Ubungen zur Physik III Sommersemester 2003 5

Übungen zur Physik III
5. Übungsblatt
Sommersemester 2003
Abgabe: 20. Mai / 23. Mai 2003 in der Übung
Aufgabe 17: Doppler-Profil und Laserkühlung
Wegen des Dopplereffektes für elektromagnetische Wellen sind die Spektrallinien eines Gases bei der
Temperatur T breiter als die natürliche Linienbreite. Für das Dopplerprofil gilt
!
c2 (ω − ω0 )2
.
P (ω) = P (ω0 ) · exp −
2
ω02 · vw
p
Dabei ist vw die wahrscheinlichste Geschwindigkeit, mit vw = 2kB T /m, und m ist die Atommasse.
(a) Man berechne die Dopplerbreite (volle Halbwertsbreite des Doppler-Profils) der sogen. Na-D-Linie
der Wellenlänge λ = 589.1 nm von Na-Atomen in Na-Dampf bei T = 500 K und vergleiche mit der
natürlichen Linienbreite; die Lebensdauer des angeregten Niveaus ist τ = 16 ns.
(b) Durch geschickte Wahl der Kreisfrequenz ω eines schmalbandigen Lasers nahe der Kreisfrequenz
ω0 der Na-D-Linie ist es möglich, das Gas durch sukzessive Absorption und Reemission abzukühlen.
1. Wie muß ω im Vergleich zu ω0 gewählt werden? Diskutieren Sie den Kühlmechanismus.
2. Wie klein sind die erreichbaren Temperaturen, und wodurch sind diese begrenzt?
3. Schätzen Sie die Anzahl der pro Atom erforderlichen Absorption/Reemissionsprozesse ab, um
die niedrigste Temperatur zu erreichen. Schätzen Sie die Bremsbeschleunigung ab, die durch den
Laser hervorgerufen wird, wenn ein Absorption/Reemissionszyklus im Mittel zwei Lebensdauern
beträgt.
Aufgabe 18: Dreidimensionaler Potentialkasten
(a) Berechnen Sie die Wellenfunktion und Energieeigenwerte für ein Teilchen der Masse m in einem
dreidimensionalen Potentialkasten der Breite d in den drei Raumdimensionen. Geben Sie die Energieeigenwerte für den tiefsten Zustand (Nullpunktsenergie) und die nächsten vier Zustände an sowie
jeweils den Entartungsgrad der Zustände (der Entartungsgrad ist die Anzahl verschiedener Zustände
gleicher Energie).
(b) Ein Elektron sei auf das Volumen eines Atomkernes (d = 10−14 m) beschränkt. Benutzen Sie das
Ergebnis von (a) zur Abschätzung der Nullpunktsenergie. Vergleichen Sie mit der Coulombenergie für
ein Elektron und ein Proton im Abstand d. Kann das Elektron Bestandteil des Kerns sein?
(c) Wie groß ist der kleinste mögliche Wert für die kinetische Energie eines Neutrons, wenn das Neutron
auf das Volumen des Atomkerns beschränkt ist?
Aufgabe 19: Potentialtopf I
(a) Wieviele Energieeigenwerte gibt es für ein Teilchen der Masse m in einem eindimensionalen, rechteckigen Potentialtopf der Breite d = 0.7 nm und der Tiefe V0 = 10 eV. Wie groß sind die Zahlen für
Elektronen bzw. Protonen?
(b) Ein Elektron ist in einem zweidimensionalen Potentialtopf der Breite d = 10 nm (in beiden
Dimensionen) und der Tiefe V0 = 1 eV eingesperrt. Schätzen Sie die Anzahl der gebundenen Zustände
ab?
Man benutze Formeln für einen Potentialkasten als Näherung.
Aufgabe 20: Potentialtopf II
Ein Teilchen der kinetischen Energie Ekin befindet sich in einem eindimensionalen Potentialtopf der
Tiefe V0 und der Breite d. Die Eindringtiefe δx des Teilchens in den klassisch verbotenen Bereich
x < 0 bzw. x > d soll abgeschätzt werden. Dazu soll der Wert δx berechnet werden, bei dem die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit P (x) für x = −δx bzw. x = d + δx auf 1/e des Wertes bei x = 0 bzw.
x = d abgesunken ist.
Berechnen Sie den Zahlenwert von δx für ein Elektron bei Potentialtiefe V0 = 1 eV und Ekin = V0 /2.
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