Ramsey- Spektroskopieexperimente mit langsamen Atomen

RamseySpektroskopieexperimente
mit langsamen Atomen
Diplomarbeit
von
Kai Dieckmann
Arbeitsgruppe Prof. Dr. G. Rempe
Fakultät für Physik
Universität Konstanz
Februar 1996
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit beschreibt Experimente mit lasergekühlten Atomen.
Dafür stand eine magnetooptische Dampfzellenfalle für Rubidiumatome zur
Verfügung, in der ca. 107 Atome eingefangen und auf eine Temperatur von
ca. 10 µK gekühlt werden können. Eine gepulste Quelle für langsame Atome
(mit einer Geschwindigkeit von wenigen m/s) läßt sich realisieren, indem die
Atome aus der Falle heraus fallengelassen werden. Ziel der Arbeit war es,
mit den langsamen Atomen ein atomoptisches Experiment zur verzögerten
Lokalisation von Atomen in einer optischen Stehwelle zu demonstrieren. Um
dieses Experiment vorzubereiten, wurde eine Mikrowellenspektroskopie nach
Ramseys Methode der getrennt oszillierenden Felder durchgeführt.
Dafür wurde ein für ein Ultrahochvakuum geeigneter Mikrowellenresonator
mit einer Resonanzfrequenz von 3 GHz aufgebaut, durch den die Atome fallen. Zur Realisierung der optischen Stehwelle beﬁndet sich im Inneren des
Resonators ein dielektrischer Spiegel, an dem die Atome im Abstand von etwa 1 mm vorbeiﬂiegen. Die Resonanzfrequenz des Resonators kann auf die
Eigenfrequenz eines atomaren Hyperfeinübergangs abgestimmt werden. Der
an die Impedanz des Mikrowellengenerators angepate Mikrowellenresonator
besitzt einen Gütefaktor von QL = 530.
In ersten Messungen wurde zunächst während des Flugs der Atome durch den
Resonator ein kurzer Mikrowellenpuls variabler Dauer erzeugt. Dabei wurden
auf dem Hyperfeinstrukturübergang des Rubidiumgrundzustandes Rabioszillationen mit einer Frequenz von 3, 1 kHz beobachtet. Danach wurde mit zwei
zeitlich getrennten Mikrowellenpulsen ein Ramsey-Spektroskopieexperiment
durchgeführt, bei dem nach 600 s Meßzeit die Frequenz des Überganges mit
= 1, 3 · 10−10 bestimmt werden konnte.
einer Genauigkeit von δν
ν
Schließlich wurde noch ein Experiment durchgeführt, bei dem die Bewegung
der Atome mit einem optischen Stehwellenfeld manipuliert wurde, das zwischen den beiden Mikrowellenpulsen eingestrahlt wird. Dabei wurde die Beugung der atomaren de Broglie-Welle an einem messungsinduzierten Gitter untersucht. Dieses Gitter entsteht, wenn beim Nachweis des Beugungsmusters
nur Atome in einem der beiden Grundzustandsniveaus beobachtet werden.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Theoretische Grundlagen
4
2.1
Das Zwei-Niveau-Atom in einem äußeren elektromagnetischen
Wechselfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.1
Rabioszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.2
Ramsey-Resonanzspektroskopie . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Magnetischer Dipolübergang im Rubidium Grundzustand . . .
11
2.3
Das elektromagnetische Feld in einem Hohlraumresonator . . .
13
3 Experimentelle Realisation
21
3.1
Apparatur für Experimente mit frei fallenden Rubidiumatomen 21
3.2
Aufbau einer Wechselwirkungszone für die Ramsey-Spektroskopie 23
3.2.1
Der Mikrowellenresonator . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.2.2
Mechanischer Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2.3
Impedanzanpassung und Gütefaktoren bei einem Mikrowellenresonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Mikrowellenkomponenten für die Durchführung einer
Ramsey-Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.2.4
i
3.3
Optisches Pumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Messungen
40
43
4.1
Rabioszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.2
Ramsey-Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5 Beobachtung messungsinduzierter Beugungsphänomene
48
5.1
Verschränkung zwischen Ort und internem Zustand eines Atoms 48
5.2
Experimentelle Anforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
5.3
Resultate und Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .
52
A Besetzungswahrscheinlichkeiten beim optischen Pumpen
ii
56
Kapitel 1
Einleitung
Seit der Verfügbarkeit von Lasern als Lichtquellen hoher spektraler Reinheit
und Leistungsdichte sind Lichtkräfte auf Atome basierend auf dem Rückstossimpuls bei der Absorbtion und Emission von Photonen zu einem vielseitig
einsetzbaren Werkzeug zur Manipulation von Atomen geworden.
So ist es zum Beispiel möglich, mit Hilfe von gegenüber der atomaren Übergangsfrequenz verstimmten Lichtfeldern, unter Ausnutzung des Dopplereﬀektes, die Bewegung einzelner Atome in Abhängigkeit von ihrer Geschwindigkeit
zu verlangsamen. Dabei kann eine Verringerung der Breite der Geschwindigkeitsverteilung eines Ensembles von Atomen und somit eine Erniedrigung der
Temperatur des Ensembles erzielt werden. Diese sogenannte Laserkühlung
von Atomen wurde experimentell an einem Atomstrahl mit neutralen Atomen
zuerst von [And81] nachgewiesen. Bei der Realisation der ersten magnetooptischen Falle [Raa87] für Atome gelang es durch geschickte Ausnutzung des
Zeemaneﬀektes in einem inhomogenen Magnetfeld in Verbindung mit geeignet polarisiertem Laserlicht Atome innerhalb eines bestimmten Raumbereiches festzuhalten. In auf die magnetooptische Falle aufbauenden Experimenten werden heute durch immer weiter verfeinerte Methoden des Laserkühlens
Temperaturen erreicht, bei denen der mittlere Impuls der Atome in die Nähe
des aus einem Photonenrückstoß resultierenden Impulses gelangt.
Die magnetooptische Falle in Verbindung mit den Methoden der Laserkühlung stellt eine Quelle für langsame Atome dar, die in vielen Experimenten
die Verwendung eines Atomstrahls ersetzen kann. Zum Beispiel können Atome aus einer magnetooptischen Falle gleich einer Fontäne senkrecht nach
oben beschleunigt werden. Die Atome stehen dabei während des Aufstiegs
und des Herabfallens innerhalb einer relativ langen Zeit für Experimente
zur Verfügung. Dies wird bei modernen, hochpräzisen Frequenzstandards
1
[Kas89],[Cla91] ausgenutzt, bei denen mit Hilfe der Ramseymethode Mikrowellenspektroskopie an atomaren Hyperfeinstrukturübergängen durchgeführt
wird. Bei der von Ramsey eingeführten Methode der getrennt oszillierenden Felder [Ram50] treten die Atome in zwei zeitlich voneinander getrennten
Bereichen in Wechselwirkung mit zwei elektromagnetischen Hochfrequenzfeldern, zwischen denen eine konstante Phasenbeziehung besteht. Dabei ist die
Genauigkeit der Frequenzbestimmung über das Fourierlimit durch den zeitlichen Abstand der beiden Wechselwirkungen gegeben.
An Atomen, die aus einer magnetooptischen Falle heraus fallengelassen werden, lassen sich im Rahmen atomoptischer Experimente Phänomene studieren, die die Wellennatur von Materie widerspiegeln. So lassen sich z. B. Beugungserscheinungen einer Materiewelle an einer stehenden Lichtwelle beobachten [Dü95].
In der Arbeitsgruppe von Prof. Rempe wurde ein Experiment durchgeführt,
bei dem eine verzögerte Positonsmessung eines Atoms in einer optischen Stehwelle mit einer Auﬂösung geringer als ein zwanzigstel der Wellenlänge stattﬁndet. Dabei passiert eine Zwei-Niveau-Atom ein nah resonantes, stehendes
Lichtfeld, wobei in den Bäuchen und Knoten die dynamische Starkverschiebung der zwei Energieniveaus in Abhängigkeit von der Position auftritt. Dies
führt zu einer positionsabhängigen Phasenmodulation und so zu einer Beugung der atomaren de Broglie-Welle. Mit Hilfe der Ramsey-Spektroskopiemethode, mit der die positionsabhängige Phasenmodulation zwischen den beiden Pulsen ausgelesen werden kann, läßt sich Information über die Position
des Atoms innerhalb des stehenden Lichtfeldes gewinnen. Zunächst wird das
Zwei-Niveau-Atom mit einem π2 -Puls in eine kohärente Überlagerung der zwei
Zustände gebracht. Die Wechselwirkung mit dem stehenden Lichtfeld führt
zu einer Phasenverschiebung der Wahrscheinlichkeitsamplituden der beiden
Zustände, über die nach einem zweiten π2 -Puls und einem darauﬀolgenden
zustandsselektiven Nachweis die Position des Atoms gemessen werden kann.
Findet keine Messung der Position des Atoms statt, indem auf die Messung
des internen Zustandes verzichtet wird, so bleibt das Beugungsmuster unverändert. Wird hingegen das Atom nur in einem der beiden Zustände nachgewiesen, so wird das Atom periodisch innerhalb des stehenden Lichtfeldes
lokalisiert, was ein verändertes Beugungsmuster zur Folge hat. Dabei ist zu
beachten, daß die Entscheidung, ob die Position des Atoms gemessen werden
soll, auch nach der Wechselwirkung getroﬀen werden kann.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit dem Aufbau und der Durchführung der
Ramsey-Spektroskopie. Zuerst wird in Kapitel 2 die Theorie zu dieser Spektroskopiemethode und zu den in einem quaderförmigen Mikrowellenresonator
möglichen Moden des elektromagnetischen Feldes dargestellt. Danach wird
2
in Kapitel 3 auf die experimentelle Realisierung der Hochfrequenzfelder mit
Hilfe eines Mikrowellenresonators eingegangen, wobei die Anforderungen für
das Experiment mit der optischen Stehwelle berücksichtigt werden. Im darauﬀolgenden Kapitel 4 werden die Ergebnisse der Messungen zur RamseySpektroskopie dargestellt und diskutiert. Im abschließenden Kapitel 5 wird
das Experiment zur Positionsmessung einzelner Atome in einer optischen
Stehwelle in den Grundzügen beschrieben und es werden Ergebnisse präsentiert.
3
Kapitel 2
Theoretische Grundlagen
2.1
Das Zwei-Niveau-Atom in einem äußeren
elektromagnetischen Wechselfeld
Im folgenden soll die Wechselwirkung eines Zwei-Niveau-Atoms mit einem
äußeren, klassischen, elektromagnetischen Wechselfeld beschrieben werden.
Dabei wird das zeitliche Verhalten der Besetzungswahrscheinlichkeiten für die
beiden atomaren Zustände betrachtet. Die zeitliche Entwicklung des Systems
wird mittels des Blochvektormodells veranschaulicht.
2.1.1
Rabioszillationen
Im folgenden soll ein Zwei-Niveau-System bestehend aus angeregtem Zustand |a und Grundzustand |g betrachtet werden, deren Energieeigenwerte
Ea und Eg sich um Ea − Eg = h̄ω0 unterscheiden. ω0 wird als ÜbergangsWinkelfrequenz bezeichnet. Der Hamiltonoperator dieses (ungestörten) Systems lautet damit in der Basis {|a, |g}:
H0
h̄
=
ω0
2
1 0
0 −1
(2.1)
Die Kopplung an das elektromagnetische Wechselfeld wird durch einen zeitabhängigen Operator repräsentiert, der durch eine harmonische Oszillation mit der
Kreisfrequenz ω und der ‘Amplitude’ V0 beschrieben wird:
HS = V0 cos ωt
4
(2.2)
Die Verstimmung ∆ = ω0 − ω soll dabei klein gegenüber der Übergangsfrequenz sein (∆ ω0 ). Hier soll lediglich der Fall betrachtet werden, daß die
Diagonalelemente a|HS |a bzw. g|HS |g des Störoperators HS verschwinden. Durch die Festlegung einer geeigneten Phase von |g und |a können die
Außerdiagonalelemente g|HS |a bzw. a|HS |g des Störoperators HS reell
gewählt werden. Als Maß für die Amplitude der Störung wird die sogenannte
Rabifrequenz ωR deﬁniert
a|V0 |g
,
(2.3)
h̄
deren Bedeutung im folgenden deutlich wird. Für den Störoperator ergibt sich
nun die Form:
ωR =
HS = cos(ωt)
0 h̄ωR
h̄ωR
0
(2.4)
Der Gesamthamiltonoperator H des gestörten Systems
H = H0 + HS
(2.5)
ist aufgrund der Zeitabhängigkeit des Störpotentials explizit zeitabhängig.
Diese Zeitabhängigkeit läßt sich durch eine unitäre Transformation mit der
Transformationsmatrix
U (t) = e
i ω
H t
h̄ ω0 0
=
ω
ei 2 t
0
−i ω
0 e 2t
(2.6)
partiell abseparieren 1 . Daraus ergibt sich der Hamiltonoperator:
HW W
ω
= U H − H0 U −1
ω0
h̄
=
∆
2
1 0
0 −1
(2.7)
h̄
+ ωR
2
0
1 + ei 2ωt
−i 2ωt
1+e
0
(2.8)
Die Terme in HW W mit e±i2ωt bedeuten eine verbleibende Zeitabhängigkeit,
mit hoher Frequenz. Bei der Betrachtung des Systems auf Zeitskalen, die
langsam im Vergleich zu ω sind, können diese Terme vernachlässigt werden.
Diese Näherung wird als ‘Rotating Wave Approximation (RWA)’ bezeichnet [All75]. (Die vollständige Theorie führt zu einer geringen Verschiebung
der Übergangsfrequenz ω0 , der sogenannten ‘Bloch-Siegert-Shift’.) Man erhält
schließlich den zeitunabhängigen Hamiltonoperator:
HW W
h̄
=
2
1
∆ ωR
ωR −∆
(2.9)
Da die Einführung der Transformation U (t) dem Übergang in ein Wechselwirkungsbild
entspricht, wird zur Indizierung von Zuständen und Operatoren, die aus der Transformation
hervorgegangen sind, der Index W W benutzt.
5
Für die durch die unitäre Transformation erzeugte Wellenfunktion
|ΨW W (t) = U (t)|Ψ(t)
(2.10)
gilt somit die zeitabhängige Schrödingergleichung:
ih̄
d
|ΨW W (t) = HW W |ΨW W (t)
dt
(2.11)
Diese kann nun, um zu einer Anschauung für die Zeitentwicklung des ZweiNiveau-Atoms zu gelangen, in eine Bewegungsgleichung für einen Vektor im
R3 überführt werden. Zunächst läßt sich |ΨW W (t) mit Hilfe der unitären
Transformation in der Basis {|a, |g} darstellen:
|ΨW W (t) = g(t)U (t)|g + a(t)U (t)|a
(2.12)
Mit den komplexen Koeﬃzienten g(t) und a(t) wird der sogenannte Blochvektor m
deﬁniert, dessen Komponenten reel sind:




2Re (g(t)a(t))
g(t)a(t)∗ + g(t)∗ a(t)



m(t)
=  −2Im (g(t)a(t))  =  i (g(t)a(t)∗ − g(t)∗ a(t)) 
 (2.13)
2
2
∗
∗
g(t)g(t) − a(t)a(t)
|g(t)| − |a(t)|
Da |ΨW W (t) normiert ist, ergibt sich auch für den Blochvektor eine konstante
Länge:
2
= (g(t)g(t)∗ + a(t)a(t)∗ )2 = 1
|m(t)|
(2.14)
Die Terme g(t)g(t)∗ und a(t)a(t)∗ geben die Wahrscheinlichkeit an, das System im Grund- bzw. angeregten Zustand zu ﬁnden. Befand sich das System
zur Zeit t = 0 im Grundzustand, also g(0)g(0)∗ = 1, so gilt für die Wahrscheinlichkeit P (t), daß zur Zeit t ein Übergang in den angeregten Zustand
stattgefunden hat, mit der Komponente m3 des Blochvektors:
P (t) = a(t)a(t)∗ =
1
(1 − m3 (t))
2
(2.15)
Die Interpretation der Komponenten m1 und m2 des Blochvektors hängt von
der Art der Wechselwirkung ab. Zum Beispiel sind m1 und m2 bei einem magnetischen Dipolübergang direkt proportional zu dem Anteil des induzierten
magnetischen Moments, das sich mit dem magnetischen Wechselfeld in Phase
beﬁndet, bzw. um π2 phasenverschoben ist [All75].
Durch Multiplikation der Schrödingergleichung (2.11) von links mit g|U ∗ (t)
ergibt sich mit (2.9) und (2.12) aufgrund der Unitarität von U (t) und der
Orthonormalität der Basis {|a, |g}:
1
d
g(t) =
(∆ g(t) + ωR a(t))
dt
2i
6
(2.16)
Analog erhält man durch Multiplikation mit a|U ∗ (t):
d
1
(2.17)
a(t) =
(ωR g(t) − ∆ a(t))
dt
2i
Mit (2.16),(2.17) und den zugehörigen komplex-konjugierten Gleichungen ergeben sich die die zeitliche Entwicklung des Blochvektors beschreibenden
Blochgleichungen [All75]
d
× m(t)
m(t)
= Ω
(2.18)
dt
wie folgt deﬁniert ist:
in denen der Rabivektor Ω


ωR

= 
Ω
 0  .
∆
(2.19)
Durch (2.18) wird eine Präzessionsbewegung des Blochvektors um die Rich mit der eﬀektiven Rabifrequenz
tung des Rabivektors Ω
Ω =
ωR2 + ∆2
(2.20)
beschrieben. Für verschwindende Verstimmung ist die Präzessionsfrequenz gerade die Rabifrequenz ωR . In Abb.2.1 ist die Präzessionsbewegung des Blochvektors für den Fall gezeigt, daß das System sich vor Beginn der Wechselwirkung im Grundzustand beﬁndet, d.h. m(t
= 0) = (0, 0, 1). Für den Fall a)
∆ = 0 ist das System nach einer Wechselwirkungszeit τ = ωπR in den angeregten Zustand übergegangen (m(τ
) = (0, 0, −1)). Ein Wechselwirkungspuls
dieser Dauer heißt π-Puls, da sich der Blochvektor nach der Zeit τ um π aus
seiner Ausgangslage gedreht hat. Im Fall b) ∆ > 0 wird eine Übergangswahrscheinlickeit P (τ ) = 1 nicht erreicht.
Die Blochgleichungen stellen ein System gekoppelter linearer Diﬀerentialgleichungen 1.Ordnung dar, welches durch die Methode der Laplacetransformation [Tra74] gelöst werden kann. Die Lösung kann in Form einer Matrix,
die die zeitliche Entwicklung des Blochvektors beschreibt, angegeben werden
[Van89a]:
,
m(τ
) = R (ωR , ∆, τ ) m(0)
(2.21)
wobei:
R (ωR , ∆, τ ) =

cos(Ωτ ) +










∆
Ω
2
ωR
Ω2
(1 − cos(Ωτ ))
sin(Ωτ )
− ωΩR2∆ (1 − cos(Ωτ ))
−∆
sin(Ωτ )
Ω
cos(Ωτ )
− ωΩR sin(Ωτ ) 1 −
7

− ωΩR2∆ (1 − cos(Ωτ )) 

ωR
Ω
2
ωR
Ω2
sin(Ωτ )
(1 − cos(Ωτ ))



 (2.22)
.




Abbildung 2.1: Zeitentwicklung des Zwei-Niveau-Systems für verschiedene
Verstimmungen ∆: Oben: Präzession des Blochvektors m
um den Rabivek
tor Ω für a) verschwindende Verstimmung ∆ und b) nicht verschwindende
Verstimmungen ∆ = ωR (ωR Rabifrequenz). Unten: Oszillationen der Übergangswahrscheinlichkeit P (τ ) für ∆ = 0 und ∆ = ωR .
Für die Übergangswahrscheinlichkeit P (t = τ ) ergibt sich mit (2.15) und
(2.22):
1
ωR2
sin2
Ωτ
P (τ ) =
2
Ω
2
(2.23)
Abb.2.1c) zeigt für verschiedene Verstimmungen ∆ das oszillatorische Verhalten der Übergangswahrscheinlichkeit, die sogenannten Rabioszillationen, das
durch (2.23) beschrieben wird. Die Periode der Rabioszillationen ist durch
die eﬀektive Rabifrequenz Ω (2.20) bestimmt, die mit größer werdender Verstimmung zu einer schnelleren Rabioszillation führt.
8
2.1.2
Ramsey-Resonanzspektroskopie
Aufbauend auf die Ergebnisse des vorherigen Abschnitts wird nun die Methode der Ramsey-Resonanzspektroskopie beschrieben. Dort tritt ein ZweiNiveau-Atom in zwei zeitlich voneinander getrennten Zonen in Wechselwirkung mit einem äußeren Wechselfeld. Die beiden Wechselwirkungspulse besitzen dieselbe Dauer τ und sind durch die Separationszeit T voneinander
getrennt. Die Wechselfelder in beiden Zonen stehen dabei in einer konstanten
Phasenbeziehung zueinander, wobei hier eine verschwindende relative Phasenverschiebung angenommen wird. Im Blochvektormodell wird die durch
die beiden Wechselwirkungspulse hervorgerufene Bewegung des Blochvektors
durch die Matrix (2.22) bestimmt. Die Bewegung des Blochvektors bei Abwesenheit jeder Wechselwirkung ist durch den Spezialfall der Matrix gegeben,
bei dem mit ωR = 0 die durch die Rabifrequenz (2.3) repräsentierte Ampli-
Abbildung 2.2: Anregung ∆ = 0 bei der Ramsey-Spektroskopie im Blochvektormodell: Durch die beiden π2 -Pulse a),c) erfährt der Blochvektor dieselbe Drehung, wie bei einem π-Puls, da der Blochvektor im resonanten Fall
während der Seperationszeit T seine Position beibehält, b). Im Fall kleiner
Verstimmungen ∆ ωR dreht sich der Blochvektor in der Zeit zwischen
den Pulsen e) um den Winkel Φ = ∆ · T . Für Φ = π wird der Blochvektor
in f) in seine Ausgangslage zurückgedreht.
9
Abbildung 2.3: Ramsey-Spektroskopie: Übergangswahrscheinlichkeit P
nach (2.26) in Abhängigkeit der Verstimmung ∆ für τ = 2ωπR und T = 4τ .
tude des Störpotentials verschwindet.


cos(∆ · T ) − sin(∆ · T ) 0


R(ωR = 0, ∆, T ) =  sin(∆ · T ) cos(∆ · T ) 0 
0
0
1
(2.24)
Es ergibt sich eine Rotation des Blochvektors um die dritte Koordinatenachse, deren Winkelfrequenz durch die Verstimmung ∆ gegeben ist. Dieses rührt
daher, daß durch die Anwendung der unitären Transformation in (2.12) der
Blochvektor in einem mit der Kreisfrequenz ω rotierenden Bezugssystem deﬁniert ist.
In Abb.2.2 a)-c) ist das zeitliche Verhalten des Blochvektors für den Spezialfall verschwindender Verstimmung gezeigt. Zur Zeit t = 0 beﬁndet sich das
Zwei-Niveau-Atom im Grundzustand. Nach dem ersten resonanten Wechselwirkungspuls der Dauer τ = 2ωπR , einem sogenannten π2 -Puls, hat sich der
Blochvektor um π2 in die 1-2-Ebene gedreht. Während der Separationszeit T
behält der Blochvektor im resonanten Fall seine Lage bei. Nach dem zweiten π2 -Puls hat sich der Blochvektor π2 weitergedreht, was bedeutet, daß das
Zwei-Niveau-Atom in den angeregten Zustand übergegangen ist.
In Abb.2.2 d)-f) ist der Fall kleiner Verstimmungen gezeigt. Aufgrund der
Verstimmung dreht sich der Blochvektor in der Zeit zwischen den Pulsen um
einen Winkel Φ = ∆ · T . Im Falle Φ = π wird der Blochvektor durch den
zweiten Puls in seine ursprüngliche Lage zurückgedreht, was bedeutet, daß
kein Übergang stattgefunden hat. Allgemein wird der Blochvektor nach den
beiden Wechselwirkungspulsen durch
start
m
f inal = R(ωR , ∆, τ )R(0, ∆, T )R(ωR , ∆, τ )m
10
(2.25)
beschrieben, wobei wieder τ die Dauer eines Wechselwirkungspulses und T die
Zeit zwischen den beiden Pulsen ist. Beﬁndet sich das Zwei-Niveau-Atom zur
Zeit t = 0 im Grundzustand (m(t
= 0) = (0, 0, 1)), so erhält man analog zu
(2.15) mit (2.22) die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang in den angeregten
Zustand:
P =
2
4ωr2
2 1
1
1
1
1
∆
2 sin ( 2 Ωτ ) cos( 2 Ωτ ) cos( 2 ∆ · T ) − Ω sin( 2 Ωτ ) sin( 2 ∆ · T )
Ω
(2.26)
In Abb.2.3 ist die Übergangswahrscheinlichkeit (2.26) in Abhängigkeit von
der Verstimmung ∆ für den Fall τ = 2ωπR , d.h. vollständiger Anregung bei
∆ = 0, gegeben. Die Separationszeit beträgt dabei T = 4τ . Unter einer langsam variierenden Einhüllenden erkennt man eine schnelle Oszillation, bei der
benachbarte Minima in einen Abstand von T1 auftreten. Mit immer größeren Separationszeiten T kann so die Übergangsfrequenz ω0 immer genauer
bestimmt werden.
2.2
Magnetischer Dipolübergang im Rubidium Grundzustand
Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurde eine Ramsey-Spektroskopie an der Hyperfeinstruktur des Grundzustandes 52 S 1 von 85 Rb durchgeführt. Ein Schema
2
der Energieniveaus ist in Abb. 2.4 für den Fall gezeigt, bei dem die Entartung der Energieniveaus der verschiedenen magnetischen Unterzustände aufgrund des Zeemaneﬀektes in einem statischen magnetischen Feld aufgehoben ist. Zur Spektroskopie wurde der Hyperfeinübergang des Grundzustandes
52 S 1 , F = 2, mF = 0 → F = 3, mF = 0 benutzt, wobei die Übergangsfre2
quenz in erster Ordnung unabhängig von einem statischen magnetischen Feld
ist. Da die Wellenlänge der verwendeten Strahlung groß gegenüber den typischen atomaren Skalen (Bohrsche Radien der beteiligten Zustände) ist, kann
die Wechselwirkung des Strahlungsfeldes mit dem Atom in Dipolnäherung
durch den Hamiltonoperator
r0 , t) − µ · B(
r0 , t)
HS = −d · E(
(2.27)
beschrieben werden [Sob92]. Der erste Term in (2.27) führt auf sogenannte
elektrischen Dipolübergänge, bei denen eine Kopplung zwischen dem äußeren
r0 , t) am Ort r0 des Atoms und dem atomaren elektrielektrischen Feld E(
schen Dipolmoment d vorliegt. Der zweite Term beschreibt die Wechselwir r0 , t) mit dem atomaren magnetikung des äußeren magnetischen Feldes B(
schen Dipolmoment µ. Da die beiden Zustände gleichen Bahndrehimpuls und
11
Abbildung 2.4: Hyperfeinstruktur des Grundzustandes 52 S 1 von 85 Rb. Der
2
Übergang F = 3, mF = 0 → F = 2, mF = 0 ist in erster Ordnung unabhängig von einem statischen magnetischen Feld.
damit dieselbe Parität besitzen, verschwindet das Übergangsmatrixelement
2 S 1 F = 2, mF = 0. Da das Übergangsma52 S 1 F = 3, mF = 0| − d · E|5
2
2
2 S 1 F = 2, mF = 0 von Null
trixelement 52 S 1 F = 3, mF = 0| − µ · B|5
2
2
verschieden ist, wie im folgenden gezeigt wird, spricht man von einem ‘magnetischen Dipolübergang’. µ
setzt sich aus dem magnetischen Moment des
I
Atomkerns µK = µB gI h̄ mit dem Operator des Kernspins I und dem magne
tischen Moment der Hülle µ
J = −µB gJ Jh̄ mit dem Gesamtdrehimpulsoperator
der Hülle J zusammen2 , wobei µB das Bohrsche Magneton ist. Die g-Faktoren
sind neben anderen atomaren Eigenschaften von 85 Rb in Tab.2.1 angegeben.
Tabelle 2.1: Eigenschaften von
Eigenschaft
Hyperfeinstrukturaufspaltung
des Grundzustandes:
g-Faktor der Hülle:
g-Faktor des Kerns:
Kernspin
85
Rb
Wert
ν = 3, 035732440 GHz
gJ = 2, 0023
gI = 0, 293 × 10−3
I = 52
Referenz
[Tet76]
[Bal75]
[Bal75]
[Bal75]
Legt man ein magnetisches Wechselfeld
B(t)
= (0, 0, B0 cos(ωt)) ,
2
(2.28)
Die beiden Zustände, zwischen denen der Übergang stattﬁndet, unterscheiden sich nur
durch die Stellung der beiden magnetischen Dipolmomente µK und µJ zueinander, die
entweder parallel oder antiparallel orientiert sind.
12
parallel zur Quantisierungsachse (z-Achse) an, so ergibt sich:
HS =
gJ µ B
gI µ B
Jz B0 cos(ωt) −
Iz B0 cos(ωt)
h̄
h̄
(2.29)
Die beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes sind in einer Basis
mit den Quantenzahlen {F, mF } gegeben. Da für den Rubidium Grundzustand der Bahndrehimpuls der Hülle veschwindet, lassen sich die Elemente
der Matrix des Störhamiltonians (2.29) in einer Basis mit den Quantenzahlen
{J, mJ , I, mI } berechnen. Für den Kernspin I = 52 von 85 Rb ergeben sich die
beiden Hyperfeinzustände durch [Van89b]:
1 1
1
√ mI = + , mJ = −
|F = 3, mF = 0 =
2
2
2
1 1
1
√
+
m I = − , m J = +
2
2
2
1 1
1
√ m I = + , m J = −
|F = 2, mF = 0 =
2
2
2
1 1
1
− √ m I = − , m J = +
2
2
2
(2.30)
(2.31)
Während die Diagonalelemente der Matrix von HS verschwinden, ergibt sich
für das Übergangsmatrixelement:
F = 3, mF = 0|HS |F = 2, mF = 0 =
1
(gJ − gI ) µB B0 cos(ωt) (2.32)
2
Unter Berücksichtigung der g-Faktoren von 85 Rb erhält man näherungsweise
für den magnetischen Dipolübergang den Hamiltonoperator der Form (2.4):
HS ≈ µB B0 cos(ωt)
0 1
1 0
(2.33)
Die Rabifrequenz ωR ist in diesem Fall gegeben durch:
ωR =
2.3
µB B0
h̄
(2.34)
Das elektromagnetische Feld in einem
Hohlraumresonator
Für das im Rahmen dieser Diplomarbeit durchgeführte Ramsey-Spektroskopieexperiment wurde ein Mikrowellenresonator aufgebaut, um ein elektromagnetisches Hochfrequenzfeld deﬁnierter Polarisation zu erzeugen. Ferner
13
bietet ein Resonator durch die Feldüberhöhung, die das elektrische und magnetische Feld erfahren, den Vorteil auch mit geringen Leistungen eines Funktionsgenerators bei der Anregung des in Abschnitt 2.2 beschriebenen magnetischen Dipolüberganges eine ausreichend hohe Rabifrequenz zu erzielen
(vergleiche Kapitel 3.2.3). Gegenstand dieses Abschnitts ist es, die elektromagnetische Feldverteilung innerhalb eines quaderförmigen Hohlraumresonators
als Lösung der Maxwellschen Gleichungen abzuleiten. Der Hohlraumresonator bestehe aus einem Stück eines rechteckigen Hohlleiters mit Wänden, die
den elektrischen Strom ideal leiten. Die Kopfenden des Hohlleiters seien mit
ebensolchen Wänden abgeschlossen.
Zunächst soll die Feldverteilung einer Welle betrachtet werden, die in einem
Hohlleiter wie in Abb.2.5 entlang der z-Richtung propagiert. Das magnetische
Abbildung 2.5: Rechteckhohlleiter mit dem Querschnitt a×b und der Länge
c in einem kartesischen Koordinatensystem.
und das elektrische Feld sind abhängig von den Ortskoordinaten r = (x, y, z)
und der Zeit t. Für das zeitliche Verhalten der Feldstärkevektoren wird ein
komplexer Lösungsansatz gewählt, der eine harmonische Schwingung mit der
Kreisfrequenz ω beschreibt:
E(x,
y, z, t) = Re E(x,
y, z)eiωt
H(x,
y, z, t) = Re H(x,
y, z)eiωt
(2.35)
(2.36)
Die komplexen Feldstärkevektoren E(x,
y, z) und H(x,
y, z) beschreiben die
Amplitude und Phase der beiden Felder, wobei im folgenden bei der Notation die Abhängigkeit von den kartesischen Koordinaten weggelassen wird. Ein
Medium im Inneren des Hohlleiters kann durch die skalare relative Permeabilität µr und die relative Dielektrizitätskonstante *r berücksichtigt werden, d.h.
es treten keine freien Ladungen und Ströme im Inneren des Hohlleiters auf. In
diesem Fall erhält man mit den Maxwellschen Gleichungen unter Beachtung
14
von (2.35) und (2.36)
·E
=0
∇
×E
= −iµω H
∇
·H
=0
∇
×H
= i*ω E
∇
(2.37)
(2.38)
mit µ = µ0 µr und * = *0 *r . Aus (2.37) und (2.38) ergeben sich sechs Wellen und H:
gleichungen für die Komponenten von E
= 0
+ ω 2 µ*E
E
= 0
+ ω 2 µ*H
H
(2.39)
(2.40)
Da die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes an der Grenzﬂäche zu
den Wänden stetig ist und das elektrische Feld im Inneren des idealen Leiters
verschwindet, ergibt sich als Randbedingung das Verschwinden der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes.
Zunächst wird die Wellengleichung für die z-Komponente des elektrischen
Feldes betrachtet. Es wird angenommen, daß Ez durch ein Produkt komplexer
Funktionen Ez (x, y, z) = fx (x) · fy (y) · fz (z) der kartesischen Koordinaten
darstellbar ist. Dieser Separationsansatz führt mit (2.39) auf drei Gleichungen
mit den Separationskonstanten kx , ky und kz .
∂ 2 Ez
= −kr2j Ez
∂rj 2
(rj = x, y, z)
(2.41)
Zwischen den Separationskonstanten gilt die Beziehung
kx2 + ky2 + kz2 = k 2 ,
(2.42)
√
wobei k = ω µ* dem Betrag des Wellenvektors einer ebenen, frei propagieentspricht. Mit
renden Welle der Kreisfrequenz ω und der Wellenlänge λ = 2π
k
den Randbedingungen Ez (0, y, z) = Ez (a, y, z) = Ez (x, 0, z) = Ez (x, b, z) = 0
führen die Gleichungen (2.41) und der Ansatz (2.35) auf die Form einer in
z-Richtung propagierenden Welle Ez mit der komplexen Amplitude E0 :
Ez (x, y, z, t) = Re E0 sin(kx x) sin(ky y)ei(ωt−kz z)
(2.43)
Dabei können kx und ky nur diskrete Werte annehmen:
kx =
mπ
a
ky =
nπ
b
m, n ∈ N
(2.44)
Später wird gezeigt, daß der Fall kx = ky = 0 ausgeschlossen werden muß. Bei
gegebener Kreisfrequenz ω ergibt sich die Wellenlänge im Hohlleiter λz = 2π
kz
aus (2.42) und (2.44) zu:
λz = 2π
k 2 − kx2 + ky2
15
(2.45)
Für den Fall k 2 − (kx2 + ky2 ) < 0 ist kz imaginär, was in (2.43) nicht zu einer Propagation, sondern zu einem exponentiellen Abklingen des elektrischen
Feldes führt. Bei gegebenen kx und ky existiert also eine Grenzfrequenz, unterhalb der keine Wellenausbreitung stattﬁndet. (Der Hohleiter stellt daher
einen Hochpaß für elektromagnetische Wellen dar.)
Von Ez kann nun auf die anderen Komponenten des elektrischen und magne∂
→ −ikz
tischen Feldes geschlossen werden. Durch Ersetzen des Operators ∂z
lassen sich aus (2.38) folgende Beziehungen herleiten [Ful79] 3 :
Ex =
Ey =
Hx =
Hy =
i
2
k − kz2
i
2
k − kz2
i
2
k − kz2
i
2
k − kz2
∂Ez
kz
∂x
∂Ez
kz
∂y
∂Hz
kz
∂x
∂Hz
kz
∂y
∂Hz
+ ωµ
∂y
∂Hz
− ωµ
∂x
∂Ez
− ω*
∂y
∂Ez
+ ω*
∂x
(2.46)
(2.47)
(2.48)
(2.49)
Aus Ez und Hz lassen sich also die übrigen Feldkomponenten ableiten. Im folgenden werden nur sogenannte ‘Transversal Elektrische Wellen (TE)’ [Ful79]
stets senkrecht zur
betrachtet, bei denen der elektrische Feldstärkevektor E
Ausbreitungsrichtung (z-Richtung) steht, d.h. Ez = 0 ist.
Hz erhält man aus der Separation der Wellengleichung (2.40) für die zKomponente des magnetischen Feldstärkevektors, ganz analog zum Separationsansatz für Ez . Eine Randbedingung für das magnetische Feld ist mit
Ez ≡ 0 und den Randbedingungen Ey (0, y, z) = Ey (a, y, z) = 0 in (2.47)
ablesbar:
∂Hz
∂Hz
(0, y, z) =
(a, y, z) = 0
∂x
∂x
(2.50)
Auf die gleiche Weise ergibt sich mit Ex (x, 0, z) = Ex (x, b, z) = 0 und (2.46)
die Randbedingung:
∂Hz
∂Hz
(x, 0, z) =
(x, b, z) = 0
∂y
∂y
(2.51)
Daraus ergibt sich mit der komplexen Amplitude H0 des magnetischen Feldes
Hz (x, y, z, t) = Re H0 cos(kx x) cos(ky y)ei(ωt−kz z)
3
(2.52)
Mit (2.43) folgt aus (2.38) eine Abhängigkeit ∼ ei(ωt−kz z) für alle Komponenten des
∂
auf beliebige Feldkomelektrischen und magnetischen Feldes, d.h. die Anwendung von ∂z
ponenten läßt sich durch Multiplikation mit −ikz ersetzen.
16
mit den kx , ky aus (2.44). Für den Fall kx = ky = 0 kann keine transversal
elektrische Welle existieren, da in diesem Fall die Feldkomponenten (2.46)(2.49) verschwinden.
Die Feldverteilung in einem Hohlraumresonator, der durch Abschluß des Hohlleiters durch zwei ideal leitende Wände entsteht, entspricht einer Überlagerung aller in positiver z-Richtung ∼ ei(ωt−kz z) und negativer z-Richtung
∼ ei(ωt+kz z) propagierenden Wellen, die an den Stirnwänden des Hohlraumresonators reﬂektiert werden. Für gewisse Frequenzen, d.h. für gewisse Wellenlängen im Hohlleiter, kommt es dabei zu einer konstruktiven Interferenz
der in positiver bzw. negativer z-Richtung propagierenden TE-Wellen, so daß
sich eine stehende Welle ergibt, die sogenannte TE-Mode des Hohlraumresonators. Die Feldverteilung der stehenden Welle kann nur dann Lösung der
Maxwellschen Gleichungen sein, wenn an den Stirnwänden bei z = 0 und
z = c Randbedingungen gelten, die denen an den Seitenwänden entsprechen.
An den Stirnwänden muß gelten:
Ex (x, y, 0)
Ey (x, y, 0)
∂Hx
(x, y, 0)
∂z
∂Hy
(x, y, 0)
∂z
= Ex (x, y, c) = 0
= Ey (x, y, c) = 0
∂Hx
=
(a, y, c) = 0
∂z
∂Hy
=
(a, y, c) = 0
∂z
(2.53)
(2.54)
(2.55)
(2.56)
An (2.53) und (2.54) ist abzulesen, daß die elektrische Feldstärke einer stehenden Welle an den Stirnwänden verschwindet, woraus sich für das elektrische
Feld ein Phasensprung von π bei der Reﬂexion an der Stirnwand ergibt. Aus
(2.55) und (2.56) ergibt sich ein Maximum der magnetischen Feldamplitude
an den Stirnwänden und kein Phasensprung bei der Reﬂexion. Daraus ergibt
sich für die Feldkomponenten einer stehenden Welle als Überlagerung zweier entgegengesetzt propagierenden Wellen mit gleicher Amplitude aus (2.43),
(2.46)-(2.49) und (2.52) 4 :
ky
H0 ωµ cos(kx x) sin(ky y) sin(kz z)
− k2
kx
= −2 2
H0 ωµ sin(kx x) cos(ky y) sin(kz z)
kz − k 2
= 0
Ex = 2
Ey
Ez
kz2
4
(2.57)
(2.58)
(2.59)
Die richtige Form der in negativer z-Richtung propagierenden Welle ergibt sich zum
einen durch die Beachtung des Phasensprunges für das elektrische Feld und zum anderen
durch einen Vorzeichenwechsel der Komponente Hz beim Übergang z → −z.
17
Abbildung 2.6: TE102 -Mode im Hohlraumresonator: durchgezogen: magnetische Feldlinien, gestrichelt: elektrische Feldlinien, gepunktet: Wandströme;
ikx kz
H0 sin(kx x) cos(ky y) cos(kz z)
kz2 − k 2
iky kz
= −2 2
H0 cos(kx x) sin(ky y) cos(kz z)
kz − k 2
= −2 iH0 cos(kx x) cos(ky y) sin(kz z)eiωt
Hx = −2
(2.60)
Hy
(2.61)
Hz
(2.62)
Wie sich an (2.57)-(2.62) ablesen läßt, sind die Randbedingungen (2.53)(2.56) nur für diskrete Werte von kz erfüllt:
kz =
lπ
c
l∈N
(2.63)
Bei gegebenen Abmessungen a,b und c des Hohlraumresonators ist nur für
diskrete Werte von kx ,ky und kz 5 , also nur für diskrete Werte der Frequenz,
den sogenannten Resonanzfrequenzen, ein Anschwingen einer stehenden Welle
möglich. Mit (2.42) ergeben sich die Resonanzfrequenzen:
νmnl
1 m
= √ 2 µ*
a
5
2
2
2
n
+
b
+
l
c
(2.64)
Entsprechend dem Argument nach (2.52) darf nur eine der drei Konstanten kx , ky und
kz verschwinden.
18
Abbildung 2.7: Oberﬂäche eines idealen Leiters: Es soll die zum magne t korrespondierende Oberﬂächenstromdichte KO berechnet
tischen Feld H
werden. Dafür wird der Grenzfall verschwindender Höhe h → 0 des Integrationsweges C betrachtet.
(2.57)-(2.62) zusammen mit (2.44) und (2.63) beschreiben die TEmnl -Moden
eines quaderförmigen Hohlraumresonators mit den Resonanzfrequenzen gemäß (2.64). In Abb.2.6 ist die Feldverteilung der TE102 -Mode gezeigt. Während
alle Felder translationsinvariant entlang der y-Achse sind, zeigen die Felder
bezüglich der x- bzw. z-Achse eine sinusförmige Abhängigkeit.
Bei der praktischen Konstruktion eines Hohlraumresonators (vergleiche Kapitel 3.2.2) ist eine Kenntnis der an den Wänden des Resonators ﬂießenden
Ströme (Wandströme) erforderlich. Bei ideal leitenden Wänden verschwindet
die Eindringtiefe für elektromagnetische Felder [Jac83]. Das Innere der Wände
des Hohlleiters ist deshalb feldfrei und somit auch frei von Strömen. Allerdings
treten Ströme an der Oberﬂäche der Hohlleiterwände auf. Abb.2.7 zeigt die
Verhältnisse an einer Hohlleiterwand, mit der Flächennormalen n̂. Aus den
Maxwellschen Gleichungen ergibt sich nach Anwendung des Stokesschen Satzes für den Integrationsweg C entlang der Richtung des zur Hohlleiterwand
t [Jac83]
tangentialen magnetischen Feldes H
C
l = iω
Hd
S
+
*Ed
S
,
jdS
(2.65)
S
wobei j die Stromdichte ist. Im Grenzfall verschwindender Höhe h → 0 des
durch
Integrationsweges C verschwindet der Beitrag des elektrischen Feldes E
die Fläche S. Mit der Oberﬂächenstromdichte KO (Strom pro Länge) an den
Hohlleiterwänden ergibt sich:
lim
h→0
l = Ht ∆l = lim
Hd
h→0
C
19
S
= K0 ∆l
jdS
(2.66)
In Vektorschreibweise ergibt sich:
0 = n̂ × H
t
K
(2.67)
In Abb.2.6 ist der Verlauf der Ströme an den Oberﬂäche des Hohlleiters senkrecht zur Richtung des magnetischen Feldes an der Hohlleiterwand gezeigt.
Bei einem Hohlraumresonator mit nicht ideal leitenden Wänden (zum Beispiel
aus Kupfer) treten auch im Inneren der Wände nahe der Oberﬂäche Ströme
auf [Jac83]. Dabei kommt es aufgrund des nicht verschwindenden Ohmschen
Widerstandes von Kupfer zu Verlusten in den Hohlleiterwänden, auf die in
Kapitel 3.2.3 eingegangen wird.
20
Kapitel 3
Experimentelle Realisation
3.1
Apparatur für Experimente mit frei fallenden Rubidiumatomen
Die in der Einleitung angesprochenen Experimente zur Positionsmessung von
Atomen in einer optischen Stehwelle werden an frei fallenden Rubidiumatomen durchgeführt. Die dazu verwendete Apparatur wird in [Kun96] detailiert
beschrieben. An dieser Stelle soll nur ein kurzer Überblick gegeben werden,
soweit er zum Verständnis der Experimente notwendig ist. Abb.3.1 zeigt eine
Prinzipskizze des experimentellen Aufbaus.
Die Rubidiumatome werden zunächst in einer magnetooptischen Falle gefangen. Nach Abschalten der Laserstrahlen werden sie freigelassen und bewegen
sich über eine Strecke von ca. 45 cm im freien Fall. Dabei passieren sie nach
ca. 20 cm mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s eine Wechselwirkungszone.
In dieser Zone können sie in Wechselwirkung mit einer optischen Stehwelle
oder mit einem (evtl. gepulsten) Mikrowellenfeld innerhalb eines Mikrowellenresonators treten. Der Mikrowellenresonator, der auch einen Spiegel für
die optische Stehwelle enthält, wird innerhalb der nächsten Abschnitte beschrieben. Nach weiteren 25 cm werden die Atome mittels Fluoreszenz nachgewiesen. Aus der gemessenen Ortverteilung der Atome kann die transversale
Impulsverteilung der Atome berechnet werden.
Die Vakuumkammer ist in zwei übereinanderliegende Teile unterteilt, die
durch ein Graphitröhrchen mit einem Innendurchmesser von 1, 5 mm verbunden sind. In der oberen Kammer beﬁndet sich als Quelle für fallende Rubidiumatome eine magnetooptische Dampfzellenfalle in σ + -σ − -Konﬁguration
21
Abbildung 3.1: Prinzip der Apparatur für Experimente mit frei fallenden
Rubidiumatomen: Die in einer magnetooptischen Falle gespeicherten Rubidiumatome werden durch Abschalten der Laserstrahlen freigelassen und
fallen durch eine Experimentierzone. Danach wird die Impulsverteilung der
Atome mit Hilfe eines ortsaufgelösten Fluoreszenznachweises gemessen.
[Raa87], realisiert mit drei retroreﬂektierten Laserstrahlen und zwei Magnetfeldspulen in Anti-Helmholtzkonﬁguration. Das Prinzip und der Aufbau der
magnetooptischen Falle sind ausführlich in [Elb94] beschrieben. Aus dem sich
in der Vakuumkammer beﬁndenden Rubidiumdampf mit einem Partialdruck
von ca. 3 · 10−8 mbar werden ca. 107 Atome in der Falle eingefangen. Nach σ + σ − -Melassenkühlen [Dal89] wird eine Melassentemperatur von unter 10µK
erreicht. Eine Dokumentation des Kühlprozesses und der Methode zur Messung der Temperatur ﬁndet sich in [Har95]. Da sich bei dem Melassenkühlen
Magnetfelder störend auswirken, ist es notwendig während des Kühlprozesses
die Magnetfelder der Falle abzuschalten. Weiterhin wird das Erdmagnetfeld
mit Hilfe von sechs zu einem Würfel der Kantenlänge 1 m zusammengesetzten
quadratischen Spulen kompensiert. Außerdem wurde die Vakuumapparatur
22
aus nichtferromagnetischen Materialien aufgebaut, um eine Ablenkung der
fallenden Atome aufgrund der Kopplung der permanenten magnetischen Momente der Atome an Magnetfeldgradienten zu vemeiden.
Im unteren Teil der Vakuumkammer, die mit den Vakuumpumpen verbunden
ist, beﬁndet sich die Wechselwirkungszone und der optische Fluoreszensnachweis. Durch die Unterteilung der beiden Vakuumkammern durch das Graphitröhrchen wurde erreicht, daß der Rubidiumpartialdruck in der unteren
Kammer etwa drei Größenordnungen kleiner ist, als der Partialdruck in der
oberen Kammer. So wird eine störende Fluoreszenz der Rubidiumatome des
Restgases beim Nachweis vermieden.
Die transversale Impulsverteilung am Ort der Stehwelle wird über die Ortsverteilung der Atome beim Nachweis gemessen. Dort passieren die Atome
einen resonanten, horizontal verlaufenden Laserstrahl, der senkrecht zur Richtung der optischen Stehwelle verläuft. Das dabei von den Atomen emittierte
Fluoreszenzlicht wird mit Hilfe eines Linsensystems auf einen Photomultiplier
abgebildet, von dem es detektiert wird. Durch ein Spiegelgalvanometer kann
die Position des Nachweisstrahls verändert und so die Position der Atome
beim Durchﬂug bestimmt werden. Um beim Nachweis geringe, zur Fallrichtung transversale Impulsüberträge auf die Atome in der Wechselwirkungszone
beobachten zu können, wird die anfänglich breite Impulsverteilung der Atome
aus der magnetooptischen Falle mit Hilfe eines Kollimationsschliztes unmittelbar oberhalb der Wechselwirkungszone eingeengt. Eine genaue Beschreibung
der Orts- bzw. Impulsauﬂösung des Nachweises in Zusammenhang mit den
Kollimationsschlitzen und der Nachweiseﬃzienz beﬁndet sich in [Dü95].
3.2
3.2.1
Aufbau einer Wechselwirkungszone für die
Ramsey-Spektroskopie
Der Mikrowellenresonator
In der in Abb. 3.1 eingezeichneten Experimentierzone sollen die Atome in
Wechselwirkung mit zwei zeitlich getrennten Hochfrequenzfeldern treten, zwischen denen sie in Wechselwirkung mit der optischen Stehwelle treten. Diese
Felder dienen jeweils dazu Übergänge zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von 85 Rb zu induzieren, d.h. sie besitzen eine Frequenz von etwa 3 GHz. Um eine deﬁnierte Polarisation, sowie eine möglichst
große Feldüberhöhung zu gewährleisten, sollen die Anregungszonen durch das
Feld eines Mikrowellenresonators realisiert werden. Eine Realisierung durch
23
Abbildung 3.2: Prinzipskizze des Mikrowellenresonators: Die Atome fallen
durch die Mitte des Mikrowellenresonators, wo das magnetische Feld der
TE102 -Mode maximal und nahezu homogen ist. Jeweils bevor und nachdem
die Atome das stehende Lichtfeld in geringem Abstand des zur Erzeugung
der Stehwelle dienenden Spiegels passieren, werden mit Hilfe einer Antenne
Mikrowellenpulse eingekoppelt.
räumlich getrennte Resonatoren für jede Zone scheidet aus Platzgründen in
der Vakuumkammer aus. Stattdessen wird ein größerer Resonator verwendet,
durch den die Atome hindurchfallen. Dabei werden die beiden Anregungszonen durch zwei kurze Pulse des Feldes realisiert. Außerdem soll es möglich
sein in der Mitte des Resonators eine stehende Lichtwelle zu erzeugen, durch
die die Atome in der Zeit zwischen den beiden Mikrowellenpulsen fallen.
Um eine optische Stehwelle zu erzeugen, wird ein horizontal verlaufender
Laserstrahl von einem Spiegel in sich zurückreﬂektiert. Die Strahltaille dieses gaußschen Laserstrahls beﬁndet sich auf der Spiegeloberﬂäche. Mit zunehmenden Abstand vom Spiegel wächst die Krümmung der Wellenfronten
des Lichtstrahls. Da bei der Wechselwirkung ebene Wellen erforderlich sind,
müssen die Atome diesen Lichtstrahl genügend nahe (ca. 1 mm) vor dem Spiegel passieren [Dü95]. Aus diesem Grund muß sich der Spiegel innerhalb des
Mikrowellenresonators beﬁnden.
Abb.3.2 zeigt eine Prinzipskizze des Mikrowellenresonators für die TE102 Mode. Die Atome fallen durch die Mitte des Resonators, wo die Amplitude
des magnetischen Feldes maximal ist. Die TE102 -Mode zeichnet sich durch die
im Vergleich zu anderen Moden größte Homogenität des magnetischen Feldes
am Ort des Durchﬂuges der Atome aus. Sie wird durch eine Einkoppelantenne angeregt, wobei das von der Antenne abgestrahlte magnetische Feld einen
geeigneten Überlapp mit dem Magnetfeld der TE102 -Mode besitzt.
24
3.2.2
Mechanischer Aufbau
Der mechanische Aufbau des Mikrowellenresonators
Auf den Grundlagen von Kapitel 2.3 wurde ein quaderförmiger Hohlraumresonator für eine Verwendung mit der TE102 -Mode (Vergleiche Abb. 2.6) bei
der Mikrowellenfrequenz von 3.0357 GHz realisiert. Der Resonator enthält im
Abbildung 3.3: Photographie des Mikrowellenresonators mit geöﬀnetem
Deckel. In der Mitte des Resonators ist der Spiegel für die optische Stehwelle auf eine Keramikplatte montiert. Weiter erkennt man vier Schrauben
zum Verstellen der Resonanzfrequenz und die kreisförmig gebogene Antenne,
durch die das Feld im Resonator erzeugt wird.
Inneren einen optischen Spiegel. Es wurden Öﬀnungen für die optische Stehwelle und den Durchﬂug der Rubidiumatome durch die Mitte des Resonators
geschaﬀen. Bei der Konstruktion war darauf zu achten, daß die Teile durch
einen CF-Flansch mit 100 mm Durchmeser in die Vakuumkammer eingebaut
werden können. Ebenso mußte zum Erreichen eines niedrigen Enddruckes im
Resonator für ausreichend große Öﬀnungen zum Evakuieren des Resonators
gesorgt werden.
Abb. 3.3 zeigt eine Photographie des Mikrowellenresonators mit geöﬀnetem
Deckel. Der Resonator besteht aus einem Hauptteil aus 2 mm starkem Kupfer25
blech, das zu einem U-förmigen Querschnitt gebogen wurde, sowie aus zwei
daran angeschraubten Kopfwänden (4 mm stark) und einem aufschraubbaren Deckel (3 mm stark). Durch das Biegen der Kanten wurde der elektrische
Kontakt zwischen den Wänden verbessert und die Verwendung von dünnen
Kupferblech ermöglicht, was sich gewichts- und platzsparend auswirkt. Die
Verwendung von Kupferblech, das an der Oberﬂäche poliert wurde, gewährleistet geringe Ohmsche Verluste bei den Wandströmen. Die zum Evakuieren
des Resonators notwendigen Öﬀnungen wurden entlang der vier Kanten des
Resonators, an denen die Oberﬂächenströme nahezu verschwinden, (Abb.2.6)
plaziert, um eine Störung der Wandströme und damit der Feldverteilung im
Resonator zu vermeiden.
Die vertikale Ausdehnung der Wolke von Rubidiumatomen beträgt am Ort
des Resonators 15 mm (FWHM). Um eine Wechselwirkung aller Atome mit
dem Feld im Resonator oberhalb und unterhalb des Spiegels (mit 10 mm
Durchmesser) zu ermöglichen, wurde für die Höhe des Resonators b = 40 mm
gewählt. Entlang der x-Achse des Resonators sind die Atome über eine Breite
von ca. 4 mm verteilt. Aufgrund der Breite von a = 80 mm des Resonators
ist das magnetische Feld in diesem Bereich hinreichend homogen.
In der Mitte des Resonators beﬁndet sich eine Keramikplatte aus 6 mm starkem Macor. Dieses Material wurde gewählt, da es für UHV-tauglich ist und
die Resonatormode nicht zu stark beeinﬂußt. In diese ist der Spiegel für die
optische Stehwelle in eine Passung eingesetzt, und mit Hilfe einer Madenschraube aus Macor befestigt. An einem zunächst aufgebauten Prototyp des
Resonators wurde die Verschiebung der Resonanzfrequenz des leeren Resonators gegenüber dem Resonator mit eingesetzter Keramikplatte gemessen.
Daraus ergab sich unter der Annahme µr = 1 die Dielektrizitätskonstante von
Macor bei 3 GHz zu *r = 2, 5. Bei gegebener Frequenz führt das Einsetzten
der Macorplatte zu einer Verkürzung der Länge der TE102 -Mode um 2, 2 mm,
was bei der Wahl der Länge des Resonators berücksichtigt werden mußte. Um
einen ähnlichen Eﬀekt in den anderen beiden Raumrichtungen auszuschließen
füllt die Keramikplatte die gesamte Querschnittsﬂäche aus. Die Platte wurde
so positioniert, daß sich das Maximum der magnetischen Feldamplitude ca.
1 mm vor dem Spiegel beﬁndet.
Das elektrische Feld der TE102 -Mode breitet sich geradlinig zwischen dem Boden und dem Deckel des Resonators aus. Im Boden und im Deckel beﬁnden
sich vier M3-Schrauben an den Stellen, wo das elektrische Feld maximal ist
(Abb.2.6). Durch Hereindrehen der vier Schrauben um 5 mm in den Resonator läßt sich die Resonanzfrequenz um 30 MHz zu kleineren Frequenzen hin
verstimmen. Diese Funktion erklärt sich anschaulich mit Hilfe einer Analogie
des Resonators zu einem elektrischen Schwingkreis mit einem Verlustwider-
26
stand R, einer Induktivität L und einer Kapazität C. Wird für die Kapazität
ein Plattenkondensator benutzt, so kann durch Vekürzen des Plattenabstan1
erniedrigt
des die Kapazität erhöht und so die Resonanzfrequenz ω0 = √LC
werden. Beim Mikrowellenresonator stellen der Boden und der Deckel einen
Plattenkondensator dar, wobei durch die Abstimmschrauben der Plattenabstand verkleinert und so die Resonanzfrequenz erniedrigt werden kann.
Schließlich wurde basierend auf Gl.(2.64) unter Berücksichtigung der Verschiebung der Resonanzfrequenz aufgrund der Verwendung der Keramikplatte
eine Länge des Resonators von 119, 5 mm gewählt, um eine Resonanzfrequenz
von 3, 095 GHz zu erreichen. Die Resonanzfrequenz kann dann mit Hilfe langer
Abstimmschrauben auf 3, 035 GHz gestellt werden.
Die Mikrowellenleistung wird durch eine 50Ω-koaxial-Vakuumdurchführung
und ein für UHV geeignetes Koaxialkabel von außerhalb der Vakuumkammer
an den Resonator herangeführt. Der Innenleiter des mittels einer Buchse (Typ
A) mit dem Resonator verbundenen Koaxialkabels wird durch eine in den
Resonator hineinragende, kreisförmig gebogenen Antenne verlängert, die am
Ende mit der Resonatorwand verbunden ist.
Die mechanische Halterung
Die Rubidiumatome sollen in einem geringen Abstand parallel an der Oberﬂäche des Spiegels vorbei durch die optische Stehwelle fallen. Die Spiegelﬂäche
soll ebenso parallel zu den oberhalb des Resonators beﬁndlichen Kollimationsschlitzen verlaufen. Der Spiegel muß deshalb in horizontaler und vertikaler
Richtung verkippt sowie entlang der Richtung der optischen Stehwelle verschoben werden können. Da der Spiegel mit der Keramikplatte und damit
mit dem Resonator starr verbunden ist, mußte für den gesamten Resonator
eine Justagemöglichkeit dieser Freiheitgrade vorgesehen werden.
Eine Photographie der Halterung mit dem Resonator zeigt Abb.3.4. Die Halterung mit dem Resonator ist auf einen CF-100 Vakuumblindﬂansch montiert,
so daß der gesamte Aufbau dadurch auf einfache Weise in die Vakuumkammer hineingeschoben werden kann. Die genaue Position des Resonators kann
danach in der Vakuumkammer von einem gegenüberliegenden Flansch der
geöﬀneten Kammer justiert werden. Auf den CF-100 Flansch sind zwei 29 cm
lange Hauptträger montiert. Der Mikrowellenresonator wird von vier starken
Federn nach oben gezogen, die an den Oberkanten der beiden Hauptträger
befestigt sind und durch Aussparungen in den Trägern zum Resonator reichen. Dem Zug der Federn stehen drei Schrauben entgegen, die den Abstand
zwischen den Haupträgern und dem Resonator bestimmen. Eine der Schrau27
ben läßt sich durch zwölf seitliche Bohrungen im Kopf der Schraube drehen,
wodurch der Resonator vertikal verkippt werden kann. Mit zwei weiteren Paaren aus je einer Zugfeder und einer Justierschraube, die an der Kopfwand des
Resonators angreifen, läßt sich auf ähnliche Weise der Resonator horizontal
verkippen und in Richtung des Flansches um bis zu 2 cm verschieben.
Zwischen den Hauptträgern kann ein mittels Gleitlagern aus Teﬂon auf zwei
Stahlstangen montierter Schlitten verschoben werden. Zwei in den Schlitten
eingesetzte Kollimationsschlitze können so wahlweise in eine vertikale Position über dem Spiegel im Resonator positioniert werden. Ebenso kann der
Schlitten vollständig aus dem Bereich durch den die Rubidiumatome fallen
entfernt werden, so daß keine Atome ausgeblendet werden. Da die Positionierung der Kollimationsschlitze an jedem Experimentiertag von Neuem geschehen muß, ist für das Verschieben des Schlittens von außerhalb der Vakuumkammer eine Lineardurchführung vorgesehen. Die Kollimationsschlitze mit
den Breiten 80 µm und 200 µm werden durch je zwei 0, 2 mm starke Bleche
aus einer Kupfer-Beryllium Legierung gebildet. Diese zeichnet sich durch ein
Fehlen jeder magnetischen Remanenz aus, wodurch das Auftreten von störenden Magnetfeldgradienten und somit eine Ablenkung der Atome vermieden
Abbildung 3.4: Die Position des Mikrowellenresonators ist durch die Aufhängung an sechs Federn in der Richtung von drei Freiheitsgraden verstellbar. Die beiden Hauptträger sind auf einen CF-100 Vakuumﬂansch montiert.
Zwischen den beiden Hauptträgern beﬁndet sich ein verschiebbarer Schlitten
mit den Kollimationsschlitzen.
28
wird. Außerdem wurden alle verwendeten magnetisierbaren Teile mit Hilfe
eines magnetischen Wechselfeldes (50 Hz) bis auf Restmagnetfelder < 5µT in
ca. 1 cm Abstand entmagnetisiert.
Nach dem Einbau der Konstruktion und dem Ausheizen bis 150◦ C wurde ein
Enddruck von 2, 8 · 10−10 mbar in der unteren Vakuumkammer erreicht, was
einer Zunahme des Druckes gegenüber dem Druck in der leeren Kammer um
etwa eine Größenordnung entspricht.
3.2.3
Impedanzanpassung und Gütefaktoren bei einem
Mikrowellenresonator
Für die Durchführung des Ramsey-Spektroskopieexperimentes ist die Kennt0
nis der Rabifrequenz ωR = µB
des Überganges und damit die Kenntnis der
h̄
magnetischen Induktion B0 der TE102 -Mode am Ort des Durchﬂugs der Atome
durch den Resonator notwendig. Diese kann aus der im Resonator gespeicherten Energie errechnet werden. Die im Resonator gespeicherte Energie WRes
wird von der in den Resonator eingekoppelten Leistung P aufrechterhalten,
während innerhalb der Dauer einer Schwingungsperiode die Verlustenergie
VRes auftritt. Zunächst werden als Verlustmechanismen die Abstrahlung von
elektromagnetischer Feldenergie durch die Öﬀnungen des Resonators sowie
die Dissipation von Joulscher Wärme aufgrund der Wandströme in Betracht
gezogen. Es wird angenommen, daß der Energieverlust VRes während einer
Periode wesentlich kleiner und außerdem proportional zur im Resonator gespeicherten Energie WRes der TE102 -Mode ist. Der dimensionslose Gütefaktor
Q0 des Resonators wird dann durch
Q0 := 2π ·
WRes
VRes
(3.1)
deﬁniert. Wird keine weitere Leistung in den Resonator eingekoppelt, klingt
die im zeitlichen Mittel im Resonator gespeicherte Energie WRes exponentiell mit der 1e -Zerfallszeit Qω00 ab. Für die Amplitude des elektrischen Feldes
Ey (t) ergibt sich daraus mit |Ey (t)|2 ∝ WRes das Verhalten einer gedämpften
Schwingung mit der Frequenz ω0 :
ω
− 2Q0 t iω0 t
0
Ey (t) = Ey (0)e
e
(3.2)
Eine Fouriertransformation führt auf die Verteilung der im zeitlichen Mittel
im Resonator gespeicherten Energie in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz
ω. Die Verteilung entspricht einer Lorentzkurve mit der vollen Halbwertsbreite
29
∆ωF W HM =
ω0
,
Q0
[Jac83]:
|Ey (ω)|2 ∝
1
(ω − ω0 )2 +
ω0
2Q0
2
(3.3)
Um Energie in den Resonator einzuspeisen, wird ein Mikrowellengenerator
(mit einem Innnenwiderstand) über ein Kabel an die Antenne des Resonators
angeschlossen. Über das Kabel läuft eine Welle zur Antenne hin. Im allgemeinen wird nur ein Teil dieser Welle in den Resonator eingekoppelt. Der Rest
der Welle wird in die Leitung zurückreﬂektiert, und die zugehörige Energie
wird am Innenwiderstand des Generators dissipiert. Um die Verhältnisse bei
dieser Reﬂexion zu verstehen, ist es hilfreich, als Analogon einen elektrischen
Schwingkreis zu betrachten.
Dieser Schwingkreis (vergleiche Abb.3.5) bestehe aus einer Induktivität L,
einer Kapazität C und sei durch einen Verlustwiderstand R gedämpft. Mittels eines Transformators mit einem Übertragungsverhältnis von 1 : n werde
(analog zur Antenne im Fall des Mikrowellenresonators) Energie aus einem
Frequenzgenerator mit reeler Innen-Impedanz Z0 in den Schwingkreis eingespeist. Eine kurze Betrachtung zeigt, daß bei hohen Frequenzen der auf der
Abbildung 3.5: Elektrischer Schwingkreis als Analogon zum Mikrowellenresonator: a) Mittels eines Transformators an einen Generator gekoppelter
Schwingkreis. b) Der Schwingkreis mit modiﬁzierten Größen nL2 , Cn2 und
R
besitzt gegenüber dem Generator dieselbe Impedanz wie der Schwingkreis
n2
bei a). Im Resonanzfall liegt Impedanzanpassung dann vor, wenn Z0 = nR2 .
Sekundärseite mit der Impedanz Zs abgeschlossene Transformator auf der
Primärseite die Impedanz Zp = n12 Zs darstellt. Daraus ergibt sich die Impedanz Zp des Schwingkreises auf der Primärseite des Transformators:
1
1
R + iωL +
(3.4)
2
n
iωC
Zp ist ebenso die Impedanz des Schwingkreises in Abb.3.5 b) mit den um den
Faktor n2 modiﬁzerten Größen nL2 , C · n2 und nR2 . Abb.3.5 a) und b) stellen
deshalb äquivalente Schaltbilder für denselben Schwingkreis dar.
Zp =
30
Das Resonanzverhalten des elektrischen Schwingkreises wird ebenfalls durch
eine Lorentzkurve beschrieben. Dabei läßt sich der Gütefaktor des nicht ge1
bekanntermakoppelten Schwingkreises mit der Resonanzfrequenz ω0 = √LC
ßen durch
ω0 L
R
Q0 =
(3.5)
ausdrücken 1 . Abb.3.5 b) zeigt, daß aufgrund der Kopplung zusätzlich Energie durch Dissipation von Joulscher Wärme an der reellen Impedanz Z0 des
Generators verloren geht. Analog zu (3.5) deﬁniert man den externen Gütefaktor
ω0 L
,
n 2 Z0
Qext =
(3.6)
durch den die Verlustenergie am Generator außerhalb des Schwingkreises repräsentiert werden. Damit läßt sich der ‘Gütefaktor des gekoppelten Schwingkreises’ QL deﬁnieren, bei dem auch die Verlustenergie aufgrund der Kopplung
VKoppl berücksichtigt wird:
QL := 2π ·
WRes
VRes + VKoppl
(3.7)
An dieser Deﬁnition läßt sich der Zusammenhang zwischen den verschiedenen
Gütefaktoren ablesen:
1
1
1
=
+
QL
Q0 Qext
(3.8)
Zusätzlich wird der Kopplungsfaktor
β :=
Qext
R
= 2
Q0
n Z0
(3.9)
deﬁniert. Nähert man in (3.4) für ω ≈ ω0 und setzt Q0 und β aus (3.5) und
(3.9) ein, so erhält man für die auf Z0 normierte Impedanz des Schwingkreises
Zn :
Zn :=
Zp
ω − ω0
= β + i 2 Q0 β ·
Z0
ω0
für |ω − ω0 | ω0 . (3.10)
Im Resonanzfall (ω = ω0 ) ist Zn reell und durch den Kopplungsfaktor gegeben. Entspricht die Impedanz des Schwingkreises der Impedanz des Generators, d.h. Zn = 1, so spricht man von ‘Impedanzanpassung’. In diesem Fall
1
Die Verschiebung der Resonanzfrequenz ω0 aufgrund der Dämpfung soll hier vernachlässigt werden.
31
ist die Schwingungsamplitude im Schwingkreis maximal. Um im Resonanzfall
die Impedanz des Schwingkreises an die Impedanz des Generators anzupassen, wählt man ein geeignetes Übertragungsverhältnis 1 : n, so daß Z0 = nR2
bzw. β = 1 gilt. Aus (3.8) ergibt sich dann:
QL =
Q0
Qext
=
2
2
(3.11)
Die Aussagen über den Schwingkreis für niedrige Frequenzen lassen sich
auf den Resonator für Mikrowellenfrequenzen übertragen. Die Funktion des
Transformators, der den Schwingkreis an den Generator koppelt, übernimmt
hierbei eine Antenne, über die die Leistung in den Resonator eingekoppelt
wird. Durch Wahl einer geeigneten Form und Größe dieser Antenne kann
auch hier eine Impedanzanpassung erreicht werden. In diesem Fall wird keine
Leistung am Mikrowellenresonator zurückreﬂektiert. Daher wird die gesamte
vom Generator in die Leitung eingespeiste Leistung P im Resonator in Form
ergibt sich:
von Verlustenergie dissipiert. Mit ω0 = 2π
T
ω0 W
P
Q0 =
(3.12)
Zur Berechnung der elektromagnetische Feldenergie W der TE102 -Mode werden erneut die Feldstärkekomponenten (2.57)-(2.52) betrachtet. Zum Zeitpunkt t = 0 verschwindet das magnetische Feld, so daß sich W aus der Energiedichte des elektrischen Feldes wie folgt berechnet:
abc
W =
0 0 0
* µ2 *H02 ω02 a3 b c
|E (t = 0)|2 dx dy dz =
2
2π 2
(3.13)
Mit der sich für die TE102 -Mode aus (2.60) ergebenden magnetischen IndukH0 am Ort der Atome ergibt sich mit (3.13) und (3.12)
tion B0 = µHx = 4aµ
c
der Zusammenhang zwischen der in den Resonator eingekoppelten Leistung
und der magnetischen Feldstärke am Ort der Atome B0 :
B0 = 4π
2P Q0
ω03 * a b c3
(3.14)
Die Bestimmung von ω0 , β und Q0 bzw. QL , die sich aus der Messung der
normierten Impedanz (3.10) mit Hilfe eines Netzwerkanalysators ergibt, ist
Gegenstand des nächsten Abschnitts 2 .
2
In den folgenden Abschnitten soll, wie in der Literatur üblich, auf QL Bezug genommen
werden.
32
Grundprinzip eines Netzwerkanalysators
Mit einem Netzwerkanalysator ist es möglich, die auf die charakteristische
Impedanz der Zuleitung Z0 normierte Impedanz Zn des Mikrowellenresonators gemäß (3.10) zu messen. Abb.3.6 zeigt das Meßprinzip. Das vom Netz-
Abbildung 3.6: Impedanzmessung mit einem Netzwerkanalysator: Das vom
Mikrowellenresonator reﬂektierte Signal wird vom Netzwerkanalysator in
Amplitude und Phase mit dem ursprünglich zum Mikrowellenresonator gesandten Signal verglichen, woraus die frequenzabhängige Impedanz des Resonators berechnet werden kann.
werkanalysator generierte Hochfrequenzsignal wird am Mikrowellenresonator
reﬂektiert. Vom reﬂektierten Signal wird ein Teil der Leistung (−10 dB) mit
Hilfe eines Richtkopplers ausgekoppelt und auf den Meßeingang des Netzwerkanalysators gegeben. Der Netzwerkanalysator vergleicht Amplitude und Phase des reﬂektierten und des ursprünglichen Signals, und ermittelt so zunächst
. Dabei sind A und B die kompleden komplexen Reﬂexionsfaktor ρ = B
A
xen Amplituden, durch die jeweils Amplitude und Phase des zum Resonator
geführten und des reﬂektierten Signals beschrieben werden.
Beim Vergleich der Phase müssen die Längen, und beim Vergleich der Amplitude die Verluste der Leitungen zwischen dem Netzwerkanalysator, dem
Richtkoppler und dem Mikrowellenresonator berücksichtigt werden. Außerdem spricht ein geringer Teil (−35 dB) der Leistung des ursprünglichen Signals
auf den Koppelausgang des Richtkopplers über. Ist die vom Mikrowellenresonator reﬂektierte Leistung sehr gering, was insbesondere nahe der Impedanzanpassung der Fall ist, kommt es zur einer Einschränkung der Genauigkeit der Messung des Amplitudenverhältnisses durch Interferenz zwischen
33
dem reﬂektierten und dem übersprechenden Signal. Nach einer Eichung des
Meßaufbaus durch Messungen mit drei bekannten Impedanzen an der Stelle des Mikrowellenresonators kann der Netzwerkanalysator unabhängig von
diesen Einﬂüssen den Reﬂexionsfaktor des Mikrowellenresonators berechnen
[Hew]. Durch periodisches Verstimmen der Frequenz ω des Signals (sogenanntes ‘Wobbeln’) wird ρ für verschiedene Frequenzen ermittelt.
Der komplexe Reﬂexionsfaktor ρ hängt mit der normierten Impedanz Zn auf
folgende Weise zusammen [Ful79]:
ρ =
1+ρ
Zn − 1
⇔ Zn =
Zn + 1
1−ρ
(3.15)
Am Netzwerkanalysator stehen verschiedene Möglichkeiten zur Darstellung
von ρ(ω) bzw. Zn (ω) zur Verfügung. In einer der Darstellungen gibt der
Netzwerkanalysator die Kurve ρ(ω) in der komplexen Ebene Re(ρ)-Im(ρ) wider. Dabei sind in dieser Ebene gemäß (3.15) Koordinatenlinien für konstanten Ohmschen Widerstand R := Re(Zn ) = const. und konstante Reaktanz
X := Im(Zn ) = const. eingetragen. Diese Darstellung der Impedanz im sogenannten Smith-Diagramm ist in Abb.3.7 gezeigt.
Bestimmung des Kopplungsfaktors und der Gütefaktoren aus dem
Smith-Diagramm
Für die normierte Impedanz des Mikrowellenresonators Zn (ω) ergibt sich
gemäß (3.10) im Smith-Diagramm (Abb.3.7) ein Kreis, der durch Re(Zn ) = β
gegeben ist.
Für die Resonanzfrequenz nimmt die Impedanz Zn und damit auch der Reﬂexionsfaktor ρ einen reelen Wert an, d.h. die Resonanzfrequenz ergibt sich
aus der Frequenz des Schnittpunktes des Impedanzkreises mit der horizontalen Koordinatenlinie X = 0. Aus der Lage dieses Schnittpunktes auf dieser
Koordinatenlinie läßt sich der Kopplungsfaktor β bestimmen. Im Fall der
Impedanzanpassung β = 1, d.h. Zn = 1, liegt der Schnittpunkt genau in der
Mitte des Smith-Diagramms bei ρ = 0.
Aus der Darstellung der Impedanz des Mikrowellenresonators im Smith-Diagramm läßt sich auch der Gütefaktor Q0 des Mikrowellenresonators bestimmen. Dazu werden die Frequenzen ω1 und ω2 an den Schnittpunkten des
gemessenen Impedanzkreises mit den Koordinatenlinien X = ±i ermittelt.
Mit (3.10) ergibt sich in Abhängigkeit des Kopplungsfaktors β:
2 Q0 β =
ω0
|ω1,2 − ω0 |
34
(3.16)
Abbildung 3.7: Ein Smith-Diagramm ergibt sich aus der Darstellung des
komplexen Reﬂexionsfaktors ρ(ω) in der komplexen Ebene. In diese sind
Koordinatenlinien für die komplexe Impedanz Zn mit R := Re(Zn ) =
const., und mit X := Im(Zn ) = const. eingezeichnet. Die Impedanz
Zn (ω) des Mikrowellenresonators entspricht einem Kreis mit R = β und
0
.
X ∝ ω−ω
ω0
Daraus ergibt sich für den impedanzangepaßten Mikrowellenresonator mit
(3.11) für die Frequenzen an beiden Schnittpunkten:
QL =
Q0
ω0
=
2
4|ω1,2 − ω0 |
(3.17)
Messungen mit dem Netzwerkanalysator
Zur Messung der Impedanz des Mikrowellenresonators stand ein Netzwerkanalysator (Hewlett Packard HP 8753 A) zur Verfügung. Damit lassen sich
Impedanzen bis zu einer maximalen Frequenz von 3 GHz messen. Es wurde
angenommen, daß sich die Impedanz bei der Resonanzfrequenz und die Gütefaktoren des Mikrowellenresonators bei einem geringfügigen Verstellen der
Resonanzfrequenz mit Hilfe der Abstimmschrauben nicht ändert. So konnten die Anpassung der Impedanz und die Messung des Gütefaktors mit dem
zur Verfügung stehenden Netzwerkanalysator bei einer Resonanzfrequenz unterhalb 3 GHz durchgeführt werden. Durch nachträgliches Verstellen der Resonanzfrequenz kann dann der Resonator bei einer Resonanzfrequenz von
35
3, 0357 GHz impedanzangepaßt betrieben werden.
Bei den Messungen zur Eichung des verwendeten Meßaufbaus konnte das
UHV-Koaxialkabel nicht berücksichtigt werden. Die Messung mit dem Netzwerkanalysator stellt somit eine Messung der Impedanz des mit dem Mikrowellenresonator abgeschlossenen Koaxialkabels dar.
Für verschiedene Formen und Größen der Einkoppelantenne wurde die Impedanz des Mikrowellenresonators gemessen und daraus der Kopplungsfaktor
β bestimmt. Die Messung der Impedanz des Mikrowellenresonators mit der
schließlich als geeignet befundenen Einkoppelantenne zeigt Abb.3.8. Dort ist
die Impedanz des Mikrowellenresonators für Frequenzen zwischen 2.95 GHz
und 3, 00 GHz in einem Smith- Diagramm gezeigt. Aufgrund der im UHV-
Abbildung 3.8: Messung der Impedanz des Mikrowellenresonators: Aus der
Impedanz an der Resonanzstelle (Marker 1) ergibt sich ein Kopplungsfaktor
von β = 1, 03. Mit den zu den Meßpunkten Marker 2 (ω1 = 2, 9767 GHz)
und Marker 3 (ω2 = 2, 9738 GHz) gehörenden Frequenzen ergibt sich ein
Gütefaktor von QL = 530 ± 100.
Koaxialkabel auftretenden Verlustleistung ist die vom Netzwerkanalysator
gemessene Leistung auch dann nicht gleich der ursprünglich zum Resonator
gerichteten Leistung, wenn diese am Mikrowellenresonator vollständig reﬂektiert wird. Der Betrag des komplexen Reﬂexionsfaktors bleibt also auch für
36
Frequenzen abseits der Resonanzfrequenz kleiner als eins. Daraus ergibt sich
die Abweichung der gemessenen Impedanzkurve von einem Kreis, der durch
R = β gegeben wird. Allerdings soll diese Abweichung bei der Auswertung
der Messung vernachlässigt werden.
Aus der Impedanz des Schnittpunktes (Marker 1) des Impedanzkreises mit
der Koordinatenlinie X=0 läßt sich der Kopplungsfaktor β bestimmen. Mit
der Impedanz des Mikrowellengenerators und der Zuleitungen von Z0 = 50 Ω
= 1, 03, so daß im folgenden
ergibt sich ein Kopplungsfaktor von β = 51,557
50
der Fall der Impedanzanpassung angenommen werden kann.
Die charakteristische Impedanz des UHV-Koaxialkabels weicht in Abhängigkeit von der Krümmung des Kabels geringfügig von 50 Ω ab. Dies führt zu Reﬂexionen beim Übergang von der Vakuumdurchführung (50 Ω) zum UHV Koaxialkabel, und so zu einem ungünstigerem Kopplungsfaktor. Im ungünstigsten Fall wurde jedoch ein Kopplungsfaktor von β = 1, 2 gemessen, bei dem
nur ein Teil geringer als 1% der Leistung reﬂektiert wird.
Wie im vorigen Abschnitt beschrieben läßt sich mit den Frequenzen ω1 =
2, 9767 GHz (Marker 2) und ω2 = 2, 9738 GHz (Marker 3) an den Schnittpunkten des Impedanzkreises mit den Koordinatenlinien X = ±i gemäß (3.17) jeweils der Gütefaktor des gekoppelten Resonators bestimmen. Aus den beiden
stark unterschiedlichen Werten ergibt sich der Mittelwert QL ≈ 530 ± 100.
Die Asymmetrie des Impedanzkreises ist wahrscheinlich mit den Einﬂüssen
der Öﬀnungen in den Resonatorwänden und der Keramikplatte auf das Resonanzverhalten in Verbindung zu bringen. Die genaue Ursache ist aber mit
den Messungen im Rahmen dieser Arbeit nicht nachvollziehbar.
Einstellen der Resonanzfrequenz
Zur Messung der Resonanzfrequenz im Bereich oberhalb von 3 GHz wurde
eine Meßanordnung gewählt, die der in Abb.3.6 ähnlich ist. Als Signalquelle
dient hier ein Quarzoszillator (Hewlett Packard HP 83752 A). Von der vom
Mikrowellenresonator reﬂektierten Leistung wird wird ein Teil (−10 dB) von
einem Richtkoppler ausgekoppelt, und mit Hilfe eines Spektrum-Analysators
(Hewlett Packard HP 8563 E) gemessen. Mit Hilfe eines Personal Computers
kann die Frequenz des Oszillators gesteuert und gleichzeitig der gemessene
Wert der Leistung am Spektrum-Analysator ausgelesen werden. Bei bekannter
Leistung des Oszillators kann so der Betrag des komplexen Reﬂexionsfaktors
ρ(ω) für verschiedene Frequenzen automatisch bestimmt werden.
Allerdings spricht bei dem verwendeten Richtkoppler ein Teil (−22 dB) der
37
Abbildung 3.9: Messung der vom Mikrowellenresonator reﬂektierten Leistung in Abhängigkeit der Frequenz. Die Messung wurde mit Hilfe eines
Richtkopplers durchgeführt. Hieraus ergibt sich eine Resonanzfrequenz von
3, 0347 GHz.
Leistung, die vom Oszillator ausgeht, auf den Koppelausgang des Richtkopplers über. Dort kommt es zu einer konstruktiven oder destruktiven Interferenz
mit dem vom Mikrowellenresonator reﬂektierten Signal, je nach der Länge der
verwendeten Kabel. Geht man davon aus, daß sich bei verschiedenen Frequenzen die relative Phase zwischen den beiden Signalen nur geringfügig ändert,
so wird am Spektrum-Analysator in jedem Fall bei der Resonanzfrequenz des
Mikrowellenresonators die minimale Leistung gemessen. Der Absolutwert der
gemessenen Leistung ist jedoch nicht aussagekräftig.
Abb.3.9 zeigt die mit dem Spektrum-Analysator gemessene Leistung bei Frequenzen zwischen 3.034 GHz und 3, 0355 GHz. Die Messung wurde an dem
mit Luft (Temperatur: 23◦ C, Luftfeuchtigkeit: ca. 54%) gefüllten Resonator
durchgeführt. In der Meßkurve ist die Resonanzfrequenz von 3, 0347 GHz ablesbar. Nach dem Evakuieren des Resonators wurde eine Verschiebung der
Resonazfrequenz um 800 kHz gemessen, d.h. die Resonanzfrequenz lag ca.
200 kHz unterhalb der Übergangsfrequenz von 3, 0357 GHz. Bei einer Verstimmung von 200 kHz und einer Linienbreite von ca. 5, 7 MHz (FWHM) kann der
Verlust an in den Resonator eingekoppelter Leistung aufgrund von Reﬂexionen beim nichtresonanten Betrieb bei 3, 0357 GHz vernachlässigt werden.
Eine Erwärmung des Resonators aufgrund des thermischen Ausdehnungkoefﬁzienten von Kupfer von 1, 7 · 10−5 /K führt auf eine nderung der Resonanzfrequenz um ca. 30 kHz/K. Um eine konstante Resonanzfrequenz zu gewähr38
leisten, mußte während der Messung die sich in der Nähe des Resonators beﬁndende Heißkathoden-Druckmeßröhre, die die Temperatur des Resonators
durch Wärmestrahlung erhöhte, abgeschaltet werden.
3.2.4
Mikrowellenkomponenten für die Durchführung
einer Ramsey-Spektroskopie
Abb.3.10 zeigt einen Überblick über die zur Erzeugung kurzer Mikrowellenpulse verwendeten Komponenten. Als Mikrowellengenerator dient ein hoch-
Abbildung 3.10: Komponenten zur Erzeugung kurzer Mikrowellenpulse: Die
Frequenz des vom Quarzoszillator erzeugten Signals wird zunächst verdreifacht. Mit einem Mikrowellenschalter können dann kurze Mikrowellenpulse
geformt werden.
stabiler Quarzoszillator (HP 8662 A), der ein sinusförmiges Signal bis zu
einer maximalen Frequenz von 1, 28 GHz mit einer maximalen Leistung von
+13 dBm erzeugen kann.
Mit Hilfe eines speziell gefertigten Frequenzverdreifachers (Firma: Semic RF,
Modell:TRK-A01) kann aus dem Signal des Quarzoszillators ein Signal mit
einer Frequenz oberhalb von 3 GHz erzeugt werden. Dabei tritt ein Konvertierungsverlust der Signalleistung von −22 dB auf.
Durch einen mittels TTL-Pulsen schaltbaren Mikrowellenschalter (HP 33144
A) können die für die ein Experiment zur Ramsey-Resonanzspektroskopie
benötigten Mikrowellenpulse erzeugt werden.
Unter Berücksichtigung der Verlustleistung in den benötigten Koaxialkabeln
zwischen den Komponenten steht am Resonator ein Signal mit der Leistung
39
P = −13 dBm bei Frequenzen um 3, 035 GHz zur Verfügung. Bei einem Gütefaktor des gekoppleten Resonators QL = 530 ergibt sich dabei innerhalb des
Mikrowellenresonators eine Amplitude der magnetischen Induktion am Ort
der Atome gemäß (3.14) von ca. B0 = 220 nT und daraus mit (2.34) eine
Rabifrequenz von ca. ωR = 2π · 3, 1 kHz.
3.3
Optisches Pumpen
Bei den Experimenten wird, nachdem die Atome die magnetooptische Falle verlassen haben, ein statisches magnetisches Feld parallel zur Richtung
der magnetischen Feldstärke des Hochfrequenzfeldes innerhalb des Resonators am Ort der Atome mit Hilfe der Spulen zur Erdmagnetfeldkompensation
erzeugt. Dadurch wird eine Quantisierungsachse ausgezeichnet, bezüglich derer die magnetischen Unterzustände der Hyperfeinstrukturniveaus von Rubidium deﬁniert sind und wodurch die zugehörigen Energieeigenwerte aufgrund
des Zeemaneﬀektes verschoben werden.
Nachdem die Atome aus der magnetooptischen Falle fallengelassen worden
sind, beﬁnden sie sich im Zustand 52 S 1 , F = 3, wobei sie allerdings über
2
die magnetischen Quantenzahlen −3, . . . , +3 verteilt sind. Um bei der Wechselwirkung mit der optischen Stehwelle eine deﬁnierte Kopplungsstärke zu
erreichen, ist es notwendig, daß sich alle Atome in einem deﬁnierten magnetischen Unterzustand beﬁnden. Außerdem soll es möglich sein, ausgehend von
diesem magnetischen Unterzustand mit Hilfe des linear polarisierten magnetischen Feldes innerhalb des Mikrowellenresonators einen magnetischen Dipolübergang mit ∆mF = 0 zu induzieren werden. Aus diesem Grund scheidet
die einfache Möglichkeit aus mit einem zirkular polarisiertem Laserstrahl die
Atome in den Unterzustand mF = +3 bzw. mF = −3 optisch zu pumpen, da
so keine Möglichkeit für einen Hyperfeinstrukturübergang mit ∆mF = 0 gegeben wäre. Allerdings ist es möglich die Atome in den Unterzustand mF = 0
zu transferieren, was bedeutet, daß mit Hilfe des Resonators der in Kapitel 2.2
beschriebene magnetische Dipolübergang F = 2, mF = 0 → F = 2, mF = 0
induziert werden kann. Anhand von Abb.3.11 in der ein Ausschnitt aus dem
Energieniveauschema von 85 Rb gezeigt ist, soll das hier verwendete Prinzip
des optischen Pumpens erklärt werden. Mit parallel zur Quantisierungsrichtung linear polarisiertem Laserlicht, werden die Atome resonant vom Zustand
52 S 1 , F = 3 in dem Zustand 52 P 3 , F = 3 angeregt, wobei ∆mF = 0 gilt. Von
2
2
dort aus können sie durch spontane Emission mit ∆mF = 0, ±1 wieder in
den Zustand 52 S 1 , F = 3 übergehen. Da das Übergangsmatrixelement für die
2
Anregung 52 S 1 , F = 3, mF = 0 → 52 P 3 , F = 3, mF = 0 verschwindet, behält
2
2
40
Abbildung 3.11: Energieniveauschema von 85 Rb: Um die Atome in den
Zustand 52 S 1 , F = 3, mF = 0 optisch zu pumpen werden die Übergänge
2
52 S 1 , F = 3 → 52 P 3 , F = 3 und 52 S 1 , F = 2 → 52 P 3 , F = 3 mit ∆mF = 0
2
2
2
2
benutzt.
ein Atom, das einmal diesen Zustand 52 S 1 , F = 3, mF = 0 angenommen hat,
2
diesen bei. Nach einigen Zyklen mit induzierter Absorbtion und spontaner
Emission werden so alle Atome in den mF = 0 Zustand transferiert.
Dabei ist zu beachten, daß die Atome vom angeregten Zustand durch spontane Emission auch in den Zustand 52 S 1 , F = 2 übergehen könen. Mit Hilfe
2
eines weiteren Laserstrahles mit linearer Polarisation parallel zur Quantisierungsrichtung, der resonant zum Übergang 52 S 1 , F = 2 → 52 P 3 , F = 3 ist,
2
2
gelangen die Atome wieder in den Zustand 52 S 1 , F = 3.
2
Verschiedene Mechanismen führen dazu, daß Atome, die bereits in den Unterzustand mF = 0 gepumpt wurden, diesen wieder verlassen können. Zum einen
ﬁnden aus dem Zustand 52 S 1 , F = 3, mF = 0 mit geringer Rate nichtresonan2
te Anregungen in die Zustände 52 P 3 , F = 2 und 52 P 3 , F = 4 statt, von wo
2
2
aus ein spontaner Zerfall in verschiedene magnetische Unterzustände möglich
ist. Zum anderen sind die verwendeten Laserstrahlen nicht vollständig linear
polarisiert. Anteile von σ + - bzw. σ − -polarisierten Lichtes ermöglichen eine
Anregung der Atome aus dem mF = 0 Unterzustand mit ∆mF = ±1.
Eine in Anhang A beschriebene, numerische Berechnung gibt Aufschluß über
die zeitliche Entwicklung der Population aller beteiligten magnetischen Unterzustände.
41
Die beiden für das optische Pumpen benötigten Laserstrahlen wurden überlagert und mittels eines Polarisationsstrahlteiles linear polarisiert. Die Intensität der beiden Strahlen betrug 3, 4 µW/cm2 für den Übergang 52 S 1 , F =
2
3 → 52 P 3 , F = 3 und 51 µW/cm2 für den Übergang 52 S 1 , F = 2 → 52 P 3 , F =
2
2
2
3. Etwa 30ms nachdem die Atome die magnetooptische Falle verlassen haben wurden die beiden Laserstrahlen für eine Dauer von 10 ms eingeschaltet.
Dadurch wurden ca. 75% der Atome in den Zustand 52 S 1 , F = 3, mF = 0
2
transferiert, wie in Kapitel 4.1 ermittelt wird.
Die im Anhang A berechnete Transfereﬃzienz von 91% wurde nicht erreicht.
Dies läßt sich mit der schlechten Qualität des Strahlproﬁls der verwendeten
Laserstrahlen erklären. In Bereichen des Strahlproﬁls mit vergleichsweise geringer Intensität wird nur eine geringe Transfereﬃzienz erreicht. In Bereichen
mit vergleichsweise hoher Intensität ﬁnden mehr Zyklen mit spontaner Emission statt, als die im Mittel 13 Emmissionszyklen, die sich aus der Berechnung
im Anhang ergaben. Dies führt zu einem erhöhten Teil von Atomen, die durch
vermehrte Photonenrückstöße bei der spontanen Emission abgelenkt werden,
und so nicht mehr in die Nachweisregion gelangen. Das heißt, daß gerade die
Atome, die Bereits in den mF = 0 Unterzustand gepumpt worden sind, zu einer Verringerung der beobachteten Zählrate und damit zu einer verringerten
Transfereﬃzienz beitragen.
42
Kapitel 4
Messungen
Die in diesem Abschnitt beschriebenen Messungen wurden ohne den Einsatz
einer optischen Stehwelle durchgeführt. Mit einer Wiederholungsrate von 1 Hz
wurden Rubidiumatome aus der magnetooptischen Falle freigelassen und wie
in Kapitel 3.3 beschrieben in den Zustand 52 S 1 , F = 3, mF = 0 optisch
2
gepumpt. Mit der Verwendung eines zum atomaren Übergang 52 S 1 , F = 3 →
2
52 P 3 , F = 4 (Vergleiche Abb.3.11) resonanten Laserstrahls beim optischen
2
Fluoreszenznachweis werden alle Rubidiumatome nachgewiesen, die sich nach
dem Passieren der Wechselwirkungszone im Zustand 52 S 1 , F = 3 beﬁnden,
2
unabhängig vom magnetischen Unterzustand. Um ein möglichst großes Signal
zu erhalten, wurde auf die Verwendung eines Kollimationsschlitzes verzichtet,
so daß eine maximale Anzahl von Atomen die Wechselwirkungszone und den
Nachweisstrahl passiert.
4.1
Rabioszillationen
Zur Demonstration der Rabioszillationen wurde nach dem optischen Pumpen
beim Flug der Atome durch den Mikrowellenresonator ein Mikrowellenpuls
variabler Dauer angewendet. Die Messung wurde mit einem Mikrowellensignal mit der Frequenz des atomaren Überganges und einer Leistung am Mikrowellenresonator von −13 dBm durchgeführt. In Abb.4.1 ist die gemessene
Zählrate des Photomultipliers aufgrund des Fluoreszenzlichtes von Atomen
im Zustand 52 S 1 , F = 3 gegen verschiedene Pulslängen τ zwischen 10 µs und
2
1, 2 ms aufgetragen. Jeder der 120 Datenpunkte entspricht einer Mittelung
über sechs Einzelmessungen.
43
Abbildung 4.1: Rabioszillationen: Das Fluoreszenzsignal der Atome im Zustand 52 S 1 , F = 3 ist gegenüber der Dauer τ eines Mikrowellenpulses auf2
getragen. Aus der Anpassung der theoretisch erwarteten Kurve (durchgezogene Linie) ergibt sich eine Rabifrequenz von 2π · 3, 1 kHz. Anhand der
maximalen und minimalen Zählrate läßt sich eine Transfereﬃzienz für das
optische Pumpen von 68% ablesen.
Man erkennt das oszillatorische Verhalten der Zahl der im Zustand 52 S 1 , F =
2
3 nachgewiesenen Atome, was den in Kapitel 2.1 beschriebenen Rabioszillationen entspricht. An die Meßpunkte wurde eine theoretische Kurve der Form
A sin(ωR τ +φ)+B angepaßt, wobei A,ωR ,φ und B die zu bestimmenden Parameter sind. Daraus ergibt sich eine Rabifrequenz von ωR = 2π · 3, 1 kHz. Diese
gemessene Rabifrequenz beﬁndet sich in guter Übereinstimmung mit der aus
dem Gütefaktor QL = 530 des Mikrowellenresonators im Zusammenhang mit
der Mikrowellenleistung von −13 dBm in Kapitel 3.2.4 vohergesagten Rabifrequenz. Die Dauer eines π-Pulses (vergleiche Kapitel 2.1) beträgt also 161 µs.
Allerdings wird auch bei einem π-Puls eine minimale, nicht verschwindende
Zählrate von Atomen im Zustand 52 S 1 , F = 3 von B − A = 31 kHz beob2
achtet, die weit über der Untergrundzählrate von ca. 200 Hz liegt. Es folgt
daraus, daß oﬀensichtlich nicht alle Atome nach dem Mikrowellenpuls in den
Zustand 52 S 1 , F = 2 übergegangen sind. Da sichergestellt ist, daß die ein2
gestellte Frequenz genau der Resonanzfrequenz des Überganges entspricht,
kann dieses Verhalten nur dadurch erklärt werden, daß nicht alle Atome in
den Zustand 52 S 3 , F = 3, mF = 0 gepumpt wurden. Unter dieser Annahme
2
läßt sich die Transfereﬃzienz des optischen Pumpens angeben. Mit der maximalen Zählrate von B + A = 97 kHz ergibt sich für diese Messung, daß ca.
68% der Atome durch das optische Pumpen in den Unterzustand mF = 0
44
transferiert wurden.
4.2
Ramsey-Spektroskopie
Abbildung 4.2: Ramsey-Spektroskopiesignal: Mit zwei π2 -Mikrowellenpulsen
der Dauer 80, 5 µs und dem zeitlichen Abstand von 0, 35 ms wurde der Hyperfeinübergang im Grundzustand von Rubidium angeregt. Im Diagramm
ist das Fluoreszenzsignal der Atome im Zustand 52 S 1 , F = 3 gegenüber
2
der Verstimmung der Mikrowellenfrequenz um eine Zentralfrequenz aufgetragen.
Zur Durchführung eines Ramsey-Spektroskopieexperiments wurden während
des Flugs der Atome durch den Mikrowellenresonator zwei π2 -Mikrowellenpulse angewendet. Die in den Mikrowellenresonator eingekoppelte Leistung
betrug wiederum −13 dBm, und es wurde eine Dauer der beiden π2 -Pulse
von je 80, 5 µs entsprechend der sich aus der Messung der Rabioszillationen
ergebenden halben Dauer für einen π-Puls gewählt.
In den nun folgenden drei Messungen wurde bei jeweils konstanter Separationszeit T zwischen den beiden π2 -Pulsen die sich aus dem Fluoreszenzsignal
ergebende Zählrate für Atome im Zustand 52 S 1 , F = 3 bei verschiedenen Fre2
quenzen des Mikrowellensignals in einem Frequenzintervall um eine Zentralfrequenz von 3.035734884 GHz gemessen. Jeder der gemessenen Datenpunkte
ergab sich aus einer Mittelung über sechs Einzelmessungen.
45
Zunächst wurde die Zählrate für T = 0, 35 ms in einem Frequenzintervall von
60 kHz um die Zentralfrequenz gemessen. Das sich daraus ergebende RamseySpektroskopiesignal gemäß (2.26) ist in Abb.4.2 gezeigt (vergleiche Abb.2.3).
Die Periode des Signals nahe der Zentralfrequenz ist durch den Reziprokwert
der Separationszeit zwischen den beiden Mikrowellenpulsen gegeben. Um die
Resonanzfrequenz genauer bestimmen zu können wurden Messungen mit einer verlängerten Seperationszeit durchgeführt. Dabei ist die Größe der Separationszeit daduch begrenzt, daß die herabfallende ‘Wolke’ von Rubidiumatomen mit einer vertikalen Ausdehnung von ca. 15 mm sich während beider Mikrowellenpulse vollständig innerhalb des Resonators beﬁnden muß. In Abb.4.3
ist ein Ausschnitt aus einem vollständigen Ramsey-Spektroskopiesignal für
die maximal mögliche Separationszeit von T = 5 ms gezeigt. Es läßt sich die
Abbildung 4.3: Ramsey-Spektroskopiesignal: Es ist das Fluoreszenzsignal
der Atome im Zustand 52 S 1 , F = 3 gegenüber der Verstimmung der Fre2
quenz des Mikrowellensignals aufgetragen. Die eingestellte Separationszeit
T = 5 ms zwischen den beiden π2 -Pulsen läßt sich anhand der Periode des
Signals von T1 = 200 Hz ablesen.
erwartete Periode des Signals von
1
T
= 200 Hz ablesen.
Für eine genaue Bestimmung der Resonanzfrequenz wurden bei gleicher Seperationszeit 100 Datenpunkte in einem Frequenzintervall von 300 Hz um
die Zentralfrequenz gemessen, wie in Abb.4.4 gezeigt. An den Verlauf der
experimentellen Daten wurde erneut eine Sinusfunktion durch Minimieren
des χ2 angepaßt [Pre92]. Daraus ergibt sich ein Schätzwert für die atomare Übergangsfrequenz von 3, 03573488795 GHz. Die Abweichung des gemes46
Abbildung 4.4: Zentraler Peak des Ramsey-Spektroskopiesignals: Jeder der
100 Datenpunkte ergibt sich aus dem Mittelwert von 6 Einzelmessungen,
wobei die gesamte Messung ca. 600 s dauerte. Aus der Anpassung einer
theoretischen Kurve an die Meßdaten ergibt sich eine Resonanzfrequenz von
= 1, 3 · 10−10
3, 0357348795 GHz, die mit einer relativen Genauigkeit von δν
ν
bestimmt wurde.
senen Wertes von dem in Tabelle 2.1 angegebenen Literaturwert rührt von
der Verschiebung der Übergangsfrequenz von 1294 Hz/T 2 [Van89c] aufgrund
des statischen magnetischen Feldes her (quadratischer Zeemaneﬀekt). Daraus
berechnet sich die Stärke des magnetischen Feldes zu 1, 37 T .
Aus der Anpassung der Daten ergibt sich nach der in [Pre92] beschriebenen
‘Bootstrap’-Methode ein Fehler für den Schätzwert der atomaren Übergangsfrequenz von δν = 0.38 Hz, d.h. eine relative Genauigkeit der Messung der
= 1, 3 · 10−10 bei einer Meßdauer Tmeß ≈ 600 s.
Übergangsfrequenz von δν
ν
47
Kapitel 5
Beobachtung
messungsinduzierter
Beugungsphänomene
Mit den im vorherigen Kapitel 4 beschriebenen Messungen wurden für den
verwendeten Hyperfeinstrukturübergang des Grundzustandes die Übergangsfrequenz sowie die bei bekannter Leistung des Mikrowellensignals erreichte
Rabifrequenz ermittelt. Diese Messung sowie der Aufbau des einen optischen
Spiegel beinhaltenden Mikrowellenresonators dienen der Vorbereitung des in
der Einleitung bereits erwähnten Experiments mit einer optischen Stehwelle
bei der die Methode der Ramsey-Spektroskopie zur Anwendung kommt. Dieses Experiment soll hier in den wesentlichen Zügen beschrieben werden. Eine
umfassende Darstellung ﬁndet sich in [Kun96].
5.1
Verschränkung zwischen Ort und internem Zustand eines Atoms
Im folgenden wird ein einzelnes Rubidiumatom betrachtet, das während des
Flugs durch den Mikrowellenresonator, wie in Abb.5.1 gezeigt, mit zwei π2 Mikrowellenpulsen in Wechselwirkung tritt. In der Zeit zwischen den beiden
Pulsen passiert das Atom eine stehende Lichtwelle. Durch die Stehwelle werden die beiden Hyperfeinstrukturzustände des Grundzustandes |g (F = 2)
und |a (F = 3) mit dem angeregten Zustand |e (52 P 3 ) gekoppelt. Für
2
gegenüber der Linienbreite der Übergänge |g → |e bzw. |a → |e weit
48
Abbildung 5.1: Das Atom tritt in Wechselwirkung mit zwei Mikrowellenpulsen und einer stehenden Lichtwelle. Durch die optische Stehwelle werden die beiden Hyperfeinniveaus des Grundzustandes je mit gleicher Kopplungsstärke an einen angeregten Zustand gekoppelt. Nach der Wechselwirkung kann der interne und der Impulszustand des Atoms am, Ort der Stehwelle mit dem zustandsselektiven und ortsauﬂösenden Nachweis gemessen
werden.
verstimmtes Licht treten dabei Verschiebungen der Anregungsenergien für
die beiden Übergänge auf (dynamischer Stark Eﬀekt). Diese sind direkt poportional zur jeweiligen Kopplungsstärke und der Intensität der optischen
Stehwelle und somit abhängig von der Position des Atoms in der optischen
Stehwelle.
Außerdem sind die Energieverschiebungen umgekehrt proportional zur jeweiligen Verstimmung, so daß mit einer geeigneten Verstimmung die Energieverschiebungen dem Betrage nach gleich gewählt werden können. Man gelangt so
zu der Darstellung für die Energieverschiebung ∆E = h̄∆ω0 cos2 (kz), wobei
cos2 (kz) die Abhängigkeit der Intensität innerhalb der optischen Stehwelle
mit dem Wellenvektor k wiedergibt und h̄∆ω0 der Betrag der Energieverschiebung im Intensitätsmaximum ist.
Vor der Wechselwirkung mit den beiden Mikrowellenfeldern und dem Lichtfeld beﬁndet sich das Atom im Zustand |a. Unter Zuhilfenahme der Kollimationsschlitze wird die Verteilung des transversalen Impulses des Atoms
eingeengt, was zu einer Unschärfe L der Ortsverteilung entlang der optischen
Stehwelle führt. Der die Wellennatur des Atoms berücksichtigende quanten-
49
mechanische Zustand des Atoms lautet dann:
|Ψinitial =
+L/2
−L/2
dz
|z ⊗ |a √
L
(5.1)
Durch den ersten π2 -Mikrowellenpuls wird das Atom in eine kohärente Superposition der Zustände |g und |a überführt. Die im Lichtfeld der optischen Stehwelle auftretende Energieverschiebung führt zu einer unterschiedlichen zeitlichen Entwicklung der Phase für die Zustände |g und |a innerhalb der Wellenfunktion. Die Phasenverschiebung gegenüber der freien Zeitentwicklung der Phase der Wellenfunktion nach der Zeit Topt ergibt sich zu
∆Φ = ∆ω0 Topt cos2 (kz) ≡ ∆Φ0 cos2 (kz). In Abhängigkeit dieser Phasenverschiebung gilt für den quantenmechanischen Zustand nach der Anwendung
des zweiten π2 -Mikrowellenpules [Kun94]:
|Ψf inal =
+L/2
|z ⊗
−L/2
cos(∆Φ0 cos2 (kz))|g
dz
+ cos(∆Φ0 sin2 (kz))|a √
L
(5.2)
Das Atom beﬁndet sich so in einem verschränkten Zustand, da die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die Besetzung der internen Zustände vom Ort
des Atoms abhängen. Wird das Atom bei einer Messung des internen Zustandes im Zustand |a beobachtet, so ergibt sich die bedingte Wahrscheinlichkeit,
daß sich das Atom gleichzeitig an der Position z innerhalb der optischen Stehwelle befand:
P (z | |a) =
1
sin2 (∆Φ0 cos2 (kz))
L
(5.3)
Das Atom wird also innerhalb periodischer Bereiche in der optischen Stehwelle
lokalisiert, die in Abb.5.2 gezeigt sind.
Ohne die Messung des internen Zustandes ﬁndet keine Lokalisation in der
optischen Stehwelle statt, sondern nur eine ortsabhängige Phasenmodulation
der Wellenfunktion. Mit Hilfe einer Fouriertranformation von (5.2) ergibt sich
der Impulszustand des Atoms am Ort der optischen Stehwelle. Dabei zeigt es
sich, daß die atomare de Broglie-Welle aufgrund der Wechselwirkung mit der
optischen Stehwelle abgebeugt [Kun96] wird, wobei die nderung des transversalen Impulses von von Photonenrückstößen aus der optischen Stehwelle
herrührt. Dabei kann das Atom diskrete Zustände des transversalen Impulses (sogenannte Beugungsordnungen) annehmen, die sich um den doppelten
Betrag des Impulses eines Photons der optischen Stehwelle unterscheiden.
Abb.5.2,a) zeigt die in [Kun94] errechnete Wahrscheinlichkeit, das Atom in
50
einem Impulszustand zu ﬁnden, ein sogenanntes Impulsspektrum. Dabei wird
das Atom unabhängig von seinem internen Zustand nachgewiesen. Die Gewichtung der einzelnen Beugungsordnungen hängt von der maximalen Phasenverschiebung ab, die hier zu ∆Φ0 = π gewählt wurde. In Abb.5.2,b) ist
der Fall gezeigt, daß das Atom selektiv im Zustand |a nachgewiesen wird,
so daß es zu einer Lokalisation des Atoms in der optischen Stehwelle kommt.
Ziel des Experimentes ist, es die sich in dem Verschwinden einzelner Beugungsordnungen äußernde Rückwirkung der Lokalisation auf den transversalen Impulszustand durch Vergleich der beiden Impulsspektren zu beobachten.
Abbildung 5.2: Theoretisch berechnete Impulsspektren des Atoms nach der
Wechselwirkung mit den Mikrowellenfeldern und der optischen Stehwelle:
a) Ohne eine Messung des internen Zustandes des Atoms beobachtet man
Beugung des Atoms an der stehenden Lichtwelle für den Phasenparameter
Φ0 = π. b) Mit einer Messung des internen Zustandes wird das Atom innerhalb eines periodischen Bereiches in der Stehwelle lokalisiert (siehe Einsatz
rechts oben). Daraus ergibt sich eine Rückwirkung auf den Impulszutand.
51
5.2
Experimentelle Anforderungen
Zur Durchführung des Experimentes ist es notwendig, daß sich die Position
des Atomes entlang der optischen Stehwelle während der Wechselwirkungszeit Topt nicht ändert. Bei der Beschreibung der Bewegung des Atoms im
Lichtfeld soll deshalb die kinetische Energie des Atoms vernachlässigt werden.
Diese sogenannte Raman-Nath-Näherung [Jan93] ist für eine kurze Wechselwirkungszeit Topt erfüllt, die im Experiment mit einem Lichtpuls von kurzer
Dauer realisiert wurde.
Der transversale Impulszustand läßt sich mit Hilfe des ortsauﬂösenden Fluoreszenznachweises bestimmen. Mit dem in Abb.3.11 gezeigten, zum Übergang 52 S 1 , F = 3 → 52 P 3 , F = 4 resonanten Nachweisstrahl können die
2
2
Atome, die sich im Zustand 52 S 1 , F = 3 beﬁnden nachgewiesen werden.
2
Um die Atome unabhängig vom Hyperfeinzustand, also auch im Zustand
52 S 1 , F = 2 nachzuweisen, wird dem Nachweisstrahl zusätzlich ein zum Über2
gang 52 S 1 , F = 2 → 52 P 3 , F = 3 resonanter Laserstrahl überlagert. Von die2
2
sem werden die Atome in den Zustand 52 P 3 , F = 3 angeregt, von dem aus
2
sie in den Zustand 52 S 1 , F = 3 zerfallen und ebenso wie die sich ursprünglich
2
in diesem Zustand beﬁndenden Atome nachgewiesen werden.
5.3
Resultate und Zusammenfassung
In einer ersten Messung wurden nach der Anwendung zweier π2 -Mikrowellenpulse und der optischen Stehwelle die Atome unabhängig von ihrem internen
Zustand nachgewiesen. Für verschiedene Intensitäten des Lichtfeldes wurden
bei konstanter Dauer Topt des Lichtpulses Impulsspektren gemessen, bis sich
aus der Auswertung der Gewichtung der einzelnen Beugungsordnungen eine
Phasenverschiebung von ∆Φ0 = π ergab. Das so gemessene Impulsspektrum
ist in Abb.5.3 gezeigt. Die Gewichtung der einzelnen Beugungsordnungen
beﬁndet sich in guter Übereinstimmung mit der theoretischen Erwartung.
Die Breite der Beugungsordnungen rührt von der nach der Kollimation der
Atome verbleibenden verbreiterten Verteilung des transversalen Impulses der
Atome vor der Wechselwirkung her.
Bei der darauﬀolgenden Messung wurden die Parameter der Mikrowellenpulse
und des Lichtpulses nicht verändert. Lediglich der Strahl des Rückpumplasers
wurde aus dem optischen Nachweis entfernt, so daß die Atome zustandsselektiv nachgewiesen wurden, also eine Messung des internen Zustandes stattfand.
Das so gemessene Impulsspektrum ist in Abb.5.4 gezeigt. Es ist zu beachten,
52
Abbildung 5.3: Impulsspektrum für ein an der optischen Stehwelle gebeugtes
Atom, ohne daß eine Messung des internen Zustandes stattgefunden hat.
Die Gewichtung der einzelnen Beugungsordnungen ergibt sich aus der Wahl
des Parameters für die Phasenverschiebung ∆Φ0 = π.
daß ca. 32% der Atome nicht durch das optische Pumpen in den Zustand
52 S 1 , F = 3, mF = 0 transferiert wurden. Der interne Zustand dieser Ato2
me wird durch die Mikrowellenpulse nicht verändert, so daß für diesen Teil
der Atome keine Ortsinformation in interne Zustände des Atoms gespeichert
wird. Für diese Atome ergibt sich ein Impulsspektrum wie das in Abb.5.3.
Zieht man von den Zählraten des zur zustandsselektiven Messung gehörenden
Impulsspektrums 32% der Zählrate des Impulspektrums der nicht zustandsselektiven Messung ab, so erhält man das mit der theoretischen Vorhersage
gut übereinstimmende Impulsspektrum in Abb.5.4.
Schließlich soll der Ablauf des Experimentes kurz zusammengefaßt werden:
Aufgrund der Kollimation kann das einzelne Atom als de Broglie-Welle mit
einer Ortsunschärfe, die sich über wenige Wellenzüge der optischen Stehwelle erstreckt, beschrieben werden. Nach der Wechselwirkung mit den beiden
Hochfrequenzfeldern und dem stehenden Lichtfeld beﬁndet sich das Atom
in einem Superpositionszustand aus verschiedenen Ortszuständen und den
beiden internen Zuständen. Der Zustand des Atoms ist dabei in der Weise
verschränkt, daß die Wahrscheinlichkeitsamplituden für die beiden Zustände
53
Abbildung 5.4: Messung der Rückwirkung der Lokalisation des Atomes auf
den Impulszustand (nicht gefüllte Punkte). Nach Abzug der von ca. 32%
der Zählrate der Messung ohne zustandsselektiven Nachweis aufgrund der
Atome, die durch das optische Pumpen nicht in den Unterzustand mF = 0
gepumpt wurden, ergibt sich eine sehr gute Übereinstimmung (ausgefüllte
Punkte) mit der theoretischen Erwartung.
von der Position des Atoms innerhalb der optischen Stehwelle abhängen1 Die
Information über die Position des Atoms ist dadurch in den Besetzungswahrscheinlichkeiten für die internen Zustände gespeichert. Nachdem das Atom
die Wechselwirkungszone verlassen hat, besitzt man die Freiheit den internen
Zustand zu messen, oder die darin enthaltene Ortsinformation zu ignorieren.
Im letzteren Fall ergibt sich bei der Messung des transversalen Impulszustandes ein Impulsspektrum resultierend für Stehwellenbeugung im RamanNath-Regime. Im Falle des zustandsselektiven Nachweises des Atoms wird
das Atom im Moment der Messung im optischen Nachweis innerhalb einer
gewissen Orsverteilung in der optischen Stehwelle verzögert lokalisiert. Die
instantane Rückwirkung der Messung des internen Zustandes (und die damit
verbundene Lokalisation des Atoms) auf seinen Impulszustand, läßt sich bei
der Messung des Impulsspektrums unmittelbar beobachten, weshalb hier von
1
Der experimentelle Beweis dafür, daß ein verschränkter Zustand vorliegt konnte erbracht werden und ist in [Kun96] beschrieben.
54
‘messungsinduzierten Beugungsphänomenen’ gesprochen wird.
55
Anhang A
Besetzungswahrscheinlichkeiten
beim optischen Pumpen
Für das in Kapitel 3.3 beschriebene optische Pumpen kann die zeitliche Entwicklung der Bestzungswahrscheinlichkeiten aller beteiligten magnetischen
Unterzustände mit Hilfe der Einsteinschen Ratengleichungen berechnet werden. Für eine Wechselwirkung in Dipolnäherung der Atome mit schmalbandigem Laserlicht lassen sich die Raten für induzierte Absorbtion Γabs , induzierten Emission Γem und spontane Emission Γspon auf den verschieden
Übergängen mit Hilfe der in [Har95] zusammengestellten elektrischen DipolMatrixelementen Übergangsmatrixelemente angeben [Sob92].
Die zeitliche Entwicklung der Besetztung Ni des i-ten magnetischen Unterzustandes aller am optischen Pumpen beteiligten Niveaus ergibt sich dann aus
den Ratengleichungen:
spon
d
abs
Γij + Γem
+
Γ
Nj
Ni =
ij
ij
dt
j
(A.1)
Mit Hilfe eines Computerprogrammes kann durch iteratives Vorgehen die
Gleichung
∆Ni =
spon
i
Γij
abs
+ Γem
Nj ∆t
ij + Γij
(A.2)
für kleine Zeitschritte ∆t gelöst werden. Dabei wird davon ausgegangen, daß
bei t = 0 die Atome über die magnetischen Unterzustände des Zustandes
52 S 1 , F = 3 gleichverteilt sind.
2
Abb.A.1 zeigt die so berechnete Besetzungswahrscheinlichkeit (Population)
der magnetischen Unterzustände des Zustandes 52 P 3 , F = 3 als Funktion der
2
56
Zeit. Dabei wurden die in Abschnitt 3.3 angegebenen, während der Experimente benutzten Parameter für die Intensitäten der beiden Laser und die
Dauer des optischen Pumens verwendet. Weiterhin wurde die nichtresonante Ankopplung an die Zustände 52 P 3 , F = 2 und 52 P 3 , F = 4 in Betracht
2
2
gezogen, und eine Beimischung von 1% der Gesamtleistung von σ + - bzw. σ − polarisiertem Licht angenommen, die aus einer Abweichung der Polarisationsrichtung von der Quantisierungsrichtung um einen Winkel von 8◦ resultiert.
Es ergab sich eine Transfereﬃzienz in den magnetischen Unterzustand mit
mF = 0 von 91%.
Die mittlere Anzahl der spontanen Emissionen pro Atom kann durch Aufsummieren der Wahrscheinlichkeiten für spontane Emissionen aus allen angeregten Zustände über alle Zeitschritte ermittelt werden. Nach 10 ms optischen
Pumpens hat ein Atom im Mittel 13 spontane Emissionen vollzogen.
Abbildung A.1: Berechnug der Besetzung der magnetischen Unterzustände
des Zustandes 52 S 1 , F = 3 während des optischen Pumpens.
2
57
Literaturverzeichnis
[All75] L. Allan und J. H. Eberly. Optical Resonance and Two Level Atoms,
Kapitel 2. Jhon Wiley & Sons, 1975.
[And81] S. V. Andeev, V. I. Balykin, V. S. Lethokov und V. G. Minogin.
JETP, 34:442, 1981.
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Danksagung
An dieser Stelle möchte ich all denjenigen danken, die zum Gelingen dieser
Arbeit beigetragen haben:
• Herrn Prof. Gerhard Rempe für die Aufnahme in seine Gruppe, die interessante Themenstellung sowie das Schaﬀen hervorragender Arbeitsbedingungen.
• Stefan Kunze für die ausführliche Betreuung und das Korrekturlesen
dieser Arbeit. Trotz einiger ‘Reibungsverluste’ konnte ich sehr viel von
ihm lernen.
• Stephan Dürr für die tolle Zusammenarbeit im Laufe des ganzen Jahres
und für die Hilfe bei der Vollendung dieser Arbeit.
• Den Kollegen der Arbeitsgruppe, die durch Disskussionsbereitschaft, ihren Humor und ihre Hilfe zu einem guten Abeitsatmoshpäre beigetragen
haben.
• Herrn Schulter für hilfreiche Tips zur Konstruktion des Mikrowellenresonators und der Halterung.
• Herrn Vogt, Herrn Bock, Herrn Müller, Herrn Bartmann, Herrn Bäschle,
Herrn Kühnel und Stefan Hahn für die rasche und präzise Fertigstellung
des Mikrowellenresonators und der Halterung.
• All meinen Vorgängern an dieser Apparatur: Alexander, Urban, Steffen, Michael und Bernd, ohne deren Vorarbeit diese Messungen nicht
möglich gewesen wären.
• Frau Beck für das Anfertigen Zahlreicher Graﬁken in dieser Arbeit.
• Vor allem gilt mein Dank meiner Mutter und meiner Schwester, die ihr
möglichstes getan haben, um mir ein ordentliches Studieren zu ermöglichen.