3. Das Auslastungsspiel

3. Das Auslastungsspiel
Literatur:
• R. W. Rosenthal. A class of games possessing pure-strategy Nash equilibria.
International Journal of Game Theory 2, pp. 65 – 67. 1973.
• D. S. Johnson, Chr. H. Papadimitriou, M. Yannakakis. How easy is local search?
Proceedings of the 26th IEEE FOCS, pp. 39 – 42. 1985.
• A. Fabrikant, Chr. H. Papadimitriou, K. Talwar. The Complexity of Pure Nash Equilibria.
Proceedings of the 36th ACM STOC. 2004.
• D. Fotakis, S. Kontogiannis, P. Spirakis. Selfish Unsplittable Flows.
Proceedings of the ICALP ’04. 2004.
• Awerbuch, Azar, Epstein. The Price of Routing Unsplittable Flow.
Proceedings of the 37th ACM STOC. 2005.
• Christodoulou, Koutsoupias. The Price of Anarchy of Finite Congestion Games.
Proceedings of the 37th ACM STOC. 2005.
Schwerpunkte:
•
•
•
•
allgemeines Auslastungsspiel (z.B. Netzwerkauslastung in allgemeinen Netzwerken)
Koordinationsfaktor: Leistungsverlust durch fehlende Koordination
Existenz von reinen Nash Equilibrien / Berechnung reiner Nash Equilibrien
PLS-Vollständigkeit
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.1
Auslastungsspiel:
•
•
•
•
n Spieler 1, ..., n,
E endliche Menge von Betriebsmitteln,
Strategiemenge Si ⊆ Pot(E) für jeden Spieler i, 1 ≤ i ≤ n,
Verzögerungsfunktion de : {1, ..., n} → N für jedes e ∈ E , de(j) nicht-fallend in j .
Private Kosten bei Strategiewahl s = (s1, ..., sn) ∈ S1 × ... × Sn:
• fs(e) = |{i; e ∈ si}| ist Zahl der Spieler die Betriebsmittel e benutzen,
• de(fs(e)) ist Verzögerung durch Betriebsmittel e,
• ci(s) =
e∈s de (fs (e)) sind private Kosten von Spieler i.
i
Reines Nash Equilibrium s = (s1, ..., sn) ∈ S1 × ... × Sn:
Für jeden Spieler i gilt ci(s1, ..., si, ..., sn) ≤ ci(s1, ..., s0i, ..., sn) für alle s0i ∈ Si.
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.2
Netzwerk-Auslastungsspiel:
• G = (V, E) gerichteter Graph,
• n Spieler 1, ..., n,
• ai ∈ V , bi ∈ V sind Start- und Zielknoten für Spieler i, 1 ≤ i ≤ n,
• Si ⊆ Pot(E) ist Menge der Wege von ai nach bi für jedes i, 1 ≤ i ≤ n,
• Verzögerungsfunktion de : {1, ..., n} → N für jedes e ∈ E , de(j) nicht-fallend in j .
Netzwerk-Auslastungsspiel ist genau dann symmetrisch, wenn a1 = ... = an und b1 = ... = bn.
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.3
Satz 3.1:
Sei I = (n, E, S1, ..., Sn, {de}e∈E ) eine Instanz des Auslastungsspiels. I besitzt mindestens
ein reines Nash Equilibrium.
Beweis:
fs (e)
Definiere Potentialfunktion h : (S1 × ... × Sn) → N durch h(s) =
de(j).
e∈E j=1
Wenn s = (s1, ..., si, ..., sn) und s0 = (s1, ..., s0i, ..., sn), dann gilt:
h(s) − h(s0)
=
e∈si −s0
i
=
de(fs(e)) −
e∈s0 −si
i
de(fs0 (e))
ci(s) − ci(s0).
Hieraus folgt:
h(s) minimal ⇒ s ist Nash Equilibrium.
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.4
Folgerung 1:
Sei I = (n, E, S1, . . . , Sn, {de}e∈E ) eine Instanz des Auslastungsspiels.
Ein reines Nash Equilibrium für I kann in Zeit
de(j)
0
n
e∈E j=1
berechnet werden.
Folgerung 2:
Wenn die Funktionen {de}e∈E alle Polynome sind, dann kann ein reines Nash Equilibrium in
Polynomzeit berechnet werden.
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.5
Auslastungsspiel mit Gewichten:
•
•
•
•
n
n Spieler mit Gewichten w1, ..., wn; W =
i=1 wi ,
E endliche Menge von Betriebsmitteln,
Strategiemenge Si ⊆ Pot(E) für jeden Spieler i, 1 ≤ i ≤ n,
Verzögerungsfunktion de : {1, ..., W } → N für jedes e ∈ E , de(j) nicht-fallend in j .
Private Kosten bei Strategiewahl s = (s1, ..., sn) ∈ S1 × ... × Sn:
• fs(e) =
e∈si
wi ist Gewicht der Spieler die Betriebsmittel e benutzen,
• de(fs(e)) ist Verzögerung durch Betriebsmittel e,
• ci(s) =
e∈s de (fs (e)) sind private Kosten von Spieler i.
i
Reines Nash Equilibrium s = (s1, ..., sn) ∈ S1 × ... × Sn:
Für jeden Spieler i gilt ci(s1, ..., si, ..., sn) ≤ ci(s1, ..., s0i, ..., sn) für alle s0i ∈ Si.
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.6
Ein Auslastungsspiel mit Gewichten besitzt im Allgemeinen kein reines Nash Equilibrium! Beispiel:
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.7
Instanz ohne Potentialfunktion: (w1 = 2, w2 = 1)
s
9/18/27
a
6/13/21
c
b
2/10/20
d
2/4/16
t
e
20/40/60
user 1’s path
a, d
a, d
b, c
b, c
a, d
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
user 2’s path
e
b, d
b, d
e
e
user 1’s latency
18 + 4 = 22
18 + 16 = 34
20 + 13 = 33
10 + 13 = 23
18 + 4 = 22
Algorithmische Spieltheorie
user 2’s latency
20
2 + 16 = 18
20 + 2 = 22
20
20
WS 2007/2008
3.8
Satz 3.4:
Sei I = (w1, ..., wn, E, S1, ..., Sn, {de}e∈E ) eine Instanz des gewichteten Auslastungsspiels
mit Si ⊆ E für alle i.
Dann besitzt I mindestens ein reines Nash Equilibrium.
Satz 3.5:
Sei I = (w1, ..., wn, E, S1, ..., Sn, {de}e∈E ) eine Instanz des gewichteten Auslastungsspiels
mit de(x) = ae + bex, ae, be ∈ N, für alle e ∈ E .
Dann besitzt I mindestens ein reines Nash Equilibrium.
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.9
Beweis von Satz 3.5
Angabe einer Potentialfunktion
h(s)
=
i∈[n] e∈si
=
wi · [de (fs(e)) + de(wi)]
fs(e) · de (fs(e)) +
i∈[n] e∈si
e∈E
wi · de(wi)
Mit dieser Potentialfunktion h gilt:
0
0
0
Wenn s ∈ S und s = (s−i , si) für ein i ∈ [n] und si ∈ Si, dann
0
0
h(s) − h(s ) = 2 · wi · [ci(s) − ci(s )]
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.10
h ist Spezialfall von h
∀e∈E
Sei wi = 1 für alle i und de (x) = ae + be · x
=
e∈E
=
i∈[n] e∈si
(ae + be · fs (e)) · fs (e) +
wi · de (wi )
e∈E
e∈E
fs (e) · de (fs (e)) +
=
e∈E
(ae + be ) · fs (e)
h(s)
(2ae + be ) fs (e) + be · fs (e)
2
fs (e)
h(s)
=
(ae + be j)
=
e∈E
ae · fs (e) + be ·
fs (e) · (fs (e) + 1)
2
e∈E j=1
1
h(s)
2
=
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.11
Folgerung:
Sei I = (w1, ..., wn, E, S1, ..., Sn, {de}e∈E ) eine Instanz des gewichteten Auslastungsspiels
mit de(x) = ae + bex, ae, be ∈ N, für alle e ∈ E .
Ein reines Nash Equilibrium für I kann in pseudopolynomieller Zeit berechnet werden.
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.12
Auslastungsspiel: Preis der Anarchie
Literatur:
• G. Christodoulou, E. Koutsoupias. The Price of Anarchy of Finite Congestion Games.
Proceedings of the 37th ACM STOC, 2005.
• B. Awerbuch, Y. Azar, A. Epstein. The Price of Routing Unsplittable Flow.
Proceedings of the 37th ACM STOC, 2005.
• S. Aland, D. Dumrauf, M. Gairing, B. Monien, F. Schoppmann. Exact Price of Anarchy for Polynomial
Congestion Games.
Proceedings of the 23rd STACS, 2006.
Bemerkung:
• Wir betrachten zuerst reine Nash Equilibrien.
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.13
Private Kosten bei Strategiewahl s = (s1, ..., sn) ∈ S1 × ... × Sn:
• fs(e) =
i:e∈si
wi ist die Summe der Gewichte der Spieler die Betriebsmittel e benutzen.
• de(fs(e)) ist Verzögerung durch Betriebsmittel e,
• ci(s) =
e∈s de (fs (e)) sind private Kosten von Spieler i.
i
Soziale Kosten bei Strategiewahl s = (s1, ..., sn) ∈ S1 × ... × Sn:
• Summe der Privaten Kosten SU M (s) =
i∈[n] wi · ci (s) =
e∈E
fs(e) · de(fs(e))
(In der Literatur wurden auch andere soziale Kostenmaße untersucht.)
Preis der Anarchie/Koodinationsrate
• OP T = mins∈S SU M (s) ist optimale Zuweisung
•
SU M (s)
P oApure = sup
OP T
s ist NE
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.14
Übersicht: P oApure für ungewichtete Auslastungsspiele
P oApure
symmetrisch
asymmetrisch
• P :=
5n−2
2n+1
5
2
Lineare Latenzfunktionen
de (x) = ae · x + be
mit ae , be ≥ 0 ∀e ∈ E
Latenzfunktionen:
Polynome vom Grad d
d a (i)xi
de (x) =
i=0 e
mit ae (i) ≥ 0 ∀i ∈ {0, ..., d}, ∀e ∈ E
dΘ(d)
P
(k+1)2d+1 −kd+1 ·(k+2)d
(k+1)d+1 −(k+2)d +(k+1)d −kd+1
• k := bΦdc und Φd ist die positive reelle Lösung von (Φd + 1)d = Φd+1
d .
Bemerkung:
Ein Auslastungsspiel ohne Gewichte ist genau dann symmetrisch, wenn Si = Sj für alle
i ∈ {1, ..., n}, j ∈ {1, ..., n}.
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.15
Hilfssätze
Satz 3.6: Es seien α, β ≥ 0 nicht negative ganze Zahlen. Dann ist
β · (α + 1) ≤
1
5
2
2
·α + ·β .
3
3
Satz 3.7: Es seien α, β ≥ 0 nicht negative reelle Zahlen, und Φ = Φ1 = 12 (1 +
β · (α + β) ≤
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
√
5). Dann ist
1
Φ
2
2
2
· α + (Φ − ) · β .
2Φ
2
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.16
P oApure für ungewichtete Auslastungsspiele
mit linearen Latenzfunktionen
Satz 3.8: Für ungewichtete Auslastungsspiele mit linearen Latenzfunktionen ist der Preis der
Anarchie höchstens 52 .
Satz 3.9: Es gibt ungewichtete Auslastungsspiele mit linearen Latenzfunktionen und 3 oder mehr
Spielern, für die der Preis der Anarchie gleich 52 ist.
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.17
Übersicht: P oApure für gewichtete Auslastungsspiele
P oApure
asymmetrisch
Lineare Latenzfunktionen
de (x) = ae · x + be
mit ae , be ≥ 0 ∀e ∈ E
√
3+ 5
2
Latenzfunktionen:
Polynome vom Grad d
d a (i)xi
de (x) =
i=0 e
mit ae (i) ≥ 0 ∀i ∈ {0, ..., d}, ∀e ∈ E
Φd+1
d
• Φd ist die positive reelle Lösung von (Φd + 1)d = Φd+1
d .
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.18
P oApure für gewichtete Auslastungsspiele
Satz 3.10: Für gewichtete
Auslastungspiele mit linearen Latenzfunktionen ist der Preis der
√
Anarchie höchstens 3+2 5 .
Satz 3.11: Es gibt gewichtete
Auslastungsspiele mit linearen Latenzfunktionen f ür die der Preis
√
3+ 5
der Anarchie gleich 2 ist.
Bemerkung: Für d = 1 ist
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Φd+1
d
=
Φ21
=
√
3+ 5
2 .
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.19
P oAmixed: Preis der Anarchie für gemischte NE
Private Kosten von Spieler i bei Strategiewahl π = (π1, ..., πn) ∈ S |S1| × ... × S |Sn|:
n
ci(π) =
πk (sk )
s=(s1 ,...,sn )
∈S1 ×...×Sn
ci(s)
k=1
Soziale Kosten bei Strategiewahl π = (π1, ..., πn) ∈ S |S1| × ... × S |Sn|:
SU M (π) =
i∈[n]
wi · ci(π) (gewichtete Summe der privaten Kosten)
Preis der Anarchie/Koodinationsrate
• OP T = minπ∈S |S1|×...×S |Sn| SU M (π) ist optimale Zuweisung
•
SU M (π)
P oAmixed =
sup
OP T
π ist gemischtes NE
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
3.20
P oAmixed: Preis der Anarchie für gemischte NE
Satz 3.12: Sätze 3.8 - 3.11 gelten auch für P oAmixed:
• Für ungewichtete Auslastungsspiele mit linearen Latenzfunktionen ist P oA mixed ≤ 52 (3.8).
• Es gibt ungewichtete Auslastungsspiele mit linearen Latenzfunktionen und 3 oder mehr
Spielern, für die P oAmixed = 52 (3.9).
• Für gewichtete Auslastungspiele mit linearen Latenzfunktionen ist P oA mixed ≤
√
3+ 5
2
(3.10).
• Es gibt gewichtete Auslastungsspiele mit linearen Latenzfunktionen f ür die P oAmixed =
(3.11).
Monien/Bleischwitz
Universität Paderborn
Algorithmische Spieltheorie
WS 2007/2008
√
3+ 5
2
3.21