IV. Festkörperphysik 23. Struktur von Festkörpern

29.05.2013
IV. Festkörperphysik
 Hier: Beschränkung auf die elektrische Eigenschaften
 3 Aggregatzustände:
fest, flüssig, gasförmig:
Wechselspiel Anziehungskräfte der Teilchen gegen die thermische Energie kT.
Zustand
Temperatur
Bindungen
mittlerer Abstand
Gas
hoch
keine, heftige Stöße
groß
flüssig
mittel
fest
niedrig
temporär, schwach
Dipole, van der Waals
fest, stabil
klein
sehr klein
23. Struktur von Festkörpern
23.1 Übersicht
Kristall: langsames Abkühlen: Anordnung der Atome / Moleküle unter Ausbildung der
maximal möglichen Anzahl von Bindungen zu einer regelmäßigen Struktur 
Minimum der potentiellen Energie. Hoher Ordnungsgrad. Wohldefinierter
Schmelzpunkt.
Beispiel: Diamant, Quarz.
Amorph: Zu schnelles Abkühlen: keine Ordnung möglich. Kein genauer Schmelzpunkt,
sondern erweichen.
Beispiel: Glas
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Häufiges Vorkommen, besteht aus vielen kleinen Einkristallen.
Polykristall:
Beispiel: poly-Silizium, Metalle
Korn
Bindungsarten: 
Korngrenze
ionisch
in der Regel Mischung

kovalent

metallisch

Wasserstoffbrücken, Van-der-Waals
23.2 Einkristall
Periodische Anordnung eines Gitters. Kleinste Einheit eines Kristall ist die Elementarzelle
oder die Basis.
Kristallsysteme: Einteilung in 7 Klassen (kubisch, tetragonal, orthorhombisch, rhomboedrisch, hexagonal, monoklin, triklin) und 14 Gittertypen: Bravais-Gitter
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Beispiele für kubische Kristalle:
kubisch
kubisch flächenzentriert
kubisch raumzentriert
fcc (face-centered-cubic)
bcc (body-centered-cubic)
die meisten Ionenkristalle:
NaCl, KCl, AgCl, LiF …..
Ag, Al, Au, Cu, Ni, Pb
Miller Indizes:
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Ba, Cs, Fe, K, Li, Mo, Na
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23.2.1 Ionenkristall
Ionische Bindung z.B. Na+ Cl¯: Jedes Atom hat 6 Nachbarbindungen zum anderen Atom.
Versuch # : Gittermodell Ionenkristall NaCl
a) Elektrisches Potential (anziehend)
Wel  
k  e2
r
mit
k
1
r Abstand der Atomzentren
4 0
e = Elementarladung = q (in Festkörperphysik)
 Madelung Konstante: Wirkung aller umgebenden Ladungen; hängt ab von Kristallstruktur ( > 0 für anziehend;  < 0 für abstoßend )
z.B.: NaCl (fcc):
Na: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p1
6 Gegenladungen Abstand im Abstand 1  r
Cl: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p5
1  
6
1
anziehend
12 Gleichnamige Ladungen im Abstand
2 r
2  
12
2
abstoßend
8 Gegenladungen Abstand im Abstand
3r
3  
8
3
anziehend
 i
usw.

  i  6 
i 1
12
8

 ...  1,7476 für alle fcc gleich, r variiert
2
3
( = 1,7627 für bcc)
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b) Abstoßung durch Pauli-Prinzip:
WPauli 
B
rn
Abstoßung durch das Ausschlußprinzip von Pauli
c) Gesamtpotential:
k  e2 B
 n
r
r
W pot  
(siehe Kap. 22.1)
d) Kräftegleichgewicht: Minimum des Potentialtopfs
F  0
oder
dW pot
dr
 0 bei r  r0
r0 Gleichgewichtsabstand
1
k  e2
(1  )
W pot ( r0 )  
r0
n
Entspricht Dissoziationsenergie des Kristalls: Zerlegen des Kristalls in seine Ionen (pro
Ionenpaar)
NaCl-Kristall:
r0  0,282 nm und n  9  WDiss  7,98 eV / Ionenpaar
Bindungsenergie: Zerlegen des Kristalls in seine Atome.
WBindung = 7,98 eV - 1,53 eV = 6,45 eV pro Molekül; WBindung = 3,22 eV / Atom
Hohe Bindungsenergie  hoher Schmelzpunkt.
23.2.2 Nicht-kubische Kristalle
Beispiel: hexagonal dichteste Packung hcp (hexagonal-closely-packed)
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Beispiele: Be, Cd, Mg, C60
23.2.3 Kovalent gebundene Kristalle

gemeinsame Nutzung der Valenzelektronen durch benachbarte Atome

gerichtete Bindungen
Beispiel: Diamantstruktur (C, Si, Ge) Gitterkonstante Si: 0,543 nm
Versuch: Gittermodell Diamant
Kohlenstoff: weitere Strukturen

Graphit: hexagonale Struktur in der Ebene (eine Atomlage heißt Graphen)
Quelle: Tippler Physik
Verbindung der Ebenen über Dipolkräfte sehr schwach  Schmiermittel
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
C60-Fullerene und Carbon-Nano-Tubes (CNT)
C60
CNT
Bindungsenergie der Atome im C60: 7,4 eV (wie Diamant)
Bindungsenergie der Moleküle: ca. 1,5 eV (Dipol-Dipol wie Graphit)

Kohle: amorph
23.3 Metallbindung

ca. 75% der Elemente im Periodensystem zzgl. Legierungen

Aus Messungen: ca. 1 frei bewegliches Valenz-Elektron pro Atom  Elektronengas

Metallbindung: kein Pendant auf Molekülebene, ähnlich zu kovalenter Bindung. Alle
Atome teilen sich die frei beweglichen Elektronen (Molekül: gemeinsame Nutzung durch
Atome eines Moleküls).
Gitter aus Metallionen (fest) umgeben vom frei beweglichem „Elektronengas“.
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Klassisches Theorie:
j  E

spez. Leitfähigkeit
  ne

Beweglichkeit der Ladungsträger (= Elektronen)
n
freie Elektronen pro Volumen  Anzahl Atome / Volumen
vD
Driftgeschwindigkeit
vD    E
mittlere makroskopische Geschwindigkeit aller Ladungen.
vD 

ne
für E = const.  vD = const.
E
Widerspruch!

für E = const.  a = const.  vD  a  dt  a  t  vD steigt linear
F  e  E  me  a
Verbessertes mikroskopisches Modell (P. Drude 1900) (aus Gasmodell):
v
mittlere Geschwindigkeit der Einzelladungen zwischen den Stößen.
Beschleunigung nur zwischen den mechanischen Stößen mit den Atomen  a = f(t) .

mittlere freie Flugzeit od. Stoßzeit: Mittlere Zeit zwischen zwei Stößen (~ 10-15 s)

mittlere freie Weglänge (~ 0,1 – 0,5 nm)
es gilt:
  v 



1
1

2
n A
n   r
me  v
n  e2  
e

me
n Anzahl Ionen pro Vol.
A Querschnittsfläche der Ionen
r Ionenradius
μKupfer = 43,6 cm2/Vs
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Ursache für <v>:
Elektronengasmodell
Thermische Energie der Elektronen: Annahme: Maxwell-Boltzmann Verteilung für Gase:
v  vrms 
3kT
 T
me
vgl. vD  105 ...104
für T = 300 K:
v  1,2  105
m
s
m
 f (E)
s
Schwächen des Drude Modells:
1.
v : Annahme Maxwell-Boltzmann - Verteilung 
v  f( T)   v  f( T)
  f (T )
gemessen:
2.  (T = 300 K) für Kupfer:
mit v  1,2  105 m ;   0,38 nm und   3,5  10 15 s
s
theoretisch:
  1,2  10 7 Ω m
gemessen:
  0,17  10 7 Ω m
Faktor 7 zu klein
3. Unterschied Leiter – Isolator – Halbleiter nicht erklärbar
4. Negativer Temperaturkoeffizient von Halbleiter nicht erklärbar
Ursachen:
1. Freie Elektronen verhalten sich nicht wie ein ideales Gas  Maxwell-BoltzmannVerteilung ist falsch.
2. Modell mechanische Stöße der Elektronen mit Gitter als Teilchen ist falsch; quantenmechanische Betrachtung  Streuprozess der Elektronenwelle am Gitter  Fermi-DiracVerteilung
Lösung siehe Kap. 24
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