gegeben durch die Normierungsfaktoren der beteiligten
Gaußstrahlen. Neben den Werten für die räumliche Ausdehnung des Kondensates R und des Elektronenstrahls, gegeben durch σ, wird zusätzlich
die Korrelationszeit τk benötigt. Diese ergibt sich durch die Beziehung
τk = ~/kB T und ist somit durch die Temperatur festgelegt. Da die Temperatur für jede Messung mit Hilfe der Absorptionsabbildung bestimmt werden
kann, sind alle Größen zum Lösen des Integrals bekannt. Die Ergebnisse,
die sich aus der Berechnung des Integrals ergeben, sind für verschiedene
Temperaturen in Abb. 5.10 zu sehen. Dabei ist die durch den Fit bestimmte Korrelationsamplitude g (2) (0) − 1 gegen die Temperatur aufgetragen. Die
eingefärbte Fläche entspricht dabei der Berechnung, die sich aus dem Integral (5.8) unter Berücksichtigung der Messungenauigkeiten der Leistung
77
5. Auswertung
des Lightsheet-Lasers, Strahlradius des Elektronenstrahls sowie der Ausdehnung der Atomwolke in y-Richtung ergibt. Die Messwerte sind in schwarz
dargestellt. Dabei sind die für die Messwerte angegebenen Fehler zum einen
auf den Fehler durch den Fit und zum anderen auf die Ungenauigkeit bei
der Bestimmung der Temperatur zurückzuführen.
Abb. 5.10 lässt sich entnehmen, dass die gemessenen Korrelationsamplituden tendenziell unterhalb des zu erwarteten Signals liegen, wenn die räumlichen Korrelationen wie oben beschrieben berücksichtigt werden. Dies legt
nahe, dass das verwendete Modell aus Gleichung (5.7) keine vollständige Beschreibung des gemessenen Systems liefert. Entsprechend wird im nächsten
Abschnitt der zweite Mechanismus diskutiert, der ein reduziertes Korrelationssignal zur Folge hat.
5.7.2
Repulsive Wechselwirkungen
Die in den vorherigen Abschnitten, wie auch im Theoriekapitel motivierten
Modelle für die Korrelationsfunktion sind von einem System nicht wechselwirkender Teilchen ausgegangen. Wechselwirkungen zwischen den Atomen können das Verhalten der Korrelationsfunktion jedoch stark beeinflussen, da sie zu Bunching oder Anti-Bunching im System führen [47]. Der
bosonische Charakter sowie die positive Streulänge der 87 Rb-Atome sorgen dafür, dass die im System vorhandenen Wechselwirkungen zu einer
repulsiven Interaktion der Atome und so zu einem Anti-Bunching führen.
Anschaulich reduziert dies die Wahrscheinlichkeit, zwei Teilchen in einem
kurzen Zeitintervall am selben Ort zu detektieren. Um die Korrelationfunktion zweiter Ordnung dahingehend zu erweitern, müssen Wechselwirkungen
zwischen den Atomen berücksichtigt werden, insbesondere die starke Abstoßung zwischen den Atomen für sehr kleine Abstände r. Nach [28] ergibt
sich die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung durch Berücksichtigung von
s-Wellenstreuprozessen zu:
4as
2a2s
(2)
(1)
2
,
(5.10)
g (r, τ = 0) = 1 + 2 + |g (r, 0)| 1 −
r
r
wobei as die s-Wellenstreulänge darstellt. Diese ist für 87 Rb gegeben durch
as = 99 a0 , mit a0 ∼ 0.53 Å [48]. Für den Fall as = 0 ergibt sich das nicht
wechselwirkende Modell aus Gleichung (5.7).
Analog zur Berechnung der zu erwartenden Korrelationsamplitude im Falle
des nicht wechselwirkenden Systems lässt sich mit dem Integral der Form
aus (5.8) die Berechnung auf den wechselwirkenden Fall erweitern.
Das Ergebnis dieser Berechnung ist Abb. 5.11 zu entnehmen. Dabei ist das
78
5.7. Reduziertes Korrelationssignal
Messwerte
Modell mit räumlichen
Korrelationen
Modell mit räumlichen
Korrelationen und Ww
g(2)(0) - 1
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0
25
50
75
100
125
150
T [nK]
Abbildung 5.11: Berechneter Verlauf der Korrelationsfunktion unter
Berücksichtigung von räumlichen Korrelationen (grün) und zusätzlicher
Berücksichtigung von Wechselwirkungen zwischen den Atomen. Zusätzlich
sind die gemessenen Korrelationsamplituden in schwarz dargestellt.
gemessene Korrelationssignal gegen die Temperatur aufgetragen. Der orange eingefärbte Bereich entspricht in diesem Fall dem Modell, bei dem sowohl
Wechselwirkungen als auch die räumlichen Korrelationen berücksichtigt
sind. Dabei stellt die eingefärbte Fläche wiederum die Fehlergrenzen dar,
die sich durch die Unsicherheit der beteiligten Größe wie Ausdehnung der
Atomwolke in z-Richtung, Laserleistung und Strahlradius des Elektronenstrahls ergeben. Es ist deutlich zu erkennen, dass durch Berücksichtigung
von Wechselwirkungen im System das zu erwartende Korrelationssignal im
Vergleich zum Modell, in dem nur die räumlichen Korrelationen berücksichtigt wurden, weiter reduziert wird.
Abbildung 5.11 entnimmt man eine gute Übereinstimmung der gemessenen Korrelationsamplituden mit der Vorhersage, die durch das wechselwirkende Modell unter Berücksichtigung der räumlichen Korrelationen gegeben wird. Da die Messwerte tendenziell eine zu niedrige Korrelationsamplitude im Vergleich zur Theorie aufweisen, besteht die Vermutung, dass
79
5. Auswertung
der Einfluss sowohl der räumlichen Korrelationen als auch der Wechselwirkungen im System größer ist, als in diesem Kapitel beschrieben. Durch
Berücksichtigung der Fehlergrenzen sollte ein Großteil der Unsicherheiten,
gerade bei der Bestimmung der Ausdehnung des Elektronenstrahls, als auch
der Atomwolke, berücksichtigt werden. Gerade bei der Bestimmung des
Strahlradius, des Elektronenstrahls besteht jedoch eine prinzipielle Schwierigkeit [39]. Darüber hinaus ist der Einfluss von Wechselwirkungen in erster
Näherung nur durch niedrigenergetische s-Wellenstreuprozesse berücksichtigt.
5.8
Bestimmung der Korrelationszeiten
Neben der Korrelationsamplitude stellt die Korrelationszeit die zweite wichtige charakteristische Größe dar, die experimentell bestimmt werden kann.
Durch Berücksichtigung der im vorherigen Abschnitt erarbeiteten Modelle, die sowohl die räumlichen Korrelationen als auch Wechselwirkungen im
System berücksichtigen, lässt sich die Korrelationszeit aus den gemessenen
Korrelationsfunktionen bestimmen. Um herauszufinden, wie sich die Korrelationszeit und somit auch der zeitliche Verlauf von g (2) (τ ) für die drei
verschiedenen Modelle für eine vorgegebene Temperatur ändert, ist in Abb.
5.12 die Korrelationsamplitude gegen τ für die drei unterschiedlichen Modelle abgebildet.
Es ist deutlich zu erkennen, dass die räumlichen Korrelationen nicht nur die
messbare Amplitude beeinflussen, sondern auch eine andere Korrelationszeit im System zur Folge haben. Der Unterschied zwischen dem Modell mit
Wechselwirkungen und ohne ist hingegen sehr gering und äußert sich vor
allem für kurze Zeitintervalle. Dort sorgt die repulsive Wechselwirkung der
Atome für eine verringerte Amplitude. Da der Rechenaufwand für die Auswertung durch Berücksichtigung der Wechselwirkungen enorm hoch und
der Unterschied bei der Bestimmung der Korrelationszeiten minimal ist,
wird auf die Berücksichtigung der Wechselwirkungen in diesem speziellen
Fall verzichtet. Um aus den gemessenen g (2) (τ )-Funktionen die Korrelationszeiten zu bestimmen, wird mit Hilfe von Mathematica2 ein analytischer
Ausdruck für das Integral
2
80
MathematicaTM , http://www.wolfram.com
5.8. Bestimmung der Korrelationszeiten
nur zeitliche Korrelationen
Modell mit räumlichen
Korrelationen
Modell mit räumlichen
Korrelationen und WW
0,06
g(2)(τ) - 1
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
25
75
50
100
125
150
τ [µs]
Abbildung 5.12: Zeitlicher Verlauf der Korrelationsamplitude bei einer festen Temperatur für die drei verschiedenen Modelle i) nur zeitliche Korrelationen ii) Berücksichtigung der räumlichen Korrelationen durch Integration
über das eingeschlossene Volumen und iii) räumliche Korrelationen und
Einfluss von Wechselwirkungen im System.

1
g (2) (r, 0) = 3/2 2
π Rσ
Z3σ Z3σ Z3R
0

0
0


1+

3/2

1

2 

τ
1+
τk

(5.11)


2
 m(x2 + y 2 + z 2 ) 
−z
x2 + y 2


exp 
dydxdz
2 !  exp 4R2 − 4σ 2
τ


~τk 1 +
τk
berechnet und damit die Messwerte gefittet. Die Ergebnisse dieser Berechnung finden sich in Abb. 5.13. Dort ist die mit Hilfe des nicht wechsel81
5. Auswertung
Messwerte
τk = ħ/kBT
1200
τk [µs]
1000
800
600
400
200
0
0
20
40
60
80
100
120
T [nK]
Abbildung 5.13: Dargestellt sind die mit Hilfe des nicht wechselwirkenden
Modells bestimmten Korrelationszeiten in Abhängigkeit der Temperatur.
Zusätzlich sind die zu erwartenden Korrelationszeiten, gegeben durch τk =
~/kB T abgebildet.
wirkenden Modells bestimmte Korrelationszeit gegen die mit der Absorptionsabbildung aufgenommene Temperatur aufgetragen. Zusätzlich ist als
durchgezogene Kurve die Beziehung τk = ~/kB T dargestellt. Die Fehler
ergeben sich im Falle der Korrelationszeiten aus dem Fit selbst und für
die Temperatur aus der Unsicherheit der Temperaturbestimmung mit Hilfe
der Absorptionsabbildung. Abb. 5.13 zeigt eine gute Übereinstimmung der
gemessenen Korrelationszeiten mit der durch die Theorie zu erwartenden
Werte. Daraus ergibt sich, dass durch Messung der Korrelationsamplituden
direkt eine lokale Temperaturbestimmung im System möglich ist. Gerade
in Fällen, bei denen Standardverfahren, wie die Absorptionsabbildung zur
Bestimmung der Temperatur, nicht eingesetzt werden können, bietet sich
so durch Messung der Korrelationsamplituden eine mögliche Alternative.
82
5.9. Unkorrelierte Messungen
5.9
Unkorrelierte Messungen
Neben der bereits angesprochenen Messung, bei der der Elektronenstrahl
so stark aufgeweitet ist, dass keine räumlichen Korrelationen im System
mehr aufgelöst werden können und entsprechend keine Korrelationen zu
erwarten sind, lässt sich darüber hinaus eine Messung an einem BoseEinstein-Kondensat durchführen. Das Kondensat entspricht im Idealfall einem perfekten Zustand von kohärenten Atomen im Grundzustand, die im
klassischen Sinne vergleichbar sind mit einer Lichtquelle, die für alle Zeiten
kohärentes Licht emittiert. Für g (2) (τ ) sollte sich somit für alle Zeitintervalle
von τ ein Wert von g (2) (τ ) = 1 ergeben. Zunächst soll noch einmal auf die
in Abschnitt 5.5 besprochene unkorrelierte Messung eingegangen werden,
anschließend dann die Messung mit einem Bose-Einstein-Kondensat.
5.9.1
A priori unkorrelierte Messung
Um sicherzustellen, dass bei den Messungen der Korrelationsfunktion zweiter Ordnung auch wirklich Bunching der Atome gemessen wird und nicht
etwa nur Artefakte aus der Signalverarbeitung oder Ionenzahlschwankungen, wurde eine Messung durchgeführt, bei der a priori keine Korrelationen zu erwarten sind und das Korrelationssignal so für alle Zeitintervalle
g (2) (τ ) = 1 betragen sollte.
Dazu wird eine thermische Wolke im Lightsheet bei einer Temperatur von
240 nK mit Hilfe des Elektronenstrahls vermessen. Im Gegensatz zu den
anderen Messungen wird der Elektronenstrahl für diese Messungen nicht
möglichst scharf gestellt, sondern stark aufgeweitet. Dabei wird die Halbwertsbreite deutlich größer gewählt als die zu erwartende Korrelationslänge
im System. Diese liegt bei einer Temperatur von 240 nK bei λt = 380 nm.
Somit ist sichergestellt, dass Bunching-Effekte im System nicht mehr aufgelöst werden können und ein nicht verschwindendes Korrelationssignal auf
einen systematischen Fehler in der Experimentdurchführung beziehungsweise in der Auswertung hinweist.
Das Ergebnis dieser Messung ist in Abb. 5.14 dargestellt. Wie zu erwarten, beträgt die Korrelationsamplitude für das gemessene Zeitintervall für
alle Zeiten 1. Die ersten beiden Datenpunkte werden, wie im Abschnitt 5.5
erläutert, zur Auswertung nicht herangezogen. Auch hier ist noch einmal
deutlich zu erkennen, dass sich die Problematik der doppelt gezählten Ionen
nur auf die ersten beiden Messpunkte auswirkt und sonst keinen Einfluss
auf die gemessenen Amplituden hat.
Mit dem Ergebnis dieser Messung ist sichergestellt, dass die gemessenen
83
g(2)(τ)
5. Auswertung
0
500
1000
1500
2000
τ [µs]
Abbildung 5.14: Gemessene Korrelationsamplitude mit stark aufgeweitetem
Elektronenstrahl bei einer Temperatur von T = 240 nK.
Korrelationsamplituden auf ein Bunching zwischen den Atomen zurückzuführen sind.
5.9.2
BEC-Messung
Bei der Messung mit einem Bose-Einstein-Kondensat ist unabhängig von
den verwendeten Strahlparametern kein Korrelationssignal zu erwarten. Für
diese Messung wird statt der thermischen Wolke ein möglichst reines Kondensat aus der CO2 -Dipolfalle in die Lightsheet-Dipolfalle umgeladen und
anschließend vermessen.
Das Ergebnis dieser Messung ist Abb. 5.15 zu entnehmen. Dabei ist die gemessene Korrelationsamplitude gegen die Zeitintervalle τ aufgetragen. Im
Vergleich zu Abbildung 5.14 zeigt sich für die Messung im Kondensat für
kurze Zeitintervalle τ ein nicht verschwindendes Korrelationssignal. Erst für
größere Intervalle von τ fällt die Amplitude auf den zu erwartenden Wert
von g (2) = 1. Zusätzlich fällt auf, dass der charakteristische Abfall der Korrelationsfunktion im Vergleich zu den Messungen an thermischen Wolken
deutlich länger ist. Er beträgt τk ≈ 670 µs und deutet damit daraufhin,
dass die gemessenen Korrelationen bei sehr niedrigen Temperaturen gemes84
g(2)(τ)
5.9. Unkorrelierte Messungen
0
500
1000
1500
2000
τ [µs]
Abbildung 5.15: Gemessene Korrelationsfunktion g (2) (τ ) in einem BoseEinstein-Kondensat
sen worden sind. Im Vergleich dazu beträgt die gemessene Korrelationszeit
bei einer Messung in einer thermischen Wolke von T = 50 nK lediglich
250 µs. Da in den vorherigen Abschnitten ausgeschlossen werden konnte,
dass das Korrelationssignal zum Beispiel ein Artefakt der Signalverarbeitung ist, stellt sich die Frage, warum bei der Messung im Kondensat ein
Korrelationssignal gemessen wurde.
Eine Erklärung hierfür ist, dass noch ein geringer Teil thermischer Atome
im System vorhanden ist. Dieser Anteil von sehr kalten, thermischen Atomen sorgt so für ein messbares Korrelationssignal. Mit der Beziehung τk =
~/kB T ergibt sich für tiefe Temperaturen eine deutlich größere Korrelationszeit, die in Abb. 5.15 deutlich zu erkennen ist. Da durch Berücksichtigung
der räumlichen Korrelationen das Korrelationssignal maßgeblich von der
Temperatur abhängig ist (siehe Abb. 5.8), reicht bereits ein kleiner Anteil
von sehr kalten thermischen Atomen, um ein messbares Korrelationssignal
zu erzeugen.
85
5. Auswertung
5.10
Zeitlich veränderliches
Korrelationssignal
Im Abschnitt 5.3 wurde in Abb. 5.5 eine Messung gezeigt, bei der sich das
System während der 600 ms Messzeit so verändert hat, dass das berechnete
Korrelationssignal g (2) (t, t + 20 µs) für gleiche Zeitintervalle, aber unterschiedliche Zeitpunkte t unterschiedliche Werte geliefert hat. Die Analyse
aus Abb. 5.5 hat gezeigt, dass für die Zeitintervalle zu Beginn der Messung
ein deutlich größerer Wert der Korrelationsfunktion gemessen wurde. In diesem Abschnitt sollen zwei mögliche Ursachen für dieses Verhalten diskutiert
werden:
Schwankende mittlere Ionenzahl
Zum einen ist es möglich, dass die relativen Ionenzahlschwankungen zu
Beginn einer Einzelmessung größer sind als zum Ende der Messung. Für
die Auswertung bedeutet dies, dass durch den Zusammenhang g (2)∗ = 1 +
σ 2 − hn̂i
ein Korrelationssignal berechnet wird, was sich in diesem Fall
hn̂i2
jedoch nicht durch das Bunching der Atome ergibt, sondern durch die
veränderliche Zählstatistik während der Messung selber. Um dies zu überprüfen, lässt sich wie in Abb. 5.6 der zeitliche Verlauf von g (2)∗ = 1 +
σ 2 − hn̂i
gemittelt über alle Einzelmessungen darstellen. Dies ist in Abb.
hn̂i2
5.16 zu sehen. Es lässt sich klar erkennen, dass die mittleren Ionenzahlschwankungen über die Messzeit von 600 ms nicht konstant sind. Darüber
hinaus treten sie in einem Zeitintervall von mehreren 100 ms auf, so dass sie
nicht auf Bunching der Atome zurückzuführen sind. Damit ist klar, dass sich
innerhalb der 600 ms einer Messung über die gesamten 1800 Einzelmessungen das System nicht immer gleich verhalten hat. Aus Abb. 5.16 lässt sich
jedoch auch entnehmen, dass für größere Zeiten von t dieses Verhalten nicht
mehr so stark ausgeprägt ist und sogar verschwindet. Für die Auswertung
der Korrelationsfunktionen zur Bestimmung der Korrelationsamplitudenund zeiten wäre dieser Teil der Messung somit verwendbar. Wenn darüber
hinaus nur die mittleren Ionenzahlschwankungen zum erhöhten Korrelationssignal beitragen, lassen sich durch Bestimmung des Offsets für verschiedene Zeitintervalle der Messung alle Daten zur Auswertung verwenden.
In Abb. 5.17 ist dies für zwei Zeitintervalle 0 − 300 ms und 300 − 600 ms
dargestellt. Dabei ist die berechnete gemittelte Korrelationamplitude gegen
τ dargestellt. Durch Aufteilen in diese beiden Zeitintervalle können die Ionenzahlschwankungen und somit der Offset jeweils unabhängig voneinander
86
g(2)*
5.10. Zeitlich veränderliches Korrelationssignal
100
200
300
400
500
t [ms]
Abbildung 5.16: Gemittelte Ionenzahlschwankungen über die Zeitspanne
einer Einzelmessung von 600 ms.
berechnet werden. Für große Werte von τ fällt die Korrelationsamplitude in
beiden Fällen auf den zu erwartenden Wert von g (2) = 1. Darüber hinaus ist
das Verhalten beider Korrelationsfunktionen sehr ähnlich und unterscheidet
sich sowohl in der maximalen Amplitude als auch in der Korrelationszeit
nicht mehr so stark, wie dies ausgehend von Abb. 5.16 zu erwarten war.
Nichtsdestotrotz unterscheidet sich die Korrelationsamplitude des Systems
für verschiedene Zeitpunkte t im System, die sich nicht nur auf die mittleren
Ionenzahlschwankungen zurückführen lässt.
Eine weitere Möglichkeit, die zu unterschiedlichen Korrelationsamplituden
innerhalb einer Messung führt, sind Temperaturschwankungen, die während
einer Einzelmessung von 600 ms auftreten. Wird die Korrelationsfunktion
für ein vorgegebenes Zeitintervall τ ausgewertet, ist die dort gegebene Amplitude theoretisch nur von der Temperatur vorgegeben. Ändert sich die
Temperatur während der Einzelmessungen, ergeben sich für gleiche Zeitintervalle unterschiedliche Amplituden. Da die Temperatur genauso wie die
Teilchenzahl nur nach jeder Einzelmessung bestimmt werden kann, lässt sich
im Nachhinein nicht mehr untersuchen, wie sich die Temperatur während
einer Einzelmessung von 600 ms verhalten hat. Das in Abb. 5.17 gezeigte
Verhalten, das sowohl die Amplitude als auch die Korrelationszeit für verschiedene Zeitpunkte unterschiedliche Ergebnisse liefern, lässt jedoch den
Schluss zu, dass die Temperatur im System nicht zu jedem Zeitpunkt konstant gewesen ist.
Zusammenfassend wird ein Zusammenspiel von beiden Faktoren den Ausschlag für das oben gezeigte Verhalten erklären. Durch Ionenzahlschwankungen sowohl in jeder einzelnen Messung als auch über den gesamten Messzyklus sowie der nicht gleichbleibenden Temperatur im System ergibt sich
ein Korrelationssignal, das für unterschiedliche Zeitpunkte t unterschiedliche Korrelationsamplituden liefert. Es ist zu beachten, dass diese Problematik in dieser Form nur für die oben diskutierte Messung aufgetreten ist. Alle
87
5. Auswertung
g(2)(τ)-1
0-300 ms
300-600 ms
1000
2000
3000
4000
τ [µs]
Abbildung 5.17: Gemessene Korrelationsamplitude für zwei verschiedene Zeitintervalle innerhalb der Einzelmessungen. Eines welches die ersten
300 ms einer jeden Einzelmessung berücksichtigt und entsprechend ein Zeitintervall mit den Messwerten aus dem Intervall 300 − 600 ms.
anderen durchgeführten Messungen besitzen wie das Beispiel aus Abb. 5.6
eine mittlere Ionenzahl, die nicht vom Zeitpunkt der Auswertung innerhalb
der Messzeit von 600 ms abhängt.
5.11
Abschlussbetrachtung
Nachdem verschiedene Aspekte zur Berechnung und Auswertung der Korrelationsfunktion zweiter Ordnung diskutiert und analysiert wurden, soll an
dieser Stelle noch ein Überblick über die durchgeführten Messungen unter
Berücksichtigung der Vorbemerkungen gegeben werden. Dazu sind in Abb.
5.18 die gemessenen Korrelationsfunktionen für die verschiedenen Temperaturen der Atomwolke dargestellt. Um das Ganze übersichtlich zu halten,
ist jeweils die Fitfunktion abgebildet, die im Verlaufe der Auswertung erarbeitet wurde.
Aus dieser Abbildung lässt sich noch gut entnehmen, wie unterschiedlich
die Korrelationsamplituden sowie Korrelationszeiten je nach Temperatur
im System ausfallen. Darüber hinaus ist zusätzlich auch die Messung darge88
5.11. Abschlussbetrachtung
45 nK
65 nK
1.050
g(2)(τ)
100 nK
BEC
unkorrelierte Messung
1.025
1.000
200
400
600
800
1000
τ [ms]
Abbildung 5.18: Übersicht der durchgeführten Messung zur Bestimmung
der Korrelationsfunktion zweiter Ordnung
stellt, bei der die Korrelationen im System mit den gewählten Einstellungen
nicht mehr aufgelöst werden konnten. Somit ergibt sich eine Korrelationsamplitude von g (2) = 1 für alle Zeiten.
Neben den vielen Eigenschaften, die es zu berücksichtigen gilt, um die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung zu messen und anschließend auszuwerten, bleibt es faszinierend zu sehen, dass der qualitative Verlauf der in Abb.
5.18 gezeigten Korrelationsfunktionen genau dem Verlauf entspricht, der
lediglich durch einfache Statistik in Abschnitt 2.5.1 und Abb. 2.3 bereits
motiviert wurde.
89
Kapitel
Ausblick
In dieser Arbeit wurden neben der experimentellen Realisierung des Lightsheets und der erfolgreichen Implementierung in das bestehende Experiment Messungen zur Bestimmung der Korrelationsfunktion zweiter Ordnung präsentiert. Durch Messung der Korrelationsamplituden beziehungsweise der Korrelationszeiten konnte gezeigt werden, dass die Möglichkeit
besteht eine lokale Temperaturmessung in der Wolke durchzuführen. Mit
Hilfe des im Aufbau vorhandenen Elektronenmikroskops steht ein ideales
Werkzeug zur Verfügung, um eine hohe räumliche sowie zeitliche Auflösung
zu erreichen, die nötig ist, Korrelationen von Atomen in einer Dipolfalle
nachzuweisen.
Zukünftige interessante Fragestellungen, die speziell die in dieser Arbeit
vorgestellten Themen berühren, sind unter anderem die detailliertere Untersuchung des Einflusses von Wechselwirkungen auf die gemessenen Korrelationsamplituden. Wie im letzten Kapitel ausführlich dargestellt, besitzen
neben den Wechselwirkungen auch die räumlichen Korrelationen einen Einfluss auf die messbare zeitliche Korrelationsamplitude. Durch Messung der
räumlichen Abhängigkeit von g (2) (r, τ ) kann der Einfluss des eingeschlossenen Volumens näher betrachtet und damit auch der Einfluss auf die Korrelationen eingehender untersucht werden.
Unabhängig von der genauen räumlichen oder zeitlichen Abhängigkeit lassen sich aus den gemessenen Daten mit ausreichender Statistik auch höhere
Ordnungen der Korrelationsfunktionen bestimmen. Für g (3) (r, τ ) wird untersucht, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, drei Atome in einem gewissen
Abstand und zeitlicher Differenz zu detektieren. Für höhere Ordnungen
werden entsprechend mehr Atome betrachtet. Die Herausforderung zur Bestimmung dieser Funktionen ist eine gute Statistik mit einem ausreichenden
Signal-Rausch-Verhältnis.
91
6
6. Ausblick
Da die Problematik des eingeschlossenen Volumens durch den Elektronenstrahl und die Ausdehnung der Falle für alle Messungen besteht, bietet
sich für zukünftige Experimente eine Reduzierung der Dimensionalität des
zu untersuchenden Systems an. Als Ziel sollen eindimensionale Bose-Gase
experimentell realisiert werden. Mit Hilfe des Elektronenmikroskops lassen
sich dort detaillierte Dichteprofile der eindimensionalen Gase aufnehmen
[49]. Zusätzlich lassen sich die Korrelationsfunktionen, wie in dieser Arbeit
auch, bestimmen [50]. Durch die Reduzierung der Dimensionalität wird die
Besetzung der Atome in zwei Raumrichtungen auf den Grundzustand eingeschränkt. Dies entspricht einer starken Reduzierung des durch den Elektronenstrahl eingeschlossenen Volumens, so dass die zu erwartende, messbare
Korrelationsamplitude stark ansteigen sollte.
Für das Verhalten eindimensionaler Bose-Gase spielt die Wechselwirkung
zwischen den Atomen eine entscheidende Rolle. Charakterisieren lässt sich
diese durch den Parameter
γ=
2a ωl m
Eww
≈
Ekin
~ n1D
mit der Fallenfrequenz ωl in longitudinaler Richtung und der eindimensionalen Liniendichte n1D [51]. Durch Variation der Liniendichte sowie der Fallenfrequenz ist es möglich, direkten Einfluss auf das Verhältnis von kinetischerund Wechselwirkungsenergie im System zu nehmen. Da die Korrelationsfunktionen stark von Wechselwirkungen im System beeinflusst werden, liegt
eine Möglichkeit vor, diese Abhängigkeit zu untersuchen [52]. Für Werte von
γ > 1 ist das System von Wechselwirkungen zwischen den Atomen dominiert. Speziell im Fall für γ → ∞ verhalten sich die Bosonen wie spinlose
Fermionen. In diesem Zusammenhang spricht man von Fermionisierung, da
die starken repulsiven Wechselwirkungen für kleine Abstände eine dominierende Rolle einnehmen [53]. Für die Korrelationsfunktionen in diesem
Regime wird entsprechend starkes Anti-Bunching für kleine Abstände der
Atome erwartet.
Neben den physikalischen Eigenschaften, die die Korrelationsfunktion von
eindimensionalen Bose-Gasen betrifft, bilden diese ein konzeptionell hoch
interessantes Modell-System. Im Vergleich zu vielen anderen Systemen, speziell in drei Dimensionen, gibt es für eindimensionale Systeme verschiedene
analytische Lösungen, die je nach Größe des Wechselwirkungsparameters γ
berechnet werden können [54]. Eindimensionale Bose-Gase bilden somit ein
hervorragend geeignetes System, um theoretische Vorhersagen und Modelle
zu prüfen.
92
Anhang
Anhang
A.1
Wichtige physikalische Konstanten
Plancksches Wirkungsquantum
Boltzmann-Konstante
Bohrsches Magneton
Vakuum Permittivität
Elementarladung
Lichtgeschwindigkeit
h
kB
µB
0
e
c
6, 626 · 10−34
1, 381 · 10−23
9, 274 · 10−24
8, 854 · 10−12
1, 602 · 10−19
2, 998 · 108
Js
J/K
J/T
As/Vm
C
m/s
Tabelle A.1: Physikalische Konstanten.
A.2
Rubidium 87 Daten
Masse
Kernspin
Wellenlänge D1
Wellenlänge D2
Sättigungsintensität
Linienbreite D1
Linienbreite D2
1, 443 · 10−25
m
I
λD1
λD2
Isat
ΓD1
ΓD2
kg
3
2
794, 98
780, 25
1, 654
2π · 5, 58
2π · 6, 01
Tabelle A.2: Eigenschaften von
93
87
Rb.
nm
nm
mW/cm2
MHz
MHz
A
A. Anhang
Abbildung A.1: Hyperfein-Struktur der
A.3
87
Rb-D2-Linie [20].
Herleitung der Korrelationsfunktion
erster Ordnung
Zur Herleitung der Korrelationsfunktion erster Ordnung, wird der Ansatz
aus [28] auf die Zeitabhängigkeit erweitert und berücksichtigt, dass in guter
Näherung ein dreidimensionales harmonisches Fallenpotential vorliegt.
Ausgangspunkt bildet die Grundzustandswellenfunktion des quantenmechanischen, harmonischen Oszillators mit Energieeigenwerten En [55]
−iEn t
mω 1/4
−mωx2
1
un (x)exp
=
exp
(A.1)
~
2n/2
π~
2~
r
mω
1
×Hn
x exp −iω n +
t
(A.2)
~
2
94
A.3. Herleitung der Korrelationsfunktion erster Ordnung
und dem Propagator
r
mω
00
0
K(x , t; x , t0 ) =
(A.3)
2πi~sin[ω(t − t0 )]
imω
002
02
00 0
(x + x )cos[ω(t − t0 )] − 2x x ) .
× exp
2~sin[ω(t − t0 )]
(A.4)
Für die Definition der Korrelationsfunktion erster Ordnung erweitert um
die zeitliche Abhängigkeit gilt
X
−Em
1
0
∗
0
(A.5)
G (r, r , t) =
um (r, 0)um (r , t)exp
k
T
B
m
X
−iEn t
Em
∗
0
=
um (r, 0)um (r , 0)exp
exp
(A.6)
~
k
T
B
m
X
−iEn t
~
∗
um (r, 0)exp
=
(t − i
) um (r0 , 0)
(A.7)
~
kB T
m
~
0
= K r, 0, r , τ = t − i
.
(A.8)
kB T
Damit ergibt sich durch Verwendung von A.2
3/2
mω
0
K(r, 0; r , τ ) =
π~(1 − e−2τ ω )
−mω (r2 + r02 )(coshωt − 1) + (r − r0 )2
× exp
~
2sinhωt
= G(1) (r, r0 , τ ) .
(A.9)
(A.10)
(A.11)
Für die normierte Korrelationsfunktion gilt
G(1) (r, t)
(A.12)
G(1) (0, 0)
1 − exp(−2~ω/kB T )
mωr2 cosh(iωt + ωτk )
=
exp
1 − exp(−2ω(it + τk )
~ 2sinh(iωt + ωτk )
(A.13)
g (1) (r, t) =
mit τk = ~/kB T und den Näherungen ωt 1 und
~ω
1, die im
kB T
Experiment beide gut erfüllt sind, folgt
3/2
1
−mωr2 ωτk + iωt
(1)
g (r, t) =
exp
.
1 + iτ /τk
2~ ω 2 t2 + ω 2 τk2
(A.14)
95
A. Anhang
Somit lässt sich die Korrelationsfunktion zweiter Ordnung betimmen
g (2) (r, t) = 1 + |g (1) (r, t)|2
3/2
mr2
1
1
=1+
exp −
.
1 + (τ /τk )2
~τk 1 + (τ /τk )2
96
(A.15)
(A.16)
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101
Literaturverzeichnis
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich bei allen Personen bedanken, die mich
während meines Studiums unterstützt haben. Ein Spezieller Dank gilt:
• Prof. Dr. Herwig Ott für die Möglichkeit in seiner Arbeitsgruppe eine Diplomarbeit, in einem überaus spannenden und hochaktuellem
Forschungsgebiet der Physik zu verfassen.
• Peter Würtz und Andreas Vogler für die tolle Betreuung während der
Diplomarbeit, sowie die vielen spannenden Stunden im und außerhalb
des Labors.
• dem Rest der Arbeitsgruppe: Ralf Labouvie, Vera Guarrera, Giovanni
Barontini, Tobias Weber, Torsten Manthey, Matthias Scholl, Thomas
Niederprüm, Julia Grün und Phillip Langer für die fantastische Zeit.
• Gabriele Koschmann, für ihre stets freundliche Art und die Erledigung
des geliebten Papierkrams.
• Peter Bohnert und Richard Walter für die technischen Ratschläge und
Herstellung verschiedener Bauteile.
• meinen Kommilitonen, die mich durch das Studium begleitet haben,
ganz speziell Steffen, Patrick, Dennis, Nicolas, Katrimn, Sven und
Benny.
• meinen Freunden, die mir eine schöne Zeit außerhalb der Universität
ermöglicht haben.
• Peter & Jakob.
• meinen Eltern, meiner Schwester und meinem Bruder für die jahrelange Unterstützung und das in mich gesetzte Vertrauen.
• Christina für die vielen tollen Stunden, die wir gemeinsam verbringen
konnten.
103
Erklärung
Ich versichere, dass ich die Arbeit selbstständig verfasst
und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel
verwendet habe.
Arne Ewerbeck