Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) Seite 2 Optische

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2 Optische Abbildungen
Abbildung im mathematischen Sinn:
Von einem Gegenstandspunkt ausgehende Strahlen werden in einem Bildpunkt vereinigt.
Ideale optische Abbildungen sollten noch weitere Forderungen erfüllen:
 Eine Gerade geht wieder in einen Gerade über (Kolineation)
 Die Abbildung ist maßstabsgetreu
Reale Abbildungen sind nicht mehr streng punktförmige Abbildungen, sie sind nicht immer
kolinear und maßstabsgetreu. Im obigen Sinn ist nur die Abbildung am ebenen Spiegel ideal.
Die gebräuchlichsten Abbildungssysteme sind Spiegel und Linsen.
Neuere Methoden: Diffraktive Optik, z.B. mit holographischen Linsen.
2.1 Vorzeichenkonvention in der Technischen Optik (DIN 1335)
Bezeichnungen: Punkte:
latein. Großbuchstaben (O, F, S ....)
Strecken: latein. Kleinbuchstaben (a,s,f ....)
Winkel: griech. Kleinbuchstaben (, ,  ...)
Strecken und Winkel sind gerichtete Größen.
konjugierte
Größen1:
ABBILDUNG
Gegenstand (Objekt)
Gegenstandsraum
a, z (Objekt-)
y
n
H
s
nicht konjugierte
Größen2:
F
f
(Objekt-)
Bild
Bildraum
Strecken
Größen
Brechzahlen
Hauptpunkte bzw.
Hauptebenen
Schnittweiten
(Bild-) a', z'
y'
n'
H'
Brennpunkte
Brennweite
(Bild-) F'
f'
s'
Achsensystem: Die Symmetrieachse ist die optische Achse (z-Achse von links nach rechts).
Die y-Achse steht senkrecht auf der z-Achse und weist von unten nach oben.
 Strecken, die von einem Bezugspunkt nach rechts gemessen werden, sind
positiv (in Lichtrichtung). Strecken, die nach links gemessen werden, sind negativ
 Strecken, die nach oben gemessen werden, sind positiv (pos. y-Richtung)
Stecken, die nach unten gemessen werden, sind negativ.
 Winkel, dessen Fahrstrahlen durch Drehung in mathematisch positiven Sinn
mit der optischen Achse zur Deckung gebracht werden, sind positiv.
Lichtrichtung:
Licht läuft in Richtung der pos. z-Richtung von links nach rechts.
1 Größen, die ineinander "abgebildet" werden.
2 Größen, die auch paarweise auftreten, aber nicht ineinander abgebildet werden.
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Beispiel: Bezugspunkt des Koordinatensystems in H (Gegenstandsraum) bzw. H' (Bildraum)
L i c h tri c h t u n g
O b je k t ra u m
B i ld ra u m
(-)r 2
y
y
_
F
S1
H
_
(-)f
(-) z
F'
S2
H'
z'
z
O
(+ )r 1
y'
O'
o p t. A c h s e
y'
(+ )f '
(-)a
(+ ) z '
(+ )a '
a , a ' h a u p t p u n k tb e z o g e n
z , z ' b r e n n p u n k tb e z o g e n
S , S h e iß e n F l ä c h e n s c h e ite l
1
2
2.2 Bildentstehung bei Spiegeln
2.2.1 Ebener Spiegel
Die Abbildungsgleichung des ebenen Spiegels ergibt sich aus der Konstruktion mit Hilfe des
Reflexionsgesetzes.
a  a'
 keine Bildfehler
P’
P
 seitenverkehrtes aber
aufrechtes Bild
 virtuelles Bild
 P und P’ liegen auf der Normalen
zur Spiegelfläche.
Reelle und virtuelle Abbildungen
Ein abbildendes optisches System lenkt die von einem Objektpunkt P ausgehenden Strahlen so ab,
dass ein Beobachter hinter dem optischen System annimmt, das Licht kommt vom Bildpunkt P’.
a) reelle Abbildung
Im Bildpunkt vereinigen sich real existierende
Lichtstrahlen (= Energie in P’ vorhanden).
Ein Beobachter sieht die von diesem Punkt
ausgehenden Lichtstrahlen. Ein reelles Bild kann mit
einem Schirm aufgefangen werden.
opt.
System
P
b) virtuelle Abbildung
Kein Schnittpunkt von realen Strahlen!
Im Bildpunkt vereinigen sich die (rückwärtigen)
Verlängerungen der Lichtstrahlen (= keine Energie
in P’ vorhanden, nicht fotografierbar).
Ein Beobachter hat den Eindruck, das Bild kommt
von P’. Ein virtuelles Bild kann nicht mit einem
Schirm aufgefangen werden.
P
P’
opt.
System
P’
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Beispiel: Durch die Wand schauen. Von welchen Stellen hinter der Wand sieht man das Bild ?
2.2.2 Sphärischer Spiegel (Kugelspiegel)
Gaußscher Abbildungsbereich – Optik des Paraxialgebiets
Alle Strahlen, die zur Abbildung beitragen, fallen unter einem geringen Neigungswinkel zur
optischen Achse ein (= paraxiale Strahlen, achsennahe Strahlen).
Wegen sin   tan    lautet das
Brechungsgesetz in Paraxialnäherung:
n
n’
n  n '
Aber: Darstellung des Strahlengangs meist durch
nichtparaxiale Strahlen, wegen der besseren
Übersicht.
Konkavspiegel
Achsenferne Strahlen am Konkavspiegel:
Schnittpunkt mit der optischen Achse wandert für
achsenferne und achsenparallele Strahlen in Richtung
S  kein punktförmiges Bild, sondern sog. Kaustik.
Diesen Abbildungsfehler nennt man
sphärische Aberration.
Abhilfe: Ausblenden der achsenfernen Strahlen.
Nichtsphärische Spiegeloberflächen für spezielle
Abbildungen.
( Parabolspiegel,  Rotationsellipsoid)
Konvexspiegel
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Abbildungsgleichung
Die optische Achse wird durch den Objektpunkt O und den Kugelmittelpunkt M bestimmt.
Der Scheitel S ist der Durchstoßpunkt der opt. Achse durch den Spiegel. Im paraxialen Fall fällt
der Punkt A mit dem Lot auf den Scheitel zusammen.
A
h
S
O
M
O’
(-)a’
(-)r
(-)a
Berechnung mit Hilfe der Trigonometrie und dem Reflexionsgesetz.
  ' 
       wegen    '
  
tan     h / a
tan     h / r
oben eingesetzt ergibt:
h h h h
  
r a' a r
tan     h / a '
1 1 2
 
a a' r
Abbildungsgleichung für Kugelspiegel
Die Abbildungsgleichung ordnet jedem Gegenstandspunkt O auf der optischen Achse
einen Bildpunkt O’ zu.
Definition Brennpunkt F und Brennweite f
Der Brennpunkt F ist der Bildpunkt auf der optischen Achse, dessen Objektpunkt im
Unendlichen liegt. Für a  (-)) wird die Abbildungsgleichung zu 1/a’ = 2/r.
Die Brennweite ist dann f = a’ = r/2.
1 1 1
 
a a' f
mit f 
r
2
Aus der Definition des Brennpunktes und dem Reflexionsgesetz folgen die Regeln für die
Bildkonstruktion:
Parallelstrahl

Brennstrahl

Mittelpunktstrahl 
wird Brennstrahl
wird Parallelstrahl
wird Mittelpunktstrahl
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y
S
M
y’
F
(-)a’
(-)a
Abbildungsmaßstab3
 '
y'
a'

y
a
2.3 Bildentstehung bei Linsen
Modellvorstellung zur Linsenwirkung: Strahlablenkung durch unterschiedliche Prismenstücke
Im allgemeinen werden rotationssymmetrische (meist Kugelflächen) verwendet.
Zerstreuungslinse
Sammellinse
Übersicht der wichtigsten Linsenarten.
Zerstreuungslinsen
Sammellinsen
Bikonvex
Plankonvex
r1 > 0
r2 < 0
r1  
r2 < 0
f'>0
f'>0
Positiver
Meniskus
r1 < 0
r2 < 0
Bikonkav
Plankonkav
Negativer
Meniskus
r1 < 0
r2 > 0
r1 < 0
r2 < 0
f'>0
f' <0
r1  
r2 > 0
f' <0
f' <0
3 Der Abbildungsmaßstab ist ein Streckenverhältnis und darf nicht mit der Vergrößerung von opt. Instrumenten verwechselt werden.